第4章射影变换学习辅导(1)

射影变换例题解析例1 填空题（1）两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件为 .（2）两点列间射影对应由 对对应点唯一确定.（3）共线四点的交比是 不变量.（4）两个点列经过中心投影， 不变.（5）不重合的 对应元素，可以确定唯一一个对合对应.解 （1）由定理知，两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件是：两个线束的公共线自对应.（2）已知射影对应被其三对对应点所唯一确定，因此两个点列间的三对对应点可以决定唯一一个射影对应.（3）共线四点的交比是射影不变量.（4）两个点列经过中心投影，交比不变.（5）不重合的两对对应元素，可以确定唯一一个对合对应.例2 单选题（1）若（AB ,CD ）=r ，则（DB ，AC ）=（ ）A .r 1B .r-11 C .r r -1 D .r 11- （2）设A ，B ，A +λ1B ，A +λ2B 是四条不同的有穷远共点直线l 1，l 2，l 3，l 4的齐次坐标， 则（l 1l 2，l 3l 4）=（ ）A .λ1B .λ2C .21λλ D .λ1λ2 （3）设1，2，3，4是四个不同的共线点，如果（12，34）=（23，41）则（13，24）=（ ）A .－1B .1C .0D .∞解 由交比的运算定理，（1）选D ；（2）选C （3）选A例3 求证P 1（3，1），P 2（7，5）与P 3（6，4），P 4（9，7）成调和共轭.分析 可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种方法进行证明解法1(P 1P 2，P 3P 4)=))(())((14232413x x x x x x x x ----=)76)(39()79)(36(----=-1 解法2 将P 1，P 2，P 3，P 4写成齐次坐标，则P 1（3，1，1），P 2（7，5，1），P 3（6，4，1），P 4（9，7，1）可以写作P 3（24，16，4），P 4（-18，-14，-2）于是 P 3 =P 1 +3P 2 P 4 =P 1 -3P 2∴(P 1P 2，P 3P 4)=33-=-1 例4 求证：一角的两条边与这个角的内外角平分线调和共轭.证法1 利用共点直线成调和共轭的定义进行证明.如图4-6所示，角的两边为A ，B ，其内外角平分线分别为l 1，l 2(AB ，l 1l 2)=)()(21abl abl （ABl 1）=1（ABl 2）= -1∴ (AB ，l 1l 2) = -1SA B图4-6证法2 用代数法设取原点在三角形SAB 内部，A ×B 分别在A ，B 直线上.设SA 的法线方程为0=α，设SB 的法线方程为0=β，为了求内角分线l 1和外角分线l 2方程，利用角平分线的几何特性，设P （x ，y ）为角平分线l 1上的任一点，则它们到A ，B 的距离相离，即α=β或βα=或βα-=取l 1为βα=即0=-βα，即11=λl 2为βα-=即0=+βα，即12-=λ∴( AB ，l 1l 2)=121-=λλ 证法3 根据定理，如图4-7，若用直线l 1 // l 2求截角的两边A ，B 分别交A ，B 于A ，B ，交l 1于T 1，交l 2于T ∞，则由l 1和l 2互相垂直，可知S T 1⊥l 1，又l 1为角平分线，由初等几何定理，可知△SAB 为等腰三角形，且有A T 1=T 1B ，即T 1为AB 中点，根据定理知(AB ，T 1T ∞)=-1(AB ，l 1l 2 )=-1SA T 1 Bl A l 1 B图4-7例5 若A ，B ，C ，D 为共线四点，且（AB ，CD ）=-1，CD 中点为O ，求证O C 2=O A ·O B证明 (AB ，CD )=1-=⋅⋅AD BC BD AC 即AC ·BD +BC ·AD = 0把AC ，BD ，BC ，AD 都以0为原点表示，则有（O C -O A ）（O D -O B ）+（O D -O A ）（O C -O B ）= 0 整理得 2（O A ·O B +O C ·O D ）=(O A +O B )(O C +O D )而 O D =-O C∴ 2(O A ·O B -O C 2)=(O A +O B )(O D -O C )=0即 O C 2=O A ·O B例6 设三直线 1111c y b x a p ++=2222c y b x a p ++=3333c y b x a p ++=求证以p 1= 0，p 2= 0，p 3= 0为三边的三角形的重心由方程312212311312332)()()(p b a b a p b a b a p b a b a -=-=-给出.A l 31 B O p 3 C图4-8分析 如图4-8，ΔABC 三边AB ，AC ，BC 的方程分别为p 1= 0，p 2= 0，p 3= 0.设BC 边上中线A O 的方程q 3=0.过A 点作BC 的平行线l 3，则l 3的斜率为333b a k l -=. 由于l 3过p 1和p 2的交点A ，所以l 3可由p 1和p 2线性表示，即l 3的方程为0)(222111=+++++c y b x a c y b x a λl 3的斜率为2121b b a a λλ++- ∴ 332121b a b b a a -=++-λλ 32321313b a a b b a a b --=λ ∴ l 3的方程为023********=--+p b a a b b a a b p 由于l 3与BC 平行，所以l 3与BC 交于无穷远点L ∞，又D 为BC 中点，（BC ，D L ∞）= -1两条直线截同一线束，所得对应四点的交比不变，可得（p 1p 2，q 3l 3）=-1∴ q 3的方程为02323213131=--+p b a a b a b b a p同理q 1的方程为03131321212=--+p b a a b a b b a p 则q 1与q 3的交点为 312212131313232)()()(p b a b a p b a a b p b a a b -=-=-例7 已知A ，B ，C 三直线交于点P ，试用直尺作出第四条直线和它们成调和共轭.作法：如图4-9. A ，B ，C 三直线交于点P ，任作不通过P 点的直线l ，l 与直线A ，B ，C 分别交于A ，B ，C 三点，在P A 上任取一点M ，连B M 交P C 于N.连A N 交P B 于K ，连MK 交l 于P ，则有（AB ，CD ）=-1.连P D ，即为所求第四调和线D ，即（AB ，CD ）= -1PM B C DA N KlA CB D如图4-9例8 已知三点形ABC 及平面上一点P （P 不在ABC 的任一边上）.A P ，B P ，C P 与对边交于A '，B '，C '，且BC 与B 'C '交于A 1，CA 与C 'A '交于B 1，AB 与A 'B '交于C 1. 如图4-10.求证：（1）（BC ，AA '）= -1，（CA ，B 1B '）= -1（2）A 1，B 1，C 1三点共线.证明（1）由完全四点形C 'AB 'P 的调和性，可知（BC ，A 1A '）= -1又（B ，C ，A 1，A '）∧（A ，C ，B '，B 1）∴（CA ，B 1B '）=（AC ，B 'B 1）=（BC ，A 1A '）= -1（2）由三点形ABC 和A 'B 'C '的对应点连线共点P ，由笛沙格定理可知，对应边交点A 1，B 1，C 1共线.B 1 PAC B 'A 'B A 1C '图4-10例9 巴卜斯命题：设A 1，B 1，C 1与A 2，B 2，C 2为同一平面内两直线上的两组共线点，B 1C 2与B 2C 1交于L ，C 1A 2与C 2A 1交于M ，A 1B 2与A 2B 1交于N.如图4-11.求证L ，M ，N 共线.证明A 1B 1N D C 1M ELA 2B 2C 2 O图4-1∵（B 1，D ，N ，A 2）∧（O ，C 2，B 2，A 2）∧（B 1，C 2，L ，E ）∴（B 1，D ，N ，A 2）∧（B 1，C 2，L ，E ）由于两点列底的交点B 1自对应，有（B 1，D ，N ，A 2）∧（B 1，C 2，L ，E ）因此DC 2，NL ，A 2E 三直线共点M.即L ，M ，N 共线. □例10 如果三角形中一个角平分线过对边中点，那么这个三角形是等腰三角形. 证明 如图4-12，由于M 为AB 中点，C N ∞为外角平分线，则有（AB ，C N ∞）= -1∴（AB M ）= -1，（AB N ∞）= 1即 1-=BMAM1=MB AM 而 1==BCAC MB AM 从而，AC =BC .□C N ∞A MB N ∞ 图4-12。

空间几何的射影变换在日常生活中，我们经常面对空间的变换，如照相机拍摄的照片、镜子中的影像等。

这些现象都与几何变换密切相关，其中，射影变换是其中一个重要的变换类型。

在本文中，我们将讨论空间几何的射影变换及其应用。

一、射影变换的基本概念射影几何是解决欧几里德几何中所无法解决的问题的一种方法，它不要求平行线有相交点，也不要求垂直线相交成直角。

在射影几何中，平行线也可能相交，万物是相互联系的，没有孤立的存在。

被称为射影变换的变换是由一组变换组成的，这些变换可以通过投影、切比雪夫变换和对合来定义。

它们可以将几何图形中的点、直线和平面进行映射，并保持它们的基本性质。

射影变换也被称为单个射影坐标系到另一个射影坐标系的变换。

二、射影变换的应用射影变换在计算机视觉、计算机图形学、航空航天技术和游戏开发等领域中经常被使用。

它是许多计算机视觉算法的重要组成部分，如物体检测、目标跟踪和姿态估计等。

在游戏开发中，射影变换用于创建虚拟世界中的相机视图，使玩家可以观察到游戏场景中的不同角度和位置。

另一个重要的应用是医学成像，如CT和MRI。

这些成像技术可以创建三维图像，从而更好地诊断疾病和故障。

射影变换在这些成像技术中扮演着重要的角色，因为它可以将成像平面与三维物体之间建立对应关系，从而实现准确的成像。

三、空间几何的射影变换实现在实现空间几何的射影变换时，需要使用矩阵变换来表示变换矩阵。

通常使用4×4的矩阵表示射影变换，其中前三行表示旋转和缩放，第四行表示平移和尺度变化。

假设有一个点(x,y,z,1)在进行变换时，只需将其分别乘以变换矩阵的每一行即可得到变换后的坐标。

在实际应用中，常用的射影变换包括投影变换、剪裁变换、变换到相机坐标系等。

投影变换用于将三维场景投影到一个二维平面上，常用于计算机图形学和计算机视觉中。

剪裁变换用于筛选出场景中实际可见的区域，同时去掉不必要的区域。

变换到相机坐标系用于将物体的坐标与相机的坐标建立对应关系，从而计算其在视角下的表现形式。

射影平面教学辅导一、教学要求1.知道无穷远元素，平面几何、射影几何的基本特征。

2.了解平面射影坐标系，熟练掌握齐次坐标与非齐次坐标之间的变换、线坐标的计算。

3.理解并熟练掌握笛沙格透视定理4.理解平面对偶原理。

重点：坐标变换、笛沙格定理。

难点：建立无穷远元素的概念。

二、典型例题讲解1．填空选择题１）射影对应把平行四边形变成（）．２）射影对应把矩形变成（）．３）射影对应把梯形变成（）．４）射影对应把三角形中位线变成（）．５）射影对应把三角形中线变成（）．解［理论］１）平行性质不是射影性质，在中心投影下会改变．２）单比不是射影性质，在中心投影下会改变．３）距离（长度）不是射影性质，在中心投影下会改变．４）角度不是射影性质，在中心投影下会改变．答：１）任意四边形．２）任意四边形．３）任意四边形．４）相交于两腰的任意一条直线．５）过这个顶点和对边上任意一点的直线．2．设OX，OY，OZ为三条定直线，A，B为二定点，其连线过O，点R为OZ上的动点，且直线RA，RB分别交OX，OY于点P，Q，求证：PQ通过AB上一定点．证明[关键]这个题目是要证明PQ的连线通过AB上一定点，属于三线共点问题，只涉及点和直线的结合性，可以利用“射影到无穷远”．[理论] 相交于影消线上的二直线，其象为二平行直线．取OAB 所在直线为影消线，经过中心投影之后，∞∞∞B A O 为无穷远直线，如图2所示， 则2211R P P R ，1221R R Q Q 为平行四边形．于是 2121//R R P P ，2121//Q Q R R ， 所以 2121//Q Q P P因此，11Q P 与22Q P 的象交于无穷远点， 所以，11Q P 与22Q P 相交于AB 上一定点．3．证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点．证明 [理论] 笛沙格定理：1．如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上．2．如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点．如图所示，若三点形ABC 与C B A '''的对应边BC 与C B ''的交点X ，AC 与C A ''的交点Y ，AB 与B A '' 的交点Z 共线，考虑三点形B XB '，A YA '， 由于XY 与AB ，B A ''都交于点Z ， 由笛沙格定理，三组对应边的交点C ，C ' ，O 共线， 于是A A '，B A '，C C '共线．4．设P ，Q ，R ，S 为完全四点形的顶点，A QR PS =⨯（PS 与QR 的交点为A ），B QS PR =⨯，C RS PQ =⨯，1A QR BC =⨯，1B RP CA =⨯，1C PQ AB =⨯，试证：1A ，1B ，1C 共线．证明 [理论] 笛沙格定理：1．如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上．2．如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点．如图所示．在三角形ABC 和PQR 中， 对应顶点的连线AP ，BQ ，CR 共点于S ， 由笛沙格定理，对应边的交点1A ，1B ，1C OMY2R 1P 1R BAZ2Q 1Q 2P X 题图第2题图第315．试求出下面各点的齐次坐标． （1）以43为方向的无穷远点． （2）013=++y x 上的无穷远点．解 （1）[理论] 一组直线kx y =上的无穷远点的齐次坐标为)0,,1(k . 于是，以43为方向的无穷远点的齐次坐标为)0,43,1( （2）[理论] )0,,(pk p 与)0,,1(k 表示同一个无穷远点的齐次坐标，即平行线相交于同一个无穷远点．)0,,1(k 为一组直线kx y =上的无穷远点的齐次坐标，因为013=++y x 平行于x y 3-=，所以013=++y x 上的无穷远点为)0,3,1(-．[注意] 平面内一组平行线相交于同一个无穷远点．所以，可以利用x y 3-=来求013=++y x 上的无穷远点．6．若存在，求下列各点的非齐次坐标．)1,4,2(-A ； )3,4,0(B ；)0,8,1(C ．解 [关键] 利用齐次坐标),,(321x x x 和非齐次坐标),(y x 之间的关系x x x =31，y x x =32，取03≠x ． [注意] 无穷远点没有非齐次坐标．)4,2(--．)34,0(．由于)0,8,1(C 的03=x ，所以C 是无穷远点，而无穷远点没有非齐次坐标．7．求下列各线坐标所表示的直线方程．]1,0,1[；]1,1,1[-；]2,2,2[-；]1,0,0[；]1,1,0[．解 [关键]将线坐标],,[321u u u 代入直线方程0332211=++x u x u x u 即得到直线方程． 将]1,0,1[代入0332211=++x u x u x u 得直线方程0101321=⋅+⋅+⋅x x x ，即031=+x x ．同理得到其它线坐标的直线方程，依次为0321=-+x x x ； 0222321=-+x x x ； 03=x ； 032=+x x7．求两点01143321=-+u u u 与035321=+-u u u 的连线的坐标． 解 [关键]利用两点),,(321a a a A =与),,(321b b b B =的连线的方程为0321321321=b b b a a a x x x两点A ，B 的连线的坐标为],,[122131132332b a b a b a b a b a b a ---．代入得1351143321--x x x ]29,58,29[---=于是，所求坐标为]29,58,29[---，或]1,2,1[．。

认识平面几何的射影变换与旋转变换教案平面几何是数学中的一个重要分支，它研究的是平面上的各种图形和它们之间的关系。

在平面几何中，射影变换和旋转变换是两个常见的变换方式。

本文将为大家介绍平面几何中的射影变换和旋转变换，并给出相应的教案。

一、射影变换1.1 什么是射影变换射影变换又称为投影变换，它是平面上的一种映射方式，将一个点或一组点映射到另一个点或一组点上。

射影变换可以通过线性变换和非线性变换实现。

其中线性变换包括平移、缩放、错切等，非线性变换包括对称、相似等。

1.2 射影变换的特点射影变换具有保持直线共线和保持比例关系的特点。

也就是说，经过射影变换后，原来共线的点仍然共线，并且线段的比例关系保持不变。

1.3 射影变换的应用射影变换在现实生活中有很多应用，如建筑投影、影像处理等。

在建筑投影中，射影变换可以实现将三维模型投影到二维平面上，以实现对建筑物的设计和展示。

在影像处理中，射影变换可以实现图像的裁剪、变换、扭曲等操作。

二、旋转变换2.1 什么是旋转变换旋转变换是平面上的一种变换方式，它通过旋转角度将一个图形绕某个旋转中心进行旋转。

旋转变换可以使图形保持原有形状和大小，只是位置和方向发生改变。

2.2 旋转变换的特点旋转变换具有保持形状和大小不变的特点，也就是说，在旋转过程中，图形的所有边长和角度保持不变。

2.3 旋转变换的应用旋转变换在日常生活中有很多应用，如地球自转、电风扇旋转等。

在地球自转中，地球绕自身的轴线进行旋转，形成昼夜交替。

在电风扇旋转中，电风扇的叶片绕中心旋转，产生风力。

三、射影变换与旋转变换教案3.1 教学目标通过本节课的学习，学生将了解射影变换和旋转变换的基本概念和特点，并能灵活应用于解决实际问题。

3.2 教学内容（1）射影变换的定义和特点；（2）射影变换的应用案例分析；（3）旋转变换的定义和特点；（4）旋转变换的应用案例分析。

3.3 教学过程（1）导入：通过引入平面几何中的平移变换，帮助学生理解射影变换和旋转变换的概念；（2）讲解：通过教师讲解射影变换和旋转变换的定义和特点，引导学生理解并记住相关知识；（3）案例分析：通过展示射影变换和旋转变换在实际生活中的应用案例，激发学生的学习兴趣，并培养学生分析和解决问题的能力；（4）练习：设计一系列练习题，让学生巩固所学知识，并提高应用能力；（5）总结：通过课堂小结，帮助学生对本节课的内容进行总结和归纳。

射影与射影变换的性质与应用射影几何是几何学的一个分支，主要研究高维空间中的射影与射影变换的性质与应用。

射影几何的研究对于空间形态的描述和数学建模具有重要的意义。

本文将介绍射影与射影变换的基本概念、性质以及在几何学和计算机图形学中的应用。

一、射影的基本概念射影是指从一个几何对象映射到另一个几何对象的操作。

在射影几何中，我们使用齐次坐标来描述几何对象。

齐次坐标是指用n+1个数表示n维空间中的点，通过对这些数进行比例变换可以得到等价的点。

例如，在二维平面中，一个点的齐次坐标可以表示为(x, y, 1)，其中x和y是点在平面上的坐标。

二、射影变换的性质射影变换是指通过矩阵乘法对几何对象进行映射的操作。

射影变换具有以下性质：1. 保直线性：射影变换将直线映射为直线，保持直线上的所有点的次序关系。

2. 保比例性：射影变换将平行线段映射为平行线段，并且保持线段之间的比例关系。

3. 保交比性：射影变换可以保持射影空间中的交比关系，即一组点的交比在变换后保持不变。

4. 保角度性：射影变换可以保持两条直线之间的夹角不变。

5. 组合性：射影变换可以通过矩阵乘法的组合实现。

三、射影与射影变换在几何学中的应用1. 透视投影：透视投影是一种射影变换，将三维场景投影到二维平面上。

透视投影在计算机图形学中广泛应用于生成逼真的虚拟场景。

2. 图像处理：射影变换可以用于图像的旋转、缩放和扭曲等操作，以及图像的透视校正和纠正。

3. 几何建模：射影变换可以用于对三维几何模型进行旋转、平移和缩放等操作，以及模型的投影和透视变换。

四、射影与射影变换在计算机图形学中的应用1. 三维渲染：射影变换在三维渲染中用于将三维物体的坐标映射到二维屏幕上，实现真实感的显示。

2. 图形变换：射影变换在图形变换中用于对图形图像进行旋转、平移、缩放和扭曲等操作。

3. 图像合成：射影变换可以用于对多个图像进行叠加和融合，生成新的合成图像。

五、射影与射影变换的应用案例1. 虚拟现实：射影变换在虚拟现实中用于实现真实感的三维场景投影和交互。

射影变换、仿射变换、欧式变换、相似变换、等距变换射影变换组成了⼀个群，这个群被称为射影变换群。

仿射变换是射影变换的⼦群。

欧式变换（旋转+平移+等⽐缩放）是仿射变换的⼦群。

相似变换和等距变换则是欧式变换的⼦群。

0.射影变换定义由有限次中⼼射影的积定义的两条直线间的⼀⼀对应变换称为⼀维射影变换。

由有限次中⼼射影的积定义的两个平⾯之间的⼀⼀对应变换称为⼆维射影变换。

性质——交⽐不变性如果平⾯上点场的点建⽴了⼀个⼀⼀对应，并且满⾜：（1）任何共线三点的象仍是共线三点；（2）共线四点的交⽐不变。

则这个⼀⼀对应叫做点场的射影变换，简称射影变换。

矩阵表⽰⽤H表⽰，H为3×3的可逆实矩阵，虽然有9个未知数，但只有8个⾃由度（只与具体⽐率有关），其中h31与h32不为0是它与仿射变换的本质区别，它使得仿射变换的⾮线性效应。

可以把⼀个H分解为：H=SAP,其中S为相似变换，A为仿射变换，P为射影变换。

变换前后共点，共线，交⽐，相切，拐点，切线的不连续性和岐点保持不变。

注：n×n可逆实矩阵称为⼀般线性群GL(n)，当把相差⾮零纯量因⼦的矩阵都视为等同时，便得到射影映射群，记为PL(n)，在平⾯射影变换时为PL(3)。

射影变换矩阵表⽰：H = { h11, h12, h13h21, h22, h23h31, h32, h33 }其中当最后⼀⾏为（0，0，1）时的变换为仿射变换，在仿射的前提下，当左上⾓2×2矩阵正交时为欧式变换，左上⾓矩阵⾏列式为1时为定向欧式变换。

1、等距变换：它相当于是平移变换和旋转变换的复合，⽤R表⽰变换矩阵，R为3×3矩阵，R={{r11,r12,tx},{r21,r22,ty},{0,0,1}}左上⾓2×2矩阵为旋转部分，tx和ty为平移因⼦，它有三个⾃由度，即旋转，x⽅向平移，y⽅向平移。

等距变换前后长度，⾯积，线线之间的⾓度都不变。

2.相似变换它相当于是等距变换和均匀缩放的⼀个复合，⽤S表⽰变换矩阵，S为3×3矩阵，S={{s*r11,s*r12,tx},{s*r21,s*r22,ty},{0,0,1}}左上⾓2×2矩阵为旋转部分，tx和ty为平移因⼦，它有4个⾃由度，即旋转，x⽅向平移，y⽅向平移和缩放因⼦s。

射影变换4.1 点列和线束点列和线束定义．两个矢量),,(321a a a 和),,(321b b b 表示不同的点当且仅当这两个矢量线性无关． 在两点A ),,(321a a a 与B ),,(321b b b 的连线上任意一点),,(321x x x X 满足0321321321=b b b a a a x x x即，三点A ),,(321a a a ，B ),,(321b b b 与),,(321x x x X 共线的充分必要条件是0321321321=b b b a a a x x x以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=；以m l ,为基线的线束中，任何一直线p 都可以表示为m l p μλ+=，用齐次坐标可以表示为m l m l p λλμ'+=+=．练习4－1１．已知A 和B 的齐次坐标分别为)1,1,5(和)1,0,1(-，求直线AB 上一点C ，使1)(-=ABC ，若B A C λ+=，求出λ．解利用非齐次坐标),(y x 与齐次坐标),,(321x x x 之间的关系31x x x =，32x xy =．这时，)1,5(),(=y x A ，)0,1(),(-=y x B ，再利用BC AC ABC =)(．115-=+-x x ，解得2=x，101-=--y y ，解得21=y ．即)21,2(=C ，C 点的齐次坐标为)1,21,2(． 因为B A C 2121+=，所以 1=λ． 注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=． ２．试证明：三点),,(321x x x ，),,(321y y y ，),,(321z z z 共线的充分必要条件为0321321321=z z z y y y x x x 证明三点),,(321x x x ，),,(321y y y ，),,(321z z z 共线的充分必要条件为λ=--=--=--333322221111y z x z y z x z y z x z所以0332211321332211321321321=-------=y z y z y z y y y x z x z x z z z z y y y x x x４．已知直线0143=++y x 与02=+y x ，求过两直线的交点与点)0,1,2(的直线方程．解两直线0143=++y x 与02=+y x 的交点为)5,1,3(112143321--=x x x 于是点)5,1,3(--与点)0,1,2(的直线方程为05105012513321321=+-=--x x x x x x即05105321=+-x x x ．4.2 点列和线束的交比定义4.2设D C B A ,,,为点列上共线的四点，则这四点的交比为ADBC BDAC CD AB ⋅⋅=),(．定理 4.１取A 和B 为基点，将D C B A ,,,四点的坐标依次表示为a ，b ，b a 1λ+，b a 2λ+，则四点的交比为21),(λλ=CD AB ． 定理4.２若D C B A ,,,四点的坐标为)4,3,2,1(21=+i P P i λ，21,P P 点列上两个基点，则),(),(432124142313λλλλλλλλλλλλ=----=CD AB定理4.３将某两点互换，同时互换其余两点，则交比不变．即),(),(),(),(BA DC AB CD DC BA CD AB ===定理4.４只在一对点中互换，交比转为其倒数．即),(1),(CD AB DC AB =，),(1),(CD AB CD BA =定理4.５交换中间两点，则交比为１与原值的差，即),(1),(CD AB BD AC -= 定义4.３当1),(-=CD AB 时，称D C ,调和分割线段AB ．调和分割的关系是对等的．因为1),(),(-==CD AB AB CD ，所以，B A ,也调和分割线段CD ，有时也称D C B A ,,,为调和点列．定义4.４称21λλ为四直线d c b a ,,,的交比，记为),(cd ab ．即 =),(cd ab 21λλ．注意：用齐次坐标之间的关系定义交比，点列的交比与线束的交比在形式上完全一致．定理4.６设四直线d c b a ,,,，若b a c 1λ+=，b a d 2λ+=，则=),(cd ab 21λλ． 定理4.7若四直线q p a 1μ+=，q p b 2μ+=，q p c 3μ+=，q p d 4μ+=，则 424132314321),(),(μμμμμμμμμμμμ----==cd ab ．这个比值也称为数4321,μμμμ的交比．定理4.８两个点列经过中心投影，交比不变．练习4－2１． 设E D C B A ,,,,是同一直线上的五点，求证1),)(,)(,(=EC AB DE AB CD AB ．证明由交比定义ADBC BDAC CD AB ⋅⋅=),(，1),)(,)(,(=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=ACBE BCAE AE BD BE AD AD BC BD AC EC AB DE AB CD AB ．２．设C B A ,,三点的坐标分别为)1,1,1(，)1,1,1(-，)1,0,1(，且2),(=CD AB ，求点D 的坐标．解)1,1,1(=A ，)1,1,1(-=B ，则C B A ==+)1,0,1(2121，于是12=λ．设B A D 1λ+=，由2),(21==λλCD AB 可知，21=λ，所以)3,1,3(2-=+=B A D ．注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=． ３．求四点)1,1,2(-A ，)1,1,1(-B ，)0,0,1(C ，)5,5,1(-D 的交比),(CD AB ．解利用定理 4.1，取A 和B 为基点，将D C B A ,,,四点的坐标依次表示为a ，b ，b a 1λ+，b a 2λ+，则四点的交比为21),(λλ=CD AB ． 这里B AC +=，于是11=λ， B AD 32-=，于是232-=λ，由21),(λλ=CD AB 可知，32),(21-==λλCD AB ． 注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=． ７．试证：02321=+-x x x ，023321=-+x x x ，0721=-x x ，0531=-x x 所表示的四直线共点，并求这四直线的交比．解直线0721=-x x 与0531=-x x 的交点为)5,7,1(15017321=--x x x 点)5,7,1(满足四直线，所以，此四直线共点． 四直线与x 轴的交点分别为211-=x ，322=x ，03=x ，514=x ，所以，21),(4321=l l l l ．4.3 完全四点形和完全四线形完全四点形和完全四线形定义．定理4.6完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这个对角点的两边和对角三角形的两边．定理4.10完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这条直线上的两个顶点及对角三角形的两个顶点．练习4－3２．设XYZ 是完全四点形ABCD 的对边三点形，XY 分别交BD AC ,于M L ,，不用笛沙格定理，证明CM BL YZ ,,共点．证明由四点形ABCD ，根据定理可知，在AC 边上的四点L Y C A ,,,调和共轭， 即1),(-=YL AC ．在四点形YBZL 中，LB 与YZ 交于N ，MN 与YL 交于C '，由定理可得),(-='YL CA 所以，点C 应与点C '重合，即CM BL YZ ,,共点．4.4 一维基本图形的射影对应两个点列成射影对应的定义． 两个线束成射影对应的定义． 点列与线束成射影对应的定义．定理4.11 设两个一维基本图形成射影对应，则对应四元素的交比相等． 定理4.12 若两个一维基本图形对应四个元素的交比相等，则必成射影对应． 定理 4.13 如果已知两个一维图形的任意三对对应元素，那么可以确定唯一一个射影对应．练习4－4５． 若三角形ABC 的三边AB 、BC 、C A 分别通过共线的三点P ，Q ，R ，二顶点B 与C 各在定直线上，求证顶点A 也在一条直线上．证明根据图形(见第４题图)可知，题图）（第2Λ),,,(21ΛB B B ),,,(21ΛC C C ，则Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R在这两个射影线束中，PR是自对应元素，所 以Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R两透视对应的线束对应直线的交点Λ,,,21A A A 共线． 4.5 透视对应定义4.8点列和线束成射影对应，如果对应直线过对应点，这种特殊的射影对应称为透视对应，这时也这两个一维图形处于透视状态．定义4.9两个点列和同一个线束成透视对应，也就是说两个点列成中心射影对应，则称这两个点列成透视对应．定义4.10两个线束和同一个点列成透视对应，则称这两个线束成透视对应． 定理4.14两个射影对应的点列成透视的充要条件是：两个点列的公共点自对应． 定理4.15两个射影对应的线束成透视的充要条件是：两个线束的公共点自对应． 定理4.16(巴卜斯定理)设C B A ,,是直线l 上互异的三点，C B A ''',,是l '上互异的三点，那么三个交点C B C B L '⨯'=，B A B A N '⨯'=，A C A C M '⨯'=共线．定理4.17对于两个不共底的且不成透视对应的射影对应点列，用两次透视对应，可把第一个点列变成第二个点列．也就是说，射影对应是两个透视对应的复合．定理4.18设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应，那么用三次透视就可以彼此转换．即，这时的射影对应是三个透视对应的复合．题图）（第5A１．如图四边形ABCD 被EF 分成两个四边形AFED 和FBCE ，求证三个四边形ABCD ，AFED ，FBCE 的对角线交点H G K ,,共线．证明因为D ，E ，C 直线l 上互异的三点，A ，F ，B 是直线m 上互异 的三点，由定理4.16（巴卜斯定理），三个交点AE DF G⨯=，AC DB K ⨯=， FC EB H ⨯=共线．4.6 对合对应对合对应定义．定理4.19两个重叠的一维图形（点列、线束）q p μ+，q p μ'+成为对合对应的充分必要条件是：对应元素的参数μ和μ'满足0)(=+'++'d b a μμμμ其中02≠-b ad ．定理4.20不重合的两对对应元素，确定唯一一个对合对应．１．求参数为21→，20→的两对对应元素所确定的对合对应． 解利用定理 4.19，这里两对对应元素的参数μ和μ'分别为21,1='=μμ和2,0='=μμ，设0)(=+'++'d b a μμμμ为所求的对合对应，把两对对应参数值代入得）题图（第1DAFBCEGKHlm⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0202321d b d b a 解得2:1:1::-=d b a ，因此，这两对对应元素所确定的对合对应为02=-'++'μμμμ．。

(一) 1-1对应 11. 1-1对应的定义 12. 1-1对应的意义和性质 23. 1-1对应在数学中的应用44. 无穷集之间的1-1对应 45. 部分和整体的1-1对应, 无穷集的定义 96. 无穷远点. 点列和线束107. 轴束. 基本形 118. 三种基本形的六种透视对应129. 射影关系 1410. 1到无穷或无穷到1的对应1611. 平面点的无穷阶数 1712. 一阶与二阶无穷集 1713. 通过空间一点的所有直线1714. 通过空间一点的所有平面1815. 平面上所有的直线 1816. 平面系和点系 1917. 空间中的所有平面 1918. 空间中的所有点 2019. 空间系 2020. 空间中的所有直线 2021. 点与数之间的对应 2022. 无穷远元素 22（二）1-1对应基本形之间的关系 2523. 七种基本形 2524. 射影性 2525. Desargues 定理 2626. 关于二个完全四边形的基本定理 2727. 定理的重要性 2828. 定理的重述 2829. 四调和点概念 2930. 调和共轭的对称性 3031. 概念的重要性 3032. 四调和点的投影不变性3133. 四调和线 3134. 四调和平面. 3135. 结果的概要性总结 3236. 可射影性的定义 3337. 调和共轭点相互之间的对应3338. 调和共轭的元素的隔离3439. 无穷远点的调和共轭 3440. 射影定理和度量定理, 线性作图法 3541. 平行线与中点 3642. 将线段分成相等的n个部分3743. 数值上的关系 3744. 与四调和点关联的代数公式3745. 进一步的公式 3846. 非调和比（交比） 39(三)射影相关基本形的结合4147. 叠加的基本形, 自对应元素4148. 无自对应点的情况 4249. 射影对应的基本定理, 连续性假设 4350. 定理应用于线束和平面束4451. 具有一公共自对应点的射影点列 4452. 无公共自对应点的射影相关点列 4553. 透视对应的两个射线束4754. 透视对应的面束（轴束）4755. 二阶点列 4756. 轨迹的退化 4857. 两阶线束 4858. 退化情况 4859. 二阶圆锥面 49(四) 二阶点列 4960. 二阶点列与二阶线束 4962. 切线 5063. 轨迹生成问题的陈述 5064. 基本问题的解决 5165. 图形的不同构作法 5266. 将轨迹上四点连到第五点的直线 5267. 定理的另一种陈述形式5368. 更为重要的定理 5469. Pascal定理 5470. Pascal定理中点的名称的替换 5471. 在一个二阶点列上的调和点5672. 轨迹的确定 5673. 作为二阶点列的圆和圆锥线5674. 通过五点的圆锥曲线 5775. 圆锥线的切线 5876. 内接四边形 5977. 内接的三角形 6078. 退化圆锥线 61(五)二阶线束 6379. 已定义的二阶射线束 6380. 圆的切线 6381. 圆锥曲线的切线 6582. 系统的生成点列线 6583. 线束的确定 6584. Brianchon定理 6785. Brianchon定理中线的替换6886. 用Brianchon定理构造线束6887. 与一圆锥曲线相切的点6888. 外切四边形 6989. 外切三边形 7090. Brianchon定理的应用7091. 调和切线 7192. 可射影性和可透视性 7193. 退化情况 7294. 对偶律 72(六) 极点和极线 7595. 关于圆的极点和极线 7596. 圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹 7797. 更多的性质 7898. 极点极线的定义 7899. 极点与极线的基本定理78100. 共轭点与共轭直线 79102. 自配极三角形 79 103. 射影相关的极点与极线80104. 对偶性 81105. 自对偶定理 81106. 其他对应关系 82 (七) 圆锥曲线的度量性质83107. 直径与中心 83108. 相关的几个定理 83 109. 共轭直径 84110. 圆锥曲线的分类 84 111. 渐近线 84112. 有关的几个定理 85 113. 关于渐近线的定理 85115. 由双曲线及其渐近线切割的弦 86116. 定理的应用 86117. 由二条渐近线和一条切线形成的三角形 87118. 用渐近线来表示一个双曲线的方程 88119. 抛物线方程 88120. 参引共轭直径的有心圆锥线的方程 91(八) 对合(Involution) 9512 1. 基本定理 95122. 线性作图法 96123. 直线上点的对合的定义97124. 对合中的二重点 97125. 有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理 99126. 退化圆锥线 100127. 通过四点并与一已知直线相切的圆锥线 100128. 二重对应 100129. Steiner的作图方法101130. Steiner作图法在重对应中的应用 102131. 二阶点列中点的对合103132. 射线的对合 104133. 二重射线 105134. 通过一固定点与四线相切的圆锥线 105135. 双重对应 105136. 处于对合下的二阶射线束106137. 有关对合二阶射线束的定理 106138. 由一圆锥曲线确定的射线的对合 106139. 定理的陈述 106140. 定理的对偶 107 (九) 对合的度量性质 109 141. 无穷远点的引入; 对合的中心 109142. 基本度量定理 109 143. 二重点的存在 110 144. 二重射线的存在 112 145. 通过圆来构筑对合 112146. 圆点 113147. 对合中的正交射线对, 圆对合 114148. 圆锥线的轴 114149. 由一圆锥线确定的对合的点是圆点 115150. 圆点的性质 115151. 圆点的位置 116152. 寻找圆锥曲线的焦点117153. 圆和抛物线 117154. 圆锥线焦点性质 118 155. 抛物线的情况 119 156. 抛物面反射镜 119 157. 准线．主轴．顶点 119158. 圆锥线的另一种定义120159. 离心率 120160. 焦距之和与差 121 (十) 综合射影几何的历史123161. 早期成果 123162. 统一性原理 124163. Desargues 124164. 极点与极线 125165. 通过4点的二阶曲线的Desargues 定理 125166. 推广到空间的极点与极线理论 126167. 描述圆锥曲线的Desargues方法 126168. Desargues 工作的被接纳127169. Desargues时代的保守性127170. Desargues的写作风格128171. Desargues工作缺乏欣赏129172. Pascal与他的定理 129 173. Pascal的短评 130174. Pascal的独创性 130 175. De La Hire和他的工作131176. Descartes和他的影响132177. Newton和Maclaurin 133178. Maclaurin的证法 133 179. 画法几何与综合几何的二次复兴 134180. 对偶性, 同调性, 连续性, 偶然性联系 135181. Poncelet和Cauchy 135 182. Poncelet的工作 136 183. 解析几何妥欠综合几何的债 137184. Steiner和他的工作137185. Von Staudt和他的工作138186. 近期的发展 139附录 140参考文献148索引 151第1章 1-1对应1. 1-1 对应的定义【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应（One-to-One Correspondence）。