人教版高中数学必修四三角恒等变换题库

第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12C ．32D ．－12[答案] A[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．3．下列结论中，错误的是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )A ．x ≥yB ．x ≤yC ．x >yD ．x <y[答案] C[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y [答案] B[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365C ．－6365D ．6365[答案] B[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫35×513－45×1213＝3365. 二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.[答案]1－6210[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝265.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－6210.8．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．[答案] 14[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.三、解答题 9．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2)． 求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．[解析] 将sin α＋sin β＝310，两边平方得，sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9100①，将cos α＋cos β＝9110两边平方得，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91100②，①＋②得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.一、选择题 1.cos47°＋sin17°sin30°cos17°的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析]cos47°＋sin17°sin30°cos17°＝cos (30°＋17°)＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°＝32. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] C[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0， 即cos(A ＋B )<0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角． 又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( )A ．x ≤yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y[答案] B[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] [答案] B[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)∈[－3，3]．二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3 cos π6的值是________． [答案] 0[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos(π3＋π6)＝cos π2＝0.6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.[答案] －14[解析] ∵cos(α＋β)＝13，∴cos αcos β－sin αsin β＝13，①∵cos(α－β)＝15，∴cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②得⎩⎨⎧sin αsin β＝－115cos αcos β＝415，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，∴sin(α－30°)＝1－cos 2(α－30°)＝817，∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12＝153－834.8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3， 又∵a 与b 的夹角为60°，∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos (α－β)2×3＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝12.9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π6)，∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α，∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1.tan π121－tan 2π12＝__________.2．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝__________，cos2θ＝__________.3．若sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝45，则cos2β＝________4．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)等于__________．5．sin163°sin223°＋sin253°sin313°的值为__________．6．已知sin(π4－x )＝35，则sin2x 的值为__________．7．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是________三角形．8．化简21＋sin4＋2＋2cos4的结果是__________．9．在△ABC 中，若sin 2B ＝sin A sin C ，则cos2B ＋cos B ＋cos(A －C )的值为__________．14．在△ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos2B .当f (B )－m ＜2恒成立时，实数m 的取值范围是__________．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知cos2θ＝78，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－sin2θ的值．16．(本小题满分14分)已知tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，且－π＜θ＜－π2，求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值．17．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知tan B ＝cos (C －B )sin A ＋sin (C －B )，试判断△ABC 的形状．18．(本小题满分16分)求证：2－2sin (α＋3π4)cos (α＋π4)cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α.20．(本小题满分16分)已知A，B，C是△ABC的三个内角，若1＋sin2Bcos2B－sin2B＝2＋3，求角B.。

人教版高中数学必修四三角恒等变换（二倍角的正弦、余弦、正切公式）同步练习（含答案解析）一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( )A.12B.22C.33D.322．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数 3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13 B ．－79 C.13 D.794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－125．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( ) A ．－105 B.105 C ．－155 D.1556．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)等于( ) A.25 B.75 C.145 D ．－25二、填空题7.3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 8．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. 10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________.三、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .12．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4，求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x 的值．13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°.14．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．参考答案与解析1．B 2.A3．B [cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79.] 4．A [∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12. ∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3.] 5．C [∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15， ∴cos θ<0，cos θ＝－15. ∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0. 由sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155.] 6．C [∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145.] 7．2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2. 8．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 9．3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 10.π6解析 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0.∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 11．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 12．解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x ＝sin 2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x ＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x ＝sin 2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4， ∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－34. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫2×1625－1×⎝⎛⎭⎫－34＝－21100. 13．解 原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18. 14．解 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°－cos 20°cos 20°＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20° ＝2cos 10°·sin (－10°)sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1.。

3.2 简单的三角恒等变换1．计算cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°的结果为 ( ) A ．0 B.12 C.32D ．－12解析：选B.原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36° ＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝12.2．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝( )A. 425B ．－425C.325D ．－325解析：选D.∵sin α＝45，π2<α<π，∴cos α＝－35.∴sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝2sin(α＋π2)＝2cos α＝－325.3．sin 20°cos 20°cos 50°＝ ( )A ．2 B.22 C.2 D.12解析：选D.sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.4．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－43解析：选D.1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D.5．计算tan (π4＋α)·cos 2α2cos 2(π4－α)的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D.tan (π4＋α)·cos 2α2cos 2(π4－α)＝sin (π4＋α)·cos 2α2sin 2(π4＋α)cos (π4＋α)＝cos 2α2sin (π4＋α)cos (π4＋α)＝cos 2αsin2(π4＋α)＝cos 2αsin (π2＋2α)＝cos 2αcos 2α＝1，选D. 6．已知sin θ2＋cos θ2＝233，则cos 2θ＝__________.解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233，所以1＋sin θ＝43，即sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－29＝79.答案：797．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析：∵3sin x －3cos x ＝23(32sin x －12cos x ) ＝23sin(x －π6)，∴φ＝－π6.答案：－π68．化简：sin α＋sin 2α1＋cos α＋cos 2α＝________.解析：原式＝sin α(1＋2cos α)1＋cos α＋2cos 2α－1＝sin α(1＋2cos α)cos α(1＋2cos α)＝tan α.答案：tan α9．求3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)的值．解：原式＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°sin 12°·2cos 24°＝3sin 12°－3cos 12°sin 24°cos 24°＝43(sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°)2sin 24°cos 24°＝43sin (－48°)sin 48°＝－4 3.10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2.解：∵α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213，∴cos α＝－35，cos β＝513.cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－35×513＋45×1213＝3365.又π2<α<π，0<β<π2， ∴0<α－β<π，0<α－β2<π2.∴cos α－β2＝1＋cos (α－β)2＝1＋33652＝76565.。

高中数学必修四--三角恒等变换卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）1. cos 75◦cos 15◦−sin 255◦sin 165◦的值是( ) A.−12 B.12C.√32D.−√322. 在△ABC 中，若AB →2>AB →⋅AC →+BA →⋅BC →+CA →⋅CB →，则△ABC 是（ ） A.不等边三角形 B.三条边不全等的三角形C.锐角三角形D.钝角三角形3. 已知tan α=12，则tan 2α=( ) A.−43 B.43C.−34D.344. sin 50∘sin 70∘−cos 50∘sin 20∘的值等于（ ） A.14 B.√32C.12D.√345.化简cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=( ) A.sin (2α+β) B.sin β C.cos (2α+β) D.cos β6. 若sin (α−β)sin β−cos (α−β)cos β=45，且α是第二象限的角，则tan (π4+α)=( ) A.7 B.−7C.17D.−177. 已知α是锐角，则下列各式成立的是（ ）A.sin α+cos α=12 B.sin α+cos α=1 C.sin α+cos α=43 D.sin α+cos α=538. 已知tan α=−12，则2sin 2α+sin αcos α（ ） A.0 B.−15C.−25D.259. 已知sin 2α=13，则cos 2(α−π4)=( )A.23 B.−23C.13D.−1310. 若 tan 110∘=a ，则tan 50∘ 的值为（ ） A.√3+a1+√3aB.√3−a1+√3aC.√31−√3aD.√31+√3a11. 若x =π12，则sin 4x −cos 4x 的值为（ ）A.12B.−12C.−√32D.√3212. 设θ为第二象限角，则√1−sin 2θcos θ−sin θ的值为（ ）A.−1B.1C.−1或1D.不能确定卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ， ）13. 已知 tan (α+β)=2，tan (α−β)=3 ，则sin 2αcos 2β的值为________．14. 若sin α2=√33，则cos α=________．15. 已知α∈(0, π)，sin α+cos α=15，则tan α=________．16. （1）计算：cos (−163π)=________； 16.（2）已知sin α=12，α∈[0, 2π]，则α=________．17. “无字证明”(proofs witℎout words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：________．18. 已知sinα+cosα=−15(0≤α≤π)，则tanα=________．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 12 分，共计60分，）19. 已知函数f(x)=4a cos x⋅sin(x−π3)+√3a+b，设x∈[0.π2]，f(x)的最小值是−2，最大值是√3，求实数a，b的值．20. （1）若cos(75∘+α)=35，(−180∘<α<−90∘)，求sin(105∘−α)+cos(375∘−α)值； 20.（2）在△ABC中，若sin A+cos A=−713，求sin A−cos A，tan A的值．21. 在△ABC中，已知cos2(π2+A)+cos A=54且b+c=√3a，求cos B−C2的值．22. 利用两角和与差的正弦、余弦公式证明：sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]；cosαsinβ=12[sin(α+β)−sin(α−β)]；cosαsinβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)]；sinαcosβ=12[cos(α+β)−cos(α−β)]．23. 求证：（1）sinθ−sinφ=2cosθ+φ2sinθ−φ2；（2）cosθ+cosφ=2cosθ+φ2cosθ−φ2；（3）cosθ−cosφ=−2sinθ+φ2sinθ−φ2．参考答案与试题解析高中数学必修四--三角恒等变换一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【解答】解：cos75◦cos15◦−sin255◦sin165◦=cos75◦cos15◦+sin75◦sin15◦=cos(75◦−15◦)=cos60◦=12，故选B.2.【解答】∵在△ABC中AB→2>AB→⋅AC→+BA→⋅BC→+CA→⋅CB→，∴AB→2>AB→⋅AC→−AB→⋅BC→+CA→⋅CB→∴AB→2>AB→⋅(AC→−BC→)+CA→⋅CB→∴AB→2>AB→2+CA→⋅CB→∴CA→⋅CB→<0，∴∠C>90∘∴△ABC为钝角三角形3.【解答】解：已知tanα=12，则tan2α=2tanα1−tan2α=11−14=43.故选B.4.【解答】解：sin50∘sin70∘−cos50∘sin20∘=sin50∘cos20∘−cos50∘sin20∘=sin(50∘−20∘)=sin30∘=12，故选：C．5.【解答】解：cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=cos[(α+β)−α]=cosβ．故选D．6.【解答】解：依题意，由sin(α−β)sinβ−cos(α−β)cosβ=45，得cosα=−45，又α是第二象限角，所以tanα=−34，tan(α+π4)=1−341+34=17，故选C．7.【解答】解：由α是锐角，即0<α<π2，则sinα+cosα=√2(√22sinα+√22cosα)=√2sin(α+π4)，由于π4<α+π4<3π4，则√22<sin(α+π4)≤1．即有1<sinα+cosα≤√2．则A，B，D错，C对．故选C．8.【解答】此题暂无解答9.【解答】解：∵sin2α=13，∴cos2(α−π4)=1+cos2(α−π4)2=1+sin2α2=23.故选A．10.【解答】此题暂无解答11.【解答】解：∵x=π12，∴sin4x−cos4x=sin2x−cos2x=−cos2x=−cosπ6=−√32，故选：C．12.【解答】解：∵θ为第二象限角，∴sinθ>0，cosθ<0，∴√1−sin2θ=√(sinθ−cosθ)2=sinθ−cosθ，∴√1−sin2θcosθ−sinθ=sinθ−cosθcosθ−sinθ=−1．故选A．二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）13.【解答】解：sin2αcos2β=sin[(α+β)+(α−β)] cos[(α+β)−(α−β)]=sin(α+β)cos(α−β)+cos(α+β)sin(α−β) cos(α+β)cos(α−β)+sin(α+β)sin(α−β)=tan(α+β)+tan(α−β) 1+tan(α+β)tan(α−β)=2+31+2×3=57．故答案为：57．14.【解答】解：∵sinα2=√33，∴cosα=1−2sin2α2=1−2×39=13，故答案为：13．15.【解答】解：由于α∈(0, π)，所以{sinα+cosα=15,sin2α+cos2α=1,解方程组整理得{sinα=45,cosα=−35,所以tanα=−43．16. 【解答】 解：（1） cos (−16π3)=cos (−6π+2π3)=cos 2π3=−12，（2） 已知sin α=12，α∈[0, 2π]，∴ α=π6，或α=5π6，17.【解答】解：在左边的图中大矩形的面积S =(cos β+cos α)(sin β+sin α)=sin βcos β+cos βsin α+cos αsin α+sin βcos α+sin αcos α=sin (α+β)+sin βcos β+sin αcos α．用大矩形的面积S 减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积 S 1． 空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即2×(12sin βcos β+12sin αcos α)=sin βcos β+sin αcos α．故阴影部分的面积 S 1=S −sin βcos β+sin αcos α=sin (α+β)．而在右边的图中阴影部分的面积 S 2 等于2个阴影小矩形的面积之和，即S 2=sin αcos β+cos αsin β．在右边的图中大矩形的面积也等于S ，S 2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，而2个空白矩形的面积之和，即sin βcos β+sin αcos α， 故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积．故左右图中阴影部分的面积也相等，即 S 1=S 2，故有sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β，故答案为 sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β． 18. 【解答】解：∵ sin α+cos α=−15∴ (sin α+cos α)2=sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=1+2sin αcos α=125 ∴ 2sin αcos α=−2425 ∴ 1sin αcos α=sin 2α+cos 2αsin αcos α=tan α+1tan α=−1225∴ 25tan 2α+12tan α+25=0 ∴ tan α=−43或−34∵ 0≤α≤π，sin α>0，cos α<0，sin α+cos α=−15<0 ∴ |sin α|<|cos α|∴ |tan α|<1，tan α=−43不符合题意三、解答题（本题共计 5 小题，每题 12 分，共计60分）19.【解答】解：∵f(x)=4a cos x⋅sin(x−π3)+√3a+b=4a cos x[12sin x−√32cos x]+√3a+b=a sin2x−√3a cos2x+b=2a sin(2x−π3)+b∵x∈[0.π2]，∴2x−π3∈[−π3, 2π3]，可得−√32≤sin(2x−π3)≤1，∴−√3a+b≤f(x)≤2a+b∴由已知可得：−√3a+b=−2，2a+b=√3，从而解得：a=4√3−7，b=14−7√3．20.【解答】解：(1)sin(105∘−α)=sin[180∘−(75∘+α)]=sin(75∘+α)∵−180∘<α<−90∘∴−105∘<75∘+α<−15∘又cos(75∘+α)=35>0∴−90∘<75∘+α<−15∘∴sin(75∘+α)=−45cos(375∘−α)=cos(15∘−α)=cos[90∘−(75∘+α)]=sin(75∘+α)=−4 5∴原式=−85（2）由sin A+cos A=−713两边平方得1+2sin A cos A=49169而0<A<π2sin A cos A=−120169<0∴π2<A<π∴1−2sin A cos A=289169即(sin A−cos A)2=(1713)2又sin A−cos A>0sin A−cos A=1713∴{sin A=513cos A=−1213∴tan A=−51221. 【解答】解：由cos 2(π2+A)+cos A =54得(cos A −12)2=0则cos A =12，∴ A =60∘，B +C =120∘．又由b +c =√3a 得sin B +sin C =32， sin B +sin C =sin (120∘−C)+sin C =√32cos C +32sin C =√3cos (60∘−C) ∴ √3cos (60∘−C)=32，则cos (60∘−C)=√32， 于是B +C =120∘，B−C 2=60∘−C ，即cosB−C 2=√3222.【解答】证明：∵ sin (α+β)+sin (α−β)=sin αcos β+cos αsin β+sin αcos β−cos αsin β=2sin αcos β，∴ sin αcos β=12[sin (α+β)+sin (α−β)]． 同理可证，cos αsin β=12[sin (α+β)−sin (α−β)]； cos αsin β=12[cos (α+β)+cos (α−β)]； sin αcos β=12[cos (α+β)−cos (α−β)]． 23. 【解答】 证明：(1)令θ+φ2=α，θ−φ2=β，则θ=α+β，φ=α−β，即有sin θ−sin φ=sin (α+β)−sin (α−β) =sin αcos β+cos αsin β−sin αcos β+cos αsin β =2cos αsin β =2cos θ+φ2sinθ−φ2；(2)令θ+φ2=α，θ−φ2=β，则θ=α+β，φ=α−β，即有cos θ+cos φ=cos (α+β)+cos (α−β) =cos αcos β−sin αsin β+cos αcos β+sin αsin β =2cos αcos β =2cos θ+φ2cosθ−φ2；(3)令θ+φ2=α，θ−φ2=β，则θ=α+β，φ=α−β，即有cos θ−cos φ=cos (α+β)−cos (α−β) =cos αcos β−sin αsin β−cos αcos β−sin αsin β=−2sinαsinβ=−2sinθ+φ2sinθ−φ2；试卷第11页，总11页。

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改三角恒等变换常考题型分析一选择题1.在△ABC 中，若B A B A cos cos sin sin <⋅，则△ABC 一定为（ ）.A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 2.︒⋅︒+︒+︒19tan 11tan 19tan 311tan 3的值是（ ）.A ．3B ．33C ．0D ．13. 48cos 78sin 24cos 6sin ⋅⋅⋅的值为（ ）.A ．161B ．161-C ．321D ．81 4.已知θ为第二象限角，225sin sin 240θθ+-=，则cos 2θ的值为（ ）.A ．53-B ．53±C ．22D ．54±5.已知不等式()2cos 0444x x x f x m =+-≤对于任意的 566x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）.A.m ≥B.m ≤C.m ≤D.m ≤≤二、填空题6.已知βα,3(,)4π∈π，53)sin(-=+βα，12sin()413βπ-=，则cos()4απ+= . 7.已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，则)tan(βα+的为 . 8.化简)120cos(3)60sin(2)60sin(x x x -︒-︒-+︒+的结果是 .三、解答题13.已知91)2cos(-=-βα，32)2sin(=-βα，0α<<π，02βπ<<，求)cos(βα+的值.14.（1）已知α为第二象限角，且415sin =α，求sin()4sin 2cos21αααπ+++的值.（2）已知0cos 2sin =+θθ，求θθθ2cos 12sin 2cos +-的值.17．已知函数2()sin()sin()cos 2f x x x x π=π--+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当3[,]88x ππ∈-时，求函数()f x 的单调区间.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为102，552. （1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值.最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作简单的三角恒等变换单元检测三一、选择题1．若tan 2θ=，则2sin 2cos2θθ+的值为（ ）A ．1-B ．1C ．3D ．122．若2cos()cos()(0)4462πππθθθ-⋅+=<<，则sin 2θ＝（ ） A ．23 B ．73 C ．76D ．3463．在ABC ∆中，若sin sin cos2AB C ⋅=，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．直角三角形 4．已知等腰三角形顶角的余弦值为2425，则底角的余弦值为（ ） A ．210 B ．710 C ．76D ．34105．函数sin()sin()44y x x ππ=+⋅-是（）A ．周期为2π的奇函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数D ．周期为π的偶函数 6.函数y ＝－sin 2x －3cosx ＋3的最小值为（ ） A.2B.0C.－41D.67.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）A.sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C.cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭8.将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，平移后所得图象解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭9.tan 20tan(50)1tan 20tan 50--=-( )A.3-B.3C.33-D.3310.2cos10sin 20cos 20-的值是 ( )A.3B.62 C.1 D.1211.0(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++的值等于( ) A.16 B.8 C.4 D.2 12.13sin10sin 80-的值是( )A.1B.2C.4D.14二、填空题.13.已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是 ． 14.化简：21sin 422cos 4+++的结果是 .15.函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 . 16.若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围. .三、解答题.17.已知函数f （x ）=Asin （ωx +ϕ）（A>0，ω>0，||2πϕ<）在一个周期内的图象如图1所示。

必修4第三章三角恒等变换1.（2012·安徽高考卷·T18·5分）在平面直角坐标系中，点O （0，0），点()6,8P ，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是（ ） （A ）()72,2-- （B ）()72,2- (C) ()46,2-- (D ) ()46,2- 【答案】A【解析】三角求值和定义.设POx α∠=，因为()6,8P ，所以4tan =3α，可得431tan tan3134tan =34471tan tan 143παπαπα-+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⨯+，验证可知只有当Q 点坐标为()72,2--时满足条件，故答案为A ；法二：估算.设POx α∠=，因为()6,8P ，所以4tan =3α，可得<43ππα<，313<412πππα<+，所以点Q 在第三象限，排除B ，D 选项，又30tan <234πα⎛⎫<+- ⎪⎝⎭，故答案为A.【技巧点拨】本题快速求解的办法是直接估测出角34πα+的范围，再利用三角函数定义加以排除.2.（2012·安徽高考卷·T4·5分）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】B【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x —1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12π+，得：y 3＝0；观察即得答案．【点评】本题主要考察三角函数的图象变化，三角变换是三角函数图象内容的一个重要的考点3.（2011年辽宁）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= （A ）79-（B ）19-（C ）19 （D ）79【答案】A4.（2011年福建）若tan α=3，则2sin 2cos a α的值等于A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】D5.（2011年全国新课标）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增 【答案】A6.（2011年上海）函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 。

三角恒等变换一、选择题1．求值cos200<）cos350 1 sin 200A ．1B ．2C ．2D ．32．函数 y2sin(x) cos(6 x)( xR ) 的最小值等于 <）3． 3 B． 2C ． 1D ． 5A3．函数 ysin x cosx3cos 2 x 3 的图象的一个对称中心是< ）A.(2 ,3)B.(5,3)C.(2,3)D.(,3)3 2623234．△ ABC 中，C900 ，则函数 y sin 2 A 2sin B 的值的状况 <）A ．有最大值，无最小值B ．无最大值，有最小值C ．有最大值且有最小值D．无最大值且无最小值5． (1tan210 )(1 tan220 )(1 tan230 )(1 tan240 ) 的值是 (>A. 16B.8 C.4 D.26．当 0x时 , 函数 f ( x)cos 2 x的最小值是 <）cos x sin x sin 24xA ．4B ．1C ．2D ．124二、填空题1．给出以下命题：①存在实数x ，使 sin x cos x3；2②若 , 是第一象限角，且，则 coscos ；③函数 ysin( 2x) 是偶函数；32④函数 ysin 2x 的图象向左平移个单位，获得函数ysin(2 x) 的图象．44此中正确命题的序号是 ____________． <把正确命题的序号都填上）2．函数 y tanx1 的最小正周期是 ___________________ 。

2sin x3．已知sin cos 1cos1) =__________。

， sin，则 sin(324．函数y sin x 3 cos x 在区间0,上的最小值为．25．函数y(a cos x b sin x)cos x 有最大值 2 ，最小值1，则实数a____， b ___三、解答题1．已知函数 f ( x)sin( x)cos( x) 的定义域为 R ，<1）当0 时，求 f ( x) 的单一区间；<2）若(0,) ，且 sin x0 ，当为什么值时， f (x) 为偶函数．2．已知△ ABC的内角B知足2cos 2B 8cos B 5 0, ，若BC a，CA b且a, b知足：a b9 ，a3,b 5 ，为 a, b 的夹角.求sin( B) 。

（数学4必修）第三章 三角恒等变换[基础训练A 组]一、选择题1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ）A .5πB .2π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c =则,,a b c 大小关系（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ） A .周期为4π的奇函数 B .周期为4π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2π的偶函数6．已知cos 2θ=44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．97 D ．1- 二、填空题1．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________。

2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= 。

3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。

4．已知sin cos 223θθ+=那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为 。

5．ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos2B C A ++取得最大值，且这个最大值为 。

三、解答题1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.2．若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。