高一数学三角恒等变换

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解三角形问题中经常用到的重要工具。

在解三角形问题中，我们常常需要求解三角函数的值，而三角恒等变换则可以帮助我们将一个三角函数的值转换为其他三角函数的值，从而简化计算过程。

本文将介绍三角恒等变换的概念和常见的恒等变换公式，并结合实例讲解如何利用三角恒等变换解决实际问题。

一、三角恒等变换的概念三角恒等变换是指将一个三角函数的值转换为其他三角函数的值的变换过程。

在三角恒等变换中，我们利用三角函数的基本关系和性质，通过代数运算和恒等式的推导，将一个三角函数的表达式转换为其他三角函数的表达式。

三角恒等变换在解三角形问题中起到了重要的作用，可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。

二、常见的三角恒等变换公式1. 正弦函数的恒等变换正弦函数的恒等变换公式如下：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBsin2A = 2sinAcosAsin(A + B)sin(A - B) = cos2B - cos2A这些恒等变换公式可以帮助我们将一个正弦函数的值转换为其他正弦函数的值，从而简化计算过程。

2. 余弦函数的恒等变换余弦函数的恒等变换公式如下：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBcos2A = cos^2A - sin^2Acos(A + B)cos(A - B) = cos2A - sin2B利用这些恒等变换公式，我们可以将一个余弦函数的值转换为其他余弦函数的值，从而简化计算过程。

3. 正切函数的恒等变换正切函数的恒等变换公式如下：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些恒等变换公式可以帮助我们将一个正切函数的值转换为其他正切函数的值，从而简化计算过程。

高一数学三角恒等变换一、考点、热门回首1.引诱公试：奇变偶不变，符号看象限2.同角三角函数的基本关系式：sin 2cos 21 ， tan= sin， tan cot 1cos3.和差角公式：① sin() sin coscos sin② cos() coscossin sin○3 tan()tan tan1 tantan4.倍角公式：① sin 22sin cos2tan ② cos2cos 2sin 22cos 21 1 2sin 22tan 1 tan 2○3 tan 2○4 sin3a=3sin a-4sin3a ○5cos3a =4cos3a-3cosa1 tan25.降次升角公式：○1 sin21 cos2○ 2 1 cos2○ sin cos1sin 22 2 cos2326.全能公式：○1 sin 22 tan○2 cos21 tan 21 tan 21 tan 27.半角公式：（符号的选择由所在的象限确立）2① sin1 cos1 cos2○2 cos222○3 tan1cos sin 1 cos1cos1 cossin28.协助角公式 :a sinbcos= a2b 2sin() ,( tanb).a=a2b 2cos( m ),（ tana) .b二、典型例题1．已知角 α的终边过点 p(－ 5， 12)，则 cos α= ， tan α=．2．若 cos θ tan ＞θ0，则 θ是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一、二象限角D ．第二、三象限角3． sin 2150 °+sin 2135 °+2sin210 +cos °2 225 °的值是( )13119A ． 4B ．4C ．4D ． 44．已知3 ，则()sin( π +α－)=54 3 C ． cos α =－4 D ． sin( －πα )= 3A ． cos α =B ． tan α =55544sin α－ 2cos α．的值为5．已 tan α =3，5cos α＋ 3sin α6．化简 1+2sin( π-2)cos(π +2) =．7．已知 θ是第三象限角，且445( )sinθ +cos θ = ，那么 sin2 θ等于922 2 222A ．3B ．－ 3C ． 3D ．－ 3θθ θ8、设 θ是第二象限角，且知足 |sin 2|= － sin 2 ， 2是 _____________________ 象限的角 ?三、习题练习1、已知 A={ 第一象限角 } ， B={ 锐角 } ，C={ 小于 90°的角 } ，那么 A 、 B 、 C 关系是（）A ． B=A ∩CB ． B ∪ C=CC ．A CD ． A=B=C2．已知是第二象限角，那么 是（ ）2A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第二或第四象限角D ．第一或第三象限角3、若 f (cos x)cos2 x ,则 f (sin15 ) 等于( )A ．331 D ．12B ．C ．2224、化简 1sin 2160 的结果是()A ． cos160B ．cos160C ．cos160D ．cos1605、 A 为三角形 ABC的一个内角 ,若 sin A cos A12（）,则这个三角形的形状为25A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形6、已知 sincos1,且, 则 cossin.8427、已知弧度数为 2的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长()A ． 2B ．2C ． 2 sin1D ． sin 2sin 18、已知 tan 3,3,求 sincos 的值 .29、已知sin cos 5, 则 sin cos．410、已知x0, sin x cos x1.（ I）求 sinx－ cosx 的值；251，则1=11、已知 tan α=－23α2sin α cos α +cos 12、1－ 2sin10 cos10°° 的值为cos10 °－1－ cos2170 °1+2sinα cos α1+ tanα．13、证明cos2α－ sin2α=1－ tan α14.求sin6o sin12 o sin24 o sin48 o的值．cos10o 3 sin10o1cos80o1sin1sin15、已知α是第三角限的角，化简sin1sin116 、已知tan x1，则 sin 2 x 3sin xcos x 1=______217、求函数y 12sin 2x 5cos x 的最大值和最小值。

三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是指一些与三角函数相关的恒等式或等式组，通过这些等式可以将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，或者简化一个复杂的三角函数表达式。

这些恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用。

下面是对一些常见的三角恒等变换进行总结和详解。

1.正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的定义：对于任意实数x，sin(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数以2π为周期。

- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数是奇函数。

2.余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的定义：对于任意实数x，cos(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数以2π为周期。

- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。

3.正切函数的恒等变换：- 正切函数的定义：对于任意实数x（除了例如π/2 + kπ，其中k 为整数），tan(x) = y，其中y为整个实数轴上的值。

- 正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，即正切函数以π为周期。

- 正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数是奇函数。

4.三角函数的平方和差公式：- sin²(x) + cos²(x) = 1，即正弦函数的平方与余弦函数的平方和等于1- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，即正弦函数的和的正弦等于两个正弦函数的乘积和。

- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，即余弦函数的和的余弦等于两个余弦函数的乘积差。

- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，即正弦函数的差的正弦等于两个正弦函数的乘积差。

三角恒等变换公式如下：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ。

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ。

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ。

sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ。

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)。

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)。

定号法则将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的来象垍限头樤，取三角函数的符号。

也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。

在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。

正负号看原函数中α所在象限的正负号。

关于正负号有个口诀；一全正，二正弦，三两切，四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角，正弦为正，第三象限，正切和余切为正，第四象限，余弦为正。

或简写为“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次为正。

还可简记为：sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan/cot 的正值斜着。

比如：90°+α。

定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。

所以sin（90°+α）=cosα, cos（90°+α）=-sinα这个非常神奇，屡试不爽~还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，所以sin（90°+α）=cosα。

三角恒等变换知识点总结2014/10/24一、基本内容串讲1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β）(1— tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。

2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-。

要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系(升角-降次，降角-升次)．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。

3.辅助角公式：sin cos4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫±=± ⎪⎝⎭()sin cos a x b x x ρ+=+。

4。

简单的三角恒等变换（1)变换对象:角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质.（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。

（3)变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4)变换思路：明确变换目标，选择变换公式,设计变换途径. 5。

常用知识点：（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用,求函数值时注意角的范围）；（2）三角形中的角:A B C π++=，sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+； （3）向量的数量积：cos ,a b a b a b =，1212a b x x y y =+，12120a b x x y y ⊥⇔+=1221//0a b x y x y ⇔-=;二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）2、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于( ） 3、若3,4παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 4、(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒+︒=_______________。

三角恒等变换与解题技巧三角恒等变换是解决三角函数相关问题的重要方法之一，通过巧妙地变换三角函数的表达式，可以简化计算、化简复杂的式子、推导出新的关系等。

在解题过程中，合理应用三角恒等变换可以帮助我们降低难度、提高效率。

本文将介绍三角恒等变换的基本概念、常用公式以及解题技巧，以帮助读者更好地理解和运用三角恒等变换。

一、基本概念三角恒等变换是指通过等式的变换，将一个三角函数表达式变为与之等价的另一个表达式。

通常，三角恒等变换会使得原先复杂的式子简化或转化成更易处理的形式，从而方便我们求解问题。

三角恒等变换的基本思想是利用三角函数之间的相互关系以及已知恒等式，将三角函数表达式转换为其他函数的组合或者其他三角函数的形式。

二、常用公式以下是一些常用的三角恒等变换公式：1. 余弦的平方与正弦的平方恒等变换：cos^2θ + sin^2θ = 12. 二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos^2θ - sin^2θ = 2cos^2θ - 1 = 1 - 2sin^2θ3. 和差角公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβsin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβcos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβcos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ4. 倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1 = 1 - 2sin^2θ5. 平方和与平方差公式：sin^2θ + cos^2θ = 1sin^2θ - cos^2θ = sin^2θ / cos^2θ以上只是一部分常用的三角恒等变换公式，通过合理运用这些公式，我们可以将复杂的三角函数式子转化为简单易解的形式，为解题提供便利。

三、解题技巧1. 利用三角恒等变换化简式子在解决问题时，我们常常会遇到需要化简复杂的三角函数式子的情况。

高中数学的解析如何利用三角恒等变换解决数学问题高中数学是培养学生数理思维和解决问题能力的重要学科，其中解析几何和三角函数的学习尤为重要。

在解析几何中，使用三角恒等变换可以简化问题的研究和解决过程。

本文将探讨高中数学的解析如何利用三角恒等变换解决数学问题，并给出实例说明。

一、三角恒等变换的基本概念在学习解析几何和三角函数之前，我们先来了解一下三角恒等变换的基本概念。

三角恒等变换是指在三角函数的运算过程中，通过等式的变形来简化计算的方法。

常用的三角恒等变换有正弦定理、余弦定理、和差化积公式等。

例如，正弦定理可以表达为：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$其中，a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为对应的内角，R为三角形的外接圆半径。

二、解析几何中的三角恒等变换在解析几何中，我们通过运用三角恒等变换来简化和推导问题的解决过程。

以一个简单的例子来说明。

例1：已知直线L的对称点在直线L'上，且L：2x+y-3=0，L'：3x-y-8=0，求直线L与L'的交点坐标。

解：设交点坐标为(x0, y0)，代入直线方程得：2x0 + y0 - 3 = 03x0 - y0 - 8 = 0通过观察以上的方程，我们可以发现其中存在一个正弦关系。

为了简化解题过程，我们可以利用正弦关系进行求解。

令2x0 + y0 - 3 = A3x0 - y0 - 8 = B通过求解A和B之间的关系，可以得到：2A + B = 133A - B = 11通过联立方程组求解，可以得到：A = 5B = 3将A和B带入原方程，可以解得：x0 = 2y0 = -1因此，直线L与L'的交点坐标为(2, -1)。

通过以上的例子，我们可以看到，在解析几何中，通过利用三角恒等变换来简化问题的解决过程，不仅可以减少计算量，还可以提高问题解决的效率。

三角恒等变换专题一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． 5．（1）积化和差公式 sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β= -21[cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式sin α+sin β= 2cos 2sin 2βαβα-+ sin α-sin β=2sin 2cos 2βαβα-+ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :222αααααα万能公式+-=+=cos α+cos β=2cos 2cos 2βαβα-+ cos α-cos β= -2sin 2sin 2βαβα-+ tan α+ cot α=ααα2sin 2cos sin 1=⋅ tan α- cot α= -2cot2α 1+cos α=2cos22α 1-cos α=2sin 22α 1±sin α=(2cos 2sin αα±)2 6。

三角恒等变换、解三角形公式总结一、三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：(1)sin 22sin cos ααα=． （2）21sin 2(sin cos )ααα±=±(3)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(4)降次升角公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=(5)辅助角公式：()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． (6) 45tan 90sin cot tan cos sin 1===+=αααα3、常见的角的配凑(1) ββαββαα-+=+-=)()(；（2）)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=二、三角函数1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． ⑤在C ∆AB 中有：B A B A B A b a B A B A 2cos 2cos cos cos sin sin cos cos 22<⇔<⇔>⇔>⇔>⇔<3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中有：2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ； ②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C >。

三角恒等变换公式大全三角函数是数学中的重要概念，它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

而三角恒等变换公式则是三角函数中的重要内容之一，它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，从而更方便地进行计算和推导。

本文将为大家详细介绍三角恒等变换公式的相关知识，并列举一些常用的三角恒等变换公式，希望对大家的学习和工作有所帮助。

首先，我们来了解一下什么是三角恒等变换公式。

三角恒等变换公式是指在三角函数中，存在一些等式关系，通过这些等式关系，我们可以将某个三角函数表达式变换成另一个等价的三角函数表达式。

这些等式关系通常是由三角函数的定义和性质推导出来的，它们可以帮助我们简化三角函数的计算和推导过程。

接下来，我们将介绍一些常用的三角恒等变换公式。

首先是正弦函数和余弦函数的恒等变换公式：\[。

\sin^2 x + \cos^2 x = 1。

\]这个公式被称为三角恒等式的基本恒等式，它是由正弦函数和余弦函数的定义推导出来的。

通过这个公式，我们可以将一个三角函数表达式中的正弦函数或余弦函数用另一个三角函数来表示，从而简化计算。

除了基本恒等式外，还有一些常用的三角恒等变换公式，如双角和半角公式、和差化积公式等。

这些公式在三角函数的计算和推导中都有着重要的应用，它们可以帮助我们解决一些复杂的三角函数表达式，加快计算速度，提高工作效率。

另外，三角恒等变换公式还可以帮助我们简化一些三角函数的积分和微分运算。

通过恒等变换，我们可以将一些复杂的三角函数积分或微分转化成更简单的形式，从而更方便地进行计算。

这对于一些需要频繁进行三角函数积分和微分运算的工程和科学问题来说，具有非常重要的意义。

总之，三角恒等变换公式是三角函数中的重要内容，它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，加快计算速度，提高工作效率。

通过学习和掌握三角恒等变换公式，我们可以更加轻松地解决一些三角函数相关的问题，为我们的工作和学习带来便利。

希望本文介绍的内容对大家有所帮助，也希望大家能够深入学习和应用三角恒等变换公式，发挥它们在实际问题中的作用。

2 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β)) 知识梳理tan(α＋β)＝ tan α＋tan β(T1－tan αtan β(α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S )tan α－tan β(α－β)tan(α－β)＝(T (α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β)) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α (S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α (C 2α) 1＋tan αtan βtan 2α＝ 2tan α 1－tan 2α(T 2α)3．公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下： 降幂公式：cos 2α 1＋cos 2α 21－cos 2α 正切和差公式变形： ＝ 2 ，sin α＝ 2 ，tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α tan αtan β＝1 tan α＋tan β tan α－tan β 1.αα － tan (α＋β) ＝ tan (α－β) － 1＋cos α＝2cos 2 ，1－cos α＝2sin 22. 配方变形：1＋sin α＝ αα 2， (sin 2＋cos 2) 1－sin α＝ α α 24．辅助角公式a sin α＋b cos α ＝ a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中 tan φb(sin 2－cos 2) . ＝a .典例剖析题型一 给角求值例 1 (1) 计算 cos 42° cos 18°－cos 48° cos 72°的值为 ．(2)计算 sin 110°sin 20° 的值为．cos 2155°－sin 2155° s in 47°－sin 17°cos 30°变式训练 cos 17°＝ ．解题要点 解题时先看角，观察是否有 30°、60°、90°等特殊角，或是观察能否通过变形凑配出这些特殊角.再看所求式结构，选用合适的三角恒等式对原式进行变形处理.在解题时还要注意对公式进行正用、逆用，要掌握常见的变式.＋6＝ －6 题型二 给值求值⎛π ⎫例 2 已知 α∈⎝2，π⎭，sin α＝5 (1)求 sin ⎛π＋α⎫的值；⎝4 ⎭ ⎛5π ⎫ (2)求 cos ⎝ 6 －2α⎭的值． 题型三 利用角的凑配求值2 ⎛βπ⎫ 1⎛ π⎫例 3 已知 tan(α＋β)＝5，tan ⎝ －4⎭＝4，那么 tan ⎝α＋4⎭等于．11⎛0 π⎫变式训练 已知 cos α＝3，cos(α＋β)＝－3，且 α，β∈⎝ ，2⎭，则 cos(α－β)的值等于．解题要点 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时， “所求角”一般凑配为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 2．常见的凑配技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，βα＋β α－β αα＋β α－β α－β (α β)－ αβ)题型四 辅助角公式＝ 2 －2 ， ＝ 2 ＋2 ， 2 ＝ ＋2(2＋例 4 (2015 安徽文)已知函数 f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求 f (x )的最小正周期；⎡0 π⎤(2)求 f (x )在区间⎣ ，2⎦上的最大值和最小值．变式训练 函数 f (x )＝ 3sin x ＋π x )的最大值为．cos(3＋解题要点 利用辅助角公式将 a sin x ＋b cos x 化为 A sin(ωx ＋φ)是常见的题型，转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．对于计算形如 y ＝sin(ωx ＋φ), x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，则务必注意角度范围，最好是画出函数图像，观察所给函数在指定范围内是否越过图像的“波峰”或“波谷”.练习题1．(2015 新课标Ⅰ理)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ ．2 sin α＋cos α 1．若 ＝2，则 tan2α＝．sin α－cos α3. 已知 cos(α π) sin(2α π)的值为 ．4．若函数 f (x )＝sin 2(x π ＋cos 2(x π－1，则函数 f (x )是．＋4) －4) ① 周期为 π 的偶函数 ② 周期为 2π 的偶函数 ③ 周期为 2π 的奇函数④ 周期为 π 的奇函数 5．(2015 北京理)已知函数 f (x )＝xx －2x(1)求 f (x )的最小正周期；2sin2cos22sin 2.(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．。

三角恒等变换与方程的性质知识点总结三角恒等变换是指在三角函数表达式中，通过一系列等价的变换，将一个三角函数表达式转化为另一个等价的三角函数表达式。

这种变换在解决三角方程、简化三角表达式等数学问题中有着重要的应用。

本文将对三角恒等变换及相关的方程性质进行总结，并提供一些例子来帮助读者更好地理解和应用这些知识点。

一、平凡的三角恒等变换：1. 正弦函数的平方等于1减去余弦函数的平方：sin^2(x) = 1 -cos^2(x)该恒等变换适用于解决三角方程中含有sin^2(x)类型的问题。

2. 余弦函数的平方等于1减去正弦函数的平方：cos^2(x) = 1 -sin^2(x)该恒等变换适用于解决三角方程中含有cos^2(x)类型的问题。

3. 正切函数的平方加1等于割函数的平方：tan^2(x) + 1 = sec^2(x)该恒等变换适用于解决三角方程中含有tan^2(x)类型的问题。

4. 余切函数的平方加1等于余割函数的平方：cot^2(x) + 1 = csc^2(x)该恒等变换适用于解决三角方程中含有cot^2(x)类型的问题。

以上四个平凡的三角恒等变换是基础中的基础，掌握了这些变换，可以更好地应对复杂的三角恒等变换问题。

二、复杂的三角恒等变换：除了上述的平凡的恒等变换外，还存在一些复杂的恒等变换，下面是其中的两个例子：1. 和差化积公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)和差化积公式常用于解决三角方程中的和差类型问题，其中的正负号取决于题目中给出的具体条件。

2. 二倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)二倍角公式常用于解决三角方程中的二倍角类型问题，同样，具体的变换方式需根据题目给出的条件而定。

高中数学“简单的三角恒等变换”知识点全解析一、引言三角恒等变换是高中数学三角函数部分的重要内容，它是研究三角函数性质、解决三角函数问题的重要工具。

通过掌握三角恒等变换，可以加深对三角函数性质的理解，提高解决三角函数问题的能力。

本文将详细解析“简单的三角恒等变换”的定义、性质、推导和应用，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

二、三角恒等变换的定义与性质1.定义：三角恒等变换是指在不改变三角函数值的前提下，通过一定的变换规则，将三角函数表达式转化为另一种形式的表达式。

常见的三角恒等变换包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。

2.3.性质：三角恒等变换具有以下性质：4.1.等价性：经过三角恒等变换后的表达式与原表达式在定义域内具有相同的函数值。

2.可逆性：三角恒等变换是可逆的，即可以通过相应的逆变换将表达式还原为原始形式。

3.多样性：三角恒等变换的形式多样，可以根据问题的需要选择合适的变换形式。

三、常见的三角恒等变换1.和差化积公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) = cosαcosβ∓ sinαsinβ。

这些公式可以将两个角的和差转化为单个角的三角函数乘积形式。

2.积化和差公式：sinαcosβ = 1/2[sin(α + β) + sin(α -β)]，cosαsinβ =1/2[sin(α + β) -sin(α -β)]，cosαcosβ = 1/2[cos(α + β) + cos(α -β)]，sinαsinβ = -1/2[cos(α + β) - cos(α - β)]。

这些公式可以将两个角的三角函数乘积转化为单个角的和差形式。

3.倍角公式：sin2α = 2sinαcosα，cos2α = cos²α - sin²α = 1 - 2sin²α =2cos²α - 1。

第一模块三角恒等变换目录第一节三角恒等变换公式 (2)第二节利用公式化简 (4)1、考点构造数值 (4)2、考点构造式子 (4)3、考点同角的三角函数 (4)4、疯狂的化简综合训练 (5)第三节三角恒等变换（应用） (10)1、考点单位圆 (10)2、同角的三角函数 (10)3、构造诱导公式 (11)第四节三角函数综合题（三角恒等变换、图像性质） (12)1、考点结合三角函数性质（平移旋转） (12)2、考点通过复合函数考察对函数零点的理解 (14)姓名：__________ 学校：___________2第一节 三角恒等变换公式1、两角和差公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαtan tan1tan tan)tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-辅助练习：1.cos27°cos18°﹣sin27°sin18°＝ ．2.已知，则tan α＝ .3.若，，则＝ ．2、倍角公式sin 22sin cos ()S αααα=⋅ 22222cos 2cos sin ()2cos 112sin C αααααα=-=-=- 222tan tan 2()1tan T αααα=-21sin 2(sin cos )ααα±=±辅助练习：3、降幂公式221cos 21cos2cos ,sin22αααα+-==221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==21cos 22cos ,1cos 22sin αα+=-=21cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=辅助练习：4、辅助角公式222222sin cos sin(),cos ,sin A B A x B x A B x A B A B ϕϕϕ+=++==++其中辅助角公式推导（用两角和差公式推导）：辅助练习：寒假目标： 理解、记忆辅助角公式，学会变形和应用。

三角恒等式与三角变换三角恒等式是指在三角函数中成立的等式关系，对于解决三角方程以及简化三角函数表达式具有重要意义。

同时，通过三角变换，可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，便于进一步的计算和研究。

本文将介绍一些常见的三角恒等式和三角变换的相关知识。

一、基本的三角恒等式1. 正弦函数的恒等式：对于任意角度θ，有sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1，这是三角函数最基本的恒等式之一，被称为“单位圆恒等式”。

2. 余弦函数的恒等式：对于任意角度θ，有1 + tan^2(θ) = sec^2(θ)，这是三角函数中比较常用的恒等式之一。

3. 正切函数的恒等式：对于任意角度θ，有tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)，这是常用的三角函数恒等式之一。

二、三角恒等式的应用1. 解三角方程三角恒等式在解三角方程中起到了重要的作用。

通过使用三角恒等式，我们可以将一个复杂的三角方程转化为更简单的形式，从而更容易求解。

例如，通过使用三角恒等式sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)，我们可以将sin^2(θ) - cos^2(θ) = 0转化为sin(2θ) = 0的形式，进而求得方程的解。

2. 简化三角函数表达式三角函数表达式常常会出现复杂的形式，通过运用三角恒等式，我们可以将其转化为更简单的形式，便于进一步的计算和研究。

例如，通过使用三角恒等式cos(θ) = 1 - 2sin^2(θ/2)，我们可以将复杂的cos(2θ)表示为关于sin(θ/2)的表达式。

三、常见的三角变换1. 将一个角转化为其补角或余角通过将一个角θ转化为其补角(90°-θ)或余角(θ-90°)，我们可以将一个三角函数转化为与之等价的另一个三角函数。

例如，sin(90°-θ) =cos(θ)，tan(90°-θ) = cot(θ)等。

2. 将一个角转化为它的倍数角通过使用三角函数的倍角公式和半角公式，我们可以将一个角的三角函数表达式转化为其倍数角的形式或半角的形式。

三角恒等变换的概念与性质三角恒等变换是指具有相同数学结构的两个三角形之间的一系列等式和比例关系。

在三角学中，恒等变换是非常重要的概念，它不仅可以帮助我们简化计算，还可以帮助我们发现三角形的各种性质和关系。

本文将介绍三角恒等变换的概念和一些常见的性质。

一、三角恒等变换的概念三角恒等变换是由三角函数的基本性质推导出来的一系列等式和比例关系。

它可以将一个三角函数的表达式变换为另一个等价的表达式，或者将一个三角函数与其他三角函数进行关联。

三角恒等变换的概念是基于三角函数的周期性和对称性的特点而建立的。

根据三角函数的定义，我们可以得到很多关于三角函数之间的等式和比例关系，这些等式和比例关系就是三角恒等变换的基础。

通过利用这些等式和比例关系，我们可以进行三角函数的简化、求值和证明等操作。

二、常见的三角恒等变换1. 倍角公式：a) 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθb) 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)c) 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2(θ))2. 半角公式：a) 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ) / 2]b) 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = √[(1 + cosθ) / 2]c) 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = sinθ / (1 + cosθ)3. 和差公式：a) 正弦函数的和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβb) 余弦函数的和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβc) 正切函数的和差公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)4. 三角函数的倒数关系：a) sinθ = 1 / cscθb) cosθ = 1 / secθc) tanθ = 1 / cotθ以上仅是一些常见的三角恒等变换，实际上还有更多的变换关系可以推导得到。