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北京大学外国留学生本科入学考试数学试卷一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1．设{}{}202,20A x x B x x x =∈<<=∈+≤R R ，则集合A B ⋂（ ）A ．∅B ．()0,2C ．(]0,2D ．[)2,2-2．已知椭圆的一个焦点到长轴的两个顶点的距离之比为1:4，则该椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．35C ．45D ．1543．已知0a b >>，给出下列四个不等式：①22a b >；②22a b >；③a b a b ->-；④3322a b a b +>。
其中一定成立的不等式为（ ）A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③4．已知平面,αβ，直线l ，若,l αβαβ⊥⋂=，则（ ）A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC ．垂直于平面l 的平面一定与平面,αβ都垂直D ．垂直于平面β的平面一定平行于直线l5．设,a b 是实数，若曲线1ax b y x +=-关于直线y x =对称，则（ ） A ．1,a b =∈R B ．1,1a b =≠- C ．1,1a b ==- D ．1,1a b ≠≠-二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）6．某人在射击训练中命中环数依次为9,8,8,8,9,5,10,7,10,5，则这组数据的均值、众数、中位数这三个量中最小的是_________________________。
7．函数(){}max sin ,cos f x x x =的最小值为_________________________。
8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S 。
若32110S a a =+，则该数列公比的平方等于_________。
9．一家企业制定了一项从今年起的5年销售收入倍增计划，即该企业2018年的销售收入至少应为2013年销售收入的2倍。
北京清华大学研究生入学考试数学真题（正文开始）研究生入学考试数学真题一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。
2. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，B = {3, 4, 5}，C = {2, 4}，求A ∩(B ∪ C) 的结果。
3. 若a ≠ 0，且 a^2 + 1 = 3a，求 a 的值。
4. 设 AB 是一条半径为 r 的圆上一条弧，若 A、B两点之间的弧度为2π/3，则弧长 AB 等于多少？5. 已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn = 3n^2 + 2n，求 a1 的值。
二、填空题1. 若 a:b = 2:3，b:c = 4:5，则 a:c = ______。
2. 设函数 f(x) = 3x^2 + 4x - 1，求 f'(2) 的值。
3. 若函数 f(x) = mx + 3 在点 (1, 5) 处的切线方程为 y = 2x - 1，求 m 的值。
4. 设 A = {1, 2, 3, 4}，集合 A 的幂集的大小为 ______。
5. 若二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像与 x 轴交于两个点 (-1, 0) 和(3, 0)，求 a、b、c 的值。
三、计算题1. 已知等差数列 {an} 的通项公式为 an = 3n - 5，求 n = 10 时，数列的和 Sn 的值。
2. 若 a^n = b，且 log(a) 3 = 2，求 log(b) 27 的值。
3. 已知三角形 ABC 的边长分别为 a = 4，b = 7，c = 9，若角 A 的余弦值为 cos(A) = 1/3，求三角形的面积 S。
4. 已知函数 f(x) = ax^2 + 6x + 9 在闭区间 [1, 3] 上的最大值为 16，求 a 的值。
5. 某小组共有 n 个成员，若要将成员分为两个小组，每个小组至少有一个人且每个小组的人数不超过10 人，求满足条件的分组方法总数。
THUSSAT 北京市清华大学中学2024年招生全国统一考试（模拟卷）数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R2．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =-，()3,b t =-，且()a ab ⊥+，则b =（ ）A ．3BC ．D ．53．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．C ．D ．3-5．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ）A ．y =B ．21y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．77．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．3C ．－1D ．48．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1B ．2C ．3D ．79．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1B ．2C ．22D ．310．若()*13nx n N x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22aaa x dx --=⎰（ ）A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π11．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数） ①32e >；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ）． A ．[0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
清华数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B2. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. \(\infty\)答案：B3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)答案：C4. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的结果是多少？A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{4}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案：A5. 以下哪个方程的解是 \(x = 2\)？A. \(x^2 - 4x + 4 = 0\)B. \(x^2 - 3x + 2 = 0\)C. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)D. \(x^2 - 6x + 9 = 0\)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \(y = \ln(x)\) 的导数是 ________。
答案：\(\frac{1}{x}\)2. 向量 \(\vec{a} = (3, -2)\) 和 \(\vec{b} = (-1, 4)\) 的点积是 ________。
答：炮击的方位角为北偏东30°。
答案：0个。
8.
答案：25/4。
9. 30个有正有负的非零数，其算术平均数等于4.对于这些数结论中正确的有（）。
（A）正数的绝对值大于4。
（B）负数的个数比正数少。
（C）负数的绝对值的和比正数的和小。
（D）最大负数的绝对值小于最大的正数。
答案：AC。
附录：
1. 以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，
则B（-3，0）、A（3，0）、C（-5，2√3）。
因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上，因为k=-√3（BC斜率），所以BC中点D（-4，-√3 ），
所以直线PD的方程为 y-√3 =(x+4)/ √3 ……①
又|PB|－|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上，设P（x，y），则双曲线方程为
x^2/4 - y^2/5 = 1（x≥0）……②联立①②，得x=8，y=5√3，所以P（8，5√3 ）
因此k=5√3/(8-3)=√3（PA斜率）。
5.。
2024北京清华附中高三（上）开学考数 学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}1,0,1A =−，集合2{|20}B x Z x x =∈−≤，那么A B 等于（ ）A. {}1−B. {}01，C. {}0,1,2D. {}1,0,1,2−2. 设复数z 满足()22i z i −=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设R a b c ∈,,，且b c >，下列不等式恒成立的是（ ） A. 22a b a c +>+ B. 22a b a c +>+ C. 22ab ac >D. 22a b a c >4. 下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. ()ln f x x =− B. 1()2xf x =C. 1()f x x=−D. |1|()3x f x −=5. 若圆22860x x y y m ++−+=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A. (],9−∞B. (],16−∞C. [)9,25D. [)16,256. 已知抛物线24x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，6AF =，则线段AF 的中点的纵坐标为（ ） A.52 B.72C. 3D. 47. 在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +−=−，则C ∠=（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI 算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行155104⨯次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行1282次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：lg 20.301≈，0.43110 2.698≈）（ ） A. 222.69810⨯秒B. 232.69810⨯秒C. 242.69810⨯秒D. 252.69810⨯秒10. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11. 已知双曲线C 的焦点为(2,0)−和(2,0)C 的方程为____________． 12. 已知平面内四个不同的点,,,A B C O 满足.AO BO CO ==，若()12AO AB AC =+，则,AB AC =______.13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍[chúméng]”的五面体（如下图），四边形ABCD 为矩形，棱//EF AB .若此几何体中，6,2AB EF ==，ADE 和BCF 都是边长为4的等边三角形，则此几何体的体积为______.14. 已知函数1,()22,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩， ①当0a =时，()f x 的值域为______；②若关于x 的方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根，则a 的取值范围是______. 15. 已知数列{}n a 满足()2111,21,2,3,2n n a a a a n +==+=，则①当1a =−时，存在*k ∈N ，使得2k a =： ②当1a =时，{}n a 为递增数列，且2n a <恒成立； ③存在a ∈R ，使得{}n a 中既有最大值，又有最小值； ④对任意的a ∈R ，存在*0n ∈N ，当0n n >时，122024n a −<恒成立. 其中，所有正确结论的序号为______.三、解答题共6道小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16. 已知函数2πs )in(22sin 2π())(6f x x x λωω=−+−，其中,0λω∈>R .请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个．．作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定，并解答下列问题. 条件①：1(0)2f =；条件②：()f x 1−；条件③：()f x 在区间[],a b 上单调，且b a −最大值为π2； （1）求函数()f x 的对称中心； （2）若方程1()2f x =在区间()0,m 内有且仅有1个实根，求m 的取值范围. 17. 在四棱锥P ABCD −中，,E F 分别为,AC PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，BC PC ⊥.（1）若//DE 平面PBC ，求证：AD DC =；（2）若2AC BC ==，直线BC 与平面AFC 所成的角为45︒，求PA 的长.18. 某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：（1）从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率； （2）从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率； （3）从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为1p ，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为2p ，试判断1p 和2p 的大小（结论不要求证明）.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右顶点分别为12,A A .上、下顶点分别为12,B B ，且112A B B 面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上一点（不与顶点重合），直线1B P 与x 轴交于点M ，直线1A P 、1B P 分别与直线22A B 交于点N 、D ，求证：1A DN 与2B DM △的面积相等.20. 设函数()()e xf x x a =−，l 为曲线():C y f x =在1x =−处的切线.（1）求l 的方程； （2）求()f x 的极值；（3）若曲线C 除了切点之外都在直线l 的上方，求实数a 的取值范围.21. 设*,m n ∈N ，且,m n 都是奇数，m 行n 列的数表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足.对任意的{}{}1,2,,,1,2,,i m j n ∈⋯∈⋯，都有{}1,1ij a ∈−.记1212,i i i in j j j mj S a a a T a a a =+++=+++，若0i S >，则称第i 行为“正行”，若0j T <，则称第j 列为“负列”，记A 中正行与负列的数目之和为()G A .（1）设1211111111111,1111111111111A A −−−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−⎝⎭⎝⎭，直接写出()()12,G A G A 的值： （2）求证：()1G A ≥； （3）求()G A 的最大值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】D【分析】先解不等式化简集合B ，再由并集的概念，即可得出结果.【详解】∵集合{}1,0,1A =−，集合{}{}{}220020,1,2B x Z x x x Z x =∈−≤=∈≤≤=，∴{}1,0,1,2A B ⋃=−. 故选：D. 2. 【答案】A【分析】利用复数的乘除法运算法则化简，根据几何意义确定z 在复平面内对应的点所在象限． 【详解】由()()()()2223434222555i i i i i i i z i ++++====+−−+， 则z 在复平面内所对应的点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选：A ． 3. 【答案】B【分析】选项A ，B ，C ，通过取特殊值，即可判断出正误；选项B ，利用不等式的性质，结合条件，即可判断出正误.【详解】对于选项A ，取1,2b c =−，显然满足b c >，但2214a a a c b a =+<+=++，所以选项A 错误，对于选项B ，因为b c >，由不等式的性质知22a b a c +>+，所以选项B 正确，对于选项C ，取1,1,2a b c ===−，显然满足b c >，但221,4ab ac ==，此时22ab ac <，所以选项C 错误，对于选项D ，取0,1,2a b c ===−，显然满足b c >，此时22a b a c =，所以选项D 错误， 故选B. 4. 【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =−在()0,∞+上单调递减， 所以()ln f x x =−在()0,∞+上单调递减，故A 错误； 对于B ，因为2xy =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减， 所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =−在()0,∞+上单调递减， 所以()1f x x=−在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f −⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f −−=====，显然()13x f x −=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C. 5. 【答案】A【分析】利用圆的一般方程满足的条件得到25m <，再分别令0,0y x ==，利用0∆≥，即可求出结果. 【详解】因为22860x x y y m ++−+=表示圆，所以643640m +−>，得到25m <， 令0y =，得到280x x m ++=，则6440m ∆=−≥，得到16m ≤， 令0x =，得到260y y m −+=，则3640m ∆=−≥，得到9m ≤， 所以9m ≤， 故选：A. 6. 【答案】C【分析】根据抛物线定义求得点A 的纵坐标，再求AF 中点纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，又16A AF y =+=，解得5A y =，故线段AF 的中点的纵坐标为1532+. 故选：C. 7. 【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +−=−，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +−=−，即222a c ab b −=−，则222a b c ab +−=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +−===，又0πC <<，所以π3C =. 故选：B. 8. 【答案】A【分析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解. 【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++−=+−−⇔2cos()sin()0αβαβ+−=，则sin()0αβ−=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ−=得,k k k Z αβπαβπ−=⇔=+∈， 由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=−+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集. 9. 【答案】B【分析】设所需时间为t 秒，则1512851024t ⋅⨯=，然后两边取对数化简计算即可【详解】设所需时间为t 秒，则1512851024t ⋅⨯=，lg lg 52lg 215128lg 2t +−+=，∴lg 131lg 216t =−，lg 1310.3011623.431t ≈⨯−=，∴23.4310.4312323101010 2.69810t ≈=⨯=⨯∴秒， 故选：B. 10. 【答案】B【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人数为6的情况，由此得解.【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：ABCDEFG ， 每相邻的3人取成一组，则有,,,,ABC BCD CDE DEF EFG 5组，因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生， 即ABBCCCDDDEEEFFG 这15人中至少有10名男生； 每相邻的5人取成一组，则有,,ABCDE BCDEF CDEFG 3组，因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生， 即ABBCCCDDDEEEFFG 这15人中至多有9名男生； 显然矛盾，故人数不可能大于6，当人数为6时，用1表示男生，0表示女生，则可以101101. 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解.二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11.【答案】22122x y −=【分析】根据给定条件，求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长，再写出C 的方程作答.【详解】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C ，得ca=a =b == 所以双曲线C 的方程为22122x y −=.故答案为：22122x y −=12. 【答案】π2【分析】利用()12AO AB AC =+，得到O 为BC 的中点，再利用AO BO CO ==，得π2BAC ∠=，即可求解.【详解】因为()12AO AB AC =+，所以O 为BC 的中点，又AO BO CO ==， 所以,OBA OAB OCA OAC ∠=∠∠=∠，又2πOBA OAB OCA OAC AOB AOC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=， 而πAOB AOC ∠+∠=，所以π2OBA OCA ∠+∠=，故π2BAC ∠=，所以π,2AB AC =，故答案：π2.13. 【答案】3【分析】过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取BC 的中点P ，连结PF ，过F 作FQ AB ⊥，垂足为Q ，连结OQ ，延长QO 交CD 于点G ，连接FG .把此“刍甍”分为两侧各一个四棱锥，中间一个三棱柱.再分别求出四棱锥和三棱柱的体积得解.【详解】过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取BC 的中点P ，连结PF ，过F 作FQ AB ⊥，垂足为Q ，连结OQ ，延长QO 交CD 于点G ，连接FG . 因为ADE 和BCF 都是边长为2的等边三角形，所以11()2,222OP AB EF PF OQ BC =−====， 因为FO ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面ABCD , 所以FO OP ⊥,OF ∴===如图，把此“刍甍”分为两侧各一个四棱锥，中间一个三棱柱. 因为FQ AB ⊥，FO AB ⊥,,FQ FO ⊂平面,FGQ FQ FO F =,所以AB ⊥平面,FGQ 因为GQ ⊂平面,FGQ 所以AB GQ ⊥,所以四边形BCGQ 是矩形.1124242323V =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=.故答案为：3. 14. 【答案】 ①. (0),+∞ ②. [)1,1−【分析】①当0a =时，分别判断两段的值域，取并集得()f x 的值域；②方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根，作出12,2,,22xx y x y x y y ⎛⎫==−== ⎪⎝⎭的图象，结合函数图象判断出a 的取值范围.【详解】①当0a =时，f(x)={(12)x,x ≤02x,x >0，当0x ≤时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数单调递减，01()12f x ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭， 当0x >时，()2f x x =，函数单调递增，()0f x >， 所以()f x 的值域为(0),+∞；②函数1,()22,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩， 在同一坐标系中，分别作出函数12,2,,22xx y x y x y y ⎛⎫==−== ⎪⎝⎭的图象， 其中函数2y x =与2xy =的图象相交于点()1,2和()2,4，函数2y x =−与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象相交于点()1,2−和()2,4−， 函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2xy =的图象相交于(0,1)，函数2y x =与2y x =−的图象交于()00，，又关于x 的方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根，当1a ≥时，(),()y f x y f x =−=在同一坐标系中的图象如图1，由图知，不合题意，当01a ≤<时，(),()y f x y f x =−=在同一坐标系中的图象如图2，结合图象可知方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根， 为2x =−，1x =−，0x =，1x =和2x =，满足题意， 当10a −≤<时，(),()y f x y f x =−=在同一坐标系中的图象如图3，结合图象可知方程()()f x f x −=恰有5个不同的实根， 为2x =−，1x =−，0x =，1x =和2x =，满足题意，当1a <−时，(),()y f x y f x =−=在同一坐标系中的图象如图4，由图知，不合题意，综上所述，a 的取值范围为[)1,1−. 故答案为：(0),+∞；[)1,1−. 15. 【答案】②③④【分析】对于①②，根据数列递推式，求出121432n na −⎛⎫=−⨯ ⎪⎝⎭，结合题意，即可判断；对于③，举出特例，即可判断；对于④，分12a =±和12a ≠±情况讨论，结合数列的项的变化情况，即可判断.【详解】对于①，由于()2111,21,2,3,2n n a a a a n +==+=，故10,1n a n +>≥，则221122n n a a +=+，则()2211442n n a a +−=−，结合1a =−， 则{}24n a −是以2143a −=−为首项，公比为12的等比数列， 则1122,11434322n n n n a a −−⎛⎫⎛⎫−=−⨯=−⨯ ⎪⎪⎝⎭∴⎝⎭，令1224143n na −⎛⎫=−⨯ ⎝⎭=⎪，则10132n −⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=−，n 不存在，故不存在*k ∈N ，使得2k a =，①错误；对于②，当1a =时，由①知，{}24n a −是以2143a −=−为首项，公比为12的等比数列， 则1122,11434322n n nna a −−⎛⎫⎛⎫−=−⨯=−⨯ ⎪ ⎪⎝⎭∴⎝⎭，则1221111434330222nn nn naa −+⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−⨯−+⨯=⨯> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得221n n a a +>，故{}n a 为递增数列，而1214342n na −⎛⎫=−⨯< ⎪⎝⎭，故2n a <恒成立，②正确； 对于③，当12a =−时，当1n ≥时，12n a +==， 此时{}n a 中有最大值2，有最小值为-2，即存在a ∈R ，使得{}n a 中既有最大值，又有最小值，③正确；对于④，由①知，()2211442n n aa +−=−， 当12a =±时，当1n ≥时，12n a +==，符合题意； 当12a ≠±时，()1221442n na a −⎛⎫=−⨯+ ⎪⎝⎭，随着n →+∞，24n a →，又10,1n a n +>≥，则2n a →，则必存在*0n ∈N ，当0n n >时，122024n a −<恒成立 综合以上对任意的a ∈R ，存在*0n ∈N ，当0n n >时，122024n a −<恒成立，④正确， 故选：②③④三、解答题共6道小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16. 【答案】（1）ππ(,1)(Z)62k k −+−∈； （2）ππ6m <≤. 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简函数()f x ，选②求得两个λ值，对应两个不同函数，不符合题意，由条件①③求出函数式，再借助正弦函数性质求出对称中心. （2）确定函数()f x 相位的范围，由零点情况列式求出m 范围. 【小问1详解】依题意，π1()(2)1()221cos 2cos c 2os 3x x x x f x ωλωωωλ=+−−=++−，若选②，max ()11f x ==，解得1λ=或2λ=−，当1λ=时，π())13f x x ω=+−，当2λ=−时，π())13f x x ω=−−，因此选②，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件②不可选；于是选条件①③，由①知，11(0)22f λ=−=，解得1λ=，π())13f x x ω=+−，由③知，函数()f x 的最小正周期为π，即2ππ2ω=，解得1ω=，π())13f x x =+−，函数()f x 唯一确定， 由π2π,Z 3x k k +=∈，得ππ,Z 62k x k =−+∈， 所以函数()f x 的对称中心为ππ(,1)(Z)62k k −+−∈. 【小问2详解】由（1）知，π())13f x x =+−，由1()2f x =，得πsin(2)3x +=，当(0,)x m ∈时，πππ2(,2)333x m +∈+，依题意，πsin(2)32x +=在()0,m 内有且仅有1个实根， 则2ππ7π2333m <+≤，解得ππ6m <≤， 所以m 的取值范围是ππ6m <≤. 17. 【答案】（1）证明见解析 （2）2【分析】（1）根据条件得到BC AC ⊥，利用线面平行的性质得到//DE BC ，即可证明结果；（2）过B 作BH ⊥面AFC 于H ，连接HC ，则BCH ∠为直线BC 与平面AFC 所成的角，从而有π4BCH ∠=，得到HC HB ==，设PA a =，根据条件得到AFCS =法，即可求解. 【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，又⊂BC 面ABCD ，所以PA BC ⊥， 又BC PC ⊥，=PAPC P ，,PA PC ⊂面PAC ，所以⊥BC 面PAC ，又AC ⊂面PAC ， 所以BC AC ⊥，又//DE 平面PBC ，DE ⊂面ABCD ，面ABCD 面PBC BC =，所以//DE BC ，故DE AC ⊥，又E 是AC 的中点， 所以AD DC =. 【小问2详解】过B 作BH ⊥面AFC 于H ，连接HC ，则BCH ∠为直线BC 与平面AFC 所成的角，所以π4BCH ∠=，又2AC BC ==，所以HC HB ==设PA a =，由（1）知BC AC ⊥，所以AB ==，又PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以PA AB ⊥，又F 为PB 中点，所以12AF PB ==BC PC ⊥，所以12CF PB ==，得到FE AC ⊥，又2AC =，所以EF ==122AFCS=⨯= 又12222ACBS=⨯⨯=，由F ABC B AFC V V −−=，得到112323a ⨯⨯=24a =， 所以2a =.18. 【答案】（1）12（2）37108（3）21p p <【分析】（1）利用图表及古典概型计算即可；（2）分类讨论结合相互独立事件的乘法公式计算即可； （3）依次分类讨论计算12,p p 并比大小即可. 【小问1详解】由图表可知从样本空间中随机抽取一名学生， 科普过程性积分不低于2分的人数的频率为20101602+=， 所以估计全校学生中随机抽取一人，该生科普过程性积分不低于2分的概率为12； 【小问2详解】随机抽取三人，得分为6分的可能有： 情况1：1人0分，2人3分；情况2：1人1分，1人2分，1人3分； 情况3：3人都是2分，结合图表知得0分，1分，2分，3分的概率分别为151151101201,,,604604606603p p p p ''''''========， 所以随机抽取3人得6分的概率为2311133211111137C C C 434636108p ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 【小问3详解】根据题意从样本中科普过程性积分不低于1分的学生中抽取1人，得1分、2分、3分的频率依次为124,,399，所以从全校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取1名学生其积分，为1分、2分、3分的概率估计依次为124,,399， 则任意取2名同学，其积分之差的绝对值不超过1的可能有：{1分，1分}；{1分，2分}；{2分，2分}；{2分，3分}；{3分，3分}五种可能， 即111122224445722333999999981p =⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=， 任意取2名同学，其积分之差的绝对值不低于1的可能有：{1分，2分}；{1分，3分}；{2分，3分}三种可能， 即21214245222239399981p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 显然21p p <.19. 【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【分析】（1）由题意列出关于,,a b c 的方程组，求出,a b 即可得解；（2）由题意引入参数k 表示1B P 的斜率，进一步表示出,,,M D P N 的坐标（含参），结合弦长公式、点到直线的距离公式表示两个三角形的面积即可得证. 【小问1详解】由题意可得2221222a b c ca ab ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩，注意到0a b >>，0c >，解得2,1,a b c ===2214x y +=； 【小问2详解】由题意()()()()12122,0,2,0,0,1,0,1A A B B −−，因为点P 不与椭圆顶点重合，所以直线1B P 斜率存在且不为0，且不等于12±，所以设11:1,0,2B P y kx k k ⎛⎫=+≠≠±⎪⎝⎭， 联立()22221148014y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，显然2640k ∆=>， 由韦达定理可知28014P P k x x k −+==+，从而2222814111414P P k k y kx k k−−=+=+=++， 所以222814,1414k k P k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，在1y kx =+中令0y =，得1x k =−，所以1,0M k ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 易知221:12A B y x =−，联立41112212112x y x kk y kx y k ⎧=⎧⎪=−⎪⎪−⇒⎨⎨+⎪⎪=+=⎩⎪−⎩，所以412,1212k D k k +⎛⎫ ⎪−−⎝⎭，注意到直线1A P 的斜率为()()()()()122222214121214121482122144212214A Pk k k k k k k k k k k k k−−+−++====−−−+−++， 所以()()112:2212kA P y x k +=+−，联立()()1112121212122y x x kk y x y k k ⎧⎧=−=−⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪=+=−−−⎪⎪⎩⎩，所以11,12N k k ⎛⎫−−− ⎪⎝⎭， 记点1A 到DN 的距离、点2B 到DM 的距离依次为12,A DN B DM d d −−，则()11111122212A DNA DN kSd DN k k k −+=⋅==−，同理()22111122212B DMB DM kSd DM k k k −+=⋅=+=−， 综上所述，1A DN 与2B DM △的面积相等，命题得证. 20. 【答案】（1）e 120ax y a +++= （2）极小值为1e a −−，无极大值 （3）(],0−∞【分析】（1）求导得()()1e xf x x a =−+'，结合导数的几何意义得切线斜率，利用点斜式写出切线方程即可；（2）利用导数研究极值的方法计算即可；（3）将问题转化为()f x 与切线方程的差函数恒大于等于零，根据1x =−处的相应函数值及零点存在性定理含参分类讨论即可. 【小问1详解】易知()()1e xf x x a =−+'，所以()1eaf '−=−， 又()11eaf +−=−， 所以l 的方程为：()1121e e e ea a a ay x x ++=−+−=−−； 即为e 120ax y a +++=. 【小问2详解】由上知()0f x '=有1x a =−，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以当1x a =−时，函数f x 有极小值，极小值为1e a −−，无极大值； 【小问3详解】若曲线C 除了切点之外都在直线l 的上方，即()()1212e 0ee e e xa a a a f x x x a x ++⎛⎫−−−=−++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =−时取得等号， 令()()12e e exa a g x x a x +=−++，则()()1e e xa g x x a =−++'，令()()1e xh x x a =−+，则()()2e xh x x a =−+'， 令()0h x '=有2=−x a ，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表：所以当2=−x a 时，函数h x 有极小值，极小值为2e a −−，也是最小值， 显然当2x a <−时，()0h x <，且x →−∞时，()h x 无限趋向于零， 又()10h a −=，作出其大致图象如下：若0a ≤，则()g x '可由()h x 向下平移ea−个单位得到，又()10g '−=， 此时在(),1∞−−上()g x 单调递减，()1,∞−+上()g x 单调递增， 所以()()10g x g ≥−=，符合题意；；若0a >，则()g x '可由()h x 向上平移ea个单位得到， 此时令()()e 1e 1xxm x x m x =−−⇒=−'，不难得出0x >时，()0m x '>，即()m x 此时单调递增，0x <时，()0m x '<，即()m x 此时单调递减，即()()00m x m ≥=，所以e 1x x ≥+恒成立， 则()()111min e e e20e e e ea a a a a a g x g a −−−>⇒>⇒=−=−+'<'，由于且x →−∞时，()h x 无限趋向于零，所以当()h x 向上平移时，在(),2a ∞−−之间必有一个零点， 而1x a >−时，()0h x >，所以()2,1a a −−之间也必有一个零点，不妨设两个零点依次为()1212,x x x x <，故在()()12,,,x x ∞∞−+上()0g x '>，即()g x 单调递增，在()12,x x 上()0g x '<，即()g x 单调递减，x →−∞时，()()121e 0,20e e e ex a a a x a x x +−<+=++<，即此时有()0g x <，不符题意；综上0a ≤，所以实数a 的取值范围为(],0−∞. 【点睛】关键点点睛：第三问，问题转化为()120e ea af x x +++≥恒成立求参数范围，再构造函数并讨论参数研究恒成立.21. 【答案】（1）()123,()3G A G A == （2）证明见解析 （3）答案见解析【分析】（1）分别计算数表中各行之和与各列之和，根据“正行”与“负列”条件判断即可； （2）用反证法，从行与列两个角度求数表总和则可推出矛盾；（3）用反证法证明()2G A m n ≤+−，从行列两个角度分析1,1−的个数可推出矛盾，再举出()2G A m n =+−的数表A 即可.【小问1详解】数表1111111111A −−⎛⎫⎪=−− ⎪ ⎪−⎝⎭，由题意可得11S =−，231,1S S =−=，故只有第3行是“正行”；1231,1,1T T T ==−=−，故第2,3列是“负列”，第1列不是“负列”.故()1123G A =+=；数表2111111111111111A −−−⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭，由题意可得11S =−，231,1S S ==−， 故只有第2行是“正行”；123451,1,1,3,1T T T T T ===−=−=，故第3,4列是“负列”，第1,2,5列不是“负列”.故()2123G A =+=.综上所述，()123,()3G A G A ==.【小问2详解】用反证法证明()1G A ≥.由数目之和()G A ∈N ，假设()0G A =，即数表A 没有“正行”，也没有“负列”.即任意1i m ≤≤，0i S ≤，则数表中所有数和10m i i S=≤∑；且任意1j n ≤≤，0j T ≥，则数表中所有数的和10n jj T =≥∑； 故数表中所有数的和为0， 由题意任意的{}{}1,2,,,1,2,,i m j n ∈⋯∈⋯，{}1,1ij a ∈−，即数表中1的个数与1−的个数相同.所以数表中必有偶数个数，但由于,m n 均为奇数，数表中共有mn 个数，mn 为奇数，这与数表中必有偶数个数矛盾.故假设错误，()0G A =不成立.故()1G A ≥成立.【小问3详解】当1n =时，数表为m 行1列数，若()1G A m =+，则各行都为1，则这1列数这和0m >，不可能为“负列”；由数表111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()G A m =. 故当1n =时，()G A 最大为m ；同理可知当1m =时，()G A 最大为n .当3,3m n ≥≥时，()2G A m n ≤+−.下面用反证法证明.假设()1G A m n ≥+−，则满足条件的数表分三类：()G A m n =+，即m 行都是“正行”且n 列都是“负列”；或()1G A m n =+−，其中m 行都是“正行”，1n −列是“负列”；或()1G A m n =+−，其中1m −行是“正行”，n 列都是“负列”.①若()G A m n =+，m 行都是“正行”且n 列都是“负列”：即任意1i m ≤≤，0i S >，则数表中所有数和10m i i S=>∑；且任意1j n ≤≤，0j T <，则数表中所有数的和10n jj T =<∑； 故产生矛盾，此类情况不可能； ②若()1G A m n =+−，m 行都是“正行”且1n −列是“负列”：由m 行都是“正行”，由题意可知，每行各数之和都为正数，由题意任意的{}{}1,2,,,1,2,,i m j n ∈⋯∈⋯，{}1,1ij a ∈−，则每行n 个数中1的个数必大于1−的个数，即至少有12n +个1， 故数表中所有数中至少有(1)2m n +个1； 由1n −列是“负列”，由题意可知这1n −列中每列各数之和都为负数， 则每列m 个数中1−的个数必大于1的个数，即至少有12+m 个1−， 故数表中所有数中至少有(1)(1)2n m −+个1−，则至多有(1)(1)122n m mn m n mn −++−+−=个1； 又(1)110222m n mn m n n ++−+−−=>， 故产生矛盾，此类情况也不可能；③若()1G A m n =+−，其中1m −n 列都是“负列”.由n 列都是“负列”，由题意可知，每列各数之和都为负数，由题意任意的{}{}1,2,,,1,2,,i m j n ∈⋯∈⋯，{}1,1ij a ∈−，则每列m 个数中1−的个数必大于1的个数，即至少有12+m 个1−， 故数表中所有数中至少有(1)2n m +个1−； 由1m −行是“正行”，由题意可知这1m −行中每行各数之和都为正数， 则每行n 个数中1的个数必大于1−的个数，即至少有12n +个1， 故数表中所有数中至少有(1)(1)2m n −+个1，则至多有(1)(1)122m n mn m n mn −+−++−=个1−； 又(1)110222n m mn m n m +−++−−=>， 故产生矛盾，此类情况也不可能；综上所述，假设()1G A m n ≥+−错误，故()2G A m n ≤+−.如下图给出()2G A m n =+−的数表A ：如上图，各行除第12+m 行外，其余都是“正行”；各列除第12n +列外，其余都是“负列”； 故正行与负列的数目之和为()112G A m n m n =−+−=+−.故当3m ≥，且3n ≥时，()G A 的最大值为2m n +−.综上所述，当1n =时，()G A 最大值为m ；当1m =时，()G A 最大值为n ；当3m ≥，且3n ≥时，()G A 的最大值为2m n +−.【点睛】关键点点睛：该题目属于新定义题型，根据对定义的理解，从行与列两个角度的分析求解是解题的关键，如定义中行数m 与列数n 均为奇数的应用；再如第（2）问中从每行与每列各数之和两个角度分别求解总和，从而推出矛盾；又如第三问中从各行与各列两个角度分别探讨1−与1的个数从而推出矛盾，也是从行与列1−与1的个数入手，构造了满足()2G A m n =+−的数表A .。
北京市清华大学2020届高三数学上学期11月中学生标准学术能力诊断性测试试题（二卷）理（含解析）本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,3,5,7,9U =-，{}1,5A =，{}1,5,7B =-，则()U C A B =U （ ） A. {}3,9B. {}1,5,7C. {}1,1,3,9-D.{}1,1,3,7,9-【答案】A 【解析】 【分析】根据集合并集的定义求出A B U ，根据集体补集的定义求出()U C A B U . 【详解】因为{}1,5A =，{}1,5,7B =-，所以{}=1,1,5,7A B ⋃-，又因为集合{}1,1,3,5,7,9U =-，所以{}3(),9U C A B =U ，故本题选A.【点睛】本题考查了集合的并集、补集运算，掌握集合的并集、补集的定义是解题的关键. 2.已知空间三条直线,,l m n ，若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（ ） A. m 与n 异面 B. m 与n 相交C. m 与n 平行D. m 与n 异面、相交、平行均有可能【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出图形，进行判断即可.【详解】解：空间三条直线l 、m 、n ．若l 与m 异面，且l 与n 异面， 则可能平行（图1），也可能相交（图2），也m 与n 可能异面（如图3），故选D ．【点睛】本题考查空间直线的位置关系，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思想，属于基础题．3.复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( ) A. 恒等于1B. 最大值为1，无最小值C. 最小值为1，无最大值D. 无最大值，也无最小值【答案】C 【解析】 【分析】设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值． 【详解】解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈， 由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++，2222(1)(3)x y x y ∴+-=++， 解得1y =-；222||11z x y x ∴=++…，即||z 有最小值为1，没有最大值． 故选：C ．【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．4.某几何体的三视图如图所示(单位：cm ) ，则该几何体的表面积(单位：cm 2)是( )A. 16B. 32C. 44D. 64 【答案】B【解析】【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．然后由直角三角形面积公式求解．【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．⊥．则BC PC∴该几何体的表面积1(34543445)32S=⨯+⨯+⨯+⨯=．2故选：B．【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5.已知0x y +>，则“0x >”是“||2222yx x y +>+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】首先判断由0x >，能不能推出||2222yx x y +>+，而后再看由||2222yx x y +>+，能不能推出0x >，然后通过充分性、必要性的定义得出答案.【详解】由不等式||2222yx x y +>+，可以构造一个函数：2()2tf t t =+，可以判断该函数为偶函数且0t >时，函数单调递增.当0x >时，而0x y +>，这时y 可以为负数、正数、零，因此,x y 的大小关系不确定，因此由“0x >”不一定能推出“||2222yx x y +>+”.当||2222yx x y +>+成立时，利用偶函数的性质，可以得到：22()()0x y x y x y x y >⇒>⇒+->，而0x y +>，因此有0x y ->，所以有x y >-且x y >，如果0x ≤，则有0y <，所以0x y +<，这与0x y +>矛盾，故0x >，故本题选B.【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，构造函数，利用函数的性质和不等式的性质是解题的关键.6.函数y ＝ln |x |·cos (2π－2x )的图像可能是( ) A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，和特殊值，可判断。
留考文科数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是质数？A. 1B. 4C. 9D. 72. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值。
A. -1B. 1C. 0D. -53. 如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 直线y = 3x + 2与x轴的交点坐标是什么？A. (0, 2)B. (2/3, 0)C. (-2/3, 0)D. (0, -2)5. 以下哪个是二次方程的根？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -26. 圆的周长公式是什么？A. C = 2πrB. C = 4πrC. C = πrD. C = πd7. 已知三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足的条件是什么？A. 1 < x < 7B. x = 7C. x = 4D. x = 38. 以下哪个是勾股定理的表达式？A. a² + b² = c²B. a + b = cC. a * b = cD. a / b = c9. 一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，斜边的长度是多少？A. 10B. 12C. 14D. 1610. 以下哪个是正弦定理的表达式？A. a / sinA = b / sinB = c / sinCB. a + b + c = 180°C. a² + b² = c²D. a * b = c二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。
12. 如果一个角度的正弦值为1/2，那么这个角的度数是________。
13. 一个直角三角形的斜边长是13，一条直角边长是5，另一条直角边长是________。
14. 一个圆的直径是10，它的半径是________。
15. 一个数的立方根是2，那么这个数是________。
