下载文档原格式
高一数学函数y=Asin （ωx+φ）的图像北师大版 知识精讲【本讲教育信息】一、教学内容：函数y=Asin （ωx+φ）的图像 ①五点作图法； ②平移变换作图法； ③伸缩变换作图法； ④对称变换作图法；⑤y ＝Asin （ωx ＋φ）的图像与性质二、学习目标1、了解五点法作y ＝Asin （ωx ＋φ）图像的特点及一般步骤；2、理解函数式y ＝Asin （ωx ＋φ）中各个字母A 、φ、ω、ωx ＋φ的意义；3、了解图像变换（平移、伸缩、对称）作图的一般步骤，能够在函数y ＝Asin （ωx ＋φ）和函数y=sinx 之间进行图像变换。
三、知识要点1、五点作图法作y ＝Asin （ωx ＋φ）图像的一般步骤及特征 将y ＝Asin （ωx ＋φ）与函数y=sinx 进行对照。
两个步骤：①作出一个周期内的草图； 三个零点：令ωx ＋φ=0，π，2π 两个最值点：令ωx ＋φ=2π，23π ②利用函数周期性拓展到定义域上。
2、平移变换作图（ϕ>0）——加负减正（即在未知数上加ϕ，则向对应坐标轴的负方向平移；在原坐标上减ϕ，则向对应坐标轴的正方向平移），具体操作如下：ϕ+→x x ：将原图像向左平移ϕ个单位；ϕ-→x x ：将原图像向右平移ϕ个单位； ϕ+→y y ：将原图像向下平移ϕ个单位； ϕ-→y y ：将原图像向上平移ϕ个单位。
【说明】注意上述变换的逆向变换3、伸缩变换作图（0>ω）——乘缩除伸（即在未知数前乘以ω，则将相应坐标变为原来的ω1倍；在未知数前除以ω，则将相应坐标变为原来的ω倍） x x ω→：保持纵坐标不变，每一点的横坐标变为原来的ω1倍；x x ω1→：保持纵坐标不变，每一点的横坐标变为原来的ω倍；y y ω→：保持横坐标不变，每一点的纵坐标变为原来的ω1倍； y y ω1→：保持横坐标不变，每一点的纵坐标变为原来的ω倍；【说明】注意上述变换的逆向变换4、对称变换作图——所有对称变换均转化为点与点对称 ①关于直线a x =对称：),2(),(y x a y x -- ②关于直线a y =对称：)2,(),(y a x y x -- ③关于点),(n m 对称：)y n 2,x m 2()y ,x (--- ④关于直线x y =对称：),(),(x y y x - ⑤关于直线x y -=对称：),(),(x y y x ---⑥关于直线b ax y +=对称：垂直（121-=k k ）平分（中点坐标满足直线方程b ax y +=）5、由y=sinx 作y ＝Asin （ωx ＋φ）（A>0，ω>0，φ>0）的图像——先平移再伸缩6、函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A>0，ω>0，φ>0）的性质——与函数y=sinx 类比 ①A ——振幅；ωx ＋φ——相位；φ——初相；Tf 1=——频率 ②周期性：ωπ2T =③单调性：⎪⎭⎫⎝⎛++-∈+ππππϕωk k x 22,22可解得其单调增区间；⎪⎭⎫⎝⎛++∈+ππππϕωk k x 223,22可解得其单调减区间；④对称性：由πϕωk x =+可解得其对称中心的横坐标（纵坐标为0）；由ππϕωk x +=+2可解得其对称轴方程。
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
6.3 (2)函数图像与性质上海市零陵中学胡化平的问题一：函数y=Asinx, xeR(A>0且A H1)的图像与函数y=sinx, xwR的图像关系？函数y=Asinx, xeR(A>0且A#l)的图像可以看作把函数y=sinx, xeR的图像上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(O<A<1) 到原来的A倍得到的它的值域［・A, A］最大值是A,最小值是・A.若AvO可宪作y=- Asinx的图象,再以x轴为对称轴翻咖。
问题二函数y=sinu)x, XG R (u)>0且co^1)的图像与函数y=sinx, xwR的图像关系？函数y=sin(DXj xeR(3>0且oo^l)的图像，可看作把函数y=sinx, xwR的图像上所有点的横坐标缩短(CD>1)或伸长(0<0)<1) 到原来的3倍(纵坐标不变).若CDV O则可用诱导公式将符号“提岀”再作图e决定了函数的周期问题探讨：函数y= sin(x+ )的图像与函数y=sinx的图像又是怎样的关系呢？引例1：画岀函数的图像通过比较，发现:y=smx严加4)(1)函数y=sin(x+ )的图像可看作把y=sinx图像上所有的点向左平行移动个单位长度而得到(2)函数y=si n(x—)的图像可看作把y=sinx图像上所有点由右平行移动个单位长度而得到)的图像引例2：画出函数y=3sin(2x+一般地，函数y =4sin（wx+ ）, XG R （其中4＞0, u）＞0）的图像，可以看作用下面的方法得到：＞0时）先把正弦曲线或向右（当V0时）平行移动丨丨个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0VWV1时倒原来的倍（纵坐标不变） ,再把所得各点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当0V4V1时）到原来的4倍（横坐标不变一些物理量的概念: A :称为振幅；7=:称为周期;f=:称为频率;a)x+:称为相位，x=0时的相位称为初相［说明］:由y =sinx的图像变换岀y=sin(wx+ )的图像一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y =sinx的图像向左(>0)或向右(<o)¥移丨丨个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的倍(e>0),便得sin(cux+ )的图像途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移雲换先将y= sinx的图像上各点的横坐标变为原来的倍（3>0）,再沿x轴向左（>0）或向右（V0）平移个单位，便得y= sin（wx+ ）的图像例题分析：例仁已知如图是函数y =2sin（3x+ ）其中I I <的图像，那么（）Ae= > = B UJ=，a Cu）=2, = Da）=2.=-例2已知函数y=/4sin(ex+ )在同一周期内，当乂= 时函数取得最大值2,当乂= 时函数取得最小值一2,则该函数的解析式为() A.y=2引n(3x— ) B.y=2sin(3x+ ) C.y=2sin( + ) D.y=2sin(—)上海市零陵中学胡化平上海市零陵中学胡化平［说明］:由y=/4sin（o）x+ ）的图像求其函数忑一般来说，在这类由图像求函数式的问题中，如对所求函数式中的Ae、不加限制（如力、①的正负，角的范围等） ,那么所求的函数式应有无数多个不同的形式（这是由于所求函数是周期函数所致） ,因此这类问题多以选择题的形式岀现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中。
