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[A基础达标]1．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击中的环数之和记为X；③一个在数轴上随机运动的质点，它离原点的距离记为X.其中是离散型随机变量的是()A．①②B．①③C．②③D．都不是解析：选A.①②中变量X所有可能的取值可以一一列举出来，是离散型随机变量，而③中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．2．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为()A．0≤X≤5，X∈NB．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈ND．－5≤X≤5，X∈Z解析：选D.两次掷出点数均可取1～6所有整数，所以X∈[－5，5]，X∈Z.3．下列变量中，不是离散型随机变量的是()A．某教学资源网1小时内被点击的次数B．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数YC．某饮料公司出品的饮料，每瓶标量与实际量之差X1D．北京“鸟巢”在某一天的游客数量X答案：C4．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为() A．X＝4B．X＝5C．X＝6 D．X≤4解析：选C.第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球…共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.5．掷两颗骰子，所得点数之和为γ，那么γ＝4表示的随机试验结果是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．两颗都是4点D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析：选D.因为γ＝4表示两个骰子之和为4，有(3，1)，(1，3)，(2，2)，即γ＝4表示的随机试验结果是一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点，故选D.6．给出下列四个命题：①某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；②黄河每年的最大流量是随机变量；③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；④方程x2－2x－3＝0根的个数是随机变量．其中正确的是________．解析：①②③是正确的，④中方程x2－2x－3＝0的根有2个是确定的，不是随机变量．答案：①②③7．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X＞4”表示的试验结果是________．解析：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得－5≤X≤5，也就是说“X＞4”就是“X＝5”．所以，“X＞4”表示两枚骰子中第一枚为6点，第二枚为1点．答案：第一枚为6点，第二枚为1点8．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．解析：若答对0个问题得分－300；若答对1个问题得分－100；若答对2个问题得分100；若问题全答对得分300.答案：－300，－100，100，3009．判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量？(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号码；(2)体积为27 cm3的正方体的棱长．解：(1)抽出卡片的号码是不确定的，是随机变量．被抽取的卡片号码可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量．(2)体积为27 cm 3的正方体的棱长为3 cm ，为定值，不是随机变量．10．写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量的取值表示的事件．(1)在含有5件次品的200件产品中任意抽取4件，其中次品件数X 是一个随机变量；(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数Y 是一个随机变量．解：(1)随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4.X ＝0，表示“抽取0件次品”；X ＝1，表示“抽取1件次品”；X ＝2，表示“抽取2件次品”；X ＝3，表示“抽取3件次品”；X ＝4，表示“抽取4件次品”．(2)随机变量Y 的可能取值为0，1，2，3.Y ＝0，表示“取出0个白球，3个黑球”；Y ＝1，表示“取出1个白球，2个黑球”；Y ＝2，表示“取出2个白球，1个黑球”；Y ＝3，表示“取出3个白球，0个黑球”．[B 能力提升]11．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ＝k 表示的试验结果为( )A ．第k －1次检测到正品，而第k 次检测到次品B ．第k 次检测到正品，而第k ＋1次检测到次品C ．前k －1次检测到正品，而第k 次检测到次品D ．前k 次检测到正品，而第k ＋1次检测到次品解析：选D.由题意，前ξ个均为正品，故ξ＝k 表示前k 次检测到正品，第k ＋1次检测到次品．12．已知Y ＝2X 为离散型随机变量，Y 的取值为1，2，3，4，…，10，则X 的取值为________．解析：由Y ＝2X 得X ＝12Y . 因为Y 的取值为1，2，3，4， (10)所以X 的取值为12，1，32，2，52，3，72，4，92，5. 答案：12，1，32，2，52，3，72，4，92，5 13．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X ，所含红粉笔的支数Y ；(2)离开天安门的距离Y ；(3)袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数X .解：(1)X 可取1，2，3.{X ＝i }表示取出i 支白粉笔，3－i 支红粉笔，其中i ＝1，2，3.{Y ＝j }表示取出j 支红粉笔，3－j 支白粉笔，其中j ＝0，1，2.(2)Y 可取[0，＋∞)中的数．Y ＝k 表示离开天安门的距离为k (km)．不是离散型随机变量．(3)X 可取所有的正整数．{X ＝i }表示前i －1次取出红球，而第i 次取出白球，这里i ∈N ＋.是离散型随机变量．14．(选做题)投掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X ，所得点数之和是偶数为Y .写出随机变量可能的取值，并说明所表示的随机试验结果．解：若以(i ，j )表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i 点且骰子乙得j 点．X 的可能取值为2，3，4，…，12.X ＝2表示(1，1)；X ＝3表示(1，2)，(2，1)；X ＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；X ＝12表示(6，6)．Y 的可能取值为2，4，6，8，10，12.Y ＝2表示(1，1)；Y ＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；Y ＝6表示(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)；…Y ＝12表示(6，6)．。
[A 基础达标]1．下列四组函数中导数相等的是( ) A ．f (x )＝2与g (x )＝2x B ．f (x )＝－sin x 与g (x )＝cos x C ．f (x )＝2－cos x 与g (x )＝－sin x D ．f (x )＝1－2x 2与g (x )＝－2x 2＋4解析：选D.选项D 中，f ′(x )＝(1－2x 2)′＝－4x ，g ′(x )＝(－2x 2＋4)′＝－4x . 2．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x ，又x >0，所以f ′(x )>0即x －2>0，解得x >2.3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．e C ．ln 22D ．ln 2解析：选B.f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＝1，则x 0＝e.故选B.4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e x f ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－3 B ．2e C.21－2eD.31－2e 解析：选D.因为f ′(1)为常数， 所以f ′(x )＝2e x f ′(1)＋3x ，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， 所以f ′(1)＝31－2e. 5．曲线y ＝x sin x 上点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22 B ．π2 C ．2π2D.12(2＋π)2 解析：选A.y ′＝(x sin x )′＝x ′sin x ＋x (sin x )′＝sin x ＋x cos x . 当x ＝－π2时，k ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2＋⎝⎛⎭⎫－π2cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1. 所以在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y －π2＝－⎝⎛⎭⎫x ＋π2，即y ＝－x . 所以y ＝－x 与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为π22.6．设f (x )＝e x ＋x e ＋e a ，则f ′(x )＝________． 解析：f ′(x )＝(e x )′＋(x e )′＋(e a )′＝e x ＋e x e －1. 答案：e x ＋e x e －17．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得 f ′(x )＝4ax 3＋2bx . 因为f ′(1)＝2， 所以4a ＋2b ＝2， 即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数， 所以f ′(x )是奇函数， 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：因为y ＝x ＋ln x ， 所以y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.因为 y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，所以a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0， 解得a ＝8. 答案：89．设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，若已知f ′(x )＝x cos x ，求f (x )的解析式． 解：因为f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )·cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －d －cx )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .又因为f ′(x )＝x cos x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝0，d ＝1，因此f (x )＝x sin x ＋cos x .10．已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x ＞0范围内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x ＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a ＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)等于( ) A ．212 B ．29 C ．28D ．26解析：选A.因为f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′， 所以f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.12．若曲线C ：y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，则实数a 的取值范围是________．解析：由于曲线在任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，故y ′＝3x 2－4ax ＋2a >0恒成立，所以Δ＝16a 2－24a <0，所以0<a <32.答案：⎝⎛⎭⎫0，32 13．已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．解：因为直线l 过原点， 所以直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)，因为点(x 0，y 0)在曲线C 上，所以y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，所以y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，又y ′＝3x 2－6x ＋2，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2， 又k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 整理得2x 20－3x 0＝0，因为x 0≠0，所以x 0＝32，此时，y 0＝－38，k ＝－14，所以直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－38)．14．(选做题)已知函数f (x )＝e x (cos x －sin x )，将满足f ′(x )＝0的所有正数x 从小到大排成数列{x n }，证明：数列{f (x n )}为等比数列．证明：f ′(x )＝[e x (cos x －sin x )]′＝e x (cos x －sin x )＋e x (－sin x －cos x )＝－2e x sin x ， 因为f ′(x )＝0，即－2e x sin x ＝0，又x 为正数， 解得x ＝n π，n 为正整数， 从而x n ＝n π，n ＝1，2，3，….所以f (x n )＝e n π(cos n π－sin n π)＝(－1)n e n π， f (x n ＋1)＝(－1)n ＋1e (n ＋1)π，则f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋1e （n ＋1）π（－1）n e n π＝－e π. 所以数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝－e π， 公比为q ＝－e π的等比数列．。
[A 基础达标]1．如果过函数y ＝f (x )图像上点A (3，a )的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)＝( ) A ．2 B ．－12C ．－2D ．12解析：选C.因为过点A (3，a )的切线与2x ＋y ＋1＝0平行，所以过A 点的切线斜率f ′(3)＝－2.2．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P (1，－32)，则在点P 处的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°解析：选B.曲线y ＝12x 2－2在点P 处的切线斜率为k ＝limΔx →012（1＋Δx ）2－2－（12×12－2）Δx＝lim Δx →0(1＋12Δx )＝1，所以在点P 处的切线的倾斜角为45°.故选B.3．已知曲线y ＝x 3上过点(2，8)的切线方程为12x －ay －16＝0，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：选B.由题意知切线斜率k ＝lim Δx →0（2＋Δx ）3－23Δx ＝lim Δx →0[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12，所以过点(2，8)的切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16， 所以a ＝1.4．若y ＝f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．3 3 解析：选C.因为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－x 30＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3，所以ΔyΔx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，所以f ′(x 0)＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20，由f ′(x 0)＝3得3x 20＝3，所以x 0＝±1. 5. 如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A.由已知得f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1.所以f (5)＋f ′(5)＝－1＋3＝2.故选A. 6．已知函数y ＝f (x )，若f ′(x 0)>0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的范围是________．解析：由于f ′(x 0)>0，说明y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率大于0，故倾斜角为锐角． 答案：⎝⎛⎭⎫0，π27．已知f (x )＝x 2＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________．解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4.又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.答案：28．已知f (x )在x ＝6处有导数，且f (6)＝8，f ′(6)＝3， 则lim x →6[f （x ）]2－[f （6）]2x －6＝________．解析：因为f ′(6)＝3，所以lim x →6f （x ）－f （6）x －6＝3.所以lim x →6[f （x ）]2－[f （6）]2x －6＝lim x →6[f （x ）－f （6）][f （x ）＋f （6）]x －6＝[f (6)＋f (6)]·f ′(6)＝(8＋8)×3＝48. 答案：489．利用导数的定义求函数f (x )＝12＋3x在x ＝1处的导数．解：因为Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝12＋3（1＋Δx ）－12＋3×1Δx ＝－3Δx 5（5＋3Δx ）Δx ＝－35（5＋3Δx ），所以f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0－35（5＋3Δx ）＝－325.10．(1)求曲线f (x )＝x 3＋2x －1在点P (1，2)处的切线方程． (2)求过点Q (0，1)且与曲线f (x )＝x 3＋2x －1相切的直线方程． 解：(1)因为当x ＝1时， f (1)＝1＋2－1＝2，所以点(1，2)在曲线f (x )＝x 3＋2x －1上， 所以切线的斜率为k ＝f ′(1)＝lim Δx →0f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝lim Δx →0（1＋Δx ）3＋2（1＋Δx ）－1－（1＋2－1）Δx＝lim Δx →0（Δx ）3＋3（Δx ）2＋5ΔxΔx＝lim Δx →0[(Δx )2＋3Δx ＋5]＝5，所以在点P (1，2)处的切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. (2)当x ＝0时，f (0)＝－1， 所以点(0，1)不在曲线y ＝f (x )上． 设切点为(x 0，y 0)，由已知可得 k ＝f ′(x 0)＝limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0（x 0＋Δx ）3＋2（x 0＋Δx ）－1－（x 30＋2x 0－1）Δx＝3x 20＋2.所以切线方程为y －y 0＝(3x 20＋2)(x －x 0)． 又因为切线过点(0，1)，所以1－y 0＝(3x 20＋2)(0－x 0)， 又因为y 0＝x 30＋2x 0－1，所以x 30＝－1，所以x 0＝－1，所以y 0＝－4，k ＝5. 所以切线方程为5x －y ＋1＝0.[B 能力提升]11．曲线y ＝x ＋1x 上任意一点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选 C.y ＝x ＋1x上任意一点P (x 0，y 0)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0（x 0＋Δx ）＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20＋x 0Δx ＝1－1x 20<1. 即k <1.12．函数y ＝4－x 2在x ＝1处的导数为________． 解析：作出函数y ＝4－x 2的图像如图．由导数的几何意义可知，函数y ＝4－x 2在x ＝1处的导数即为半圆在点P (1, 3)处的切线的斜率．所以k l ＝ －1k OP ＝－13＝－33. 答案：－3313．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．解：存在．设切点为(t ，t 2＋1)，又Δy Δx ＝（t ＋Δx ）2＋1－（t 2＋1）Δx ＝Δx ＋2t ， 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于2t ，即切线斜率k ＝2t ，所以切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )，将(1，a )代入得t 2－2t ＋(a －1)＝0， 因为有两条切线，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)>0， 解得a <2.14．(选做题)已知直线x ＋2y －4＝0与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的曲线段AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．解：由y 2＝2x 及直线x ＋2y －4＝0的位置关系可知，点P 应位于直线x ＋2y －4＝0的下方．故令y ＝－2x ，由题意知曲线在点P 处的切线与直线x ＋2y －4＝0平行． 设切点为(x 0，y 0)，所以切线的斜率k ＝limΔx →0－2（x 0＋Δx ）＋2x 0Δx＝－22x 0，所以－22x 0＝－12.所以x 0＝2，所以切点坐标为(2，－2)，此时该点为抛物线上与线段AB 的距离最大的点， 故点P (2，－2)即为所求．所以在抛物线的曲线段AOB 上存在点P (2，－2)，使△ABP 的面积最大．。
章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不可作为随机变量的是( ) A ．取到红球的次数 B ．取到白球的次数 C ．2次取到的红球总数 D ．取球的总次数详细分析：选D.由随机变量的定义可得选项D 不是随机变量．2．在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数，记Y 表示“任取的3个数中偶数的个数”，则Y ＝2所对应的试验结果数为( ) A ．4 B ．20 C ．30D ．60详细分析：选C.Y ＝2所对应的试验结果有(1，2，4)，(3，2，4)，(5，2，4)，(7，2，4)，(9，2，4)，(1，2，6)，(3，2，6)，(5，2，6)，(7，2，6)，(9，2，6)，(1，2，8)，(3，2，8)，(5，2，8)，(7，2，8)，(9，2，8)，(1，4，6)，(3，4，6)，(5，4，6)，(7，4，6)，(9，4，6)，(1，4，8)，(3，4，8)，(5，4，8)，(7，4，8)，(9，4，8)，(1，6，8)，(3，6，8)，(5，6，8)，(7，6，8)，(9，6，8)，共计30种．3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝c ·⎝⎛⎭⎫23i，i ＝1，2，3，则c 等于( ) A.1738 B.2738 C.1719D.2719详细分析：选B.由分布列的性质， 得c ⎝⎛⎭⎫23＋49＋827＝1，所以c ＝2738. 4．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8A ．(－∞，2] B ．[1，2] C ．(1，2]D ．(1，2)详细分析：选C.P (η<－1)＝0.1，P (η<0)＝0.3，P (η<1)＝0.5，P (η<2)＝0.8.故当P (η<x )＝0.8时，x ∈(1，2]．5．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )A.C 480C 610C 10100B.C 680C 410C 10100 C.C 480C 620C 10100 D.C 680C 420C 10100详细分析：选D.随机变量服从超几何分布，N ＝100，M ＝80，n ＝10.故P (X ＝6)＝C 680C 420C 10100.6．100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验后放回，连续检验两次，恰有一次为次品的概率为( ) A ．0.42 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.21详细分析：选A.设第一次抽取为正品的事件为A ，第二次抽取为正品的事件为B .则恰有一次为次品的概率为P (A B )＋P (AB )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.7×0.3＋0.3×0.7＝0.42. 7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( ) A.35 B.25 C.59 D.110详细分析：选C.记“第一次摸出正品”为事件A ，“第二次摸到正品”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13.故P (B |A )＝P ()AB P ()A ＝59. 8．已知随机变量ξ的分布列如表，则随机变量ξ的方差D ξ的最大值为( )A.0.72 B ．0.6 C ．0.24 D ．0.48详细分析：选B.因为y ＋0.4＋x ＝1，所以y ＝0.6－x . E ξ＝0·y ＋1×0.4＋2·x ＝2x ＋0.4，D ξ＝(0－2x －0.4)2·(0.6－x )＋(1－2x －0.4)2·0.4＋(2－2x －0.4)2·x ＝－4x 2＋2.4x ＋0.24，当x ＝0.3时，D ξ取最大值0.6.9．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12.甲、乙两人各射击一次，那么56等于( )A ．甲、乙都击中靶心的概率B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D ．甲、乙不全击中靶心的概率详细分析：选D.设“甲、乙两人都击中靶心”的事件为A ，则P (A )＝13×12＝16，P (A )＝1－P (A )＝56.10．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以4比2获胜的概率为( ) A.564 B.1564 C.532 D.516详细分析：选C.甲以4比2获胜，则需打6局比赛且甲第6局胜，前5局胜3局，故其概率为C 35⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫122×12＝532.11．如果ξ～B (n ，p )，其中0<p <1，那么使P (ξ＝k )取最大值的k 值( ) A ．有且只有1个 B ．有且只有2个 C ．不一定有D ．当(n ＋1)p 为正整数时有2个详细分析：选 D.P ()ξ＝k ＋1P ()ξ＝k ≥1⇔C k ＋1n pk ＋1q n －k －1C k n p k q n －k＝()n －k p （k ＋1）q ≥1⇔(n －k )p ≥q (k ＋1)(其中q ＝1－p )，即 k ≤(n ＋1)p －1.从而当(n ＋1)p 为正整数，即当k ＝(n ＋1)p －1和k ＝(n ＋1)p 时，P (ξ＝k )都取最大值，所以使P (ξ＝k )取最大值的k 值有2个．12．设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22、x 2＋x 32、x 3＋x 42、x 4＋x 52、x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则( ) A ．D ξ1>D ξ2 B ．D ξ1＝Dξ2C ．D ξ1<D ξ2D ．D ξ1与Dξ2的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关详细分析：选A.由条件可得，随机变量ξ1，ξ2的平均数相同，记为x ，则Dξ1＝15[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 5－x )2]，D ξ2＝15⎣⎡⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋x 32－x 2＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫x 5＋x 12－x 2. 所以Dξ1－Dξ2＝120[(x 1－x 2)2＋(x 2－x 3)2＋…＋(x 5－x 1)2]>0，即Dξ1>D ξ2，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．某射手射击所得的环数X 的分布列如下：如果命中8～10详细分析：从分布列中不难看出该射手命中环数不小于8环的概率是0.3＋0.25＋0.05＝0.6. 答案：0.614．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为______．详细分析：设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8， 又P (A )＝0.9，P (B |A )＝P ()AB P ()A ， 得P (AB )＝P (B |A )·P (A ) ＝0.8×0.9＝0.72. 答案：0.7215．已知A 、B 、C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (A B )＝______．详细分析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）·P （B ）＝16，P （B ）·P （C ）＝18，P （A ）·P （B ）·P （ C ）＝18， 解得P (A )＝13，P (B )＝12.所以P (A B )＝23×12＝13.答案：1316．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0，1))．已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为______．详细分析：该运动员不得分的概率为c ，得2分的概率为b ，得3分的概率为a ，所以3a ＋2b ＝2，又2≥26ab ，则ab ≤16⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝13，b ＝12时取等号，故ab 的最大值为16. 答案：16三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图，用A ，B ，C ，D 四类不同的元件连接成两个系统N 1，N 2，当元件A ，B ，C ，D 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A ，B 至少有一个正常工作，且C ，D 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A ，B ，C ，D 正常工作的概率依次为0.8，0.9，0.9，0.7，分别求系统N 1，N 2正常工作的概率P 1，P 2.(元件A ，B ，C ，D 是否正常工作相互之间没有影响)解：N 1正常工作等价于A ，B ，C ，D 都正常工作，N 2正常工作等价于A ，B 中至少有一个正常工作，且C ，D 中至少有一个正常工作．分别记元件A ，B ，C ，D 正常工作为事件A ，B ，C ，D ，由已知P (A )＝0.8，P (B )＝0.9，P (C )＝0.9，P (D )＝0.7.P 1＝P (ABCD )＝P (A )P (B )·P (C )P (D )＝0.8×0.9×0.9×0.7＝0.453 6，P 2＝[1－P (A －B －)]·[1－P (C －D －)]＝[1－P (A －)·P (B －)]·[1－P (C －)·P (D －)]＝(1－0.2×0.1)×(1－0.1×0.3)＝0.98×0.97＝0.950 6. 18．(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为EX ＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.19．(本小题满分12分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解：(1)依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)， 则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i.这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0，2，4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥， 故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列是20.(本小题满分12分人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解：(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A）＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为EX＝0.85a×＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.21．(本小题满分12分)一个口袋中有2个白球和n个红球(n≥2，且n∈N＋)，每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中)，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．(1)试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率p；(2)若n＝3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为f(p)，当n为何值时，f(p)取最大值．解：(1)一次摸球从n ＋2个球中任选两个，有C 2n ＋2种选法，其中两球颜色相同有C 2n ＋C 22种选法；一次摸球中奖的概率p ＝C 2n ＋C 22C 2n ＋2＝n 2－n ＋2n 2＋3n ＋2.(2)若n ＝3，则一次摸球中奖的概率是p ＝25，三次摸球是三次独立重复试验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是P 3(1)＝C 13·p ·(1－p )2＝54125. (3)三次摸球中恰有一次中奖的概率f (p )＝C 13·p ·(1－p )2＝3p 3－6p 2＋3p ，0＜p ＜1，因为f ′(p )＝9p 2－12p ＋3＝3(p －1)(3p －1)， 所以f (p )在⎝⎛⎭⎫0，13是增函数，在⎝⎛⎭⎫13，1是减函数， 所以当p ＝13时，f (p )取最大值．所以p ＝n 2－n ＋2n 2＋3n ＋2＝13(n ≥2，n ∈N ＋)，所以n ＝2，故n ＝2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大．22．(本小题满分12分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率． 解：(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， 因为利润＝产量×市场价格－成本． 所以X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800. P (X ＝4 000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3， P (X ＝2 000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为(2)设C i表示事件“第i C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(C i)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P(C1C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.。
章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若limΔx →0f （x 0）－f （x 0＋Δx ）Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A.32 B.23 C ．1D ．－1解析：选D.原式＝－limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝－f ′(x 0)，也就是f ′(x 0)＝－1.2．如果质点A 按规律s ＝2t 3运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54D ．81解析：选C.因为s ′＝6t 2，所以当t ＝3时，s ′＝54，即t ＝3时的瞬时速度为54. 3．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能是( ) A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1) C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数f ′(x )，再求f ′(1)．4．已知f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数函数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选B.设y ＝f (x )－g (x )，则y ′＝f ′(x )－g ′(x )＝0，所以f (x )－g (x )＝c (常数)． 5．已知y ＝2x 3＋3x ＋cos x ，则y ′等于( )A ．6x 2＋x －23－sin xB ．6x 2＋x －23＋sin x C ．6x 2＋13x －23＋sin x D ．6x 2＋13x －23－sin x 解析：选D.y ′＝(2x 3)′＋(x 13)′＋(cos x )′＝6x 2＋13x －23－sin x . 6．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上点(1，2)处的切线与其平行线bx ＋y ＋c ＝0间的距离为( )A.24B.22C.322D. 2解析：选C.由抛物线过点(1，2)，得b ＋c ＝1， 又f ′(1)＝2＋b ，即2＋b ＝－b ，所以b ＝－1， 所以c ＝2，故所求切线方程为x －y ＋1＝0.所以两平行直线x －y －2＝0和x －y ＋1＝0之间的距离为d ＝|－2－1|12＋12＝32＝322.7．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称函数f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称函数f (x )在D 上为凸函数，以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x解析：选D.对A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＜0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对B ，f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对C ，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝e x (2＋x )＞0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数，选D.8．设a >0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则P 到曲线y ＝f (x )对称轴距离的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，1a B.⎣⎡⎦⎤0，12aC.⎣⎡⎦⎤0，⎪⎪⎪⎪b 2a D.⎣⎡⎦⎤0，⎪⎪⎪⎪b －12a解析：选B.因为过点P (x 0，f (x 0))的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4，且a >0，P 在对称轴的右侧或其顶点，所以P 到曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝－b 2a 的距离d ＝x 0－⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝x 0＋b2a. 又因为f ′(x 0)＝2ax 0＋b ∈[0，1]， 所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b 2a，1－b 2a .所以d ＝x 0＋b2a ∈⎣⎡⎦⎤0，12a . 9．下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )A ．－13B.13C.73D ．－13或73解析：选A.f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1＝(x ＋a )2－1， 由a ≠0，知f ′(x )的图像为第(3)个． 因此f ′(0)＝0，故a ＝－1， 所以f (－1)＝－13.10．若函数f (x )＝ln|x |－f ′(－1)x 2＋3x ＋2，则f ′(1)＝( ) A ．2 B ．－2 C ．8D ．10 解析：选C.当x >0时，f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x ＋2， f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(1)＝4－2f ′(－1)；① 当x <0时，f (x )＝ln(－x )－f ′(－1)x 2＋3x ＋2， f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝2＋2f ′(－1)．② 由①②，得f ′(1)＝8.故选C.11．设某商品的需求函数为Q ＝100－5P ，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQ EP 大于1，其中EQEP ＝－Q ′QP ，Q ′是Q 的导数，则商品价格P 的取值范围是( )A ．(0，10)B ．(10，20)C ．(20，30)D ．(20，＋∞)解析：选B.EQ EP ＝－Q ′Q P ＝－－5100－5P ·P ＝P20－P ，由EQ EP >1得P 20－P－1>0， 即2P －2020－P>0，解得10<P <20.故选B. 12．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和是( )A.1n ＋1B.n n ＋1C.2n ＋1n ＋1D.2n n ＋1解析：选B.f ′(x )＝mxm －1＋a ＝2x ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝1.则f (x )＝x 2＋x ，1f （n ）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，其和为⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：设f (x )＝a (x －m )2(a ≠0)， 则f ′(x )＝2a (x －m )＝2ax －2am ＝2x ＋2， 所以a ＝1，m ＝－1，所以f (x )＝(x ＋1)2＝x 2＋2x ＋1. 答案：f (x )＝x 2＋2x ＋114．曲线y ＝33x 2＋1在点(1，34)处的切线方程为________． 解析：y ＝33x 2＋1＝(3x 2＋1)13，y ′＝13·(3x 2＋1)－23·(3x 2＋1)′ ＝13·(3x 2＋1) －23·6x ＝2x (3x 2＋1) －23， y ′|x ＝1＝2·4－23＝132，则切线方程为y －34＝132(x －1)，即x －32y ＋1＝0. 答案：x －32y ＋1＝0 15．函数f (x )＝mx 2m＋n的导数为f ′(x )＝4x 3，则m ＋n ＝________．解析：因为f ′(x )＝m (2m ＋n )x 2m ＋n －1＝4x 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧m （2m ＋n ）＝4，2m ＋n －1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，所以m ＋n ＝3. 答案：316．已知函数f (x )＝13x 3－12⎝⎛⎭⎫a ＋1a x 2＋x (a >0)，则f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率最大时的切线方程是________．解析：f ′(x )＝x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1，故f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，显然当a ＝1时，a ＋1a 最小，k 最大为0，又f (1)＝13，所以切线方程为y ＝13.答案：y ＝13三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，求烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．解：烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度就是h ′(2)． 而ΔhΔt ＝h （2＋Δt ）－h （2）Δt ＝(－4.9－4.9Δt )(m/s)． 所以h ′(2)＝lim Δt →0ΔhΔt ＝lim Δt →0(－4.9－4.9Δt )＝－4.9(m/s)．即在t ＝2 s 时，烟花正以4.9 m/s 的速度下降． 如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t ＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s 之间，曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s 后，曲线在任何点处的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．18．(本小题满分12分)有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为y ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715时的导数，并解释它的实际意义．解：函数y ＝5－25－9t 2可以看作函数f (x )＝5－x 和x ＝φ(t )＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得f ′(x )＝－12x －12，φ′(t )＝－18t .再由复合函数求导法则得y ′t ＝s ′(t )＝f ′(x )φ′(t )＝⎝⎛⎭⎫－12x －12·(－18t )＝9t 25－9t 2，将t ＝715代入s ′(t )，得s ′⎝⎛⎭⎫715＝0.875(m/s)． 它表示当t ＝715时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.19．(本小题满分12分)(1)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(1，5)，其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，求f (x )的解析式．(2)设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a ＞0)．曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 且f ′(1)＝0, f ′(2)＝0, f (1)＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－9，c ＝12，所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2x 3－9x 2＋12x . (2)f ′(x )＝a e x －1a e x ，所以f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)，所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12.20．(本小题满分12分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限，(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又因为点P 0在第三象限， 所以切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14，因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.21．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )， f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30.求g (4)．解：题设中有四个参数a ，b ，c ，d ，为确定它们的值需要四个方程．由f (2x ＋1)＝4g (x )，得：(2x ＋1)2＋a (2x ＋1)＋b ＝4x 2＋4cx ＋4d ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝2c ，①a ＋b ＋1＝4d ，②由f ′(x )＝g ′(x )，得：2x ＋a ＝2x ＋c ，所以a ＝c .③ 由f (5)＝30，得：25＋5a ＋b ＝30，④ 由①③可得a ＝c ＝2.由④得b ＝－5. 再由②得d ＝－12.所以g (x )＝x 2＋2x －12.故g (4)＝16＋8－12＝472.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0.曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)．解：(1)由f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b .又由曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0. 故b ＝0，c ＝1.(2)证明：f (x )＝13x 3－a2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－ax ，由于点(t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，而点(0，2)在切线上，所以2－f (t )＝f ′(t )(－t )，化简得23t 3－a 2t 2＋1＝0，即t 满足的方程为23t 3－a2t 2＋1＝0.下面用反证法证明：假设f ′(x 1)＝f ′(x 2)，由于曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立：⎩⎨⎧23x 31－a 2x 21＋1＝0，①23x 32－a2x 22＋1＝0，②x 21－ax 1＝x 22－ax 2.③由③，得x 1＋x 2＝a .由①－②，得x 21＋x 1x 2＋x 22＝34a 2.④ 又x 21＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝a 2－x 1(a －x 1)＝x 21－ax 1＋a 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－a 22＋34a 2≥34a 2，故由④得x 1＝a 2，此时x 2＝a2与x 1≠x 2矛盾，所以f ′(x 1)≠f ′(x 2)．。
章末复习提升课1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是[0°，180°)．(2)k ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan α，α≠90°，不存在，α＝90°.(3)斜率的求法：①依据直线方程；②依据倾斜角；③依据两点的坐标． 2．两条直线的位置关系 设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0. (2)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0.(3)重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．3．距离公式(1)两点间的距离公式： 已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2)点到直线的距离公式：①点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；②两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C ＝0与l 2：Ax ＋By ＋D ＝0的距离d ＝|C －D |A 2＋B 2. 4．点和圆的位置关系设点P (x 0，y 0)及圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点P 在圆外． (2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点P 在圆内． (3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点P 在圆上． 5．直线与圆的位置关系设直线l 与圆C 的圆心之间的距离为d ，圆的半径为r ，则 d >r →相离；d ＝r →相切；d <r →相交． 6．圆与圆的位置关系设C 1与C 2的圆心距为d ，半径分别为r 1与r 2，则位置关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1、r 2的关系 d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 d ＝|r 1－r 2| d <|r 1－r 2| (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝（1＋k 2）[（x A ＋x B ）2－4x A x B ].注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．1．明确直线的倾斜角与斜率的关系(1)倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便．(2)倾斜角可正可零不可为负，而斜率k 不仅可正，可零，而且可以为负．2．讨论斜率的情况：在利用直线的斜率处理平行与垂直的关系时，特别要注意直线的斜率不存在的情况．3．点到直线的距离公式的应用在应用点到直线的距离公式时，一定要把直线化为一般式，明确系数A ，B ，C . 4．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆应满足的条件： (1)A ＝C ≠0，(2)B ＝0，(3)D 2＋E 2－4AF >0. 5．画空间直角坐标系的三大注意事项(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长度相等，x 轴的单位长度等于y 轴单位长度的一半．(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它们的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它们的几何图形的形象直观性来分析问题．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C. 3D ．2[解析] 由已知可得圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1，4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A.[答案] A已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．[解析] 设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3， 即||3m －3m 2＋1＝3，解得m＝－33，则直线l：x－3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝|AB|cos 30°＝4.[答案] 4最值问题解析几何中的最值问题是人们工作和生活追求的目标，可用于解决生活中的一些实际问题，本章主要研究直线与圆中的最值及动点轨迹等．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)设yx＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时有|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3，故yx的最大值是3，最小值是－ 3.(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当直线y＝x＋b与圆相切时b取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6，故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何的知识知，其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又知圆心到原点的距离为2，故x2＋y2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，最小值为(2－3)2＝7－4 3.圆的切线方程问题求圆的切线的问题经常出现，主要有以下三类．(1)求过圆上一点的圆的切线方程已知圆x2＋y2＝r2，M(x0，y0)是圆上一点，则过点M的圆的切线方程为xx0＋yy0＝r2.一般地，若圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则过切点M (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)求过圆外一点的圆的切线过程求过圆外一点的圆的切线方程，一般设为点斜式，运用待定系数法或判别式法求出斜率k ，但用点斜式表示直线方程的前提是斜率必须存在．过圆外一点可以作圆的两条切线，如果只有一解，那么一定有一条切线斜率不存在，这时可用数形结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来．(3)已知斜率求圆的切线斜率为k 且与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2相切的切线方程的求法：①先设切线方程为y ＝kx ＋m ，然后化成一般式kx －y ＋m ＝0，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m ；②设切线方程为y ＝kx ＋m ，与圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式为0求出m .过点P (－2，0)向圆x 2＋y 2＝1引切线，求切线的方程． [解] 设所求切线的斜率为k ， 则切线方程为y ＝k (x ＋2)．由题意联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 2＋y 2＝1，即(k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋4k 2－1＝0.由题意知上述一元二次方程有两相等实根，所以Δ＝16k 4－4(k 2＋1)(4k 2－1)＝－12k 2＋4＝0，即k ＝±33，所以所求切线的方程为y＝±33(x ＋2)．1．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab <0，bc >0 C ．ab >0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选A.由题意知，直线的斜率小于0，直线在y 轴上的截距大于0，从而ab >0，bc <0. 2．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0解析：选D.设圆心为(a ，0)(a >0)， 则圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离等于2， 即3a ＋432＋42＝2，解得a ＝2.故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4.3．对任意实数k ，圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝13与直线l ：kx －y －4k ＋3＝0的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．与k 取值有关解析：选D.圆心(3，4)到直线距离d ＝|3k －4－4k ＋3|k 2＋1＝|k ＋1|k 2＋1与k 取值有关，故选D.4．如果直线ax ＋3y ＋2＝0与直线3ax －y －2＝0垂直，那么a ＝________． 解析：由题意得a ·3a －3＝0，解得a ＝±1. 答案：±15．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是________．解析：注意到圆心C (3，－5)到已知直线的距离为|4×3－3×（－5）－2|42＋（－3）2＝5，结合图形可知有两个极端情形： 其一是如图所示的小圆，半径为4； 其二是如图所示的大圆，其半径为6， 故4<r <6.答案：(4，6)6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A (1，0)．(1)若l 1与圆相切，求l 1的方程；(2)若l 1与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，求证：AM ·AN 为定值．解：(1)①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意． ②若直线l 1斜率存在， 设直线l 1为y ＝k (x －1)， 即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即|3k －4－k |k 2＋1＝2，解之得k ＝34.所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)证明：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0得 N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1. 又直线CM 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k （x －3）得 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2. 所以AM ·AN ＝ |y M －0|1＋1k2·|y N －0| 1＋1k2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2＋2k 1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋1k 2＋1k 2 ＝6为定值．。
第2课时 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系及判定 (1)几何方法已知两圆C 1：(x －x 1)2＋(y －y 1)2＝r 21， C 2：(x －x 2)2＋(y －y 2)2＝r 22，则圆心分别为C 1(x 1，y 1)，C 2(x 2，y 2)，半径分别为r 1，r 2， 圆心距d ＝|C 1C 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． 则两圆C 1，C 2有以下位置关系：两圆位置关系图形情况 d 与r 1、r 2的关系相离d >r 1＋r 2 外切d ＝r 1＋r 2 相交|r 2－r 1|<d <r 1＋r 2 内切d ＝|r 2－r 1|内含d <|r 2－r 1|(2)代数方法设两圆方程分别为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0――→消元一元二次方程 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0相交Δ＝0相切Δ<0内含，相离. 方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交， 有一组实数解⇔两圆相切， 无实数解⇔两圆相离或内含．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆相离．( )(2)两圆方程联立，若有两个不同解，则两圆相交．()(3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含．()(4)若两圆有且只有一个公共点，则两圆外切．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9的位置关系是()A．相离B．外切C．相交D．内切解析：选B.圆心距d＝（－2－1）2＋（－2－2）2＝5，两圆半径的和r1＋r2＝2＋3＝5，则d＝r1＋r2，即两圆外切．3．若圆x2＋y2＝9与圆(x－4)2＋(y＋3)2＝r有3条公切线，则实数r的值为()A．8 B．64C．2 D．4解析：选D.两圆有3条公切线，即两圆外切，两圆圆心距d＝（0－4）2＋（0＋3）2＝5，所以有5＝3＋r，解得r＝4.4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________．解析：圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0，配方得(x－a)2＋y2＝1，两圆的连心线长为（a－0）2＋02＝|a|＝2－1，解得a＝±1.答案：±15．已知圆O1与圆O2的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝r2(r>1)，若两圆相交，则r的取值范围是________．答案：(1，3)1．两圆的公切线问题(1)公切线的条数判断因两圆位置关系变化而变化①两圆外离时有4条，其中2条内公切线，2条外公切线；②两圆外切时有3条，其中1条内公切线，2条外公切线；③两圆相交时有2条，只有2条外公切线；④两圆内切时有1条，只有1条外公切线；⑤两圆内含时无公切线．(2)公切线的求法：由于公切线与两圆都相切，所以圆心到切线的距离都等于圆的半径，故可设公切线方程为y ＝kx ＋b (注意斜率不存在的情况)．由两圆心到直线的距离分别等于两圆半径，联立方程组即可求解．(3)公切线的长度：一定要结合几何图形，利用构造直角三角形，两点间的距离公式等方法灵活求解．2．两圆相交时公共弦问题(1)设圆O 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0， 圆O 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0. 则两圆相交公共弦所在直线方程为：(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)－(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，即(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.(2)求两圆的公共弦长问题可转化为直线与圆相交求相交弦长问题，从而得以解决，如图，利用圆O 1，首先求出O 1点到相交弦所在直线的距离d ，而|AC |＝12|AB |，所以14|AB |2＝r 21－d 2，即|AB |＝2r 21－d 2，从而得以解决．圆与圆的位置关系的判定已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，当m 为何值时，(1)两圆相外切；(2)两圆内含．[解] 两圆的方程分别化为C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，所以两圆的圆心坐标分别为C 1(m ，－2)和C 2(－1，m )，两圆的半径分别为r 1＝3，r 2＝2.(1)如果两圆相外切， 则有（m ＋1）2＋（－2－m ）2＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0， 解得m ＝－5或m ＝2. (2)当两圆内含时， 则有（m ＋1）2＋（－2－m ）2<3－2，即m2＋3m＋2<0，解得－2<m<－1.所以当m＝－5或m＝2时两圆相外切，当－2<m<－1时两圆内含．在本例中，条件不变，若两圆相内切、相交，结果如何？解：如果两圆相内切，则有（m＋1）2＋（－2－m）2＝3－2，即m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2或m＝－1.如果两圆相交，则有3－2<（m＋1）2＋（－2－m）2<3＋2，解得－5<m<－2或－1<m<2.判定两圆位置关系的步骤(1)将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径．(2)计算圆心距，半径和、半径差的绝对值．(3)利用圆心距，半径和、半径差的绝对值判定两圆的位置关系．1.圆C1与圆C2的半径是方程x2－3x＋1＝0的两个根，d为两圆的圆心距，求当C1与C2(1)外切；(2)外离；(3)内切；(4)内含时，d的取值范围．解：设两圆C1、C2的半径分别为r1、r2，则r1＋r2＝3，r1r2＝1，所以|r1－r2|＝（r1＋r2）2－4r1r2＝32－4×1＝5，(1)当C1与C2外切时，d＝3；(2)当C1与C2外离时，d>3；(3)当C1与C2内切时，d＝5；(4)当C1与C2内含时，0≤d< 5.圆与圆相切的问题已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．[解]两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.圆心分别为C1(1，3)，C2(5，6)．半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时，（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故有61－m －11＝5.解得m ＝25－1011.因为k c 1c 2＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43，设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有⎪⎪⎪⎪43×1＋3－b ⎝⎛⎭⎫432＋1＝11.解得b ＝133±5311.容易验证，当b ＝133＋5311，直线与另一圆相交，故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311.即4x ＋3y ＋511－13＝0.求公切线的五个步骤(1)判断公切线的条数． (2)设出公切线的方程．(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值． (4)验证特殊情况下的直线是否为公切线． (5)归纳总结．[注意] 对于求公切线问题，不要漏解，应先根据两圆的位置关系来判断公切线的条数．2.(1)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11(2)求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程． 解：(1)选C.圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，所以|C 1C 2|＝5. 又因为两圆外切，所以5＝1＋25－m ，解得m ＝9.(2)圆方程x 2＋y 2－2x ＝0化为(x －1)2＋y 2＝1，设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）2＋b 2＝r ＋1，|a ＋3b |2＝r ，b ＋3a －3＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－43r ＝6.，所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.圆与圆相交的问题已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．[解] (1)将两圆方程化为标准方程，圆C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10.则圆C 1的圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝52；圆C 2的圆心为C 2(－1，－1)，半径r 2＝10.又|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10， 所以|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2，所以两圆相交． (2)两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程． (3)法一：两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，② 两式相减得x ＝2y －4，③把③代入②得y 2－2y ＝0，所以y 1＝0，y 2＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2，所以交点坐标为(－4，0)和(0，2)．所以两圆的公共弦长为（－4－0）2＋（0－2）2＝2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝5 2.由(2)知两圆公共弦所在直线的方程为x －2y ＋4＝0， 所以圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离 d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝3 5.设公共弦长为2l ，由勾股定理r 2＝d 2＋l 2，得50＝45＋l 2，解得l ＝5，所以公共弦长2l ＝2 5.求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：[注意] (1)当两圆相切时，两圆方程相减所得直线方程即为两圆的公切线方程． (2)当两圆外离时，方程作差也能得一条直线方程，但这条直线方程不是两圆的公共弦所在直线方程．3.求过两圆x 2＋y 2＝25和(x －1)2＋(y －1)2＝16的交点且面积最小的圆的方程．解：圆x 2＋y 2＝25和(x －1)2＋(y －1)2＝16的公共弦所在直线的方程为x 2＋y 2－25－[(x －1)2＋(y －1)2－16]＝0，即2x ＋2y －11＝0，过直线2x ＋2y －11＝0与圆x 2＋y 2＝25的交点的圆系方程为x 2＋y 2－25＋λ(2x ＋2y －11)＝0，即x 2＋y 2＋2λx ＋2λy －(11λ＋25)＝0.依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(－λ，－λ)必在公共弦所在直线2x ＋2y －11＝0上．即－2λ－2λ－11＝0，则λ＝－114，代回圆系方程得所求圆方程为⎝⎛⎭⎫x －1142＋⎝⎛⎭⎫y －1142＝798.思想方法 巧用圆系方程解题求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y－8＝0的交点的圆的方程．[解] 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(2λ－2)x ＋(2λ＋10)y －8λ－24＝0， 同除以1＋λ可得， x 2＋y 2＋2λ－21＋λx ＋2λ＋101＋λy －8λ＋241＋λ＝0， 此圆的圆心P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ－11＋λ，－λ＋51＋λ. 又因为圆心在直线x ＋y ＝0上， 所以－λ－11＋λ－λ＋51＋λ＝0，得λ＝－2.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.(1)一般地，过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆的方程可设为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．(2)利用圆系，恰当设出所求圆的方程是解本题的关键，将方程整理后，圆心坐标的表示要准确．最后的结果要整理成圆的一般方程(或标准方程)．1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()A．相离B．外切C．内切D．相交解析：选D.圆O1的圆心为(1，0)，半径r1＝1，圆O2的圆心为(0，－2)，半径r2＝2，|O1O2|＝5，r1＋r2＝3，r2－r1＝1，所以r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，则两圆相交．2．以点(2，－2)为圆心且与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0外切的圆的方程是()A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9C．(x－2)2＋(y－2)2＝16D．(x－2)2＋(y＋2)2＝16解析：选B.由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心(－1，2)，半径r1＝2，故所求的圆的半径：r2＝（2＋1）2＋（－2－2）2－2＝5－2＝3，则所求的圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9，故选B.3．两圆C1：x2＋y2＝a与C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为________．解析：x2＋y2＋6x－8y－11＝0⇔(x＋3)2＋(y－4)2＝36，从而C1(0，0)，r1＝a，C2(－3，4)，r2＝6，因为C1与C2内切，所以|C1C2|＝|r2－r1|，5＝|6－a|，所以a＝1或121.答案：1或1214．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0.因为A ，B 两点坐标都满足此方程，所以3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程，易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r ＝3.又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋（－4）2＝95.所以|AB |＝2r 2－d 2＝232－⎝⎛⎭⎫952＝245. 即两圆的公共弦长为245., [学生用书P133(单独成册)])[A 基础达标]1．已知圆C 1与C 2相切，圆心距为10，其中圆C 1的半径为4，则圆C 2的半径为( ) A ．6或14 B ．10 C ．14D ．不确定解析：选A.由题意知，r ＋4＝10或10＝|r －4|，解得r ＝6或r ＝14.2．两圆x 2＋y 2－2y －3＝0与x 2＋y 2＋2x ＝0的公共弦所在的直线方程为( ) A ．2x －2y －3＝0 B ．2x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋2y ＋3＝0 D ．2x ＋2y －3＝0解析：选C.两圆方程相减得2x ＋2y ＋3＝0.即为两圆的公共弦所在的直线方程． 3．圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋10y ＋13＝0的公切线的条数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.两圆的圆心距d ＝（－2－2）2＋（2＋5）2＝65，半径分别为r 1＝1，r 2＝4，则d >r 1＋r 2，所以两圆相离，因此它们有4条公切线．4．⊙A ，⊙B ，⊙C 两两外切，半径分别为2，3，10，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B.△ABC 的三边长分别为5，12，13，52＋122＝132，所以△ABC 为直角三角形．5．两圆相交于点A (1，3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 解析：选C.由题意知，AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12，1在直线x －y ＋c ＝0上，所以m ＋12－1＋c ＝0，m ＋2c ＝1.又直线AB 的斜率k AB ＝3－（－1）1－m ＝41－m ＝－1， 所以m ＝5，c ＝－2.故m ＋c ＝3，故选C.6．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为________． 解析：由题设知，圆心为(a ，6)，R ＝6， 所以（a －0）2＋（6－3）2＝6－1，所以a 2＝16.所以a ＝±4，所以所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.答案：(x ±4)2＋(y －6)2＝367．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0上的点之间的最短距离是__________．解析：由x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，由x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0得(x －2)2＋(y ＋1)2＝2，两圆圆心距为（－1－2）2＋（2＋1）2＝32>22，故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是32－2－2＝ 2. 答案： 28．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：由题意知O 1(0，0)，O 2(m ，0)，且5<|m |<35，又O 2A ⊥AO 1，所以有m 2＝(5)2＋(25)2＝25⇒m ＝±5，所以|AB |＝2×5×205＝4. 答案：49．求与已知圆x 2＋y 2－7y ＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x －3y －1＝0，且过点(－2，3)，(1，4)的圆的方程．解：公共弦所在直线的斜率为23，已知圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫0，72，故两圆圆心所在直线的方程为y －72＝－32x ， 即3x ＋2y －7＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2＋32－2D ＋3E ＋F ＝0，12＋42＋D ＋4E ＋F ＝0，3⎝⎛⎭⎫－D 2＋2⎝⎛⎭⎫－E 2－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－10，F ＝21.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －10y ＋21＝0.10．已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0交于A ，B 两点．(1)求过A ，B 两点的直线方程；(2)求过A ，B 两点且圆心在直线2x ＋4y ＝1上的圆的方程．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0.两式相减并整理得：x －y －1＝0，所以过A ，B 两点的直线方程为x －y －1＝0.(2)依题意：设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ， 因为圆心在直线2x ＋4y ＝1上，所以2·21＋λ＋4·λ－11＋λ＝1，解得λ＝13，所以所求圆的方程为：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0. [B 能力提升]11．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：选D.设动圆圆心坐标为(x ，y )，当两圆内切时有（x －5）2＋（y ＋7）2＝4－1，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝9，当两圆外切时有（x －5）2＋（y ＋7）2＝4＋1，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝25.12．若点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，则圆(x －a )2＋y 2＝1与圆x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是________．解析：因为点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，所以a 2＋b 2＝4.又圆x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 1(0，b )，半径r 1＝1，圆(x －a )2＋y 2＝1的圆心C 2(a ，0)，半径r 2＝1，则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2， 所以d ＝r 1＋r 2，所以两圆外切．答案：外切13．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．解：设圆B 的半径为r ，因为圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，所以圆B 的圆心可设为(t ，2t )，所以圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.①因为圆A 的方程为x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，②所以②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③因为圆B 平分圆A 的周长，所以圆A 的圆心(－1，－1)必须在公共弦上， 于是将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋215≥215， 所以当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215. 14．(选做题)已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2，1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)由两圆外切，所以|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是：(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x ＋y ＋1－22＝0.(2)设圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0.①作O 1H ⊥AB ，则AH ＝12|AB |＝2，O 1H ＝2， 由圆心(0，－1)到直线①的距离得 |r 22－12|42＝2， 得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
[A 基础达标]1．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.910解析：选D.法一：由题意可知从5个球中任取3个球的所有情况有10种，所取的3个球至少有1个白球的情况有(10－1)种，根据古典概型公式得所求概率P ＝10－110＝910.法二：所取3个球中白球数X 服从超几何分布，X 的分布列为X 0 1 2 P110610310故P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝610＋310＝910.2．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ＝3)C ．P (X ≤2)D ．P (X ≤3)解析：选B.设6人中“三好学生”的人数为k ，则其选法数为C k 5·C 6－k7，当k ＝3时，选法数为C 35·C 37.3．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽2件，则出现2件次品的概率为( ) A.2245 B.949C.47245D ．以上都不对 解析：选A.出现2件次品的概率为C 25·C 045C 250＝2245.4．袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为710的是( )A ．都不是白球B ．恰有1个白球C ．至少有1个白球D ．至多有1个白球解析：选D.P (都不是白球)＝C 22C 25＝110，P (恰有1个白球)＝C 13C 12C 25＝35，P (至少有1个白球)＝C 13C 12＋C 23C 25＝910，P (至多有1个白球)＝C 22＋C 13C 12C 25＝710.故选D. 5．一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率是( )A.C 12C 948C 1050B.C 12C 950C 1050C.C 12C 1050D.C 948C 1050解析：选A.50件产品中，次品有50×4%＝2(件)，设抽到的次品数为X ，则抽到1件次品的概率是P (X ＝1)＝C 12C 948C 1050.6．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．解析：由题易知，从5个球中随机取出2个球共有C 25＝10种不同取法，而取出的球颜色不同共有C 13C 12＝6种不同取法，故所取出的2个球颜色不同的概率为P ＝C 13C 12C 25＝610＝35.答案：357．在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率是________．解析：设随机变量X 表示取出二级品的件数，则P (X ＝1)＝C 15C 215C 320＝3576，P (X ＝2)＝C 25C 115C 320＝538，P (X ＝3)＝C 35C 015C 320＝1114.所以P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3576＋538＋1114＝137228.答案：1372288．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________．解析：设10个球中有白球m 个，则C 210－mC 210＝1－79，解得：m ＝5.P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.答案：5129．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X 的分布列．解：由于从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7，那么含有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0，1，2，3.所以随机变量X 的分布列为10.交5元钱，可以参加一次摸奖．一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所摸到的2个球的钱数之和(设为X )，求X 的分布列．解：因为X 为摸到的2球的钱数之和，故X 可能取的值为2(摸到2个1元球)，6(摸到1个1元球1个5元球)，10(摸到2个5元球)．所以P (X ＝2)＝C 28C 210＝2845，P (X ＝6)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝10)＝C 22C 210＝145.综上所述，得X 的分布列为[B 能力提升]11．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ≥1)D ．P (X ≥2)解析：选B.由条件知，随机变量X 服从参数为N ＝26，M ＝4，n ＝2的超几何分布，其中X 的不同取值为0，1，2，且P (X ＝k )＝C k 4C 2－k22C 226(k ＝0，1，2)．所以P (X ＝0)＝C 04C 222C 226，P (X ＝1)＝C 14C 122C 226，P (X ＝2)＝C 24C 226.所以P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 222＋C 14C 122C 226.12．李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的7道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选，则李明入选的概率为________．解析：设所选3题中李明能答对的题数为X ，则X 服从参数为N ＝10，M ＝7，n ＝3的超几何分布，且P (X ＝k )＝C k 7C 3－k3C 310(k ＝0，1，2，3)故所求概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 27C 13C 310＋C 37C 03C 310＝63120＋35120＝4960. 答案：496013．老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出2篇才能及格．某同学只会背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他会背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．解：(1)设抽到他会背诵的课文的数量为X ，则X 服从参数N ＝10，M ＝6，n ＝3的超几何分布．则有P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.因此X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.14．(选做题)现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为17.(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X ，求X 的分布列，并求甲班学生数不少于1人的概率．解：(1)设甲班的学生数为n ，由题意得，17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，整理得n 2－n －6＝0，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)． 即7个学生中，有甲班3人．(2)由题意知X 服从参数N ＝7，M ＝3，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝k )＝C k 3C 2－k 4C 27(k ＝0，1，2)． 所以P (X ＝0)＝C 03C 24C 27＝621＝27，P (X ＝1)＝C 13C 14C 27＝1221＝47，P (X ＝2)＝C 23C 04C 27＝321＝17.所以X 的分布列为由分布列知P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝47＋17＝57.即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为57.。
[A 基础达标]1．已知点P 为抛物线y 2＝2px 上任一点，F 为焦点，则以P 为圆心，以|PF |为半径的圆与准线l ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．位置由F 确定解析：选B ．圆心P 到准线l 的距离等于|PF |，所以相切．2．已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px (p >0)上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选B ．由题意可知准线方程为x ＝－p ， 所以8＋p ＝10，所以p ＝2． 所以焦点到准线的距离为2p ＝4．3．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )解析：选D ．a 2x 2＋b 2y 2＝1其标准方程为x 21a 2＋y 21b 2＝1，因为a >b >0，所以1a 2<1b 2，表示焦点在y 轴上的椭圆；ax ＋by 2＝0其标准方程为y 2＝－abx ，表示焦点在x 的负半轴的抛物线．4．一个动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(2，0)D ．(4，0)解析：选C ．由抛物线定义知圆心到准线x ＋2＝0的距离等于到焦点F (2，0)的距离，所以动圆必过定点(2，0)．5．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A ． 3B ． 5C ．2D ．5－1解析：选D ．由题意知，抛物线的焦点为F (1，0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋（－1）2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1．6．准线方程为x ＝－1的抛物线的标准方程为________．解析：由题意可设该抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，其准线为x ＝－p2＝－1，得p＝2.故该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．答案：y 2＝4x7．已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点， 若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________．解析：因为抛物线y 2＝4x的焦点为F (1，0)，设A 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0，由OA →·AF →＝－4得y 40＋12y 20－64＝0，即y 0＝±2， 所以点A 的坐标为(1，2)或(1，－2)． 答案：(1，2)或(1，－2)8．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：因为|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，所以x A ＋x B ＝52．所以线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54．答案：549．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程．解：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－p 2． 因为M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝±2 6.所以所求的抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2．10．某河上有座抛物线形拱桥，当拱桥高5 m 时，桥洞水面宽为8 m ，每年汛期，船工都要考虑拱桥的通行问题．一只宽4 m ，高2 m 的装有防汛器材的船，露出水面部分的高为34m ，要使该船能够顺利通过拱桥，试问水面距离拱顶的高度至少为几米？ 解：以抛物线形拱桥的拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设当水面涨到与抛物线拱顶相距h m 时，船恰好能通过．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，因为A (4，－5)在抛物线上， 所以42＝－2p ×(－5)，得p ＝85，故x 2＝－165y ．当船恰好能通过时，设船宽等于BB ′，则点B 的横坐标为2，代入x 2＝－165y ，得点B的纵坐标 y ′＝－54，所以h ＝|y ′|＋34＝54＋34＝2，因此，水面距离拱顶至少2 m ，船才能顺利通过此桥．[B 能力提升]11．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．4B ．2C ．1D ．8解析：选C ．如图，F ⎝⎛⎭⎫14，0，过A 作AA ′⊥准线l ，所以|AF |＝|AA ′|，所以54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14， 所以x 0＝1．12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过点P 作直线l 的垂线PM ，垂足为M ，已知△PFM 为等边三角形，则△PFM 的面积为________．解析：设l 与x 轴交于点A ，则|AF |＝p ，因为∠AFM ＝60°，所以|MF |＝2|AF |＝2p ，所以S △PFM ＝34(2p )2＝3p 2． 答案：3p 213．如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ．(2)由题意得A (4，4)，B (0，4)，M (0，2)．又F (1，0)，所以k AF ＝43，则F A 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34，则MN 的方程为y ＝－34x ＋2．解方程组⎩⎨⎧y ＝－34x ＋2，y ＝43（x －1），得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，所以N ⎝⎛⎭⎫85，45．14．(选做题)已知点A (3，2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12． (1)求点M 的轨迹方程；(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由于动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等，由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1，2p ＝2，故轨迹方程为y 2＝2x ．(2)存在M .理由如下：由题意得A (3，2)在抛物线内部，如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，这时M 的纵坐标为2，可设M (x 0，2)，代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2，2)．。
章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．每年的春运期间，购买火车票成为回家过年的人们的一大难题，人们用四个字来形容就是“一票难求”．在火车站的窗口买票，要有以下几个步骤：①取票；②向售票员说明目的地及乘车时间；③出示身份证；④付钱；⑤排队，则正确的流程是() A．②→⑤→①→③→④B．⑤→③→②→④→①C．②→③→①→⑤→④D．⑤→③→④→②→①解析：选B.根据我们日常购买火车票或汽车票的经验可以知道：第一步，要先排队；第二步，要向售票员出示身份证，确认身份信息；第三步，向售票员说明目的地及乘车时间；第四步，根据所购买车票的票价付钱；第五步，取票，购票结束．2．如图所示是某光缆的结构图，其中数字为各段的最大信息量，则从M到N的最大信息量为()A．6 B．7C．12 D．21解析：选A.从M到N分三层，上层分三段，按每一段上最少量计算，通过最大信息量为1；中间一层又分两条路线，分别按1和2来计算，通过最大信息量为3；下层按2来计算，所以最大信息量为6.故选A.3．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是()解析：选A.由各学校教职工组织结构易知选A.4．下面列出的是“平面向量”的知识结构图(如图所示)，其中向量的应用的下位要素是()A．向量的运算B．线段的定比分点C．线段的定比分点、平移、解斜三角形D．线段的定比分点、平移解析：选C.结构图反映了各部分之间的内在逻辑关系．5．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，输出的结果是()A．3 B．11C．38 D．123解析：选B.第一次循环：a＝3；第二次循环：a＝11；故该算法框图运行后输出的结果为11.6．如图是一个商场某一段时间制定销售计划时的局部结构图，从图中可以看出“计划”的制定主要受影响的因素个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.“计划”主要受“政府行为”“策划部”和“市场需求”三个因素的影响．7．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其流程图的是()A．利用公式1＋2＋…＋n＝n（n＋1）2计算1＋2＋…＋10的值B．当圆的面积已知时，求圆的周长C．给定一个数x，求其绝对值D．求函数f(x)＝x3＋4x－5的函数值解析：选C.求|x|，必须对x是否大于等于0进行判断，要用条件结构，不能只用顺序结构画流程图，故选C.8．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．34 B．55C．78 D．89解析：选B.运行程序：z＝x＋y＝1＋1＝2<50，x＝y＝1，y＝z＝2；第一次循环：z＝1＋2＝3<50，x＝y＝2，y＝z＝3；第二次循环：z＝2＋3＝5<50，x＝y＝3，y＝z＝5；第三次循环：z＝3＋5＝8<50，x＝y＝5，y＝z＝8；第四次循环：z＝5＋8＝13<50，x＝y＝8，y＝z＝13；第五次循环：z＝8＋13＝21<50，x＝y＝13，y＝z＝21；第六次循环：z＝13＋21＝34<50，x＝y＝21，y＝z＝34；第七次循环：z ＝21＋34＝55>50，输出z ＝55，故选B.9．如图(1)、(2)，它们都表示的是输出所有立方小于1 000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为( )A ．(1)n 3≥1 000？(2)n 3<1 000?B ．(1)n 3≤1 000？(2)n 3≥1 000?C ．(1)n 3<1 000？(2)n 3≥1 000?D ．(1)n 3<1 000？(2)n 3<1 000?解析：选D.图(1)、图(2)都表示当满足某条件时输出n ，否则结束程序，故应填入条件n 3<1 000？.故选D.10．某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x ，4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B ，C 完成后，D 可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C 需要的时间最多为( )A ．2天B ．3天C ．4天D ．9天解析：选B.由题意可画出工序流程图如图所示：因为总工期为9天， 所以2＋x ≤5， 所以x ≤3.所以完成工序C 的最长时间为3天．11．某程序框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数f (x )＝sin 2π3x ，f (x )＝cos 2π3x ，f (x )＝tan 4π3x ，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝sin 2π3xB ．f (x )＝cos 2π3xC ．f (x )＝tan 4π3xD ．三个函数都无法输出解析：选B.若输入函数f (x )＝cos 2π3x ，则f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫－32－x ＝cos 2π3x ＋cos ⎣⎡⎦⎤2π3⎝⎛⎭⎫－32－x ＝cos 2π3x ＋cos ⎝⎛⎭⎫－π－2π3x ＝cos 2π3x －cos 2π3x ＝0， f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝cos 2π3x ＋cos ⎣⎡⎦⎤2π3⎝⎛⎭⎫32＋x ＝cos 2π3x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π＋2π3x ＝0. 故函数f (x )＝cos 2π3x 可由题中程序框图输出．易验证函数f (x )＝sin 2π3x 和f (x )＝tan 4π3x 均无法输出，故选B.12．设十人各拿水桶一只，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需时T i 分钟，假设这些T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花的时间)为最少( )A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近诸T i 平均数的一个开始，按依次小取一个大取一个的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变解析：选B.从T i 中最小的开始，由小到大的顺序接水可使总时间最少．如只有T 1，T 2两人接水，T 1需10分钟，T 2需5分钟，若T 1先接则需要10＋(10＋5)＝25(分钟)，若T 2先接则只需要5＋5＋10＝20(分钟)．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．小明晚上放学回家要做如下事情：复习功课用30分钟，休息用30分钟，烧水用15分钟，做作业用25分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为________分钟．解析：休息时可以烧水，故最少时间为30＋30＋25＝85(分钟)．答案：8514．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物，狼、狗属于哺乳动物，鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整：①为______，②为________，③为________．答案：地龟哺乳动物长尾雀15．在平面几何中，四边形的分类关系可用以下框图描述，则在①中应填入________，在②中应填入________．解析：一组邻边相等的平行四边形是菱形，一条腰和底边垂直的梯形是直角梯形．答案：菱形直角梯形16．执行如图所示的算法框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内应填________．解析：a＝1时，b＝2，a＝2时，b＝22＝4，a＝3时，b＝24＝16.故判断框内应填a<4？.答案：a<4？(或a≤3？)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)汽车保养流程是：顶起车辆、更换机油、润滑部件、调换轮胎、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．解：流程图如图所示：18．(本小题满分12分)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <0，2，x ＝0，2＋x ，x >0，设计一个输入x 的值，输出y 值的流程图．解：流程图如图所示：19．(本小题满分12分)通过我们对0°<θ ≤360°角的认识及学习，试用树形结构图将其分类表示出来．解：树形结构图如图所示：20．(本小题满分12分)某“儿童之家”开展亲子活动，计划活动按以下步骤进行：首先，儿童与家长按事先约定的时间来到“儿童之家”，然后，一部分工作人员接待儿童，做活动前的准备；同时另一部分工作人员接待家长，交流儿童本周的表现；第三步，按照亲子活动方案进行活动；第四步，启导员填写亲子活动总结记录；同时家长填写反馈卡，最后启导员填写服务跟踪表．你能为“儿童之家”的这项活动设计一个活动流程图吗？解：流程图如下：21．(本小题满分12分)某汽车制造厂装配轿车有多道工序，各工序的先后关系如下表所示：工序代号工序名称工序所花时间(小时)紧前工序A 装配车身6无B 外表喷漆3A，IC 装配发动机11无D 安装发动机5CE 安装水泵4DF 安装汽化器5CG 安装点火、排气、发电、冷却装置12 E，FH 内部设施装配5无I 安装内部设施5G，H注：紧前工序，即与该工序相衔接的前一工序．(1)画出装配该轿车的工序流程图；(2)装配一辆轿车的最短时间是多少小时？解：(1)工序流程图如图所示．(2)装配一辆轿车的最短时间是11＋5＋4＋12＋5＋3＝40(小时)．22．(本小题满分12分)对于任意函数f(x)，x∈D，可按如图所示，构造一个数列发生器，其工作原理如图所示：①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1＝f (x 0)；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，将x 1反馈回输入端，再输出x 2＝f (x 1)，并以此规律继续下去．现定义f (x )＝4x －2x ＋1.(1)若输入x 0＝4965，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出数列{x n }的所有项；(2)若使数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值．解：(1)依数列发生器的工作原理及给定函数f (x )可知，D ＝(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． 由x 0＝4965∈D ，则x 1＝f ⎝⎛⎭⎫4965＝1119， x 2＝f ⎝⎛⎭⎫1119＝15， x 3＝f ⎝⎛⎭⎫15＝－1∉D ， 所以数列发生器结束工作， 故数列{x n }只有三项： x 1＝1119，x 2＝15，x 3＝－1.(2)要使数列发生器产生一个无穷的常数列， 则f (x )＝4x －2x ＋1＝x ，即x 2－3x ＋2＝0， 解得x ＝1或x ＝2. 所以当x 0＝1或x 0＝2时，x n＋1＝4x n－2x n＋1＝x n.故当x0＝1时，x n＝1；当x0＝2时，x n＝2(n∈N＋)．。
