2018年八年级数学下册 64 多边形的内角和与外角和 新版北师大版

6.4 多边形的内角和与外角和班级：姓名：〖学习目标〗1.掌握多边形内角和公式.2.了解多边形外角定义，并能准确找出多边形的外角.3.掌握多边形的外角和定理，利用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.〖重点难点〗重点：多边形内角和定理；多边形外角的含义；多边形外角和定理.难点：探索多边形内角和及外角和定理的过程；利用多边形内角和、外角和定理解决实际问题. 〖导学流程〗浅层加工一、复习回顾三角形的内角和等于___________，外角和等于____________.深度建构一、问题探究【探究活动一】多边形的内角和思考：我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？多边形内角和：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作_________条对角线，它们将n边形分为_________个三角形，n边形的内角和等于_______________.例1. 在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＋∠D＝280°，则∠B的度数是________例2. 如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C=180°.∠B 与∠D有怎样的关系? 学海拾贝直角坐标系中，总结纠错编号：初二—20200901 编制：审核：上课时间：即学即练1. 内角和为540°的多边形是()2. 将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，这两个多边形的内角和之和不可能是() A．360°B．540°C．720°D．900°3. 如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是__________.4. 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510°，则这个多边形对角线的条数是________.5. 一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是1620°，原来多边形的边数是() A．10B．11C．12D．以上都有可能6. 若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数是________．7. 如图，求∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．想一想：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？一般地，正n边形的每个内角的度数为______________.例3. 小彬求出一个正多边形的一个内角为145°. 他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由.即学即练1. 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是________.2. 若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是_________.【探究活动二】多边形的外角和如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角.(2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？想一想：如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？多边形外角的定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的_________，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．多边形外角和定理：多边形的外角和等于___________．例4. 已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数．即学即练1. 五边形的外角和等于__________.2. 已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是()A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形3. 如图，小华从点A出发，沿直线前进10 m后向左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是________.4. 设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的大小关系是()A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．b＝a＋180°5. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10 m后向左转30°，再沿直线前进10 m，又向左转30°……照这样走下去，小亮第一次回到出发地A点时，他一共走了________．多边形的内(外)角和与边数间的关系：（1）多边形的内角和与边数_______，且随着边数的增加而________．（2）多边形的外角和恒等于________，与边数的多少________.例5. 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？即学即练1. 已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为_______.2. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是()A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形3. 如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是_______.4. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是_______. 【融合应用】1. 如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为_________.2. 一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后原地逆时针方向旋转角α（0°＜α＜180°），被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为___________.3. 动手操作，探究：探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有什么关系？已知：如图1，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系.探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图2，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系.探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图3）呢？请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系：_____________________________________.。

《多边形的内角和与外角和》第1课时教学目标（一）教学知识点：1．理解多边形及正多边形的定义．2．掌握多边形的内角和公式．（二）能力训练要求1．经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．2．探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力．（三）情感与价值观要求经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系．教学重难点教学重点：多边形的内角和．教学难点：探索多边形的内角和公式过程．教学过程：一．巧设情景问题，引入课题：提问：若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导．（学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形）二．讲授新课1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可．多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图．把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形（如图（2）），图（1）的多边形是凹多边形，我们探讨的一般都是凸多边形．多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角．如图（3）多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．多边形的表示方法与三角形、四边形类似．可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图（3），可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA．好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题．（学生讨论、画图、归纳自己的方法）在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形．进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法．请同学们完成课本的“想一想”．（学生画图，归纳，猜想）（必须是大于3的自然数．）1．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形．2．正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形．下面大家想一想，议一议：分析：1．如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等．2．一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等．因此，正三角形的内角是：︒=︒⋅-603180)23(；正五边形的内角是：________________；正六边形的内角是：________________；正八边形的内角是：________________．三．知识运用：1．一个多边形的内角和为2520°，则多边形的边数为________________．四．课堂练习课本“随堂练习”如下图．（1）作多边形所有过顶点A 的对角线，并分别用字母表示出来．（2）求这个多边形的内角和．解：（1）如下图：过顶点A 的对角线是AC 、AD 、AE ．（2）从（1）图中可知：这个六边形被过顶点A 的对角线分割成四个三角形，所以，这个多边形的内角和为180°×4=720°．也可以利用多边形的内角和公式进行计算即：（6－2）×180°=720°．五．课时小结本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式．第2课时教学目标（一）教学知识点1．了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角．2．掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题．（二）能力训练要求1．经历探索多边形的外角和公式的过程．进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．2．探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力．（三）情感与价值观要求1．经历多边形外角和的探索过程，培养学生主动探索的习惯；2．通过对内角、外交之间的关系，体会知识之间的内在联系．教学重难点教学重点：多边形的外角和公式及其应用．教学难点：多边形的外角和公式的应用．教学过程一．巧设情景问题，引入课题清晨，小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步．（请同学们探讨解决，教师总结）下面大家来看小亮的思考：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ，其中：∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．（这五个角是五边形的外角，它们的和叫外角和．）我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和．二．讲授新课在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．一般地，在多边形的任一顶点处按顺（逆）时针方向可作外角，n边形有n个外角．刚才我们又研究了五边形的外角和，它为360°，那大家想一想：（学生讨论，得出结论）（六边形的外角和是360°，八边形的外角和是360°．）性质：多边形的外角和都等于360°．（请学生思考后回答）三．知识应用分析：这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用．根据题意，可列方程解答．（让学生动手解答）解得：n =8这个多边形是八边形．四．课堂练习（一）随堂练习解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是： 360°÷60°=6解：这种正多边形是正六边形，理由是：设：这个正多边形的一个内角为x °， 则由题图得：3x =360°．x =120°．再根据多边形的内角和公式得：n ×120°=（n －2）×180°．解得n =6．（二）试一试解：不存在，理由是：如果存在这样的多边形，设它的一个外角为α，则对应的内角为180°－α，于是： 51×α=180°－α，解得α=150°． 这个多边形的边数为：360°÷150°=2.4，而边数应是整数，因此不存在这样的多边形．解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角．理由是：设四边形的四个内角的度数分别为：α°，β°，γ°，δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，否则α、β、γ、δ都大于90°．α+β+γ+δ＞360°．同理最多能有三个小于90°．五．课时小结本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式．知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便．。