第5章 随机信号通过线性系统解析
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第5章 随机信号通过线性系统_20120509
5.2 平稳白噪声通过LTI系统
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L a1x1 (t ) a2 x2 (t ) a1L x1 (t ) a2 L x2 (t )
时不变性：L x(t ) y(t )
系统完全由算子L[ ]确定。
2019/2/9 4
线性时不变系统的其他表示形式
线性时不变系统的输出可看成是输入信号的冲击响 应（严格说是零状态响应），表示为：
2019/2/9
10
证明：(1)
E Y (t ) E X (t u) h(u)du mX h(u )du mX H ( j 0)
其中 H ( j 0) h(u)du (2)
E Y (t1 ) X (t2 ) E X (t1 u ) X (t2 )h(u )du
y(t ) x(t ) h(t )
x(t u)h(u)du
Y ( jw) X ( jw) H ( jw)
其中 y(t ) Y ( jw)
x(t ) X ( jw)
h(t ) H ( jw)
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5
线性系统的输出过程
当输入信号X(t,ξi)是随机过程时，系统的输出Y(t,ξi) 映射为Y(t,ξi)=L[X(t,ξi)]。由于ξi在X(t)对应的整个 样本空间取值，使Y(t,ξi)成为随机函数，构造出一个 新的随机过程。 若输入信号的均方值E|X(t)|2存在，则该类信号是稳定 的。对于稳定的LTI系统，当输入信号稳定时，其输出 信号也一定是稳定的。稳定系统满足 h(u ) du
随机信号分析_第五章_窄带随机过程
定义复指数函数： ~s (t) ae j (t) ae j e j0t a~e j0t 式中 a~ ae j ，称为复包络。 可以看出s(t)是~s (t) 的实部，即：
s(t) Re[~s (t)]
某些情况下，用复指数形式来分析 问题更加简便，可以简化信号和滤波器 的分析。
复信号~s (t) 的频谱为：
1. s(t) Re[~s (t)]
2.
X~ (
)
2 0
X
(
)
0 0
式中X~ ( )为~s (t)的频谱。
可以证明：满足上面要求的 ~s (t) 是 存在的，称为解析信号。把它用解析表 达式表示为：~s (t) s(t) jsˆ(t)
可以推导出： sˆ(t)
1
s( ) d
t
上式称为希尔伯特(Hilbert)变换，记做
0
ω ω0-ωc ω0 ω0+ωc
|X~H(ω)|
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
2. 复指数表示
设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的复指数函数 ~se (t) 为：
~se (t) A(t)e j[0t (t)] A~(t)e j0t 其中A~(t)＝A(t)e j (t) sc (t) jss (t)
用复数表示为：
s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+ e-jφ(t)]/2
因为 e j0t ( 0 )
所以s(t)的频谱为：
X(ω)= a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2 |X(ω)|= a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2 说明正弦型信号包含正负两种频率成分， 其频谱为对称的两根单一谱线。
随机信号分析PPT课件
RY ( )
N0 (bebu)(beb(u))du 20
N0b2 eb e2budu N 0b e b
2
0
4
相关函数为偶函数，τ<0时
R Y ( )
输出自相关函数为
N 0b e b 4
RY()
N0beb 4
a
25
输出的平均功率为
E[Y 2 (t)] RY (0)
N 0b 4
b为时间常数的倒数
a
2
4.1 线性系统的基本理论 4.1.1 线性时不变系统
x(t)
y(t)
L[ ·]
y(t)L[x(t)]
连续时间系统 双侧系统
离散时间系统
单侧系统
a
双侧信号 单侧信号
3
线性系统
L [ a 1 ( t ) x b 2 ( t ) x a ][ x 1 ( t L ) b ][ x 2 ( L t )]
RXY()0 h(u)RX(u)du
输出自相关R 函YX数(为)0 h(u)RX(u)du
RY()h(u)h(v)RX(uv)dudv
0
R Y()0 h(u)RXY(u)du
R Y()0 h(u)R Y aX(u)du
18
输出的均方值（总平均功率）
E[Y2(t)]h(u)h(v)RX(uv)dudv
(
)
N 0b 4
eb
与白噪声输入时 情况相同
a
31
例4.3中的相关函数可以进一步表示为
R Y()4 N 0e b 1 b 1 2/ 2 1be ( b)
二、双侧随机信号
K X(t)
Y(t) h(t)
Y(t)0h(u)X (tu)U (tu)du
随机信号分析_第五章_窄带随机过程
解析过程的性质
3. RXˆX ( ) RˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( ) 式中 RXˆX ( ) E[Xˆ (t)X (t )] RXXˆ ( ) E[X (t)Xˆ (t )]
Rˆ X ( )表示RX ( )的希尔伯特变换
4. RXˆX ( ) RXXˆ ( ) 5. RXˆX ( ) RXˆX ( )
定义： 在区间(-∞<t<∞)内给定实值函数
x(t)，其希尔伯特变换记做 xˆ(t) 或者 H[x(t)]，有：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
1 x(t ) d
希尔伯特变换的性质
1. 希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。 等效于输入信号通过一个冲激响应为 h(t)=1/(πt)的线性系统。即：
X~() a~ ( 0)
说明复信号 ~s (t) 只包含正的频率成分， 而强度为X(ω)的两倍。
~s (t) 也可以分解为： ~s (t) s(t) js ' (t)
其中s’(t)=asin φ(t)=asin(ω0t+θ)，为与s(t) 正交的分量。
二、任意信号的复数表示方法
为了设简s化(t)分为析任，意用的复实信信号号~s，(t频)来谱表为示X，(ω它)。 必须满足：
因为：a(t) X (t) cos0t Xˆ (t) sin 0t b(t) X (t) sin0t Xˆ (t) cos0t
SX () 0S,X (),
| | c
others
则称X(t)为低通过程。
SX(ω)
-ωc 0 ωc ω
如果X(t)的功率谱密度为：
SX () 0S,X (),
0 c | | 0 c
others
第5章随机信号分析
Rxy () 0
R xy ( )
0 的最大峰值一般不在 处。
3. 估计
直接方法：
1 R ( m ) x ( n ) y ( n m ) xy N mn 0
^
N 1 m
1 R ( m ) y ( n ) x ( n m ) yx N mn 0
求傅立叶变换，得
N 1 ^
N 1N 1 1 j m j m R ( m ) e x ( n ) x ( n m ) e x N N N m ( N 1 ) m ( N 1 ) n 0
N 1 N 1 1 j m x ( n ) x ( n m ) e N N N n 0 m ( N 1 )
^
4 自相关函数的应用
检测淹没在随机噪声中的周期信号
x ( t ) x sin( t ) 0
T / 2 1 2 R ( ) lim x sin( t ) sin[ ( t ) ] dt x 0 T / 2 T T
t 令(
) ,则 dt 1 d
R 0 )R m ) X( X(
性质3
周期平稳过程的自相关函数必是周期函数， 且与过程的周期相同。
E[ X 2 (n)]
性质4
性质5
2 R ( 0 ) = EX [ ( n ) ] X
不包含任何周期分量的非周期平稳过程 满足
m 2 lim R ( m ) R ( ) X X X
平稳随机过程
均值和时间无关，是常数；自相关函数与时间的起点无关， 只与两点的时间差有关。
第5章随机信号通过线性系统
13
推论 若LTI系统的频响函数为H(jw)，则其互 功率谱与功率谱关系如下：
（1） SYX(w) = SX(w)H(jw) （2）SXY(w) = SX(w)H*(jw) （3） SY(w) = SX(w)|H(jw)|2
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第5章随机信号通过线性系统
14
2021/2/17
第5章随机信号通过线性系统
(4)
EY(t1)Y(t2)
E
X(t1
u)X(t2
v)h(u)h(v)dudv
RX( vu)h(u)h(v)dudv
RX
(
v)*h(
v)h(v)dv
RX()*h()*h()
2021/2/17
第5章随机信号通过线性系统
12
输出过程的均值与相关函数
X(t)
Y(t)
h(t)
mX
mY
RX(τ)
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第5章随机信号通过线性系统
3
若系统输入之线性组合的响应等于各自响应之线性 组合，则称该系统为线性系统。
对于线性系统, 若输入信号x(t)有时移, 使输出y(t)也 有一个相同的时移，即y(t-τ)=L[x(t-τ)], 则称该线性 系统为线性时不变(LTI)系统, 满足以下性质：
20
输出信号的时间平均为：
AY(t) lim 1
T 2T
T T
X (t
u)h(u)du
Tlim
1 2T
T T
X
(t
u)dt
h(u)du
AX(t u)h(u)du
如果X(t)是各态历经的，则A[X(t-u)]=mX(t-u)。
A Y (t) m X (t u )h (u )d u m Y (t)
第五章随机信号通过线性系统 笔记
第五章 随机信号通过线性系统 自学笔记2010552002 滕飞本章包括5个小节，5.1线性系统的基本性质；5.2随机信号通过线性系统；5.3白噪声通过线性系统；5.4线性系统输出端随机过程的概率分布；5.5随机序列通过线性系统。
本章主要研究线性系统问题。
5.1 线性系统的基本性质叠加定理：()()()()111n nnk k k k k k k k k y t L a x t a L x t a y t ===⎡⎤===⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑， a k 为任意常数线性系统：满足叠加原理的系统即为线性系统。
线性时不变系统：系统满足关系()()y t L x t ττ-=-⎡⎤⎣⎦，即一个线性时不变系统的冲击响应(),h t τ与时刻点t 无关。
线性时不变系统的传输函数设时不变线性系统的冲激响应函数为h(t)，系统输入为x(t)，输出为y(t)，且均为确知信号，则输入和输出的关系为：ττττττd t x h d t h x t h t x t y )()()()()(*)()(-=-==⎰⎰∞∞-∞∞-若)()]([),()]([),()]([ωωωH t h F Y t y F X t x F ===，则有 )()()(ωωωH X Y =式中函数)(ωH 称为系统的传输函数。
Δ重要傅里叶变换对：()()j t H h t e dt ωω+∞-∞=⎰()()12j t h t H e d ωωωπ+∞-∞=⎰系统传输函数的计算：设输入信号为x(t)，输出为y(t),则系统传递函数为：()()()[]j t j t y t L e H e x t ωωω== ， ()()j t j ty t L e H e ωωω⎡⎤==⎣⎦ 系统因果性：若系统 n 时刻的输出，只取决于n 时刻以及n 时刻以前的输入序列，而与n 时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。
系统稳定性：一个线性时不变系统，对于任意有限输入，其响应有界，则称此系统是稳定的。
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第5章
（1） 输出信号Y(t)的功率谱与自相关函数； （2） Y(t)的一维概率密度函数； （3） P［Y(t)≥0］。 解 （1） 输入X(t)是平稳信号， 采用如下的频域分
yt
xt
ht
h
x tΒιβλιοθήκη dx h td
第五章 随机信号通过线性系统分析
显然， y(t)也是一个确定的时间函数。 对于随机信号
X(t)中的所有样本函数{xi(t)}(i=1, 2, …)， 通过线性系统 后可得到另一个随机信号Y(t)所有的样本函数{yi(t)}(i=1, 2, …)。 其中
yi
t
yt
0
h
x t
d
t
x
h t
d
(5-5)
第五章 随机信号通过线性系统分析
若输入信号x(t)也是因果信号， 即当t<0时， 有x(t)=0， 上式可以写为
y
t
t
0
h
x
t
d
t
0
x
h
t
d
(5-6)
图5-3给出了线性时不变系统时域输入输出关系。
第五章 随机信号通过线性系统分析
图5-3 时域输入输出关系
(5-21)
若输入信号X(t)广义平稳， 且τ=|t2－t1|， 则式（5-
20）变为
RXY
h
RX
d
RX
h
(5-22)
第五章 随机信号通过线性系统分析
类似地， 式（5-21）变为
RYX(τ)=RX(τ)＊h(－τ)
(5-23)
根据以上分析， 我们可以得到重要的结论： 若输入
信号X(t)是平稳的， 则线性时不变系统输出Y(t)也是平稳的，
yt
xt
ht
h
x tΒιβλιοθήκη dx h td
第五章 随机信号通过线性系统分析
显然， y(t)也是一个确定的时间函数。 对于随机信号
X(t)中的所有样本函数{xi(t)}(i=1, 2, …)， 通过线性系统 后可得到另一个随机信号Y(t)所有的样本函数{yi(t)}(i=1, 2, …)。 其中
yi
t
yt
0
h
x t
d
t
x
h t
d
(5-5)
第五章 随机信号通过线性系统分析
若输入信号x(t)也是因果信号， 即当t<0时， 有x(t)=0， 上式可以写为
y
t
t
0
h
x
t
d
t
0
x
h
t
d
(5-6)
图5-3给出了线性时不变系统时域输入输出关系。
第五章 随机信号通过线性系统分析
图5-3 时域输入输出关系
(5-21)
若输入信号X(t)广义平稳， 且τ=|t2－t1|， 则式（5-
20）变为
RXY
h
RX
d
RX
h
(5-22)
第五章 随机信号通过线性系统分析
类似地， 式（5-21）变为
RYX(τ)=RX(τ)＊h(－τ)
(5-23)
根据以上分析， 我们可以得到重要的结论： 若输入
信号X(t)是平稳的， 则线性时不变系统输出Y(t)也是平稳的，
随机信号分析_第五章
若 实 际 系 统 是 低 通 型 的 ， 这 时 的 等 效 理 想 系 统 应 该 是 理 想 低 通 的 ， 其 幅 频 特 性 有 如 下 关 系 成 立 H (0 ) 2 , ω < ∆ ω e 2 H I( ω ) = ω > ∆ωe 0 理 想 系 统 的 输 出 平 均 功 率 为 ∞ N0 1 2 WI = H I( ω ) d ω 2π ∫−∞ 2 N 0 ∆ωe 2 = H(0) dω 2 π ∫0 根 据 等 效 原 则 W I = R Y( 0 ) ， 可 得 ∆ω
N0 −α τ RY (τ ) = αe 4
•白噪声通过微分系统
C
X(t)
R
Y(t)
1
0.8
0.6
0.4
jωRC H (ω ) = 1 + jωRC
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0.2
0 -5
功率谱密度： 功率谱密度：
N0 ω N0 2 GY (ω ) = H (ω ) = 2 2(ω 2 + α 2 )
∞
∞
0
∞ 1 1 df = f 3 ∫ dx 2n 2n 0 1+ x 1 + ( f / f3 )
πf 3 /(2n) = sin(π /(2n))
n=1时，∆fe=1.57f3； n=2时，∆fe=1.11f3
•5.3.2 白噪声通过理想低通系统 白噪声通过理想低通系统p133
|H(ω)| K0 -∆ω ∆ω ω
N0 K ∆ω 输出功率： 输出功率： σ = RY (0) = 2π
2 Y 2 0
RY (τ )
π / ∆ω
−π / ∆ω
τ
0
N0 −α τ RY (τ ) = αe 4
•白噪声通过微分系统
C
X(t)
R
Y(t)
1
0.8
0.6
0.4
jωRC H (ω ) = 1 + jωRC
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0.2
0 -5
功率谱密度： 功率谱密度：
N0 ω N0 2 GY (ω ) = H (ω ) = 2 2(ω 2 + α 2 )
∞
∞
0
∞ 1 1 df = f 3 ∫ dx 2n 2n 0 1+ x 1 + ( f / f3 )
πf 3 /(2n) = sin(π /(2n))
n=1时，∆fe=1.57f3； n=2时，∆fe=1.11f3
•5.3.2 白噪声通过理想低通系统 白噪声通过理想低通系统p133
|H(ω)| K0 -∆ω ∆ω ω
N0 K ∆ω 输出功率： 输出功率： σ = RY (0) = 2π
2 Y 2 0
RY (τ )
π / ∆ω
−π / ∆ω
τ
0
第5章_随机过程通过线性系统_
G YX ( ω ) = G X ( ω ) H ( ω )
∞
∫ h(τ )x ( t τ , ξ
∞
∞
i
)d τ
∫ h(τ )x ( t τ , ξ
0
i
)d τ
也只能是随机过程的一个样本且有界。 即，系统输出 y(t,ξi ) 也只能是随机过程的一个样本且有界。 其无法代表系统输出随机过程的全体。 其无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本
x(t , ξ ) 都是有界的，才有 都是有界的，
其中， 称为系统的功率传输函数 所以， 系统的功率传输函数。 其中，|H(ω)|2称为系统的功率传输函数。所以， 系统的输出功率=系统的输入功率 系统的输入功率× 系统的输出功率 系统的输入功率× |H(ω)| 2。
系统输出Y(t)的自相关函数 的自相关函数 系统输出
1 +∞ RY (τ ) = GY (ω )e jωτ dω 2π ∫ ∞ 1 +∞ 2 H (ω ) G X (ω )e jωτ dω = 2π ∫ ∞
x(t ) X (ω) h(t ) H (ω) y(t ) = x(t ) h(t ) Y (ω) = X (ω) H (ω)
问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、 问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以 及与系统函数间的关系如何？ 及与系统函数间的关系如何？
随机信号——函数值无法用数学式或列表形式确切的表述 。 函数值无法用数学式或列表形式确切的表述。 随机信号 函数值无法用数学式或列表形式确切的表述 其原因是： 其原因是： 随机性，即任何时刻点上的取值不能预先确定。 1.随机性，即任何时刻点上的取值不能预先确定。因为 随机过程（ 信号） 随时间或依时序组成的每个时间点上 随机过程 （ 信号 ） 是 随时间或依时序组成的 每个时间点上 随机变量的集合 的集合， 的 随机变量 的集合 ， 所以随机信号每个时间点上对应的函 数值都是一个随机变量 。 即便通过一个具体的实验所得到 数值都是一个 随机变量。 随机变量 的确定函数 也只能是该随机过程的一个样本函数 函数， x ( 函数 的确定函数，也只能是该随机过程的一个样本t , ξ i ) ， 它也无法表征整个随机过程的行为 它也无法表征整个随机过程的行为 。 波及性， 2.波及性，随机过程可以认为是某个随机系统中某一个 端口的输出， 端口的输出 ， 各时间点上随机变量的取值往往具有前后的 波及影响， 既不同时间点上随机变量间的关联性。 波及影响 ， 既不同时间点上随机变量间的关联性 。 这种波 及或关联性是由随机系统的各种惯性决定的。 惯性决定的 及或关联性是由随机系统的各种惯性决定的。
∞
∫ h(τ )x ( t τ , ξ
∞
∞
i
)d τ
∫ h(τ )x ( t τ , ξ
0
i
)d τ
也只能是随机过程的一个样本且有界。 即，系统输出 y(t,ξi ) 也只能是随机过程的一个样本且有界。 其无法代表系统输出随机过程的全体。 其无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本
x(t , ξ ) 都是有界的，才有 都是有界的，
其中， 称为系统的功率传输函数 所以， 系统的功率传输函数。 其中，|H(ω)|2称为系统的功率传输函数。所以， 系统的输出功率=系统的输入功率 系统的输入功率× 系统的输出功率 系统的输入功率× |H(ω)| 2。
系统输出Y(t)的自相关函数 的自相关函数 系统输出
1 +∞ RY (τ ) = GY (ω )e jωτ dω 2π ∫ ∞ 1 +∞ 2 H (ω ) G X (ω )e jωτ dω = 2π ∫ ∞
x(t ) X (ω) h(t ) H (ω) y(t ) = x(t ) h(t ) Y (ω) = X (ω) H (ω)
问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、 问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以 及与系统函数间的关系如何？ 及与系统函数间的关系如何？
随机信号——函数值无法用数学式或列表形式确切的表述 。 函数值无法用数学式或列表形式确切的表述。 随机信号 函数值无法用数学式或列表形式确切的表述 其原因是： 其原因是： 随机性，即任何时刻点上的取值不能预先确定。 1.随机性，即任何时刻点上的取值不能预先确定。因为 随机过程（ 信号） 随时间或依时序组成的每个时间点上 随机过程 （ 信号 ） 是 随时间或依时序组成的 每个时间点上 随机变量的集合 的集合， 的 随机变量 的集合 ， 所以随机信号每个时间点上对应的函 数值都是一个随机变量 。 即便通过一个具体的实验所得到 数值都是一个 随机变量。 随机变量 的确定函数 也只能是该随机过程的一个样本函数 函数， x ( 函数 的确定函数，也只能是该随机过程的一个样本t , ξ i ) ， 它也无法表征整个随机过程的行为 它也无法表征整个随机过程的行为 。 波及性， 2.波及性，随机过程可以认为是某个随机系统中某一个 端口的输出， 端口的输出 ， 各时间点上随机变量的取值往往具有前后的 波及影响， 既不同时间点上随机变量间的关联性。 波及影响 ， 既不同时间点上随机变量间的关联性 。 这种波 及或关联性是由随机系统的各种惯性决定的。 惯性决定的 及或关联性是由随机系统的各种惯性决定的。
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2018/11/24
6
几种特殊情形下Y(t)的概率分布
• 如果X(t)是高斯过程，则Y(t)也是高斯过程，且 X(t)与Y(t)是联合高斯的； • 若窄带随机信号通过宽带系统，当在信号X(t)的 通带内H(jw)几乎不变时，即Y(t)≈kX(t)，k为常数， 则Y(t)与X(t)具有相似的概率特性； • 如果宽带随机信号X(t)通过窄带系统，当X(t)的带 宽大于系统带宽约7-10倍时，可近似认为Y(t)总是 高斯的，即使X(t)是一般随机信号。
令τ=t1-t2, v=-u
RXY ( ) RX ( v)h(v)dv RX ( )* h( )
(4)
E Y (t1 )Y (t2 )
E X (t1 u ) X (t2 v) h(u )h(v)dudv
RX (t1 u t2 )h(u )du
RX [(t1 t2 ) u ]h(u )du
令τ=t1-t2
RYX ( ) RX [ u]h(u)du RX ( )* h( )
2018/11/24
11
(3)
E X (t1 )Y (t2 ) RX t1 (t2 u) h(u )du RX (t1 t2 u )h(u )du
2018/11/24
9
定理5.2 若X(t)为平稳过程，h(t)为实LTI系 统，Y(t)=X(t)*h(t)，则X(t)与Y(t)是联合广义 平稳过程，并且有 (1) mY = mXH(j0) (2) RYX(τ) = RX(τ)*h(τ) (3) RXY(τ) = RX(τ)*h(-τ) (4) RY(τ) = RX(τ)*h(τ)*h(-τ)
2018/11/24
Hale Waihona Puke 10证明：(1)E Y (t ) E X (t u) h(u)du mX h(u )du mX H ( j 0)
其中 H ( j 0) h(u)du (2)
E Y (t1 ) X (t2 ) E X (t1 u ) X (t2 )h(u )du
L a1x1 (t ) a2 x2 (t ) a1L x1 (t ) a2 L x2 (t )
时不变性：L x(t ) y(t )
系统完全由算子L[ ]确定。
2018/11/24 4
线性时不变系统的其他表示形式
线性时不变系统的输出可看成是输入信号的冲激响 应（严格说是零状态响应），表示为：
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系统输出过程的均值与相关函数
定理5.1 对于任何稳定的线性系统，有 E{L[X(t)]} = L{E[X(t)]}。
证明：由于是稳定的LTI系统，求均值与求积分可以 交换顺序，则
E X (t u )h(u )du E X (t u ) h(u )du L E X (t )
RX ( v u )h(u )h(v)dudv
RX ( v) * h( v)h(v)dv RX ( ) * h( ) * h( )
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输出过程的均值与相关函数
X(t) mX h(t) Y(t) mY
RX(τ) h(τ)
第5章 随机信号通过线性系统
目录
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 具有随机输入的线性时不变系统 平稳白噪声通过LTI系统 信号功率谱与带宽 噪声中的信号处理 平稳序列通过离散LTI系统
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5.1 具有随机输入的线性时不变系统
x(t) L y(t)
一个系统对输入信号x(t)的作用，可以表示为 y(t)=L[x(t)]，其中x(t)是系统的输入，y(t)是系统的 输出，L[x(t)]表示系统对x(t)的作用，是对信号x(t) 进行运算的符号，称为运算子。L代表各种可能的 数学运算方法，例如加法、减法、乘法、微分、 积分以及微分方程、积分方程的求解运算等。
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• 对于时不变系统，若过程X(t)与X(t+τ)的分 布特性相同，则过程Y(t)与Y(t+τ)的分布特 性也相同。 • 如X(t)是严格平稳的，则Y(t)也是严格平稳 的。如X(t)是广义平稳的，则Y(t)也是广义 平稳的。而且X(t)与Y(t)是联合广义平稳的。
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RYX(τ) h(-τ)
RY(τ)
定义系统（冲激响应）的相关函数为
rh (t ) h(t ) h(t ) h(t u)h(u)du
y(t ) x(t ) h(t )
x(t u)h(u)du
Y ( jw) X ( jw) H ( jw)
其中 y(t ) Y ( jw)
x(t ) X ( jw)
h(t ) H ( jw)
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线性系统的输出过程
当输入信号X(t,ξi)是随机过程时，系统的输出Y(t,ξi) 映射为Y(t,ξi)=L[X(t,ξi)]。由于ξi在X(t)对应的整个 样本空间取值，使Y(t,ξi)成为随机函数，构造出一个 新的随机过程。 若输入信号的均方值E|X(t)|2存在，则该类信号是稳定 的。对于稳定的LTI系统，当输入信号稳定时，其输出 信号也一定是稳定的。稳定系统满足 h(u ) du
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若系统输入之线性组合的响应等于各自响应之线性 组合，则称该系统为线性系统。
对于线性系统, 若输入信号x(t)有时移, 使输出y(t)也 有一个相同的时移，即y(t-τ)=L[x(t-τ)], 则称该线 性系统为线性时不变(LTI)系统, 满足以下性质： 线性性：对于任何a1, a2, x1(t), x2(t)与τ，有