[精品]2019学年高中数学课时跟踪检测二十概率的应用新人教B版必修04

2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（五）补集及综合应用 新人教B 版必修11．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则∁U (A ∩B )等于( ) A ．{2,3} B ．{1,4,5} C ．{4,5}D ．{1,5}解析：选B A ∩B ＝{2,3}．∴∁U (A ∩B )＝{1,4,5}．2．集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D ∵B ＝{x |x <1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}． ∴A ∩(∁R B )＝{x |1≤x ≤2}．3．已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A ．0或2 B ．0 C ．1或2D ．2解析：选D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.4．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{3,4,5}，B ＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( ) A ．A ∪B B ．A ∩B C ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )解析：选D ∵A ＝{3,4,5}，B ＝{1,3,6}， ∴A ∪B ＝{1,3,4,5,6}， 又U ＝{1,2,3,4,5,6,7}， ∴∁U (A ∪B )＝{2,7}．5．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x >2或x <－2}，N ＝{x |x ≥3或x <1}都是全集U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}解析：选A 阴影部分表示的集合为N ∩(∁U M )＝{x |－2≤x <1}，故选A.6．(湖南高考)已知集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：∁U B ＝{2}，A ∪(∁U B )＝{1, 3}∪{2}＝{1,2,3}． 答案：{1,2,3}7．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 解析：∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}，∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两个根， ∴m ＝－3. 答案：－38．已知全集U ＝R ，M ＝{x |－1<x <1}，∁U N ＝{x |0<x <2}，那么集合M ∪N ＝________. 解析：∵U ＝R ，∁U N ＝{x |0<x <2}， ∴N ＝{x |x ≤0或x ≥2}，∴M ∪N ＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤0或x ≥2} ＝{x |x <1或x ≥2}． 答案：{x |x <1或x ≥2}9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥52，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解：将集合A ，B ，P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x >3}，∴(∁U B )∪P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥52， ∴(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x <2}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <52＝{x |0<x <2}． 10．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )，∁U (A ∪B )． 解：如图所示．∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，U ＝{x |x ≤4}， ∴∁U A ＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}， ∁U B ＝{x |x <－3，或2<x ≤4}．A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}，A ∪B ＝{x |－3≤x ＜3}．故(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2，或3≤x ≤4}，A ∩(∁UB )＝{x |2<x <3}．∁U (A ∪B )＝{x |x <－3，或3≤x ≤4}．层级二应试能力达标1．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选B ∵U＝R，A＝{x|0<x<9}，∴∁U A＝{x|x≤0或x≥9}，又∵B＝{x∈Z|－4<x<4}，∴(∁U A)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1,0}共4个元素．2．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3<x≤4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x<4} D．{x|－1≤x≤3}解析：选A ∵∁U A＝{x|x<－2或x>3}，∁U B＝{x|－2≤x≤4}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3<x≤4}，故选A.3．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N等于( ) A．M B．NC．I D．∅解析：选A 因为N∩∁I M＝∅，所以N⊆M(如图)，所以M∪N＝M.4．已知集合A＝{x|x<3，或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为( ) A．a>3 B．a≥3C．a≥7 D．a>7解析：选A 因为A＝{x|x<3，或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a>3.5．设集合M＝{3,4,7,9}，N＝{4,5,7,8,9}，全集U＝M∪N，则集合∁U(M∩N)中的元素共有________个．解析：∵U＝M∪N＝{3,4,5,7,8,9}，M∩N＝{4,7,9}，∴∁U(M∩N)＝{3,5,8}，即共有3个元素．答案：36．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．解析：∵B＝{x|1<x<2}，∴∁R B＝{x|x≤1或x≥2}．又∵A∪(∁R B)＝R，A＝{x|x<a}．观察∁R B与A在数轴上表示的区间，如图所示：可得当a≥2时，A∪(∁R B)＝R.答案：{a|a≥2}7．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，若A∪B＝U，A∩B＝∅，且A∩(∁U B)＝{1,2}，试写出满足上述条件的集合A，B.解：∵A∪B＝U，A∩B＝∅，∴A＝∁U B，又A∩∁U B＝{1,2}，∴A＝{1,2}，∴B＝{3,4,5}．8．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．解：(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，所以A∪B＝{x|2≤x<10}．因为A＝{x|2≤x<7}，所以∁R A＝{x|x<2，或x≥7}，则(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2，所以a的取值范围是{a|a ＞2}．。

课时素养评价 二十二统计与概率的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品,若用C表示抽到次品这一事件,则对C的说法正确的是( )A.概率为B.频率为C.概率接近D.每抽10台电视机必有1台次品【解析】选B.事件C发生的频率为,由于只做了一次试验,故不能得出概率接近的结论.2.某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动,有人提议用如下方法选班:掷两枚硬币,正面向上记作2点,反面向上记作1点,两枚硬币的点数和是几,就选几班.按照这个规则,当选概率最大的是( )A.二班B.三班C.四班D.三个班机会均等【解析】选B.掷两枚硬币,共有4种结果:(2,2),(2,1),(1,2),(1,1),故选四班的概率是,选三班的概率为=,选二班的概率为,故选B.3.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类.在我国的云南及周边各省都有分布.春暖花开的时候是放蜂的大好季节.养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂,养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂.那么,生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理( )A.甲B.乙C.甲和乙D.以上都对【解析】选B.从养蜂人甲放的蜜蜂中,捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为,而从养蜂人乙放的蜜蜂中,捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为,所以,现在捕获的这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的可能性较大.4.在所有的两位数10～99中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.10～99中有90个两位数,这些两位数中,偶数有45个,10～99中有30个能被3整除的数,其中奇数有30÷2=15(个),所以所求的概率为=.二、填空题(每小题4分,共8分)5.某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检,共抽检了100套,发现有2套次品,试问该厂所生产的2 500套座椅中大约有________套次品.【解析】设有n套次品,由概率的统计定义,知=,解得n=50,所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品.答案:506.小明和小展按如下规则做游戏:桌面上放有5支铅笔,每次取1支或2支,最后取完铅笔的人获胜,你认为这个游戏规则________(填“公平”或“不公平”).【解析】当第一个人第一次取2支时,还剩余3支,无论是第二个人取1支还是取2支,第一个人在第二次取铅笔时,都可取完,即第一个人一定能获胜,所以不公平.答案:不公平三、解答题(共26分)7.(12分)现共有两个相同的卡通玩具,展展、宁宁、凯凯三个小朋友都想要.他们采取了这样的办法分配玩具,拿一个飞镖射向如图所示的圆盘,若射中区域的数字为1,2,3,则玩具给展展和宁宁,若射中区域的数字为4,5,6,则玩具给宁宁和凯凯,若射中区域的数字为7,8,则玩具给展展和凯凯.试问这个游戏规则公平吗?【解析】由题知,若射中1,2,3,7,8这5个数字,展展可得到玩具,所以展展得到玩具的概率是.同理宁宁得到玩具的概率是=;凯凯得到玩具的概率是,三个小朋友得到玩具的概率不同,所以这个游戏规则不公平.8.(14分)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.商品甲乙丙丁顾客人数100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率.(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?【解析】(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为=0.3.(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为=0.1,所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.(15分钟·30分)1.(4分)有五条线段,长度分别为2,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.从长度分别为2,3,5,7,9的五条线段中任取三条,基本事件总数为10,能够构成三角形的取法有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)三种,由古典概型概率计算公式可得:所取三条线段能构成一个三角形的概率为.2.(4分)甲、乙、丙、丁四人做相互传递球练习,第一次甲传给其他三人中的一人(假设每个人得到球的概率相同),第二次由拿球者再传给其他三人中的一人,这样共传了三次,则第三次球仍传回到甲手中的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.本题可用树形图进行解决,如图所示,共有27种结果,第三次球传回到甲手中的结果有6种.故所求概率为P==.3.(4分)在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为________.【解析】如图,在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点,共有15种选法,其中构成的四边形是梯形的有ABEF,BCDE,ABCF,CDEF,ABCD,ADEF,共6种情况,故构成的四边形是梯形的概率P==.答案:4.(4分)某汽车站,每天均有3辆开往南京的分为上、中、下等级的客车.某天袁先生准备在该汽车站乘车前往南京办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么他乘上上等车的概率为________.【解析】上、中、下三辆车的出发顺序是任意的,有上、中、下;上、下、中;中、上、下;中、下、上;下、上、中;下、中、上,6种情况,若第二辆车比第一辆车好,有3种情况:下、中、上;下、上、中;中、上、下,符合条件的仅有2种情况;若第二辆不比第一辆好,有3种情况:中、下、上;上、中、下;上、下、中,其中仅有1种情况符合条件.所以袁先生乘上上等车的概率P==.答案:【加练·固】据人口普查统计,育龄妇女生男生女是等可能的,随着国家放开二孩政策,人们生育二孩的积极性普遍提高,问一个二孩家庭两孩均是女孩的概率是 ( )A. B. C. D.【解析】选C.所含的基本事件总数为4,分别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以两孩均是女孩的概率为.5.(14分)在孟德尔豌豆杂交试验中,若用纯黄色圆粒和纯绿色皱粒作为父本进行杂交,试求子二代结果中性状分别为黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒和绿色皱粒的比例约为多少?【解析】记纯黄色圆粒为XXYY,纯绿色皱粒为xxyy,其中X,Y为显性,x,y为隐性,则杂交试验的子二代结果为:XY Xy xY xyXY XXYY XXYy XxYY XxYyXy XXYy XXyy XxYy XxyyxY XxYY XxYy xxYY xxYyxy XxYy Xxyy xxYy xxyy则黄色圆粒:XXYY个数为1,XxYY个数为2,XXYy个数为2,XxYy个数为4,即黄色圆粒个数为9.黄色皱粒:XXyy个数为1,Xxyy个数为2,即黄色皱粒个数为3.绿色圆粒:xxYY个数为1,xxYy个数为2,即绿色圆粒个数为3,绿色皱粒:xxyy个数为1.所以黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒、绿色皱粒的比例为9∶3∶3∶1.1.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的身份证号码的尾数是奇数吗?”敏感的问题是:“你服用过兴奋剂吗?”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.如我们把这种方法用于300个被调查的运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为________.【解析】因为掷硬币出现正面向上的概率为,我们期望大约有150人回答第一个问题.又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的,在回答第一个问题的150人中大约有一半人,即75人回答了“是”,另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂.因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂.答案:3.33%2.某重点高中拟把学校打造成新型示范高中,为此制定了很多新的规章制度,新规章制度实施一段时间后,学校就新规章制度的认知程度随机抽取100名学生进行问卷调查,调查卷共有20个问题,每个问题5分,调查结束后,发现这100名学生的成绩都在[75,100]内,按成绩分成5组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],绘制成如图所示的频率分布直方图,已知甲、乙、丙3人分别在第3,4,5组,现在用分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人对新规章制度作深入学习.(1)求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表).(2)求第3,4,5组分别选取的人数.(3)若甲、乙、丙都被选取对新规章制度作深入学习,之后要再从这6人中随机选取2人全面考查他们对新规章制度的认知程度,求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.【解析】(1)这100人的平均得分为=5××0.01+×0.07+×0.06+×0.04+×0.02=87.25.(2)第3组的人数为0.06×5×100=30(人);第4组的人数为0.04×5×100=20(人);第5组的人数为0.02×5×100=10(人),所以共有60人,用分层抽样在这三组中选取的人数分别为3,2,1.(3)记其他3人为丁、戊、己,则所有选取的结果为(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、(甲、戊)、(甲、己)、(乙、丙)、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、己)、(丙、丁)、(丙、戊)、(丙、己)、(丁、戊)、(丁、己)、(戊、己),共15种情况,其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况,所以所求概率为P==.。

3 模拟方法——概率的应用课时跟踪检测一、选择题1．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a ≤13的概率是( ) A ．13 B ．17 C ．310D ．710解析：P (a ≤13)＝13－1020－10＝310.答案：C2．在正方形ABCD 内任取一点P ，则使∠APB ＞90°的概率是( ) A ．π8B ．π4C ．π3D ．π6解析：如图，由题意知点P 落在以AB 为直径的半圆内时∠APB ＞90°，设正方形边长为2，则S 正方形＝4，S 半圆＝π2，∴P (A )＝π24＝π8.答案：A3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (3,0)，B (0,4)，C (0,0)，D 点的坐标为(2,0)，向△ABC 内部投一点P ，那么点P 落在△ABD 内的概率为( )A ．13B ．12C ．14D ．16解析：由题知△ABC 的面积为S ＝12×3×4＝6，△ABD 的面积为S △ABC －S △BCD ＝6－12×2×4＝2，所以点P 落在△ABD 内的概率为26＝13.答案：A4．平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23解析：由题知硬币的中心只能在距离两平行线1 cm 的位置运动，所以不相碰的概率为13.答案： B5.(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π4解析：设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为π，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为π2.根据几何概型的概率公式，得所求概率P ＝π24＝π8.答案：B6.如图，在矩形区域ABCD 的A 、C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B ．π2－1C ．2－π2D ．π4解析：由题意知，两个四分之一圆补成一个半圆，其面积为12×π×12＝π2，矩形的面积为2，所以所求的概率为P ＝2－π22＝1－π4.答案：A 二、填空题7．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB ︵的长度小于1的概率是________．解析：如图，圆周上三点A ，M ，N 把圆周三等分， ∵圆的周长为3，∴劣弧AM ︵，MN ︵，AN ︵的长均为1，∴当点B 在劣弧AM ︵或AN ︵上时，有劣弧AB ︵的长度小于1.故所求的概率为P ＝23.答案：238．以半径为1的圆内任一点为中点作弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为________．解析：记事件A “弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图：作△BCD 的内切圆，当过小圆上任一点作弦时弦长等于等边三角形的边长，所以弦长超过内接三角形边长的条件是弦的中点在小圆内．小圆半径为12，∴P (A )＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫122π·12＝14. 答案：149．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h 2h ＋22h ＋1＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.答案：3 三、解答题10．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．解：记F ＝{作射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°}，作射线OD 、OE ，使∠AOD ＝30°，∠AOE ＝60°.当OC 在∠DOE 内时，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则P (F )＝30°90°＝13.11．任意一个三角形ABC 的面积为S ，D 为△ABC 内任取的一个点，求△DBC 的面积和△ADC 的面积都大于S3的概率．解：如图，当D 在过重心与BC 平行的直线EF 上移动时，S △DBC ＝S 3，即D 在△AEF 中，满足S △DBC ≥S3，同理D 在△BGH 中满足S △ADC ≥S3，要使两个条件同时成立，D 应落在△DEG 中，由几何概型公式P ＝S △EDG S △ABC ＝19. 12．已知单位正方形ABCD ，在正方形内(包括边界)任取一点M ，求： (1)△AMB 面积大于或等于14的概率；(2)AM 的长度不小于1的概率．解：(1)如图，取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ，当点M 在矩形CDEF 内运动时，△ABM 的面积大于或等于14，由几何概型知，概率P ＝S 矩形CDEF S 正方形＝12.(2)如图，以AB 为半径作圆弧，当点M 在阴影部分时，AM 的长度不小于1，由几何概型知，概率P ＝S 阴影S 正方形＝1－14×π×12＝1－π4.13．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为Δ＝4a 2－4b 2≥0，即a ≥b . (1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)， (2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)． 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}． 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．如图，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。

第三章 概 率 3.3 随机数的含义与应用课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．已知x 是[－4,4]上的一个随机数，则使x 满足x 2＋x －2<0的概率为( ) A ．12B ．38C ．58D ．0解析：由x 2＋x －2<0，得－2<x <1，∴所求事件的概率P ＝1－(－2)4－(－4)＝38.答案：B2．关于几何概型和古典概型的区别，下列说法正确的是( ) A ．几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个 B ．几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个C ．几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等D ．几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等解析：几何概型和古典概型的相同点是每个基本事件出现的可能性相等，区别是几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个，故选B ．答案：B3．某公司的班车分别在7：30,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过15分钟的概率是( )A ．13B ．38C ．23D ．58解析：设小明到达时间为y ，当y 在8：15至8：30时，小明等车时间不超过15分钟，故P ＝1540＝38，故选B ．答案：B4．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形内随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为( )A ．45B ．35C ．1－π60D ．1－π3解析：∵三角形三边为5,12,13，为直角三角形，∴S三角形＝12×5×12＝30，到三个顶点距离大于1的面积S ＝S 三角形－12π＝30－π2，∴所求事件的概率P ＝30－π 230＝1－π60.答案：C5．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m ＞n 的概率为( ) A ．710B ．310C ．35D ．25解析：由题可作以m 和n 分别为横轴、纵轴的坐标系，则区间[1,6]和[1,4]表示为一个长为5，宽为3的矩形，做直线m ＝n ，直线以下的矩形区域为m ＞n 的取值范围，故P ＝3×5－12×3×33×5＝710. 答案：A6．从[0,2]中任取一个数x ，从[0,3]中任取一个数y ，则使x 2＋y 2≤4的概率是________． 解析：满足条件的(x ，y )是如图所示的矩形区域，其中满足x 2＋y 2≤4是图中的阴影部分，又S 矩＝2×3＝6，S 阴影＝14×π×22＝π，∴所求事件的概率为P ＝S 阴影S 矩＝π6.答案：π67．函数f (x )＝x 2＋x －2，x ∈[－5,15]，那么任取一点x 0，使f (x 0)≤0的概率为________． 解析：令f (x )＝x 2＋x －2≤0，得－2≤x ≤1，即当x ∈[－2,1]时，有f (x )≤0.设“取得的点x 0使f (x 0)≤0”为事件A ，由几何概型概率公式得 P (A )＝区间[－2，1]的长度区间[－5，15]的长度＝320＝0.15.答案：0.158．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长大于AC 的长的概率．解：如图所示：设AC ＝BC ＝2a ，则AB ＝2a ，在AB 上截取AC ′＝AC ， 于是P (AM >AC )＝P (AM >AC ′)＝BC ′AB ＝AB －AC AB ＝2a －2a 2a ＝2－22， 即AM 的长大于AC 的长的概率为2－22.[B 组 技能提升]1．在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( ) A ．12B ．13C ．24D ．23解析：圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，圆心到直线y ＝k (x ＋3)的距离为|3k |k 2＋1，要使直线y＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交，则|3k |k 2＋1<1，解得－24<k <24.∴在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为2242＝24，故选C ．答案：C2．如图，在矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数ƒ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A ．16B ．14C ．38D ．12解析：由题意得C (1,2)，D (－2,2)， ∴S ABCD ＝3×2＝6，S 阴影＝12×3×1＝32，∴所求概率P ＝S 阴影S ABCD ＝14.答案：B3．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6 cm.现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率是________．解析：由硬币中心O 向最近的格线作垂线OM ，垂足为M ，如图，线段OM 长度的取值范围是[0,3]，而只有当OM 长在[0,1]时，硬币落下后与格线有公共点，故P ＝[0，1]的长度[0，3]的长度＝13.答案：134．记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，B ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ≤1x ≥0y ≥0构成的平面区域分别为M ，N ，现随机地向M 中抛一粒豆子(大小忽略不计)，则该豆子落入N 中的概率为________．解析：因为集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ x ＋y ≤1x ≥0y ≥0构成的平面区域M ，N 分别为圆与直角三角形，其面积分别为π，12，随机地向M 中抛一粒豆子(大小忽略不计)，则该豆子落入N 中的概率为P ＝12π＝12π.答案：12π5．如图，射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径是122 cm ，靶心直径是12.2 cm ，运动员在70米外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？解：记射中“黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01， 即射中“黄心”的概率为0.01.6．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ＞0，b ＞0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的条件为a ≥b .(1)基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为 P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}． 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }． 所以所求的概率为3×2－12×223×2＝23.。

第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样课时跟踪检测[A组基础过关]1．系统抽样适用的总体应是()A．容量较少的总体B．总体容量较多，个体差异不大C．个体数较多但均衡的总体D．任何总体解析：与简单随机抽样相比，系统抽样的适用范围应是总体中的个体数目较多且含有的个体均衡．答案：C2．用系统抽样的方法从个体数为1 003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是()A．11 000B．11 003C．501 003D．120解析：系统抽样中，每个个体被抽到的可能性为nN，即501 003.答案：C3．为了了解参加一次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体应随机剔除的个体数目为()A．2 B．4C．5 D．6解析：∵1 252＝50×25＋2，∴应从总体中随机剔除2个个体．答案：A4．为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为()A．24 B．25C ．26D ．28解析：每组的容量为5 000200＝25. 答案：B 5．(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生解析：由系统抽样可知，第一组学生的编号为1～10，第二组学生的编号为11～20，…，最后一组学生的编号为991～1 000.设第一组取到的学生编号为x ，则第二组取到的学生编号为x ＋10，以此类推，所取得的学生编号为10的倍数加x .因为46号学生被抽到，所以x ＝6，所以616号学生被抽到，故选C ．答案：C6．某学校有学生4 022人，为调查学生对2017年国际乒乓球比赛的了解状况，现用系统抽样方法抽取一个容量为30的样本，则分段间隔为________．解析：∵4 02230不是整数，故应从4 022名学生中随机剔除2名，再确定分段间隔4 02030＝134.答案：1347．一个总体的60个个体的编号为0,1,2，…，59，现从中抽取一个容量为10的样本，请根据号按被6除余3的方法取足样本，则抽取的样本号码是______________．解析：起始号码为3，将3加上6的整数倍得样本号码，故填3,9,15,21,27,33,39,45,51,57. 答案：3,9,15,21,27,33,39,45,51,578．为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？解：交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.[B 组 技能提升]1．总体容量为524，若采用系统抽样法抽样，当抽样间隔为多少时不需要剔除个体( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：∵524＝4×131，∴抽样间隔为4时，不需要剔除个体．答案：B2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽取的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：由系统抽样规则可知，抽到的32人的编号为9,39,69，….落在[451,750]内的有459,489，…，729共10个，故选C ．答案：C3．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽取10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．解析：由题可知，分段间隔为5010＝5，又第三组中抽得的号码为12，∴抽取的号码依次为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47，∴第八组中抽得的学生号码为37.答案：374．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 号码的个位数字相同，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．解析：根据题目中的规定，若m ＝6，第7组中抽取的号码个位数字与m ＋k ＝6＋7＝13的个位数字相同为3，又第7组的号码是60,61,62,63,64，…，69，其号码个位数字是3的仅有63，所以在第7组中抽取的号码是63.答案：635．要从1 002个学生中选取一个容量为20的样本．试用系统抽样的方法给出抽样过程． 解：第一步：将1 002名学生用随机方式编号；第二步：从总体中剔除2人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的1 000名学生重新编号(编号分别为000,001,002，…，999)，并分成20段；第三步：在第一段000,001,002，…，049这五十个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如003)作为起始号码；第四步：将编号为003,053,103，…，953的个体抽出，组成样本．6．下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题：本村人口：1 200人，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30户；抽样间隔：1 20030＝40； 确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12；确定第一样本户：编号的后两位数为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户；…(1)该村委采用了何种抽样方法？(2)抽样过程中存在哪些问题，并修改；(3)何处是用简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样，抽样间隔为30030＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12，确定第一样本户：编号为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋10＝22,22号为第二样本户．(3)确定随机数字用的是简单随机抽样．取一张人民币，编码的后两位数为12.。

课时跟踪检测（九） 函数的应用（二）A 级——学考水平达标练1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )解析：选D 设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意知，ax ＝a (1＋0.104)y，故y ＝log 1.104x (x ≥1)，∴y ＝f (x )的图像大致为D 中图像．2．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( ) A ．14 400亩 B ．172 800亩 C ．20 736亩D ．17 280亩解析：选D 设年份为x ，造林亩数为y ，则y ＝10 000×(1＋20%)x －1，∴x ＝4时，y ＝17 280.故选D.3．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50解析：选C 由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49150.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e－kt 1， ∴827＝(e －k)t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49150t ， ∴t 150＝32，t 1＝75. 4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A ．2021年B ．2022年C ．2023年D ．2024年解析：选C 设经过x 年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即1.12x>21.3⇒x >lg 21.3lg 1.12＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2023年．5．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64 MB 内存(1 MB ＝210KB)．解析：设开机后经过n 个3分钟后，该病毒占据64 MB 内存， 则2×2n＝64×210＝216，解得n ＝15，故时间为15×3＝45(分钟)． 答案：456．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v ＝12 000时，2 000·ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000， ∴ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m＝6，∴M m＝e 6－1.答案：e 6－17．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．解析：设至少要清洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，所以x ≥1lg 2≈3.322，所以需4次．答案：48．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 90中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数．则当N ＝40时，t ＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)解析：当N ＝40时，则t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4090＝－144 lg 59＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72. 答案：36.729．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4注：地震强度是指地震时释放的能量．地震强度(x )和震级(y )的模拟函数关系可以选用y ＝a lg x ＋b (其中a ，b 为常数)．结合散点图(如图)求a 的值．(取lg 2≈0.3进行计算)解：由记录的部分数据可知x ＝1.6×1019时，y ＝5.0，x ＝3.2×1019时，y ＝5.2.所以5.0＝a lg(1.6×1019)＋b ， ① 5．2＝a lg(3.2×1019)＋b ， ② ②－①得0.2＝a lg 3.2×10191.6×1019，0.2＝a lg2.所以a ＝0.2lg 2＝0.20.3＝23.10．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的实验：将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克．联想到教科书中研究“物体冷却”的问题，小明发现可以用指数型函数S ＝a e －kt(a ，k 是常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S (单位：克)代表t 分钟末未溶解糖块的质量．(1)求a 的值． (2)求k 的值．(3)设这个实验中t 分钟末已溶解的糖块的质量为M ，请画出M 随t 变化的函数关系的草图，并简要描述实验中糖块的溶解过程．解：(1)由题意，t ＝0，S ＝a ＝7.(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克， 所以3.5＝7e－5k，解得k ＝ln 25.(3)M 随t 变化的函数关系的草图如图所示．溶解过程，随着时间的增加，逐渐溶解．B级——高考水平高分练1．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据.x 1.9934 5.18y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00现有如下5个模拟函数：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x＋1.74.请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)解析：画出散点图如图所示．由图可知，上述点大体在函数y＝log2x上(对于y＝0.58x－0.16，可代入已知点验证不符合)，故选择y＝log2x可以比较近似地反映这些数据的规律．答案：④2．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)解析：由题意，得14(1＋1.25%)x－2 008>20，即x－2 008>lg107lg8180＝1－lg 74lg 3－3lg 2－1≈28.7，解得x>2 036.7，又x∈N，故x＝2 037.答案：2 0373．生物机体内碳14的半衰期(剩留量为原来的一半所需要的时间)为5 730年，某古墓一文物出土时碳14的残余量约占原始含量的77%，试推算该古墓距出土时约有________年．(参考数据：lg 0.77＝－0.113 5，lg 0.5＝－0.301 0，结果精确到年)解析：设生物死亡的年数为x年，由题意得⎝⎛⎭⎪⎫12x5 730＝77%，∴x5 730＝log120.77＝lg 0.77lg12＝－0.113 5－0.301 0＝1 1353 010，∴x＝5 730×1 1353 010≈2 161.∴该古墓距出土时约有2 161年．答案：2 1614．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年后森林剩余面积为原来的22，则a (1－x )m＝22a ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1210m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，则m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．5．诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理化学、文学、经济学、生理学或医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：2015年诺贝尔奖发放后基金总额为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N ＋)年诺贝尔奖发放后的基金总额．(2015年记为f (1)，2016年记为f (2)，…，依次类推)(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2025年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29≈1.32)解：(1)由题意知f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)×6.24%＝f (1)×(1＋3.12%)，f (3)＝f (2)×(1＋6.24%)－12f (2)×6.24%＝f (2)×(1＋3.12%)＝f (1)×(1＋3.12%)2，∴f (x )＝19 800(1＋3.12%)x －1(x ∈N ＋)．(2)2024年诺贝尔奖发放后基金总额为f (10)＝19 800(1＋3.12%)9≈26 136(万美元)，故2025年度诺贝尔奖各项奖金为16×12f (10)×6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．。

课时跟踪检测（九） 随机事件的概率 概率的意义A 级——基本能力达标1．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )A ．必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．以上选项均不正确解析：选C 若取1,2,3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( ) A ．3件都是正品 B ．至少有1件次品 C ．3件都是次品D ．至少有1件正品解析：选C 25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品． 3．事件A 发生的概率接近于0，则( ) A ．事件A 不可能发生 B ．事件A 也可能发生 C ．事件A 一定发生D ．事件A 发生的可能性很大解析：选B 不可能事件的概率为0，但概率接近于0的事件不一定是不可能事件． 4．高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是14，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对．”这句话( )A ．正确B ．错误C ．不一定D ．无法解释解析：选B 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是14说明了对的可能性大小是14.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，或有2,3,4，…甚至12个题都选择正确．5．根据山东省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%，某眼镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为( )A ．374副B ．224.4副C ．不少于225副D ．不多于225副解析：选C 根据概率相关知识，该校近视生人数约为600×37.4%＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副，选C.6．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．解析：把频率视为概率，故所求概率近似为P ＝60020 000＝0.03.答案：0.037．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量多的是________．解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率是910，估计其概率约是910，那么取出黑球的概率约是110，因为取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量多的是白球．答案：白球8．在某餐厅内抽取100人，其中有30人在15岁及15岁以下，35人在16岁至25岁之间，25人在26岁至45岁之间，10人在46岁及46岁以上，则从此餐厅内随机抽取1人，此人年龄在16岁至25岁之间的概率约为________．解析：16岁至25岁之间的人数为35，频率为0.35，故从此餐厅内随机抽取一人，此人年龄在16岁至25岁之间的概率约为0.35.答案：0.359．某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中每次投篮的频率值； (2)该运动员投篮的命中率约为多少．解：该运动员投篮的频率值依次为34，45，34，79，710，34.(2)由(1)可知频率总在34的附近摆动．可知运动员的进球概率约为34，也就是其投篮的命中率约为34.10．设人的某一特征(眼睛的大小)是由他的一对基因所决定，以d 表示显性基因，r 表示隐性基因，则具有dd 基因的人为纯显性，具有rr 基因的人为纯隐性，具有rd 基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：(1)1个孩子由显性决定特征的概率是多少？(2)“该父母生的2个孩子中至少有1个由显性决定特征”，这种说法正确吗？ 解：父、母的基因分别为rd ，rd ，则这孩子从父母身上各得到一个基因的所有可能性为rr ，rd ，rd ，dd ，共为4种，故具有dd 基因的可能性为14，具有rr 基因的可能性也为14，具有rd 基因的可能性为12.(1)1个孩子由显性决定特征的概率是34.(2)这种说法不正确，2个孩子中每个由显性决定特征的概率均相等，为34.B 级——综合能力提升1．下面事件：①某项体育比赛出现平局；②抛掷一枚硬币，出现反面；③全球变暖会导致海平面上升；④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选D 三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边．2．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为( )A ．0.49B ．49C ．0.51D ．51解析：选D 正面朝下的频率为1－0.49＝0.51，次数为0.51×100＝51次． 3．聊城市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而聊城市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？( )A ．甲公司B ．乙公司C ．甲、乙公司均可D ．以上都对解析：选B 由题意得肇事车是甲公司的概率为131，是乙公司的概率为3031，由极大似然法可知认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．4．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )A.1999 B.11 000C.9991 000 D.12解析：选D 抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为12.5．下列给出五个事件： ①某地2月3日下雪；②函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)在定义域上是增函数； ③实数的绝对值不小于0；④在标准大气压下，水在1 ℃结冰； ⑤a ，b ∈R ，则ab ＝ba .其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________． 解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案． 答案：③⑤ ④ ①②6．一个总体分为A ，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B 层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为________．解析：设总体中的个体数为x ，则10x ＝112，所以x ＝120.答案：1207．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513条鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？ (2)30 000个鱼卵大约能孵化多少条鱼苗？(3)要孵化5 000条鱼苗，大约需准备多少个鱼卵(精确到百位)? 解：(1)这种鱼卵的孵化频率为8 51310 000＝0.851 3，把它近似作为孵化的概率．(2)设能孵化x 条鱼苗，则x30 000＝0.851 3.所以x ＝25 539，即30 000个鱼卵大约能孵化25 539条鱼苗． (3)设大约需准备y 个鱼卵， 则5 000y＝0.851 3，所以y ≈5 900，即大约需准备5 900个鱼卵．8．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6 000次．(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率； (2)请你估计袋中红球的个数． 解：(1)因为20×400＝8 000， 所以摸到红球的频率为：6 0008 000＝0.75，因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75.(2)设袋中红球有x 个，根据题意得：xx ＋5＝0.75，解得x ＝15，经检验x ＝15是原方程的解．所以估计袋中红球接近15个．。

2019-2020学年高中数学课时跟踪检测（十）系统抽样新人教B版必修31．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是( )A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样解析：选C A总体有明显层次，不适宜用系统抽样法；B样本容量很小，适宜用随机数法；D总体容量很小，适宜用抽签法．2．下列抽样不是系统抽样的是( )A．体育老师让同学们随机站好，然后按1～5报数，并规定报2的同学向前一步走B．为了调查“地沟油事件”，质检人员从传送带上每隔五分钟抽一桶油进行检验C．五一期间麦当劳的工作人员在门口发放50份优惠券D．《唐山大地震》试映会上，影院经理通知每排(每排人数相等)28号观众留下来座谈解析：选C C中，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的规则入样，所以不是系统抽样．3．学校为了了解某企业1 203名职工对公司餐厅建设的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为( )A．40 B．30.1C．30 D．12解析：选C 因为1 203除以40不是整数，所以先随机去掉3个人，再除以40，得到每一段有30个人，则分段的间隔k为30.4．某机构为了了解参加某次公务员考试的12 612名考生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为200的样本，那么从总体中随机剔除个体的数目是( ) A．2 B．12C．612 D．2 612解析：选B 因为12 612＝200×63＋12，系统抽样时分为200组，每组63名，所以从总体中随机剔除个体的数目是12.5．某厂将从64名员工中用系统抽样的方法抽取4名参加2016年职工劳技大赛，将这64名员工编号为1～64，若已知编号为8,24,56的员工在样本中，那么样本中另外一名员工的编号是________．解析：由系统抽样的知识知，将64名员工对应的编号分成4组，每组16个号码，由题意8,24,56在样本中，知8,24,56分别是从第1,2,4组中抽取的，则第3组中抽取的号码是8＋2×16＝40.答案：406．若总体含有1 645个个体，采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为35的样本，则编号后编号应分为________段，分段间隔k ＝________，每段有________个个体．解析：由N ＝1 645，n ＝35，知编号后编号应分为35段，且k ＝N n ＝1 64535＝47，则分段间隔k ＝47，每段有47个个体．答案：35 47 477．已知标有1～20号的小球20个，若我们的目的是估计总体号码的平均值，即20个小球号码的平均数．试验者从中抽取4个小球，以这4个小球号码的平均数估计总体号码的平均值，按下面方法抽样(按小号到大号排序)：(1)以编号2为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；(2)以编号3为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________． 解析：20个小球分4组，每组5个．(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17,4球编号平均值为2＋7＋12＋174＝9.5. (2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18,4球编号平均值为3＋8＋13＋184＝10.5. 答案：(1)9.5 (2)10.58．为了了解参加某种知识竞赛的20个班的1 000名学生(每个班50人)的成绩，要抽取一个样本容量为40的样本，应采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．解：系统抽样的方法比较恰当．系统抽样的过程：(1)分别将每个班的50名学生随机地编号为1,2，3， (50)(2)在第一个班的学生编号中，利用简单随机抽样抽取两个编号，如15,34；(3)将其余19个班的编号为15和34的学生成绩取出，这样，所有的编号为15和34的40名学生的成绩就是所要抽取的样本．9．一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分成10组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x ，那么依次错位地取出后面各组的号码，即第k 组中抽取号码的后两位数为x ＋33k 的后两位数．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．解：(1)当x＝24时，按规则可知所抽取样本的10个号码依次为：024,157,290,323,456,589,622,755,888,921.(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为：0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.又抽取的样本的10个号码中有一个的后两位数是87，从而x可以是：87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.所以x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．。

第一章 算法初步 3.4 概率的应用课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．从4名选手甲、乙、丙、丁中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．35解析：这个试验的基本事件空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，其中甲被选中包含3个基本事件，故甲被选中的概率为12.故选B ．答案：B2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．14解析：由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32，∴所求事件的概率P ＝322＝34. 答案：A3．孟德尔豌豆试验中，用纯黄色圆粒和纯绿色皱粒作杂交，(已知黄色对绿色为显性，圆粒对皱粒为显性)则子二代结果的性状为黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒、绿色皱粒的比例约为( )A ．1∶1∶1∶1B ．1∶3∶3∶1C ．9∶3∶3∶1D ．1∶3∶3∶9解析：纯黄色圆粒为XXYY ，纯绿色皱粒为xxyy ，则豌豆杂交试验的子二代结果为XY Xy xY xy XY XXYY XXYy XxYY XxYy Xy XXYy XXyy XxYy Xxyy xYXxYYXxYyxxYYxxYy答案：C4．调查运动员服用兴奋剂的时候，应用Warner 随机化方法调查400名运动员，得到106个“是”的回答，由此，我们估计服用过兴奋剂的人占这群人的( )A ．3.33%B ．53%C ．3%D ．26%解析：应用Warner 随机化方法调查400名运动员，我们期望有200人回答了第一个问题，而在这200人中又有大约一半的人即100人回答了“是”．其余6个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此估计这群人中服用过兴奋剂的大约占6200≈3%，故选C ．答案：C5．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2，…，6}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为( )A ．19B ．29C ．718D ．49解析：甲、乙两人各猜一个数字，共有36种不同的情形，其中他们“心有灵犀”的情形有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共16种，∴所求事件的概率P ＝1636＝49.答案：D6．一只转盘，均匀地标有1～12共12个数，转动指针，指针指向偶数的概率是________． 解析：12个数排列均匀，每次转动停止时指的数是等可能的，又12个数中有6个偶数，故概率为612＝12.答案：127．有一批小包装食品，其中重量在90～95克之间的有40袋，重量在95～100克之间的有30袋，重量在100～105克之间的有10袋．从中任意抽取1袋，则此袋食品的重量在95～105克之间的概率为________．解析：随机事件A 的概率P (A )＝U A U Ω＝4080＝12.答案：128．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．解析：甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输． 若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6； 若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6.∴甲队以4∶1获胜的概率P ＝2×0.6×0.5×0.5×(0.6＋0.4)×0.6＝0.18. 答案：0.18[B 组 技能提升]1．每道选择题有4个选择项，其中只有1个选择项是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说“每个选择项正确的概率是14，若每题都选择第一选择项，则一定有3题选择结果正确”，这句话( )A ．正确B ．错误C ．不一定D ．无法解释答案：B2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪14<2x <16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是( )A ．16B ．13C ．12D ．23解析：由题意得A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <0或x >3}，A ∩ B ＝{x |－2<x <0或3<x <4}，所以从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是P ＝2＋16＝12.答案：C3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于________．解析：从正六边形的6个顶点中任取4个顶点共有15种不同的情形，其中以它们作为顶点的四边形为矩形的有3种，∴P ＝315＝15.答案：154．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，若骰子朝上一面的点数依次是x ，y (x ，y ∈{1,2,3,4,5,6})，则log x (2y －1)>1的概率是________．解析：先后抛掷两枚骰子，包含的基本事件共有36个，由log x (2y －1)>1，即2y －1>x ，x >1，满足条件的有19个，∴P ＝1936. 答案：19365．种子公司在春耕前为了支持农业建设，采购了一批稻谷种子，进行种子发芽试验，在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽，他们要求种子的发芽率在95%以上，你认为这批种子合格吗？解：合格．“种子发芽”这个事件发生的频率为1 9622 000＝0.981，约为0.98.由于试验的种子总数很大，因此我们可以用它近似地估计其发生的概率，所以“种子发芽”这个事件发生的概率约为0.98＝98%>95%，所以这批种子合格．6．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图三个汉字可以看成是轴对称图形．(1)请再写出2个类似轴对称图形的汉字；(2)小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上洗匀后抽出一张，放回，洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？请用列表或画树状图的方法进行分析并写出构成的汉字进行说明．解：(1)如：田、日(答案不唯一)． (2)这个游戏对小慧有利．每次游戏时，所有可能出现的结果如下：(列表)土 口 木 土 (土，土) (土，口) (土，木) 口 (口，土) (口，口) (口，木) 木(木，土)(木，口)(木，木)或树状图总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中能组成上下结构的汉字的结果有4种：(土，土)“圭”，(口，口)“吕”，(木，口)“杏”或“呆”，(口，木)“呆”或“杏”．∴P(小敏获胜)＝49，P(小慧获胜)＝59.∴P(小敏获胜)<P(小慧获胜)．∴游戏对小慧有利．。