边界积分方程再认识及其软件研发——纪念杜庆华院士诞辰100周年

研辉
期，
过
了。
日没
顿 代，而.在
正确的年代， 过极好的机缘。
年后我返
回高校学习、研
，
经开始衰
'于
，研
极
'但，
，这
后 点“余辉”罢。闿
日本回国专门从事
件研发时，边
日
，
上被
一获得研究
经
，文
发表。
终相信，
种学
。有
种工
，而 学
工
问
终
。工
现、效率
高，因为其计
。
但是，一旦
几何
，网
得极为 。这 几十年来，尽
雄厚的国际大公司的大量人力和财力投入，但
如黑洞就是广义相对论方程的一个奇异解。爱丁顿 不相信黑洞存在，以致于钱德拉塞卡博士后出站时 在英国找不到工作，然而30年后钱德拉塞卡获得了 诺贝尔奖。所以，正因为奇异基本解的存在，边界元 法才可以称得上是科学的方法。
求解边值问题有三大类数值方法:有限差分法、 有限元法和边界元法,三者进行对比见表1 o
CAE/CAD ■
研究至今没 正实现的原因。
另外，
原
种 （弱形
收稿日期：2019-04-14 作者简介：张见明（1965—）,男，湖北孝感人,教授,博导，博士，研究方向为有限元法、边界元法和基于边界积分方程的5aCAE软件开发,
（E-mail） zhangjm@ hnu. cdu. cn
cae@ shmtu. edu. cn & smucae@ 163. com
表1求解边值问题的三大类数值方法对比
方法
特点和适用问题
有限差分法
♦直接用二次差分近似二阶微分，没有使用散度定理 ♦计算效率高，精度低 ♦网格规则，不适应复杂边界，与CAD接口困难 ♦不适应求解无限域问题（声场、电磁波等） ♦不适应求解奇异性问题（裂纹及扩展）
有限元法
♦在等效弱形式上一次使用散度定理,试函数上只有一阶微分算子 ♦计算效率高（系数矩阵稀疏、对称），位移精度高，但应力精度差 ♦网格可以不规则，但要求形状好且连续，网格自动划分至少要求CAD模型“干净* ♦与CAD接口相对容易，但一旦采用抽象单元（如杆、梁和壳等），与CAD完全无缝连接就几乎不可能 ♦通过引入人工假设可以求解无限域问题和奇异性问题，但计算精度偏低，很难做到自动化
边界元法
♦ 等效
次使用散度定理，试
没有微分算子 用
♦计算效率相对较低（系数矩阵稠密、非对称），但快速多极算法可以克服这一缺陷
♦位移和应力精度都很高
♦网格任意，可不规则、不连续，可与CAD天然无缝连接，且不要求CAD模型“干净*
♦可自然地求解无限域问题和奇异-性问题
由上面的对比可以看到,边界元法是一个近似
值此杜庆华院士诞辰一百周年之际，我的导师
姚振
文。
研杜先
年，
杜
，
研
，以此来纪念杜先生。
我与边界元法的缘分可追溯到20世纪80年代
,
学 学习。由于杜
,
学许
研
，包
文、乐
'
,
,
杜
，印
杜
高
物。记得 我
被
优 吸引，产 几点幼稚
想法，
小 文，通过
毕业设计指
李中华 给
看，
还为
是研
。由于种种原因， 毕业后我没有
继续读研 ，而选择去企业工作，这样，我
时起步，两者“并驾齐驱”。有限元软件越做越大越
强,而边界元软件在初期虽有几款，但不久都日渐式
微、昙花一现。个中原因,我试想有以下几种：
（1） 早期计算机硬件不够发达,计算机资源十
分有限，算法的效率和内存需求成为最突出的问题。
（2）
研 者没
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的本质优点，错误地以为其最大优点是降维（只划
源自文库
——
其软件研发
100肩
张见明 （湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙410082）
序言：值杜庆华院士诞辰一百周年之际，感念与杜先生交往的（滴及杜先生对边界元法研究的贡 献，对比有限差分法、有限元法和边界元法各自适用问题的特（，呼吁学者们勇敢面对边界元法及 其自主CAD/CAE软件研发劳动强度大、研究经费难的现状，直面边界元法被日渐边缘化的困境， 遇山钻洞、遇堑搭桥,继承和发扬杜先生开创的边界元法，并以此纪念杜先生！
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2
计算机辅助工程
2019 年
式），有限元法得到的解不能满足原微分方程。所 以,其精度，特别是结构危险部位的应力精度，通常 不能令人非常满意。边界积分方程可与原微分方程 完全等价，而且对试函数的连续性要求比有限元法 还要低。边界积分方程的基本解其实就是物理定律 在位势理论中的表达式o工程师也许不欣赏基本解 的奇异性，但奇异性是所有物理定律的共同特性,比
分表面网格）。对于非均质非线性问题,花费大量
精力用于避免体积分，甚至在避免奇异积分方面也
浪费了不少精力。虽然这些研究得到了一些数学形
式上漂亮的结果,但最终都是徒劳。
（3）
件现用
格，对结构的边界变量描述不完备，也不能逾越有限
元法在CAE/CAD —体化过程中面临的鸿沟。
断了。
20
90年代末，我投身 振
门
下研
。亲眼看
慕 学者时，杜
经八 岁了。虽然有点老态龙钟，但学者
风范犹存。
次，杜 去上海
学访问，
指派我陪同，终于有机 杜 第一次亲
密 ，发现杜
蔼可亲的慈祥 。
后来，我去日本做博士后研究，杜 为
推荐
信，还特意向 绍
日 合作者田
，
提
日 活的注意事项。至今想来，仍存
杜
研
年
间，
第 2"
2J
2019 6 月
计算机
程
Computer Aided Engineering
CAD/CAE/CAM自主创新论坛
Independent CAD/CAE/ CAM Innovation Forum
Vol. 28 No. 2 Jun. 2019
: DOI 10. 13340/j. car. 2019. 02. 001
can be patient for il is eternal”。我相信，“边界积分
方程可以等待，因为它是科学的。”当今世界，技术
虽然日新月异，但基础理论几乎不变。所以，基于科
学方法开发的软件,必定会经久不衰。
边界积分方程理论（即高等数学里的第二格林
公式）的提出，最早可追溯到19世纪，比有限元理
论早100多年。边界元法的研究几乎与有限元法同
“圆满”的方法。然而,如此“优雅完美”的理论方法
却没有产生一定规模的工程应用,迅速地面临被边
缘化的尴尬境地。每当翻看杜先生编写的《边界积
分方程方法一边界元法》，我就想到前贤们做了
那么多精深细致的工作,难道这些工作就要被淹没、
被淘汰、被遗忘？！每念及此，心沉鼻酸。“孤标傲
世偕谁隐,一样开花为底迟?” Heaviside曾说“ Logic