北京市八年级数学下册 多边形及其角度计算专题讲解 (新版)北师大版

角度计算综合专题讲解重难点易错点解析题一题面：（1）如图，线段AB 、CD 交于点O ，则∠A +∠C 和∠B +∠D 的关系如何？请证明. OABCD（2）如图，∠BOC 、∠A 、∠B 、∠C 有什么数量关系？请证明. AB OC（3）如图，在∠AOB 中有一点P ，从点P 向OA 、OB 引线段，交点分别为M 、N ，则∠AMP 、∠BNP 、∠O 、∠P 之间有什么数量关系？请证明.OM NA BP（4）如图，延长△ABC的边AB、AC分别至M、N，则∠MBC、∠NCB和∠A之间有什么数量关系？请证明.AB CM N对顶角相等三角形内角和180°三角形一个外角等于不相邻两外角和直角三角形两锐角互余金题精讲题一题面：（1）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．CE DB AF （2）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ．A B ED C角度综合计算，8字形、镖形、外角。

题二题面：如图，已知△ABC 中，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，BD 、CE 交于点O ，∠A =70°．（1）若∠ACB =40°，求∠BOC 的度数；（2）当∠ACB 的大小改变时，∠BOC 的大小是否发生变化？为什么？请写出证明过程．BC镖形题三题面：如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，请计算∠P的度数．P镖形题四题面：如图，将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使A、B落在六边形CDEFGH内部，若∠C+∠D+∠E+∠F=510°，则∠1+∠2等于多少度？AD E多边形内角计算 模型3思维拓展 题一题面：如图，将△ABC 沿DE 、FG 、HI 折叠，使三个顶点A 、B 、C 分别落在三角形内部点A ′、B ′、C ′处，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的和是多少？ 654321B'C'A'ABC ED F G I H模型3讲义参考答案重难点易错点解析题一答案：（1）∠A+∠C=∠B+∠D（2）∠BOC=∠A+∠B+∠C （3）∠AMP+∠BNP=∠O+∠P（4）∠MBC+∠NCB=∠A+180°金题精讲题一答案：（1）360°（2）180°题二答案：（1）125°（2）不变题三答案： 20°题四答案：60°思维拓展答案：360°。

第03讲_多边形的内角和与外角和知识图谱多边形的内角和与外角和知识精讲多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形多边形ABCDE为五边形∠B为该五边形的一个内角∠DCF为该五边形的一个外角凸多边形（1）画出多边形任何一条边所在直线，均不会穿过该多边形，该多边形称为凸多边形（2）否则为凹多边形（3）初中阶段我们只学习凸多边形凸多边形凹多边形ABCDEF外角和∵外角和+内角和=180n ∴外角和=180n -内角和 =180n -180（n -2） =360°∴多边形的外角和均为360°正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形正三角形（√）矩形（×）正方形（√）正五边形 正六边形四. 易错点1．一个多边形中的每个角都有两个外角，所以n 边形有2n 个外角2．三角形没有对角线，把多边形转化为三角形求解的常用方法是连接对角线 3．如果没有特殊说明，我们平时所说的四边形都是凸四边形三点剖析考点：1. 对角线条数；2. 内角和与外角和；3. 正多边形 重难点：1. n 边形形的对角线：一个顶点有(3)n -条对角线，共有(3)2n n-条对角线．2. 要计算正多边形的内角度数，除了可以拿内角和（(2)180n -⨯︒）除以边数（n ）以外，还可以通过利用外角和（360︒）除以边数（n ），得到一个顶点处外角的度数，再拿180减去它即可.易错点： 每个多边形在其一个顶点处对应的外角也都只有一个，它们的和等于360︒.对角线条数例题1、 若一个正n 边形的每个内角为144°，则这个正n 边形的所有对角线的条数是（ ） A.7 B.10 C.35 D.70 【答案】 C【解析】 ∵一个正n 边形的每个内角为144°， ∵144n=180×（n ﹣2），解得：n=10．60°FECBADP72°CDABO E这个正n边形的所有对角线的条数是：==35．内角和与外角和例题1、内角和为720◦的多边形是（）A B C DA.AB.BC.CD.D【答案】D【解析】解：设多边形边数为n，则：180（n﹣2）=720，解得：n=6，例题2、如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A.140米B.150米C.160米D.240米【答案】B【解析】∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°=15，∴小明一共走了：15×10=150米．例题3、如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选B．随练1、 如果一个多边形的边数增加1倍后，它的内角和是2160︒，那么原来多边形的边数是______ 【答案】 7【解析】 设原来多边形的边数是n ，则()221802160n -⨯︒=︒，解得7n =随练2、 一个多边形的每一个内角都是140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是_______ 【答案】 6【解析】 由于一个多边形的每一个内角都是140°，因此其外角都是40°，则这个多边形的边数为360940=，因此从九边形的每一个顶点出发的对角线的条数为936-=随练3、 已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ） A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 【答案】 C【解析】 暂无解析随练4、 在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002°，则这个多边形的边数为________ 【答案】 14或15【解析】 满足条件的多边形内角和只可能是2160°或2340°正多边形例题1、 若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是（ ） A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 【答案】 B【解析】 ∵一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，设这个多边形的边数为n ， 则依题意可得（n ﹣2）×180°+360°=1800°， 解得n=10，∴这个多边形是十边形．例题2、 若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】 B【解析】 因为多边形的内角和公式为（n ﹣2）•180°， 所以（n ﹣2）×180°=720°， 解得n=6，所以这个多边形的边数是6．拓展1、 下列说法中错误的有（ ）①各边都相等的多边形是正多边形．②多边形的外角和是指多边形所有外角相加的和．③四个内角均为直角的四边形是正四边形．④多边形的内角和与外角和均与边数有关．⑤正多边形的内角度数与边数无关．⑥多边形的内角和与外角和加起来，应为边数与180°的乘积． A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】 D【解析】 只有⑥是正确的，其余说法均错误2、 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）A.7B.7或8C.8或9D.7或8或9【答案】 D【解析】 设内角和为1080°的多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=1080°，解得：n=8． 则原多边形的边数为7或8或9．3、 如图，105A ∠=︒，48B ∠=︒，，77BCD ∠=︒，求D ∠．【答案】 31°【解析】 如图，延长DC ，交AE 于点F ．∵77BCD ∠=︒，∴103FCB ∠=︒． 则()360104AFC A B FCB ∠=︒-∠+∠+∠=︒， ∴31D AFC E ∠=∠-∠=︒．4、 如图，小明从点A 出发，向前走2米，左拐20︒，再向前走2米，再左拐20︒，如此下去，小明能否回到出发点A ？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？【答案】 能回到出发点，第一次回到出发点共走了36m ．【解析】 根据题意可知，小明所走的路线为一个正多边形，其边数为3601820=，即左拐18次后回到出发点．因此小明从点A 出发，第一次回到出发点共走了18236⨯=（m ）．73E ∠=︒EDCBAFEDCBAA222220︒20︒20︒。

也。

者未闻有以家待之者国者未闻有以国待之者也，失其家失去家贵者安”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则。

失其乎？贫，谓子伏谒。

子击出，遭田子方于道，下车子方不为礼。

子击怒方曰：“富贵者骄人贱者骄人乎？学科：数学专题：多边形及其角度计算xx 主讲教师：重难点易错点解析题一那么这个多边形的边数是多少？140°，题面：题面：已知，一个凸多边形的每一个内角都是内角和是多少？外角和是多少？每一个顶点出发有多少条对角线？共有多少条对角线？边形：n n2) °(内角和=180 °外角和=360n3每一个顶点出发的对角线=??3nn? =对角线总条数2正多边形：边长相等、内角相等金题精讲题一初中生物教案、试题、试卷 - 1 -也。

待之者失其家者未闻有以家者也，大夫而骄人则失去家。

失其国者未闻有以国待之去国；敢骄人亦贫贱贱者骄方曰：子方不遭田子子击出，方于道，下车伏谒。

为礼。

子击怒，谓子“富贵者骄人乎？贫人乎？”子方曰：“者骄人耳！富贵者安！国君而骄人，则失下列拼法中不能镶嵌成一正方形和正六边形纸片若干张，题面：现有边长相同的正三角形、）个平面图案的是（．正方形和正六边形A B．正三角形和正方形 C．正三角形和正六边形．正三角形、正方形和正六边形D镶嵌问题题二题面：下图是为某机器人编制的一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为m.初中生物教案、试题、试卷 - 2 -也。

有以家待之者国待之者也，失其家者未闻失去家！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则。

失其国者未闻有以贵者安曰：“乎？贫，谓子伏谒。

子击出，遭田子方于道，下车子方不为礼。

子击怒方曰：“富贵者骄人贱者骄人乎？”子方亦贫贱者骄人耳！富敢骄人多边形外角和题三题面：. 倍，则这个多边形的内角和是一个多边形对角线的条数等于边数的5(1). 150°，那么这个多边形的对角线数目是(2)一个多边形的每一个内角都等于ppnm则边边形有(3)过边形的一个顶点有4条对角线，边形没有对角线，条对角线，pnm. )数为(+的正多边形每一个内角的度数是初中生物教案、试题、试卷- 3 -也。

北师版八年级下册6.4多边形及其内角和１基本概念⑴多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．⑵多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．⑶多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．⑷多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．⑸多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．⑹多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．⑺正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．⑻凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．２基本性质⑴稳定性．⑵内角和与外角和定理．如下图，n边形的内角和为(2)180n≥，多边形的外角和都是360︒．n-⨯︒(3)⑶ n 边形的对角线：一个顶点有(3)n -条对角线，共有(3)2n n-条对角线． ⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于180︒．模块一 多边形的对角线【例1】 如果一个多边形共有27条对角线，则这个多边形的边数是 ． 【解析】略 【答案】9．【巩固】已知从n 边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边之长．【解析】提示：根据对角线条数先判断边数，在设未知数列方程求解． 【答案】567891011，，，，，，．【巩固】已知一个多边形的对角线的条数为边数的2倍，求该多边形的边数． 【解析】提示：设边数为x ，则()322x xx -=．【答案】7【例2】 一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形是（ ）边形．分割成(n-2)个三角形求内角和n 个平角-内角和【解析】设多边形有n条边，则根据题意可列：(3)2n nn-=，解得n1=5，n2=0（舍去），故多边形的边数为5．【答案】C．【巩固】一个n边形的边数增加一条，那么它的对角线增加条．【解析】略【答案】1；【例3】从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（）【解析】从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n-2）．【答案】C【巩固】一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数（）【解析】通过分析可知，n-2=12，则n=14．【答案】A．模块二多边形的内角和与外角和内角和【例4】已知一个多边形的内角和是540︒，则这个多边形是( )A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【解析】略【答案】Ｂ．【巩固】一个多边形共有14条对角线，则它的内角和为___________.【解析】一个n 边形，从一个顶点出发，有()3n -条对角线，故共有()132n n -条对角线，于是有()13142n n -=，从而7n =，∴这个三角形的内角和为()72180900-⋅︒=︒【答案】900︒【例5】 在四边形ABCD 中，60D ∠=︒，B ∠比A ∠大20︒，C ∠是A ∠的2倍，求A ∠，B ∠，C ∠的大小． 【解析】设(度)，则，．根据四边形内角和定理得，． 解得，，∴，，．【答案】，，【巩固】如图，已知在一次科技活动中，需要将一张面积为210cm 的四边形四角都剪去一个扇形的区域，扇形的半径均为1cm ，求剩余纸张的面积．【解析】四边形ABCD 的内角和为360︒，故四个扇形的面积和等于π，∴剩余纸张的面积为10π-． 【答案】10π-【例6】 一个凸多边形的内角中，最多有 个锐角．x A =∠20+=∠x B x C 2=∠360602)20(=++++x x x 70=x ︒=∠70A ︒=∠90B ︒=∠140C ︒=∠70A ︒=∠90B ︒=∠140C DCB A【答案】3【巩固】如果一个多边形的边数增加1倍后，它的内角和是2160︒，那么原来多边形的边数是 ． 【解析】略 【答案】7【巩固】如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n 个多边形中，所有扇形面积之和是 (结果保留π)．【解析】略 【答案】π2n ． 外角和【例7】 若一个正多边形的一个外角是40︒，则这个正多边形的边数是( )A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】略 【答案】Ｂ【答案】已知一个五边形的外角度数之比为1:2:3:4:5，求它的内角大小．第3个第2个第1个【答案】60︒，84︒，108︒，132︒，156︒；【例8】 如右图，小明从点A 出发，向前走2米，左拐20︒，再向前走2米，再左拐20︒，如此下去，小明能否回到出发点A ？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？【解析】略【答案】能，36m ．【例1】 如图，讲六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使点A B ，落在六边形CDEFGH 内部，则下列结论正确的是（ ）A ．()129002C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠B ．()1210802CDEF ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ C ．()12720C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ D ．()1123602C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 【解析】如图，设FA 的延长线与CB 的延长线交于点P ，'GA 的延长线与'HB 的延长线交于点'P ，连接'PP ，由对称性知，12'22'APP BPP ∠=∠∠=∠，，A222220︒20︒20︒B'A'21FEDC BA∴122APB ∠+∠=∠， 又∵()540APB C D E F ∠=︒-∠+∠+∠+∠，∴()1210802C D E F ∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠．【答案】B模块三 正多边形与镶嵌知识点播：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．【例9】 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）A .正三角形B .正方形C .正五边形D .正六边形【解析】用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．不能铺满地面的是正五边形．【答案】C ．【巩固】若限于用同一种正多边形磁砖镶嵌（要求镶嵌的正多边形的边必须与另一正多边形的边重合），则不能镶嵌成一个平面的正多边形磁砖的形状是（ ） A 、正三角形 B 、正方形 C 、正六边形 D 、正八边形【解析】A 、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B 、正方形的每个内角是P'PB'A'21FEDCB A90°，4个能密铺；C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；D、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．【答案】D．【例10】有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（）A.4种B.3种C.2种D.1种【解析】①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面；②正方形的每个内角是90°，能整除360°，能够铺满地面；③正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能够铺满地面；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面；⑤正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能够铺满地面．【答案】B．【巩固】下列平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（）A.任意一种三角形B.任意一种正方形C.任意一种正五边形D.任意一种正六边形【解析】∵用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案，∴A、B能镶嵌平面的图形；C、任意一个正五边形的内角为108°，不能镶嵌平面的图形；∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图∴D能镶嵌平面的图形．【答案】C．【例11】下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（）A、B、C、D、【解析】A、从一个顶点处看，由正六边形和正三角形镶嵌而成的；B、从一个顶点处看，由正方形和正三角形镶嵌而成的；C、从一个顶点处看，由正六边形和正方形镶嵌而成的；D、从一个顶点处看，由正三角形、正方形、正六边形三种镶嵌而成的．【答案】D．【巩固】张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（）A、B、C、D、【解析】∵能够铺满地面的图形是内角能凑成360°，∵正三角形一个内角60°，正方形一个内角90°，正五边形一个内角108°，正六边形一个内角120°，只有正五边形无法凑成360°．【答案】C．【巩固】小莹家的地面是由一个小正方形和四个等腰梯形这样的正方形地板砖镶嵌而成的，小莹发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少（）A.8B.9C.11D.12【解析】由于正方形的一个内角为90°，同一顶点处等腰梯形的一个内角为：（360-90）÷2=135°，而八边形的内角为：180-360÷8=135°，那么小正方形的边长即为八边形的边长，画图如下．【答案】A．【例12】黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满．按第1，2，3个图案（如图）所示规律依次下去，则第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A、n2+n+2，2n+1B、2n+2，2n+1C、4n，n2-n+3D、4n，2n+1【解析】第1个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4，2×1+1=3；第2个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是2×4=8，2×2+1=5；第3个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是3×4=12，2×3+1=7；…第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4n，3+（n-1）×2=2n+1．【答案】D．1. 请你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把10边形分成（）个三角形．【解析】四边形可分割成4-2=2个三角形；五边形可分割成5-2=3个三角形；六边形可分割成6-2=4个三角形；七边形可分割成7-2=5个三角形，同理，10边形可分割成10-2=8个三角形【答案】82. 一凸n边形最小的内角为95︒，其它内角依次增加10︒，则n=_________．【解析】这个凸n边形的内角由小到大依次为95105115125︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，它的外角依次为857565554535︒︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，而这六个外角之和为857565554535360︒+︒+︒+︒+︒+︒=︒∴6n=．【答案】63. 已知小娟家的地板全由同一形状且大小相同的地砖紧密地铺成．若此地砖的形状是一正多边形，则下列何者不可能是此地砖的形状（）课后作业A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．【答案】C．。