沪教版(上海)数学高一上册-1.5 充要条件 课件

命题和充要条件知识梳理一、命题的概念1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。

2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

3、一般地，如果命题 :成立可以推出命题1也成立，那么就说由■■可以推出:，记作相反的，如果工成立不能推出：成立，那么就说由不可以推出，记作：•竽4、如果肚一?，搖，并且-=「，那么就说< 与等价，记作：•二：。

二、四种命题形式1、一个数学命题用条件 y ,结论,表示就是“如果:，那么「”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果"，那么0”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。

2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。

如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。

3、命题「、：的否定分别记作厂、「。

4、如果把原命题“如果，那么'”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。

5、四种命题形式及其相互关系：6、常见结论的否定形式：（拓展内容）原结论否定形式原结论否定形式是不是至少有一个没有都是不都是至多有一个至少有二个大于小于或等于至少有n个至多有n-1个三、充要条件1充分条件与必要条件：一般地，用a、0分别表示两个命题，如果欣成立，可以推出0也成立，即。

二＞0，那么欣叫做0的充分条件。

：叫做..的必要条件。

2、充要条件：如果既有事=乞，又有主，即有：•二一：，那么」既是-的充分条件又是的必要条件，这时我们就说i是•'的充要条件。

例题解析一、有关命题的概念【例1】判断下列语句是否是命题：10 2 2⑴张三是四川人；⑵10是个很大的数；⑶X，2x=0 :⑷x 6 0 :⑸112 ；【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由(1) 矩形难道不是平行四边形吗？(2) 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(3) 求证：X • R，方程X2 X 0无实根.(4) X 5(5) 人类在2020年登上火星.【例3】下面有四个命题：①若-a不属于N ,则a属于N ;②若a，N ,b N，则a b的最小值为2 ；③X2^2X 的解可表示为｛1,仆•其中真命题的个数为( )【例4】下列判断中正确的是A. “ 12是偶数且是18的约数”是真命题 B •“方程x 2 x ^0没有实数根”是假命题 C. “存在实数x ,使得x 2 <3且x 2 16 ”是真命题 D. “三角形的三个内角的和大于或等于 120 ”是假命题【例5】对于直角坐标平面内的任意两点A （x ，y 1）、B （X 2，y 2），定义它们之间的一种 距离”AB =人—X 2〔计％ -『2 .给出下列三个命题：① 若点C 在线段AB 上，则|| AC |CB | AB ;2 2 2② 在 MBC 中，若 Z C=90。

高中数学沪教版高一上册第1章三充分条件与必要条件1.5充分
条件，必要条件教学设计
【名师授课教案】
1教学目标
(1)知识目标:通过学习使学生理解充分条件与必要条件的意义,能在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性。

(2)能力目标:通过学习,培养学生阅读理解能力(为解应用题打下基础),渗透数学中的归纳思想,培养学生的自学能力,逻辑推理能力。

(3)情感目标:改变传统教学中枯燥、抽象、难懂的局面,使学生在学习过程中体验、感悟、实践、探索,并学会合作交流,提高阅读能力、调动学生的主体性
2学情分析
充分条件,必要条件是高一新生接触逻辑初步知识的一个重要内容,也是难点,本节内容特点是抽象,逻辑性强,是今后解题的工具。

数学课堂教学必须树立课程是为学生提供学习经历,并获得学习经验的观念,教师应把倡导自主探究,为学生提供实践、体验和合作交流的学习方式的机会落在实处。

基于以上原因我把“充分条件,必要条件”这一节课设计成研究性课程。

3重点难点
教学重点:充分条件、必要条件、充要条件
教学难点:充分条件、必要条件、充要条件的判别
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】课前准备
一、课前准备
(一)教师支持材料作业
独立阅读下列材料并回答问题。

命题和充要条件知识梳理 一、命题的概念1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。

2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出，记作βα⇒。

相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作αβ。

4、如果，并且αβ⇒，那么就说与等价，记作βα⇔。

二、四种命题形式1、一个数学命题用条件，结论表示就是“如果 α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果 ，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。

2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。

如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。

3、命题、的否定分别记作α、β。

4、如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。

5、四种命题形式及其相互关系:6、常见结论的否定形式：（拓展内容）三、充要条件1、充分条件与必要条件：一般地，用α、β分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。

叫做的必要条件。

2、充要条件：如果既有，又有，即有βα⇔，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。

例题解析一、有关命题的概念【例1】判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星.【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例4】下列判断中正确的是 ( ).A. “12是偶数且是18的约数”是真命题B. “方程210x x ++=没有实数根”是假命题C. “存在实数x ，使得23x +≤且216x >”是真命题D. “三角形的三个内角的和大于或等于120︒”是假命题【例5】对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【巩固训练】1、判断命题真假：如果2a <，那么2a < （ ）2、若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是__________3、已知,A B 是两个集合，下列四个命题：①B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于对任意有②B A A B ⇔⋂=∅不包含于③B A A ⇔不包含于不包含B ④B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于存在，其中真命题的序号是4、下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、命题的四种形式及其关系【例6】命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______【例8】写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． ⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例10】已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程24(2)10x m x +-+=无实根；若p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【巩固训练】1、有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．43、命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥4、有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题． 其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．5．原命题的否命题是“三条边相等的三角形是等边三角形”，原命题的逆命题是三、有关等价命题【例12】与命题“，，不全是负数”等价的命题是（ ） A 、，，中至少有一个是正数 B 、，，全不是负数C 、，，中只有一个是负数D 、，，中至少有一个是非负数 【例13】与“一元二次方程有一正根、一负根”等价的命题是（ D ）A 、B 、C 、D 、【例14】命题：已知a ，b 为实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥。

第五讲：充分条件与必要条件１．一般地，如果已知p ⇒q ，那么就说：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件。

可分为四类：（1）充分不必要条件，即p ⇒q,而q ≠>p ； (2)必要不充分条件，即p ≠>q,而q ⇒p ； (3)既充分又必要条件，即p ⇒q ，又有q ⇒p ； (4)既不充分也不必要条件，即p ≠>q ，又有q ≠>p 。

充要关系的几种判断方法 (1)定义法：若，则是的充分而不必要条件；若，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件；若，则是的既不充分也不必要条件。

(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件例1.给出下列命题，试分别指出p 是q 的什么条件． (1)p ：x －2＝0；q ：(x －2)(x －3)＝0.(2)p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等． (3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根． (4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．例2.已知不等式1x －1<1的解集为p ，不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集为q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2，－1] B ．[－2，－1] C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)例3.已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围． (3)若⌝P 是⌝S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．练习1用“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“非充分非必要”填空：（1）“x y =”是“22x y =”的_______________条件；p q ⇒q p ⌝⌝⇒q p ⇒p q ⌝⌝⇒p q ⇔q p ⌝⌝⇔（2）“x 是2的倍数”是“x 是6的倍数”的_______________条件； （3）“同位角相等”是“两直线平行”的_______________条件；（4）“四边形的对角线相等”是“四边形是平行四边形”的_______________条件. （5）“(2)(3)0x x --=” 的_______________条件是“20x -=”； （6）“3x =” 的_______________条件是“29x =”.练习2给定两个命题，,若是的必要而不充分条件，则是的 A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件练习3条件：,条件：,若是的充分而不必要条件,则的取值范围是( )A. B. C. D.练习4用“⇒”、“⇐”或“⇔”填空：（1）22__________(0)x a x a a ==≠；（2）两个三角形全等____________两个三角形相似； （3）||1__________1x x >>；（4）0__________a ≠方程ax b =有唯一解.例4用“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“非充分非必要”填空：（1）已知四边形ABCD 是凸四边形，“AC BD =”是“四边形ABCD 是矩形”的___________条件； （2）“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的_______________条件；（3）在三角形中，“两个内角相等”是“三角形是等腰三角形”的_______________条件；（4）若a 、b 为实数，则“||||a b =”是“22a b =”的______________条件；（5）“x 为自然数”是“x 为整数”的_______________条件； （6）“3x >”是“5x >”的_______________条件； （7）“5x >”是“3x >”的_______________条件；（8）“3x =”是“2230x x --=”的_______________条件；（9）“0a =”是“0ab =”的_______________条件；（10）“()x A B ∈ ”是“()x A B ∈ ”的_______________条件； （11）“11x -≠”的是“(1)(3)0x x --≠”_______________条件； （12）“11x>”的_______________条件是“1x <”. p q p ⌝q p q ⌝p 12164x<<q ()()20x x a ++<p q a()4,+∞[)4,-+∞(],4-∞-(),4-∞-例5如果α是β的充分条件，β是γ的必要条件，β又是δ的充分条件，γ是δ的必要条件，那么：（1）δ是α的什么条件； （2）β是γ的什么条件；（3）在α，β，γ，δ中，哪几对互为充要条件？练习5.设A 是B 的充分非必要条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要非充分条件，那么，D 是A 的什么条件？练习6.写出0ab >的一个充分非必要条件.练习7.（1）写出0ab >的一个必要不充分条件；（2）写出0ab >的一个充要条件.课堂练习1. 用“⇒”、“⇐”或“⇔”填空：（1）a b >>（2）22__________()()0a b a b a b ≥-++>.2. 用“充分非必要”、“必要非充分”填空：（1）“()x A B ∈ ”是“x B ∈”的_______________条件； （2）“()x A B ∈ ”是“x A ∈”的_______________条件； （3）“A =∅”是“A B B = ” 的_______________条件； （4）“A B Ü”是“A B A = ” 的_______________条件；3. 用“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“非充分非必要”填空： （1）“a 是奇数”是“a 是质数”的________________条件；（2）“0x y +>且0xy >”是“0x >且0y >”的________________条件； （3）“4x y +>且4xy >”是“2x >且2y >”的________________条件； （4）对于集合A 、B ，“A B A = ”的_______________条件是“A B B = ”； 4. “函数y kx b =+的图像过原点”是“0b =”的______________条件.5. 已知A 是B 的必要非充分条件，C 是B 的充要条件，D 是C 的充分非必要条件，那么D 是A 的_______________条件.（用“充分非必要”、“必要非充分”或“充要条件”填空）6. 写出“0a b +>”的一个必要非充分条件，它可以是____________________.7. 下列命题中，A 是B 的一个充分非必要条件的是（）A ．:||5A x >，:5B x <-或5x >；B ．:4A x >，:6B x >；C ．:4A x <，:6B x <；D ．:||4A x >，:4B x >.8. “||||||x y x y +=+”是“0xy >”的 （） A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件； C ．充要条件；D ．非充分非必要条件.9. 设U 为全集，P 、Q 、M 为集合U 的子集，且M ≠∅，则P Q Ü的一个充分非必要条件是（） A ．P Q P = ； B ．U UQ P Ü痧；C ．()P Q P Ü；D ．()P M Q Ü.10.设a 、b 是实数，“220a b +>”是“0a ≠或0b ≠”的（）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．非充分非必要条件.11. 若a 、b 、c 都是实数，且有条件：（A ）0ab =；（B ）0a b +=；（C ）220a b +=；（D ）0ab >；（E ）0a b +>；（F ）220a b +>，试从以上条件中选择符合下列要求的条件（用符号表示）：（1）使a 、b 都是0的充要条件； （2）使a 、b 都不是0的充分条件； （3）使a 、b 中至少有一个是0的充要条件； （4）使a 、b 中至少有一个不是0的充要条件.12. 已知{1,1,12}A d d =++，2{1,,}B q q =，求A B =的充要条件.知识点二：充分条件、必要条件、充要条件的证明及简单应用１．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．２．对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性。

1.5充分条件，必要条件训练题一、选择题1、α是βの充要条件の是（ ） A 、532:523:->-->+x x βαB 、b a b a ><>:2,2:βαC 、四边形是正方形相垂直平分四边形的两条对角线互::βαD 、有唯一解的方程关于1:0:=≠ax x a βα2、“22≤≤-a ”时“实系数一元二次方程012=++ax x 无实根”の（ ） A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 3、已知b a ,是实数，则“0>a 且0>b ”是“0>+b a 且0>ab ”の（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 4、“0>x ”是“0≠x ”の（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 5、对任意实数c b a ,,，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”の充要条件；③“b a >”是“22b a >”の充分条件；④“5<a ”是“3<a ”の必要条件。

其中真命题の个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、已知p 是r の充分条件而不是必要条件，q 是r の充分条件，s 是r の必要条件，q 是s の必要条件。

现有下列命题：①s 是q の充要条件；②p 是q の充分条件而不是必要条件；③r 是q の必要条件而不是充分条件；④p 是s の必要条件而不是充分条件；⑤r 是s の充分条件而不是必要条件。

则正确命题序号是（ ）A 、①④⑤B 、①②④C 、②③⑤D 、②④⑤7、一元二次方程)0(0122≠=++a x ax ，有一个正根和一个负根の必要不充分条件是（ ） A 、0<a B 、0>a C 、1-<a D 、1<a 二、填空题8、4>k ，5<b 是一次函数5)4(-+-=b x k y の图像交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴の________条件9、B A ⊆是B B A = の_______条件 三、解答题10、设R a ∈，求关于x の方程04)2()1(2=-++-x a x a 有两个正根の充要条件练习11、选择正确の选项填空：（A ）充分非必要（B ）必要非充分（C ）充要（D ）既非充分也非必要 （1）“四边形の四条边相等”是“四边形是正方形”の___________条件（2）“D E FA B C ∆≅∆”是“D EF ABC S S ∆∆=”の_______条件（3）“两个角相等”是“两个角是对顶角”の_______条件 （4）“内错角相等”是“两直线平行”の_______条件 （5）“两个三角形全等”是“两个三角形相似”の_______条件 （6）“3=x ”是“92=x ”の_______条件（7）“1->x ”是“1>x ”の_______条件 （8）“5+a 是无理数”是“a 是无理数”の_______条件 （9）“x 是6の倍数”是“x 是2の倍数”の_______条件 （10）“正整数の末位数是4”是“正整数能被2整除”の_______条件 2、在下列各题中，用符号“⇒”、“⇐”或“⇔”把βα,这两件事联系起来 （1）”“”；“||||::y x y x ==βα （2）”且“”；“00:0:>>>y x xy βα （3）”“”；“B A x A x ∈∈::βα （4）”“”；“132:0)1()2(:22=-=-+-y x y x βα 3、（1）1>baの一个充分非必要条件可以是___________ （2）0<a 且0>b の一个必要非充分条件可以是___________4、在下表所列各小题中，指出α是β成立の什么条件。

上海华师大二附中2015届高一数学上册 充分条件、必要条件一教学案 沪教版教学目标: 1．经历充分条件和必要条件概念的形成过程，体会与理解充分条件、必要条件的意义；掌握有关的逻辑知识，逐步养成合理与严密的逻辑推理习惯；2．能在简单的问题情境中判断条件的充分性和必要性。

教学重点：理解充分条件、必要条件的概念；在问题情景中判断条件的充分性与必要性。

教学难点：掌握充分条件、必要条件的判断。

教学过程： 1、 情景引入问题1：写出命题“若0x >，则20x >”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断原命题、逆命题、否命题与逆否命题是否是真命题？（原命题：若0x >，则20x >.真命题； 逆命题：若20x >，则0x >.假命题； 否命题：若0x ≤，则20x ≤.假命题；逆否命题：若20x ≤，则0x ≤.真命题.）问题2：请同学用推断符号“⇒”“⇏”写出上述命题。

（0x >⇒20x > ；20x ≤⇒0x ≤ ；20x >⇏0x > ；0x ≤⇏20x ≤.）说明：命题“若α，则β”为真，表示如果α成立，那么β也一定成立，将它表示为αβ⇒； 命题“若α，则β”为假，表示如果α成立，那么β不一定成立，可以将它表示为αβ≠>；2、 概念形成命题 0x >⇒20x >中，0x >是条件，20x >是结论，0x >成立，充分保证了结论20x >成立，我们说条件0x >是结论20x >成立的充分条件；由于原命题与逆否命题等价，所以如果条件20x >不成立，那么结论0x >也必不成立，即条件20x >是结论0x >成立必须具备的，即条件20x >是结论0x >成立的必要条件。

定义：一般地，用α、β分别表示两个命题，如果命题α成立，可以推出命题β也成立，即αβ⇒，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件。

1.5（2）充分条件，必要条件（充要条件）一、教学目标设计理解充要条件的意义,能在简单的问题情境中判断条件的充分必要性；掌握判断命题的条件的充要性的方法；在充要条件的学习过程中，形成等价转化思想。

二、教学重点与难点理解充要条件意义及给定两个命题之间的等价（充要）关系的判断既是本节重点，也是本节难点。

三、教学流程设计四、教学过程设计 一、复习引入问：一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，有哪四类？答：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件。

练习： 判断下列各命题条件的充分性和必要性 (1)若x>0则x 2>0（充分不必要条件）。

(2)若两个角相等，则两个角是对顶角。

（必要不充分条件）。

(3)若三角形的三条边相等，则三角形的三个角相等。

(充分必要条件)(4)若x 是4 的倍数，则x 是6的倍数（既不充分又不必要条件） （5）若a ，b 为实数，b a =，则22b a =。

(充分必要条件)二、概念形成1、结合问题进行说明：命题（3）中：因为三角形的三条边相等三角形的三个角相等，所以“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充分条件；又因为三角形的三个角相等三角形的三条边相等，所以“三角形的三条边相等”又是“三角形的三个角相等”的必要条件。

因此“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”既充分又必要的条件。

2、充要条件定义一般地，如果既有α⇒β，又有β⇒α，就记作：α⇔β（“⇔”叫做等价符号），那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，我们称为α是β的充分而且必要条件，简称充要条件。

[说明] ①可以解释为α⇔β，α与β互为充要条件。

②可以进一步解释为：有它必行，无它必不行。

③可以结合实例解释为：如|x| = |y|与x 2 = y 2互为充要条件，即若|x|=|y|，则一定有 x 2 = y 2；若|x|≠|y|，则一定有x 2 ≠ y 2。