人大附中2021届高三数学试卷及答案

人大附中2021届高三数学试卷

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，

，则A B =（ ）

A.{

}4

π

B.}

C.{(}4π

D. 以上答案都不对

2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（ ）

A ．2- B.2 C.12-

D.1

2

3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）

A.1

2

y x = B.1sin sin y x x

=+

C.2log y x =

D.x x y e e -=-

4. 已知抛物线2

12y x =-的焦点与双曲线22

14

x y a -=的一个焦点重合，则a =（ ）

C.5

D.

5. 已知3log 6a =，54log b =，若12

log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（ ）

A.

1

8

B.

14

C.

12

D.1

6．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（ ）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

8. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23

x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）

A. (2)(2)(0)f f f <-<

B.(0)(2)(2)f f f <<-

C. (2)(0)(2)f f f -<<

D.(2)(0)(2)f f f <<-

9．已知二次函数2

()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有

()0f x ≥，则

(1)

'(0)

f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．

52 D ．32

10.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们 还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且

,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最

后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ） A. 每场比赛的第一名得分a 为4 B.甲至少有一场比赛获得第二名 C.乙在四场比赛中没有获得过第二名 D.丙至少有一场比赛获得第三名

二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则

11i

i

-+的虚部为 ． 12．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆

的离心率为 ．

13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a

234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+=

14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：

①是等腰三角形； ②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P . 则椭圆的离心率的取值范围是 ．

15.已知集合{

}

22

()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论：

① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；

22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C

②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；

③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；

④白色“水滴”图形的面积是

1136

π-.

其中正确的有 ．

三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分）

已知2

()sin cos cos ()4

f x x x x π

=-+.

（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；

（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

,求ABC ∆面积的最大值.

17. （本小题满分12分）

设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．

（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；

（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．