高考数学总复习第九章平面解析几何专题探究课五高考中解析几何问题的热点题型学案
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第九章 平面解析几何第1课时 直线的倾斜角与斜率⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书(文)111~112页 (理)116~117页1. (原创)设m 为常数,则过点A(2,-1),B(2,m)的直线的倾斜角是________. 答案:90°解析:因为过点A(2,-1),B(2,m)的直线x =2垂直于x 轴,故其倾斜角为π2.2. (必修2P 80第1题改编)过点M(-2,m),N(m ,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为________.答案:1解析:由1=4-mm +2,得m +2=4-m ,m =1.3. (原创)若过点P(1-a ,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α为钝角,则实数a 的取值范围是________.答案:-2<a <1解析:tan α=2a -(1+a )3-(1-a )=a -12+a .由a -12+a <0,得-2<a <1.4. (必修2P 70练习4改编)已知A(-1,23),B(0,3a),C(a ,0)三点共线,则此三点所在直线的倾斜角α=________.答案:2π3解析:若a =0,则B ,C 重合,不合题意,从而由A ,B ,C 三点共线得k AB =k BC ,即3a -230+1=0-3a a -0,解得a =1.从而B(0,3),此三点所在直线的斜率为k AB =3-230+1=-3,即tan α=-3,而α∈[0,π),所以α=2π3.5. 设直线l 的倾斜角为α,且π4≤α≤5π6,则直线l 的斜率k 的取值范围是______________.答案:⎝⎛⎦⎥⎤-∞,-33∪[1,+∞)解析:由k =tan α关系图(如下)知k∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-33∪[1,+∞).1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时,所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角,并规定:与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0;直线的倾斜角α的取值范围为[0,π).2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示,即k =tan α.由正切函数的单调性可知,倾斜角不同的直线其斜率也不同.3. 过两点的斜率公式过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线,当x 1≠x 2时,斜率公式k =tan α=y 2-y 1x 2-x 1,该公式与两点的顺序无关;当x 1=x 2时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°.题型1 直线的倾斜角和斜率之间的关系, 1) 如果三条直线l 1,l 2,l 3的倾斜角分别为α1,α2,α3,其中l 1:x-y =0,l 2:x +2y =0,l 3:x +3y =0,则α1,α2,α3从小到大的排列顺序为____________.答案:α1<α2<α3解析:由tan α1=k 1=1>0,所以α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2.tan α2=k 2=-12<0,所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,α2>α1.tan α3=k 3=-13<0,所以α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,α3>α1,而-12<-13,正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π上单调递增,所以α3>α2.综上,α1<α2<α3.变式训练如果下图中的三条直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则k 1、k 2、k 3从小到大的排列顺序为____________.答案:k 1<k 3<k 2解析:设三条直线的倾斜角分别为α1,α2,α3.由题图知,k 1<0,k 2>0,k 3>0,另外,tan α2=k 2>0,α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,tan α3=k 3>0,α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,而α3<α2,正切函数在⎝⎛⎭⎪⎫0,π2上单调递增,所以, k 3<k 2.综上,k 1<k 3<k 2.题型2 求直线的倾斜角和斜率, 2) 已知点M(-4,3),N(2,15),若直线l 的倾斜角是直线MN 的倾斜角的一半,求直线l 的斜率.解:设直线l 的倾斜角是θ,则直线MN 的倾斜角为2θ,由已知得tan2θ=k MN =15-32+4=2,即2tan θ1-tan 2θ=2, 所以tan 2θ+tan θ-1=0,解得tan θ=-1+52或tan θ=-1-52,由tan2θ=2>0知,2θ必为锐角,从而θ为锐角,故tan θ=-1+52.备选变式(教师专享)已知点A(-3,1),点B 在y 轴上,直线AB 的倾斜角为2π3,求点B 的坐标.解:B 点的坐标设为(0,y),再利用k =tan θ以及两点求斜率公式tan120°=y -10+3,得y =-2,所以B 的坐标为(0,-2).题型3 求直线的倾斜角和斜率的取值范围, 3) (2014·苏州调研)经过P(0,-1)作直线l ,若直线l 与连结A(1,-2)、B(2,1)的线段总有公共点,则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________,________.答案:[-1,1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π解析:如图所示,结合图形:为使l 与线段AB 总有公共点,则k PA ≤k ≤k PB ,而k PB >0,k PA <0,故k<0时,倾斜角α为钝角,k =0时,α=0,k>0时,α为锐角.又k PA =-2-(-1)1-0=-1,k PB =-1-10-2=1,∴ -1≤k≤1.又当0≤k≤1时,0≤α≤π4;当-1≤k<0时,3π4≤α<π. 故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π.备选变式(教师专享)直线l 经过A(2,1)、B(1,m 2)(m∈R )两点,那么直线l 的倾斜角的取值范围是________.答案:α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π解析:k =tan α=m 2-11-2=1-m 2≤1,所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π.1. (2014·山西联考)直线xsin α+y +2=0的倾斜角的取值范围是________.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π 解析:设直线的倾斜角为θ,则有tan θ=-sin α,其中sin α∈[-1,1].又θ∈[0,π),所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.2. 已知点A(1,3),B(-2,-1),若直线l :y =k(x -2)+1与线段AB 相交,则k 的取值范围是________.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,12 解析:由题意知直线l 恒过定点P(2,1),如图.若l 与线段AB 相交,则k PA ≤k ≤k PB .∵ k PA =-2,k PB =12,∴ -2≤k≤12.3. 已知实数x 、y 满足(x -2)2+(y -1)2=1,求z =y +1x的最大值与最小值.解:y +1x表示过点A(0,-1)和圆(x -2)2+(y -1)2=1上的动点(x ,y)的直线的斜率.如图,当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值和最小值.设切线方程为y =kx-1,即kx -y -1=0,则|2k -2|k 2+1=1,解得k =4±73.因此,z max =4+73,z min =4-73.4. 如图所示,射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点,当AB 的中点C 恰好落在直线y =12x 上时,求直线AB 的斜率.解: 由题意可得k OA =tan45°=1,k OB =tan (180°-30°)=-33,所以射线OA 的方程为y =x(x≥0),射线OB 的方程为y =-33x (x≥0). 设A(m ,m),B(-3n ,n),所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m -3n 2,m +n 2,由点C 在y =12x 上,且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m +n 2=12·m -3n 2,m -0m -1=n -0-3n -1,解得m =3,所以A(3,3).又P(1,0),所以k AB =k AP =33-1=3+32.1. 已知x 轴上的点P 与点Q(-3,1)连线所成直线的倾斜角为30°,则点P 的坐标为________.答案:(-23,0)解析:设P(x ,0),由题意k PQ =tan30°=33,即1-3-x =33,解得x =-23,故点P 的坐标为(-23,0).2. 有以下几个命题:① 直线的倾斜角越大,则斜率越大; ② 垂直于x 轴的直线没有方程;③ 若直线的斜率为a ,则其倾斜角正切值一定为tana ;④ 只要直线不过坐标原点,则它一定可以用截距式方程式表示; ⑤ 斜率存在的直线,其倾斜角一定不等于90°. 其中正确的命题是________.(填序号) 答案:⑤解析:根据直线的倾斜角与斜率的关系,可知①不正确,⑤正确;x =a(a∈R )是垂直于x 轴的直线,所以②错误;直线倾斜角的正切值是斜率,所以③错误;不过原点但垂直于坐标轴的直线不可以用截距式方程式表示,所以④错误; 故答案为⑤.3. 已知直线PQ 的斜率为-3,将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________.答案: 3解析:由k PQ =-3得直线PQ 的倾斜角为120°,将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°,∴ 所得直线的斜率k =tan60°= 3.4. 直线ax +y +1=0与连结A(2,3)、B(-3,2)的线段相交,则a 的取值范围是________.答案:(-∞,-2]∪[1,+∞)解析:直线ax +y +1=0过定点C(0,-1),当直线处在AC 与BC 之间时,必与线段AB相交,即应满足-a≥3+12或-a≤2+1-3,得a≤-2或a≥1.1. 求斜率要熟记斜率公式:k =y 2-y 1x 2-x 1,该公式与两点顺序无关,已知两点坐标(x 1≠x 2)时,根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x 1=x 2,y 1≠y 2时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°.2. 要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,倾斜角与斜率的关系是k =tan α(α≠90°),其中α为倾斜角,因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手,而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围,但都需要利用正切函数的性质,借助图象或单位圆数形结合,注意直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π2时,斜率k∈[0,+∞);当α=π2时,斜率不存在;当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π时,斜率k∈(-∞,0).请使用课时训练(B )第1课时(见活页).第2课时 直线的方程⎝⎛⎭⎪⎫对应学生用书(文)113~115页 (理)118~120页1. 把直线方程Ax +By +C =0(ABC≠0)化成斜截式为________________,化成截距式为________________.答案:y =-A B x -C B x -C A +y-CB=1解析:因为ABC≠0,即A≠0,B ≠0,C ≠0,按斜截式、截距式的形式要求变形即可.斜截式为y =-A B x -C B ,截距式为x -C A +y-CB=1.2. (必修2P 77习题3改编)直线3x -4y +12=0与两坐标轴所围成的三角形的面积为________.答案:6解析:直线3x -4y +12=0在x 轴上的截距为-4,在x 轴上的截距为3,因此它与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|-4|×3=6.3. 下列四个命题:① 过点P(1,-2)的直线可设为y +2=k(x -1);② 若直线在两轴上的截距相等,则其方程可设为x a +ya =1(a≠0);③ 经过两点P(a ,2),Q(b ,1)的直线的斜率k =1a -b;④ 如果AC<0,BC>0,那么直线Ax +By +C =0不通过第二象限. 其中正确的是_____________.(填序号) 答案:④4. (必修2P 74练习3改编)过点M(3,-4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________.答案:y =-43x 或x -y -7=0解析:① 当直线过原点时,直线方程为y =-43x ;② 当直线不过原点时,设直线方程为x a +y-a=1,即x -y =a.代入点(3,-4),∴ a =7,即直线方程为x -y -7=0. 5. (必修2P 73练习3改编)若一直线经过点P(1,2),且在y 轴上的截距与直线2x +y +1=0在y 轴上的截距相等,则该直线的方程是________.答案:3x -y -1=0解析:直线2x +y +1=0在y 轴上的截距为-1,由题意,所求直线过点(0,-1),又所求直线过点P(1,2),故由两点式得直线方程为y +1x -0=2+11-0,即3x -y -1=0.1. 直线方程的五种形式111222(1) 若x 1=x 2,且y 1≠y 2时,直线垂直于x 轴,方程为x =x 1. (2) 若x 1≠x 2,且y 1=y 2时,直线垂直于y 轴,方程为y =y 1. (3) 若x 1=x 2=0,且y 1≠y 2时,直线即为y 轴,方程为x =0. (4) 若x 1≠x 2,且y 1=y 2=0时,直线即为x 轴,方程为y =0. (5) 直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系如下表:若点P 1,P 2的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x =x 1+x 22,y =y 1+y 22,此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式. [备课札记]题型1 求直线方程, 1) (必修2P 115复习题5、6改编)已知直线l 过点P(5,2),分别求满足下列条件的直线方程.(1) 直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍;(2) 直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52.解:(1) 当直线l 过原点时,l 的斜率为25,∴ 直线方程为y =25x ,即2x -5y =0;当直线l 不过原点时,设方程为x 2a +y a =1,将x =5,y =2代入得a =92,∴ 直线方程为x +2y -9=0.综上:l 的方程为2x -5y =0或x +2y -9=0. (2) 显然两直线与x 轴不垂直.∵ 直线l 经过点P(5,2),∴ 可设直线l 的方程为y -2=k(x -5)(k≠0),则直线在x 轴上的截距为5-2k ,在y 轴上的截距为2-5k ,由题意,得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪5-2k ·|2-5k|=52,即(5k -2)2=5|k|.当k>0时,原方程可化为(5k -2)2=5k ,解得k =15或k =45;当k<0时,原方程可化为(5k -2)2=-5k ,此方程无实数解;故直线l 的方程为y -2=15(x -5)或y -2=45(x -5),即x -5y +5=0或4x -5y -10=0.变式训练(2014·常州模拟)过点P(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________.答案:x +y -1=0或3x +2y =0解析:分两种情况:(1)直线l 过原点时,l 的斜率为-32,∴ 直线方程为y =-32x ;(2) l 不过原点时,设方程为x a +ya=1,将x =-2,y =3代入得a =1,∴ 直线方程为x +y =1.综上:l 的方程为x +y -1=0或2y +3x =0.题型2 含参直线方程问题, 2) (2014·银川改编)设直线l 的方程为(a +1)x +y +2-a =0(a∈R ).(1) 若l 在两坐标轴上截距相等,求l 的方程; (2) 若l 不经过第二象限,求实数a 的取值范围; (3) 求证:无论a 为何实数值,直线l 恒过一定点M.(1) 解:当直线过原点时,该直线在x 轴和y 轴上的截距为零,∴ a=2,方程即为3x +y =0.当直线不经过原点时,截距存在且均不为0, ∴ a -2a +1=a -2,即a +1=1. ∴ a =0,方程即为x +y +2=0.综上,l 的方程为3x +y =0或x +y +2=0.(2) 解:将l 的方程化为y =-(a +1)x +a -2, ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧-(a +1)>0,a -2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧-(a +1)=0,a -2≤0,∴ a≤-1. 综上可知a 的取值范围是(-∞,-1]. (3) 证明:∵ (x-1)a +(x +y +2)=0,∴ 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x -1=0,x +y +2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-3.故直线l 恒过定点M(1,-3).备选变式(教师专享)直线l 过点M(2,1),且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B.点O 是坐标原点. (1) 当△ABO 的面积最小时,求直线l 的方程; (2) 当||MA ||MB 最小时,求直线l 的方程.解:(1) 如图,设||OA =a ,||OB =b ,△ABO 的面积为S ,则S =12ab ,并且直线l 的截距式方程是x a +yb=1,由直线通过点(2,1),得2a +1b=1,所以a 2=11-1b=b b -1.因为A 点和B 点在x 轴、y 轴的正半轴上,所以上式右端的分母b -1>0.由此得S =a 2×b =b b -1×b =b 2-1+1b -1=b +1+1b -1=b -1+1b -1+2≥2+2=4.当且仅当b -1=1b -1,即b =2时,面积S 取最小值4,这时a =4,直线的方程为x 4+y2=1.即直线l 的方程为x +2y -4=0.(2) 如上图,设∠BAO=θ,则||MA =1sin θ,||MB =2cos θ, 所以||MA ||MB =1sin θ·2cos θ=4sin2θ, 当θ=45°时,||MA ||MB 有最小值4,此时直线斜率为-1,∴直线l 的方程为x +y -3=0.题型3 直线方程的综合应用, 3) 设直线l 的方程为(a +1)x +y -2-a =0(a∈R ).(1) 当a =1时,直线l 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点.若动点P(m ,n)在线段AB 上,求mn 的最大值;(2) 若a>-1,直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点,求△OMN 面积取最大值时,直线l 的方程.解:(1) 当a =1时,直线l 的方程为2x +y -3=0,可化为2x 3+y3=1.由动点P(m ,n)在线段AB 上可知0≤m≤32,0≤n ≤3,且2m 3+n 3=1,∴ 1≥22m 3·n 3,∴ mn ≤98.当且仅当2m 3=n 3时等号成立,可解得m =34,n =32,故mn 的最大值为98. (2) 由直线方程可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2+a a +1,0、N(0,2+a),又a>-1,故S △OMN=12×2+a a +1×(2+a)=12×(a +1)2+2(a +1)+1a +1=12×[(a +1)+1a +1+2]≥12×⎝⎛⎭⎪⎫2(a +1)×1a +1+2=2,当且仅当a +1=1a +1,即a =0或a =-2(舍去)时等号成立.此时直线l 的方程为x +y -2=0. 备选变式(教师专享)直线l 经过点(3,2),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l 的方程. 解:(解法1:借助点斜式求解)由于直线l 在两轴上有截距,因此直线不与x 、y 轴垂直,斜率存在,且k≠0.设直线方程为y -2=k(x -3),令x =0,则y =-3k +2;令y =0,则x =3-2k.由题设可得-3k +2=3-2k ,解得k =-1或k =23.故l 的方程为y -2=-(x -3)或y -2=23(x -3).即直线l 的方程为x +y -5=0或2x -3y =0. (解法2:利用截距式求解)由题设,设直线l 在x 、y 轴的截距均为a. 若a =0,则l 过点(0,0).又过点(3,2),∴ l 的方程为y =23x ,即l :2x -3y =0.若a≠0,则设l 为x a +ya =1.由l 过点(3,2),知3a +2a=1,故a =5.∴ l 的方程为x +y -5=0.综上可知,直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0.1. (2014·海淀模拟改编)直线l 经过点A(1,2),在x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是________.答案:k>12或k<-1解析:设直线的斜率为k ,则直线方程为y -2=k(x -1),直线在x 轴上的截距为1-2k,令-3<1-2k <3,解不等式可得k>12或k<-1.(也可以利用数形结合)2. (2014·长春调研改编)一次函数y =-m n x +1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是________.(填序号)① m>1,且n<1;② mn<0;③ m>0,且n<0;④ m<0,且n<0. 答案:②解析:因为y =-m n x +1n 经过第一、三、四象限,故-m n >0,且1n<0,即m>0,且n<0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn<0,故选填②.3. 直线l 经过点P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5,则直线l 的方程为________.答案:8x -5y +20=0或2x -5y -10=0解析:设所求直线l 的方程为x a +yb=1,∵ 直线l 过点P(-5,-4),∴ -5a +-4b =1,即4a +5b =-ab.又由已知有12|a|·|b|=5,即|ab|=10,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a +5b =-ab ,|ab|=10,得⎩⎪⎨⎪⎧a =-52,b =4或⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =-2.故所求直线l 的方程为x -52+y 4=1或x 5+y-2=1.即8x -5y +20=0或2x -5y -10=0.4. (2014·银川联考)已知直线x +2y =2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,若动点P(a ,b)在线段AB 上,则ab 的最大值为________.答案:12解析:由题意知A(2,0),B(0,1),所以线段AB 的方程可表示为x2+y =1,x ∈[0,2],又动点P(a ,b)在线段AB 上,所以a 2+b =1,a ∈[0,2],又a 2+b≥2ab 2,所以1≥2ab2,解得0≤ab≤12,当且仅当a 2=b =12,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12时,ab 取得最大值12. 5. 已知△ABC 中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求:(1) △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程; (2) BC 边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式方程.解:(1) 平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线.因为线段AB 、AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72,1,⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-2,所以这条直线的方程为y +21+2=x +1272+12,整理得一般式方程为6x -8y-13=0,截距式方程为x 136-y138=1.(2) 因为BC 边上的中点为(2,3),所以BC 边上的中线所在直线的方程为y +43+4=x -12-1,即一般式方程为7x -y -11=0,截距式方程为x 117-y11=1.6. (原创)若直线l 的方程为(2m 2-m -1)x +(m 2-m)y +4m -1=0,求: (1) 参数m 的取值集合;(2) 若直线l 的斜率不存在,试确定直线l 在x 轴上的截距;(3) 若直线l 在y 轴上的截距等于直线4x -y -2=0的斜率,求直线l 的方程.解:(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2-m -1=0,m 2-m =0,解得m =1,故参数m 的取值集合为{m|m≠1}.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2-m -1≠0,m 2-m =0,解得m =0,故直线方程为-x -1=0,即x =-1,故直线l 在x轴上的截距为-1.(3) 直线l 在y 轴上的截距存在时,截距为1-4mm 2-m,又直线4x -y -2=0的斜率为4,所以1-4m m 2-m =4,解得m =±12,所以直线l 的方程为4x +y -4=0或y =4.1. 直线x +a 2y -a =0(a>0,a 是常数),当此直线在x 、y 轴上的截距和最小时,a =________.答案:1解析:方程可化为x a +y 1a=1,因为a>0,所以截距之和t =a +1a ≥2,当且仅当a =1a ,即a =1时取等号.2. (原创)如果AC<0且BC>0,那么直线Ax +By +C =0不通过第________象限.答案:二解析:由已知条件知A ,B ,C 均不为0,直线Ax +By +C =0在x 轴上的截距-CA>0,直线一定过一、四象限,又直线在y 轴上的截距-CB<0,故直线一定过三、四象限,故直线不通过第二象限.3. 在平面直角坐标系中,如果x 与y 都是整数,就称点(x ,y)为整点.下列命题中正确的是________.(填序号).① 存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ② 如果k 与b 都是无理数,则直线y =kx +b 不经过任何整点; ③ 直线l 经过无穷多个整点,当且仅当l 经过两个不同的整点;④ 直线y =kx +b 经过无穷多个整点的充要条件是:k 与b 都是有理数; ⑤ 存在恰经过一个整点的直线. 答案:①③⑤解析: ①正确.比如直线y =2x +3,不与坐标轴平行,且当x 取整数时,y 始终是一个无理数,即不经过任何整点.②错误.直线y =3x -3中k 与b 都是无理数,但直线经过整点(1,0).③正确.当直线经过两个整点时,它经过无数多个整点.④错误.当k=0,b =13时,直线y =13不通过任何整点.⑤正确.比如直线y =3x -3只经过一个整点(1,0).4. 不论m 取何值,直线(m -1)x -y +2m +1=0恒过定点________. 答案:(-2,3)解析:把直线方程(m -1)x -y +2m +1=0,整理得 (x +2)m -(x +y -1)=0, 则⎩⎪⎨⎪⎧x +2=0,x +y -1=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =3. 5. 对直线l 上任一点(x ,y),点(4x +2y ,x +3y)仍在此直线上,求直线方程. 解:设直线方程Ax +By +C =0, ∴ A(4x +2y)+B(x +3y)+C =0, 整理得(4A +B)x +(2A +3B)y +C =0,∴ 上式也是l 的方程,当C≠0时,则有⎩⎪⎨⎪⎧A =4A +B ,B =2A +3B ,∴ A =B =0,此时直线不存在;当C =0时,两方程表示的直线均过原点,应有斜率相等,故-A B =-4A +B2A +3B,∴ A =B或B =-2A ,∴ 所求直线方程为x +y =0或x -2y =0.1. 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况.2. 解决直线方程的综合问题时,除灵活选择方程的形式外,还要注意题目中的隐含条件,若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值.请使用课时训练(A )第2课时(见活页).[备课札记]第3课时 直线与直线的位置关系⎝⎛⎭⎪⎫对应学生用书(文)116~118页 (理)121~123页1. (必修2P 93练习1改编)已知点(a ,2)(a >0)到直线l :x -y +3=0的距离为1,则a 等于________.答案:2-1解析:由题意知|a -2+3|2=1,∴ |a +1|=2,又a >0,∴ a =2-1.2. (必修2P 85习题7改编)已知直线l 1:x +ay +6=0和l 2:(a -2)x +3y +2a =0,则l 1∥l 2的充要条件是a =________.答案:-1解析:由l 1∥l 2得a(a -2)-3=0且2a -6(a -2)≠0,解得a =-1.3. 经过点(-2,3),且与直线2x +y -5=0平行的直线方程为________. 答案:2x +y +1=0解析:由题意,所求直线的斜率与直线2x +y -5=0的斜率相同为-2,又过点(-2,3),所以直线方程为y -3=-2(x +2),即2x +y +1=0.4. (必修2P 85习题3改编)已知直线l 过两条直线3x +2y -1=0和2x -3y +8=0的交点,且与直线2x -3y +4=0垂直,则l 的方程是________.答案:3x +2y -1=0解析:由⎩⎪⎨⎪⎧3x +2y -1=0,2x -3y +8=0,得两直线的交点坐标为(-1,2),又由题意知,直线l 的斜率是-32,因此直线l 的方程为y -2=-32(x +1),即3x +2y -1=0.5. (必修2P 106习题18改编)已知直线l :y =3x +3,那么直线x -y -2=0关于直线l 对称的直线方程为____________.答案:7x +y +22=0解析:由⎩⎪⎨⎪⎧x -y -2=0,3x -y +3=0,得交点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52,-92.又直线x -y -2=0上的点Q(2,0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-175,95,故所求直线(即PQ′)的方程为y +92-95-92=x +52175-52,即7x +y +22=0.1. 两条直线的位置关系设两条直线的方程是l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解,若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之,亦成立.若方程组有无数个解,则两直线方程表示的直线重合.3. 几种距离(1) 两点间的距离平面上的两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)间的距离公式:d(A ,B)=AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2. (2) 点到直线的距离点P(x 1,y 1)到直线l :Ax +By +C =0的距离d =|Ax 1+By 1+C|A 2+B2. (3) 两条平行线间的距离两条平行线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离d =|C 1-C 2|A 2+B2.[备课札记]题型1 两直线的平行与垂直, 1) 两条直线l 1:(m +3)x +2y =5-3m ,l 2:4x +(5+m)y =16,分别求满足下列条件的m 的值.(1) l 1与l 2相交; (2) l 1与l 2平行; (3) l 1与l 2重合; (4) l 1与l 2垂直.解:可先从平行的条件a 1a 2=b 1b 2(化为a 1b 2=a 2b 1)着手.由m +34=25+m,得m 2+8m +7=0,解得m 1=-1,m 2=-7.由m +34=5-3m 16,得m =-1.(1) 当m≠-1且m≠-7时,a 1a 2≠b 1b 2,l 1与l 2相交.(2) 当m =-7时,a 1a 2=b 1b 2≠c 1c 2.l 1∥l 2.(3) 当m =-1时,a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2,l 1与l 2重合.(4) 当a 1a 2+b 1b 2=0,即(m +3)·4+2·(5+m)=0,即m =-113时,l 1⊥l 2.变式训练已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2-1=0. (1) 试判断l 1与l 2是否平行; (2) l 1⊥l 2时,求a 的值.解:(1) (解法1)当a =1时,l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0,l 1不平行于l 2;当a =0时,l 1:y =-3,l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2; 当a≠1且a≠0时,两直线可化为l 1:y =-a 2x -3,l 2:y =11-a x -(a +1),l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧-a 2=11-a ,-3≠-(a +1),解得a =-1,综上可知,a =-1时,l 1∥l 2,否则l 1与l 2不平行.(解法2)由A 1B 2-A 2B 1=0,得a(a -1)-1×2=0,由A 1C 2-A 2C 1≠0,得a(a 2-1)-1×6≠0,∴ l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧a (a -1)-1×2=0,a (a 2-1)-1×6≠0⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a -2=0,a (a 2-1)≠6a =-1, 故当a =-1时,l 1∥l 2,否则l 1与l 2不平行. (2) (解法1)当a =1时,l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0,l 1与l 2不垂直,故a =1不成立; 当a =0时,l 1:y =-3,l 2:x -y -1=0,l 1不垂直于l 2; 当a≠1且a≠0时,l 1:y =-a 2x -3,l 2:y =11-a x -(a +1),由⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2·11-a=-1a =23.(解法2)由A 1A 2+B 1B 2=0得a +2(a -1)=0a =23.题型2 两直线的交点, 2) (2014·江苏联考)已知点A(3,3),B(5,2)到直线l 的距离相等,且直线l 经过两直线l 1:3x -y -1=0和l 2:x +y -3=0的交点,求直线l 的方程.解:解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x -y -1=0,x +y -3=0,得交点P(1,2).① 若点A 、B 在直线l 的同侧,则l∥AB.而k AB =3-23-5=-12,由点斜式得直线l 的方程为y -2=-12(x -1),即x +2y -5=0.② 若点A 、B 在直线l 的异侧,则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4,52, 由两点式得直线l 的方程为y -2x -1=52-24-1,即x -6y +11=0.综上所述,直线l 的方程为x +2y -5=0或x -6y +11=0. 备选变式(教师专享)已知直线l 经过点P(3,1),且被两平行直线l 1:x +y +1=0和l 2:x +y +6=0截得的线段之长为5,求直线l 的方程.解:(解法1)若直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为x =3,此时与l 1、l 2的交点分别为A′(3,-4)和B ′(3,-9),截得的线段AB 的长||AB =||-4+9=5,符合题意.若直线l 的斜率存在,则设直线l 的方程为y =k(x -3)+1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -3)+1x +y +1=0,得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k -2k +1,-4k -1k +1,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -3)+1x +y +6=0,得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k -7k +1,-9k -1k +1. 由||AB =5,得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k -2k +1-3k -7k +12+(-4k -1k +1+9k -1k +1)2=52.解之,得k =0,即所求的直线方程为y =1. 综上可知,所求l 的方程为x =3或y =1. (解法2)由题意,直线l 1、l 2之间的距离为d =||1-62=522,且直线l 被平行直线l 1、l2所截得的线段AB 的长为5(如图).设直线l 与直线l 1的夹角为θ,则sin θ=52 25=22,故θ=45°.由直线l 1:x +y +1=0的倾斜角为135°,知直线l 的倾斜角为0°或90°.又直线l 过点P(3,1),故直线l 的方程为x =3或y =1.(解法3)设直线l 与l 1、l 2分别相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0.两式相减,得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5. ①又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25, ②联立①②,可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1-x 2=5,y 1-y 2=0 或⎩⎪⎨⎪⎧x 1-x 2=0,y 1-y 2=5,由上可知,直线l 的倾斜角分别为0°或90°. 故所求直线方程为x =3或y=1.题型3 点到直线及两平行直线之间的距离, 3) 已知三条直线:l 1:2x -y +a =0(a >0);l 2:-4x +2y +1=0;l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2间的距离是7510.(1) 求a 的值;(2) 能否找到一点P ,使P 同时满足下列三个条件: ① 点P 在第一象限;② 点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12;③ 点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能,求点P 的坐标;若不能,说明理由.解:(1) 直线l 2:2x -y -12=0,所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪a -⎝ ⎛⎭⎪⎫-1222+(-1)2=7510, 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +125=7510,即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +12=72. 又a >0,解得a =3.(2) 假设存在点P ,设点P(x 0,y 0),若P 点满足条件②,则P 点在与l 1,l 2平行的直线l′:2x -y +c =0上,且|c -3|5=12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c +125,即c =132或116,所以2x 0-y 0+132=0或2x 0-y 0+116=0;若P 点满足条件③,由点到直线的距离公式, 有|2x 0-y 0+3|5=2|x 0+y 0-1|5×2,即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|, 所以x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0;由于P 在第一象限,所以3x 0+2=0不可能.联立方程2x 0-y 0+132=0和x 0-2y 0+4=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=-3,y 0=12;(舍去) 联立方程2x 0-y 0+116=0和x 0-2y 0+4=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=19,y 0=3718.所以存在P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19,3718同时满足三个条件. 备选变式(教师专享)已知点P 1(2,3)、P 2(-4,5)和A(-1,2),求过点A 且与点P 1、P 2距离相等的直线方程.解:(解法1)设所求直线方程为y -2=k(x +1),即kx -y +k +2=0.由点P 1、P 2到直线的距离相等得||2k -3+k +2k 2+1=||-4k -5+k +2k 2+1. 化简得||3k -1=||-3k -3,则有3k -1=-3k -3或3k -1=3k +3,解得k =-13或方程无解.方程无解表明这样的k 不存在,但过点A ,所以直线方程为x =-1,它与P 1、P 2的距离都是3.∴所求直线方程为y -2=-13(x +1)或x =-1.(解法2)设所求直线为l ,由于l 过点A 且与P 1、P 2距离相等,所以l 有两种情况,如下图:①当P 1、P 2在l 的同侧时,有l∥P 1P 2,此时可求得l 的方程为y -2=5-3-4-2(x +1),即y -2=-13(x +1);②当P 1、P 2在l 的异侧时,l 必过P 1、P 2的中点(-1,4),此时l 的方程为x =-1.∴所求直线的方程为y -2=-13(x +1)或x =-1.题型4 对称问题, 4) 已知直线l :2x -3y +1=0,点A(-1,-2).求: (1) 点A 关于直线l 的对称点A′的坐标;(2) 直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m′的方程; (3) 直线l 关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程. 解:(1) 设A′(x,y),再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y +2x +1·23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3313,y =413.∴ A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-3313,413. (2) 在直线m 上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点必在m′上.设对称点为M′(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a +22-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b +02+1=0,b -0a -2×23=-1.解得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613,3013.设m 与l 的交点为N ,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,得N(4,3).∵ m ′经过点N(4,3),∴ 由两点式得直线方程为9x -46y +102=0.(3) 设P(x ,y)为l′上任意一点,则P(x ,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x ,-4-y).∵ P ′在直线l 上,∴ 2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x -3y -9=0. 备选变式(教师专享)在等腰直角三角形ABC 中,AB =AC =4,点P 是边AB 上异于A ,B 的一点.光线从点P 出发,经BC ,CA 反射后又回到点P(如图).若光线QR 经过△ABC 的重心,则AP 等于________.答案:43解析:以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(0,4),得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43,43,设AP =x ,从而P(x ,0),x ∈(0,4),由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4,4-x),P 2(-x ,0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43,43共线,所以4343+x =43-(4-x )43-4,求得x =43.题型5 三角形中的直线问题, 5) 直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,且A 、B 的坐标分别为A(-4,2)、B(3,1),求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状.解:由题意画出草图(如图所示).设点A(-4,2)关于直线l :y =2x 的对称点为A′(a,b),则A′必在直线BC 上.以下先求A′(a,b).由对称性可得⎩⎪⎨⎪⎧b -2a +4=-12,b +22=2·a -42,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =4,b =-2,∴ A ′(4,-2).∴ 直线BC 的方程为y -1-2-1=x -34-3,即3x +y -10=0.由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x ,3x +y -10=0,得C(2,4). ∴ k AC =13,k BC =-3,∴ AC⊥BC.∴ △ABC 是直角三角形. 备选变式(教师专享)已知△ABC 的顶点为A(3,-1),AB 边上的中线所在的直线方程为6x +10y -59=0,∠B 的平分线所在的直线方程为x -4y +10=0,求BC 边所在的直线方程.解:设B(4y 1-10,y 1),由AB 的中点在6x +10y -59=0上,可得6·4y 1-72+10·y 1-12-59=0,解得y 1 = 5,所以B 为(10,5).设A 点关于x -4y +10=0的对称点为A′(x′,y ′),则有⎩⎪⎨⎪⎧x′+32-4·y′-12+10=0,y ′+1x′-3·14=-1 A ′(1,7).故BC 边所在的直线方程为2x +9y -65=0.1. (2014·长沙模拟)已知过点A(-2,m)和点B(m ,4)的直线为l 1,直线2x +y -1=0为l 2,直线x +ny +1=0为l 3.若l 1∥l 2,l 2⊥l 3,则实数m +n =________.答案:-10解析:∵ l 1∥l 2,∴ k AB =4-m m +2=-2,解得m =-8.∵ l 2⊥l 3,∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1n ×(-2)=-1, 解得n =-2,∴ m +n =-10.2. 在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________.答案:(2,4)解析:由题可知A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1),四边形ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小,直线AC 的方程为y -2=2(x -1),直线BD 的方程为y -5=-(x -1),由⎩⎪⎨⎪⎧y -2=2(x -1),y -5=-(x -1),得交点坐标为(2,4). 3. 与直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线方程为________. 答案:3x +4y +5=0 解析:与直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线方程是3x -4(-y)+5=0,即3x +4y +5=0.4. m 为何值时,直线l 1:4x +y -4=0,l 2:mx +y =0,l 3:2x -3my -4=0不能围成三角形?解:先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况.① 若m≠0,则k 1=-4,k 2=-m ,k 3=23m ,当m =4时,k 1=k 2;当m =-16时,k 1=k 3;而k 2与k 3不可能相等.② 若m =0,则l 1:4x +y -4=0,l 2:y =0,l 3:x -2=0,此时三条直线能围成三角形.∴ 当m =4或m =-16时,三条直线不能围成三角形.再考虑三条直线共点的情况,此时m≠0且m≠4且m≠-16.将y =-mx 代入4x +y -4=0,得x =44-m,即l 1与l 2交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫44-m,-4m 4-m ,将P 点坐标代入l 3的方程得84-m +12m 24-m -4=0,解得m =-1或m =23.∴ 当m =-1或m =23时,l 1,l 2,l 3交于一点,不能围成三角形.综上所述,当m 为-1或-16或23或4时,三条直线不能围成三角形.1. 若动点A 、B 分别在直线l 1:x +y -7=0和l 2:x +y -5=0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为______.答案:3 2解析:依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1:x +y -7=0和l 2:x +y -5=0距离都相等的直线,则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离,设点M 所在直线的方程为l :x +y +m =0,根据平行线间的距离公式得|m +7|2=|m +5|2|m +7|=|m +5|m =-6,所以l 的方程为x +y -6=0,根据点到直线的距离公式,得M 到原点的距离的最小值为|6|2=3 2.2. (2014·济南模拟)已知两条直线l 1:(a -1)x +2y +1=0,l 2:x +ay +3=0平行,则a =________.答案:-1或2解析:若a =0,两直线方程分别为-x +2y +1=0和x =-3,此时两直线相交,不平行,所以a≠0;当a≠0时,两直线若平行,则有a -11=2a ≠13,解得a =-1或2.3. (2014·金华调研)当0<k<12时,直线l 1:kx -y =k -1与直线l 2:ky -x =2k 的交点在第________象限.答案:二解析:解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx -y =k -1,ky -x =2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k -1,2k -1k -1,因为0<k<12,所以k k -1<0,2k -1k -1>0,故交点在第二象限. 4. 已知△ABC 的两个顶点A(-1,5)和B(0,-1),又知∠C 的平分线所在的直线方程为2x -3y +6=0,求三角形各边所在直线的方程.解:设A 点关于直线2x -3y +6=0的对称点为A′(x 1,y 1),则⎩⎪⎨⎪⎧2·x 1-12-3·y 1+52+6=0,y 1-5x 1+1=-32,∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1-3y 1-5=0,3x 1+2y 1-7=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=3113,y 1=-113,即A′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113,-113,同理,点B 关于直线2x -3y +6=0的对称点为B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-3613,4113. ∵ 角平分线是角的两边的对称轴,∴ A ′点在直线BC 上.∴ 直线BC 的方程为y =-113-(-1) 3113-0x -1,整理得12x -31y -31=0.同理,直线AC 的方程为y -5=5-4113-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-3613(x +1),整理得24x -23y +139=0.直线AB 的方程为y =5-(-1)-1-0x -1,整理得6x +y +1=0.1. 在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在,两条直线都有斜率时,可根据斜率的关系作出判断,无斜率时,要单独考虑.2. 在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时,直线方程必须先化为Ax +By +C =0的形式,否则会出错.3. 对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1) 中心对称① 点P(x ,y)关于O(a ,b)的对称点P′(x′,y ′)满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x′=2a -x ,y ′=2b -y. ② 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2) 轴对称① 点A(a ,b)关于直线Ax +By +C =0(B≠0)的对称点A ′(m ,n),则有n -b m -a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫-A B =-1,A ·a +m 2+B·b +n2+C =0.② 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.。
专题探究课五高考导航 1.圆锥曲线是平面解析几何的核心部分,也是高考必考知识,主要以一个小题一个大题的形式呈现,难度中等偏上;2.高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质,高考中的解答题,常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同的特点,就是起点低,但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算,对考生解决问题的能力要求较高.热点一 定点定值问题(教材VS 高考)定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.命题角度1 圆锥曲线中定点问题【例1-1】 (满分12分)(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,32,P 4⎝⎛⎭⎪⎫1,32中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点.教材探源 本题第(1)问源于教材选修1-1P34例1,主要考查利用待定系数法及方程思想求曲线方程.本题第(2)问源于教材选修1-1P35例3,主要考查利用坐标法研究几何问题,充分考查学生解决综合问题的能力.满分解答 (1)解 由于点P 3,P 4关于y 轴对称,由题设知C 必过P 3,P 4.又由1a 2+1b 2>1a 2+34b 2知,椭圆C 不经过点P 1, 所以点P 2在椭圆C 上.1分 (得分点1)因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2=1,1a 2+34b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4,b 2=1.3分 (得分点2)故C 的方程为x 24+y 2=1.5分 (得分点3)(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2. 如果直线l 的斜率不存在,l 垂直于x 轴. 设l :x =m ,A (m ,y A ),B (m ,-y A ),k 1+k 2=y A -1m +-y A -1m =-2m=-1,得m =2,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.6分 (得分点4)从而可设l :y =kx +m (m ≠1).将y =kx +m 代入x 24+y 2=1得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0.7分 (得分点5)由题设可知Δ=16(4k 2-m 2+1)>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1.8分 (得分点6)则k 1+k 2=y 1-1x 1+y 2-1x 2=kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2=2kx 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)x 1x 2.由题设k 1+k 2=-1,故(2k +1)x 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)=0. ∴(2k +1)·4m 2-44k 2+1+(m -1)·-8km4k 2+1=0.10分 (得分点7)解之得m =-2k -1,此时Δ=32(m +1)>0,方程有解, ∴当且仅当m >-1时,Δ>0,11分 (得分点8)∴直线l 的方程为y =kx -2k -1,即y +1=k (x -2). 当x =2时,y =-1,所以l 过定点(2,-1).12分 (得分点9)❶得步骤分:抓住得分点的解题步骤,“步步为赢”,在第(1)问中,分析隐含信息,列出方程组,求出方程.在第(2)问中,分类讨论设出直线方程→联立方程→写出根与系数的关系→利用公式化简求解.❷得关键分:(1)列出方程组.(2)直线方程.(3)韦达定理.(4)斜率公式.都是不可少的过程,有则给分,无则没分.❸得计算分:解题过程中的计算准确是得满分的根本保证,如(得分点3),(得分点5),(得分点7).解答圆锥曲线中的定点问题的一般步骤第一步:研究特殊情形,从问题的特殊情形出发,得到目标关系所要探求的定点. 第二步:探究一般情况.探究一般情形下的目标结论. 第三步:下结论,综合上面两种情况定结论. 命题角度2 圆锥曲线中的定值问题【例1-2】 (2016·北京卷)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,A (a ,0),B (0,b ),O (0,0),△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N .求证:|AN |·|BM |为定值.(1)解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a =32,12ab =1,a 2=b 2+c 2,解得⎩⎨⎧a=2,b =1,c = 3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)证明 由(1)知A (2,0),B (0,1). 设P (x 0,y 0),则x 20+4y 20=4. 当x 0≠0时, 直线PA 的方程为y =y 0x 0-2(x -2).令x =0,得y M =-2y 0x 0-2, 从而|BM |=|1-y M |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1+2y 0x 0-2. 直线PB 的方程为y =y 0-1x 0x +1. 令y =0,得x N =-x 0y 0-1,从而|AN |=|2-x N |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2+x 0y 0-1.所以|AN |·|BM |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2+x 0y 0-1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1+2y 0x 0-2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20+4y 20+4x 0y 0-4x 0-8y 0+4x 0y 0-x 0-2y 0+2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0-4x 0-8y 0+8x 0y 0-x 0-2y 0+2=4.当x 0=0时,y 0=-1,|BM |=2,|AN |=2, 所以|AN |·|BM |=4. 综上,|AN |·|BM |为定值.探究提高 1.求定值问题常见的方法有两种: (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题,然后证明与参数无关,这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练1】 (2017·菏泽调研)已知焦距为22的椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点为A ,直线y =43与椭圆C 交于P ,Q 两点(P 在Q 的左边),Q 在x 轴上的射影为B ,且四边形ABPQ是平行四边形. (1)求椭圆C 的方程;(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ,N .若M 是椭圆的左顶点,D 是直线MN上一点,且DA ⊥AM .点G 是x 轴上异于点M 的点,且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点,求证:点G 是定点. (1)解 设坐标原点为O ,∵四边形ABPQ 是平行四边形,∴|AB →|=|PQ →|,∵|PQ →|=2|OB →|,∴|AB →|=2|OB →|,则点B 的横坐标为a 3,∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3,43,代入椭圆C 的方程得b 2=2,又c 2=2,∴a 2=4,即椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.(2)证明 设直线MN 的方程为y =k (x +2),N (x 0,y 0),DA ⊥AM ,∴D (2,4k ).由⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 22=1,y =k (x +2),消去y 得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2-4=0, 则-2x 0=8k 2-41+2k 2,即x 0=2-4k 21+2k2,∴y 0=k (x 0+2)=4k 1+2k 2,则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-4k 21+2k 2,4k 1+2k 2,设G (t ,0),则t ≠-2,若以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点,则DG ⊥AN ,∴GD →·AN →=0恒成立.∵GD →=(2-t ,4k ),AN →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-8k 21+2k 2,4k 1+2k 2,∴GD →·AN →=(2-t )·-8k 21+2k 2+4k ·4k 1+2k2=0恒成立,即8k 2t1+2k2=0恒成立, ∴t =0,∴点G 是定点(0,0). 热点二 圆锥曲线中的范围(最值)问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.【例2】 (2018·石家庄质检)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ,B ,且长轴长为8,T 为椭圆上一点,直线TA ,TB 的斜率之积为-34.(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为原点,过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ,Q 两点,求OP →·OQ →+MP →·MQ →的取值范围.解 (1)设T (x ,y ),则当x ≠±4时,直线TA 的斜率为k 1=y x +4,直线TB 的斜率为k 2=yx -4.于是由k 1k 2=-34,得y x +4·y x -4=-34,整理得x 216+y212=1,而点(-4,0)和(4,0)也满足此方程,故椭圆C 的方程为x 216+y 212=1.(2)当直线PQ 的斜率存在时,设直线PQ 的方程为y =kx +2,点P ,Q 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线PQ 与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 216+y 212=1,y =kx +2消去y 得(4k 2+3)x 2+16kx -32=0,则x 1+x 2=-16k 4k 2+3,x 1x 2=-324k 2+3,从而OP →·OQ →+MP →·MQ →=x 1x 2+y 1y 2+[x 1x 2+(y 1-2)·(y 2-2)]=2(1+k 2)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=-80k 2-524k 2+3=-20+84k 2+3, ∴-20<OP →·OQ →+MP →·MQ →≤-523,当直线PQ 斜率不存在时,OP →·OQ →+MP →·MQ →的值为-20. 综上所述OP →·OQ →+MP →·MQ →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-20,-523.探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法:(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,或者不等关系,或者已知参数与新参数之间的等量关系等,则利用代数法求参数的范围.【训练2】 (2018·合肥质检)设直线l 与抛物线x 2=2y 交于A ,B 两点,与椭圆x 24+y 23=1交于C ,D 两点,直线OA ,OB ,OC ,OD (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4.若OA ⊥OB .(1)是否存在实数t ,满足k 1+k 2=t (k 3+k 4),并说明理由; (2)求△OCD 面积的最大值. 解 设直线l 的方程为y =kx +b ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +b ,x 2=2y ,得x 2-2kx -2b =0,则x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-2b ,Δ1=4k 2+8b >0. 因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,得b =2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +2,3x 2+4y 2=12得(3+4k 2)x 2+16kx +4=0, 所以x 3+x 4=-16k 3+4k 2,x 3x 4=43+4k2,由Δ2=192k 2-48>0得k 2>14.(1)存在实数t .因为k 1+k 2=y 1x 1+y 2x 2=k ,k 3+k 4=y 3x 3+y 4x 4=-6k , 所以k 1+k 2k 3+k 4=-16,即t =-16. (2)根据弦长公式|CD |=1+k 2|x 3-x 4|得 |CD |=43·1+k 2·4k 2-13+4k2,根据点O 到直线CD 的距离公式得d =21+k2,所以S △OCD =12|CD |·d =43·4k 2-13+4k 2,设4k 2-1=m >0,则S △OCD =43m m 2+4≤3,所以当m =2,即k =±52时,S △OCD 有最大值 3. 热点三 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面:(1)探索点是否存在;(2)探索曲线是否存在;(3)探索命题是否成立.涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题.【例3】 (2018·长沙调研)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32,F 为其右焦点.(1)求椭圆C 的方程;(2)设过点A (4,0)的直线l 与椭圆相交于M ,N 两点(点M 在A ,N 两点之间),是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等?若存在,试求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.解 (1)因为c a =12,所以a =2c ,b =3c ,设椭圆方程x 24c 2+y 23c2=1,又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32在椭圆上,所以14c 2+34c 2=1, 解得c 2=1,a 2=4,b 2=3, 所以椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)易知直线l 的斜率存在,设l 的方程为y =k (x -4),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -4),x 24+y 23=1,消去y 得(3+4k 2)x 2-32k 2x +64k 2-12=0,由题意知Δ=(32k 2)2-4(3+4k 2)(64k 2-12)>0, 解得-12<k <12.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则x 1+x 2=32k23+4k 2,①x 1x 2=64k 2-123+4k2.②因为△AMF 与△MFN 的面积相等, 所以|AM |=|MN |,所以2x 1=x 2+4.③ 由①③消去x 2得x 1=4+16k23+4k2.④将x 2=2x 1-4代入②,得x 1(2x 1-4)=64k 2-123+4k 2⑤将④代入到⑤式,整理化简得36k 2=5. ∴k =±56,经检验满足题设 故直线l 的方程为y =56(x -4)或y =-56(x -4). 探究提高 1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,不成立则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.2.求解步骤:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在,否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.【训练3】 (2018·衡水联考)在平面直角坐标系xOy 中,过点C (2,0)的直线与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). (1)(一题多解)求证:y 1y 2为定值;(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线方程和弦长;如果不存在,说明理由. (1)证明 法一 当直线AB 垂直于x 轴时,y 1=22,y 2=-2 2.因此y 1y 2=-8(定值). 当直线AB 不垂直于x 轴时, 设直线AB 的方程为y =k (x -2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -2),y 2=4x ,得ky 2-4y -8k =0. ∴y 1y 2=-8.因此有y 1y 2=-8为定值.法二 设直线AB 的方程为my =x -2,由⎩⎪⎨⎪⎧my =x -2,y 2=4x ,得y 2-4my -8=0. ∴y 1y 2=-8.因此有y 1y 2=-8为定值.(2)解 设存在直线l :x =a 满足条件, 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎪⎫x 1+22,y 12,|AC |=(x 1-2)2+y 21. 因此以AC 为直径的圆的半径r =12|AC |=12(x 1-2)2+y 21=12x 21+4,又点E 到直线x =a 的距离d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1+22-a故所截弦长为2r 2-d 2=214(x 21+4)-⎝⎛⎭⎪⎫x 1+22-a 2 =x 21+4-(x 1+2-2a )2=-4(1-a )x 1+8a -4a 2.当1-a =0,即a =1时,弦长为定值2,这时直线方程为x =1.1.在直角坐标系xOy 中,曲线C :y =x 24与直线l :y =kx +a (a >0)交于M ,N 两点,(1)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ,a ),N (-2a ,a ), 或M (-2a ,a ),N (2a ,a ).又y ′=x 2,故y =x 24在x =2a 处的导数值为a ,C 在点(2a ,a )处的切线方程为y -a =a(x -2a ), 即ax -y -a =0.y =x 24在x =-2a 处的导数值为-a ,C 在点(-2a ,a )处的切线方程为y -a =-a (x +2a ),即ax +y +a =0.故所求切线方程为ax -y -a =0和ax +y +a =0. (2)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y =kx +a 代入C 的方程得x 2-4kx -4a =0. 故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a . 从而k 1+k 2=y 1-b x 1+y 2-bx 2 =2kx 1x 2+(a -b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a. 当b =-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故∠OPM =∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意.2.(2018·东北三省四校联考)已知点A (0,-2),椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF 的斜率为233,O 为坐标原点. (1)求E 的方程;(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程.解 (1)设F (c ,0),由条件知,2c =233,得c = 3. 又c a =32,所以a =2,b 2=a 2-c 2=1. 故E 的方程为x 24+y 2=1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意,故设l :y =kx -2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).将y =kx -2代入x 24+y 2=1, 得(1+4k 2)x 2-16kx +12=0.当Δ=16(4k 2-3)>0, 即k 2>34时,x 1,2=8k ±24k 2-34k 2+1. 从而|PQ |=k 2+1|x 1-x 2|=4k 2+1·4k 2-34k 2+1. 又点O 到直线PQ 的距离d =2k 2+1. 所以△OPQ 的面积S △OPQ =12d ·|PQ |=44k 2-34k 2+1. 设4k 2-3=t ,则t >0,S △OPQ =4t t 2+4=4t +4t. 因为t +4t ≥4,当且仅当t =2,即k =±72时等号成立,且满足Δ>0. 所以当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为y =72x -2或y =-72x -2. 3.(2018·新乡模拟)已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,直线2x -y +2=0交抛物线C于A ,B 两点,P 是线段AB 的中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)D 是抛物线C 上的动点,点E (-1,3),若直线AB 过焦点F ,求|DF |+|DE |的最小值;(2)是否存在实数p ,使|2QA →+QB →|=|2QA →-QB →|?若存在,求出p 的值;若不存在,说明理由.解 (1)∵直线2x -y +2=0与y 轴的交点为(0,2),∴F (0,2),则抛物线C 的方程为x 2=8y ,准线l :y =-2.设过D 作DG ⊥l 于G ,则|DF |+|DE |=|DG |+|DE |,当E ,D ,G 三点共线时,|DF |+|DE |取最小值2+3=5.(2)假设存在,抛物线x 2=2py 与直线y =2x +2联立方程组得: x 2-4px -4p =0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),Δ=(4p )2+16p =16(p 2+p )>0,则x 1+x 2=4p ,x 1x 2=-4p ,∴Q (2p ,2p ).∵|2QA →+QB →|=|2QA →-QB →|,则QA →·QB →=0,得(x 1-2p )(x 2-2p )+(y 1-2p )(y 2-2p )=(x 1-2p )(x 2-2p )+(2x 1+2-2p )(2x 2+2-2p )=5x 1x 2+(4-6p )(x 1+x 2)+8p 2-8p +4=0,代入得4p 2+3p -1=0,解得p =14或p =-1(舍去). 因此存在实数p =14,且满足Δ>0,使得|2QA →+QB →|=|2QA →-QB →|成立. 4.(2017·唐山一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ,a b 在椭圆上,O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知点P ,M ,N 为椭圆C 上的三点,若四边形OPMN 为平行四边形,证明四边形OPMN 的面积S 为定值,并求该定值.(1)解 ∵椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22, ∴e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=12,得a 2=2b 2,① 又点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ,a b 在椭圆C 上,∴b 2a 2+a 2b 4=1,② 联立①、②得a 2=8,且b 2=4.∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1. (2)证明 当直线PN 的斜率k 不存在时,PN 方程为x =2或x =-2,从而有|PN |=23,所以S =12|PN |·|OM |=12×23×22=26; 当直线PN 的斜率k 存在时,设直线PN 方程为y =kx +m (m ≠0),P (x 1,y 1),N (x 2,y 2),将PN 的方程代入椭圆C 的方程,整理得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2-8=0,所以x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1·x 2=2m 2-81+2k 2, y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2, 由OM →=OP →+ON →,得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-4km1+2k 2,2m1+2k 2. 将M 点坐标代入椭圆C 方程得m 2=1+2k 2.又点O 到直线PN 的距离为d =|m |1+k 2, |PN |=1+k 2|x 1-x 2|,所以S =d ·|PN |=|m |·|x 1-x 2|=1+2k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=48k 2+242k 2+1=2 6. 综上,平行四边形OPMN 的面积S 为定值2 6. 5.(2018·成都诊断)已知圆x 2+y 2=1过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点,与椭圆有且仅有两个公共点,直线l :y =kx +m 与圆x 2+y 2=1相切,与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相交于A ,B 两点.记λ=OA →·OB →,且23≤λ≤34.(1)求椭圆的方程;(2)求k 的取值范围;(3)求△OAB 的面积S 的取值范围.解 (1)由题意知2c =2,所以c =1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点,从而b =1,故a =2,所以所求椭圆方程为x 22+y 2=1. (2)因为直线l :y =kx +m 与圆x 2+y 2=1相切,所以原点O 到直线l 的距离为|m |12+k 2=1,即m 2=k 2+1.由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 22+y 2=1, 得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2-2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-21+2k2. λ=OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=k 2+11+2k2, 由23≤λ≤34,得12≤k 2≤1, 即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,-22∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤22,1. (3)|AB |2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=2-2(2k 2+1)2, 由12≤k 2≤1,得62≤|AB |≤43. 设△OAB 的AB 边上的高为d ,则S =12|AB |d =12|AB |, 所以64≤S ≤23. 即△OAB 的面积S 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤64,23. 6.(2018·大连双基测试)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点F 1与抛物线y 2=-4x 的焦点重合,椭圆E 的离心率为22,过点M (m ,0)作斜率存在且不为0的直线l ,交椭圆E 于A ,C 两点,点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫54,0,且PA →·PC →为定值. (1)求椭圆E 的方程;(2)求m 的值.解 (1)设F 1(-c ,0),由抛物线y 2=-4x 的焦点坐标(-1,0),且椭圆E 的左焦点F 1与抛物线y 2=-4x 的焦点重合,所以c =1.又椭圆E 的离心率为e =22,得a =2, 于是有b 2=a 2-c 2=1,故椭圆E 的方程为x 22+y 2=1. (2)设直线l 方程为y =k (x -m ),A (x 1,y 1),C (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1,y =k (x -m )消y 整理得(1+2k 2)x 2-4mk 2x +2k 2m 2-2=0,x 1+x 2=4mk 21+2k 2,x 1·x 2=2m 2k 2-21+2k 2. PA →·PC →=⎝⎛⎭⎪⎫x 1-54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-54+y 1y 2 =⎝⎛⎭⎪⎫x 1-54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-54+k 2(x 1-m )(x 2-m ) =(1+k 2)x 1x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫54+mk 2(x 1+x 2)+2516+k 2m 2 =(3m 2-5m -2)k 2-21+2k 2+2516要使PA →·PC →为定值,则3m 2-5m -2=-4,即3m 2-5m +2=0,解得m =1或23,此时点M (m ,0)在椭圆E 内部,故m 的值为1或23.。
解析几何热点问题三年真题考情核心热点真题印证核心素养直线方程、定值问题2019·Ⅰ,19;2018·Ⅰ,19;2018·,19数学运算、逻辑推理椭圆方程、定点问题2019·,19;2017·Ⅰ,20;2017·Ⅱ,20数学运算、逻辑推理直线与椭圆的位置关系2019·Ⅱ,19;2018·Ⅲ,20 数学运算、逻辑推理直线与抛物线的位置关系2019·Ⅲ,21;2019·,18;2018·Ⅱ,19;2017·Ⅲ,20数学运算、逻辑推理热点聚焦突破教材高考——求曲线方程及直线与圆锥曲线[教材探究](选修2-1P49习题A5(1)(2))求适合以下条件的椭圆的标准方程: (1)过点P (-22,0),Q (0,5);(2)长轴长是短轴长的3倍,且经过点P (3,0).[试题评析] 1.问题涉及解析几何中最重要的一类题目:求曲线的方程,解决的方法都是利用椭圆的几何性质.2.对于(1)给出的两点并不是普通的两点,而是长轴和短轴的端点,这就告诉我们要仔细观察、借助图形求解问题,(2)中条件给出a ,b 的值,但要讨论焦点的位置才能写出椭圆方程. [教材拓展] 设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,过抛物线上一点A 作l 的垂线,垂足为B ,设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ,0,AF 与BC 相交于点E ,假设|CF |=2|AF |,且△ACE 的面积为32,那么p 的值为________.解析 易知抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2,0,又|CF |=2|AF |且|CF |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪72p -p 2=3p , ∴|AB |=|AF |=32p ,可得A (p ,2p ).易知△AEB ∽△FEC ,∴|AE ||FE |=|AB ||FC |=12,故S △ACE =13S △ACF =13×3p ×2p ×12=22p 2=32,∴p 2=6,∵p >0,∴p = 6. 答案6探究提高 1.解答此题的关键有两个:(1)利用抛物线的定义求出点A 的坐标,(2)根据△AEB ∽△FEC 求出线段比,进而得到面积比并利用条件“S △ACE =32〞求解.2.对于解析几何问题,除了利用曲线的定义、方程进行运算外,还应恰当地利用平面几何的知识,能起到简化运算的作用.[高考] (2019·某某卷)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B .椭圆的短轴长为4,离心率为55. (1)求椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上,假设|ON |=|OF |(O 为原点),且OP ⊥MN ,求直线PB 的斜率. 解 (1)设椭圆的半焦距为c ,依题意,2b =4,c a =55,又a 2=b 2+c 2,可得a =5,b =2,c =1.所以椭圆的方程为x 25+y 24=1.(2)由题意,设P (x P ,y P )(x P ≠0),M (x M ,0), 直线PB 的斜率为k (k ≠0),又B (0,2),那么直线PB 的方程为y =kx +2,与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +2,x 25+y 24=1,整理得(4+5k 2)x2+20kx =0, 可得x P =-20k4+5k2,代入y =kx +2得y P =8-10k24+5k2,进而直线OP 的斜率为y P x P =4-5k 2-10k.在y =kx +2中,令y =0,得x M =-2k.由题意得N (0,-1),所以直线MN 的斜率为-k2.由OP ⊥MN ,得4-5k 2-10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-k 2=-1,化简得k 2=245,从而k =±2305(满足Δ=(20k )2>0).所以直线PB 的斜率为2305或-2305.教你如何审题——圆锥曲线中的证明问题[例题] (2019·卷)抛物线C :x 2=-2py (p >0)经过点(2,-1). (1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y =-1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点. [审题路线][自主解答](1)解 由抛物线C :x 2=-2py 经过点(2,-1)得p =2. 所以抛物线C 的方程为x 2=-4y ,其准线方程为y =1. (2)证明 抛物线C 的焦点为F (0,-1).设直线l 的方程为y =kx -1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx -1,x 2=-4y 得x 2+4kx -4=0. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),那么x 1x 2=-4. 直线OM 的方程为y =y 1x 1x .令y =-1,得点A 的横坐标x A =-x 1y 1, 同理得B 的横坐标x B =-x 2y 2.设点D (0,n ),那么DA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 1y 1,-1-n ,DB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 2y 2,-1-n , DA →·DB →=x 1x 2y 1y 2+(n +1)2 =x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 224+(n +1)2 =16x 1x 2+(n +1)2=-4+(n +1)2.令DA →·DB →=0,即-4+(n +1)2=0,得n =1或n =-3. 综上,以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,-3).探究提高 1.解决此题的关键是直径所对的圆周角为直角,要证明直线经过y 轴上定点D ,只需满足DA →·DB →=0,进而求解.类似的还有角的关系转化为斜率之间的关系,线段的长度比转化为线段端点的坐标之比. 2.解决此类问题,一般方法是“设而不求〞,通过“设参、用参、消参〞的推理及运算,借助几何直观,达到证明的目的.[尝试训练] (2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C :x 22+y 2=1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA =∠OMB . (1)解 由得F (1,0),l 的方程为x =1.把x =1代入椭圆方程x 22+y 2=1,可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-22,又M (2,0),所以直线AM 的方程为y =-22x +2或y =22x - 2. (2)证明 当l 与x 轴重合时,∠OMA =∠OMB =0°. 当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线, 所以∠OMA =∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y =k (x -1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 那么x 1<2,x 2<2,直线MA ,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1x 1-2+y 2x 2-2.由y 1=k (x 1-1),y 2=k (x 2-1)得k MA +k MB =2kx 1x 2-3k 〔x 1+x 2〕+4k〔x 1-2〕〔x 2-2〕.将y =k (x -1)代入x 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2-4k 2x +2k 2-2=0. 所以,x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2-22k 2+1.那么2kx 1x 2-3k (x 1+x 2)+4k =4k 3-4k -12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0. 从而k MA +k MB =0,故MA ,MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA =∠OMB . 综上,∠OMA =∠OMB .总分值答题示X ——圆锥曲线中的定点、定值问题[例题] (12分)(2020·某某模拟)点P 在圆O :x 2+y 2=6上运动,点P 在x 轴上的投影为Q ,动点M 满足(1-3)OQ →=OP →-3OM →. (1)求动点M 的轨迹E 的方程;(2)过点(2,0)的动直线l 与曲线E 交于A ,B 两点,问:在x 轴上是否存在定点D ,使得DA →·AB →+DA →2的值为定值?假设存在,求出定点D 的坐标及该定值;假设不存在,请说明理由. [规X 解答]解 (1)设M (x ,y ),P (x 0,y 0),由(1-3)OQ →=OP →-3OM →,得OQ →-OP →=3OQ →-3OM →,即PQ →=3MQ →,2′∴⎩⎨⎧x 0=x ,y 0=3y ,又点P (x 0,y 0)在圆O :x 2+y 2=6上,∴x 20+y 20=6, ∴x 2+3y 2=6,∴轨迹E 的方程为x 26+y 22=1.4′(2)当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =2,易求得直线l 与椭圆C 的两个交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,63,⎝ ⎛⎭⎪⎫2,-63, 此时DA →·DB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,63·⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,-63=-59.6′当直线l 的斜率存在时,设l :y =k (x -2),由⎩⎪⎨⎪⎧x 26+y 22=1,y =k 〔x -2〕,消去y 得(1+3k 2)x 2-12k 2x +12k 2-6=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴x 1+x 2=12k 21+3k 2,x 1·x 2=12k 2-61+3k 2,7′根据题意,假设x 轴上存在定点D (m ,0), 使得DA →·AB →+DA →2=DA →·(AB →-AD →)=DA →·DB →为定值, 那么有DA →·DB →=(x 1-m ,y 1)·(x 2-m ,y 2) =(x 1-m )(x 2-m )+y 1y 2=(x 1-m )(x 2-m )+k 2(x 1-2)(x 2-2) =(k 2+1)x 1x 2-(2k 2+m )(x 1+x 2)+(4k 2+m 2) =(k 2+1)·12k 2-61+3k 2-(2k 2+m )·12k 21+3k2+(4k 2+m 2)=〔3m 2-12m +10〕k 2+〔m 2-6〕3k 2+110′ 要使上式为定值,即与k 无关,那么3m 2-12m +10=3(m 2-6), 即m =73,此时DA →·DB →=m 2-6=-59为常数,定点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73,0. 综上所述,存在定点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫73,0,使得DA →·AB →+DA →2为定值-59.12′[高考状元总分值心得]❶得步骤分:抓住得分点的步骤,“步步为赢〞,求得总分值.如第(1)问中对向量的化简,第(2)问中联立直线方程和椭圆方程设而不求.❷得关键分:解题过程中不可忽视关键点,有那么给分,无那么没分,如第(2)问中直线斜率不存在时的讨论,数量积的坐标运算与化简.❸得计算分:解题过程中计算准确是得总分值的保障,如第(1)问中的轨迹方程,第(2)问中D 点坐标及所求定值. [构建模板]……求圆锥曲线的方程……特殊情况分类讨论……联立直线和圆锥曲线的方程……应用根与系数的关系用参数表示点的坐标……根据相关条件计算推证……明确结论[规X 训练] (2019·卷)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为(1,0),且经过点A (0,1).(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为原点,直线l :y =kx +t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N .假设|OM |·|ON |=2,求证:直线l 经过定点. (1)解 由题意,得b 2=1,c =1, 所以a 2=b 2+c 2=2.所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 那么直线AP 的方程为y =y 1-1x 1x +1. 令y =0,得点M 的横坐标x M =-x 1y 1-1.又y 1=kx 1+t ,从而|OM |=|x M |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1+t -1.同理,|ON |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2+t -1.由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +t ,x 22+y 2=1,得(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2-2=0, 那么x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-21+2k 2.所以|OM |·|ON |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1+t -1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2+t -1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2+k 〔t -1〕〔x 1+x 2〕+〔t -1〕2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 2-21+2k2k 2·2t 2-21+2k 2+k 〔t -1〕·⎝ ⎛⎭⎪⎫-4kt 1+2k 2+〔t -1〕2=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1+t 1-t .又|OM |·|ON |=2,所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1+t 1-t =2.解得t =0,所以直线l 经过定点(0,0).热点跟踪训练1.(2020·某某九校联考)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1过A (2,0),B (0,1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率;(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积为定值. (1)解 由题意知,a =2,b =1, 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.因为c =a 2-b 2=3, 所以椭圆C 的离心率e =c a =32.(2)证明 设P (x 0,y 0)(x 0<0,y 0<0),那么x 20+4y 20=4. 因为A (2,0),B (0,1), 所以直线PA 的方程为y =y 0x 0-2(x -2),令x =0,得y M =-2y 0x 0-2,从而|BM |=1-y M =1+2y 0x 0-2. 直线PB 的方程为y =y 0-1x 0x +1,令y =0,得x N =-x 0y 0-1,从而|AN |=2-x N =2+x 0y 0-1. 所以四边形ABNM 的面积S =12|AN |·|BM |=12⎝ ⎛⎭⎪⎫2+x 0y 0-1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1+2y 0x 0-2=x 20+4y 20+4x 0y 0-4x 0-8y 0+42〔x 0y 0-x 0-2y 0+2〕=2x 0y 0-2x 0-4y 0+4x 0y 0-x 0-2y 0+2=2,所以四边形ABNM 的面积为定值2.2.(2018·某某卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B ,椭圆的离心率为53,点A 的坐标为(b ,0),且|FB |·|AB |=6 2. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l :y =kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .假设|AQ ||PQ |=524sin∠AOQ (O 为原点),求k 的值. 解 (1)设椭圆的焦距为2c ,由有c 2a 2=59,又由a 2=b 2+c 2,可得2a =3b . 由可得,|FB |=a ,|AB |=2b , 由|FB |·|AB |=62, 可得ab =6,从而a =3,b =2. 所以,椭圆的方程为x 29+y 24=1.(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点Q 的坐标为(x 2,y 2). 由有y 1>y 2>0,故|PQ |sin∠AOQ =y 1-y 2.又因为|AQ |=y 2sin∠OAB ,而∠OAB =π4,故|AQ |=2y 2.由|AQ ||PQ |=524sin∠AOQ ,可得5y 1=9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,x 29+y 24=1,消去x ,可得y 1=6k9k 2+4. 易知直线AB 的方程为x +y -2=0,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,x +y -2=0,消去x ,可得y 2=2kk +1.代入5y 1=9y 2,可得5(k +1)=39k 2+4, 将等式两边平方,整理得56k 2-50k +11=0, 解得k =12或k =1128.所以,k 的值为12或1128.3.(2020·某某湘东六校联考)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12,点A (b ,0),B ,F分别为椭圆的上顶点和左焦点,且|BF |·|BA |=2 6. (1)求椭圆C 的方程;(2)假设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆C 交于G ,H 两点(G 在M ,H 之间),设直线l 的斜率k >0,在x 轴上是否存在点P (m ,0),使得以PG ,PH 为邻边的平行四边形为菱形?如果存在,求出m 的取值X 围;如果不存在,请说明理由.解 (1)设椭圆的焦距为2c ,由离心率e =12得a =2c ,①由|BF |·|BA |=26,得a ·b 2+b 2=26, ∴ab =23,②a 2-b 2=c 2,③由①②③可得a 2=4,b 2=3, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +2(k >0),由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +2〔k >0〕,x 24+y 23=1消y 得(3+4k 2)x 2+16kx +4=0,可得Δ>0,∴k >12.设G (x 1,y 1),H (x 2,y 2),那么x 1+x 2=-16k 4k 2+3,PG →+PH →=(x 1+x 2-2m ,k (x 1+x 2)+4),GH →=(x 2-x 1,y 2-y 1)=(x 2-x 1,k (x 2-x 1)).∵菱形的对角线互相垂直,∴(PG →+PH →)·GH →=0,∴(1+k 2)(x 1+x 2)+4k -2m =0,得m =-2k 4k 2+3, 即m =-24k +3k,∵k >12, ∴-36≤m <0⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当3k =4k 时,等号成立. ∴存在满足条件的实数m ,m 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-36,0. 4.椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),点A ⎝⎛⎭⎪⎫1,22在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)是否存在斜率为2的直线,使得当该直线与椭圆C 有两个不同交点M ,N 时,能在直线y =53上找到一点P ,在椭圆C 上找到一点Q ,满足PM →=NQ →?假设存在,求出直线的方程;假设不存在,说明理由.解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ,那么c =1,因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,22在椭圆C 上,所以2a =|AF 1|+|AF 2|=22,那么a =2,b 2=a 2-c 2=1. 故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1. (2)椭圆C 上不存在这样的点Q ,理由如下:设直线的方程为y =2x +t ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3,53,Q (x 4,y 4), 由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +t ,x 22+y 2=1,消去x 得9y 2-2ty +t 2-8=0, 所以y 1+y 2=2t 9,且Δ=4t 2-36(t 2-8)>0, 即-3<t <3.由PM →=NQ →得⎝⎛⎭⎪⎫x 1-x 3,y 1-53=(x 4-x 2,y 4-y 2),所以有y 1-53=y 4-y 2,y 4=y 1+y 2-53=29t -53. 又-3<t <3,所以-73<y 4<-1, 与椭圆上点的纵坐标的取值X 围是[-1,1]矛盾.因此椭圆C 上不存在这样的点Q .5.椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),左、右顶点分别为A 1,A 2,P 为椭圆E 上的动点(不与A 1,A 2重合),且直线PA 1与PA 2的斜率的乘积为-34. (1)求椭圆E 的方程;(2)过点F 2作两条互相垂直的直线l 1与l 2(均不与x 轴重合)分别与椭圆E 相交于A ,B ,C ,D 四点,线段AB ,CD 的中点分别为M ,N ,求证:直线MN 过定点,并求出该定点的坐标.(1)解 设P (x 0,y 0)(y 0≠0),那么x 20a 2+y 20b2=1. 整理,得x 20-a 2=-a 2y 20b 2. 由题意,得y 0x 0-a ·y 0x 0+a =-34. 整理,得x 20-a 2=-43y 20. ∴-a 2y 20b 2=-43y 20,又y 0≠0,即a 2=43b 2. ∵c =1,a 2=b 2+c 2,∴a 2=4,b 2=3.故椭圆E 的方程为x 24+y 23=1. (2)证明 设直线AB 的方程:y =k (x -1)(k ≠0), A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k 〔x -1〕,3x 2+4y 2=12消y 得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0. ∴x 1+x 2=8k 24k 2+3.∴x M =x 1+x 22=12·8k 24k 2+3=4k 24k 2+3, ∴y M =k (x M -1)=-3k 4k 2+3. 用-1k 替换点M 坐标中的k ,可得x N =43k 2+4,y N =3k 3k 2+4. 假设直线AB 关于x 轴对称后得到直线A ′B ′,直线CD 关于x 轴对称后得到直线C ′D ′,线段A ′B ′,C ′D ′的中点分别为M ′,N ′,那么直线M ′N ′与直线MN 关于x 轴对称. ∴假设直线MN 经过定点,那么该定点一定是直线M ′N ′与MN 的交点,该交点必在x 轴上.设该交点为T (s ,0),那么MT →=(s -x M ,-y M ),NM →=(x M -x N ,y M -y N ).由MT →∥NM →,得s =x N y M -x M y N y M -y N. 代入点M ,N 的坐标并化简,得s =47. ∴经过的定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫47,0. 6.(2020·某某质量监测)如图,椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为32,过焦点F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)(一题多解)点P (x 0,y 0)(y 0≠0)为椭圆C 上一动点,连接PF 1,PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点M (m ,0),某某数m 的取值X 围.解 (1)将x =c 代入x 2a 2+y 2b2=1中,由a 2-c 2=b 2, 可得y 2=b 4a 2,所以弦长为2b 2a . 由⎩⎪⎨⎪⎧2b 2a =1,c a =32,a 2=b 2+c 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. (2)法一 因为点P (x 0,y 0)(y 0≠0),F 1(-3,0),F 2(3,0), 所以直线PF 1,PF 2的方程分别为 l 1:y 0x -(x 0+3)y +3y 0=0,l 2:y 0x -(x 0-3)y -3y 0=0. 由题意可知|my 0+3y 0|y 20+〔x 0+3〕2=|my 0-3y 0|y 20+〔x 0-3〕2. 由于点P 为椭圆C 上除左、右顶点外的任一点,所以x 204+y 20=1(y 0≠0), 所以|m +3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0+22=|m -3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0-22,因为-3<m <3,-2<x 0<2,所以m +332x 0+2=3-m2-32x 0,即m =34x 0, 因此,-32<m <32. 法二 设|PF 1|=t ,在△PF 1M 中,由正弦定理得tsin∠PMF 1=m +3sin∠MPF 1, 在△PF 2M 中,由正弦定理得4-t sin∠PMF 2=3-m sin∠MPF 2, 因为∠PMF 1+∠PMF 2=π,∠MPF 1=∠MPF 2,所以t 4-t =3+m 3-m,解得m =14(23t -43), 因为t ∈(a -c ,a +c ),即t ∈(2-3,2+3),所以-32<m <32.。
【创新方案】〔新课标〕2017届高考数学总复习第九章解析几何教案理新人教A版第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲要求:1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握确定直线位置的几何要素;掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等),了解斜截式与一次函数的关系.1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.(2)X围:直线l倾斜角的X围是[0,π).2.直线的斜率(1)定义:假设直线的倾斜角θ不是90°,那么斜率k=tan_θ.(2)计算公式:假设由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴,那么k=y2-y1 x2-x1.3.直线方程的五种形式名称条件方程适用X围点斜式斜率k与点(x0,y0)y-y0=k(x-x0) 不含直线x=x0斜截式斜率k与截距b y=kx+b 不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1,y1),(x2,y2)y-y1y2-y1=x-x1x2-x1不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)截距式截距a与b xa+yb=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用1.判断以下结论的正误.(正确的打“√〞,错误的打“×〞)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( )(2)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.()(3)倾斜角越大,斜率越大.( )(4)经过点P (x 0,y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示.( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示.( )(6)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.( )(7)假设直线在x 轴,y 轴上的截距分别为m ,n ,那么方程可记为x m +yn=1.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)×2.假设过两点A (-m,6),B (1,3m )的直线的斜率为12,那么m =________. 答案:-23.直线3x -y +a =0的倾斜角为________. 答案:60°4.三角形的三个顶点A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),那么BC 边上中线所在的直线方程为____________.答案:x +13y +5=05.直线l 经过点P (-2,5),且斜率为-34,那么直线l 的方程为________.答案:3x +4y -14=0[典题1] (1)直线2x cos α-y -3=0α∈π6,π3的倾斜角的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,2π3(2)直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,那么直线l 斜率的取值X 围为________.[听前试做] (1)直线2x cos α-y -3=0的斜率k =2cos α,因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π3,所以12≤cos α≤32,因此k =2·cos α∈[1, 3 ].设直线的倾斜角为θ,那么有tan θ∈[1, 3 ].又θ∈[0,π),所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π3,即倾斜角的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π3.(2)如图,∵k AP =1-02-1=1,k BP =3-00-1=-3, ∴k ∈(-∞,- 3 ]∪[1,+∞). 答案:(1)B (2)(-∞,- 3 ]∪[1,+∞)[探究1] 假设将题(2)中P (1,0)改为P (-1,0),其他条件不变,求直线l 斜率的取值X 围.解:∵P (-1,0),A (2,1),B (0,3), ∴k AP =1-02--1=13,k BP =3-00--1= 3.如图可知,直线l 斜率的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3. [探究2] 假设将题(2)条件改为“经过P (0,-1)作直线l ,假设直线l 与连接A (1,-2),B (2,1)的线段总有公共点〞,求直线l 的倾斜角α的X 围.解:法一:如下图,k PA =-2--11-0=-1,k PB =1--12-0=1,由图可观察出:直线l 倾斜角α的X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π.法二:由题意知,直线l 存在斜率.设直线l 的斜率为k , 那么直线l 的方程为y +1=kx ,即kx -y -1=0. ∵A ,B 两点在直线的两侧或其中一点在直线l 上.∴(k +2-1)(2k -1-1)≤0,即2(k +1)(k -1)≤0. ∴-1≤k ≤1.∴直线l 的倾斜角α的X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π.直线倾斜角的X 围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的X 围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π2时,斜率k ∈[0,+∞);当α=π2时,斜率不存在;当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π时,斜率k∈(-∞,0).[典题2] 根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为1010; (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.[听前试做] (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为α,那么sin α=1010(0<α<π), 从而cos α=±31010,那么k =tan α=±13.故所求直线方程为y =±13(x +4).即x +3y +4=0或x -3y +4=0. (2)由题设知截距不为0,设直线方程为x a +y12-a=1,又直线过点(-3,4),从而-3a +412-a =1,解得a =-4或a =9.故所求直线方程为4x -y +16=0或x +3y -9=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为x -5=0;当斜率存在时,设其为k ,那么所求直线方程为y -10=k (x -5),即kx -y +(10-5k )=0.由点线距离公式,得|10-5k |k 2+1=5,解得k =34.故所求直线方程为3x -4y +25=0.综上知,所求直线方程为x -5=0或3x -4y +25=0.求直线方程的注意点(1)用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在;(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,假设采用截距式,注意分类讨论,判断截距是否为零.点A (3,4),求满足以下条件的直线方程: (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等;(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 解:(1)设直线在x ,y 轴上的截距均为a . ①假设a =0,即直线过点(0,0)及(3,4). ∴直线的方程为y =43x ,即4x -3y =0.②假设a ≠0,设所求直线的方程为x a +y a=1, 又点(3,4)在直线上,∴3a +4a=1,∴a =7.∴直线的方程为x +y -7=0.综合①②可知所求直线的方程为4x -3y =0或x +y -7=0. (2)由题意可知,所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4),由点斜式得y -4=±(x -3). 所求直线的方程为x -y +1=0或x +y -7=0.[典题3] 直线l 过点P (3,2),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,如下图,求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程.[听前试做] 依题意知,直线l 的斜率k 存在且k <0.那么直线l 的方程为y -2=k (x -3)(k <0),且有A ⎝⎛⎭⎪⎫3-2k,0,B (0,2-3k ),∴S△ABO=12(2-3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3-2k =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+-9k +4-k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+2-9k ·4-k =12×(12+12)=12. 当且仅当-9k =4-k ,即k =-23时,等号成立. 即△ABO 的面积的最小值为12. 此时直线l 的方程为2x +3y -12=0.(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能够看出“动中有定〞.(2)求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利用基本(均值)不等式求解最值.直线l :kx -y +1+2k =0(k ∈R ). (1)证明:直线l 过定点;(2)假设直线不经过第四象限,求k 的取值X 围;(3)假设直线l 交x 轴负半轴于A ,交y 轴正半轴于B ,△AOB 的面积为S (O 为坐标原点),求S 的最小值并求此时直线l 的方程.解:(1)证明:直线l 的方程是k (x +2)+(1-y )=0,令⎩⎪⎨⎪⎧x +2=0,1-y =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =1,∴无论k 取何值,直线总经过定点(-2,1).(2)由方程知,当k ≠0时直线在x 轴上的截距为-1+2kk,在y 轴上的截距为1+2k ,要使直线不经过第四象限,那么必须有⎩⎪⎨⎪⎧-1+2k k ≤-2,1+2k ≥1,解之得k >0;当k =0时,直线为y =1,符合题意,故k ≥0. 即k 的取值X 围是[0,+∞).(3)由l 的方程,得A ⎝⎛⎭⎪⎫-1+2k k,0,B (0,1+2k ).依题意得⎩⎪⎨⎪⎧-1+2k k <0,1+2k >0,解得k >0.∵S =12·|OA |·|OB |=12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1+2k k ·|1+2k | =12·1+2k 2k=12⎝⎛⎭⎪⎫4k +1k +4≥12×(2×2+4)=4, “=〞成立的条件是k >0且4k =1k ,即k =12,∴S min =4,此时直线l 的方程为x -2y +4=0.———————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————[方法技巧]1.直线的斜率k 与倾斜角θ之间的关系θ 0° 0°<θ<90°90° 90°<θ<180°kk >0 不存在k <0(1)直接法:根据条件选择恰当的直线方程形式,直接求出直线方程.(2)待定系数法:先根据条件设出直线方程,再根据条件构造关于待定系数的方程(组),求出待定系数,从而求出直线方程.[易错防X]1.利用两点式计算斜率时易忽视x 1=x 2时斜率k 不存在的情况.2.用直线的点斜式求方程时,在斜率k 不明确的情况下,注意分k 存在与不存在讨论,否那么会造成失误.3.直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式. 4.由一般式Ax +By +C =0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0的情况,当B =0时,k 不存在;当B ≠0时,k =-AB.[全盘巩固]一、选择题1.假设方程(2m 2+m -3)x +(m 2-m )y -4m +1=0表示一条直线,那么参数m 满足的条件是( )A .m ≠-32B .m ≠0C .m ≠0且m ≠1 D.m ≠1解析:选D 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2+m -3=0,m 2-m =0,解得m =1,故m ≠1时方程表示一条直线.2.直线l :x sin 30°+y cos 150°+1=0的斜率是( ) A.33B.3C .- 3 D .-33解析:选A 设直线l 的斜率为k ,那么k =-sin 30°cos 150°=33.3.直线l :ax +y -2-a =0在x 轴和y 轴上的截距相等,那么a 的值是( ) A .1 B .-1 C .-2或-1 D .-2或1 解析:选D 由题意可知ax =0时,y =a +2. 当y =0时,x =a +2a .∴a +2a=a +2,解得a =-2或a =1. 4.直线ax +by +c =0同时要经过第一、第二、第四象限,那么a ,b ,c 应满足( ) A .ab >0,bc <0 B .ab >0,bc >0 C .ab <0,bc >0 D .ab <0,bc <0解析:选A 由于直线ax +by +c =0经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为y =-a b x -c b .易知-a b <0且-c b>0,故ab >0,bc <0.5.两直线x m -y n =a 与x n -y m=a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )A B C D解析:选B 直线方程x m -y n =a 可化为y =n m x -na ,直线x n -y m =a 可化为y =m nx -ma ,由此可知两条直线的斜率同号.二、填空题6.假设直线l 与直线y =1,x =7分别交于点P ,Q ,且线段PQ 的中点坐标为(1,-1),那么直线l 的斜率为________.解析:设P (x P,1),由题意及中点坐标公式得x P +7=2,解得x P =-5,即P (-5,1),所以k =-13.答案:-137.过点M (-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________. 解析:(1)当直线过原点时,直线方程为y =-53x ;(2)当直线不过原点时,设直线方程为x a +y-a =1,即x -y =a .代入点(-3,5),得a =-8. 即直线方程为x -y +8=0. 答案:y =-53x 或x -y +8=08.直线l :ax +(a +1)y +2=0的倾斜角大于45°,那么a 的取值X 围是________. 解析:当a =-1时,直线l 的倾斜角为90°,符合要求;当a ≠-1时,直线l 的斜率为-aa +1,只要-a a +1>1或-a a +1<0即可,解得-1<a <-12或a <-1或a >0. 综上可知,实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪(0,+∞).答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪(0,+∞)三、解答题9.直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足以下条件的直线l 的方程: (1)过定点A (-3,4); (2)斜率为16.解:(1)设直线l 的方程为y =k (x +3)+4,它在x 轴,y 轴上的截距分别是-4k-3,3k+4,由,得(3k +4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k +3=±6, 解得k 1=-23或k 2=-83.故直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ,那么直线l 的方程是y =16x +b ,它在x 轴上的截距是-6b ,由,得|-6b ·b |=6,∴b =±1.∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0.10.如图,射线OA ,OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角,过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ,OB 于A ,B 两点,当AB 的中点C 恰好落在直线y =12x 上时,求直线AB 的方程.解:由题意可得k OA =tan 45°=1,k OB =tan(180°-30°)=-33, 所以直线l OA :y =x ,l OB :y =-33x . 设A (m ,m ),B (-3n ,n ), 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m -3n 2,m +n 2,由点C 在直线y =12x 上,且A ,P ,B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m +n 2=12·m -3n 2,m -0m -1=n -0-3n -1,解得m =3,所以A (3,3). 又P (1,0),所以k AB =k AP =33-1=3+32,所以l AB :y =3+32(x -1),即直线AB 的方程为(3+3)x -2y -3-3=0.[冲击名校]1.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O (0,0),A (1,3),点B 在x 轴的正半轴上,那么直线AB 的方程为( )A .y -1=3(x -3)B .y -1=-3(x -3)C .y -3=3(x -1)D .y -3=-3(x -1)解析:选D 因为AO =AB ,所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数,所以k AB=-k OA =-3,所以直线AB 的点斜式方程为:y -3=-3(x -1).2.假设直线ax +by =ab (a >0,b >0)过点(1,1),那么该直线在x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为( )A .1B .2C .4D .8解析:选C ∵直线ax +by =ab (a >0,b >0)过点(1,1),∴a +b =ab ,即1a +1b=1,∴a +b =(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b=2+b a +a b≥2+2b a ·ab=4, 当且仅当a =b =2时上式等号成立.∴直线在x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为4.3.假设ab >0,且A (a,0),B (0,b ),C (-2,-2)三点共线,那么ab 的最小值为________. 解析:根据A (a,0),B (0,b )确定直线的方程为x a +y b=1,又C (-2,-2)在该直线上,故-2a +-2b=1,所以-2(a +b )=ab .又ab >0,故a <0,b <0.根据基本(均值)不等式ab =-2(a +b )≥4ab ,从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4,故ab ≥16,当且仅当a =b =-4时取等号.即ab 的最小值为16.答案:164.直线PQ 的斜率为-3,将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为________. 解析:直线PQ 的斜率为-3,那么直线PQ 的倾斜角为120°,所求直线的倾斜角为60°,tan 60°= 3.答案: 35.A (3,0),B (0,4),直线AB 上一动点P (x ,y ),那么xy 的最大值是________. 解析:直线AB 的方程为x 3+y4=1,设P (x ,y ),那么x =3-34y ,∴xy =3y -34y 2=34(-y 2+4y )=34[-(y -2)2+4]≤3. 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2时,xy 取最大值3. 答案:36.设点A (-1,0),B (1,0),直线2x +y -b =0与线段AB 相交,那么b 的取值X 围是________.解析:b 为直线y =-2x +b 在y 轴上的截距,如图,当直线y =-2x +b 过点A (-1,0)和点B (1,0)时,b 分别取得最小值和最大值. ∴b 的取值X 围是[-2,2]. 答案:[-2,2]第二节 两直线的位置关系考纲要求:1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1,l 2,其斜率分别为k 1,k 2,那么有l 1∥l 2⇔k 1=k 2; ②当不重合的两条直线l 1,l 2的斜率都不存在时,l 1与l 2的关系为平行. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1,l 2的斜率存在,设为k 1,k 2,那么l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1;②如果l 1,l 2中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l 1与l 2的关系为垂直.2.两条直线的交点3.三种距离点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)之间的距离 |P 1P 2|=x 2-x 12+y 2-y 12点P 0(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离 d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B 2两条平行线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离d =|C 1-C 2|A 2+B 21.判断以下结论的正误.(正确的打“√〞,错误的打“×〞) (1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时,一定有k 1=k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.( )(3)直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),假设直线l 1⊥l 2,那么A 1A 2+B 1B 2=0.( )(4)l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,当k 1≠k 2时,l 1与l 2相交.( )(5)过l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ∈R ).( )(6)点P (x 0,y 0)到直线y =kx +b 的距离为|kx 0+b |1+k2.( ) (7)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)√ 2.直线l 过点P (1,2),直线l 1:2x +y -10=0. (1)假设l ∥l 1,那么直线l 的方程为________; (2)假设l ⊥l 1,那么直线l 的方程为________. 答案:(1)2x +y -4=0 (2)x -2y +3=03.经过两直线2x +y -8=0与x -2y +1=0的交点,且平行于直线4x -3y -7=0的直线方程为____________.答案:4x -3y -6=04.原点到直线x +2y -5=0的距离是________. 答案: 55.直线l 1的方程为3x +4y -7=0,直线l 2的方程为6x +8y +1=0,那么直线l 1与l 2的距离为________.答案:32[典题1] (1)过点A (-2,m )和点B (m,4)的直线为l 1,直线2x +y -1=0为l 2,直线x +ny +1=0为l 3.假设l 1∥l 2,l 2⊥l 3,那么实数m +n 的值为________.(2)两条直线l 1:ax -by +4=0和l 2:(a -1)x +y +b =0,求满足以下条件的a ,b 的值.①l 1⊥l 2,且l 1过点(-3,-1);②l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.[听前试做] (1)∵l 1∥l 2,∴k AB =4-m m +2=-2,解得m ∵l 2⊥l 3,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫-1n ×(-2)=-1. 解得n =-2,∴m +n =-10.(2)①由可得l 2的斜率存在,∴k 2=1-a . 假设k 2=0,那么1-a =0,a =1.∵l 1⊥l 2,直线l 1的斜率k 1必不存在,即b =0. 又∵l 1过点(-3,-1), ∴-3a +4=0,即a =43(矛盾),∴此种情况不存在,∴k 2≠0, 即k 1,k 2都存在.∵k 2=1-a ,k 1=a b,l 1⊥l 2, ∴k 1k 2=-1,即a b(1-a )=-1.(*) 又∵l 1过点(-3,-1), ∴-3a +b +4=0.(**)由(*)(**)联立,解得a =2,b =2. ②∵l 2的斜率存在,l 1∥l 2, ∴直线l 1的斜率存在,k 1=k 2,即ab=1-a .(ⅰ)又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l 1∥l 2, ∴l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b=b .(ⅱ)联立(ⅰ)(ⅱ),解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-2或⎩⎪⎨⎪⎧a =23,b =2.∴a =2,b =-2或a =23,b =2.答案:(1)-10(1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.[典题2] 经过两直线l 1:x -2y +4=0和l 2:x +y -2=0的交点P ,且与直线l 3:3x -4y +5=0垂直的直线l 的方程为________________.[听前试做] 法一:由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +4=0,x +y -2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =2,即P (0,2).∵l ⊥l 3,∴直线l 的斜率k 1=-43,∴直线l 的方程为y -2=-43x ,即4x +3y -6=0.法二:∵直线l 过直线l 1和l 2的交点,∴可设直线l 的方程为x -2y +4+λ(x +y -2)=0, 即(1+λ)x +(λ-2)y +4-2λ=0. ∵l 与l 3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,∴λ=11,∴直线l 的方程为12x +9y -18=0,即4x +3y -6=0. 答案:4x +3y -6=0[探究] 假设将本例中的“垂直〞改为“平行〞,如何求解? 解:法一:由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +4=0,x +y -2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =2,即P (0,2).∵l ∥l 3,∴直线l 的斜率k 1=34,∴直线l 的方程为y -2=34x ,即3x -4y +8=0.法二:∵直线l 过直线l 1和l 2的交点,∴可设直线l 的方程为x -2y +4+λ(x +y -2)=0, 即(1+λ)x +(λ-2)y +4-2λ=0. ∵l 与l 3平行,∴3(λ-2)-(-4)(1+λ)=0,且(-4)(4-2λ)≠5(λ-2),∴λ=27,∴直线l 的方程为3x -4y +8=0.(1)两直线交点的求法求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.(2)常见的三大直线系方程①与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +m =0(m ∈R 且m ≠C ).②与直线Ax +By +C =0垂直的直线系方程是Bx -Ay +m =0(m ∈R ).③过直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ∈R ),但不包括l 2.[典题3] 点P (2,-1).(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程.(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线?假设存在,求出方程;假设不存在,请说明理由.[听前试做] (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,-1),显然,过P (2,-1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x =2. 假设斜率存在,设l 的方程为y +1=k (x -2), 即kx -y -2k -1=0.由得|-2k -1|k 2+1=2,解得k =34.此时l 的方程为3x -4y -10=0.综上,可得直线l 的方程为x =2或3x -4y -10=0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图. 由l ⊥OP ,得k l k OP =-1,所以k l =-1k OP=2.由直线方程的点斜式得y +1=2(x -2), 即2x -y -5=0.所以直线2x -y -5=0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|-5|5= 5.(3)由(2)可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.利用距离公式应注意:(1)点P (x 0,y 0)到直线x =a 的距离d =|x 0-a |,到直线y =b 的距离d =|y 0-b |; (2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ,y 的系数化为相等.1.两条平行直线l 1:mx +8y +n =0与l 2:2x +my -1=0间的距离为5,那么直线l 1的方程为_________________________________________.解析:∵l 1∥l 2,∴m 2=8m ≠n-1,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =4,n ≠-2或⎩⎪⎨⎪⎧m =-4,n ≠2.①当m =4时,直线l 1的方程为4x +8y +n =0, 把l 2的方程写成4x +8y -2=0, ∴|n +2|16+64=5,解得n =-22或18.故所求直线l 1的方程为2x +4y -11=0或2x +4y +9=0. ②当m =-4时,直线l 1的方程为4x -8y -n =0, 把l 2的方程写成为4x -8y -2=0, ∴|-n +2|16+64=5,解得n =-18或22.故所求直线l 1的方程为2x -4y +9=0或2x -4y -11=0. 答案:2x ±4y +9=0或2x ±4y -11=02.直线l 过点P (-1,2)且到点A (2,3)和点B (-4,5)的距离相等,那么直线l 的方程为________.解析:法一:当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y -2=k (x +1),即kx -y +k +2=0.由题意知|2k -3+k +2|k 2+1=|-4k -5+k +2|k 2+1,即|3k -1|=|-3k -3|,∴k =-13.∴直线l 的方程为y -2=-13(x +1),即x +3y -5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =-1,也符合题意.法二:当AB ∥l 时,有k =k AB =-13,直线l 的方程为y -2=-13(x +1),即x +3y -5=0.当l 过AB 中点时,AB 的中点为(-1,4). ∴直线l 的方程为x =-1.故所求直线l 的方程为x +3y -5=0或x =-1. 答案:x +3y -5=0或x =-1对称问题是高考常考内容之一,也是考查学生转化能力的一种常见题型,且主要有以下几个命题角度:角度一:点关于点的中心对称问题[典题4] 过点P (0,1)作直线l ,使它被直线l 1:2x +y -8=0和l 2:x -3y +10=0截得的线段被点P 平分,那么直线l 的方程为________________.[听前试做] 设l 1与l 的交点为A (a,8-2a ),那么由题意知,点A 关于点P 的对称点B (-a,2a -6)在l 2上,代入l 2的方程得-a -3(2a -6)+10=0,解得a =4,即点A (4,0)在直线l 上,所以直线l 的方程为x +4y -4=0.答案:x +4y -4=0角度二:点关于直线的对称问题[典题5] 直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2),那么点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________.[听前试做] 设A ′(x ,y ),由得⎩⎪⎨⎪⎧y +2x +1×23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3313,y =413,故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-3313,413.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫-3313,413 角度三:直线关于直线的对称问题[典题6] 直线l :2x -3y +1=0,求直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m ′的方程.[听前试做] 在直线m 上任取一点,如M (2,0),那么M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上.设对称点M ′(a ,b ),那么⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a +22-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b +02+1=0,b -0a -2×23=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =613,b =3013,∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613,3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ,那么由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3),∴由两点式得直线m ′的方程为9x -46y +102=0. 角度四:对称问题的应用[典题7] 在等腰直角三角形ABC 中,AB =AC =4,点P 是边AB 上异于A ,B 的一点.光线从点P 出发,经BC ,CA 反射后又回到点P (如图).假设光线QR 经过△ABC 的重心,那么AP 等于________.[听前试做] 以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如下图平面直角坐标系,那么A (0,0),B (4,0),C (0,4),得△ABC 的重心D ⎝⎛⎭⎪⎫43,43,设AP =x ,P (x,0),x ∈(0,4),由光的反射定理,知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4,4-x )、P 2(-x,0),与△ABC 的重心D 43,43共线,所以4343+x =43-4-x 43-4,求得x =43,AP =43.答案:43(1)点P (x ,y )关于O (a ,b )的对称点P ′(x ′,y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′=2a -x ,y ′=2b -y .(如角度一)(2)解决点关于直线对称问题要把握两点,点M 与点N 关于直线l 对称,那么线段MN 的中点在直线l 上,直线l 与直线MN 垂直.(如角度二)(3)假设直线l 1、l 2关于直线l 对称,那么有如下性质:①假设直线l 1与l 2相交,那么交点在直线l 上;②假设点B 在直线l 1上,那么其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上.(如角度三)(4)解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分〞,由“垂直〞列出一个方程,由“平分〞列出一个方程,联立求解.(如角度四)——————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————[方法技巧]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1,l 2,l 1∥l 2⇔k 1=k 2;l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1.2.与直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx -Ay +m =0; (2)平行:Ax +By +n =0.3.直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0(A 21+B 21≠0),l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 22+B 22≠0),那么: (1)l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0; (2)l 1∥l 2⇔A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0); (3)l 1与l 2相交⇔A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0); (4)l 1与l 2重合⇔A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2(A 2B 2C 2≠0).4.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称,利用坐标转移法.[易错防X]1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.假设两条直线都有斜率,可根据判定定理判断,假设直线无斜率时,要单独考虑;2.运用两平行直线间的距离公式d =|C 1-C 2|A 2+B 2的前提是将两方程中的x ,y 的系数化为对应相等.[全盘巩固]一、选择题1.当0<k <12时,直线l 1:kx -y =k -1与直线l 2:ky -x =2k 的交点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx -y =k -1,ky -x =2k ,得交点为⎝⎛⎭⎪⎫k k -1,2k -1k -1.因为0<k <12,所以kk -1<0,2k -1k -1>0.故交点在第二象限. 2.假设直线l 1:ax +2y +6=0与直线l 2:x +(a -1)y +a 2-1=0垂直,那么实数a =( )A.23 B .-1 C .2 D .-1或2 解析:选A ∵a ×1+(a -1)×2=0,∴a =23.3.假设直线l 1:x -2y +m =0(m >0)与直线l 2:x +ny -3=0之间的距离是5,那么m +n =( )A .0B .1C .-1D .2解析:选A ∵直线l 1:x -2y +m =0(m >0)与直线l 2:x +ny -3=0之间的距离为5,∴⎩⎪⎨⎪⎧n =-2,|m +3|5=5,∴n =-2,m =2(负值舍去).∴m +n =0.4.直线l 1:y =2x +3,直线l 2与l 1关于直线y =-x 对称,那么直线l 2的斜率为( ) A.12 B .-12C .2D .-2 解析:选A 因为l 1,l 2关于直线y =-x 对称,所以l 2的方程为-x =-2y +3,即y =12x +32,即直线l 2的斜率为12. 5.A ,B 两点分别在两条互相垂直的直线2x -y =0和x +ay =0上,且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0,10a ,那么线段AB 的长为( )A .11B .10C .9D .8解析:选B 依题意,a =2,P (0,5),设A (x,2x ),B (-2y ,y ),故⎩⎪⎨⎪⎧x -2y =0,2x +y =10,那么A (4,8),B (-4,2),∴|AB |=4+42+8-22=10.二、填空题6.直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8, l 1∥l 2,那么实数m 的值为________.解析:由(3+m )(5+m )-4×2=0,得m =-1或m =-7,当m =-1时,直线l 1与l 2重合,舍去; 当m =-7时,5-3m 4=132≠85+m ,两直线平行.答案:-77.假设三条直线y =2x ,x +y =3,mx +2y +5=0相交于同一点,那么m 的值为________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x ,x +y =3,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2.∴点(1,2)满足方程mx +2y +5=0, 即m ×1+2×2+5=0,∴m =-9. 答案:-98.l 1,l 2是分别经过A (1,1),B (0,-1)两点的两条平行直线,当l 1,l 2间的距离最大时,那么直线l 1的方程是__________________________.解析:当直线AB 与l 1,l 2垂直时,l 1,l 2间的距离最大.因为A (1,1),B (0,-1),所以k AB =-1-10-1=2,所以两平行直线的斜率为k =-12,所以直线l 1的方程是y -1=-12(x-1),即x +2y -3=0.答案:x +2y -3=0 三、解答题9.正方形的中心为点C (-1,0),一条边所在的直线方程是x +3y -5=0,求其他三边所在直线的方程.解:点C 到直线x +3y -5=0的距离d =|-1-5|1+9=3105.设与x +3y -5=0平行的一边所在直线的方程是x +3y +m =0(m ≠-5), 那么点C 到直线x +3y +m =0的距离d =|-1+m |1+9=3105,解得m =-5(舍去)或m =7,所以与x +3y -5=0平行的边所在直线的方程是x +3y +7=0. 设与x +3y -5=0垂直的边所在直线的方程是3x -y +n =0, 那么点C 到直线3x -y +n =0的距离d =|-3+n |1+9=3105,解得n =-3或n =9,所以与x +3y -5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x -y -3=0和3x -y +9=0. 10.△ABC 的顶点A (5,1),AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x -y -5=0,AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0,求直线BC 的方程.解:依题意知:k AC =-2,A (5,1),∴l AC 为2x +y -11=0,联立l AC ,l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -11=0,2x -y -5=0,∴C (4,3).设B (x 0,y 0),AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎪⎫x 0+52,y 0+12,代入2x -y -5=0,得2x 0-y 0-1=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0-y 0-1=0,x 0-2y 0-5=0,∴B (-1,-3),∴k BC =65,∴直线BC 的方程为y -3=65(x -4),即6x -5y -9=0.[冲击名校]1.假设动点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)分别在直线l 1:x -y -5=0,l 2:x -y -15=0上移动,那么P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522B .5 2 C.1522D .15 2 解析:选B 由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x -y -10=0,那么原点到直线x -y -10=0的距离为d =102=5 2.2.假设直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,那么直线l 2恒过定点( ) A .(0,4) B .(0,2) C .(-2,4) D .(4,-2)解析:选B 直线l 1:y =k (x -4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).又由于直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,故直线l 2恒过定点(0,2).3.设A ,B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为3,且|PA |=|PB |,假设直线PA 的方程为x -y +1=0,那么直线PB 的方程是( )A .x +y -5=0B .2x -y -1=0C .x -2y +4=0D .x +y -7=0解析:选D 由|PA |=|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上.由点P 的横坐标为3,且PA 的方程为x -y +1=0,得P (3,4).直线PA ,PB 关于直线x =3对称,直线PA 上的点(0,1)关于直线x =3的对称点(6,1)在直线PB 上,∴直线PB 的方程为x +y -7=0.4.假设在平面直角坐标系内过点P (1,3),且与原点的距离为d 的直线有两条,那么d 的取值X 围为________.解析:因为原点到点P 的距离为2,所以过点P 的直线与原点的距离都不大于2,故d ∈(0,2).答案:(0,2)5.如图,A (-2,0),B (2,0),C (0,2),E (-1,0),F (1,0),一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点,经BC 反射后,再经AC 反射,落到线段AE 上(不含端点),那么直线FD 的斜率的取值X 围为________.解析:从特殊位置考虑.如图,∵点A (-2,0)关于直线BC :x +y =2的对称点为A 1(2,4),∴kA 1FE (-1,0)关于直线AC :y =x +2的对称点为E 1(-2,1),点E 1(-2,1)关于直线BC :x +y =2的对称点为E 2(1,4),此时直线E 2F 的斜率不存在,∴k FD >kA 1F ,即k FD ∈(4,+∞).答案:(4,+∞)6.设m ∈R ,过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx -y -m +3=0交于点P (x ,y ),那么|PA |·|PB |的最大值是________.解析:易求定点A (0,0),B (1,3).当P 与A 和B 均不重合时,因为P 为直线x +my =0与mx -y -m +3=0的交点,且易知两直线垂直,那么PA ⊥PB ,所以|PA |2+|PB |2=|AB |2=10,所以|PA |·|PB |≤|PA |2+|PB |22=5(当且仅当|PA |=|PB |=5时,等号成立);当P 与A 或B 重合时,|PA |·|PB |=0,故|PA |·|PB |的最大值是5.答案:5第三节 圆 的 方 程考纲要求:1.掌握确定圆的几何要素. 2.掌握圆的标准方程与一般方程.1.圆的定义及方程定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程(x -a )2+(y -b )2=圆心C :(a ,b )(1)理论依据:点与圆心的距离与半径的大小关系. (2)三种情况圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2,点M (x 0,y 0), ①(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2⇔点在圆上; ②(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2⇔点在圆外; ③(x 0-a )2+(y 0-b )2<r 2⇔点在圆内.[自我查验]1.判断以下结论的正误.(正确的打“√〞,错误的打“×〞) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )(2)点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么以AB 为直径的圆的方程是(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0.( )(3)方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是A =C ≠0,B =0,D 2+E 2-4F >0.( )(4)假设点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0外,那么x 20+y 20+Dx 0+Ey 0+F >0.( ) (5)圆的方程为x 2+y 2-2y =0,过点A (1,2)作该圆的切线只有一条.( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×2.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆,那么a 的取值X 围是( )A .(-∞,-2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23,+∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-23,0C .(-2,0) D.⎝⎛⎭⎪⎫-2,23 解析:选D 由题意知a 2+4a 2-4(2a 2+a -1)>0,解得-2<a <23.3.将圆x 2+y 2-2x -4y +1=0平分的直线是( ) A .x +y -1=0 B .x +y +3=0 C .x -y +1=0 D .x -y +3=0解析:选C 要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2).A ,B ,C ,D 四个选项中,只有C 选项中的直线经过圆心.4.假设点(1,1)在圆(x -a )2+(y +a )2=4的内部,那么实数a 的取值X 围是________.解析:因为点(1,1)在圆(x -a )2+(y +a )2=4的内部,所以(1-a )2+(1+a )2<4. 即a 2<1,故-1<a <1. 答案:(-1,1)5.经过三点(2,-1)、(5,0)、(6,1)的圆的一般方程为________________. 解析:设所求方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0, 那么⎩⎪⎨⎪⎧22+-12+2D -E +F =0,52+02+5D +0+F =0,62+12+6D +E +F =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-4,E =-8,F =-5,故所求圆的一般方程为x 2+y 2-4x -8y -5=0. 答案:x 2+y 2-4x -8y -5=0[典题1] 根据以下条件,求圆的方程.(1)经过点A (5,2),B (3,-2),且圆心在直线2x -y -3=0上; (2)经过P (-2,4)、Q (3,-1)两点,并且在x 轴上截得的弦长等于6; (3)圆心在直线y =-4x 上,且与直线l :x +y -1=0相切于点P (3,-2). [听前试做] (1)法一:由题意知k AB =2,AB 的中点为(4,0),设圆心为C (a ,b ), ∵圆过A (5,2),B (3,-2)两点, ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上.那么⎩⎪⎨⎪⎧b a -4=-12,2a -b -3=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =1,∴C (2,1),∴r =|CA |=5-22+2-12=10.∴所求圆的方程为(x -2)2+(y -1)2=10. 法二:设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2, 那么⎩⎪⎨⎪⎧2a -b -3=0,5-a 2+2-b 2=r 2,3-a 2+-2-b 2=r 2,解得⎩⎨⎧a =2,b=1,r =10,故圆的方程为(x -2)2+(y -1)2=10.法三:设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0),那么⎩⎪⎨⎪⎧25+4+5D +2E +F =0,9+4+3D -2E +F =0,2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-D 2+E 2-3=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-4,E =-2,F =-5,∴所求圆的方程为x 2+y 2-4x -2y -5=0. (2)设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,将P 、Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D -4E -F =20,3D -E +F =-10.①②又令y =0,得x 2+Dx +F =0.③ 设x 1,x 2是方程③的两根, 由|x 1-x 2|=6有D 2-4F =36,④ 由①、②、④解得D =-2,E =-4,F =-8,或D =-6,E =-8,F =0.故所求圆的方程为x 2+y 2-2x -4y -8=0,或x 2+y 2-6x -8y =0. (3)法一:如图,设圆心(x 0,-4x 0),依题意得4x 0-23-x 0=1,∴x 0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径r =22,故圆的方程为(x -1)2+(y +4)2=8. 法二:设所求方程为(x -x 0)2+(y -y 0)2=r 2,根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0=-4x 0,3-x 02+-2-y02=r 2,|x 0+y 0-1|2=r ,解得⎩⎨⎧x0=1,y 0=-4,r =2 2.因此所求圆的方程为(x -1)2+(y +4)2=8.求圆的方程的方法(1)方程选择原那么求圆的方程时,如果由条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程,常选用标准方程;如果条件与圆心坐标、半径无直接关系,常选用一般方程.(2)求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下:①根据题意,选择标准方程或一般方程;②根据条件列出关于a ,b ,r 或D ,E ,F 的方程组; ③解出a ,b ,r 或D ,E ,F 代入标准方程或一般方程.(2015·某某高考)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx -y -2m -1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________________.解析:直线mx -y -2m -1=0经过定点(2,-1).当圆与直线相切于点(2,-1)时,圆的半径最大,此时半径r 满足r 2=(1-2)2+(0+1)2=2.答案:(x -1)2+y 2=2与圆有关的最值问题也是命题的热点内容,它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有:角度一:斜率型最值问题[典题2] 实数x ,y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0,那么yx的最大值为________,最小值为________.[听前试做] 原方程可化为(x -2)2+y 2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设y x=k ,即y =kx .当直线y =kx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值(如图),此时|2k -0|k 2+1=3,解得k =±3,所以yx 的最大值为3,最小值为- 3.答案:3- 3角度二:截距型最值问题[典题3] 在典题2条件下,求y -x 的最大值.[听前试做] 原方程可化为(x -2)2+y 2=3,表示圆心为(2,0),半径r = 3 的圆. 设y -x =b ,y -x 可看作是直线y =x +b 在y 轴上的截距,当直线y =x +b 与圆相切时,纵截距b 取得最大值或最小值,此时|2-0+b |2=3,解得b =-2± 6.。
专题探究课五 高考中解析几何问题的热点题型高考导航 圆锥曲线是平面解析几何的核心部分,也是每年高考必考的一道解答题,常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同的特点,就是起点低,但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算,对考生解决问题的能力要求较高,通常作为压轴题的形式出现.热点一 圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型.【例1】 (1)(2015²天津卷)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F (2,0),且双曲线的渐近线与圆(x -2)2+y 2=3相切,则双曲线的方程为( ) A.x 29-y 213=1 B.x 213-y 29=1 C.x 23-y 2=1D.x 2-y 23=1(2)若点M (2,1),点C 是椭圆x 216+y 27=1的右焦点,点A 是椭圆的动点,则|AM |+|AC |的最小值为________.(3)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与抛物线y 2=2px (p >0)有相同的焦点F ,P ,Q 是椭圆与抛物线的交点,若直线PQ 经过焦点F ,则椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为________.解析 (1)双曲线x 2a 2-y 2b2=1的一个焦点为F (2,0),则a 2+b 2=4,①双曲线的渐近线方程为y =±b ax , 由题意得2ba 2+b 2=3,②联立①②解得b =3,a =1, 所求双曲线的方程为x 2-y 23=1,选D.(2)设点B 为椭圆的左焦点,点M (2,1)在椭圆内,那么|BM |+|AM |+|AC |≥|AB |+|AC |=2a ,所以|AM |+|AC |≥2a -|BM |,而a =4,|BM |=(2+3)2+1=26,所以(|AM |+|AC |)最小=8-26.(3)因为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2,0,设椭圆另一焦点为E .如图所示,将x =p2代入抛物线方程得y =±p ,又因为PQ 经过焦点F ,所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2,p 且PF ⊥OF . 所以|PE |=⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2+p 22+p 2=2p , |PF |=p ,|EF |=p .故2a =2p +p ,2c =p ,e =2c2a =2-1.答案 (1)D (2)8-26 (3)2-1探究提高 (1)在椭圆和双曲线中,椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起,可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离,也可以结合三角形的知识,求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线中,利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离,再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.(2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系,或者求出圆锥曲线方程中的各个系数,再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果.【训练1】 (2017²衡水金卷)已知椭圆x 24+y 22=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A ,B 两点,以下结论:①△ABF 2的周长为8;②原点到l 的距离为1;③|AB |=83.其中正确结论的个数为( )A.3B.2C.1D.0解析 ①由椭圆的定义,得|AF 1|+|AF 2|=4,|BF 1|+|BF 2|=4,又|AF 1|+|BF 1|=|AB |,所以△ABF 2的周长为|AB |+|AF 2|+|BF 2|=8,故①正确;②由条件,得F 1(-2,0),因为过F 1且倾斜角为45°的直线l 的斜率为1,所以直线l 的方程为y =x +2,则原点到l 的距离d =|2|2=1,故②正确;③设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +2,x 24+y 22=1,得3x 2+42x =0,解得x 1=0,x 2=-423,所以|AB |=1+1²|x 1-x 2|=83,故③正确.故选A. 答案 A热点二 圆锥曲线中的定点、定值问题(规范解答)定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.【例2】 (满分12分)(2015²全国Ⅱ卷)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,点(2,2)在C 上. (1)求C 的方程;(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M ,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.满分解答 (1)解 由题意有a 2-b 2a =22,4a 2+2b2=1,2分解得a 2=8,b 2=4.4分 所以C 的方程为x 28+y 24=1.5分(2)证明 设直线l :y =kx +b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ).将y =kx +b 代入x 28+y 24=1得(2k 2+1)x 2+4kbx +2b 2-8=0.7分 故x M =x 1+x 22=-2kb 2k 2+1,y M =k ²x M +b =b2k 2+1. 10分于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-12k,即k OM ²k =-12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 12分❶列出方程组,解出a 2,b 2得4分.❷设出直线l 的方程后与椭圆方程联立消去y 得到关于x 的方程准确者得4分. ❸求出点M 的坐标得1分,再得到直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值得2分. ❹结论得1分.解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步:研究特殊情形,从问题的特殊情形出发,得到目标关系所要探求的定点、定值. 第二步:探究一般情况.探究一般情形下的目标结论. 第三步:下结论,综合上面两种情况定结论.【训练2】 已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F (1,0),O 为坐标原点,A ,B 是抛物线C 上异于O 的两点. (1)求抛物线C 的方程;(2)若直线OA ,OB 的斜率之积为-12,求证:直线AB 过x 轴上一定点.(1)解 因为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点坐标为(1,0),所以p2=1,所以p =2.所以抛物线C的方程为y 2=4x .(2)证明 ①当直线AB 的斜率不存在时,设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24,t ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24,-t .因为直线OA ,OB 的斜率之积为-12,所以t t24²-t t 24=-12,化简得t 2=32. 所以A (8,t ),B (8,-t ),此时直线AB 的方程为x =8.②当直线AB 的斜率存在时,设其方程为y =kx +b ,A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x ,y =kx +b ,化简得ky 2-4y +4b =0.根据根与系数的关系得y A y B =4b k ,因为直线OA ,OB 的斜率之积为-12,所以y A x A ²y B x B =-12,即x A x B +2y A y B =0.即y 2A 4²y 2B4+2y A y B =0,解得y A y B =0(舍去)或y A y B =-32.所以y A y B =4bk=-32,即b =-8k ,所以y =kx -8k ,即y =k (x -8).综上所述,直线AB 过定点(8,0). 热点三 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.【例3】 (2016²山东卷)平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是32,抛物线E :x 2=2y 的焦点F 是C 的一个顶点. (1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . ①求证:点M 在定直线上;②直线l 与y 轴交于点G ,记△PFG 的面积为S 1,△PDM 的面积为S 2,求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标.解 (1)由题意知a 2-b 2a =32,可得a 2=4b 2,因为抛物线E 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,所以b =12,a =1,所以椭圆C 的方程为x 2+4y 2=1.(2)①证明 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ,m 22(m >0),由x 2=2y ,可得y ′=x ,所以直线l 的斜率为m ,因此直线l 的方程为y -m 22=m (x -m ).即y =mx -m 22.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 0,y 0).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4y 2=1,y =mx -m 22,得(4m 2+1)x 2-4m 3x +m 4-1=0.由Δ>0,得0<m <2+5(或0<m 2<2+5).(*)且x 1+x 2=4m 34m 2+1,因此x 0=2m 34m 2+1,将其代入y =mx -m 22,得y 0=-m 22(4m 2+1),因为y 0x 0=-14m . 所以直线OD 方程为y =-14mx ,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y =-14m x ,x =m ,得点M 的纵坐标y M =-14, 所以点M 在定直线y =-14上.②由①知直线l 的方程为y =mx -m 22,令x =0,得y =-m 22,所以G ⎝⎛⎭⎪⎫0,-m 22, 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ,m 22,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2+1,-m 22(4m 2+1),所以S 1=12²|GF |²m =(m 2+1)m4,S 2=12²|PM |²|m -x 0|=12³2m 2+14³2m 3+m 4m 2+1=m (2m 2+1)28(4m 2+1).所以S 1S 2=2(4m 2+1)(m 2+1)(2m 2+1)2. 设t =2m 2+1,则S 1S 2=(2t -1)(t +1)t 2=2t 2+t -1t 2=-1t 2+1t +2,当1t =12, 即t =2时,S 1S 2取到最大值94,此时m =22,满足(*)式,所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22,14. 因此S 1S 2的最大值为94,此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22,14.探究提高 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种:一是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围;二是几何法,从圆锥曲线的几何性质的角度考虑,根据圆锥曲线几何意义求最值.【训练3】 (2016²浙江卷)如图,设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. (1)求p 的值;(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ,AN 与x 轴交于点M ,求M 的横坐标的取值范围.解 (1)由题意可得,抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x =-1的距离, 由抛物线的定义得p2=1,即p =2.(2)由(1)得,抛物线方程为y 2=4x ,F (1,0), 可设A (t 2,2t ),t ≠0,t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴,可设直线AF :x =sy +1(s ≠0),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x ,x =sy +1消去x 得y 2-4sy -4=0.故y 1y 2=-4,所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2,-2t .又直线AB 的斜率为2tt 2-1, 故直线FN 的斜率为-t 2-12t,从而得直线FN :y =-t 2-12t (x -1),直线BN :y =-2t.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2+3t 2-1,-2t .设M (m ,0),由A ,M ,N 三点共线得2tt 2-m=2t +2tt 2-t 2+3t 2-1,于是m =2t2t 2-1,所以m <0或m >2.经检验,m <0或m >2满足题意.综上,点M 的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞). 热点四 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面:(1)探索点是否存在;(2)探索曲线是否存在;(3)探索命题是否成立.涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题. 【例4】 (2015²全国Ⅱ卷)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m >0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M . (1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3,m ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由.(1)证明 设直线l :y =kx +b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ).将y =kx +b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx +b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=-kbk 2+9,y M =kx M +b =9b k 2+9. 于是直线OM 的斜率k OM =y M x M=-9k,即k OM ²k =-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)解 四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3,m ,所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0,k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y =-9kx .设点P 的横坐标为x P ,由⎩⎪⎨⎪⎧y =-9k x ,9x 2+y 2=m 2得x 2P =k 2m 29k 2+81,即x P =±km 3k 2+9.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3,m 的坐标代入l 的方程得b =m (3-k )3,因此x M =k (k -3)m3(k 2+9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M .于是±km 3k 2+9=2³k (k -3)m 3(k 2+9), 解得k 1=4-7,k 2=4+7.因为k i >0,k i ≠3,i =1,2,所以当l 的斜率为4-7或4+7时,四边形OAPB 为平行四边形.探究提高 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【训练4】 (2017²衡水高三联考)在平面直角坐标系xOy 中,过点C (2,0)的直线与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(1)求证:y 1y 2为定值;(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线方程和弦长;如果不存在,说明理由. (1)证明 法一 当直线AB 垂直于x 轴时,y 1=22,y 2=-2 2.因此y 1y 2=-8(定值). 当直线AB 不垂直于x 轴时, 设直线AB 的方程为y =k (x -2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -2),y 2=4x ,得ky 2-4y -8k =0. ∴y 1y 2=-8.因此有y 1y 2=-8为定值.法二 设直线AB 的方程为my =x -2, 由⎩⎪⎨⎪⎧my =x -2,y 2=4x ,得y 2-4my -8=0.∴y 1y 2=-8.因此有y 1y 2=-8为定值.(2)解 设存在直线l :x =a 满足条件, 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎪⎫x 1+22,y 12,|AC |=(x 1-2)2+y 21.因此以AC 为直径的圆的半径r =12|AC |=12(x 1-2)2+y 21=12x 21+4, 又点E 到直线x =a 的距离d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1+22-a故所截弦长为 2r 2-d 2=214(x 21+4)-⎝⎛⎭⎪⎫x 1+22-a 2 =x 21+4-(x 1+2-2a )2=-4(1-a )x 1+8a -4a 2.当1-a =0,即a =1时,弦长为定值2,这时直线方程为x =1.。