(北师大版)2018-19高中数学新学案-同步讲义-选修2-1-第一章 常用逻辑用语 §1 命题(一)

§4用向量讨论垂直与平行第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题学习目标 1.了解空间点、线、面的向量表示.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)．(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论． 知识点三 平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)；(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0；(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量．1．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√)2．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×) 3．若向量n 1，n 2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×) 4．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√)类型一 求平面的法向量例1 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，∴AB →＝(－2,1,3)，BC →＝(1，－1,0)．则有⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·BC→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，x ＝y .令z ＝1，则x ＝y ＝3.故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)．反思与感悟 利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA 的一个法向量．考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量解 以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1.向量AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，得y ＝－1，z ＝1，故平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．类型二 利用空间向量证明平行问题例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 向量法求解面面平行证明 (1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)， E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎨⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE→＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1—→·n 1＝－2＋2＝0， 所以FC 1—→⊥n 1.又因为FC 1⊈平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1—→，得⎩⎨⎧n 2·FC 1—→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1， 所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，PA ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 向量法求解线面平行 解 存在点E 使CE ∥平面PAB .以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz ，∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)，PD →＝(0,2，－1)，∵PE →∥PD →，∴y 2＝3－1－1，①∵AD →＝(0,2,0)是平面PAB 的法向量，又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面PAB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0. ∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在E 点，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面PAB .1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 B解析 由l 1∥l 2，得v 1∥v 2，得1λ＝24＝36，故λ＝2.2．已知直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，且a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若l 1∥l 2，则λ与μ的值可以分别是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.3．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A解析 因为AB →＝(2,4,6)，所以与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m 为( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．8考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 C解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，∴(2，m,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2＝0，∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一个法向量为________． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 (1,1,1)(答案不唯一)解析 不妨设正方体的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，设平面ACD 1的一个法向量a ＝(x ，y ，z )， 则a ·AC →＝0, a ·AD 1—→＝0.因为AC →＝(－1,1,0)，AD 1—→＝(－1,0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1)·x ＋1·y ＋0·z ＝0，(－1)·x ＋0·y ＋1·z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，x －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z ，不妨取x ＝1，则a ＝(1,1,1)．(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．一、选择题1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1) D ．a ＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1) 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 D解析 由l ∥α，故a ⊥μ，即a ·μ＝0，故选D.2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若两直线l 1∥l 2，则x ，y 的值分别是( ) A ．6和－10 B ．－6和10 C ．－6和－10D ．6和10考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A解析 由两直线l 1∥l 2，得两向量a ，b 平行，即2－4＝－3x ＝5y ，所以x ，y 的值分别是6和－10.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为( ) A ．－2B ．－2C.2D ．±2考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 D解析 依题意得，－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，解得x ＝± 2.4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，33，－33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，－33，33C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33，－33，－33考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 D解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∵⎩⎨⎧ AB →·n ＝0，AC →·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)，单位法向量为±n |n |＝±⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，33，33.5．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( )A ．l ∥αB ．l ?αC ．l ⊥αD ．l ?α或l ∥α考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 D解析 当a ·b ＝0时，l ?α或l ∥α.6．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6D.103考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 B解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．∴24＝3λ＝－1－2，∴λ＝6. 7．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( )A ．－1,2B ．1，－2C ．1,2D ．－1，－2考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 A解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＋1＝0，m ＋5n －9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.二、填空题 8．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 2∶3∶(－4)解析 由已知得，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，－74， AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74， ∵a 是平面α的一个法向量，∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝23y ，z ＝－43y ，∴x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 9．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________. 考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y＋2＝0，∴y ＝12. 10．设平面α的法向量为m ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n ＝(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 4解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2k，解得k ＝4. 三、解答题11．已知平面α经过点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 依题意有⎩⎨⎧ n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y －3z ＝0，x －2y －4z ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2， ∴平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量解 因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0，3，0)，A (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32，12，B (1,0,0)， C (1，3，0)，于是AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎨⎧ n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)． 13．已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，求证：PQ ∥平面ACD . 考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量证明 如图，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接ED ，易知Q 在线段ED 上，∵P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，∴PQ →＝EQ →－EP →＝13ED →－13EA → ＝13(ED →－EA →)＝13AD →， ∴PQ →∥AD →，即PQ ∥AD ，又AD ?平面ACD ，PQ ⊈平面ACD ，∴PQ ∥平面ACD .四、探究与拓展14．已知直线l 过点P (1,0，－1)且平行于向量a ＝(2,1,1)，平面α过直线l 与点M (1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( )A ．(1，－4,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1，－12 D ．(0，－1,1)考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 D解析 因为PM →＝(0,2,4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的一个法向量，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ n ·a ＝0，n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D.15.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AA 1＝4，AD ＝5.求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 向量去求解面面平行证明 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，A 1(5,0,4)，B (5,3,0)，D 1(0,0,4)，B 1(5,3,4)，C (0,3,0)，∴A 1D →＝(－5,0，－4)，A 1B →＝(0,3，－4)，D 1C →＝(0,3，－4)，B 1C →＝(－5,0，－4)． 设平面A 1BD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧ m ⊥A 1D →，m ⊥A 1B →，即⎩⎨⎧ m ·A 1D →＝－5x －4z ＝0，m ·A 1B →＝3y －4z ＝0.取z ＝1，得x ＝－45，y ＝43，则m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，43，1. 设平面B 1D 1C 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )， 则⎩⎨⎧ n ·D 1C →＝0，n ·B 1C →＝0，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，43，1. ∵m ＝n ，即m ∥n ，∴平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .。

§逻辑联结词“且”“或”“非”．逻辑联结词“且”．逻辑联结词“或”学习目标.了解联结词“且”“或”的含义.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假．知识点一“且”思考观察三个命题：①是的约数；②是的约数；③是的约数且是的约数，它们之间有什么关系？答案命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题．“且()梳理”定义：一般地，用联结词把命题和命题联结起”．且来，就得到一个新命题“当，都是真命题时，且是真()命题；当，两个命题中有一个命题是假命题时，且是命题．假将命题和命题以及且的真假情况绘制为命题“且”的真值表如下：命题“且”的真值表可简单归纳为“同真则真”．知识点二“或”思考观察三个命题：①>；②＝；③≥，它们之间有什么关系？答案命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．梳理()定义：一般地，用联结词“或”把命题和命题联结起来，就得到一个新命题“或”．()当，两个命题有一个命题是真命题时，或是真命题；当，两个命题都是假命题时，或是假命题．将命题和命题以及或的真假情况绘制为命题“或”的真值表如下：命题“或”的真值表可简单归纳为“假假才假”．．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．(×)．“且为假命题”是“为假命题”的充分条件．(×)．当，都为假命题时，且才为假命题．(×)．若：≥，：任意∈，－＋＞，则或为假命题．(×)类型一含有“且”“或”命题的构成命题角度简单命题与复合命题的区分例指出下列命题的形式及构成它的命题．()向量既有大小又有方向；()矩形有外接圆或有内切圆；()≥.考点“且”“或”的概念题点把命题写成“且”或“或”的形式解()是且形式命题．其中：向量有大小，：向量有方向．()是或形式命题．其中：矩形有外接圆，：矩形有内切圆．()是或形式命题．其中：>，：＝.反思与感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四。

本章知识要览本章主要讲述常用逻辑的基本知识，包括命题、充分条件和必要条件、全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”等一些基础知识．逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科，学习数学需要全面地理解概念，正确地表述概念和结论，进行推理和论证都要使用逻辑用语，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．学习一些逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念，合理论证数学结论，准确表达数学内容．本章的重点知识：充分条件与必要条件的判断，全称量词和全称命题、存在量词和特称命题，含有量词的命题的否定，逻辑联结词“且”“或”“非”的应用．本章的难点知识：充分条件与必要条件的应用，对一些代数命题真假的判断，含有量词的命题的否定等．本章的易错知识：复合命题的真假判断，充分条件与必要条件的判断，否命题与命题的否定的关系．1．注意和初中及高中已学过的知识相衔接，形成良好的知识体系，在此基础上再根据本章知识特点，较快地吸收新的知识，形成新的知识结构．2．反复推敲思考本章各知识点的含义和各种表示方法，对容易混淆的知识点仔细辨识、区别，达到熟练掌握，逐步建立和逻辑知识结构相适应的理论体系和思考方法．3．通过本章的学习，要努力培养自己的观察、比较、抽象、概括能力，提高准确表述数学问题和实际问题的意识和能力，培养科学的、严谨的学习态度．§1命题知识点一命题的概念[填一填](1)可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．(2)命题“2∈N”，“2∈N”可以判断真假，命题“2∈N”是正确的，是真的，叫作真命题．命题“2∈N”是错误的，是假的，叫作假命题．(3)通常把命题表示为“若p，则q”的形式，其中p是条件，q是结论．[答一答]1．是不是所有语句都能判断真假？所有命题都可改写成“若p，则q”的形式？提示：不是．如π是无理数吗？(未涉及真假)；x>1(不能判断真假)，所以并不是所有语句都能判断真假．所有命题都可改写成“若p，则q”的形式，真命题是p成立，则q一定成立，而假命题是p和q相矛盾，或p成立，而q不一定成立．2．如何说明一个命题是假命题？提示：明显违背定理、定义、概念或事实的命题是假命题，或者能够举出符合命题的条件p，而不符合命题的结论q的特殊例子(反例) 的，也是假命题．知识点二四种命题[填一填](1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫作互为逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题就叫作原命题的逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫作互为否命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题就叫作原命题的否命题．(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫作互为逆否命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆否命题．(4)四种命题间的相互关系如图所示[答一答]互为逆命题的两个命题的真假情况，互为否命题的两个命题的真假情况，以及互为逆否命题的两个命题的真假情况是否一致？提示：四种命题：原命逆命否命逆否命题题题题真真真真真假假真假假假假假真真假因此：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互逆或互否，它们的真假性没有关系．1．“用文字或符号表述的语句”的含义是：用文字语言叙述、数学符号或数学关系式(如方程、不等式、函数关系式)等表述的语句．如“若x2＋y2＝0(x∈R，y∈R)，则x＝0，y＝0”就是一命题．2．如：x2－1＝0，x>2，上述语句中含有变量x，在没有给定变量的值之前，是无法确定其真假的．像这种含有变量的语句，叫开语句．开语句不是命题．3．要判断一个语句是不是命题，还要看它是否符合“可以判断真假”这个条件．例如，a：“12>5”；b：“3 是12 的约数”；c：“0.5 是整数”都是命题，其中a，b 是真的，叫作真命题；c 是假的，叫作假命题．又如，d：“这是一棵大树”；e：“x<2”．由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假；由于x 是未知数，也不能判断“x<2”是否成立．故d，e 都不是命题．4．数学中有一些命题虽然表面上不是“若p则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式．5．在把命题改写成“若p，则q”的形式时，应分清命题的条件和结论分别是什么，然后将条件写在前，结论写在后即可．注意命题形式的改变并不改变命题的真假．6．将含有大前提的命题改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍要作为大前提，不能写在条件中．7．学习四种命题时，原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，两个等价命题具有相同的真假性．8．在同一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0 个，要么是2 个，要么是4 个．9．四种命题之间的关系，还提供了一个判断命题真假的方法，由于互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真假，所以当一个命题不易判断真假时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．类型一命题的概念与命题真假的判断【例1】判断下列语句哪些是命题．若是命题，则判断其真假．(1)地球是太阳系的一颗行星．(2)0∉N.(3)空集是任何非空集合的子集．(4)指数函数是增函数吗？(5)求|x＋a|.(6)若整数a是素数，则a是奇数．(7)求证：2为无理数．【思路探究】(4)(5)(7)不是陈述句，故一定不是命题；其他都是陈述句，且都能判断其真假，故都是命题．【解】(1)是命题，且为真命题．(2)是命题，且为假命题．(3)是命题，且为真命题．(4)是疑问句，不是命题．(5)是祈使句，不是命题．(6)是命题，且为假命题．(7)是祈使句，不是命题．规律方法根据命题的定义，判断一个语句是否为命题，一要看其是否为陈述句，二要看其是否能判断真假，两者缺一不可．(1)“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的诗《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是(A)A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思(2)已知下列三个命题：1 1①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；2 8②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；1③直线x＋y＋1＝0 与圆x2＋y2＝相切．2其中真命题的序号为(C)A．①②③B．①②C．①③D．②③解析：(1)“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不能判断真假，不是命题，故选A.4 R 1 4(2)对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积3 (2)8 31缩小到原来的，命题正确；8对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5 和3,3,3 的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；1对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0 的距离d21 2＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．2 2类型二四种命题的关系【例2】分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假．(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5 整除；(2)若k>0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0 必有两个相异实根；(3)四条边相等的四边形是菱形．【思路探究】找出原命题的→→判断依据定义写出条件和结论另外三种命题真假【解】(1)逆命题：若一个整数能被5 整除，则这个整数的末位数字是0；否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5 整除；逆否命题：若一个整数不能被5 整除，则这个整数的末位数字不是0.逆命题和否命题是假命题，原命题和逆否命题是真命题．(2)逆命题：若方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0 有两个相异实根，则k>0.否命题：若k≤0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0 没有两个相异实根．逆否命题：若方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0 没有两个相异实根，则k≤0.原命题和逆否命题是真命题，逆命题和否命题是假命题．(3)原命题可以改写成：若一个四边形的四条边相等，则它是菱形．逆命题：若一个四边形是菱形，则它的四条边相等；否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是菱形；逆否命题：若一个四边形不是菱形，则它的四条边不全相等．原命题和逆否命题是假命题，逆命题和否命题是真命题．规律方法根据原命题写出其他命题的方法：要写出一个“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题、逆否命题，只需要根据定义把命题的条件和结论进行交换即可得逆命题，把条件和结论同时否定即可得否命题，把条件和结论互换后同时否定即可得逆否命题．写其他命题时需要注意以下几点：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，要写出其他三种命题，应先把命题改写成“若p，则q”的形式，以分清原命题的条件和结论．(2)当一个命题有大前提时，写其他三种命题时必须保留大前提，也就是大前提始终不动．(3)对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；(2)已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc.解：(1)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．(2)逆命题：已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题．否命题：已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题．逆否命题：已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题．类型三逆否命题的应用【例3】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．【思路探究】本题可直接写出其逆否命题并判断其真假，也可直接判断原命题的真假来推断其逆否命题的真假．【解】解法1：其逆否命题为：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2 的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0，即Δ<0.所以抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2 与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集为空集，故逆否命题为真命题．解法2：先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得7a≥.47因为>1，所以a≥1.4所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题真假相同，所以逆否命题为真命题．规律方法由于互为逆否命题的两个命题有相同的真假性，当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题真假的方法来判断该命题的真假．判断命题“若a>0，则x2＋x－a＝0 有实根”的逆否命题的真假．解：解法1：原命题：若a>0，则x2＋x－a＝0 有实根．逆否命题：若x2＋x－a＝0 无实根，则a≤0.∵x2＋x－a＝0 无实根，1∴Δ＝1＋4a<0，即a<－，4∴“若x2＋x－a＝0 无实根，则a≤0”为真命题．解法2：∵a>0，∴方程x2＋x－a＝0 的根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0 有实根，∴原命题“若a>0，则x2＋x－a＝0 有实根”为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴“若a>0，则x2＋x－a＝0 有实根”的逆否命题为真命题．类型四由命题的真假确定参数的取值范围【例4】已知p：5x－1>a，q：x>1，试确定实数a的取值范围，使得：(1)“若p，则q”为真命题；(2)“若q，则p”为真命题．解不等式确定【思路探究】由p，q建立不等式→a的取值范围1＋a【解】(1)“若p，则q”即“若x> ，则x>1”，由命题为51＋a真命题可知≥1，解得a≥4.故实数a的取值范围为[4，＋∞)．51＋a(2)“若q，则p”即“若x>1，则x> ”，由命题为真命题可51＋a知≤1，解得a≤4.故实数a的取值范围为(－∞，4]．5规律方法已知命题的真假求参数的解题思路：利用命题的真假求参数取值范围的题目常与不等式相结合．(1)命题“若p，则q”为真命题，即由p可以推出q，根据题意建立相应的不等式或方程求解．若命题是假命题，则命题的“对立面”就是真命题，命题与其“对立面”的关系是“交集为空集，并集为全集”．(2)涉及两个命题的题目往往是先假设命题甲和乙都是真命题，求出参数的取值范围．若为假命题，则参数的取值范围就是设之为真命题时的补集．若题中命题甲、乙一真一假，则需分类讨论：甲真乙假、甲假乙真，分别求出参数的取值范围，最后取并集．已知命题：若x2＋3x＋2<0，则－2<x<m.若其逆命题是真命题，求实数m的取值范围．解：逆命题：若－2<x<m，则x2＋3x＋2<0.解不等式x2＋3x＋2<0，得－2<x<－1，所以－2<m≤－1，所以实数m的取值范围是(－2，－1].——数学思想——分类讨论数学思想的应用“命题一真一假”是常考题型，应引起重视，其解决方法是分两种情况讨论：一种是p真且q假，另一种是p假且q真．然后求两部分的并集．【例5】设有两个命题p：|x|＋|x＋1|≥m的解集为R，q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【思路分析】先把命题p和命题q的m的范围解出来．再分情况讨论．【解】若命题p为真，则可得m≤1；若命题q为真，则7－3m>1，即m<2.∵命题p和q中有且只有一个为真命题有两种情况：①p真，q假；②p假，q真．由①得Error!∴m∈∅，由②得Error!∴1<m<2.故m的取值范围为{m|1<m<2}．P：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0 恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0 有实数根，如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．解：P真：a＝0 时显然成立；a≠0 时，Error!即Error!⇒10<a<4，所以0≤a<4；Q真：Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤.因为P与4Q中有且仅有一个为真命题，因此P真Q假或P假Q真，当P真Q1 1 假时，<a<4；当P假Q真时：a<0.所以a的取值范围是{a|a<0 或4 4 <a<4}．1．下列语句不是命题的有(C)①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④5x－3>6.A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④解析：命题是能够判断真假的语句．①②④不能判断真假，故①②④不是命题．2．有下列四个命题，其中真命题是(C)①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则方程x2－2x＋m＝0 有实根”的逆否命题；④“若M∩P＝P，则M⊆P”的逆否命题．A．①②B．②③C．①②③D．③④解析：若M∩P＝P，则P⊆M，故原命题为假命题，则其逆否命题也为假命题，其他三个命题为真命题．3．给出四个命题：①若x2－3x＋2＝0，则x＝1 或x＝2；②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；③若x＝y＝0，则x2＋y2＝0；④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数，那么(A)A．①的逆命题为真B．②的否命题为真C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假解析：①的逆命题为“若x＝1 或x＝2，则x2－3x＋2＝0”其为真命题，故①的逆命题为真．4．“a2＋b2≠0”的含义为(A)A．a，b不全为0B．a，b全不为0C．a，b至少有一个为0D．a不为0 且b为0，或b不为0 且a为0解析：“若a2＋b2≠0，则a，b至少有一个不为0”，即a，b不全为0.5．判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，且b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)对任意x∈N，x3>x2；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0 无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．解：(1)假命题．举例如a＝1，b＝2，c＝3，d＝0.而a≠c，b≠d，则a＋b＝c＋d.(2)假命题．当x＝0 时，x3＝x2，故对任意x∈N，x3>x2 为假命题．(3)真命题．方程x2－2x＋m＝0 无实数根，则Δ＝(－2)2－4m<0，解得m>1.(4)假命题．任何三角形均有外接圆，故为假命题．§2充分条件与必要条件知识点一充分条件的定义[填一填]“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q，通常记作：p⇒q，读作“p推出q”，此时我们称p是q的充分条件．[答一答]1．判定定理中的条件是结论的充分条件你是怎样理解的？提示：只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，也就是说，为了得到结论，具备条件p就足够了，可表示为p⇒q.2．p是q的充分条件和p的充分条件是q是一回事吗？提示：不是．p是q的充分条件是指p是条件，q是结论．即p⇒q；p的充分条件是q是指q是条件，p是结论，即q⇒p.知识点二必要条件的定义[填一填]如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p⇒q，称p是q的充分条件，同时，我们称q是p的必要条件．[答一答]对p是q的充分条件和q是p的必要条件你是怎样理解的？提示：p是q的充分条件和q是p的必要条件都可得出“若p，则q”是真命题，即p⇒q，对同一个真命题，条件是结论的充分条件，而结论是条件的必要条件．知识点三充要条件的定义[填一填](1)如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p⇒q，同时“若q，则p”也为真命题，即q⇒p，由于p⇒q，所以p是q的充分条件；由于q⇒p，所以p是q的必要条件，在这种情况下，我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)我们常用“当且仅当”来表达充要条件．p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立．如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们通常称命题p和命题q是两个相互等价的命题．[答一答]如果p是q的充要条件，则命题“若p，则q”和它的逆命题的真假性如何？提示：因p是q的充分条件，则命题“若p，则q”是真命题，p 是q的必要条件，则“若q，则p”是真命题，即命题“若p，则q”的逆命题也是真命题．1．关于充分条件的几个注意点：(1)处理充分条件的问题时，首先要分清条件和结论，然后才能进行推理和判断．(2)对于“若p，则q”形式的命题，若命题为真，则p是q的充分条件；若命题为假，则p不是q的充分条件．2．关于必要条件的几个注意点：(1)对于“若p，则q”形式的命题，若命题为真，则q是p的必要条件；若命题为假，则q不是p的必要条件．即充分条件、必要条件主要是与判断“若p，则q”形式的命题的真假相关的，在理解这些概念时要注意结合具体的实例，这样有利于培养理论联系实际、分析问题、解决问题的能力．(2)在判断条件p和结论q之间的因果关系时：①分清条件是什么，结论是什么．②尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法(即反证法)，也可以举反例说明其不成立．③指出条件是结论的什么条件．3．对于充要条件的几个注意点：(1)一般地，关于充要条件的判断主要有以下几种方法：①定义法：直接利用充要条件的定义判断．②等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明一个命题成立时，就可以去证明它的等价命题成立．③利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么，若p⊆q，则p是q的充分条件；若q⊆p，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．(2)从集合的观点看，充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的区别是：首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|x满足条件p}，q：B＝{x|x满足条件q}.类型一充分条件、必要条件、充要条件的判定【例1】下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a，b，c成等比数列，q：b＝ac；(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．【思路探究】可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．【解】(1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±ac，则p⇒q；若b＝ac，当a＝0，b＝0 时，a，b，c不成等比数列，即q⇒p，故p是q的既不充分也不必要条件．(2)y＋x>4 不能得出x>1，y>3，即p⇒q，而x>1，y>3 可得x＋y>4，即q⇒p，故p是q的必要不充分条件．(3)当a>b时，有2a>2b，即p⇒q，当2a>2b时，可得a>b，即q⇒p，故p是q的充要条件．(4)解法1：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p⇒q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q⇒p，故p是q的既不充分也不必要条件．解法2：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．(1)已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的(C)A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac成立；若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的充分不必要条件．(2)因为(－1,3)(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．类型二充要条件的证明【例2】证明：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.【思路探究】在证明充要条件的问题时，我们一般都要从充分性和必要性两个方面证明，证明充分性就是证明“p⇒q”，证明必要性就是证明“q⇒p”．【证明】(1)充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx(k≠0)．∵f(－x)＝k(－x)＝－kx，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)必要性：∵f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，∴b＝0.综上可知，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.规律方法充要条件一定要从充分性和必要性两个方面加以证明，缺一不可．即证明“条件”⇒“结论”和“结论”⇒“条件”．证明过程中两个方面又是相互独立的．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0 有一个根为1 的充要条件是a＋b＋c＝0.证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0 有一个根为1，∴x＝1 满足方程ax2＋bx＋c＝0.∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.∴必要性成立．再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得：ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋b＋a)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0 有一个根为1.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0 有一个根为1 的充要条件是a＋b＋c＝0.类型三利用充分性、必要性确定参数的范围3－m3＋m【例3】已知p：关于x的不等式<x< ，q：x(x－2 23)<0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【思路探究】求出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解．3－m3＋m【解】记A＝{x| <x< }，2 2B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0<x<3}，若p是q的充分不必要条件，则A B.注意到B＝{x|0<x<3}≠∅，分两种情况讨论：3－m3＋m(1)若A＝∅，即≥，2 2解得m≤0，此时A B，符合题意；3－m3＋m(2)若A≠∅，即< ，解得m>0，要使A B，2 2应有Error!解得0<m<3.综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．规律方法将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p、q用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．解：存在．解不等式x2－x－2>0，得x>2 或x<－1.p由4x＋p<0，得x<－.4p p若当x<－时，x>2 或x<－1 成立，则有－≤－1，即p≥4.4 4p所以当p≥4 时，－≤－1⇒x<－14⇒x2－x－2>0，所以当p≥4 时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．——数学思想——等价转化思想的应用(1)等价转化思想：等价转化要求转化过程中的前因后果是充要条件的关系，因此，等价转化保证了转化后的结果仍是原问题所需要的结果．一般地，除了部分证明题以外，多数问题如解方程、解不等式、代数式的运算与变形等都是等价转化．(2)化归与转化应遵循的基本原则：①熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和表达形式来解决．②简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．③直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决．④正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从反面去探求，使问题获解．【例4】求ax2＋2x＋1＝0(a≠0)至少有一负根的充要条件．【思路分析】至少有一负根等价于方程有一正根和一负根和方程有两负根．【解】若方程有一正根和一负根，等价于Error!⇒a<0.若方程有两负根，等价于Error!⇒0<a≤1.综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a<0 或0<a≤1.由以上推理的可逆性知：当a<0 时方程有异号两根；当0<a≤1 时，方程有两负根．故a<0 或0<a≤1 是方程ax2＋2x＋1＝0 至少有一负根的充要条件．所以ax2＋2x＋1＝0(a≠0)至少有一负根的充要条件是a<0 或0<a≤1.已知(x＋1)(2－x)≥0 的解为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m22－3m－1<0(m>－)的解为条件q.若p是q的充分不必要条件，求实3数m的取值范围．解：设条件p的解集为集合A，则A＝{x|－1≤x≤2}，设条件q的解集为集合B，则B＝{x|－2m－1<x<m＋1}，若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，故有Error!1．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，由|a·b|＝|a||b|可得cos〈a，b〉＝±1，从而〈a，b〉＝0 或π，所以a，b方向相同或相反，可得a∥b. 反过来，若a∥b，也一定能得到|a·b|＝|a||b|.2．设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．3．设点P(x，y)，则“x＝2 且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0 上”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：本题考查点与直线位置关系，充要条件．当x＝2，y＝－1 时，有2－1－1＝0 成立，此时P(2，－1)在直线上，而点P(x，y)在直线并不确定有“x＝2 且y＝－1”．4．“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意知，函数f(x)＝Error!函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增．当a＝1 时，函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，当然在[2，＋∞)。

1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换.2.正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”.3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分.4.常用“都是”表示全称肯定，它的特称否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的特称肯定可用“至少有一个是”来表示.5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混.6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若綈p，则綈q”，其命题的否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断.1.转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.例1 判断下列命题的真假.(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x ∉A ∩B ，则x ∉A 且x ∉B ；(3)若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |.解 (1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真.(2)该命题的逆否命题：“若x ∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∩B ”，它为假命题，故原命题为假.(3)该命题的逆否命题：“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它为假命题，故原命题为假. 跟踪训练1 下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2(其中r >0)；(2)p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1.解 (1)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b 2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b 2＝r 成立，说明圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件.(2) 綈q ：x ＝－1且y ＝－1，綈p ：x ＋y ＝－2.∵綈q ⇒綈p ，而綈p ⇏綈q ，∴綈q 是綈p 的充分不必要条件，从而，p 是q 的充分不必要条件.例2 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p 且q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.。

§3　全称量词与存在量词3．1　全称量词与全称命题3．2　存在量词与特称命题学习目标　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题与特称命题的真假，并掌握其判定方法．知识点一　全称量词、全称命题思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？答案　语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．梳理　(1)全称量词及全称命题的概念短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．(2)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x∈M，使得p(x)不成立即可．知识点二　存在量词、特称命题思考　找出下列命题的共同特征，并判断其真假．(1)存在x∈R，x2≤0；(2)有些三棱锥是正四面体．答案　所给命题都是真命题，它们都表示“存在”的意思．梳理　(1)存在量词及特称命题的概念短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．含有存在量词的命题，叫作特称命题．(2)特称命题的真假判定要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )成立即可，否则这一特称命题就是假命题．1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)3．全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．(×)类型一　判断命题的类型例1　判断下列命题是全称命题还是特称命题．(1)正方形是矩形；(2)球面是曲面；(3)x 2－x ＋1＞0(x ∈R )；(4)有的素数为偶数；(5)方程3x ＋＝2有实数解．13x 考点　全称命题与特称命题题点　全称命题与特称命题的判定解　结合题意知(1)(2)(3)为全称命题；(4)(5)为特称命题．反思与感悟　判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是特称命题．(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次函数都存在零点；(4)过两条平行线有且只有一个平面．考点　量词与命题题点　全称(存在)量词的识别解　命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．命题(2)为特称命题．命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．类型二　判断命题的真假例2　判断下列命题的真假．(1)任意x ∈R ，x 2－x ＋1＞；12(2)存在α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β；(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(5)存在一个实数x ，使等式x 2＋x ＋8＝0成立．考点　特称(全称)命题的真假性判断题点　特称(全称)命题真假的判断解　(1)真命题，∵x 2－x ＋1－＝x 2－x ＋1212＝2＋≥＞0，(x －12)1414∴x 2－x ＋1＞恒成立．12(2)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．π4π2(3)真命题，函数f (x )＝0既是偶函数又是奇函数．(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．2(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．反思与感悟　要判定全称命题是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )都成立；如果在集合M 中找到一个元素x ，使得p (x )不成立，那么这个全称命题就是假命题．要判定特称命题是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个特称命题就是假命题．跟踪训练2　判断下列命题的真假．(1)有一些奇函数的图像过原点；(2)存在x ∈R,2x 2＋x ＋1<0；(3)任意x ∈R ，sin x ＋cos x ≤.2考点　特称(全称)命题的真假性判断题点　特称(全称)命题真假的判断解　(1)该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y ＝x 是奇函数，其图像过原点，故该命题是真命题．(2)该命题是特称命题．∵2x 2＋x ＋1＝22＋≥>0，(x ＋14)7878∴不存在x ∈R ，使2x 2＋x ＋1<0.故该命题是假命题．(3)该命题是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝sin≤恒成立，2(x ＋π4)2∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤都成立，故该命题是真命题．2类型三　利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围例3　已知下列命题p (x )为真命题，求x 的取值范围．(1)命题p (x )：x ＋1>x ；(2)命题p (x )：x 2－5x ＋6>0；(3)命题p (x )：sin x >cos x .考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的取值范围解　(1)∵x ＋1>x ，∴1>0(此式恒成立)，∴x ∈R .(2)∵x 2－5x ＋6>0，∴(x －2)(x －3)>0，∴x >3或x <2.(3)∵sin x >cos x ，∴2k π＋<x <2k π＋(k ∈Z )．π45π4反思与感悟　已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．跟踪训练3　已知命题p ：“存在x ∈R ，sin x ＜m ”，命题q ：“任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立”，若p 和q 都是真命题，求实数m 的取值范围．考点　特称(全称)命题的真假性判断题点　由命题真假性求参数的取值范围解　因为“存在x∈R，sin x＜m”是真命题，所以m＞－1.又因为“任意x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.综上所述，实数m的取值范围是(－1,2)．1．下列命题中，是正确的全称命题的是( )A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线相等C．存在x，＝xx2D．对数函数在定义域上是单调函数考点　全称量词与全称命题题点　全称命题的识别答案　D2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tanαB．存在实数x，使sin x＝π2C．对一切α，sin(180°－α)＝sinαD．对任意α，β，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ考点　特称命题的真假性判断题点　特称命题真假的判断答案　A3．若对于任意x∈[1,2]，a≥x2＋1，则实数a的取值范围为( )A．[5，＋∞) B．(3，＋∞)C．(－∞，2] D．[3,5]考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的范围答案　A解析　依题意a≥(x2＋1)max＝5，故a∈[5，＋∞)．4．命题“对任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”“假”)考点　特称命题的真假性判断题点　特称命题真假的判断答案　真解析　由于对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝2＋≥，所以只需m 2－m ＜，即－＜m ＜.所(x ＋12)3434341232以当m ＝0或m ＝1时，对任意x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题．5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)任意x ∈(－1,2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1)，log 2x ＋log x 2＜2；(3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．考点　量词与命题题点　全称(特称)命题的识别解　(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1,2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在1log2x x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除．真命题．利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧(1)转化为恒成立问题：含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．(2)转化为方程或不等式有解问题：含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决． 一、选择题1．下列说法正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；②命题“任意x ∈R ，x 2＋2＜0”是全称命题；③命题“存在x ∈R ，x 2＋4x ＋4≤0”是特称命题．A ．0B ．1C ．2D ．3考点　量词与命题题点　特称(全称)命题的识别答案　C解析　只有②③正确．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使＞21x 考点　存在量词与特称命题题点　特称命题的真假判断答案　B3．下列命题中，不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以0都等于0B ．自然数都是正整数C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数答案　D解析　D 是特称命题．考点　题点　4．已知正四面体A －BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥AD B ．存在F ∈BC ，EF ⊥AC C ．对任意的F ∈BC ，EF ≥3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC 考点　特称命题的真假性判断题点　特称命题真假的判断答案　A1解析　因为△ABD 和△ACD 为等边三角形，E 为AD的中点，Error!⇒AD ⊥平面BCE ，又EF ?平面BCE ，故AD ⊥EF .5．下面命题是真命题的是( )A ．任意x ∈R ，x 3≥x B ．存在x ∈R ，x 2＋1＜2x C ．任意xy ＞0，x －y ≥2xyD ．存在x ，y ∈R ，sin(x ＋y )＝sin x －sin y 考点　量词与命题题点　全称(特称)命题的真假性判断答案　D6．若“任意x ∈，cos x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为( )[π3，2π3]A ．－B ．－ C.D.12321232考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的取值范围答案　C7．有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2＋cos 2＝；x2x 212p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：对任意的x ∈[0，π],＝sin x ；1－cos2x2p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝.π2其中假命题为( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 3，p 4考点　全称命题真假性的判断题点　全称命题的真假判断答案　A解析　由于对任意x ∈R ，sin 2＋cos 2＝1，故p 1是假命题；当x ，y ，x －y 有一个为x2x22k π(k ∈Z )时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．对于p 3：任意x ∈[0，π]，＝＝|sin x |＝sin x 为真命题．1－cos2x22sin2x 2对于p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝为假命题，例如x ＝π，y ＝，满足sin x ＝cos y ＝0，而x ＋y ＝π2π2.3π2二、填空题8．若“任意x ∈，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．[0，π4]考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的取值范围答案　1解析　∵x ∈，∴0≤tan x ≤1，∴m ≥1，故实数m 的最小值为1.[0，π4]9．已知命题p ：存在c ＞0，y ＝(3－c )x 在R 上为减函数，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋2c －3＞0.若p 和q 都是真命题，则实数c 的取值范围为________．考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的取值范围答案　(2,3)解析　由于p 和q 都是真命题，所以p ，q 都是真命题，所以Error!解得2＜c ＜3.故实数c 的取值范围为(2,3)．10．对任意x ＞3，x ＞a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的取值范围答案　(－∞，3]解析　对任意x ＞3，x ＞a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，∴a ≤3.11．有下列四个命题：p 1：存在x ∈(0，＋∞)，x ＜x ；(12)(13)p 2：存在x ∈(0,1)，x ＞x ；12log 13log p 3：任意x ∈(0，＋∞)，x ＞x ；(12)12log p 4：任意x ∈，x＜x .(0，13)(12)13log 其中为真命题的是________．考点　量词与命题题点　全称(特称)命题的真假性判断答案　p 2，p 4解析　因为幂函数y ＝x α(α＞0)在(0，＋∞)上是增函数，所以命题p 1是假命题；因为对数函数y ＝log a x (0＜a ＜1)是减函数，所以当x ∈(0,1)时，0＜log x ＜log x ，所以0＜＜1213121log x，即＞，所以命题p 2是真命题；因为函数y ＝x 在(0，＋∞)上单调131log x 12log x 13log x (12)递减，所以有0＜y ＜1，当x ∈(0,1]时，y ＝≥0，当x ∈(1，＋∞)时，12log x y ＝＜0，所以命题p 3是假命题；因为函数y ＝x 在上单调递减，所以有12log x (12)(0，13)0＜y ＜1，而函数y ＝在上的函数值y ＞1，所以命题p 4是真命题．13log x (0，13)三、解答题12．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(3)存在实数x ，使得＝2.1x 2－x ＋1考点　全称(特称)命题的真假性判断题点　全称(特称)命题的真假性判断解　(1)是特称命题，是真命题．(2)是全称命题，是假命题．(3)是特称命题，是假命题．13．若不等式t2－2at＋1≥sin x对一切x∈[－π，π]及a∈[－1,1]都成立，求实数t的取值范围．考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的范围解　因为x∈[－π，π]，所以sin x∈[－1,1]，于是由题意可得对一切a∈[－1,1]，不等式t2－2at＋1≥1恒成立．由t2－2at＋1≥1得2t·a－t2≤0.令f(a)＝2t·a－t2，则f(a)在t≠0时是关于a的一次函数，当t＝0时，显然f(a)≤0成立，当t≠0时，要使f(a)≤0在a∈[－1,1]上恒成立，则Error!即Error!解得t≤－2或t≥2.故t的取值范围是t≤－2或t＝0或t≥2.四、探究与拓展14．下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．其中是真命题的为( )A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④考点　量词与命题题点　特称(全称)命题的真假性判断答案　C解析　①所有无理数都是实数，为真命题；②显然为真命题；③显然不成立，为假命题；④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．215．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，若命题“对于函数f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的取值范围解　易知f (t )∈.[12，3]由题意知，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，当x ＝2时，g (m )＝0，显然不等式不成立，∴x ≠2.则g (m )＞0对任意m ∈恒成立，[12，3]所以Error!即Error!解得x ＞2或x ＜－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。

3．3全称命题与特称命题的否定学习目标 1.理解全称命题和特称命题的否定的意义.2.会对全称命题和特称命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．知识点一全称命题的否定思考尝试写出下面全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)任意x∈R，x2－2x＋1≥0.答案(1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：(2)存在一个素数不是奇数；(3)存在x∈R，x2－2x＋1<0.梳理写全称命题的否定的方法(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．全称命题的否定是特称命题．知识点二特称命题的否定思考尝试写出下面特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在x∈R，x2＋1<0.答案(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)任意x∈R，x2＋1≥0.梳理写特称命题的否定的方法(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定．特称命题的否定是全称命题．1．命题綈p的否定为p.(√)2．存在x∈M，p(x)与任意x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)3．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(×)类型一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定解(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．(3)其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.反思与感悟全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(2)p：所有自然数的平方都是正数；(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定解(1)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(2)有些自然数的平方不是正数．(3)存在实数x不是方程5x－12＝0的根．(4)存在实数x ，使得x 2＋1<0.类型二 特称命题的否定例2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假．(1)p ：存在x ∈R,2x ＋1≥0；(2)q ：存在x ∈R ，x 2－x ＋14＜0； (3)r ：有些分数不是有理数．考点 存在量词的否定题点 含存在量词的命题的否定解 (1)任意x ∈R,2x ＋1＜0，为假命题．(2)任意x ∈R ，x 2－x ＋14≥0. ∵x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，是真命题． (3)一切分数都是有理数，是真命题．反思与感悟 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在x ，y ∈Z ，使得2x ＋y ＝3.考点 存在量词的否定题点 含存在量词的命题的否定解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“任意x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”．当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，因此命题的否定是假命题．类型三 含量词的命题的应用例3 已知命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是假命题，求实数a 的取值范围． 考点 含有一个量词的命题题点由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围解因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x∈R，x2＋ax＋1＜0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图像易知，Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2或a＞2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．引申探究把本例中“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．解由题意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]．故a的取值范围为[－2,2]．反思与感悟含有一个量词的命题与参数范围的求解策略(1)对于全称命题“任意x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(a＜f(x)min)．(2)对于特称命题“存在x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max)．(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．跟踪训练3已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．考点含有一个量词的命题题点由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．1．命题“任意x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．任意x∈R，|x|＋x2＜0B．任意x∈R，|x|＋x2≤0C．存在x∈R，|x|＋x2＜0D．存在x∈R，|x|＋x2≥0考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案 C2．存在m，n∈Z，使得m2＝n2＋2017的否定是()A．任意m，n∈Z，使得m2＝n2＋2017B．存在m，n∈Z，使得m2≠n2＋2017C．任意m，n∈Z，有m2≠n2＋2017D．以上都不对考点存在量词的否定题点含存在量词的命题的否定答案 C3．命题“任意x∈R，x＞sin x”的否定是________________．考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案存在x∈R，x≤sin x4．由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是________．考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题的否定答案 1解析其否定为：∀x∈R，使e|x－1|－m＞0，且为真命题．m＜e|x－1|.只需m＜(e|x－1|)min＝1.故a＝1.5．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：任意x∈R，x2＋2x＋2＝0；(2)p：所有的正方形都是菱形；(3)p：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.考点全称(存在)量词的否定题点含全称(存在)量词的命题的否定解(1)存在x∈R，x2＋2x＋2≠0，真命题．因为任意x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0恒成立．(2)至少存在一个正方形不是菱形，假命题．因为所有的正方形都是菱形．(3)任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为当x＝－1时，x3＋1＝0.1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“<”．2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．一、选择题1．下列命题中，真命题的个数是()①存在实数x，使得x2＋2＝0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既是奇函数又是偶函数．A．0B．1C．2D．3考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断答案 B解析x2＋2≥2，故①是假命题；∀x∈R，sin x≤1，故②是假命题；f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，所以③是真命题．故选B.2．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0考点 全称量词的否定题点 含全称量词的命题的否定答案 C解析 由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0”．故选C.3．已知命题p ：存在a ∈(－∞，0)，a 2－2a －3＞0，那么命题p 的否定是( )A ．存在a ∈(0，＋∞)，a 2－2a －3≤0B ．存在a ∈(－∞，0)，a 2－2a －3≤0C ．对任意a ∈(0，＋∞)，a 2－2a －3≤0D ．对任意a ∈(－∞，0)，a 2－2a －3≤0考点 存在量词的否定题点 含存在量词的命题的否定答案 D解析 易知命题p 的否定为：对任意a ∈(－∞，0)，a 2－2a －3≤0，故选D.4．已知p ：任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋3＞0，如果p 为假命题，那么a 的取值范围是( )A ．a ＜13B ．0＜a ≤13C ．a ≤13D ．a ≥13考点 全称量词的否定题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围答案 C解析 显然当a ＝0时，满足题意；当a ＞0时，由Δ≥0，得0＜a ≤13； 当a ＜0时，满足题意．所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，13. 5．下列命题中，假命题是( )A ．任意x ∈R,2x －1>0B ．任意x ∈N ＋，(x －1)2>0C．存在x∈R，lg x<1 D．存在x∈R，tan x＝2考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断答案 B解析对于任意x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图像是将y＝2x的图像沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，A为真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题；当0<x<10时，lg x<1，故存在x∈R，lg x<1，C为真命题；y＝tan x的值域为R，故存在x使得tan x＝2，D为真命题．故选B.6．命题“任意n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是()A．任意n∈N＋，f(n)∉N＋且f(n)>nB．任意n∈N＋，f(n)∉N＋或f(n)>nC．存在n∈N＋，f(n)∉N＋且f(n)>nD．存在n∈N＋，f(n)∉N＋或f(n)>n考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案 D解析“f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N＋或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.7．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是()A．存在x1∈R，f(x1)≤f(x0)B．存在x1∈R，f(x1)≥f(x0)C．任意x∈R，f(x)≤f(x0)D．任意x∈R，f(x)≥f(x0)考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断答案 C解析当a>0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方为抛物线顶点的横坐标，f(x)min＝f(x0)，故对于任意x∈R，f(x)≥程2ax＋b＝0，则x0＝－b2af(x0)成立，从而A，B，D为真命题，C为假命题．二、填空题8．若命题：“存在x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 考点 含有一个量词的命题题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 由题意得Δ＝(1－a )2－4＞0，解得a ＜－1或a ＞3.9．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是_________． 考点 存在量词的否定题点 含存在量词的命题的否定答案 任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6≠010．设命题p ：任意x ∈R ，x 2＋ax ＋2＜0，若p 为假命题，则实数a 的取值范围是________． 考点 全称量词的否定题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，＋∞)解析 命题p 的否定：存在x ∈R ，x 2＋ax ＋2≥0为真命题，显然a ∈R .11．命题“对任意x ∈R ，都有|x －2|＋|x －4|＞3”的否定是____________________________. 考点 全称量词的否定题点 含全称量词的命题的否定答案 存在x ∈R ，|x －2|＋|x －4|≤3三、解答题12．若命题“任意x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围． 考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围解 x 2－2ax ＋2≥a ，即x 2－2ax ＋2－a ≥0，令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称命题转化为“任意x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥0恒成立”，所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a 2－4(2－a )＞0，a ＜－1，f (－1)≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a ＜－2，所以－3≤a ≤1.故所求实数a 的取值范围为[－3,1]．13．已知p ：任意a ∈(0，b ](b ∈R 且b ＞0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a ＋π3的周期不大于4π.(1)写出命题p 的否定；(2)当命题p 的否定是假命题时，求实数b 的最大值．考点 全称量词的否定题点 全称量词的命题的否定解 (1)命题p 的否定：存在a ∈(0，b ](b ∈R 且b ＞0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a ＋π3的周期大于4π.(2)由于命题p 的否定是假命题，所以p 是真命题，所以任意a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立， 解得a ≤2，所以0＜b ≤2，所以实数b 的最大值是2.四、探究与拓展14．关于x 的函数y ＝x 2－(a ＋1)x ＋2a 对于任意a ∈[－1,1]的值都有y ＞0，则实数x 的取值范围为________________________________________________________________________． 考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 设f (a )＝x 2－(a ＋1)x ＋2a ，则有f (a )＝(2－x )a ＋x 2－x ，a ∈[－1,1]，∵当a ∈[－1,1]时，y ＝f (a )＞0恒成立，∴对a 的系数讨论如下：①当x ＝2时，f (a )＝2＞0显然成立；②当x ≠2时，由f (a )＞0，a ∈[－1,1]恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2＞0，x 2－2x ＋2＞0， 解得x ＞2或x ＜－ 2.综上，x ＞2或x ＜－ 2.15．给出两个命题，命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数，分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．(1)甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个真命题；考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围解 当甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，解得a ＞13或a ＜－1. 当乙命题为真时，2a 2－a ＞1，解得 a ＞1或a ＜－12. (1)甲、乙中至少有一个是真命题时，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞. (2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：当甲真乙假时，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤13，1；当甲假乙真时，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，－12. 所以，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤13，1. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。