人教版高中数学必修五数列知识点及习题详解

精品文档人教版数学高中必修5数列习题及知识点第二章数列aadan等于( )．＝2 005＝1，公差为，则序号＝3{1．的等差数列，如果}是首项nn1A．667B．668 C．669 D．670aaaaa＝( )＋．中，首项＋＝3，前三项和为21，则2．在各项都为正数的等比数列{ }n5413A．33 B．72 C．84 D．189aaad≠0，则( )3．如果，．，…，为各项都大于零的等差数列，公差812aaaaaaaaaaaaaaaa＜B．．＜＋＝ C． DA．＋＞5485 854181118445122nxxmxx的等差数列，则＝－24．已知方程(0－2＋＋的四个根组成一个首项为)()4nm－．｜｜等于( )313D．．． C1A． B824aaaa}的前4项和为＝243．等比数列{，则}中，{＝9，( ). 5nn52A．81 B．120 C．168 D．192aaaaaanSn是0项和成立的最大自然数＞0，＞·6．若数列{＜}是等差数列，首项0＞0，＋，则使前nn00400312 2 0042 0032( )．A．4 005B．4 006C．4 007D．4 008aaaaa＝( )．，若, ，则， 7．已知等差数列{成等比数列}的公差为2n2314A．－4 B．－6 C．－8 D．－10aS559nSa＝( )．8．设是等差数列{＝}的前项和，若，则nn aS9351 A．1D．2 C B．－1 ．2a?a12aabbb，－4，4成等差数列，－1，成等比数列，则．已知数列－的值是( )． 91，，，，－32121b211111 D．或 B．－ C．－ A．422222anSn＝( )．38＝，则2)＝0(＋≥，若a aaa－10．在等差数列，0中，}{≠nn121＋－nnn1－n精品文档．精品文档9． D C．10 A．38 B．20二、填空题1nfffxf(0)＋…＋4)5))＋＝＋…＋，利用课本中推导等差数列前(项和公式的方法，可求得－11．设((－x22?ff(6)的值为＋ .(5)a}中，{ 12．已知等比数列n aaaaaaaa＝·．＝8，则··(1)若···65543342aaaaaa＝．＋324，＋＝(2)若36＋，则＝652413SSaaaa＝＋ .＝6，则＋若(3)＋＝2，208184171982713．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．23aaaaaa)＝24，则此数列前＋13}中，3(＋项之和为)＋2( . ．在等差数列14{＋n1375310aaaaaa＝，则＋…＋＋}中，＝3， .＝－．在等差数列15{2n105654nnfnn表示这，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用．设平面内有)条直线((≥3)16fnfn)＝．＞4时，条直线交点的个数，则；当(4)＝ (三、解答题2annnaS.}，求证数列项和{＝3－2成等差数列{17．(1)已知数列的前}nnn b?cc?aa?b111，，成等差数列，求证已知(2)，，也成等差数列. abccba精品文档．精品文档aqaaa成等差数列．的等比数列，且，，18．设{}是公比为n213q 的值； (1)求bqnSnSb的大小，并说明理由．与≥2为首项，2为公差的等差数列，其前项和为时，比较，当 (2)设{}是以nnnnn?2SanSana＝1，2，，已知，＝13＝…()． 19．数列{}的前项和记为nnnn1＋1nS n}求证：数列是等比数列．{ nSaanaSaa，．已知数列20{3，2为其前项和，1}是首项为且公比不等于的等比数列，，成等差数列，求证：12nn3741SSS成等比数列－.，6126精品文档．精品文档第二章数列参考答案一、选择题1．Caandnn＝699，∴．1＋3(＝＋(－－1)1)，即2 005＝解析：由题设，代入通项公式n12．C 解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．aqqaaa＝21＋0)，由题意得设等比数列{，}的公比为＋( ＞n31222qaqaqq＋7＋．)＝21，又＝＝3即，∴(1＋1＋11qq )，＝－3(不合题意，舍去解得＝2或222qqaqaaa 84．2)＝∴3＋＋×＝×7(1＋＝＋1534B．3．aaaa＝C＋＋．，∴排除解析：由51482daaaadaa又＝·＝，(＋＋77)11811122adaddaaaadaa＞12．＋7∴··＝(＋3 )(＋＋4)＝85111411C 4．解析：111122adadadaxxmxxn＝0＋－2，而方程2－中＋，＝1解法：设＝0中两根之和为2，＝＋，＝＋2，＝＋3421344442，两根之和也为daaaa，4＋＝＋∴＋＋16＝413211735aadaa ＝是另一个方程的两个根．，，，＝∴＝＝是一个方程的两个根，＝314124444715mn，分别为或∴，16161mn｜＝－∴｜．，故选C 2 精品文档．精品文档xxxxxxxxxxmxxn．·，·，且＝＋＝，＋＝解法2：设方程的四个根为＝，2，，4433123421127xxaaxspqaa，于是可得等＋＋＝必为第四项，则＋，若设，则＝＋为第一项，＝由等差数列的性质：若qsp21241357，，，，差数列为4444715nm＝∴，＝，16161mn｜＝∴｜－．25．Ba24335qaa＝＝27＝9，，＝243，＝解析：∵52a92qaqa＝3，＝9 ∴，＝3，11533－240S＝＝＝∴120．41－326．B解析：aaaaaaa＞0和·，则公差为负数，否则＜0解法1：由，知＋0＞，两项中有一正数一负数，又12 0032 0032 0042 0042 0032 004aaaa＜0.各项总为正数，故＞＞0，即，2 0042 0042 0032 0034006(a＋a)4006(a＋a)1004240062003S＞0，＝∴＝4 0062240074007aSaa＜0，＝··(2＋∴＝)2 00414 0074 007 22S＞0的最大自然数. 选B故4 006为．n aaaaaaa，＞10，同解，＞0法＋，＞0的分析得·0＜解法2：由 2 0032 0032 0032 12 0042 004004，＜0SS中的最大值．∴为n2 003nS是关于的二次函数，如草图所示，∵n2 004到对称轴的距离小，∴2 003到对称轴的距离比0074在对称轴的右侧．∴)第(6题2B0084 ，0074 006根据已知条件及图象的对称性可得在图象中右侧4 的左侧，零点S 4 0060＞都在其右侧，的最大自然数是．n精品文档．精品文档B7．aaaaa＋4，6}是等差数列，∴＝＝，＋解析：∵{n1431aaa，成等比数列，又由，4312aaaa＝－，解得＝4)8(，＋∴(6)＋1111a．2＝－6∴＝－8＋2A．8)a(a?991a?9S59259，∴选A．＝＝·＝解析：∵1＝)?a5(aa5?S9551352A9．4qddq(－解析：设1)和，分别为公差和公比，则－4＝－1＋3且－4＝2qd＝，∴2＝－1，daa?112∴．＝＝2qb?22C10．22aaa＝，＋，∴＝2aa a为等差数列，∴{解析：∵}nnn1＋－1n nn aaa≠0，∴＝2又，{为常数数列，}nnn38S1?2n na－1＝＝而，即＝219，n212n?n．＝10∴二、填空题．11．231xf 解析：∵，(＝)x2?21x2x122xf＝)＝∴，(1－＝x x1?x22?2?22?22?111xxx)(2??21?2?212222xffx．＝＝(1－＝)＋＝∴(＋)2xxxx22?2?22?22?2Sfffff(6)，＋＋…＋－5)设＝(－＋(4)(0)＋…＋(5)精品文档．精品文档fffffS－5)(－4)则＋＝(6)＋，(5)＋…＋((0)＋…＋ffffSff＝，(－5)[－5)]＋＋(5)＋6(－4)]∴2＋…＋＝[[(6)＋(6)](2fffffS＝＋…＋．(5)＋＝3(－5)＋(－4)＋…＋(6)∴(0)2．3）32（2）4；（12．（1）32；2a，＝2，得a aa＝解析：（1）由·45345．＝32a aaaaa＝····∴624534324??aa?1212?q?，2）（?2936?)q(a?a?214qaaaa．∴)＋4＝(＝＋21562a ＝a＋a＋S＝a＋??442314q?（3），2＝?4?q＋Sa＝S＋a＋???＋S＝a?28441816qaaaSa＋＝＝32∴．＋＋419201817．216．13827同号，由等比中项的，解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与23827278?，6＝?插入的三个数之积为×中间数为×6＝216．323214．26．aaaaaa，2＋解析：∵＋＝2＝，10713345aaaa＝4，＋＋ )＝24，∴6(104104?)aa＋aa＋)13(13(413101413S＝＝＝∴＝26．1322215．－49．daa＝－5－，解析：∵＝56aaa＋…＋＋∴10 457(a＋a)104＝27(a－d＋a＋5d)55＝2 精品文档．精品文档ad) ＋＝7(25＝－49．1nn－2)．＋16．5，1)(( 2fk)(解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴＝fkk－1)．＋(( －1)f(3)＝2由，ff(3)＋3＝2＋＝3＝5， (4)ff(4)＋4＝2＋3＋4＝9，(5)＝……fnfnn－1)(，( －1)(＋)＝1nnfnn－2)．＝( ＋＝2＋3＋4＋…＋(1)(－相加得(1))2三、解答题项开始每项与其前一项差为常数．17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2San＝1，＝3－证明：（1）2＝1时，＝1122nSnnnnanS＝32－，－[3(－－－1)－2(5－1)]当2≥时，＝＝6nnn1－nann∈N*)．－5(＝1时，亦满足，∴＝6n aaannn∈N*)，常数)( －1)－首项5]＝1，＝－6(＝6－5－[6(nn11－aa＝1，公差为6．∴数列{ }成等差数列且n1111，，成等差数列，（2）∵abc211acbac)．2＋＝∴ (＝＋化简得bac222222b＋ca＋ba＋c)(a＋bc＋ca＋＋＋abb(ac)＋ac＋c)(a＋c＋＝＝＝＝＝2·，b(a＋c)acacacacb 2b＋cc＋aa＋b∴，，也成等差数列．abc2qaaqaaaa＝2，2．解：18（1）由题设＋＝＋，即1213112qqa，20－－1＝，∴≠∵011q．或－1∴＝ 2 精品文档．精品文档2＋3nn)－1n(n qSn＋＝．＝2（2）若＝1，则n22(n－1)(n＋2)nS－bSS＞b．0，故＝＝当＞≥2时，nnnnn1－22＋9n－nn(n－1)11qSn＋ (－)＝＝－，则．＝2若n4222(n－1)(10－n)nS－bS＝，≥2时，＝当nnn1－4nnSbnSbnSb．＜时，；当＞≥；当11＝10时，故对于时，∈N，当2≤＝≤9nnnnnn+n＋2SaaSS，，19．证明：∵＝＝－nnnnn1＋1＋＋1n nSnSSnSn S，1)2(＝＝( －＋)∴(，整理得＋2)nnnnn1＋1．所以＝n＋1nS n}是以{2为公比的等比数列．故n63aaaaaa aqaaq，＋S2S n1n＋＋，即．证明：由4，23，3成等差数列，得4＝＝＋32011471711433qq＝0＋1)(，－1) 变形得(4133qq＝1(舍) ∴或＝－．46)q1?a(13q?1S11?q6由＝＝＝；3)?q12a(112S1216131?q12)q1a(?1SS?S1q?1612126q－1＝；＝1 ＋＝－1＝－16)?qa(1SS16166 1?qS?SS1266．得＝S12S63SSSS成等比数列．12∴，，－63126精品文档．精品文档数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质??da?a?为常数），（d??a?1na d定义：nn?11n等差中项：成等差数列y??x?2Ax，A，y????1nnn??aa n1d??S?na n项和前1n22??a是等差数列性质：??????2aaa,,……S，S?S，S?S仍为等差数列，n a?a?a?a；，则）若（1q??pnm?qnmp公差为仍为等差数列，dn；）数列（21n2n?2n?12n2nn2n3n（3）若三个成等差数列，可设为d?，aa?d，a aS2m?1m n?TSb，a，是等差数列，且前，则项和分别为）若（4nnnn bT2m?1m??2n bnan???S a0为常数，是关于（的二次函数）为等差数列的常数项为ba，）（5nn ??2Sbn?San?a中的正、负分界项，的最值可求二次函数的最值；或者求出nnna?0?n n S0?0，da?值，解不等式组.达到最大值时的可得即：当?n1a?0?1n?a?0?n n S0，d??a0值.达到最小值时的，由可得当?n1a?0?1n?精品文档．精品文档??a有 (6)项数为偶数的等差数列n2n，)a为中间两项)(a,n???(a?a)S?n(a?a?n(a?a)1nn2nn?n12n2n?11?2Sa奇n ndS?S??. ，奇偶aS n?1偶??a的等差数列7）项数为奇数有（1?2n n，S?(2n?1)a(a为中间项)，nn2n?1Sn奇a?S?S?. ，n偶奇n?S1偶2. 等比数列的定义与性质a n?11n?q?，为常数，）（q0q?qa?a定义：.1n a n??n?Sn（要注意！）2xyG??，或xy?G?等比中项：成等比数列yG、x、.na(q?1)?1?前项和：qa?1?n1(q?1)?1?q???a是等比数列性质：n·a?a·aa，则1）若（q???mnp mpnq精品文档．精品文档n. 公比为仍为等比数列,……SSS，S?，S?q）（2nn32nnn2Sa时应注意什么？求：由注意nn a?S；时，1?n11时，a?S?S2n? .1n?nn精品文档．。

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习(一)(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习（一）一．数列的概念与简单表示法知识能否忆起1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝a n(n∈N*)．3.考点（一）由数列的前几项求数列的通项公式[例1] (2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )A ．a n ＝1B ．a n ＝－1n＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝－1n －1＋32[自主解答] 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinn π2可得a 1＝1，a 2＝2， a 3＝1，a 4＝2，….[答案] C 由题悟法1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想以题试法写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)3,33,333,3 333，…；(4)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n－1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.（二）由a n 与S n 的关系求通项a n已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n＋1.[自主解答] (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1. 当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎨⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2. 以题试法(2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝nn ＋1，则1a 5＝( )D ．30解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n n ＋1，则a 5＝15×6＝130. （三）数列的性质[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？[自主解答] (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小． 由题悟法1．数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；若a m ≤0，且a m ＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.以题试法3．(2012·江西七校联考)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值是( )A ．310B ．19解析：选C a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，易知当n ＝9或10时，a n ＝119最大．二．等差数列及其前n 项和知识能否忆起一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．二、等差数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . 2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n2.三、等差数列的性质1．若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．在等差数列{a n }中，a k ，a 2k ，a 3k ，a 4k ，…仍为等差数列，公差为kd . 3．若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列，公差为n 2d . 4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列，且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值．d <0时为递减数列，且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．5．等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d .若其前n 项之和可以写成S n ＝An 2＋Bn ，则A ＝d2，B ＝a 1－d2，当d ≠0时它表示二次函数，数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．1.与前n 项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．(2)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn ⇒d ＝2A .(3)利用二次函数的图象确定S n 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．考点等差数列的判断与证明[例1] 在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．[自主解答] (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)，∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1， ∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．由题悟法1．证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n2.2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．以题试法1．已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列． 解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，则⎩⎨⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得A ＝2，B ＝－4，C ＝0.故S n ＝2n 2－4n . (2)证明：∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6. ∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．a n ＋1－a n ＝4， ∴数列{a n }是等差数列. 等差数列的基本运算典题导入[例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． [自主解答] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎨⎧ 2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n2＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.由题悟法1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．以题试法2．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝3.则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44. (2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案：(1)44 (2)6等差数列的性质典题导入[例3] (1)等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和S 9等于( )A ．66B ．99C ．144D ．297(2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( )A ．18B ．17C ．16D ．15[自主解答] (1)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.所以S 9＝9a 1＋a 92＝9a 4＋a 62＝99.(2)设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.[答案] (1)B (2)A由题悟法1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．以题试法3．(1)(2012·江西高考)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.(2)(2012·海淀期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.(2)∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，解得193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7.答案：(1)35 (2)B三．等比数列及其前n 项和[知识能否忆起]1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r . 特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)；a n ＝a m q n －m .1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 2．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误考点等比数列的判定与证明典题导入[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．以题试法1． (2012·沈阳模拟)已知函数f (x )＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }( )A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列解析：选 A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2，得log aa n ＋1a n ＝2＝log a a 2，故a n ＋1a n＝a 2.又a >0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列．等比数列的基本运算典题导入[例2] {a n }为等比数列，求下列各值： (1)a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求a n ； (2)已知a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q. 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎨⎧a 6－a 4＝a 1q 3q 2－1＝24， ①a 3a 5＝a 1q 32＝64. ②由②得a 1q 3＝±8，将a 1q 3＝－8代入①中，得q 2＝－2(舍去)． 将a 1q 3＝8代入①中，得q 2＝4，q ＝±2. 当q ＝2时，a 1＝1，∴a n ＝a 1qn －1＝2n －1.当q ＝－2时，a 1＝－1，∴a n ＝a 1q n －1＝－(－2)n －1.∴a n ＝2n －1或a n ＝－(－2)n －1.(2)∵a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15，∴⎩⎨⎧ a 3＝3，a 7＝12或⎩⎨⎧a 3＝12，a 7＝3.∴q 4＝a 7a 3＝4或14.∴q ＝±2或q ＝±22.由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)． 因为a 2，a 4，a 8成等比数列， 所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )， 解得d ＝2.所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝32＋34＋…＋32n ＝91－9n1－9＝98(9n－1)． 等比数列的性质典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )C ．1D ．－32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3.log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74 ＝7log 33π3＝7π3，故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.[答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n)B ．16(1－2－n)(1－4－n)(1－2－n)解析：(1)选D 法一：由题意得⎩⎨⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， 解得⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎨⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎨⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2.则⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －5.故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)．练习题1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是 ( )A ．a n ＝n2n ＋1B ．a n ＝n2n －1C ．a n ＝n2n －3D ．a n ＝n2n ＋3答案：B2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49D ．64解析：选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选A a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝n ＋12－n n ＋2n ＋1n ＋2＝1n ＋1n ＋2>0.4．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎨⎧2·3n －1n 为偶数，2n －5n 为奇数，则a 4·a 3＝________.解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：545．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝32，则a 8＝________. 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q 2＝32，4p ＋q 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝14，q ＝2.则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝94.答案：941．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.故d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝( )C ．－32D ．－12解析：选D ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12.3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176解析：选B S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 解析：由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2. 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －15．(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×12＝14n 2＋14n . 答案：1 14n 2＋14n1．(2011·江西高考){a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．72解析：选 B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎨⎧a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48. 3．(2013·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 25 解析：选 B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝20，因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.4．(2012·海淀期末)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25解析：选C ∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，1为公差的等差数列．∴a 2n＝1＋(n －1)＝n .又a n >0，∴a n ＝n .∵a n <5，∴n <5.即n <25.故n 的最大值为24.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为( )A ．5B ．6C ．4D ．7解析：选A 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5.6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－－210－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －18．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案：39．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S nT n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 答案：194110．(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.11．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，(1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是等差数列；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 的前n 项和S n .解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1， 两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.∵T 1＝1－a 1＝a 1， 故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列． (2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，从而a n ＝1－T n ＝n n ＋1.故a nT n＝n .∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列．∴S n ＝n n ＋12.12．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. (1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值． 解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0， 即12a 11＋a 222＝0，故a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又∵a 1＝31，∴d ＝－2， ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)法一：由(1)知S n ＝32n －n 2，故当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256. 法二：由S n ＝32n －n 2＝n (32－n )，欲使S n 有最大值，应有1<n <32，从而S n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 22＝256， 当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5， a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64B ．81C ．128D ．243解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2， 故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝121－2n1－2＝2n －1－12.答案：2 2n －1－125．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－21．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( ) A ．－12B ．1C ．－12或1解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.当q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( )C ．4D ．2解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 11－241－2a 1×2＝152.3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)， 同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn＝( )或23D ．以上都不对解析：选 B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16.答案：168．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q ＝1－－253＝11.答案：119．(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________.解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，故a n ＝a 12n －1＝2n，∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，即数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－14n .答案：213⎝⎛⎭⎪⎫1－14n 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n1－4＝24n－13.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n－13＝22n ＋1＋13.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1. 当n ≥2时，有⎩⎨⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 11－3n1－3＝12a 1·3n－12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 由T 5＝105，a 10＝2a 5， 得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 11－q m 1－q ＝7×1－49m 1－49＝7×72m －148＝72m ＋1－748.。

人教版数学高中必修5数列习题及知识点第二章 数列1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )．A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )．A ．1B ．43C ．21D ． 83 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ).A ．81B ．120C ．168D ．1926．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )．A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 0087．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ． －108．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．41 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题11．设f (x )＝221+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .12．已知等比数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝ ．(2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝ ．(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .13．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 .15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝ ；当n ＞4时，f (n )＝ ．三、解答题17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，cb a +也成等差数列. 18．设{a n }是公比为 q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2+S n (n ＝1，2，3…)． 求证：数列{nS n }是等比数列． 20．已知数列{a n }是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 为其前n 项和，a 1，2a 7，3a 4成等差数列，求证：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.第二章 数列参考答案一、选择题1．C解析：由题设，代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．2．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，又a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．3．B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．4．C解析：解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是一个方程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另一个方程的两个根． ∴167，1615分别为m 或n ， ∴｜m －n ｜＝21，故选C ． 解法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ．由等差数列的性质：若γ＋s ＝p ＋q ，则a γ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第一项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47， ∴m ＝167，n ＝1615， ∴｜m －n ｜＝21．5．B解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9243＝27， ∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，∴S 4＝3－13－35＝2240＝120． 6．B解析：解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有一正数一负数，又a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0， ∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0， 故4 006为S n ＞0的最大自然数. 选B ．解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，∴S 2 003为S n 中的最大值．∵S n 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，∴20074在对称轴的右侧． 根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最大自然数是4 006．7．B解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，又由a 1，a 3，a 4成等比数列，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6．8．A(第6题)解析：∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59·95＝1，∴选A ． 9．A解析：设d 和q 分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，∴d ＝－1，q 2＝2， ∴212b a a -＝2q d -＝21． 10．C解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，又a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，而a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴n ＝10．二、填空题11．23．解析：∵f (x )＝221+x ， ∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222⋅+＝xx 22221+， ∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋x x 22221+⋅＝x x 222211+⋅+＝x x 22)22(21++＝22． 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．12．（1）32；（2）4；（3）32．解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ， ∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q qS S a a a S a a a a S ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅， ∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．13．216． 解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与38，227同号，由等比中项的中间数为22738⋅＝6，∴插入的三个数之积为38×227×6＝216． 14．26．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413⨯＝26． 15．－49．解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10 ＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )＝－49．16．5，21(n ＋1)(n －2)． 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9，……f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝21(n ＋1)(n －2)． 三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数． 证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦满足，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．首项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列， ∴b 2＝a 1＋c1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·bc a ＋， ∴a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－21． （2）若q ＝1，则S n ＝2n ＋21－)(n n ＝23＋2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝22＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ． 若q ＝－21，则S n ＝2n ＋21－)(n n (－21)＝49＋－2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4－11－)0)((n n ， 故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝nn 2＋S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ， 所以1＋1＋n S n ＝n S n 2． 故{nS n }是以2为公比的等比数列． 20．证明：由a 1，2a 7，3a 4成等差数列，得4a 7＝a 1＋3a 4，即4 a 1q 6＝a 1＋3a 1q 3， 变形得(4q 3＋1)(q 3－1)＝0，∴q 3＝－41或q 3＝1(舍)． 由3612S S ＝qq a q q a ----1)1(121)1(3161＝1213q +＝161； 6612S S S -＝612S S －1＝qq a q q a ----1)1(1)1(61121－1＝1＋q 6－1＝161； 得3612S S ＝6612S S S -． ∴12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有 nd S S =-奇偶，1+=n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质 定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！） 性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.。

1高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习（一）2一．数列的概念与简单表示法3知识能否忆起41．数列的定义、分类与通项公式5(1)数列的定义：6①数列：按照一定顺序排列的一列数．7②数列的项：数列中的每一个数．8(2)数列的分类：910(3)数列的通项公式：11如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．12 2．数列的递推公式13 如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或14 前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．15 1.对数列概念的理解16 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有17 关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因18 此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． 19 (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与20 数集的区别．21 2．数列的函数特征22 数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函23 数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *)．24 25 3.考点26 （一）由数列的前几项求数列的通项公式27 [例1] (2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{a n }：28 1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )29 A ．a n ＝1 B ．a n ＝－1n ＋1230C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2 D ．a n ＝－1n －1＋3231[自主解答] 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2， 32 a 3＝1，a 4＝2，…. 33 [答案] C 34 由题悟法35 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察36 出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常37 见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整． 38 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着39 “从特殊到一般”的思想40 以题试法41 写出下面数列的一个通项公式． 42 (1)3,5,7,9，…； 43 (2)12，34，78，1516，3132，…； 44 (3)3,33,333,3 333，…； 45 (4)－1，32，－13，34，－15，36，….46 解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.47 (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .48(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是1049 －1,102－1,103－1,104－1，….50 所以a n ＝13(10n －1)．51 (4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n ；各项绝对值的分52 母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶53 数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，54 所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为55a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.56（二）由a n 与S n 的关系求通项a n57 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： 58 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；59 (2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求60 出当n ≥2时a n 的表达式；61 (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，62 则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写． 63 [例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n . 64 (1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n ＋1.65[自主解答] (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5， 66 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1. 67 当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. 68 (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 69 当n ≥2时，70 a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1. 71 当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1， 72 故a n ＝⎩⎨⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2.73以题试法74 (2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝nn ＋1，则1a 5＝( )75A.56B.65 76C.130D ．3077解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n n ＋1，则a 5＝15×678 ＝130. 79 （三）数列的性质80 [例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20.81(1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； 82 (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？83 [自主解答] (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n84 ＝212＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－85 21×11＋20＝－90.86 (2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，87 故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小． 88 由题悟法89 1．数列中项的最值的求法90 根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数91 最值的方法求解，但要注意自变量的取值．92 2．前n 项和最值的求法93 (1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值；94 (2)根据数列的通项公式，若a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；若a m ≤0，且a m ＋1>0，95 则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 96 以题试法97 3．(2012·江西七校联考)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值98 是( )99 A ．310B ．19100C.119D.1060101解析：选C a n ＝1n＋90n，由基本不等式得，1n＋90n≤1290，由于n∈N*，易知102当n＝9或10时，a n＝119最大．103二．等差数列及其前n项和104知识能否忆起105一、等差数列的有关概念1061．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个107常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．1082．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做109a，b的等差中项．110二、等差数列的有关公式1111．通项公式：a n＝a1＋(n－1)d. 1122．前n项和公式：S n＝na1＋n n－12d＝a1＋a n n2.113三、等差数列的性质1141．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{a n}为等差数列，则a m＋a n＝a p＋a q. 1152．在等差数列{a n}中，a k，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd.1163．若{a n}为等差数列，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d. 1174．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和S n有最小值．d<0 118时为递减数列，且当a1>0时前n项和S n有最大值．1195．等差数列{a n}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成S n＝An2＋Bn，120则A＝d2，B＝a1－d2，当d≠0时它表示二次函数，数列{a n}的前n项和S n＝An2＋121Bn是{an }成等差数列的充要条件．1221.与前n项和有关的三类问题123(1)知三求二：已知a1、d、n、a n、S n中的任意三个，即可求得其余两个，这124体现了方程思想．125(2)S n＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n＝An2＋Bn⇒d＝2A.126(3)利用二次函数的图象确定S n的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，127最低点的纵坐标不一定是最小值．1282．设元与解题的技巧129已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等130差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；131若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋1323d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．133134考点135等差数列的判断与证明136[例1] 在数列{a n}中，a1＝－3，a n＝2a n－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．137(1)求a2，a3的值；138(2)设b n＝an＋32n(n∈N*)，证明：{b n}是等差数列．139[自主解答] (1)∵a1＝－3，a n＝2a n－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，∴a2＝2a1＋14022＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13.141(2)证明：对于任意n∈N*，142∵b n＋1－b n＝an＋1＋32n＋1－an＋32n＝12n＋1[(a n＋1－2a n)－3]＝12n＋1[(2n＋1＋3)－3]＝1，143∴数列{b n}是首项为a1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．144由题悟法1451．证明{a n}为等差数列的方法：146(1)用定义证明：a n－a n－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{a n}为等差数列；147(2)用等差中项证明：2a n＋1＝a n＋a n＋2⇔{a n}为等差数列；148(3)通项法：a n为n的一次函数⇔{a n}为等差数列；149(4)前n项和法：S n＝An2＋Bn或S n＝n a1＋a n2.1502．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n＋1－a n＝d和a n－a n－1＝d，但151它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．152以题试法1531．已知数列{a n}的前n项和S n是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6. 154(1)求S n ；155 (2)证明：数列{a n }是等差数列． 156 解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，157则⎩⎨⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，158解得A ＝2，B ＝－4，C ＝0.故S n ＝2n 2－4n . 159 (2)证明：∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.160 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6. 161 ∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．a n ＋1－a n ＝4， 162 ∴数列{a n }是等差数列. 163 等差数列的基本运算 164165 典题导入166 [例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. 167 (1)求{a n }的通项公式；168 (2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． 169 [自主解答] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知 170 ⎩⎨⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2.171所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .172 (2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n2＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)．173 因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 174 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 175 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.176 由题悟法177 1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝178na 1＋n n －12d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，179 体现了方程的思想．180 2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是181 等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．182 以题试法183 2．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝________.184 (2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．185 解析：(1)∵a 6＝10，S 5＝5， 186 ∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.187解方程组得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝3.188 则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44.189 (2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有190 4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 191 答案：(1)44 (2)6 192 等差数列的性质193194 典题导入195 [例3] (1)等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和196 S 9等于( )197 A ．66 B ．99 198 C ．144D ．297199 (2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11200 ＋a 12＋a 13＋a 14＝( )201 A ．18 B ．17 202 C ．16D ．15203 [自主解答] (1)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4204 ＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.205所以S9＝9a1＋a92＝9a4＋a62＝99.206(2)设{a n}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝20716d，解得d＝14，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.208[答案] (1)B (2)A209由题悟法2101．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知211识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决212许多等差数列问题．2132．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．214以题试法2153．(1)(2012·江西高考)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋216b3＝21，则a5＋b5＝________.217(2)(2012·海淀期末)若数列{a n}满足：a1＝19，a n＋1＝a n－3(n∈N*)，则数列218{a n}的前n项和数值最大时，n的值为( )219A．6 B．7220C．8 D．9221解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{c n}，由题意知新数列仍为等差数列222且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.223(2)∵a n＋1－a n＝－3，∴数列{a n}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴224a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，即225 ⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，226解得193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7.227 答案：(1)35 (2)B228 三．等比数列及其前n 项和229230 [知识能否忆起]231 1．等比数列的有关概念 232 (1)定义：233 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为234 零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字235 母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． 236 (2)等比中项：237 如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的238 等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .239 2．等比数列的有关公式 240 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.241(2)前n 项和公式：S n＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q＝a 1－a nq1－q ，q ≠1.242243 3．等比数列{a n }的常用性质244 (1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝245a p ·a q ＝a 2r . 246 特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….247 (2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数248 列，公比为q k ；249 数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)；250 a n ＝a m q n －m . 251 1.等比数列的特征252 (1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常253 数．254 (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 255 2．等比数列的前n 项和S n256 (1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列257 求和中的运用．258 (2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，259 防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误260考点261 等比数列的判定与证明262263 典题导入264 [例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . 265 (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； 266 (2)求数列{a n }的通项公式．267 [自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① 268 ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② 269 ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， 270 ∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，271 ∴a n ＋1－1a n －1＝12. 272 ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，273 ∴a 1＝12，c 1＝－12.274又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．275(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，276∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.277278 在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比279 数列．280 证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，281 ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 282 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1283＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 284又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .285∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列． 286287 由题悟法288 等比数列的判定方法289 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，290n ∈N *)，则{a n }是等比数列． 291 (2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }292是等比数列．293(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n＝c·q n(c，q均是不为0的常数，294n∈N*)，则{an }是等比数列．295以题试法2961．(2012·沈阳模拟)已知函数f(x)＝log a x，且所有项为正数的无穷数列{a n} 297满足log a a n＋1－log a a n＝2，则数列{a n}( )298A．一定是等比数列299B．一定是等差数列300C．既是等差数列又是等比数列301D．既不是等差数列又不是等比数列302解析：选A 由log a a n＋1－log a a n＝2，得log a an＋1an＝2＝log a a2，故an＋1an＝a2.又a>0303且a≠1，所以数列{a n}为等比数列．304等比数列的基本运算305306典题导入307[例2] {an }为等比数列，求下列各值：308(1)a6－a4＝24，a3a5＝64，求an；309(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.310解：(1)设数列{an }的公比为q，311由题意得⎩⎨⎧a 6－a 4＝a 1q3q 2－1＝24， ①a 3a 5＝a 1q32＝64. ②312 由②得a 1q 3＝±8，313 将a 1q 3＝－8代入①中，得q 2＝－2(舍去)． 314 将a 1q 3＝8代入①中，得q 2＝4，q ＝±2. 315 当q ＝2时，a 1＝1，∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1.316 当q ＝－2时，a 1＝－1，∴a n ＝a 1q n －1＝－(－2)n －1. 317 ∴a n ＝2n －1或a n ＝－(－2)n －1.318 (2)∵a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15， 319 ∴⎩⎨⎧a 3＝3，a 7＝12或⎩⎨⎧a 3＝12，a 7＝3.320∴q 4＝a 7a 3＝4或14.321∴q ＝±2或q ＝±22. 322323 由题悟法324 1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，325n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 326 2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，327 切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．328以题试法3292．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2，330且a2，a4，a8成等比数列．331(1)求数列{a n}的通项公式；332(2)求数列{3a n}的前n项和．333解：(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)．334因为a2，a4，a8成等比数列，335所以(2＋3d)2＝(2＋d)·(2＋7d)，336解得d＝2.337所以a n＝2n(n∈N*)．338(2)由(1)知3a n＝32n，设数列{3a n}的前n项和为S n，339则S n＝32＋34＋…＋32n＝91－9n1－9＝98(9n－1)．340等比数列的性质341342典题导入343[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n}中，若a3a4a5＝3π，344则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为( )345A.12B.32346C ．1D ．－32347 (2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) 348 A ．1∶2 B ．2∶3 349 C ．3∶4D ．1∶3350 [自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3. 351 log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 352 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74353 ＝7log 33π3＝7π3， 354故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 355 (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9356 －S 6)，357 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.358 [答案] (1)B (2)C359 由题悟法360 等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有361 许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的362 “积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也363有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能364 关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．365 以题试法366 3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则367a 1＋a 10＝( )368 A ．7 B ．5 369 C ．－5D ．－7370 (2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…371 ＋a n a n ＋1＝( ) 372 A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) 373 C.323(1－4－n )D.323(1－2－n ) 374 解析：(1)选D 法一：375 由题意得⎩⎨⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，376解得⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧q 3＝－12，a 1＝－8，377故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 378 法二：由⎩⎨⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2.379则⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.380(2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －5.381故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．382练习题383 1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是 ( )384A ．a n ＝n2n ＋1 B ．a n ＝n 2n －1 385C ．a n ＝n2n －3D ．a n ＝n 2n ＋3386 答案：B387 2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) 388 A ．15 B ．16 389 C ．49D ．64390 解析：选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15.391 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )392 A ．递增数列 B ．递减数列393C ．常数列D ．摆动数列394 解析：选A a n＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－nn ＋1＝n ＋12－n n ＋2n ＋1n ＋2＝395 1n ＋1n ＋2>0.3964．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎨⎧2·3n －1n 为偶数，2n －5n 为奇数，397 则a 4·a 3＝________.398 解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 399 答案：54400 5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，401a 4＝32，则a 8＝________.402解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q 2＝32，4p ＋q 4＝32，解得⎩⎨⎧p ＝14，q ＝2.403则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝94.404答案：94405 1．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差406 为( )407A ．1B ．2 408C ．3D ．4409 解析：选B 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.410解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.故d ＝2.411 法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 412 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.413 2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝( )414A.32B.12 415C ．－32D ．－12416解析：选D ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2. 417∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12. 418 3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项419 和S 11＝( )420 A ．58B ．88421 C ．143D ．176422解析：选B S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.423 4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 424 解析：由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2. 425 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 426 答案：2n －1427 5．(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝428a 3，则a 2＝________，S n ＝________. 429 解析：设{a n }的公差为d ，430 由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 431 又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，432S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×12433＝14n 2＋14n . 434答案：1 14n 2＋14n435 1．(2011·江西高考){a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10436 ＝S 11，则a 1＝( )437 A ．18 B ．20438C ．22D ．24439 解析：选 B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－440 10)×(－2)＝20.441 2．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则442 S 10－S 7的值是( ) 443 A ．24 B ．48 444 C ．60D ．72445 解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎨⎧a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解446 得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48.447 3．(2013·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则448 log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )449 A ．10 B ．20 450 C ．40D ．2＋log 25451 解析：选B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝20，452 因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.453 4．(2012·海淀期末)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，454 那么使a n <5成立的n 的最大值为( )455 A ．4B ．5 456C ．24D ．25457解析：选C ∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，1为公差的等差数458 列．∴a 2n ＝1＋(n －1)＝n .又a n >0，∴a n ＝n .∵a n <5，∴n <5.即n <25.故n 的459 最大值为24.460 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *461 恒成立，则正整数k 的值为( )462 A ．5 B ．6 463 C ．4D ．7464 解析：选A 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，465 所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，466 则k ＝5.467 6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，468 b 10＝12，则a 8＝( ) 469 A ．0 B ．3 470 C ．8D ．11471 解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，472 故公差d ＝12－－210－3＝2.于是b 1＝－6，473 且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.474 所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0475 ＋2＋4＋6＝3.476 7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n477＝________.478 解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2479 ＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.480 ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 481 答案：2n －1482 8．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，483 则k ＝________.484 解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，485 S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.486 答案：3487 9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S nT n488 ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 489 解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，490 ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. 491∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 492答案：1941493 10．(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.494(1)求数列{a n }的通项公式；495 (2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 496 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 497 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 498 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . 499 (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，500 所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.501 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 502 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 503 又k ∈N *，故k ＝7.504 11．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，505 (1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是等差数列；506(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 的前n 项和S n .507解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1， 508两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.509 ∵T 1＝1－a 1＝a 1，510故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.511∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列．512(2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，513从而a n ＝1－T n ＝nn ＋1.故a nT n＝n .514∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列．515∴S n ＝n n ＋12.516 12．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. 517 (1)求S n ；518 (2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值． 519 解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，520 S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22， 521 ∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0， 522 即12a 11＋a 222＝0，故a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.523 又∵a 1＝31，∴d ＝－2，524 ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.525(2)法一：由(1)知S n ＝32n －n 2，526 故当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256. 527 法二：由S n ＝32n －n 2＝n (32－n )，欲使S n 有最大值， 528 应有1<n <32，从而S n ≤⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 22＝256， 529 当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.530 1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) 531 A ．4 B ．8 532 C ．16D ．32533 解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.534 2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( ) 535 A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n536C ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1537 解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，538 a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.539 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) 540 A ．64B ．81541 C ．128D ．243542解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2， 543 故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.544 4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；545a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.546 解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝121－2n 1－2＝2n －1－12.547答案：2 2n －1－12548 5．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则549 公比q ＝________.550 解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， 551 ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. 552 ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 553 答案：－2554 1．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( ) 555 A ．－12B ．1556C ．－12或1D.14557 解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.558当q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q ＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，559解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.560 2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和561 为S n ，则S 4a 2的值为( )562A.152 B.154563 C ．4D ．2564解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 11－241－2a 1×2565 ＝152. 566 3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，567 则log 2a 10＝( )568 A ．4 B ．5 569 C ．6D ．7570 解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 571 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 572 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.573 4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”574 的( )575A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 576C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件577 解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，578 则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…579 5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，580S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) 581 A ．80 B ．30 582 C ．26D ．16583 解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 584 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)， 585 同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.586 6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，587 则m n＝( )588A.32B.32或23589C.23D ．以上都不对590 解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不591 妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到592c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝92，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝92，则mn＝5933 2或mn＝23.5947．已知各项不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比595数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.596解析：由题意可知，b6b8＝b27＝a27＝2(a3＋a11)＝4a7，597∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.598答案：165998．(2012·江西高考)等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1.若a1＝1，600则对任意的n∈N*，都有a n＋2＋a n＋1－2a n＝0，则S5＝________.601解析：由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－6022＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝a11－q51－q＝1－－253＝11.603答案：116049．(2012·西城期末)已知{a n}是公比为2的等比数列，若a3－a1＝6，则a1＝605________；1a21＋1a22＋…＋1a2n＝________.606解析：∵{a n}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6，∴4a1－a1＝6，即a1＝2，607故a n＝a12n－1＝2n，∴1an＝⎝⎛⎭⎪⎫12n，1a2n＝⎝⎛⎭⎪⎫14n，即数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a2n是首项为14，公比为14的等比608数列，609∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 610答案：2 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 611 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． 612 (1)求数列{a n }的通项公式； 613 (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.614 解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1， 615 又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2. 616 ∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.617 (2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，618 ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n 1－4＝24n －13.619∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n －13＝22n ＋1＋13.620 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成621 等差数列．622 (1)求{a n }的通项公式；623 (2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1624 的值；若不存在，请说明理由．625解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1. 626 当n ≥2时，有⎩⎨⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.627 两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 628 又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，629 所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 630 因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．631 (2)因为S n ＝a 11－3n1－3＝12a 1·3n －12a 1， 632b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .633要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.634 所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．635 12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. 636 (1)求数列{a n }的通项公式；637 (2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前638m 项和S m . 639 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 640 由T 5＝105，a 10＝2a 5，641得⎩⎨⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d ，642解得a 1＝7，d ＝7.643 因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． 644 (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1. 645 因此b m ＝72m －1.646 所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，647 故S m ＝b 11－q m 1－q ＝7×1－49m 1－49＝7×72m －148＝72m ＋1－748.648649650。

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。

是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。

与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

《数列》复习1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。

（2）公式法：等差数列与等比数列。

（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法2.等差数列{}n a 中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性； （2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-； （3）{}n ka 也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5)1211221213,,m m m m m m ma a a a a a a a a +++++++++++++仍成等差数列.（6）1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+，21()22n d dS n a n =+-， 2121n n S a n -=-，()(21)n n nn A a f n f n B b =⇒=-.(7)若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；若2p qm +=，则2p q m a a a +=,()0p q p q a q a p p q a +==≠⇒=，,()()p q p q S q S p p q S p q +==≠⇒=-+；m n m n S S S mnd +=++.(8)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和； （9）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2a bA +=叫做,a b 的等差中项。

（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。

3.等比数列{}n a 中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。

人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1n ≥2.(2)等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d . A ＝a ＋b2(等差中项)． （3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m . S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q＝a 11－q n1－q q ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)， 在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一 数列的通项公式的求法1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)1,1，57，715，931，…；2．定义法等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且 a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.求数列{a n }的通项公式． 3．前n 项和法(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋1，求通项 a n ；(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2，求通项 a n . 4．累加法已知{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝3n (n ∈N *)，求通项 a n . 5．累乘法已知数列{a n }，a 1＝13，前n 项和S n 与a n 的关系是S n ＝n (2n －1)a n ，求通项a n . 6．辅助数列法已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式． 7．倒数法已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋1(n ∈N *)．求通项a n .专题二 数列的前n 项和的求法 1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解． 求和：S n ＝112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )．2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n ＋k ＝1k ·(1n －1n ＋k )； (2)若{a n }为等差数列，公差为d ， 则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)； (3)1n ＋1＋n＝n ＋1－n 等．3．错位相减法若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以等比数列{b n }的公比q ，然后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n .附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2）1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.等差数列等比数列定义公式1．2．1．2．性质1．，称为与的等差中项1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则3．，，成等差数列4. 2．若（、、、），则3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。

【关键字】知识人教版数学高中必修5数列习题及知识点第二章数列1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序号n等于( )．A．667 B．668 C．669 D．6702．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝( )．A．33 B．72 C．84 D．1893．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )．A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1＋a8＜a4＋a5 D．a1a8＝a4a54．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则｜m－n｜等于( )．A．1 B．C．D．5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( ).A．81 B．120 C．168 D．1926．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是( )．A．4 005 B．4 006 C．4 007 D．4 0087．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝( )．A．－4 B．－6 C．－8 D．－108．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )．A．1 B．－1 C．2 D．9．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是( )．A．B．－C．－或D．10．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－＋an＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝38，则n＝( )．A．38 B．20 C．10 D．9二、填空题11．设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为.12．已知等比数列{an}中，(1)若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝．(2)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．(3)若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝.13．在和之间拔出三个数，使这五个数成等比数列，则拔出的三个数的乘积为．14．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则此数列前13项之和为.15．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝.16．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝；当n＞4时，f(n)＝．三、解答题17．(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an}成等差数列.(2)已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列.18．设{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．(1)求q的值；(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．19．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3…)．求证：数列{}是等比数列．20．已知数列{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列，Sn为其前n项和，a1，2a7，3a4成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6成等比数列.第二章数列参考答案一、选择题1．C解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．2．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{an}的公比为q(q ＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21，即a1(1＋q ＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q ＋q2＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．3．B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．4．C解析：解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是一个方程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另一个方程的两个根． ∴167，1615分别为m 或n ， ∴｜m －n ｜＝21，故选C ． 解法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ．由等差数列的性质：若γ＋s ＝p ＋q ，则a γ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第一项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47， ∴m ＝167，n ＝1615， ∴｜m －n ｜＝21． 5．B解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9243＝27， ∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，∴S 4＝3－13－35＝2240＝120． 6．B解析：解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有一正数一负数，又a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0， ∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0， 故4 006为S n ＞0的最大自然数. 选B ．解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，∴S 2 003为S n 中的最大值．∵S n 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，∴20074在对称轴的右侧． 根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最大自然数是4 006．7．B解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，又由a 1，a 3，a 4成等比数列，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6．8．A 解析：∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59·95＝1，∴选A ． 9．A(第6题)解析：设d 和q 分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，∴d ＝－1，q 2＝2， ∴212b a a -＝2q d -＝21． 10．C解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，又a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，而a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴n ＝10．二、填空题11．23．解析：∵f (x )＝221+x ， ∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x2222⋅+＝x x 22221+， ∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋x x 22221+⋅＝x x 222211+⋅+＝x x 22)22(21++＝22． 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．12．（1）32；（2）4；（3）32．解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ， ∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q qS S a a a S a a a a S ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅， ∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．13．216． 解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与38，227同号，由等比中项的中间数为22738⋅＝6，∴插入的三个数之积为38×227×6＝216． 14．26．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413⨯＝26． 15．－49．解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10 ＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )＝－49．16．5，21(n ＋1)(n －2)． 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9，……f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝21(n ＋1)(n －2)． 三、解答题 17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数． 证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦满足，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．首项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列， ∴b 2＝a 1＋c1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·bc a ＋， ∴a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－21． （2）若q ＝1，则S n ＝2n ＋21－)(n n ＝23＋2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝22＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ． 若q ＝－21，则S n ＝2n ＋21－)(n n (－21)＝49＋－2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4－11－)0)((n n ， 故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝nn 2＋S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ， 所以1＋1＋n S n ＝nS n 2．故{nS n }是以2为公比的等比数列． 20．证明：由a 1，2a 7，3a 4成等差数列，得4a 7＝a 1＋3a 4，即4 a 1q 6＝a 1＋3a 1q 3， 变形得(4q 3＋1)(q 3－1)＝0，∴q 3＝－41或q 3＝1(舍)． 由3612S S ＝qq a q q a ----1)1(121)1(3161＝1213q +＝161； 6612S S S -＝612S S －1＝qq a q q a ----1)1(1)1(61121－1＝1＋q 6－1＝161； 得3612S S ＝6612S S S -． ∴12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有 nd S S =-奇偶，1+=n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质 定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！） 性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

第一部分必修五数列知识点整理第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()nn S f a =，先求1a 11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，na 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。

③ 前n 1(1)2n n na d -=+，0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质：ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。

iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。

iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2a bA +=。

3.等比数列： ① 定义：1n na q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

② 通项时为常数列)。

③.前n 项和需特别注意,公比为字母时要讨论.④.性质：ii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。

iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。