抛物线(2)

课时分层作业（十四) 抛物线的几何性质（二）(建议用时：60分钟）[基础达标练］1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则｜AF ｜·|BF |的最小值是( )A ．2B ． 2C ．4D ．2错误!C ［设直线AB 的倾斜角为θ，可得｜AF ｜＝错误!，｜BF |＝错误!，则｜AF |·|BF |＝错误!×错误!＝错误!≥4。

]2．已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( ）A ．x 2＝错误!yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3yD ［设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由错误!消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝错误!＝3，即a ＝3,因此所求的抛物线方程是x 2＝3y .]3．已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为错误!，则｜AB ｜的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4D[设A(x1,y1），B（x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，｜AF|＋|BF｜＝x1＋x2＋1＝4，由图可知｜AF|＋｜BF|≥｜AB｜⇒｜AB｜≤4,当且仅当直线AB过焦点F时，｜AB｜取得最大值4。

]4．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A,B两点，若|AB｜＝4，则弦AB的中点到直线x＋错误!＝0的距离等于( ) A．错误!B．2 C．错误!D．4C［易知直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点错误!，∴|AB｜为焦点弦．设A（x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点N错误!，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4。

∴错误!＝错误!.∴AB中点到直线x＋错误!＝0的距离为错误!＋错误!＝错误!。

]5．已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2错误!,则抛物线的方程为（）A．y2＝3x或y2＝－3x B．y2＝－3xC．y2＝6x D．y2＝6x或y2＝－6xA［设所求抛物线的方程为y2＝2mx（m≠0)，设交点A（x1,y1），B（x2，y2)(y1〉0,y2〈0)，则|y1｜＋|y2｜＝2错误!，即y1－y2＝2错误!，由对称性知y2＝－y1，∴y1＝错误!。

新高考数学复习考点知识专题讲解与练习专题60 抛物线（二）一、单项选择题1．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过F 且倾斜角为120°的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且|MN|＝43，则抛物线C 的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－32 D ．x ＝－32．已知抛物线C ：x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点M(1，y 0)在抛物线C 上，|MF|＝5y04，则tan ∠FAM ＝( ) A.25 B.52 C.54 D.453．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，a (a>0)在C 上，|AF|＝3.若直线AF 与C 交于另一点B ，则|AB|的值是( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．4.54．若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0，0) C ．(1，2) D ．(1，4) 5．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y1y2x1x2的值一定等于A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 26．已知抛物线C ：y 2＝4x 与直线y ＝2x －4交于A ，B 两点(点A 在点B 下方)，焦点为F ，则cos ∠AFB=A.45B.35 C ．－35 D ．－457．(2018·课标全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF|∶|FM|等于( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶ 2D ．1∶ 3 9．(2021·衡水中学调研)已知抛物线y 2＝4x ，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两个不同的点，则y 12＋y 22的最小值为( ) A ．12 B ．24 C ．16 D ．32 10．(2021·石家庄市模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M(3，0)．若△MAB 的面积为42，则|AB|＝( )A ．2B ．4C ．2 3D ．8 二、多项选择题11．(2021·山东高考实战演练仿真卷)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，以下四个结论中正确的是( ) A ．x 1x 2＝－4B ．|AB|＝y 1＋y 2＋1C ．∠A 1FB 1＝π2D ．AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为212．(2021·山东高考统一模拟)设M ，N 是抛物线y 2＝x 上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为－12，则( )A ．|OM|＋|ON|≥42B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过定点(2，0)D ．点O 到直线MN 的距离不大于2 三、填空题与解答题 13．(2021·山东高考统一模拟)已知抛物线y 2＝2px(p>0)与直线l ：4x －3y －2p ＝0在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若|AF →|＝λ|FB →|，则λ＝________． 14．(2020·郑州质检)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P(1，0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝PA →，则|AF|＋2|BF|＝________． 15．(2021·四川遂宁市高三三诊)已知点M(0，2)，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若AM →·FM→＝0，则点B 的纵坐标为________． 16．(2021·广西柳州模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF→＝3FB →，求直线AB 的斜率； (2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为点C ，求四边形OACB 面积的最小值．17．(2021·八省联考)已知抛物线y 2＝2px 上三点A(2，2)，B ，C ，直线AB ，AC 是圆(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋2y ＋1＝0B ．3x ＋6y ＋4＝0C ．2x ＋6y ＋3＝0D ．x ＋3y ＋2＝0 18．(2019·课标全国Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.(1)证明：直线AB 过定点； (2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．参考答案1．答案 D 解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线C 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，知AF ，BF 的中点的纵坐标分别为y12，y22，则|MN|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y22－y12＝12|y 2－y 1|＝43，所以|y 2－y 1|＝8 3.由题意知直线AB 的方程为y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x ，得y ＝－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫y22p －p 2，即3y 2＋2py －3p 2＝0，所以y 1＋y 2＝－2p 3，y 1y 2＝－p 2，于是由|y 2－y 1|＝83，得(y 2＋y 1)2－4y 1y 2＝192，所以⎝⎛⎭⎪⎫－2p 32＋4p 2＝192，解得p ＝6，p 2＝3，所以抛物线C 的准线方程为x ＝－3.故选D.2．答案 D 解析 过点M 向抛物线的准线作垂线，垂足为N ，则|MN|＝y 0＋p2＝5y04，故y 0＝2p.又M(1，y 0)在抛物线上，故y 0＝12p ，于是2p ＝12p ，解得p ＝12， ∴|MN|＝54，∴tan ∠FAM ＝tan ∠AMN ＝|AN||MN|＝45.故选D.3．答案 C 解析 结合抛物线的性质可得p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以点A 的坐标为(1，22)，所以直线AB 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线方程，计算B 的坐标为(4，－42)，所以|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝9.故选C.4．答案 A 解析 设与直线y ＝4x －5平行的直线为y ＝4x ＋m ，由平面几何的性质可知，抛物线y ＝4x 2上到直线y ＝4x －5的距离最短的点即为直线y ＝4x ＋m 与抛物线相切的点．而对y ＝4x 2求导得y ′＝8x ，又直线y ＝4x ＋m 的斜率为4，所以8x ＝4，得x ＝12，此时y ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1，即切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选A.5．答案 A 解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p24，y 1y 2＝－p 2，则y1y2x1x2＝－4.②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设直线AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p)x ＋p2k24＝0，则x 1x 2＝p24.∵y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4.又∵y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－p 2.故y1y2x1x2＝－4.故选A.6．答案 D 解析 ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1，0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点(点A 在点B 下方)，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4，4)，则FA →＝(0，－2)，FB →＝(3，4)，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－810＝－45.故选D.7．答案 D 解析 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F(1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x1x2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.8．答案 A 解析 方法一：抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝22（x －1），得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF|＝32，|MF|＝3，∴|NF|∶|MF|＝1∶2.故选A.方法二：抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝22（x －1），得y 2－2y －4＝0，解得y ＝22或y ＝－2，∴点N 的纵坐标为－ 2.过点M 作MM ′⊥x 轴，垂足为M ′，过点N 作NN ′⊥x 轴，垂足为N ′，则△MM ′F ∽△NN ′F ，∴|NF|∶|MF|＝|NN ′|∶|MM ′|＝|－2|∶22＝1∶2.故选A. 方法三：∵M(2，22)是抛物线上的点，且抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|MF|＝3.又1|MF|＋1|NF|＝2p ＝1，∴|NF|＝32，∴|NF|∶|MF|＝1∶2.故选A. 9．答案 D 解析 当直线的斜率不存在时，方程为x ＝4，由⎩⎨⎧x ＝4，y2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 12＋y 22＝32. 当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k(x －4)，由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝k （x －4），得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16， ∴y 12＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32. 综上可知，y 12＋y 22≥32. ∴y 12＋y 22的最小值为32.故选D. 10．答案 D解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 为(1，0)，可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1， 代入抛物线方程，可得y 2－4ty －4＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，可得y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，则|AB|＝1＋t2·|y 1－y 2|＝1＋t2·（y1＋y2）2－4y1y2＝1＋t2·16t2＋16， △MAB 的面积为12|MF|·|y 1－y 2|＝12×2|y 1－y 2|＝42，即16t2＋16＝42，解得t ＝±1，则|AB|＝1＋1·16＋16＝8.故选D. 11．答案 ACD解析 抛物线x 2＝4y 的焦点为F(0，1)，易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 为y ＝kx ＋1.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，A 正确； |AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2，B 不正确；FA1→＝(x 1，－2)，FB1→＝(x 2，－2)，∴FA1→·FB1→＝x 1x 2＋4＝0，∴FA1→⊥FB1→，∠A 1FB 1＝π2，C 正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(y 1＋y 2＋2)＝12(kx 1＋1＋kx 2＋1＋2)＝12(4k 2＋4)≥2.当k ＝0时取得最小值2，D 正确．故选ACD. 12．答案 CD 解析 不妨设M 为第一象限内的点，①当直线MN ⊥x 轴时，k OM ＝－k ON ，由k OM ·k ON ＝－12，得k OM ＝22，k ON ＝－22，所以直线OM ，ON 的方程分别为：y ＝22x 和y ＝－22x.与抛物线方程联立，得M(2，2)，N(2，－2)，所以直线MN 的方程为x ＝2，此时|OM|＋|ON|＝26， 以MN 为直径的圆的面积S ＝2π，故A 、B 不正确．②当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 与抛物线方程联立消去x ，得ky 2－y ＋m ＝0，则Δ＝1－4km>0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1y 2＝m k ，因为k OM ·k ON ＝－12，所以y1x1·y2x2＝－12， 则2y 2y 1＝－x 2x 1＝－y 22y 12，则y 1y 2＝－2，所以mk ＝－2，即m ＝－2k ， 所以直线MN 的方程为y ＝kx －2k ，即y ＝k(x －2)．综上可知，直线MN 为恒过定点Q(2，0)的动直线，故C 正确； 易知当OQ ⊥MN 时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2， 即原点O 到直线MN 的距离不大于2.故D 正确．故选CD. 13．答案 4解析 直线l ：当y ＝0时，x ＝p2，∴直线l 过抛物线的焦点，A ，F ，B 三点共线， 联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧y2＝2px ，4x －3y －2p ＝0，得8x 2－17px ＋2p 2＝0，解得：x A ＝2p ，x B ＝p 8，∴|AF|＝x A ＋p 2＝52p ，|BF|＝x B ＋p 2＝58p ，λ＝|AF→||FB →|＝4.14．答案 15解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．∵P(1，0)，∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，PA →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝PA →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)， ∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 12＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF|＋2|BF|＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝15.15．答案 －1解析 因为点M(0，2)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1，0)，所以k MF ＝2－00－1＝－2，由AM →·FM →＝0可得AM ⊥FM ，所以直线AM 的斜率k AM ＝12，所以直线AM 的方程为y －2＝12x ，即y ＝12x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋2，y2＝4x 化简得x 2－8x ＋16＝0，解得x ＝4，可得点A(4，4)， 所以直线AF 的斜率k AF ＝44－1＝43，所以直线AF 的方程为：y ＝43(x －1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x ，y ＝43（x －1），消去x 可得：y 2－3y －4＝0，解得y ＝－1或y ＝4，所以点B 的纵坐标为－1. 16．答案 (1)3或－ 3 (2)4解析 (1)依题意可得，抛物线的焦点为F(1，0)，设直线AB ：x ＝my ＋1，将直线AB 与抛物线联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y2＝4x ⇒y 2－4my －4＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.∵AF →＝3FB →⇒y 1＝－3y 2⇒m 2＝13，∴斜率为1m＝3或－ 3. (2)S 四边形OACB ＝2S △AOB ＝2×12|OF|·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝16m2＋16≥4，当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4. 17．答案 B解析 方法一(设而要求)：∵A(2，2)在抛物线y 2＝2px 上，∴4＝4p ，∴p ＝1，∴y 2＝2x ，过A(2，2)作圆C 的切线，设切线斜率为k.则切线方程为：y －2＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0.∴|2k －0－2k ＋2|k2＋1＝1，∴k ＝±3.当k ＝3时，切线方程为：y －2＝3(x －2)，联立⎩⎨⎧y －2＝3（x －2），y2＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8－433，y ＝233－2，则B ⎝⎛⎭⎪⎫8－433，23－63，当k ＝－3时，切线方程为：y－2＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y －2＝－3（x －2），y2＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋433，y ＝－233－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋433，－23＋63， ∴k BC ＝－12，y －23－63＝－12⎝⎛⎭⎪⎫x －8－433，即3x ＋6y ＋4＝0，故选B. 方法二(设而不求)：∵A(2，2)在抛物线y 2＝2px 上，∴4＝4p.∴p ＝1.∴y 2＝2x.设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b22，b ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c22，c ，则BC ：2x －(b ＋c)y ＋bc ＝0，AC ：2x －(2＋c)y ＋2c ＝0，可得：|4＋2c|4＋（2＋c ）2＝1，化简，得：3c 2＋12c ＋8＝0.同理，3b 2＋12b ＋8＝0，于是b ，c 是方程3t 2＋12t ＋8＝0的两个根，∴b ＋c ＝－4，bc ＝83，BC ：2x ＋4y ＋83＝0，即3x ＋6y ＋4＝0.故选B.18．答案 (1)证明略 (2)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4或x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2 解析 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A(x 1，y 1)，则x 12＝2y 1. 由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y1＋12x1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B(x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t(x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t2＋12. 由于EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t)平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4； 当t ＝±1时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.。

抛物线知识点总结（二）引言概述抛物线是一个常见的数学曲线，具有许多重要的性质和应用。

本文将介绍关于抛物线的知识点，包括焦点、直角坐标系中的方程、顶点、开口方向以及抛物线与直线的交点等内容。

正文内容一、焦点1. 定义：焦点是抛物线上所有点到准线的距离都相等的点。

2. 焦距：焦点到准线的距离被称为焦距，记为2p。

3. 焦点的坐标：对于纵轴开口的抛物线，焦点的坐标为(p, 0)；对于横轴开口的抛物线，焦点的坐标为（0, p）。

4. 焦半径：焦点到顶点的距离被称为焦半径，记为r。

5. 焦半径的性质：焦半径与焦距之间存在着特定的关系，即r=p/2。

二、方程1. 横轴开口的抛物线方程：y=a(x-h)²+k，其中(h, k)为顶点坐标，纵轴对称轴为x=h。

2. 纵轴开口的抛物线方程：x=a(y-k)²+h，其中(h, k)为顶点坐标，横轴对称轴为y=k。

3. 抛物线的一般方程：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数，且B² - 4AC ＜ 0。

4. 方程的性质：根据方程的形式，可以确定抛物线的开口方向、顶点坐标以及是否与坐标轴相交等信息。

5. 方程的变形：通过配方法或平方完成平方项，可以将抛物线方程转化为标准方程。

三、顶点1. 定义：顶点是抛物线上的最高点或最低点，也是抛物线的对称中心。

2. 顶点的坐标：顶点的横坐标即为方程中的h，纵坐标即为方程中的k。

3. 求顶点的方法：对于已知抛物线方程，可以通过将方程转化为标准形式，得到顶点的坐标。

4. 顶点与焦点的关系：焦点和顶点都是抛物线上的特殊点，它们之间有一定的几何关系。

5. 顶点的性质：顶点是抛物线的最值点，也是对称轴的中点。

四、开口方向1. 横轴开口：当抛物线以横轴为开口时，抛物线的方程为y=a(x-h)²+k。

2. 纵轴开口：当抛物线以纵轴为开口时，抛物线的方程为x=a(y-k)²+h。

第2课时 抛物线的简单几何性质一、抛物线的性质1．抛物线2y ＝2px(p>0)的简单几何性质(1)对称性：以－y 代y ，方程2y ＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.(5)范围：由y2＝2px ≥0，p>0知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p 值越大，它开口越开阔． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3.p 表示焦点到准线的距离，p >0.p 值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄。

4．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋p ；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝42p ，y 1·y 2＝2p.题型一、抛物线的对称性例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[解析] 如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2， 由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°.∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p . 于是|AB |＝2y 1＝43p . 例2、等腰Rt △ABO 内接于抛物线2y ＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是()A ．82pB ．42p C ．22pD ．2p[答案] B题型二、抛物线焦点弦的性质例3、斜率为2的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 解∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5. 例4、过抛物线2y ＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|的值为_____________．[答案] 10 题型三、最值问题例5、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[解析] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P 点，故最小值为22＋12，即 5. (2)如图把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1.此时，由抛物线定义知： |P 1Q |＝|P 1F |.那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4. 即最小值为4. 例6、定点M ⎪⎭⎫⎝⎛310,3与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,81 [答案] C例7、设抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．[正解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，当p >0时，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p ，由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝2，所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. 当p <0时，同理可得p ＝－2，∴F (－1,0)， ∴圆F 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°，由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p 6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形的对称性可知，坐标原点到m ，n 的距离的比值为3. 课后作业一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )A.214pB.212pC.136p D.1336p [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，直线F A 的方程为y ＝3(x －p 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝3(x －p 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32p y 1＝3p. ∴|OA |＝x 21＋y 21＝94p 2＋3p 2＝212p . 3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.4．抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( ) A.102B ．2 C. 5 D.52[答案] A[解析] F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32，∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102. 5．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0 B ．4x －3p ＝0 C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1， 即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.二、填空题6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是__________________．[答案] π4或3π4[解析] 设直线的倾斜角为θ，由题意得12＝2p sin 2θ＝6sin 2θ，∴sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22，∵θ∈[0，π)，∴θ＝π4或3π4.7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________________.[答案] 8[解析] 如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题8．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．9．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.。