数学必修五数列知识总结概论

第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

第二章 数列2.1 数列1.数列（1）数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123,,,,,n a a a a ……，简记为{}n a 。

其中数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项。

注意：①数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

所以，数列的一般形式可以写成123,,,,n a a a a …，简记为{}n a 。

如：数列1，2，3，4，…，可以简记为{n}。

②数列中的数是按一定次序排列的。

因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列。

如：数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不同的数列。

③数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同。

因此，同一个数在数列中可以重复出现。

如：1,1,1,1,1,1,---…；2,2,2,2,2,…等。

④{}n a 与n a 是不同的概念。

{}n a 表示数列123,,,,,n a a a a ……，而n a 仅表示数列{}n a的第n 项。

⑤从映射函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数N +（或它的有限子集{1,2,3,,}n …）的数与自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里的函数是一种特殊函数：它的自变量只能取正整数，由于数列的值是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

可以将序号为横坐标，相应的像为纵坐标，通过描点画图来表示一个数列，从数列的图像表示可以直观的看出数列的变化情况。

（2）数列的分类①按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列。

项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。

②按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。

数列知识总结一.知识网络:二. 1.数列的定义:按一定次序排列的一列数. 数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，…，n ｝上的函数当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值．2.数列的通项公式和前n 项和:对于任意数列,其通项是a n 和它的前n 项{}n a 和之间的关系是:,.n S ⎩⎨⎧-=-11n nn S S S a *),2()1(N n n n ∈≥= 3.求数列通项公式的方法:①观察法:找项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公式a n ,注意利用前几项得出的通项公式不一定唯一.②利用通项a n 和它的前n 项和之间的关系是:,n S ③公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解.④其它方法:迭加,迭乘,待定系数等.4.证明一个数列是等差数列或等比数列,常用的两种基本方法:一是利用定义;二是利用等差中项（或等比中项）来进行证明.(注意:通项的特点与前n 项和的特点只用于判断)5.等差数列的性质:(1)数列为等差数列，则a m = a n ＋（m －n ）d ,或{}n a m n a a d mn--=(2)数列为等差数列的充要条件是:其通项公式可以写成a n = an ＋b (a,b {}n a 为实常数).(3)数列为等差数列的充要条件,推广{}n a 112+-+=n n n a a a(n>k.>0)k n k n n a a a +-+=2(4)数列为等差数列:若,则.{}n a q p n m +=+q p n m a a a a +=+(5)数列为等差数列,去掉前m 项,剩下的项构成等差数列.{}n a 推广：数列为等差数列,则每隔k 项取m 项的和仍构成等差数列. {}n a (6)数列是公差为d 的等差数列,则奇(偶)数项构成公差为2d 的等差数列.{}n a 推广①:数列为公差为d 等差数列:则在数列中每隔项取一项构成的数{}n a k 列是公差为的等差数列.项数成等差数列的项成等差数列.d k )1(+ 推广②:数列是公差为d 的等差数列,则项下标成等差数列的项也成等差{}n a 数列.(7)数列,项数相同的等差数列:则,,为常{}n a {}n b {}n ka {}n n qb pa +{}q p q pa n ,(+数)仍为等差数列.(8)数列为等差数列,其前n 项和可以写成为常数).{}n a n S b a bn an S n ,(,2+=(9)数列为等差数列:则数列中依次每连续项之和构成的数列也是等差数{}n a k 列.(10)数列为等差数列:表示奇数项的和,表示偶数项的和,{}n a 奇S 偶S 若项数为项时, 则有－= nd , /= a n / a n+1;n 2奇S 偶S 奇S 偶S 若项数为－1项时,则有－= a n ,/= n / (n －1),n 2奇S 偶S 奇S 偶S .n n a n S )12(12-=- 6.等比数列的性质:(1)数列为等比数列:.{}n a m n m n n n m n m n n a a a q a a q a a +---⋅===211,,(2)数列为等比数列: ,推广(n>m >0){}n a 112+-⋅=n n n a a a m n m n n a a a +-⋅=2(3)数列为等比数列:,则.{}n a k p n m +=+k p n m a a a a ⋅=⋅(4)数列为等比数列,取掉前若干项,剩余的项也构成等比数列.{}n a 推广：数列为等比数列,则每隔k 项取m 项的和(积)仍构成等比数列.{}n a (5)数列为等比数列,则奇(偶)数项构成等比数列.{}n a 推广①:数列为公比为 q 等比数列:则在数列中每隔项取一项构成的{}n a k 数列是公比为的等比数列.1+k q 推广②:数列为等比数列,则项数成等差数列的项成等比数列.{}n a (6)数列,为项数相同的等比数列:则,,,,{}n a {}n b }1{n a }{nn b a {}n ka {}n n b a ⋅为常数)等仍为等比数列.{}k a k n((7)数列为公比为q (q ≠±1)的等比数列:则数列中连续项之和(积)构成{}n a k 的数列是等比数列.(8)数列为等比数列: (表示奇数项的和,表示偶数项的和){}n a 奇S 偶S 若项数为项时,则有/=q ;若项数为－1项时,则有(－)/n 2偶S 奇S n 2奇S 1a = q.偶S (9)递推公式为的递推数列,都可以转化为)1(1≠+=+p q pa a n n }{n a 从而构造等比数列.111n n qq a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭7.等差数列与等比数列比较:8.等差数列与等比数列的关系:(1)各项为正的等比数列,其对数数列为等差数列.{}n a )1,0}({log ≠>a a a n a (2)数列为等差数列,则数列为正常数)为等比数列.{}n a C C n a }({9.数列求和的一般方法(结合于具体的示例讲解): ①倒序求和法:(等差数列的求和);②错位相减法:(等比数列和差比数列);例1:求和:.*)(432432N n na a a a a n ∈+++++ ③裂项相消法:(数列中的各项可以拆成几项,然后进行消项);例2:求和:.)12()12(1751531311+⋅-++⨯+⨯+⨯n n 例3:求数列的前n 项和.}11{++n n ④通项化归法:(化出通项,由通项确定求和方法);例4:求数列:的前n 项和. ,3211,,3211,211,1n+++++++n S ⑤分组求和法:(将一个数列分成几组,每组都可以用求和公式来求解);例5:求数列的前n 项之和.,21,,814,413,212,21-+n n ⑥公式法:(应用等差或等比数列的求和公式直接来求解).⑦.累差迭加法例6:已知数列6,9,14,21,30,…,其中相邻两项之差成等差数列,求它的通项.名称等差数列等比数列定义a n+1―a n =d 为等差数⇔{}n a 列为等比数列⇔≠=+)0(1q q a a nn {}n a 通项公式a n = a 1＋(n －1)d =a m ＋(n －m )da n = a 1q n －1= a m q n －m前n 项和公式()21n n a a n S +=()d n n na 211-+=()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==.1111,1111q q qa a q q a q na S n n n 中项a ，A ，b 成等差数列，或2 ⇔2ba A +=A =a ＋b ．a ，G ，b ，成等比数列，或 G 2=ab⇔ab G ±=⑨∑求和记法用= 。

数学必修五知识点总结1、数列概念①数列是一种特殊的函数。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

数列可以看作一个定义域为正整数集N某或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a、列表法；b、图像法；c、解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

等差数列1、等差数列通项公式an=a1+（n—1）dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn—Sn—1an=kn+b（k，b为常数）推导过程：an=dn+a1—d令d=k，a1—d=b则得到an=kn+b2、等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。

这时，A叫做a与b的等差中项（arithmeticmean）。

有关系：A=（a+b）÷23、前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+（a1+d）+（a1+2d）+······+[a1+（n—1）d]①Sn=an+an—1+an—2+······+a1=an+（an—d）+（an—2d）+······+[an—（n—1）d]②由①+②得2Sn=（a1+an）+（a1+an）+······+（a1+an）（n 个）=n（a1+an）∴Sn=n（a1+an）÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n（a1+an）÷2=na1+n（n—1）d÷2Sn=dn2÷2+n（a1—d÷2）亦可得a1=2sn÷n—an=[sn—n（n—1）d÷2]÷nan=2sn÷n—a1有趣的是S2n—1=（2n—1）an，S2n+1=（2n+1）an+14、等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+（n—m）d它可以看作等差数列广义的通项公式。

数列知识点总结一、等差数列与等比数列等差数列等比数列定义a n 1 - a n =d a n 1=q(q 0)通项公式递推公式中项前 n 项和性质a na n = a 1 +（ n-1 ） da n = a 1 q n 1 (q 0)a n = a n 1 +d, a n = a m +(n-m)da n = a n 1 qa n = a m q nma b推广： A= a n k a n k （ n,kG 2ab 。

推广：G= a n k a n k （ n,kA=+22 ;n>k>0 ）。

任意两数 a 、c 不一定N+有等比中项， 除非有 ac ＞ 0，则等比中N ;n>k>0 ）项一定有两个n（ a 1 + a n ）S n =a 1 (1 q n )S n =1 q2S n =n a 1 +n(n 1)dS n =a 1 a n q21 q（ 1）若 m n p q ，则 a m a n a p a q ； （1） 若m np q ， 则（2）数列 a2n 1, a 2n, a2n 1 仍为等差数a m ·a n a p ·a q列，S n ，S 2 nS n ， S 3 n S 2 n ⋯⋯ 仍为等差数（ 2）S n ，S 2n S n ，S 3nS 2n ⋯⋯ 仍列，公差为 n 2d ；为等比数列 ,公比为 q n（3）若三个成等差数列，可设为a d ， a ， a d（ 4）若 a n ，b n 是等差数列，且前 n 项和分别a m S2 m 1为 S n ， T n ，则T 2 m 1b m（ 5） a n为等差数列S n an 2bn（ a ， b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数） （ 6） d=a ma n(m n)m n(7)d>0 递增数列 d<0 递减数列 d=0 常数数列二、求数列通项公式的方法1、通项公式法： 等差数列、等比数列2、涉及前ｎ项和 S n 求通项公式，利用a n 与 S n 的基本关系式来求。

必修五第二章数列归纳总结一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．3. an 与Sn 的关系设Sn ＝a1＋a2＋a3＋…＋an,则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2). 二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 这样的数列叫做等差数列．2. 等差中项如果三数a 、A.b 成等差数列, 则A 叫做a 和b 的等差中项, ∴A ＝ .3. (1)通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .推导方法: 累加法an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(2)前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 推导方法: 倒序相加法.4. 用函数观点认识等差数列(1)an ＝nd ＋(a1－d)是n 的一次函数.(2)Sn ＝ n2＋(a1－ )n, 是关于n 的常数项为零的二次函数．5. 等差数列的判定方法(1)定义法: an ＋1－an ＝d(常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)中项公式法: 2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法: an ＝kn ＋b(k, b 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(4)前n 项和公式法：Sn ＝An2＋Bn(A 、B 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列.(5){a n }是等差数列⇔{S n n}是等差数列 6. 等差数列的性质(1)下标和与项的和的关系在等差数列中, 若p ＋q ＝m ＋n, 则有ap ＋aq ＝am ＋an ；若2m ＝p ＋q, 则有2am ＝ap ＋aq, (p, q, m, n ∈N*).(2)任意两项的关系在等差数列{an}中, m 、n ∈N*, 则am －an ＝(m －n)d 或am ＝an ＋(m －n)d 或 ＝d.(3)在等差数列中, 等距离取出若干项也构成一个等差数列, 即an, an ＋m, an ＋2m, …为等差数列, 公差为md.等差数列的依次n项的和也构成一个等差数列, 即Sn, S2n－Sn, S3n－S2n, ……为等差数列, 公差为n2d.即下标成等差的项成等差数列, 下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列.(4)设等差数列{an}的公差为d, 那么d>0⇔{an}是递增数列；d<0⇔{an}是递减数列；d＝0⇔{an}是常数数列.(5)①数列{λan＋b}仍为等差数列, 公差为λd.若{bn}, {an}都是等差数列, 则{an±bn}仍为等差数列, {λ1an＋λ2bn}(λ1, λ2为常数)也是等差数列.②项数为n的等差数列中, n为奇数时, 设m＝ , 则S奇－S偶＝am, ＝ , Sn＝na 中＝nam.n为偶数时, S偶－S奇＝ d.③若{an}与{bn}为等差数列, 且前n项和分别为Sn与S′n, 则＝ .④等差数列{an}中, 若an＝m, am＝n(m≠n), 则am＋n＝0.⑤若数列{an}的前p项和为Sp＝q, 前q项和为Sq＝p(p≠q), 则Sp＋q＝－(p＋q).⑥若数列{an}的前n项和为Sn, Sp＝Sq(p≠q), 则Sp＋q＝0.三、等比数列1. 等比数列的定义一般地, 如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫做等比数列．2. 等比中项如果三个数a、G、b成等比数列, 那么G叫做a和b的等比中项, 即G2＝ab.3. 等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(n∈N*).推导方法: 累乘法: ·……·＝qn－1.4. 等比数列的前n项和当q＝1时, Sn＝na1,当q≠1时. Sn＝＝.推导方法: 乘公比、错位相减法.5. 等比数列的判定方法(1)an＋1＝anq(q是不为0的常数, n∈N*, an≠0)⇔{an}是等比数列.(2)an＝cqn－1(c, q均是不为0的常数, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(3)an＋12＝an·an＋2(an≠0, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(4)Sn＝A·qn－A(A.q为常数且A≠0, q≠0,1)⇔{an}是公比不为1的等比数列．6. 等比数列的主要性质(1)下标和与项的积的关系在等比数列{an}中, 若m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q, 则am·an＝ap·aq.特别地, 若2m＝p＋q, 则ap·aq＝am2；a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)任意两项的关系若{an}为等比数列, 则＝qm－n或am＝an·qm－n(m、n∈N*).(3)等间隔的k项和(或积)仍成等比数列.例如: {an}是等比数列, 则①a1, a3, a5, …, a2n－1；②a1＋a2, a2＋a3, a3＋a4, …；③a1a2, a2a3, a3a4, …；④a1＋a2, a3＋a4, a5＋a6……均成等比数列．(4)等比数列{a n}的单调性当, 或时, {an}为递增数列；当或时, {an}为递减数列.(5)①{an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0).②{an}、{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{ }仍是等比数列.③若{an}是等比数列, 则{an2}、{ }(an>0)、{ }、{|an|}均为等比数列.④非零常数列既是等差数列, 也是等比数列.⑤若{an}是等差数列, 则{ban}是等比数列.若{an}是正项等比数列, 则{lgan}是等差数列．误区警示1. 数列与数集应予区别, 数列中的数排列有序, 数集中的元素无序；数列中的数可重复出现, 数集中的元素互异.2. 并不是每一个数列都有通项公式, 给出前n项时, 写出的通项公式可以不止一个.3．已知{an}的前n项和Sn求an时,用an＝求解应注意分类讨论.an＝Sn－Sn－1是在n≥2条件下求出的, 应检验a1是否适合. 如果适合, 则合写在一块, 如果不适合, 则分段表示. 千万注意用an＝Sn－Sn－1判断数列{an}是否为等差(或等比)数列时, 不要忘记验证a1是否满足.如: Sn＝n2＋n时, {an}是等差数列.Sn＝n2＋n＋1时, {an}不是等差数列.Sn＝2n－1时, {an}是等比数列.Sn＝2n＋1时, {an}不是等比数列.4. 在讨论等差数列{an}的前n项和Sn的最值时, 不要忽视n是整数的条件及含0项的情形.如: 在等差数列{an}中, 已知a1＝20, 前n项和为Sn, 且如S10＝S15, 求当n取何值时, Sn有最大值, 并求出它的最大值．取最大值的应为S12和S13.5. G是a、b的等比中项 G＝.6. 在应用等比数列的前n项和公式时, 一定要对q＝1与q≠1进行分类讨论.7．等比数列中隐含着各项不为零、公比不为零, 项与公比的符号有着密切的联系, 解题时应特别注意．。

第二章：数列知识要点一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列，其中第一项也成为首项；是数列的第项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个式子表示成，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递减数列;如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：123,,,,,n a a a a{}1n a n N *{}na n ()n a f n ={}n a 1n n a a +>1n n a a +<{}n a如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为，公差为，则通项公式为：.3、等差中项：（1）若成等差数列，则叫做与的等差中项，且;（2）若数列为等差数列，则成等差数列，即是与的等差中项，且；反之若数列满足，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若则，若则；（2）若数列和均为等差数列，则数列也为等差数列；（3）等差数列的公差为，则为递增数列，为递减数列，为常数列.5、等差数列的前n 项和：（1）数列的前n 项和=；（2）数列的通项与前n 项和的关系：（3）设等差数列的首项为公差为，则前n 项和6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列中，连续m 项的和仍组成等差数列，即,仍为等差数列（即成等差数列）；（2）等差数列的前n 项和当时，可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；1n n a a d +-={}n a 1a d ()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、a b、、A a b =2a A +12,,n n n a a a ++1n +a 2n a +21=2n n n a a a +++{}n{}n a (),m n p q m n p q N ++=+∈、、、m n pq a a a a +=+2m n p =，2m n p a a a +={a }n b {}n n a b ±{}n a d >{}0n a <⇔d =nS {}n a n S ()1231,n n a a a a a n N -++++++∈ {}n a n S 11,1.,2n n n n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n 1,a d ()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+{}n a 12122,,m m m m a a a a a a ++++++++ 21223m m a a a +++++ 232,,,m m m m m S S S S S -- {}na ()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭0d ≠n S（3）若等差数列共有2n+1（奇数）项，则若等差数列共有2n （偶数）项，则7、等差数列前n 项和的最值问题：设等差数列的首项为公差为，则（1）（即首正递减）时，有最大值且的最大值为所有非负数项之和；（2）（即首负递增）时，有最小值且的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）.即，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：.3、等比中项：（1）若成等比数列，则叫做与的等比中项，且;（2）若数列为等比数列，则成等比数列，即是与的等比中项，且；反之若数列满足，则数列是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列中，若则，若则；（2）若数列和均为等比数列，则数列也为等比数列；（3）等比数列的首项为，公比为，则为递增数列，为递减数列，为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列的前n 项和=；（2）数列的通项与前n 项和的关系：()11==,n S n S S a S n ++-奇奇偶偶中间项且{}n a 1==.n n S a S S nd S a +-偶奇偶奇且n S {}n 1,a d 100a d ><且n S 100a d <>且n S q 0q ≠()1n na q q a +=为非零常数{}n a 1a q ()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、a b、、A a b 2=A ab 12,,n n n a a a ++1n +2n a +212=n n a a ++⋅{}n a {}n a (),m n p q m n p q N ++=+∈、、、m n p q a a a a ⋅=⋅2m n p +=，2m n pa a a ⋅={a }nb {}n n a b ⋅{}na 1a q 1100101a a q q ><⎧⎧⎨><<⎩或{}1100011n a a a q q ><⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或{}1n q a =⇔{}na n S ()1231,n n a a a a a n N -++++++∈ {}n a n 11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等比数列的首项为，公比为，则由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知中任意三个，便可建方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列中，首项为，公比为，则（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即,仍为等比数列（即成等差数列）；（2）当时，，设，则.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列恒有：（1）（2）3、递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：已知（即）求，用作差法：类型二（累加法）：已知：数列的首项,且，求.给递推公式中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：利用公式可得：{}n a 1a ()0q q ≠()11,1.1,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩1,,,,n n a q n a S {}n a 1a ()0q q ≠12122,,m m m m a a a a a a ++++++++ 21223m m a a a +++++ 23,,,m m m m m S S S S S -- 1q ≠()()11111111111111n nn n n a q a a a a a S q q q q q q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------11a t q =-n n S tqt =-{}n a ()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++- ()23411231,0,n n n n a a a aa a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈ S 12()na a a f n +++= n a {11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥{}na 1a ()()1,n n a a f n n N ++-=∈n a 通项()()1,n n a a f n n N ++-=∈()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=- ()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++- ()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且，求.给递推公式中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：利用公式可得：类型四（构造法）：形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。