江苏省南京大学附属中学2021届高三上学期阶段检测(一)数学试题 Word版含答案

2021年江苏南京高三一模数学试卷-学生用卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、【来源】 2021年江苏南京高三一模第1题5分2021年江苏盐城高三一模第1题5分若1+ai2−i为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为（）．A. 2B. −12C. 12D. −22、【来源】 2021年江苏南京高三一模第2题5分2021年江苏盐城高三一模第2题5分已知函数y=lg⁡(−x2−x+2)的定义域为集合M，函数y=sin⁡x的值域为N，则M∩N=（）．A. ∅B. (−2,1]C. [−1,1)D. [−1,1]3、【来源】 2021年江苏南京高三一模第3题5分2021年江苏盐城高三一模第3题5分函数f(x)=2x 5 3ln⁡|x|的图象大致为（）．A.B.C.D.4、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第4题5分2021年江苏南京高三一模第4题5分一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次．学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是（）．A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第5题5分2021年江苏南京高三一模第5题5分化简sin2(π6−α)−sin2(π3+α)可得（）．A. cos⁡(2α+π3)B. −sin⁡(2α+π6)C. cos⁡(2α−π3)D. sin⁡(2α−π6)6、【来源】 2021年江苏南京高三一模第6题5分2021年江苏盐城高三一模第6题5分某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查，统计得下方的2×2列联表．则根据列联表可知参考公式：独立性检验统计量χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．下面的临界值表供参考：A. 有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系B. 没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系C. 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系D. 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系7、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第7题5分2021年江苏南京高三一模第7题5分设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，圆F 1与双曲线的渐近线相切，过点F 2与圆F 1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为（ ）．A. 815B. √3C. 43D. 18、【来源】 2021年江苏南京高三一模第8题5分2021年江苏盐城高三一模第8题5分已知点A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ．若AB =2，BC =4，AC 与平面ABD 所成角的正弦值为√105，则球O 表面上的动点P 到平面ACD 距离的最大值为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、【来源】 2021年江苏南京高三一模第9题5分2021年江苏盐城高三一模第9题5分2020~2021学年3月江苏南京鼓楼区南京师范大学附属中学高一下学期月考第9题5分下列关于向量a →，b →，c →的运算，一定成立的有（ ）．A. (a →+b →)⋅c →=a →⋅c →+b →⋅c →B. (a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)C. a →⋅b →⩽|a →|⋅|b →|D. |a →−b →|⩽|a →|+|b →|10、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第10题5分2021年江苏南京高三一模第10题5分下列选项中，关于x 的不等式ax 2+(a −1)x −2>0有实数解的充分不必要条件有（ ）．A. a =0B. a ⩾−3+2√2C. a >0D. a ⩽−3−2√211、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第11题5分2021年江苏南京高三一模第11题5分已知函数f(x)=log 2⁡(1+4x )−x ，则下列说法正确的是（ ）．A. 函数f(x)是偶函数B. 函数f(x)是奇函数C. 函数f(x)在(−∞,0]上为增函数D. 函数f(x)的值域为[1,+∞)12、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第12题5分2021年江苏南京高三一模第12题5分回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数．若正整数i 与n 满足2⩽i ⩽n 且n ⩾4，在[10i−1,10i −1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为P i ，在[10,10n −1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Q n ，则（ ）．A. P i <P i +1(2⩽i ⩽n −1)B. Q n <1n−1∑P i n i=2 C. Q n >1n−1∑P in i=2 D. ∑P i n i=2<1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年江苏南京高三一模第13题5分2021年江苏盐城高三一模第13题5分若函数f (x )=sin⁡(2x +φ)为偶函数，则φ的一个值为 ．（写出一个即可）14、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第14题5分2021年江苏南京高三一模第14题5分(1+√2x 3)100的展开式中有理项的个数为 ．15、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第15题5分2021年江苏南京高三一模第15题5分在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2=2p 1x 与x 2=2p 2y 在第一象限的交点为A ，若OA 的斜率为2，则p2p 1= ．16、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第16题5分2021年江苏南京高三一模第16题5分2021年湖北黄冈黄州区湖北省黄冈中学高三三模第16题5分罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C ：x 23+y 23=1的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C 围成的图形的面积S 2（选填“>”“<”或“=”)，曲线C 上的动点到原点的距离的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2021年江苏南京高三一模第17题10分2021年江苏盐城高三一模第17题10分设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n =a n 2+a n ．(1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 求证： ∑1a i 2+a i+12−1n i=1<12．18、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第18题12分2021年江苏南京高三一模第18题12分在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=B+3C．(1) 求sin⁡C的取值范围．(2) 若c=6b，求sin⁡C的值．19、【来源】 2021年江苏南京高三一模第19题12分2021年江苏盐城高三一模第19题12分如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD//EF，DF⊥EF，EF=2CD=2．(1) 若DF=2，求二面角A−CE−F的正弦值．(2) 若平面ACF⊥平面BCE，求DF的长．20、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第20题12分2021年江苏南京高三一模第20题12分某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀．竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81．假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z 服从正态分布N(71,81)．(1) 估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万？(2) 该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，⋯，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？参考数据：若Z∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ⩽Z⩽μ+σ)≈0.68.21、【来源】 2021年江苏南京高三一模第21题12分2021年江苏盐城高三一模第21题12分设F为椭圆C：x 22+y2=1的右焦点，过点(2,0)的直线l与椭圆C交于A、B两点．(1) 若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程．(2) 设直线AF，BF的斜率分别为k1、k2(k2≠0)，求证：k1k2为定值．22、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第22题12分2021年江苏南京高三一模第22题12分设函数f(x)=a x+e−x(a>1)．(1) 求证：f(x)有极值．(2) 若x=x0时f(x)取极值，且对任意正整数a都有x0∈(m,n)，其中m，n∈Z，求n−m的最小值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 A;C;D;10 、【答案】 A;C;11 、【答案】 A;D;12 、【答案】 B;D;;13 、【答案】π214 、【答案】34;;15 、【答案】18,1];16 、【答案】<;[1217 、【答案】 (1) a n=n．;(2) 证明见解析．;)．18 、【答案】 (1) (0,√22;(2) 2．3;19 、【答案】 (1) √5．3;(2) 1．;20 、【答案】 (1) 1.6万．;(2) 150.8万元．;21 、【答案】 (1) AF:y=x−1．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2．;。

2020-2021学年江苏省南航附中高三（上）质检数学试卷（10月份）试题数：22.满分：01.（单选题.3分）已知集合P={x|x2≤1}.M={a}．若P∪M=P.则a的取值范围是（）A.（-∞.-1]B.[1.+∞）C.[-1.1]D.（-∞.-1]∪[1.+∞）2.（单选题.3分）设a∈R.若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上.则a=（）A.0B.-1C.1D. √23.（单选题.3分）若f（x）=tan（ωx）（ω＞0）的最小正周期为1.则f(1)的值为（）3A. −√3B. −√33C. √33D. √34.（单选题.3分）下列函数中.值域为R且为奇函数的是（）A.y=x+2B.y=sinxC.y=x-x3D.y=2x5.（单选题.3分）设a⃗ . b⃗⃗均为单位向量.则“| a⃗ -3 b⃗⃗ |=|3 a⃗ + b⃗⃗|”是“ a⃗⊥ b⃗⃗”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.（单选题.3分）将4位志愿者分配到世博会的3个不同场馆服务.每个场馆至少1人.不同的分配方案有（）种．A.72B.36C.64D.817.（单选题.3分）若f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0.|φ| ＜π2 ）的图象如图.为了得到 g (x )=sin (2x −π3) 的图象.则需将f （x ）的图象（ ）A.向右平移 π6个单位B.向右平移 π3 个单位 C.向左平移 π6 个单位 D.向左平移 π3 个单位8.（单选题.3分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上.求圆周率π的方法有多种.与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n 充分大时.计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长.将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔•卡西的方法.π的近似值的表达式是（ ） A.3n （sin 30°n +tan 30°n ） B.6n （sin 30°n +tan 30°n） C.3n （sin60°n +tan 60°n ） D.6n （sin60°n +tan 60°n） 9.（多选题.3分）Keep 是一款具有社交属性的健身APP.致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep 可以让你随时随地进行锻炼.记录你每天的训练进程．不仅如此.它还可以根据不同人的体质.制定不同的健身计划．小明根据Keep 记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图.下列结论正确的是（ ）A.月跑步里程最小值出现在2月B.月跑步里程逐月增加C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小10.（多选题.3分）已知圆锥的顶点为P.母线长为2.底面半径为√3 .A.B为底面圆周上两个动点.则下列说法正确的是（）A.圆锥的高为1B.三角形PAB为等腰三角形C.三角形PAB面积的最大值为√3D.直线PA与圆锥底面所成角的大小为π611.（多选题.3分）台球运动已有五、六百年的历史.参与者用球杆在台上击球．若和光线一样.台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图.有一张长方形球台ABCD.AB=2AD.现从角落A沿角α的方向把球打出去.球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中.则tanα的值为（）A. 16B. 12C.1D. 3212.（多选题.3分）函数y=f（x）图象上不同两点A（x1.y1）.B（x2.y2）处的切线的斜率分别叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”.以下正确的命是k A.k B.规定φ（A.B）= |k A−k B||AB|题为（）A.函数y=x3-x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1.2.则φ(A，B)＞√3B.存在这样的函数.图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数C.设点A 、B 是抛物线.y=x 2+1上不同的两点.则φ（A.B ）⩽2D.设曲线y=e x 上不同两点A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.且x 1-x 2=1.若t•ϕ（A.B ）＜1恒成立.则实数t 的取值范围是（-∞.1）13.（填空题.3分）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和.a 1=3.S 3=18.则其通项公式a n =___ ． 14.（填空题.3分）已知tan （α+β）= 25 .tan （β- π4 ）= 14 .则tan （α+ π4 ）=___ ．15.（填空题.3分）如图.已知正方形OABC.其中OA=a （a ＞1）.函数y=3x 2交BC 于点P.函数 y =x −12交AB 于点Q.当|AQ|+|CP|最小时.则a 的值为 ___ ．16.（填空题.3分）设函数f （x ）=me x -x 2+3.其中m∈R ．若函数f （x ）在区间[-2.4]上有三个零点.则m 的取值范围为___ ． 17.（问答题.0分）从 ① sinA= √1010 . ② cosB= −√55. ③ b=4这三个条件中任选一个.补充在问题中并作答．在△ABC 中.a= √2 .c= √10 .且____．（补充条件） （1）求△ABC 的面积； （2）求sin （A+B ）．18.（问答题.0分）已知向量 a ⃗ =（2cosx.2sinx ）. b ⃗⃗ =（ √3 cosx.cosx ）.设函数f （x ）= a ⃗•b ⃗⃗ - √3 .求：（1）f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）若 f (α2−π6)−f (α2+π12)=√6 .且α∈（ π2 .π）．求α．19.（问答题.0分）2018年11月5日上午.首届中国国际进口博览会拉开大幕.这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会．本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展．其中企业产品展分为7个展区.每个展区统计了备受关注百分比.如表：展区类型智能及高端装备消费电子及家电汽车服装服饰及日用消费品食品及农产品医疗器械及医药保健服务贸易展区的企业数（家）400 60 70 650 1670 300 450备受关注百分比25% 20% 10% 23% 18% 8% 24% 备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家.求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中.任选2家接受记者采访．（ i）记X为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.求随机变量X的分布列；（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10%．记Y为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数．试比较随机变量X.Y的均值E（X）和E（Y）的大小．（只需写出结论）20.（问答题.0分）如图.在四棱锥P-ABCD中.PA⊥底面ABCD.AD ||BC.AB=AC=AD=3.PA=BC=4．（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．21.（问答题.0分）已知函数f（x）=lnx-ax2+2ax．（Ⅰ）若a=-1.求曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤x恒成立.求实数a的取值范围．22.（问答题.0分）已知函数f（x）=（3-x）e x.g（x）=x+a（a∈R）（e是自然对数的底数.e≈2.718…）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数y=f（x）g（x）在区间[1.2]上单调递增.求a的取值范围；在区间（0.+∞）上既存在极大值又存在极小值.并且h（x）的（3）若函数h（x）= f(x)+g(x)x极大值小于整数b.求b的最小值．2020-2021学年江苏省南航附中高三（上）质检数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.3分）已知集合P={x|x2≤1}.M={a}．若P∪M=P.则a的取值范围是（）A.（-∞.-1]B.[1.+∞）C.[-1.1]D.（-∞.-1]∪[1.+∞）【正确答案】：C【解析】：通过解不等式化简集合P；利用P∪M=P⇔M⊆P；求出a的范围．【解答】：解：∵P={x|x2≤1}.∴P={x|-1≤x≤1}∵P∪M=P∴M⊆P∴a∈P-1≤a≤1故选：C．【点评】：本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件P∪M=P⇔M⊆P是解题关键．2.（单选题.3分）设a∈R.若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上.则a=（）A.0B.-1C.1D. √2【正确答案】：B【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简.再由虚部为0求解a值．【解答】：解：∵复数（1+i）（a+i）=（a-1）+（a+1）i在复平面内对应的点位于实轴上.∴a+1=0.即a=-1．故选：B．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的代数表示法及其几何意义.是基础题．3.（单选题.3分）若f（x）=tan（ωx）（ω＞0）的最小正周期为1.则f(13)的值为（）A. −√3B. −√33C. √33D. √3【正确答案】：D【解析】：由题意利用正切函数的周期性求得ω的值.可得它的解析式.从而求出f(13)的值．【解答】：解：∵f（x）=tan（ωx）（ω＞0）的周期为πω=1.∴ω=π.即f（x）=tanπx.则f(13) =tan π3= √3 .故选：D．【点评】：本题主要考查正切函数的周期性.属于基础题．4.（单选题.3分）下列函数中.值域为R且为奇函数的是（）A.y=x+2B.y=sinxC.y=x-x3D.y=2x【正确答案】：C【解析】：分别结合奇偶性及函数的值域判断各选项即可求解．【解答】：解：A：y=x+2为非奇非偶函数.不符合题意；B：y=sinx的值域[-1.1].不符合题意；C：y=x-x3为奇函数且值域为R.符合题意；D：y=2x为非奇非偶函数.不符合题意．故选：C．【点评】：本题主要考查了基本初等函数的奇偶性的判断及值域的求解.属于基础试题．5.（单选题.3分）设a⃗ . b⃗⃗均为单位向量.则“| a⃗ -3 b⃗⃗ |=|3 a⃗ + b⃗⃗|”是“ a⃗⊥ b⃗⃗”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：根据向量数量积的应用.结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可．【解答】：解：∵“| a⃗ -3 b⃗⃗ |=|3 a⃗ + b⃗⃗|”∴平方得| a⃗|2+9| b⃗⃗ |2-6 a⃗• b⃗⃗ =9| a⃗|2+| b⃗⃗ |2+6 a⃗• b⃗⃗ .即1+9-6 a⃗• b⃗⃗ =9+1+6 a⃗• b⃗⃗ .即12 a⃗• b⃗⃗ =0.则a⃗• b⃗⃗ =0.即a⃗⊥ b⃗⃗ .反之也成立.则“| a⃗ -3 b⃗⃗ |=|3 a⃗ + b⃗⃗|”是“ a⃗⊥ b⃗⃗”的充要条件.故选：C．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.结合向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键．6.（单选题.3分）将4位志愿者分配到世博会的3个不同场馆服务.每个场馆至少1人.不同的分配方案有（）种．A.72B.36C.64D.81【正确答案】：B【解析】：先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体.再把它同另外两个元素在三个位置全排列.根据分步乘法原理得到结果【解答】：解：∵将4位志愿者分配到3个不同场馆服务.每个场馆至少1人.∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体.再把它同另外两个元素在三个位置全排列.共有C24A33=36．故选：B．【点评】：本题考查排列组合及简单的计数问题.是一个基础题.本题又是一个易错题.排列容易重复.注意做到不重不漏．7.（单选题.3分）若f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0.|φ| ＜π2）的图象如图.为了得到g(x)=sin(2x−π3)的图象.则需将f（x）的图象（）A.向右平移π6个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位D.向左平移π3个单位【正确答案】：B【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得函数的解析式.再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：根据f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0.|φ| ＜π2）的图象.可得A=1.1 4•2πω= 7π12- π3.∴ω=2．再根据五点法作图可得2• π3+φ=π.∴φ= π3.∴f（x）=sin（2x+ π3）．故把f（x）=sin（2x+ π3）的图象向右平移π3个单位.可得y=sin[2（x- π3）+ π3]=sin（2x- π3）=g（x）的图象.故选：B．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．8.（单选题.3分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上.求圆周率π的方法有多种.与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n充分大时.计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长.将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔•卡西的方法.π的近似值的表达式是（ ） A.3n （sin 30°n +tan 30°n） B.6n （sin 30°n +tan 30°n） C.3n （sin60°n +tan 60°n ） D.6n （sin60°n +tan 60°n） 【正确答案】：A【解析】：设内接正6n 边形的边长为a.外切正6n 边形的边长为b.运用圆的性质.结合直角三角形的锐角三角函数的定义.可得所求值．【解答】：解：如图.设内接正6n 边形的边长为a.外切正6n 边形的边长为b. 可得a=2sin 360°12n =2sin 30°n. b=2tan 360°12n =2tan 30°n. 则2π≈6na+6nb 2 =6n （sin 30°n +tan 30°n）. 即π≈3n （sin 30°n +tan 30°n）. 故选：A ．【点评】：本题考查数学中的文化.考查圆的内接和外切多边形的边长的求法.考查运算能力.属于基础题．9.（多选题.3分）Keep 是一款具有社交属性的健身APP.致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep 可以让你随时随地进行锻炼.记录你每天的训练进程．不仅如此.它还可以根据不同人的体质.制定不同的健身计划．小明根据Keep 记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图.下列结论正确的是（ ）A.月跑步里程最小值出现在2月B.月跑步里程逐月增加C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小【正确答案】：ACD【解析】：由所给折线图可知.月跑步里程并不是逐递增.月跑步里程最小值出现在2月.月跑步里程中位数为5月份对应的里程数.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月.波动性更小．【解答】：解：由所给折线图可知.月跑步里程并不是逐递增.故B错误；月跑步里程最小值出现在2月.故A正确；月跑步里程中位数为5月份对应的里程数.故C正确；1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月.波动性更小.故D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查折线图的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．10.（多选题.3分）已知圆锥的顶点为P.母线长为2.底面半径为√3 .A.B为底面圆周上两个动点.则下列说法正确的是（）A.圆锥的高为1B.三角形PAB为等腰三角形C.三角形PAB面积的最大值为√3D.直线PA与圆锥底面所成角的大小为π6【正确答案】：ABD【解析】：直接利用勾股定理的应用求出圆锥的高.进一步判定三角形的形状和直线与平面的夹角．【解答】：解：圆锥的顶点为P.母线长为2.底面半径为√3 .如图所示：所以圆锥的高为h= √(2)2−(√3)2=1．故选项A正确．由于A和B为底面圆周上两个动点.由于满足PA=PB.所以△PAB为等腰三角形.故选项B正确．由于S△PAB=12×2×2×sin∠APB .当sin∠APB=1时.三角形PAB面积的最大值为2．直线PA与圆锥底面所成角为直线PA和AO所成的角.即∠PAO.在△APO中.sin ∠PAO=POAP =12.所以∠PAO=π6．故选项D正确．故选：ABD．【点评】：本题考查的知识要点：圆锥的性质的应用.直线与平面的夹角的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．11.（多选题.3分）台球运动已有五、六百年的历史.参与者用球杆在台上击球．若和光线一样.台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图.有一张长方形球台ABCD.AB=2AD.现从角落A沿角α的方向把球打出去.球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中.则tanα的值为（）A. 16B. 12C.1D. 32【正确答案】：AD【解析】：根据题意画出示意图.进而求解结论．【解答】：解：因为AB=2AD.现从角落A沿角α的方向把球打出去.球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中；当是图一时.如图：A关于DC 的对称点为E.C关于AB的对称点为F；如图；根据直线的对称性可得：tanα= EGGF = 3AD2AD= 32；当是图2时.如图：A关于BC 的对称点为G.C关于AD的对称点为E.如图：根据直线的对称性可得：tanα= EFFG = AD6AD= 16；故选：AD．【点评】：本题主要考查直线的对称性.属于基础题目．12.（多选题.3分）函数y=f（x）图象上不同两点A（x1.y1）.B（x2.y2）处的切线的斜率分别是k A.k B.规定φ（A.B）= |k A−k B||AB|叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”.以下正确的命题为（）A.函数y=x3-x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1.2.则φ(A，B)＞√3B.存在这样的函数.图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数C.设点A、B是抛物线.y=x2+1上不同的两点.则φ（A.B）⩽2D.设曲线y=e x 上不同两点A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.且x 1-x 2=1.若t•ϕ（A.B ）＜1恒成立.则实数t 的取值范围是（-∞.1） 【正确答案】：BC【解析】：根据定义计算φ（A.B ）判断A.以一次函数为例判断B.根据φ（A.B ）的计算式判断C.讨论t 的符号.求出 1φ(A ，B)的取值范围.从而可得出t 的范围判断D ．【解答】：解：对于A.y′=3x 2-2x.故k A =1.k B =8.又A （1.1）.B （2.5）.故|AB|= √17 . ∴φ（A.B ）=√17＜ √3 .故A 错误；对于B.若f （x ）为一次函数.则函数图象上任意两点处的切线斜率都相等.故φ（A.B ）=0.故B 正确；对于C.y′=2x .故φ（A.B ）=12√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2.当且仅当y 1=y 2时取等号.故C 正确；对于D.由定义可知φ（A.B ）≥0.故当t≤0时.t•ϕ（A.B ）＜1恒成立.符合题意. 当t ＞0时.由t•ϕ（A.B ）＜1恒成立可知t ＜ 1φ(A ，B)恒成立.而1φ(A ，B) = |AB||e x 1−ex 2| =√1+(e x 1−e x 2)2e x 1−e x 2.令e x 1-e x 2=m.则m ＞0.1φ(A ，B)=√1+(e x 1−e x 2)2e x 1−e x 2= √m 2+1m = √1m2+1 ＞1.∴0＜t≤1.综上.t 的取值范围是（-∞.1].故D 错误． 故选：BC ．【点评】：本题考查了对新定义的理解.导数的几何意义.函数值域的计算.属于中档题． 13.（填空题.3分）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和.a 1=3.S 3=18.则其通项公式a n =___ ． 【正确答案】：[1]3n【解析】：运用等差数列的前n 项和公式可解决此问题．【解答】：解：根据题意得.a 1=3.S 3=a 1+a 2+a 3=18. ∴3a 2=18. ∴a 2=6. ∴d=3.∴a n =3+3（n-1）=3n. 故答案为：3n ．【点评】：本题考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的通项公式．14.（填空题.3分）已知tan （α+β）= 25 .tan （β- π4 ）= 14 .则tan （α+ π4 ）=___ ． 【正确答案】：[1] 322【解析】：由条件利用两角差的正切公式求得tan （α+ π4 ）的值．【解答】：解：∵tan （α+β）= 25 .tan （β- π4 ）= 14 .∴tan （α+ π4 ）= tan (α+β)−tan(β−π4)1+tan (α+β)•tan(β−π4)= 25−141+25×14= 322 .【点评】：本题主要考查两角差的正切公式的应用.属于基础题．15.（填空题.3分）如图.已知正方形OABC.其中OA=a （a ＞1）.函数y=3x 2交BC 于点P.函数 y =x −12交AB 于点Q.当|AQ|+|CP|最小时.则a 的值为 ___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：由已知可得P.Q 坐标.进而可得|AQ|+|CP|= √a3 + √1a .由基本不等式可得答案．【解答】：解：由题意得：P 点坐标为（ √a3 .a ）.Q 点坐标为（a. √1a ）. |AQ|+|CP|= √a3 + √1a ≥2 √√3.当且仅当a= √3 时.取最小值. 故答案为： √3 ．【点评】：本题考查的知识点是基本不等式.二次函数和幂函数.难度不大.属于基础题． 16.（填空题.3分）设函数f （x ）=me x -x 2+3.其中m∈R ．若函数f （x ）在区间[-2.4]上有三个零点.则m 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1][ 13e 4 . 6e 3 ）【解析】：由题意可得me x -x 2+3=0在[-2.4]上有三个不等的实根.等价为m= x 2−3e x在[-2.4]上有三个不等的实根．设g （x ）=x 2−3e x.求得导数和单调性.可得极值和最值.画出y=g （x ）在[-2.4]的图象.通过图象可得所求范围．【解答】：解：函数f （x ）在区间[-2.4]上有三个零点. 即为me x -x 2+3=0在[-2.4]上有三个不等的实根. 等价为m= x 2−3e x在[-2.4]上有三个不等的实根． 设g （x ）= x 2−3e x .g′（x ）= 2x−x 2+3e x =- (x−3)(x+1)e x. 可得g （x ）在[-2.-1]递减.在（-1.3）递增.在[3.4]递减.则g （x ）的最小值为g （-1）=-2e.g （x ）的极大值为g （3）= 6e 3 . g （4）= 13e4 .画出y=g （x ）在[-2.4]的图象. 可得当 13e 4 ≤m ＜ 6e 3 时.y=m 和y= x 2−3e x在[-2.4]上有三个不同的交点. 故答案为：[ 13e 4 . 6e3 ）．【点评】：本题考查函数零点个数问题.考查数形结合思想和转化思想.运算能力和推理能力.属于中档题．17.（问答题.0分）从 ① sinA= √1010 . ② cosB= −√55. ③ b=4这三个条件中任选一个.补充在问题中并作答．在△ABC 中.a= √2 .c= √10 .且____．（补充条件） （1）求△ABC 的面积； （2）求sin （A+B ）．【正确答案】：【解析】：若选择 ① .依题意.利用同角三角函数基本关系式可求cosA.由余弦定理可解得b 的值.（1）利用三角形的面积公式即可求解；（2）由已知利用正弦定理可求sinC 的值.结合两角和的正弦函数公式可求sin （A+B ）的值．若选择 ② .（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB.进而根据三角形的面积公式即可求解；（2）由已知利用余弦定理可求b 的值.利用正弦定理可求sinC 的值.例两角和的正弦函数公式即可求解sin （A+B ）的值．若选择 ③ .（1）由余弦定理可得cosC 的值.利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值.利用三角形的面积公式即可得解；（2）根据两角和的正弦函数公式即可求解sin （A+B ）的值．【解答】：解：若选择 ① . 依题意.A 为锐角.由sinA=√1010.得cosA= √1−sin 2A =3√1010. 在△ABC 中.因为a= √2 .c= √10 .由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA.可得：（ √2 ）2=b 2+（ √10 ）2-2× √10×3√1010b .解得b=2或b=4.（1）当b=2时.S △ABC = 12 bcsinA= 12×2×√10×√1010=1；当b=4时.S △ABC =2；（2）由a= √2 .c= √10 .sinA= √1010 . asinA =csinC .可得sinC= √22 . 在△ABC 中.A+B=π-C.sin （A+B ）=sinC= √22． 若选择 ② .（1）因为cosB=- √55.B∈（0.π）.所以sinB= √1−cos 2B = 2√55. 因为a= √2 .c= √10 .所以S △ABC = 12 acsinB= 12×√2×√10×2√55=2．（2）因为a= √2 .c= √10 .cosB=- √55.由b2=a2+c2-2accosB.可得：b2=（√2）2+（√10）2-2× √2×√10×（- √55）=16.解得b=4.由bsinB =csinC.解得sinC= √22.在△ABC中.A+B=π-C.sin（A+B）=sinC= √22．若选择③ .（1）在△ABC中.因为a= √2 .c= √10 .b=4.由余弦定理可得cosC= a 2+b2−c22ab=2×√2×4= √22.因为C∈（0.π）.所以sinC= √1−cos2C = √22.所以S△ABC= 12 absinC= 12×√2×4×√22=2．（2）在△ABC中.A+B=π-C.sin（A+B）=sinC= √22．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.三角形的面积公式.正弦定理.两角和的正弦函数公式.余弦定理在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.属于中档题18.（问答题.0分）已知向量a⃗ =（2cosx.2sinx）. b⃗⃗ =（√3 cosx.cosx）.设函数f（x）= a⃗•b⃗⃗ - √3 .求：（1）f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若f(α2−π6)−f(α2+π12)=√6 .且α∈（π2.π）．求α．【正确答案】：【解析】：（1）f（x）解析式利用平面向量的数量积运算法则计算.再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简.整理后找出ω的值.代入周期公式即可求出最小正周期；由正弦函数的递增区间即可确定出f（x）的递增区间；（2）利用f（x）解析式化简已知等式求出sin（α- π4）的值.根据α的范围即可确定出α的度数．【解答】：解：f（x）= a⃗• b⃗⃗ - √3 =2 √3 cos2x+2sinxcosx- √3 =sin2x+ √3 cos2x=2sin（2x+ π3）；（1）∵ω=2.∴函数f（x）的最小正周期为T= 2π2π；由2kπ- π2≤2x+ π3≤2kπ+ π2.k∈Z.得kπ- 5π12≤x≤kπ+ π12.k∈Z.∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ- 5π12 .kπ+ π12].k∈Z；（2）∵f（α2 - π6）-f（α2+ π12）= √6 .∴2sinα-2cosα= √6 .∴2 √2 sin（α- π4）= √6 .∴sin（α- π4）= √32.∵α∈（π2 .π）.∴α- π4∈（π4. 3π4）.∴α- π4 = π3或2π3.∴α= 7π12或11π12．【点评】：此题考查了三角函数中的恒等变换应用.以及平面向量数量积的运算.熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.（问答题.0分）2018年11月5日上午.首届中国国际进口博览会拉开大幕.这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会．本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展．其中企业产品展分为7个展区.每个展区统计了备受关注百分比.如表：企业数的比值．（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家.求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中.任选2家接受记者采访．（ i）记X为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.求随机变量X的分布列；（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10%．记Y为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数．试比较随机变量X.Y 的均值E （X ）和E （Y ）的大小．（只需写出结论）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据题意计算对应的频率值.用频率估计概率即可； （Ⅱ）由题意知X 的可能取值.计算对应的概率值.写出它的分布列； （Ⅲ）结合题意得出E （X ）＞E （Y ）．【解答】：解：（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家. 其中备受关注的智能及高端装备企业共400×25%=100家.设从各展区随机选1家企业.这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A. 所以P （A ）=1003600 = 136；………………（4分）（Ⅱ）消费电子及家电备受关注的企业有60×20%=12（家）. 医疗器械及医药保健备受关注的企业有300×8%=24（家）.共36家． ∴X 的可能取值为0.1.2； 计算P （X=0）= C 242C 362 = 46105 .P （X=1）=C 121•C 241C 362 = 1635. P （X=2）= C 122C 362 = 11105 ；所以随机变量X 的分布列为：（Ⅲ）计算E （X ）.结合题意知E （X ）＞E （Y ）． …………（13分）【点评】：本题考查了古典概型的概率计算问题.也考查了离散型随机变量的分布列计算问题.是中档题．20.（问答题.0分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.PA⊥底面ABCD.AD || BC.AB=AC=AD=3.PA=BC=4．（1）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）设BCr 中点为E.由AB=AC.得AE⊥BC .以AE.AD.AP 所在的直线分别为x.y.z 轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角的余弦值．（2）求出平面PBC 的法向量和平面PAD 的一个法向量.利用向量法能求出平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【解答】：解：（1）设BCr 中点为E.由AB=AC.得AE⊥BC . ∴以AE.AD.AP 所在的直线分别为x.y.z 轴.建立空间直角坐标系.如图. 则A （0.0.0）.P （0.0.4）.D （0.3.0）.B （ √5，−2，0 ）.C （ √5 .2.0）. 设异面直线PB 与CD 所成角为θ. 则cosθ= |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √25•√6= 7√630 ． ∴异面直线PB 与CD 所成角的余弦值为 7√630 ． （2）设平面PBC 的法向量 n ⃗⃗ =（x.y.z ）.PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √5，−2，−4 ）. PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √5，2，−4 ）. 由 {PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗=√5x −2y −4z =0PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗=√5x +2y −4z =0 .取x=4.得 n ⃗⃗ =（4.0. √5 ）.平面PAD 的一个法向量 m ⃗⃗⃗ =（1.0.0）. 设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为α. 则cosα= |m ⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗||m ⃗⃗⃗⃗|•|n ⃗⃗|= 4√2121. ∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为 4√2121．【点评】：本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的余弦值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．21.（问答题.0分）已知函数f（x）=lnx-ax2+2ax．（Ⅰ）若a=-1.求曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤x恒成立.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（I）函数f（x）的定义域为（0.+∞）．当a=-1时.f（x）=lnx+x2-2x．利用导数的运算法则可得f′（0）.而f（1）=-1．利用点斜式即可得出．（ II）若f（x）≤x恒成立.即f（x）-x≤0恒成立．设g（x）=f（x）-x=lnx-ax2+（2a-1）．对a分类讨论.利用导数研究函数的单调性x．只要g（x）max≤0即可；g′（x）=- (2a+1)(x−1)x极值最值即可得出．【解答】：解：（I）函数f（x）的定义域为（0.+∞）．当a=-1时.f（x）=lnx+x2-2x．+2x−2 .∴ f′(x)=1xf′（0）=1.且f（1）=-1．所以曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程为y-（-1）=x-1.即x-y-2=0．（ II）若f（x）≤x恒成立.即f（x）-x≤0恒成立．设g （x ）=f （x ）-x=lnx-ax 2+（2a-1）x ．只要g （x ）max ≤0即可； g′（x ）=−2ax 2+(2a−1)x+1x =- (2a+1)(x−1)x． ① 当a=0时.令g′（x ）=0.得x=1． x.g′（x ）.g （x ）变化情况如下表：max ② 当a ＞0时.令g′（x ）=0.得x=- 12a （舍）.或x=1； x.g′（x ）.g （x ）变化情况如下表：max ③ 当a ＜0时.存在 x =2−1a ＞1 .满足g （2- 1a ）=ln （2- 1a ）＞0.所以f （x ）＜0不能恒成立.所以a ＜0不满足题意． 综上.实数a 的取值范围为[0.1]．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于难题．22.（问答题.0分）已知函数f （x ）=（3-x ）e x .g （x ）=x+a （a∈R ）（e 是自然对数的底数.e≈2.718…）．（1）求函数f （x ）的极值；（2）若函数y=f （x ）g （x ）在区间[1.2]上单调递增.求a 的取值范围； （3）若函数h （x ）=f (x )+g (x )x在区间（0.+∞）上既存在极大值又存在极小值.并且h （x ）的极大值小于整数b.求b 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数.解各有导函数的不等式.求出函数的单调区间.求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数.结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组.解出即可；（3）求出h （x ）的导数.问题转化为r （x ）在（0.+∞）上有2个不相等的实数根x 1.x 2（x 1＜x 2）.根据r （x ）的单调性求出-3＜a ＜-e.根据h （x 2）= e x 2 （2-x 2）+1.求出函数的导数.结合函数的单调性确定b 的最小值即可．【解答】：解：（1）f′（x ）=（2-x ）e x . 令f′（x ）＞0.解得：x ＜2. 令f′（x ）＜0.解得：x ＞2.故f （x ）在（-∞.2）递增.在（2.+∞）递减. 故f （x ）极大值=f （2）=e 2.无极小值； （2）由y=f （x ）g （x ）=（3-x ）（x+a ）e x . y′=e x [-x 2+（1-a ）x+2a+3]. 令m （x ）=-x 2+（1-a ）x+2a+3.函数y=f （x ）g （x ）在区间[1.2]上单调递增 等价于对任意x∈[1.2].m （x ）≥0恒成立. ∴ {m (1)≥0m (2)≥0 .解得：a≥-3； （3）h （x ）=(3−x)e x +x+ax .h′（x ）= e x (−x 2+3x−3)−a x 2. 令r （x ）=e x （-x 2+3x-3）-a.若函数h （x ）在区间（0.+∞）上既存在极大值又存在极小值. 则h′（x ）=0在（0.+∞）上有2个不相等的实数根.即r （x ）在（0.+∞）上有2个不相等的实数根x 1.x 2（x 1＜x 2）. r′（x ）=x （1-x ）e x .故r （x ）在（0.1）递增.在（1.+∞）递减. 则0＜x 1＜1. {r (0)＜0r (1)＞0.解得：-3＜a ＜-e.故r （ 32）＜0.∵r （x ）在（0.+∞）连续且r （0）r （1）＜0.r （1）r （ 32）＜0. ∴r （x ）=0在（0.1）和（1. 32）上各有1个实根.故函数h （x ）在（0.+∞）既存在极大值又存在极小值时.有-3＜a ＜-e. 并且在区间（0.1）上存在极小值f （x 1）.在区间（1. 32 ）上存在极大值f （x 2）. 故h （x 2）=(3−x 2)e x 2+x 2+ax 2.且h′（x 2）=e x 2(−x 22+3x 2−3)−ax 22=0.故a= e x 2 （- x 22 +3x 2-3）.h（x2）= (3−x2)e x2+x2+e x2(−x22+3x2−3)x2= e x2（2-x2）+1. 令H（x）=e x（2-x）.H′（x）=e x（1-x）.故H（x）在（1.+∞）递减.∵x2∈（1. 32）.∴h（32）＜h（x2）＜h（1）.即h（x2）∈（12e32 +1.e+1）.则3＜12e32 +1＜e+1＜4.∵h（x）的极大值小于整数b.∴满足题意的整数b的最小值是4．【点评】：本题考查了函数的单调性.极值.最值问题.考查导数的应用以及转化思想.是一道综合题．。

2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤【解析】根据交集定义直接求得结果. 【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤ 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2【解析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】 ∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200.【解析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯= ∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______． 【答案】13. 【解析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 5．函数21log y x =+______． 【答案】1[,)2+∞【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由201log 0x x >⎧⎨+≥⎩，得12x ≥，∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题. 6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 【考点】循环结构流程图7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为_______．【答案】2212016x y -=.【解析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程. 【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ==本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3.【解析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin 4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x 的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果. 【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______． 【答案】14. 【解析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q-=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果. 【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(0，1).【解析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】()f x 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1 【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______． 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==，即22016x y += 又()22008PC x y =-+且PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y += 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式. 13．如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD ，AB表示出CD，FA ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD=，从而得到结果.【详解】作//FG AD，交BD于点GAED FEG∆∆GF EGAD DE∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+==又23BCAD=，可得：2DE EG=3344DF DG EGDC DB EG∴===2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB=++=++=-()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22133312234422FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又2AB AD FA CD⋅=⋅223122AB AD∴=，即223122AB AD=3ABABAD AD∴==本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14．已知函数()1ln,111,122x xf xx x+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x≠，且()()122f x f x+=，则12x x+的取值范围是________.【答案】[32ln2,)-+∞【解析】首先可根据题意得出12x x、不可能同时大于1，然后令121x x，根据122f x f x即可得出122212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g xx x x 以及对函数12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）能力测试试题卷（宁大附中第一次模拟考试）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2650A x x x =-+≤，{}3B x y x ==-，A B 等于A ．[1,)+∞B ．[]1,3C ．(3,5]D ．[]3,52．复数(2)i i +的实部为A ．1-B ．1C ．2-D ．23．已知向量(),1a x =，()3,6b =，若a b ⊥，则x 的值为 A ．2B ．12C ．12-D ．2-4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点()3,4，则该双曲线的离心率为A ．54B ．53C ．43 D ．355．疫苗是解决“新冠病毒”的关键，为了早日生产“新冠病毒”疫苗，某研究所计划建设n 个实验室，从第1到第n 实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用高15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元，现在总共有建设费用438万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是 A ．10个B ．11个C ．12个D ．13个6．已知两条直线m ，n 和平面α，且//n α，则“m n ⊥”是“m α⊥”的（）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．执行如图所示的程序框图，若输入的N 值为100，则输出的结果s 是A ．50101 B ．100101C ．101102D ．511038．文房四宝是中国独有的书法绘画工具(书画用具)，即笔、墨、纸、砚.文房 四宝之名，起源于南北朝时期，自宋朝以来“文房四宝”则特指宣笔(安徽宣城)、徽墨(安徽徽州歙县)、宣纸(安徽宣城泾县)、歙砚(安徽徽州歙县)、 洮砚(甘肃卓尼县)、端砚(广东肇庆，古称端州).若从上述“文房四宝”中 任取两种，则恰好这两种都是“砚”的概率为 A ．15B ．14C ．13D ．129．若奇函数()f x ()x R ∈满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(5)f =A ．52 B ．25C ．32D ．2310．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321n n S a =-，则135a a a =A ．8B ．-8C ．64D ．-6411．已知函数()f x 的图像向左平移6π个单位后，得到函数()cos2g x x =的图像，则函数()f x 的单调递增区间为A ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈D ．2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈12．已知抛物线C :()220xpy p =>的焦点为F ，P 为抛物线C 上的一点，过PF 的中点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，且30FPN ∠=︒，2FN =，则p 的值是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____. 14．在区间[]3,1-上随机取一个数x ，若事件:A x m ≤的概率为34，则m 的值为______. 15．设,x y 满足24122x y x y x y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则z x y =+的最大值为___________.16．若正四棱锥的侧面均是正三角形，且它的表面积是8+__________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

南师附中2020-2021学年度第一学期高三期中考试数学试题注意事项:1考试时间: 120 分钟,试卷满分150分。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上。

3.请用0.5术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答:在其它位置作答- 一律无效;考试结束后,请将答题纸、卡交回。

一、单项选择题1.已知集合A={x|(x-1）2<4,x∈R{,B={-2,-1,0,1,2}，则A∩B= ( )A. {-1,0,1,2}B. {0,1,2}C. {-0,1}D. {12}2.设z=2+i1−i,则z的虚( )A. {-1,0,1,2}B. {0,1,2}C. {-0,1}D. {1.2}3.设m,n∈R ,则"mn<0"是“抛物线m x2+ny = 0的焦点在y轴正半轴上”的( )A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要4.设λ为实数，已知向量m⃗⃗ =(-1,2),n⃗=(1,2).若m⊥n ,则向量m+2n⃗与m之间的夹角为( )A.π4B.π3C. 2π3d.3π45.春夏时期《管子:地缘篇》记载了著名的“三分损益法”:以“宫”为基本音, "宫”经过一次"损”,频率变为原来的32，得到“徵”;“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34,得到“.....依次损益交替变化,获得了“宫、徵、商、羽角”五个音阶据此可推得( )A.“宫、商、角”的频率成等比数列B.“宫、徵、商”的频率成等比数列C.“商、羽、角”的频率成等比数列D.“徵、商、羽”的频率成等比数列6.若函数f(x)= Asin(ωx +φ)(A >0, ω> 0,0<φ < Tr )的部分图像如图所示,则函数f(x)图像的一条对称轴是（ ）A. x= —5π6 B. x=一11π12 C. x=11π12 D. 11π67.函数f((x)=e x -x 2-2x(x ∈R)的图像大致为( )8.设实数k ,已知函数f(x)={e x o ≤x <1x −1 ，x ≥1,若函数f(x)-k 在区间(0,+∞)上有两个零点x 1,x 2 (x 1<x 2) ,则(x 2—x 1)f(x 1)的取值范围是( ).A. [ 1 ,e 2]B. [—1,e)C. [e , e 2)D. [2 e 2)9.某人退休前后各类支出情况如下,已知退休前工资收入为8000元月,退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面结论中正确的是( )A.该教师退休前每月储蓄支出2400元B.该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C.该教师退休I资收入为6000元月D.该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少10.在平面直角坐标系xoy中,已知双曲线C: :x2a2—y2b2=1 (a> 0,b> 0)的焦点在圆O:x2+y2=20.上,圆0与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点,若点E(0,3)满足ME⊥ON ( 0为坐标原点),下列说法正确的有( )A.双曲线C的虚轴长为4B.双曲线的离心率为√5C.双曲线C的一条渐近线方程为y=32xD.三角形OMN的面积为811.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2 , E、F分别为B B1、CD中点，P是棱B C1D1上的动点,则下列说法正确的有( )A. A1F⊥AEB.三棱锥P- AE D1的体积与点P位置有关系C.平面AE D1截正方体ABCD - A1B1C1D1.的截面面积为D.点A到平面AED,的距离为√212.已知函数f(x)=x2π+ cosx—π4(x∈R) ,则下列说法正确的有( )A.直线y=0为曲线y=f(x)的一条切线;B. f(x)的极值点个数为3 ;C. f(x)的零点个数为4;D.若f(x1)=f(x2)( x1≠x2) ,则x1+x2=0.三、填空题 13.二项式 ( 2x —1√x )2的展开式中x 3的系数为______________ 14.已知a 、β均为锐角,且sina=√210,cos(a+p)=2√55 ,则cos2β=_______________15.设a, b 为实数,对于任意的a ≥2 , 关于x 的不等式x ≤e ax+b ( e 为自然对数的底数)在实数域R.上恒成立，则b 的取值范围为_______________16.农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽敉,俗称“粽子”，古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为√2的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为_______________ ; 若该六面体内有一球,则该球表面积的最大值为_______________.三、解答题17.在△ABC 中,设内角A, B, C 所对的边分别为a,b,c ,已知bcosC +ccosB=—4cos A,a= 2.(1)求角A 的值;(2 )若三角形ABC 的面积为√33,求△ABC 的周长.18.已知函数f(x)=a x( a为常数, a>0且a≠1 )(1 )在下列条件中选择一个条件___ (仅填序号),使得依次条件可以推出数列{an }为等差数列,并说明理由;①数列{f(a n)}是首项为4 ,公比为2的等比数列;②数列{f(a n)}是首项为4,公差为2的等差数列;③数列{f(a n)}是首项为4 ,公比为2的等比数列的前n项和构成的数列;)N(n∈N∗) ,求数列{a n. b n}的前n项和S n，(2)在( 1 )的选择下,若a=2,b=(1219.如图,在四棱锥ABCD-A1B1C1D1.中,底面ABCD是菱形，AB=1 ,∠ABC= 60° ;，A A1=A1B1.=12A A1⊥平面ABCD ,点E是棱BC上一点( 1)若E时BC中点，求证:平面A1DE⊥平面C C1D1D;,求线(2)即二面角E-A D1—D的平面角为θ ,且|cosθ|=13段CE的长.20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行,共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ,已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270,52).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制),最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分,负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队,设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1).( I )如果比赛准备了1000个排球,估计质量指标在( 260 , 265]内的排球个数(计算结果取整数).(2)第10轮比赛中,记中国队3: I取胜的概率为f(p).( i )求出f(p)的最大值点p0;(ii)若以p0作为p的值记第10轮比赛中,中国队所得积分为X,求X的分布列.参考数据:ζ ~N(u,σ2),则p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826,p(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9644.21.设a为实数，已知函数f(x)=e x+ae−x+(1-a)x-2.(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)当a ≥1时,若f(x)有两个不同的零点,求a 的取值范围.22.在平面直角坐标系xoy 中,已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2 =1(a> b>0 )的离心率为12, 以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为2√3(1)求a,b 的值;”(2 )当过点P(6,0)的动直线1与椭圆C 交于不同的点A,B 时,在线段AB 上取点Q ，使得|AP⃗⃗⃗⃗⃗ | |BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ || BP ⃗⃗⃗⃗⃗ | ,问:点Q 是否总在某条定直线上?若是,求出该直线方程,若不是,说明理由.。

2021届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考数学（文）试题一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，若，则实数__________．【答案】1【解析】由题意得,验证满足点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.2. 设复数满足（为虚数单位），则__________．【答案】【解析】,,3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则__________．【答案】【解析】由题意得，所以4. 已知的三边长成公比为的等比数列，则最大的余弦值为__________．【答案】【解析】由题设三边长分别为:a,,2a,且2a为最大边,所对的角为,由余弦定理得:5. 设是定义在上的周期为2的函数，当时，则__________．【答案】1【解析】∵周期为2,∴6. 设为等比数列的前项和，，则__________．【答案】-11【解析】试题分析：通过，设公比为，将该式转化为，解得，代入所求式可知答案．考点：等比数列的前n项和．7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式组的解集用区间表示为__________．【答案】【解析】由是定义在上的奇函数，当时，解得8. 函数,(,,是常数，，)的部分图象如图所示，则__________．【答案】【解析】由的图象可得函数的周期T满足=− , 解得T=π=又∵ω>0，故ω=2又∵函数图象的最低点为(,−)故A=且sin(2×+φ)=−即+φ=故φ=∴f(x)=sin(2x+)∴f(0)=sin=故答案为：9. 已知函数在区间（）上存在零点，则__________．【答案】5【解析】函数是连续的单调增函数,, , 所以函数的零点在之间,所以n=510. 区域是由直线、轴和曲线在点处的切线所围成的封闭区域，若点区域内，则的最大值为__________．【答案】2【解析】由题意知，f(x)在（1，0）处的切线方程为y=x-1，如图，可行域为阴影部分，易求出目标函数z=x-2y的最优解（0，-1），即z的最大值为2.11. 如图，在中，，，，则的值为__________．【答案】-2【解析】试题分析：考点：向量数量积12. 已知等差数列的首项为，公差为-4，其前项和为，若存在，使得，则实数的最小值为__________．【答案】15【解析】试题分析：由题意得，即，当且仅当时取等号，因为，又，所以实数的最小值为考点：等差数列求和，不等式求最值13. 已知函数（）与，若函数图像上存在点与函数图像上的点关于轴对称，则的取值范围是__________．【答案】【解析】设点在函数上，由题意可知，点P关于y轴的对称点在函数上，所以，消，可得，即，所以令，，问题转化为函数与函数在时有交点。

江苏省南京师范大学附属中学2021届高三数学模拟试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3+4i，则z1z2＝（）A．﹣25 B．25 C．7﹣24i D．﹣7﹣24i2．已知集合A＝（3，+∞），集合B＝{x|3x＞9}，则x∈A是x∈B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知，为单位向量，且•＝0，若＝3﹣，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．4．函数的图象大致是（）A．B．C．D．5．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔．则该塔的阶数是（）A．10 B．l1 C．12 D．136．若，则实数λ的值为（）A．3 B．C．2 D．47．已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝2，点E为BC边的中点将△ABE沿AE翻折，得到四棱锥B ﹣AECD，且平面BAE⊥平面AECD，则四面体B﹣ECD的外接球的表面积为（）A．B．4πC．D．5π8．已知（a≠2），（b≠3），（c≠4），则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．高三（1）班有45人，拟采用无记名投票方式从5名候选人中选出3名优秀学生．选举规则为每人必须投且只能投一票，限在候选人中选择，候选人获票数居前三名的当选在当选的3名候选人中，由票数高低决定获奖等次，分别为省级三好学生、市级三好学生、区级三好学生．由事前的民意调查得知，候选人张某的得票数刚好达到候选人得票数的平均数，如果张某决定投自己一票，请问下面预测张某当选结果中正确的有（）A．不可能获省三好学生称号B．可能获市三好学生称号C．一定能获奖D．可能落选10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A．f（x）的周期为πB．f（x）的单调递减区间是（k∈Z）C．f（x）的图象的对称轴方程为（k∈Z）D．f（2020）+f（2021）＝011．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F2＝2c．直线l：y＝k（x+c）（k∈R）与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（）A．△ABF2的周长为4aB．若AB的中点为M，则C．若，则椭圆的离心率的取值范围是D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率12．将2n（n∈N*）个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限．记2个盒子中最少的球数为X（0≤X≤n，X∈N*），则下列说法中正确的有（）A．当n＝1时，方差B．当n＝2时，C．∀n≥3，∃k∈[0，n）（k，n∈N*），使得P（X＝k）＞P（X＝k+1）成立D．当n确定时，期望三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南京2021-2022学年高三上学期第一次调研检测数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合290240{},{},A x x B x x =-≤=->则A B ⋂=A.3(,]-∞-B.3[,)-+∞C.D.23(,]2.已知2a ii+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a = A.2- B.12-C.12D.23.“1m =”是“直线304x y m ++=与圆2220x y x +-=相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要 条件 D.既不充分也不必要条件4.已知,a b 为单位向量，且43()(),a b a b -⊥+则,a b 夹角的余弦值为 A.7-11 B.1-11 C.111 D.7115.将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有A. 24种B.36种C. 60种D.72种6.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222100:(,)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,,F F 过2F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,P Q 两点，1F Q 与y 轴的交点为,R 1,F Q PR ⊥则C的离心率为2【答案】B7.取一条长度为1的线段,将它三等分,去掉中间一段,留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分,各去掉中间一段,留剩下的更短的四段;……;将这样的操作一直继续下去,直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中,所形成的线段数目越来越多,长度越来越小,在极限的情况下，得到一个离散的点集,称为康托尔三分集.若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为A.6B. 7C.8D.98. 已知01,,(,),a b c ∈且22223212223ln ,ln ,ln a a e b b e c c e -+=-+=-+=，其中e 是自然对数的底数，则A.a b c >>B. a c b >>C.c a b >>D.c b a >>二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.房地产市场与城市经济发展密切相关,更与百姓的生活密切相关.按照房地产市场经济理论，房屋销售量与房价有密切关系.下图是某城市过去一年中七个楼盘的新房成交均价与成交面积折线图,则下列结论中正确的是A. 这七个楼盘中,每个楼盘的成交均价都在[88.8,120.0]内B. 这七个楼盘中,楼盘2的成交总额最大C. 这七个楼盘﹐成交面积的平均值低于200D. 这七个楼盘,成交面积与成交均价呈负相关10. 已知m,n 是两条不同的直线,a,β,是三个不同的平面.下列说法中正确的是 A.若m//a,m ⊂β,a∩β=n ,则m// n B.若m//n,m //α,则n// α C.若a∩β=n ,α⊥β，βγ⊥,则n γ⊥ D.若,,//m m αβαγ⊥⊥,则//βγ11.设正实数x ，y 满足12=+y x ，则 A.xy 的最大值是41B.y x 12+的最小值是9C.224y x +的最小值为21D.y x +2的最大值为212.已知()x f 是周期为4的奇函数，且当20≤≤x 时，()⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,x x x x x f ，设()()()1++=x f x f x g ，则A.函数()x g y =为周期函数B.函数()x g y =的最大值为2C.函数()x g y =在区间()8,7上单调递增D.函数()x g y =的图像既有对称轴又有对称中心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.将函数x y cos =的图像向右平移()0>ϕϕ个单位长度，所得图像与x y sin =的图像重合，则ϕ的一个可能的值为 .（写出一个正确答案即可）14. 已知()*∈⎪⎭⎫⎝⎛+N n x n211的展开式中2x 的系数是7，则=n ；若r x 与1+r x ()N r ∈的系数相等，则=r .15.如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于某焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A ，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，AFB ∠是馈源的方向角，记为θ.焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比值df称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线的焦径比等于5.0，那么馈源方向角θ的正切值为 .16.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆和PBC ∆都是边长为32的正三角形，23=PA .若M 为三棱锥ABC P -外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，137a S =，且1a ，22+a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若⎩⎨⎧=为偶数，为奇数，n n n a b n n ，求数列{}n b 的前n 2项和n T 2.18.（本小题满分12分） 请在①2=⋅AC AB ；②734sin =B ；③5=+b a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()A B C A sin sin sin =+-，2=c ， ，若该三角形存在，求该三角形的面积；若该三角形不存在，请说明理由.19.科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[)26,21，[)31,26，[)36,31，[)41,36，[]46,41（单位：mm ）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm 及以上的为“大果”.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有%9.99的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X 服从正态分布()2,σμN ，其中μ近似为样本平均数x ，5.5≈σ，请估计对照园中果径落在区间()50,39内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：①()()()()()d b c a d c b a bc ad n x ++++-=22②若X 服从正态分布()2,σμN ，则()683.0=σ+μ<<σ-μX P ，()954.022=σ+μ<<σ-μX P ，()997.033=σ+μ<<σ-μX P20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，2=AC ，4=BC ，PAC ∆为正三角形，D 为AB 的中点，PD AC ⊥，︒=∠90PCB .（1）求证：PAC BC 平面⊥；（2）求PD 与平面PBC 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:C ()012222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为A ，B .F 是椭圆C 的右焦点，且FB AF 3=，3=⋅FB AF . （1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若()121=+k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标.22.设函数()()x e a x x f -=2，R a ∈，e 是自然对数的底数. （1）若3=a ，求函数()x f 的极值；（2）当0≥x 时，()0≥++a x x f ，求a 的取值范围.答 案三、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合290240{},{},A x x B x x =-≤=->则A B ⋂=A.3(,]-∞-B.3[,)-+∞C.D.23(,]【答案】D【解析】33223[,](,)(,],A B ⋂=-⋂+∞=故选D32[,)-2.已知2a ii+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a = A.2- B.12-C.12D.2 【答案】C 【解析】2212255()()()()=,a i a i i a a i i +++-++=-若为纯虚数，则12102,a a -==，故选C3.“1m =”是“直线304x y m ++=与圆2220x y x +-=相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要 条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题意可知，圆心为10(,),半径为1，若直线和圆相切，则圆心到直线的距离为41195,,,m d m +===-所以为充分不必要条件，所以选A4.已知,a b 为单位向量，且43()(),a b a b -⊥+则,a b 夹角的余弦值为A.7-11 B.1-11 C.111 D.711【答案】B【解析】由题意可知，431110()()=cos ,a b a b a b θ-•++=所以1cos -，11θ=故选B5.将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有B. 24种 B.36种C. 60种D.72种 【答案】B【解析】234336,C A =故选B6.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222100:(,)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F 过2F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,P Q 两点，1F Q 与y 轴的交点为,R 1,F Q PR ⊥则C 的离心率为2【答案】B【解析】由题意可知1,PQ PF =22b c a⋅=，故e = B7.取一条长度为1的线段,将它三等分,去掉中间一段,留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分,各去掉中间一段,留剩下的更短的四段;……;将这样的操作一直继续下去,直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中,所形成的线段数目越来越多,长度越来越小,在极限的情况下，得到一个离散的点集,称为康托尔三分集.若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为A.6B. 7C.8D.9 【答案】C【解析】第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为2133⨯，第三次操作去掉的线段长度之和为221333⨯⨯，...，第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，由题意可知，12113360n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭≥，则21330n⎛⎫⎪⎝⎭≥，则2lg lg301lg33n -=--≥，所以()lg2lg31lg3n ---≥，即1lg 3lg 3lg 2n +-≤，又lg 20.3010,lg30.4771≈≈，带入上式，可得8n ≤9. 已知01,,(,),a b c ∈且22223212223ln ,ln ,ln a a e b b e c c e -+=-+=-+=，其中e 是自然对数的底数，则A.a b c >>B. a c b >>C.c a b >>D.c b a >> 【答案】A【解析】设()()22ln ,e x f x x x g x x =-=-，则()()()()()()1,2,3f a g f b g f c g ===， 又()()'e 100x g x x =-＞＞，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 所以()()()321g g g ＞＞，即()()()f c f b f a ＞＞，因为()()()()2212'200,1x f x x x x x-=-=∈＜，所以()f x 在()0,1上单调递减，所以a b c ＞＞四、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.房地产市场与城市经济发展密切相关,更与百姓的生活密切相关.按照房地产市场经济理论，房屋销售量与房价有密切关系.下图是某城市过去一年中七个楼盘的新房成交均价与成交面积折线图,则下列结论中正确的是E. 这七个楼盘中,每个楼盘的成交均价都在[88.8,120.0]内F. 这七个楼盘中,楼盘2的成交总额最大G. 这七个楼盘﹐成交面积的平均值低于200H. 这七个楼盘,成交面积与成交均价呈负相关 【答案】BD【解析】由楼盘2,3,4,5的数据可知，A 错误； 计算七个楼盘各自的成交总额可知，B 正确； 成交面积的均值1123894212401978011145020077++++++=＞，C 错误；7个楼盘整体呈现均价越低，则成交面积越大的趋势，D 正确.10. 已知m,n 是两条不同的直线,a,β,是三个不同的平面.下列说法中正确的是 A.若m//a,m ⊂β,a∩β=n ,则m// n B.若m//n,m //α,则n// α C.若a∩β=n ,α⊥β，βγ⊥,则n γ⊥ D.若,,//m m αβαγ⊥⊥,则//βγ 【答案】ACD【解析】由线面平行的性质定理可知，A 正确； 若,m m n α∥∥，则n α∥或n α⊆，即B 错误； 设,αβ的法向量分别为,a b ，若n αβ=，则,n n ⊥⊥a b ，又,αγβγ⊥⊥，则γγ∥,∥a b ，所以n γ⊥，即C 正确；若,m m αβ⊥⎰，则αβ∥，又αγ∥，则βγ∥，即D 正确.11.设正实数x ，y 满足12=+y x ，则 A.xy 的最大值是41B.y x 12+的最小值是9C.224y x +的最小值为21D.y x +2的最大值为2 【答案】BC【解析】因为21x y +=≥18xy ≤，A 错误；()2121222559y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥，B 正确；()22221422x y x y ++=≥，即C 正确；2122x y +=+≥D 错误.12.已知()x f 是周期为4的奇函数，且当20≤≤x 时，()⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,x x x x x f ，设()()()1++=x f x f x g ，则A.函数()x g y =为周期函数B.函数()x g y =的最大值为2C.函数()x g y =在区间()8,7上单调递增D.函数()x g y =的图像既有对称轴又有对称中心 【答案】ACD【解析】由()()4f x f x +=，所以()()()()()()4451g x f x f x f x f x g x +=+++=++=，A 正确；易知()()11f x f =≤，所以()()12f x f x ++≤，又()1f x =与()11f x +=不能同时取等， 所以()2g x ＜，B错误；当()7,8x ∈时，()()81,0,70,1x x -∈--∈，所以()()()()887g x g x f x f x =-=-+-，所以()()()()8787215g x f x f x x x x =--+-=--+-=-，单调递增，C 正确；作图可知，()g x 关于12x =成轴对称，关于1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.将函数x y cos =的图像向右平移()0>ϕϕ个单位长度，所得图像与x y sin =的图像重合，则ϕ的一个可能的值为 .（写出一个正确答案即可） 【答案】π2（满足即可） 【解析】因为πcos sin 2x ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π2ϕ=满足.15. 已知()*∈⎪⎭⎫⎝⎛+N n x n211的展开式中2x 的系数是7，则=n ；若r x 与1+r x ()N r ∈的系数相等，则=r . 【答案】8;2【解析】由题意，221C 72n⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，则()156n n -=，解得8n =，由118811C C 22r r r r ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1882C C r r +=，即()()()28!8!!8!1!7!r r r r ⨯=⋅-+⋅-，即2181r r =-+， 解得2r =.15.如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于某焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A ，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，AFB ∠是馈源的方向角，记为θ.焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比值df称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线的焦径比等于5.0，那么馈源方向角θ的正切值为 .【答案】247-【解析】设抛物线方程为()220y px p =＞，则2p f =，又0.5fd =，所以d p =， 所以,,,8282p p p p A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线BF 的斜率42328pk p p ==-，所以4tan 23θ=，所以8243tan 16719θ==--.16.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆和PBC ∆都是边长为32的正三角形，23=PA .若M 为三棱锥ABC P -外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为 .1【解析】设BC 中点为T ，ABC △的外心为1O ，PBC △的外心为2O ，球心为O ， 易知3PT AT ==，又PA =PT AT ⊥，所以平面PBC ⊥平面ABC ，所以四边形12OO TO 是边长为1的正方形，所以外接球半径R ===， M 到平面ABC的距离11d R OO +=≤.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，137a S =，且1a ，22+a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若⎩⎨⎧=为偶数，为奇数，n n n a b n n ，求数列{}n b 的前n 2项和n T 2.【解析】(1)因为137a S =，所以，712=++q q解得（舍）； 又1a ，22+a ，3a 成等差数列， 所以2（22+a ）=1a +3a ，解得41=a ， 所以{}n a 的通项公式为12+=n n a .(2)因为⎩⎨⎧=为偶数，为奇数，n n n a b n n ，所以)1(344)2...64164()2...642(122++-=+++++++++=+n n n T n nn . 3,2-==q q18.（本小题满分12分） 请在①2=⋅AC AB ；②734sin =B ；③5=+b a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()A B C A sin sin sin =+-，2=c ， ，若该三角形存在，求该三角形的面积；若该三角形不存在，请说明理由.【解析】选③，因为πA B C ++=，所以()()()sin sin πsin sin cos sin cos B A C A C A C C A =-+=+=+， 又()sin sin cos sin cos A C A C C A -=-，所以()sin sin 2sin cos A C B A C -+=， 又()sin sin sin A C B A -+=，所以1cos 2C =，即π3C =， 因为2c =，由余弦定理可知，()22242cos 3a b ab C a b ab =+-=+-， 即()()223434a b a b ab ++-=≤，所以4a b +≤，即5a b +=不可能成立，该三角形不存在.19.科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[)26,21，[)31,26，[)36,31，[)41,36，[]46,41（单位：mm ）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm 及以上的为“大果”.（3）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有%9.99的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；（4）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X 服从正态分布()2,σμN ，其中μ近似为样本平均数x ，5.5≈σ，请估计对照园中果径落在区间()50,39内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：①()()()()()d b c a d c b a bc ad n x ++++-=22②若X 服从正态分布()2,σμN ，则683.0=σ+μ<<σ-μX P ，)954.022=σ+μ<<σ-μX P ，()997.033=σ+μ<<σ-μX P【解析】（1）列联表如下：合计 100100 200()222006070304020010.8281001009011011χ⨯-⨯==⨯⨯⨯＞，所以有99.9%的把握认为两者有关； （2）由题中数据，23.50.128.50.233.50.438.50.243.50.133.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 则()()0.9970.683395030.1572P X P X μσμσ-=++==＜＜＜＜.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，2=AC ，4=BC ，PAC ∆为正三角形，D 为AB 的中点，PD AC ⊥，︒=∠90PCB .（1）求证：PAC BC 平面⊥；（2）求PD 与平面PBC 所成角的正弦值.【解析】（1）证明：作AC 的中点O ，连接,OD OP ， 因为PAC △是正三角形，所以OP AC ⊥，又,,,AC PD PD OP P PD OP ⊥=⊂平面POD ，所以AC ⊥平面POD ， 又OD ⊂平面POD ，所以AC OD ⊥， 因为OD BC ∥，所以AC BC ⊥， 又,,,PC BC PCAC C PC AC ⊥=⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ；（2）以{},,OA OD OP 为,,x y z 轴非负半轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()1,0,0,0,2,0,1,4,0,0,0,3C D B P --， 所以()()()1,0,3,0,4,0,0,2,3CP CB PD ===-，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则3040m CP x z m CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取3x =，则()3,0,1m =-，设PD 与平面PBC 所成角为θ，则sin 144m PD m PDθ⋅==⋅.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:C ()012222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为A ，B .F 是椭圆C 的右焦点，且FB AF 3=，3=⋅FB AF . （1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若()121=+k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标.【解析】（许志伟）（1）13422=+y x ；（2）设直线l 方程为m kx y +=，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y ，整理得()0124834222=-+++m mkx x k348221+-=+k mk x x 341242221+--=k m x x()()()()424222221212121221121+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+x x x x mx x m k x kx k x y x y k k k k 化简得()()052=--k m k m ，所以k m 2=或k m 5= 对应直线方程分别为k kx y 2+=，k kx y 5+=故过定点()0,2-，()0,5-，因为l 不过()0,2-A ,所以过()0,5-.1161642412222=+--=k mk m k mk22.设函数()()x e a x x f -=2，R a ∈，e 是自然对数的底数. （1）若3=a ，求函数()x f 的极值；（2）当0≥x 时，()0≥++a x x f ，求a 的取值范围.【解析】(许志伟）（1）()()x e x x f 32-=，()()()()3132'2+-=-+=x x e x x e x f x x ，所以()x f 在()3,-∞-，()+∞,1单增，()1,3- 单减， 所以极大值()363ef =-，极小值()e f 21-=， （2）()()()a x e a x a x x f x g x ++-=++=2，()00=g ，()()12'2+-+=a x x e x g x ，()10'+-=a g ， ()()a x x e x g x -++=24''2，()a g -=20''，①当01≥+-a ，即1≤a 时，()0''>x g ，所以()x g '单增，()()00''≥≥g x g ， 所以()x g 单增，()()00=≥g x g ，符合题意.②当01<+-a ，即1>a 时，00>∃x ，使得当()0,0x x ∈时()0'<x g ，所以()x g 在()0,0x 单减，()()00=<g x g ，矛盾，所以舍去. 综上1≤a .。

南京市2021届高三年级期初学情调研数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝A．{x |－1＜x ＜3}B．{x |－1＜x ＜1}C．{x |1＜x ＜2}D．{x |2＜x ＜3}2．已知(3－4i )z ＝1＋i，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且|a ＋b |＝3，则a 与b 的夹角为A．π6B．π3C．5π6D．2π34．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (43，0)到双曲线C ：22a x －92y ＝1的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为A．2B．4C．2D．35．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ≤2a －c ，则角B 的取值范围是A．(0，π3]B．(0，2π3]C．[π3，π)D．[2π3，π)6．设a ＝log 49，b ＝2－1.2，c ＝(827)－13，则A．a ＞b ＞cB．b ＞a ＞cC．a ＞c ＞b D．c ＞a ＞b7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：(x －1)2＋y 2＝1，点B (3，0)，过动点P 引圆A 的切线，切点为T ．若PT ＝2PB ，则动点P 的轨迹方程为A．x 2＋y 2－14x ＋18＝0B．x 2＋y 2＋14x ＋18＝0C．x 2＋y 2－10x ＋18＝0D．x 2＋y 2＋10x ＋18＝08．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (1＋x )＝f (1－x )．若当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 2(2x ＋3)，则f (932)的值是A．－3B．－2C．2D．3注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡上。