八年级数学下册第六章平行四边形4多边形的内角和与外角和第2课时多边形的外角和教案北师大版.doc

多边形的内角和与外角和课题4. 多边形的内角和与外角和（二）课型教学目标【知识与技能】经历探索多边形的外角和公式的过程;会应用公式解决问题；【过程与方法】培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力．【情感态度与价值观】让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．重点多边形外角和定理的探索和应用难点多边形外角和定理的探索和应用教学环节本节课分成6个环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：问题解决；第三环节：多边形的外角和外角和；第四环节：巩固练习；第五环节：课时小结；第六环节：布置作业。

二次备课新课导入第一环节创设情境，引入新课问题：（多媒体演示）清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。

（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？（3）在上图中，你能求出∠1+∠2+ ∠3+ ∠4+∠5的结果吗？你是怎样得到的？第二环节问题解决小亮是这样思考的：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′，OB′，OC′，OD′，OE′，得到∠α，∠β，∠γ，∠δ，∠θ，其中，∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．ABC D EA'B'C'D'E'1 2345O∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°问题引申：1．如果广场的形状是六边形那么还有类似的结论吗？2．如果广场形状是八边形呢？课程讲授第三环节多边形的外角与外角和1．多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。

2．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。

探究多边形的外角和，提出一般性的问题：一个任意的凸n边形，它的外角和是多少？鼓励学生用多种方法解决这个问题，可以参考第二环节解决特殊问题的方法去解决这个一般性的问题。

北师大2011课标版八年级下册设计课题：多边形的外角和一、学情分析1.学生的认知基础在前一课时“多边形的内角和”的学习中，学生已经掌握了多边形的内角和公式，且在探究内角和公式的过程中进一步体会到转化、类比、从特殊到一般等数学思想的应用，所以具备了进一步本节内容的知识和方法基础.2.活动经验基础随着几何知识的深入学习，学生已经基本具备了几何问题解决的合情推理及演绎推理能力.加上八年级的学生“善于倾听、乐于分享、勇于挑战、敢于质疑”的性质特征．因此对于学习本节内容的技能条件已经成熟，学生参加探索活动的热情已经具备，所以尝试在本课中融入“独学、对学、群学”三大研学方式助力活动探索.二、教材分析本节内容是八年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与多边形内角和、三角形外角定理等知识紧密联系、一脉相承.同时，相较七年级的几何问题探究初探，本章在问题的探究上更讲究环环相扣，层层递进；渗透类比、化归、从特殊到一般等重要的数学思想方法.在教材的编写意图上，强调“观察--发现--猜想--证明”严谨的论证过程，回归数（360°）与形（任意多边形）的完美结合.三、教学目标（课标要求）1.经历对实际情境问题的抽象，建立模型思想，了解多边形的外角、外角和概念.2.经历探索多边形外角和公式的过程（观察--发现--猜想--证明），进一步发展合情推理能力及演绎推理能力，体会从特殊到一般的数学思想方法.3.能运用外角和公式解决一些实际问题，感受数学的价值与魅力.4.鼓励学生倾听、分享、质疑、挑战，提升数学表达能力及与人合作交流能力.核心素养：模型思想、几何直观、推理能力、应用意识四、目标叙写1.通过探究1，经历对实际情境问题的抽象，建立模型思想，认识多边形的外角、外角和，体会学习多边形的外角和的必要性；2.通过探究2，经历观察--发现--猜想--证明，获得多边形的外角和公式，体会类比、化归、从特殊到一般的数学思想方法；3.通过环节3，“例题”的学习，能运用外角和公式解决问题，并体会外角和与内角和的内在关联.五、学习重难点重点：多边形外角和公式的探索及应用.难点：灵活应用多边形外角和解决问题.六、学习方法：自主、合作、探究（独学、对学、群学）；七、教学辅助：PPT、几何画板、思维导图54321A B C D E八、教学过程环节一 感受新知：问题元素-侧重数学思考［问题情境］新闻链接：春光无限好，学子齐健身！祁连山下，弱水湖畔，众多学子正跑步健身！其中，小明同学选择了沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，满满的朝气！引发数学爱好者提问：（1）小明每跑完一圈，跑步方向改变的角是哪几个？它们的和是多少？（2）如果是六边形、七边形广场呢？（问题引申）设计意图：创设具体的问题情境，促使学生进行学科思考（观察、直观猜想）并充分表达.同时，让生活与数学建立关联，进而体会学习本课课题的必要性所在.本情境改编自教材的情境引入，但增加了新闻这一载体，一方面增加学生的主人翁意识，另一方面激发学生思考的兴趣.同时，在“跑步健身”中学习，渗透德育，倡导正能量.环节二 探究新知：探究元素-侧重方法结论探究1：多边形外角、外角和概念活动：（1）尝试将上述情景抽象成数学模型；（2）问题1：图中的1∠叫什么，12∠+∠+∠设计意图：①引导学生将实际问题情境抽象为数学模型，运用模型思想分析并解决问题.②学生可凭经验识别出1∠为外角，再类比已经习得的三角形的外角概念（《八年级上 数学第七章》）得到多边形的外角概念，再回归教材，验证自己的猜想.同时，借助“形”直观认知一个项点处有2个外角，互为对顶角且外角与内角的互为邻补角关系.③多边形外角和概念的学习，则是通过抓关键字“每个顶点处取一个外角”深化，并认识到12345∠+∠+∠+∠+∠则为五边形的外角和.进而自然揭示本课最核心的问题则是探索多边形的外角和.探究2：多边形的外角和公式 问题2：你将如何探究多边形的外角和？预设：生1：类比多边形的内角和探究（从特殊到一般）：132BC A 生2：利用度量、拼角等实验探究法研究；生3：通过特殊的正多边形研究……问题3：你对多边形的外角和有何猜想？为什么？预设：生1：外角和为某个具体的角度；生2：外角和会随着边数的增加，而进行一定的变化（类似于内角和）.设计意图：问题2旨在引导学生构建“问题探究”的框架思维，利用已有的学习经验为未知问题的探究铺路，化陌生为熟悉.问题3则是鼓励学生对问题进行猜想，以激发后续的探究，更有目的性和针对性！探究2.1三角形的外角和活动1：学生借助任务单对三角形的外角和进行探究 ①独立思考：形成结论；②组内交流：探讨证明方法的多样性和科学性；③展示质疑：全班分享、互动交流. 证明方法预设： （1）合情推理：度量、拼角等实验探究法；（2）演绎推理：利用多边形内角和公式计算；利用三角形的外角定理；利用过一点作平行线转移 角（构造周角）活动2：老师利用几何画板动态展示、直观呈现三角形的外角和为360°.探究2.2 四边形的外角和活动3：①学生运用上述方法逐一探究四边形的外角和；②学生问答：经历独立探究后，先由学生表达对某种证明方法的困惑.如四边形能否利用外角定理进行证明，如何利用作平行线进行证明？再由会的学生展示证明思路.探究2.3 五边形的外角和活动4：学生用最喜欢的方式探究探究2.4 n 边形的外角和学生主动生成结论： n 边形的外角和为360°.设计意图：多边形外角和公式的探究是本课的核心之所在.此环节的探究分纵向和横向两条线走；纵向上，从三角形到n 边形，遵循了从特殊到一般的探究原则，在研究主体变化过程中，学生体会到方法的迁移及外角和恒定的数字规律.横向上，对于每一个图形外角和的研究，都不拘泥于单一的方法，而是在简单图形中追求方法的全面（代数方法和几何方法，即数形结合），在复杂图形中追求方法的科学（代数法）.随着多边形边数的增加，面临着形的复杂化，应引导学生由形象思维过渡到逻辑思维，运用算理解决问题.环节三 应用新知：应用元素-侧重如何思考例1：（1）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，它是几边形？（2）一个正多边形的一个内角为144°，则这个正多边形的内角和为 .例2：如图，小明从点O 出发，前进m 5后向右转24°，再前进m 5后又向右转24°，这样一直走下去，直到他第一次回到出发点O 为止，他所走的路径构成了一个多边形.（1）小明一共走了 米；（2）这个多边形的内角和是 度.设计意图：例1（1）乃教材156页的例题，旨在利用多边形内角和与外角和的数量关系建立方程解决问题； 例1（2）是“老题新做”.在学习完前一课时多边形的内角和后就遇到过此类问题，但学完外角和后，此题既可从内角和出发，又可从外角和出发，且后者更为简单.通过此题，学生可以提炼出表示正多边形的每个内角的方法：①n n ︒⋅-180)2(；②n︒-︒360180 例2则是一个利用外角和解决的实际问题，让学生体会到数学来源于生活，更服务于生活的理念；同时亦能洞悉复杂生活中不变的数学原理.环节四 梳理总结：整理元素-侧重目标错点由学生从知识、方法、解题策略等角度自主梳理本课的收获，谈困惑；教师利用思维导图展示本课的核心知识和方法.设计意图：梳理是对一堂课的回顾和反思，借助这一环节，能引导学生完善知识体系，对探究问题的思想方法有更深刻的认同.而思维导图的展示更能看到本课的框架之所在.环节五 达标检测：评价元素-侧重达标人数1.若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是 .2.若一个正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的内角和为 .3.如图，在五边形ABCDE 中， 321∠∠∠，，为其中的三个外角，且︒=∠+∠+∠215321；BA 、DE 的延长线交于F 点，则F ∠的度数为 .设计意图：巩固在例题中所收获的知识及方法：1、2题和例1两个小题恰好一一对应，可借此评价学生一节课的听课效果和过手情况；3题重点考察学生在形上对外角及外角和的直观识别及应用.环节六 拓展应用新闻链接：跑步跑出“360”，点点滴滴皆学问！据悉，学子们以“小明的五边形跑步”为载体，经历观察--发现--猜想--验证，进而得到多边形外角和恒为360°的事实。

多边形的外角和一、教材分析本节内容是多边形相关知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与多边形内角和、三角形外角定理、平行线的性质等知识紧密联系。

前面的知识和上一节课探究多边形内角和的方法为本节课的学习做了铺垫，从三角形的外角和到多边形的外角和环环相扣，层层递进。

本节课渗透类比、转化、从特殊到一般、方程、建模等重要的数学思想方法，强调“观察--猜想--归纳--推理证明”严谨的论证过程，发展学生的合情推理能力.二、学情分析在上一节的学习中，学生已经掌握了多边形的内角和公式，对如何探究多边形内角和的问题有了一定的认识，在探究内角和公式的过程中进一步体会到转化、类比、从特殊到一般等数学思想方法的应用，具备了进一步本节内容的知识和方法基础.随着几何知识的深入学习，学生已经基本具备了解决几何问题的合情推理和演绎推理能力，同时八年级学生的好奇心、求知欲强，具备了参加探索活动的热情，所以尝试在本节课采用“观察--猜想--归纳--推理证明”的论证过程，从三角形出发，进而研究四边形、五边形......n边形的外角和，让学生在探索和实践中获得知识，发展思维，培养解决问题的能力.三、教学任务分析通过以上的教材分析和学情分析，确定本节课的教学目标：1.经历探索多边形外角和公式的过程，会应用公式解决问题；2. 渗透类比、转化、从特殊到一般、方程、建模等重要的数学思想方法，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力．3. 通过多边形外角和的猜想、归纳、推理等一系列过程，体验数学活动的探索性，增强学习数学的兴趣.教学重点多边形外角和定理的探索和应用．教学难点多边形外角和公式的推导过程，灵活运用公式解决简单的实际问题；类比、转化、从特殊到一般、方程、建模等重要的数学思想方法的渗透.四、教法和学法分析教法分析：本节课以“创设情境，提出问题——建立模型——形成概念，从特殊到一般——独立思考——合作交流——推理证明——例题讲解——达标测试”为主线展开，引导学生从已有的数学经验和探究方法出发，通过独立思考，合作交流共同探讨解决问题的方法，体会类比、转化、从特殊到一般、方程、建模等重要的数学思想方法，经历探索多边形外角和公式的过程，为今后进一步学习几何知识打下良好的基础.学法分析：本节课采用独立思考，小组合作，交流展示的学习方法，观察--猜想--归纳--推理证明等数学活动，亲自参与获取知识和技能的全过程，大胆表达自己的想法，发展自己的思维，丰富数学活动经验，学会探究，学会学习.教学过程复习提问——情境导入——合作探究——理论升华——例题精讲——谈收获——课后延伸.一、引入新课1.复习引入同学们，观察生活中的多边形，你能找到你熟悉的多边形吗？上节课我们学习了多边形的内角和，多边形的内角和怎么计算呢？设计意图：观察生活中的多边形，从生活中的图形抽象出数学模型，体会建模的数学思想，复习多边形内角和公式，为探究多边形的外角和做铺垫.2.情境导入我们说运动是健康的源泉，也是长寿的秘诀，小刚同学正沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针的方向跑步.小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？请在图上标出这些角;跑步方向改变的角一共有几个？这些角的和是多少？(∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=?)设计意图：选择学生最熟悉的跑步问题做背景，从小刚跑步的问题当中建立几何模型，找出跑步方向改变的角，这些角的和是多少呢？顺其自然的引出本节课的课题《多边形的外角和》.二、讲授新知环节一：观看视频，认识概念设计意图：通过观看视频，类比三角形外角的定义，认识多边形外角的概念和多边形外角和的概念.感受类比的数学思想.环节二：探究多边形外角和的的度数如何探究多边形的外角和？谈谈你的想法？预设：1.从特殊到一般：先研究三角形，再研究四边形、五边形、六边形......n边形.2.利用剪拼的办法3.利用测量的办法.......从特殊到一般设计意图：利用从特殊到一般的数学思想，研究三角形、四边形、五边形、六边形......n边形，为本节课的探究提供思路.活动1：三角形的外角和三角形的外角和等于________度？学生独立思考三分钟，小组合作,交流方法.结论：三角形的外角和等于360度.几何画板演示三角形的外角和设计意图：给学生充足的时间用不同的方法探究三角形的外角和，并把学生得到的方法汇集起来，为下一步探究四边形、五边形做准备，通过几何画板演示三角形的外角和，让学生更加直观的看到三角形外角和是360度.活动二：四边形的外角和四边形的外角和等于______度？请大家尝试用不同的方法探索结论：四边形的外角和等于360度.设计意图：有了三角形的探索方法做铺垫、搭台阶，学生就可以尝试用不同的方法探索四边形的外角和活动三：五边形的外角和五边形的外角和等于______度？选择你喜欢的方法探索结论：五边形的外角和等于360度.设计意图：有了三角形、四边形做铺垫，学生用自己喜欢的方法去探究五边形的外角和，不仅得到了结论也节省了时间.活动四：六边形的外角和猜想：六边形的外角和是多少度？动画演示六边形的外角和.结论：五边形的外角和等于360度.设计意图：有了三角形、四边形、五边形做铺垫，学生已经能初步猜测到六边形的外角和也是360度，在通过FLASH动画演示，学生就更加清楚明了的看到六边形的外角和就是360度.没有大胆的猜想就做不出伟大的发现n边形的内角和是多少度？猜想：n边形的外角和为360度.你能设法证明你的猜想吗？设计意图：学生通过探究发现三角形、四边形、五边形的外角和都可以利用其内角和公式求出外角和的度数是360度，顺其自然，n边形的外角和是n×180°−(n−2)×180°=360°猜想实践证明定理：多边形的外角和都等于360°三、例题讲解例1：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？设计意图：利用多边形外角和公式和方程的数学思想解决问题.四、课堂小结请从知识、方法、思想方面谈一谈本节课带给你的收获,你还有哪些困惑？五、课堂延伸数学是知识，数学是方法，数学更是一种思维方式！小新从A点出发前进5米，向左转40°，再前进5米，又向左转40°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时,（1）一共走了多少米？（2）小新走过的是一个几边形？内角和是多少度？外角和呢？设计意图：学生利用本节课学习到的内容感受到数学源于生活又用于生活，体会数学与生活的密切联系.六、板书设计七、作业布置必做题：P157页第1，2题选做题：P157页第4题。

北师大版八年级数学下册第六章平行四边形6.4 多边形的外角和一、学情分析在上一节的学习中，学生已经掌握了多边形的内角和公式，对如何探究内角和的问题有了一定的认识与研究，由于八年级学生的好奇心、求知欲强，互相评价、互相交流的积极性较高。

因此对于学习本节内容的知识条件已经成熟，学生也具备了参与探索活动的热情，所以考虑把这节课设计成一节探索活动课。

二、教学目标1、知识与技能经历探索多边形的外角和定理的过程；学会应用定理解决实际问题。

培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力。

3、情感态度与价值观让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造。

三、教学重难点重点：多边形外角和定理的探索和应用难点：理解多边形的内角和定理的推理，灵活运用多边形外角和定理解决简单的实际问题，体验转化的数学思想方法的渗透四、教学过程第一环节创设情境，引入新课一、复习旧知(1)三角形的外角和外角和的定义分别是什么？三角形的外角和等于多少度呢？A 、定义：三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫这个三角形的外角。

B 、定理：三角形的外角和等于360°C 、性质：每个外角与内角组成一个平角（180°）(2) 多边形的外角与外角和的定义是什么？A 、定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角B 、定义：多边形中取各顶点处的一个外角的和叫做多边形的外角和（3）三角形的外角和的推导：方法1：三角形外角和＝3×180°-180°＝360° 【拓展技法】三角形的外角和等于360º （∠1+ ∠ 2+ ∠ 3＝360º）【思考】：四边形的外角和又是怎么样呢？（利用几何画板演示）－－－四边形的外角和不随形状大小的改变而改变。

方法2：三角形外角和＝1周角＝360°作平行线将三个角集中在一方法2：四边形外角和＝∠1+ ∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 4 ＝360°方法1：四边形外角和 ＝4×180°-360°＝360°辅助线：平行线二、问题情境：（多媒体动态演示）清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。

6.4多边形的内角和与外角和一.学材再建构思路概述在本课时中，首先,由构成三角形的基本要素边、角入手，对定义、内角、外角、内角和进行回顾复习，让学生理清探究多边形内角和的基本“思路”即：通过连线的方式，将四边形分割为2个三角形，五边形分割为3个三角形，多边形分割成（n-2）个三角形，由三角形的内角和为180°，故得到多边形的内角和为（n-2）180°。

由三角形的内角与一个外角构成一个平角，在生长出三角形外角和为360°。

依此方式,探究四边形、五边形乃至多边形的外角都和为360°。

在确定了研究思路以后，教师引导学生一起探究四边形的内角和与外角和，学生在经历“探索—发现—猜想—归纳—验证”的过程后，自主建构研究思路以及研究方法。

小组合作探究五边形的内角和与外角和，最后独立探究n边形的内角和与外角和，从而顺利完成知识迁移.这种设计思路，使学生不仅体会到数学知识本身的内在逻辑关系，有助于学生形成一个完整的认知结构，也获得了研究数学问题的思想方法，更重要的是进一步发展了学生的学力，促进学生数学核心素养的发展.二. 教学内容的地位和作用从现阶段看，对多边形的探究其研究过程中所渗透的化归思想，观察猜想验证的研究方法，以及类比等数学思想是数学研究过程中的重要思想方法.同时，可以丰富学生对多边形的认识.三. 教学目标和目标解析1.《课程标准》的要求结合本课时内容，对照《课程标准》的要求如下：（1）了解多边形的定义、多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式。

2.教学目标:（1）了解多边形的定义，外角，掌握多边形内角和公式，外角和定理；（2）经历多边形内角和，外角和的探索过程，并能用公式进行有关的计算；（3）通过尝试从不同角度解决问题，体会转化的思想，积累研究变化过程中的数量关系的方法。

四. 教学重、难点分析1.教学重点：探究多边形的内角和公式和外角和定理；2.教学难点：探索多边形内角和公式，将多边形问题转化为三角形问题。