二次点列上的射影变换

(一)1-1对应 11. 1-1对应的定义 12. 1-1对应的意义和性质 23. 1-1对应在数学中的应用 44. 无穷集之间的1-1对应 45. 部分和整体的1-1对应, 无穷集的定义96. 无穷远点. 点列和线束107. 轴束. 基本形118. 三种基本形的六种透视对应129. 射影关系1410. 1到无穷或无穷到1的对应1611. 平面点的无穷阶数1712. 一阶与二阶无穷集1713. 通过空间一点的所有直线1714. 通过空间一点的所有平面1815. 平面上所有的直线1816. 平面系和点系1917. 空间中的所有平面1918. 空间中的所有点2019. 空间系2020. 空间中的所有直线2021. 点与数之间的对应2022. 无穷远元素22（二）1-1对应基本形之间的关系2523. 七种基本形2524. 射影性2525. Desargues 定理2626. 关于二个完全四边形的基本定理2727. 定理的重要性2828. 定理的重述2829. 四调和点概念2930. 调和共轭的对称性3031. 概念的重要性3032. 四调和点的投影不变性3133. 四调和线31 34. 四调和平面. 3135. 结果的概要性总结3236. 可射影性的定义3337. 调和共轭点相互之间的对应3338. 调和共轭的元素的隔离3439. 无穷远点的调和共轭3440. 射影定理和度量定理, 线性作图法3541. 平行线与中点3642. 将线段分成相等的n个部分3743. 数值上的关系3744. 与四调和点关联的代数公式3745. 进一步的公式3846. 非调和比（交比）39(三)射影相关基本形的结合4147. 叠加的基本形, 自对应元素4148. 无自对应点的情况4249. 射影对应的基本定理, 连续性假设4350. 定理应用于线束和平面束4451. 具有一公共自对应点的射影点列4452. 无公共自对应点的射影相关点列4553. 透视对应的两个射线束4754. 透视对应的面束（轴束）4755. 二阶点列4756. 轨迹的退化4857. 两阶线束4858. 退化情况4859. 二阶圆锥面49(四) 二阶点列4960. 二阶点列与二阶线束4962. 切线5063. 轨迹生成问题的陈述5064. 基本问题的解决5165. 图形的不同构作法5266. 将轨迹上四点连到第五点的直线5267. 定理的另一种陈述形式5368. 更为重要的定理5469. Pascal定理5470. Pascal定理中点的名称的替换5471. 在一个二阶点列上的调和点5672. 轨迹的确定5673. 作为二阶点列的圆和圆锥线5674. 通过五点的圆锥曲线5775. 圆锥线的切线5876. 内接四边形5977. 内接的三角形6078. 退化圆锥线61(五)二阶线束6379. 已定义的二阶射线束6380. 圆的切线6381. 圆锥曲线的切线6582. 系统的生成点列线6583. 线束的确定6584. Brianchon定理6785. Brianchon定理中线的替换6886. 用Brianchon定理构造线束6887. 与一圆锥曲线相切的点6888. 外切四边形6989. 外切三边形7090. Brianchon定理的应用7091. 调和切线7192. 可射影性和可透视性7193. 退化情况7294. 对偶律72(六) 极点和极线75 95. 关于圆的极点和极线7596. 圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹7797. 更多的性质7898. 极点极线的定义7899. 极点与极线的基本定理78 100. 共轭点与共轭直线79 102. 自配极三角形79103. 射影相关的极点与极线80 104. 对偶性81105. 自对偶定理81106. 其他对应关系82(七) 圆锥曲线的度量性质83 107. 直径与中心83108. 相关的几个定理83109. 共轭直径84110. 圆锥曲线的分类84111. 渐近线84112. 有关的几个定理85113. 关于渐近线的定理85 115. 由双曲线及其渐近线切割的弦86116. 定理的应用86117. 由二条渐近线和一条切线形成的三角形87118. 用渐近线来表示一个双曲线的方程88119. 抛物线方程88120. 参引共轭直径的有心圆锥线的方程91(八) 对合(Involution) 9512 1. 基本定理95122. 线性作图法96123. 直线上点的对合的定义97 124. 对合中的二重点97125. 有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理99126. 退化圆锥线100127. 通过四点并与一已知直线相切的圆锥线100128. 二重对应100129. Steiner的作图方法101 130. Steiner作图法在重对应中的应用102131. 二阶点列中点的对合103 132. 射线的对合104133. 二重射线105134. 通过一固定点与四线相切的圆锥线105135. 双重对应105136. 处于对合下的二阶射线束106137. 有关对合二阶射线束的定理106138. 由一圆锥曲线确定的射线的对合106139. 定理的陈述106140. 定理的对偶107(九) 对合的度量性质109 141. 无穷远点的引入; 对合的中心109142. 基本度量定理109143. 二重点的存在110144. 二重射线的存在112145. 通过圆来构筑对合112 146. 圆点113147. 对合中的正交射线对, 圆对合114148. 圆锥线的轴114149. 由一圆锥线确定的对合的点是圆点115150. 圆点的性质115151. 圆点的位置116152. 寻找圆锥曲线的焦点117 153. 圆和抛物线117154. 圆锥线焦点性质118155. 抛物线的情况119156. 抛物面反射镜119157. 准线．主轴．顶点119 158. 圆锥线的另一种定义120 159. 离心率120160. 焦距之和与差121(十) 综合射影几何的历史123 161. 早期成果123162. 统一性原理124163. Desargues 124164. 极点与极线125165. 通过4点的二阶曲线的Desargues 定理125166. 推广到空间的极点与极线理论126167. 描述圆锥曲线的Desargues方法126168. Desargues 工作的被接纳127 169. Desargues时代的保守性127 170. Desargues的写作风格128 171. Desargues工作缺乏欣赏129 172. Pascal与他的定理129 173. Pascal的短评130174. Pascal的独创性130175. De La Hire和他的工作131 176. Descartes和他的影响132 177. Newton和Maclaurin 133 178. Maclaurin的证法133179. 画法几何与综合几何的二次复兴134180. 对偶性, 同调性, 连续性, 偶然性联系135181. Poncelet和Cauchy 135 182. Poncelet的工作136183. 解析几何妥欠综合几何的债137184. Steiner和他的工作137 185. V on Staudt和他的工作138 186. 近期的发展139附录140参考文献148索引151第1章1-1对应1. 1-1 对应的定义【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应（One-to-One Correspondence）。

［课外训练方案］部分第一章、仿射坐标与仿射变换第二章、射影平面一、主要内容：基本概念：射影直线与射影平面；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素基本定理：德萨格定理：如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。

德萨格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共点对偶原理：在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。

二、疑难解析无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点. 此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点. 无穷远点记为P ，平面内原有的点叫做有限远点.无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点. 因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线. 一般记为l，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线.平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面. 若对仿射平面上无穷远元素(无穷远点、无穷远直线)与有穷远元素(有穷远点、有穷远直线)不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面.三、典型例题：1、求直线x 1 0 与直线x 3y 4 0 上无穷远点的齐次坐标解：( 1)直线x 1 0 即x 1它与y 轴平行所以位y 轴上的无穷远点(0,1,0)1 4 1(2) 由直线x 3y 4 0 得y x 故无穷远点为(1, ,0) 或( 3，1，0)3 3 32、求证：两直线x1 x2 x3 0 和2x1 x2 2x3 0 的交点C 与两点A( 3, 1,B2), ( 2三,点共线x1 x2 x3 0证明：解方程组：1 2 3的交点C(1, 4, 3)2x1 x2 2x3 0143因为行列式 3 1 2 0 所以三点共线2 5 53、试证：两共轭复点的连线是一实直线证明：设a=(u 1,u 2,u 3),与a (u 1,u 2,u 3)是共轭复点，两点连线为 l 由定理 a 在l 上，a 在l上，又 a 在l 上，所以 a 的共轭 a 也在直线 l 上u 1 u 1 ( u 1 )即u1 与u1 都为实数u 3 u 3 u 3 u 2 u 3所以 u 1:u 2 : u 3与一组实数成比例，即直线为实直线。

在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。

通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。

通过同一无穷远点的所有直线平行。

德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。

由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。

平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。

这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。

射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。

交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。

在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。

在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。

这两个图形叫做对偶图形。

在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。

这两个命题叫做对偶命题。

这就是射影几何学所特有的对偶原则。

在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。

同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。

研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。

如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。

比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。

第三章 射影变换与射影坐标本章首先引入射影不变量——交比。

然后在此基础上，讨论了一维基本形之间的射影对应与射影变换，以及二维射影对应和射影变换，还定义了一维和二维射影坐标。

§1 交比与调和比点列中四点的交比与调和比定义1.1 共线的四个不同点A ，B ，C ，D 的交比等于单比（ABC ）与单比（ABD ）的比，记作：（AB ，CD ），即（AB ，CD ）=)()(ABD ABC其中A ，B 叫基点偶，C ，D 叫分点偶。

交比又称交叉比和复比。

由交比和单比的定义，我们可AD BC BDAC BDAD BC ACABD ABC CD AB ⋅⋅===)()()(， 其中AC ，BC ，AD ，BD 是有向线段的数量。

我们不难得出：（1） 点偶C ，D 不分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹥0； （2） 点偶C ，D 分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹤0； （3） 当C ，D 重合时，（AB ，CD ）=1； （4） 当A ，C 重合时，（AB ，CD ）=0。

定理1.1 基点偶与分点偶交换，交比值不改变，即 （AB ，CD ）=（CD ，AB ） 证明 由定义1.1，（CD ，AB ）=),(CD AB BCAD BDAC CB DA DB CA =⋅⋅=⋅⋅ 定理1.2 基点偶的两个字母交换或分点偶的两个字母交换，交比的值变成原来的交比值的倒数，即（BA ，CD ）=（AB ，DC ）=),(1CD AB证明（AB ，DC ）=),(1)()(1)()(CD AB ABD ABC ABC ABD == 又（BA ，CD ）=（CD ，BA ）=),(1),(1CD AB AB CD =推论 同时交换每个点偶里的字母，交比的值不改变，即 （AB ，CD ）=（BA ，DC ） 定理1.3 交换中间的两个字母或两端的两个字母，交比的值等于1减去原来的交比值，即（AC ，BD ）=（DB ，CA ）=1－（AB ，CD ）证明（AC ，BD ）AD CB CD AB ⋅⋅=AD CB BD CB BC AC ⋅++=))(( AD CB BDAC CB BD CB AC ⋅⋅+++=)(AD CB BD AC ⋅⋅+=1=1+)(ADBC BDAC ⋅⋅-=1－（AB ，CD ）共线四点1，2，3，4一共有4！=24中不种的排列，所以有24个交比，根据交比的运算性质，它们只有6个不同的交比值，即（12，34）=（34，12）=（21，43）=（43，21）=m（21，34）=（34，21）=（12，43）=（43，12）=m1（13，24）=（24，13）=（31，42）=（42，31）=1－m（13，42）=（42，13）=（31，24）=（24，31）=m-11（14，23）=（23，14）=（41，32）=（32，41）=1－m 1（14，32）=（32，14）=（41，23）=（23，41）=1-m m例1 已知（P 1P 2，P 3P 4）=3，求（P 4P 3，P 2P 1）和（P 1P 3，P 2P 4）的值解 （P 4P 3，P 2P 1）= （P 2P 1 ，P 4P 3）=（P 1P 2，P 3P 4）=3 （P 1P 3，P 2P 4）=1－（P 1P 2，P 3P 4）=1－3=－2下面研究交比的代数表示定理1.4 一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1。

第1篇在几何学中，射影定理是一个重要的定理，它描述了三角形在射影变换下的性质。

射影变换是指将一个几何图形通过一定的方式映射到另一个几何图形上，而保持其某些性质不变。

本文将详细介绍任意三角形的射影定理，包括其定义、证明方法以及在实际应用中的重要性。

一、射影定理的定义射影定理是指在任意三角形中，从一个顶点到对边上的任意点作垂线，那么这个垂线段的长度与这个顶点到对边中点的距离之比等于从该顶点到对边另一端点的距离与从该顶点到对边中点的距离之比。

设三角形ABC，其中点D是BC边上的任意一点，点E是AD的垂足，点F是AC的中点。

根据射影定理，我们有：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}$$二、射影定理的证明证明射影定理有多种方法，以下介绍两种常见的证明方法：1. 构造辅助线法（1）作辅助线：在三角形ABC中，作辅助线DE，使得DE垂直于BC，交BC于点D。

（2）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。

根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。

（3）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。

（4）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。

（5）根据射影定理的定义，得到：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}2. 利用相似三角形法（1）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。

根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。

（2）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。

（3）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。

（4）根据相似三角形的性质，我们有：$$\frac{AE}{AF} = \frac{DE}{FC}$$（5）由于DE=BC，FC=AC/2，代入上式得到：$$\frac{AE}{AF} = \frac{BC}{AC/2} = \frac{AB}{AF}$$三、射影定理的应用射影定理在几何学、工程学、物理学等领域都有广泛的应用。

射影定理证明射影定理是代数学中非常重要的一个定理，它在研究代数结构和代数变换时具有广泛的应用。

本文章将对射影定理进行详细的解释和证明，以期帮助读者更深入地理解射影定理的核心思想和应用。

首先，我们来了解一下射影变换的概念。

射影变换是指在二维平面或三维空间中，将任意一条直线或射线映射为另一条直线或射线的变换。

射影变换可以将无穷远处的点映射到有限远处或相反，因此它可以将有限点集变换为具有无穷远点的点集。

在这个过程中，射影定理所关注的是一些特殊的点集，它们由直线或射线所包含。

在理论研究中，我们通常将这样的点集称为“射线”或“直线”，而不管它们是否有穷远点。

在这个意义上，我们可以将射线看作是一些具有方向的“向量”，它们可以表示为起始点加上方向的形式。

在形式化的研究中，一个“射线”可以被表示成一个形如(a,b,c)的三元组，其中a、b和c分别表示“起始点的x坐标”、“起始点的y坐标”和“方向向量的斜率”（如果它存在）。

接下来，我们提出了射影定理的核心思想：它是一个关于“点集和射影变换”的定理，指出如果一个点集在进行完射影变换后，依然保持线性的结构，那么这个点集就被称为“射影空间中的点集”。

换言之，射影定理指出了一个点集何时是“射线”或“直线”的判断标准：当它在射影变换下仍为“射线”或“直线”时，我们才可以把它看作是一个“射线”或“直线”。

接下来，我们详细地说明射影定理的证明过程。

具体来说，我们考虑将一个任意的点集进行射影变换（指已知点集和它们对应的线性关系，计算变换后的射线方程或直线方程），并且假设该点集在射影变换前是一个线性子空间。

根据射影变换的定义，我们可以得到一个矩阵M，它将所有的坐标表示和方向矢量变换为另一个表示方式和矢量。

此外，我们加入一个额外的列（行）以表示“无穷远点”。

这表示了所有“射线”或“直线”的共同性质：它们具有无限的长度，其中包括无穷远处的一些点。

通过使用矩阵M来将我们的原始点集和坐标表示变换为新的点集和坐标表示，我们可以得到一个新的“线性子空间”，其中包括原始点集和无穷远点。