6.1 电磁场边界积分方程

边界积分方程方法
边界积分方程（BEM）是一种拟解多物理场和流体动力学领域的复杂偏微分方程计算
的数值分析方法。

它把原本的偏微分方程计算用积分方程来近似计算，克服了结构复杂、
难以解析的缺点，在很多领域获得了广泛的应用，如电磁学、电离层流动和结构动力学及
一些其他领域，尤其在电离层研究领域中，电磁边界积分方程在今日依然是最主要的计算
工具。

边界积分方程基于多重物理场之间的相互作用来反映非常复杂的系统行为，包括对流体、传热、化学改变和其他复杂行为的分析。

它的基本思想是采用积分形式来求解偏微分
方程，该方法将原来的偏微分方程变形为一系列积分方程，在定义区域的边界条件中假定
某种定义的间断解矩阵的解，其核心思想是在一空间区域外选择一组积分公式，以导出相
应的积分公式系统，此时此系统存在了数值解。

经典的边界积分方法把求解问题看作一个由多个区域组成的体系，可以把每个区域看
作一个积分单元，每个区域边界处只要给定边界条件，然后再求解积分公式系统中的解即
可得到整个体系的解。

边界积分可以用来解答多物理场问题，这些问题中不仅有偏微分方程，还有表面积和容量的求解，边界积分方法核心思想是，以某空间区域外为基本，选择
一组积分公式，以导出相应的积分公式系统，此时此系统存在了数值解。

在边界积分方法中，系统方程和边界条件必须要有解，只有当非限定形式的积分系统
有解时，系统的解才有意义，边界积分方法把原本复杂的偏微分方程转换为边界积分求解，使得解的求解更为简单。

第六章 边界单元法有限元法属于偏微分方程法。

对于求解有界电磁场域的场分布，尤其是有复杂边界和多种媒质、线性或非线性、静态或时变场的数值计算都是十分成功的，有的文献认为有限元法是应用最广，最重要的数值分析方法。

当然，任何一种数值分析方法都不是万能的，有限元法的不足之处主要表现为： 1. 对于无界求解区域的处理比较困难；2. 所求得的数值解是位函数值，再通过求导，一般比位值的精度低一个数量级，所以计算精度较低；3. 对时变电磁场的求解，计算量太大。

在以上这几点所反映的问题上，边界单元法解决得比较好，有明显优势。

此外，边界单元法还具有能降低所研究问题的维数，离散剖分和数据准备简单等特点，它已成为计算场的重要方法，我们需要进行学习。

6.1 电磁场边界积分方程6.1.1电磁场边界元方程的基本关系设三维线性泊松方程为所求场的控制方程，D 是具有边界面S 的求解区域。

在S 上含有给定的第一和第二类边界条件的边界1S 和2S ，21S S S +=。

对于这类恒定场，定解问题可表示为：式中：u 表示位函数，f 是场源密度函数（如ερ-）。

若已求得近似解u ~，带入边值问题，用R 、1R 和2R 分别表示方程余量及边界余量：f u R -∇=~2u u R S ~-=1S q q R -=2取权函数w ，按加权余量法，令误差分配的加权积分为： 021>=<->∂∂<-><R w R nw R w ,,,即有如下方程()()()⎰⎰⎰-+∂∂-=-∇21d d ~d ~2S SS S Ds w q q s n w u u v w f u由矢量恒等式()uw u w u w 2∇+∇⋅∇=∇⋅∇()u w u w u w ∇⋅∇-∇⋅∇=∇⇒2①()w u w u w u 2∇+∇⋅∇=∇⋅∇()w u w u w u ∇⋅∇-∇⋅∇=∇⇒2②①-②在D 域上做体积分()()⎰⎰∇-∇⋅∇=∇-∇DDV w u u w V w u u w d d 22()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∇-∇S Ds n u u nuw v w u u w d d 22称为格林第二恒等式。

电荷守恒定律：电荷既不能被创造,也不能被消灭,它们只能从一个物体转移到另一个物体,或从物体的一部分转移到另一部分,在任何物理过程中电荷的代数和总是守恒的．名称电场力 磁场力库伦力 安培力 洛仑兹力 涡旋电场力定义式12021F 4q q r rπε=d d F I l B =⨯（微分式）d L F I l B =⨯⎰（积分式）F qv B =⨯ 洛仑兹力永远不对粒子做功 涡旋电场对导体中电荷的作用力名称 电场强度（场强）电极化强度矢量 磁场感应强度矢量 磁化强度定义单位电荷在空间某处所受电场力的大小,与电荷在该点所受电场力方向一致的一个矢量．即：FE q=．库伦定理：12021F 4q q r r πε=某点处单位体积内因极化而产生的分子电矩之和.即：i V =∆∑i p P单位运动正电荷qv在磁场中受到的最大力m F .即：mF B qv= 毕奥-萨法尔定律：112212L Idl r B 4r μπ⨯=⎰单位体积内所有分子固有磁矩的矢量和m p ∑加上附加磁矩的矢量和.用m p ∆∑表示. 均匀磁化：mmp pM V+∆=∆∑∑不均匀磁化：limmmV P p M V∆→+∆=∆∑∑电偶极距：e P l =q 力矩：P E ⨯L=磁矩：m P ISn = L IS n B =⨯（）电力线 磁力线 静电场的等势面定义就是一簇假想的曲线,其曲线上任一点的切线方向都与该点处的E 方向一致. 就是一簇假想的曲线,其曲线上任一点的切线方向与该点B 的方向相同.就是电势相等的点集合而成的曲面. 性质(1) 电力线的方向即电场强度的方向,电力线的疏密程度表示电场的强弱． (2)电力线起始于正电荷,终止于负电荷,有头有尾,所以静电场是有源(散)场； (3) 电力线不闭合,在没有电荷的地方,任意两条电力线永不相交,所以静电场是无旋场． 静电场是保守场,静电场力是保守力． (1)磁力线是无头无尾的闭合曲线,不像电力线那样有头有尾,起于正电荷,终于负电荷,所以稳恒磁场是无源场． (2)磁力线总是与电流互相套合,所以稳恒磁场是有旋场． (3)磁力线的方向即磁感应强度的方向,磁力线的疏密即磁场的强弱． (1)沿等势面移动电荷时静电力不作功； (2)等势面的电势沿电力线的方向降低； (3)等势面与电力线处处正交； (4)等势面密处电场强,等势面疏处电场弱.名称 静电场的环路定理 磁场中的高斯定理 定义 静电场中场强沿任意闭合环路的线积分通过任意闭合曲面S 的磁通量恒等于0.人生在搏，不索何获渭南师院08级物理学班刘占利 2009-9-221(称作环量)恒等于零．即：d 0LE l ⋅=⎰． 即：SB dS 0⋅=⎰⎰说明的问题电场的无旋性磁场的无源性电位差（电压）：单位正电荷的电位能差．即：B AB ABABA W A U Edl q q===⎰．磁介质：在磁场中影响原磁场的物质称为磁介质．名称 电通量 磁通量定义 电通量就是垂直通过某一面积的电力线的条数,用 e Φ表示.即：SSe E dS EdScos θΦ==⎰⎰⎰⎰垂直通过某曲面磁力线的条数叫磁通量,用m Φ表示.即：SSm B dS BdScos θΦ==⎰⎰⎰⎰名称 静电感应 磁化定义 电场对电场中的物质的作用 磁场对磁场中的物质的作用在介质中求电（磁）场感应强度:方法 利用电介质时电场的高斯定理求电场感应强度利用磁介质中的安培环路定理求磁场感应强度 原理通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和．0d SS q ⋅=∑⎰D S 内0ε=+D E PP n δ=⋅e 0P E χε=（各向同性介质）e 1r εχ=+0r εεε==D E E磁场强度沿任意闭合路径的线积分(环量)等于穿过以该路径为边界的面的所有传导电流的代数和,而与磁化电流无关．d H l I ⋅=∑⎰BH M μ=-M j n =⋅m M H χ=（各向同性介质）1r m μχ=+0H r B H μμμ==解题步骤（1）分析自由电荷分布的对称性,选择适当的高斯面,求出电位移矢量D ．（2）根据电位移矢量D 与电场E 的关系,求出电场E ． （3）根据电极化强度P 与电场E 的关系,求出（1）分析传导电流分布的对称性,选择适当的环路,求出磁场强度H ．（2）根据磁场强度H 与磁场感应强度矢量B 的关系,求出磁场感应强度矢量B ．（3）根据磁化强度M 与磁场感应强度矢量B 的2电极化强度P ． （4）根据束缚电荷e δ与电极化强度P 关系,求出束缚电荷e δ．关系,求出磁场强度M ．（4）根据磁化电流0I 与磁化强度M 关系,求出磁化电流0I ．电（磁）场能量： 电场 磁场 电磁波能量密度 e 1D E 2ω=⋅ m 1B H 2ω=⋅ 22221()2e m w w w E H E H εμεμ=+=+==能量 2e 11W D EdV=CU 22=⋅⎰⎰⎰ 2m 11W B HdV=LI 22=⋅⎰⎰⎰ m W D EdV=B HdV =⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰位移电流与传导电流比较静电场 涡旋电场 传导电流 位移电流不同点电荷 变化的磁场 自由电荷运动 变化的电场电力线不闭和 电力线闭和 产生焦耳热 不产生焦耳热相同点 对电荷都有力的作用 产生等效的磁效应四种电动势的比较： 电动势 产生原因 计算公式 动生 洛仑兹力：q F v B =⨯d i Lv B l ε=⨯⋅⎰感生涡旋电场力：F qE =涡i d d d d L SB E l S t ε=⋅=-⋅⎰⎰⎰自感自身电流变化：m N LI Φ= i d d ILt ε=- 互感 相互电流变化：211MI φ= 122MI φ= 121d d I M t ε=- 212d d IM tε=- 关系：12L L M k = 楞次定律：闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。

计算电磁学中积分方程方法胡 俊电子科技大学得宜于电子计算机与数值算法的快速发展，以计算机数值求解电磁问题的科学—计算电磁学已成为十分热门的研究方向，现已广泛应用于先进作战武器设计、雷达目标自动识别、地球物理探测、微波遥感与成象、微波集成电路设计、高速电路信号完整性分析等众多领域。

其编制的数值程序极强的通用性、普适性与可靠性，使该学科成为了除实验测量以外的重要电磁分析手段。

第一章 矩量法概论随着计算机技术的发展，我们可以进行的计算量越来越大，精度越来越高。

在绝大多数情况下，数值算法的精度都可以达到要求，并且，应用数值算法还可以解决用解析法不能解决的问题。

因此，数值方法的应用越来越广泛，而以数值计算为基础的计算电磁学在过去的几十年里也得到了长足的发展。

本章所谈到的矩量法就是计算电磁学中的一种常用计算方法。

矩量法既可用于求解微分方程，也可用于求解积分方程。

但目前已经有了求解微分方程的有效方法――差分法、有限元法，所以矩量法大多用来求解积分方程。

目前，矩量法的应用已相当广泛。

例如，求天线的辐射场时，首先用矩量法求解天线上的电流分布，即求解电流分布的积分方程；求某个目标的散射场或透射场时，也要先用矩量法来求解目标上的电流分布，得出电流分布后再由积分求得总场。

本章简要介绍了矩量法的基本理论和求解过程，对于它的详细介绍及更多应用，请参考有关文献[2][3]。

1.1 矩量法的数学基础矩量法的基本思想是将一个泛函方程化为一个矩阵方程，然后用人们熟知的方法求解该矩阵方程。

这要用到线性空间和算子的概念，因此，在介绍矩量法之前，我们要先介绍一些这方面的基础知识。

考虑两个非空空间A 和B ，其元素分别为321,,a a a …和321,,b b b …，我们定义映射M 为这样一个规则，即A 的每个元素a 对应一个B 的元素b ，这个映射运算符号表示为)(a M b =一些有意义的特定映射是：函数——表示为)(x f y =，把具有元素x 的标量空间X 映射到具有元素y 的标量空间Y 。