高一必修五数学数列全章知识点(完整版)

第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

必修5数列全章知识回顾一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

如（1）已知*2()144n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ （2）数列}{n a 的通项为1n na n =+，则n a 与1+n a 的大小关系为___二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

例如设{}n a 是等差数列,n S 是前n 项和，求证：以b n =n Sn（*n N ∈）为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a =（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

如 （1）等差数列 {}n a 中，公差12d =，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-①求数列通项n a ； ②求数列{||}n a 的前n 项和n T4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

数列知识点总结一、等差数列与等比数列等差数列 等比数列定义 1+n a -n a =dnn a a 1+=q(q ≠0) 通项公式 ()111()na a n d dn a d An B =+-=+-=+111n n n n aa a q q k q q -==⋅=⋅(q ≠0)通项公式的变形n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)d d=n m a nm --a (m ≠n), 1a 1--=n a d n (n ≠1)n a =1-n a q n a =m a m n q -，11n n a q a -=，n m n ma q a -=中项 b A a b a A ,,2⇔+=成等差数列 b G a ab G ,,2⇔=成等比数列前n 项和 ()12n nn a a S +=()22111()222n n n d d S na d n a n An Bn -=+=+-=+ ()()()11111111n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ 性质 （1）若{}n a 是等差数列且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；特别的，若2n p q =+则2n p q a a a =+ （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）（4）n S An B n =+⇒n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.（5）若}{},{n n b a 是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= (6)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列（1）{}na 是等比数列，若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· 特别的，若2n p q =+则2n p q a a a =⋅ （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为nq(3) 数列{}n a 是等比数列(q ≠1)⇔数列{}n a 前n 项和S n =,(1,0)n A q A q A ⋅-≠≠（4）{}n a 是递增数列⇔⎩⎨⎧>>101q a 或⎩⎨⎧<<<1001q a {}n a 是递减数列⇔⎩⎨⎧<<>1001q a 或⎩⎨⎧><101q a二、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：1、数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n ) ； ③b kn a n +=(k n ,为常数).2、数列是不是等比数列有以下四种方法：①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )；；③n n cq a =(q c ,为非零常数). ④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等比数列.三、求数列通项公式的方法1、给出数列的前几项，求数列的一个通项公式——观察法。

必修5.2.1 数列及其相关概念二.重要题型1.“知三求二”原则例1.(1)在等差数列{}n a 中， 已知153,,562n n a a S ==-=-，求,n d ； (2)在等差数列{}n a 中，已知2,5,35n d n S ===，求1,n a a ； (3)在等比数列{}n a 中，已知11,32,63,n n a a S ===，求,n q ；2、列二元方程组求1,a d 或者1,a q ；例2.(1)在等比数列{}n a 中，若1346510,,4a a a a +=+=求45,a S (2)(2013北京)在等比数列{}n a 中，若243520,40,a a a a +=+=求,n q S(3)在等差数列{}n a 中，451,10,a S ==求n S 的最大值及对应n 的值。

练习1. 在等差数列{}n a 中，3913,45,a S =-=-问n S 是否存在最大值或最小值。

若存在，求出其最值及对应n 的值。

2.在等比数列当{}n a 中，212a a -=且22a 是13a 和3a 的等差中项，求该数列的前n 项和。

总结：1.必须已知条件是可以列两个关于1,a d 或1,a q 的方程.2.公式选择：求1,a d 时11(1)(1)2n n a a n dn n S na d =+--=+⎧⎪⎨⎪⎩，求1,a q 时11(1)1n n n n a aq a q S q -=-=-⎧⎪⎨⎪⎩3.等差数列{}n a 中，求最值时使用2n S An Bn =+的二次函数的最值决定。

必修5.2.2 求数列通项公式的常见方法一.公式法：已知n a 是等差或等比数列例1.(1)已知数列1,1,3,5,7,----⋅⋅⋅依次下去，求数列的通项公式，请问-89是该数列的项吗？(2)已知等比数列{}n a 中，已知312n n S -=，求n a .二.已知n S 求n a例2.已知数列{}n a 中，已知5n n S =求1,n a a ；练习21.已知数列{}n a 中，0n a >，且2(1)4n n a S +=，求n a2.已知数列{}n a 中，且n n a S n +=，(1)设1n n c a =-，求证：{}n c 是等比数列； (2)求n a三.或常数d )例3、已知数列n 中，且112,21n n a a n +==+-，求n a练习3.1.已知数列{}n a 中，且111,21n n n a a a +==++，求n a2.已知数列{}n a 中，121,2a a ==且2122n n n a a a ++=-+， (1)设1n n n b a a +=-，求证{}n b 是等差数列. (2)求n a四.或常数q ) 例4.已知数列{}n a 中，且12131,,(2)2n n a a na n a +===+，求n a ； 练习4.已知等比数列{}n a 中，首相为1a ，公比为q ，求证：11n n a a q -=；五.递推公式法：1n n a Aa B +=+(,A B 为常数)此种形式的递推公式，一定可以化成：公比q A =的等比数列{}n a λ+(λ为常数)，所以这种题目我们可以先设数列为：1n n a A a λλ++=+(或1()1n n B a A a A λλλ++=+⇒=- 例5.(2014全国)已知数列{}n a 中，且111,31n n a a a +==+，求n a练习5.已知数列{}n a 的前n 项和2142n n n S a -=--，(1)设1n a +与n a 的关系；(2)求n a必修5.2.3 求数列前n 项和的常见方法一.1.等差数列：12n n S =或1(1)2n n n S na d -=+；2.等比数列：1(1)1n n a q S q-=-或1(1)1n n a a qS q q -=≠-；1(1)n S na q == 3.2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=4.223333(1)1234n n n ++++⋅⋅⋅+=例1.(2014重庆)已知{}n a 是首相是1，公差为2的等差数列,n S 是{}n a 的前n 项和，(1)求,n n a S ;(2)设{}n b 是首项是2，公比q 满足244(1)0q a q S -++=，求{}n b 的通项公式和前n 项和。

高中数学必修5知识点第一章、数列一、基本概念1、数列：按照一定次序排列的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．4、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．二、等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()na dn a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

3、等差中项若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列<=>2a cb +=4、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 （1）q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。

（2）d m n a a m n )(-=- （3）m n m n n a a a +-+=2 5、等差数列的前n 项和的公式公式：①()12n n n a a S +=；②()112n n n S na d -=+． 公式特征：21()22nd dS n a n =+-是一个关于n 且没有常数项的二次函数形式等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶 （其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列． 6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法：),(为常数b k bkn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法：),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列三、等比数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． （2）符号表示：1n na q a +=（常数） 2、通项公式 （1）、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=．（2）、通项公式的变形：①n mn m a a q-=；②n mnma qa -=． 3、等比中项：在a 与b 中插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．注意：a 与b 的等比中项可能是G ±。

必修5数列全章知识回顾一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

如（1）已知*2()144n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ （2）数列}{n a 的通项为1n na n =+，则n a 与1+n a 的大小关系为___二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

例如设{}n a 是等差数列,n S 是前n 项和，求证：以b n =n Sn（*n N ∈）为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a =（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

如 （1）等差数列 {}n a 中，公差12d =，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-①求数列通项n a ； ②求数列{||}n a 的前n 项和n T4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

【一】1.數列的函數理解：①數列是一種特殊的函數。

其特殊性主要表現在其定義域和值域上。

數列可以看作一個定義域為正整數集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函數的觀點認識數列是重要的思想方法，一般情況下函數有三種表示方法，數列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法;b。

圖像法;c.解析法。

其中解析法包括以通項公式給出數列和以遞推公式給出數列。

③函數不一定有解析式，同樣數列也並非都有通項公式。

2.通項公式：數列的第N項an與項的序數n之間的關係可以用一個公式an=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式(注：通項公式不)。

數列通項公式的特點：(1)有些數列的通項公式可以有不同形式，即不。

(2)有些數列沒有通項公式(如：素數由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。

3.遞推公式：如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式。

數列遞推公式特點：(1)有些數列的遞推公式可以有不同形式，即不。

(2)有些數列沒有遞推公式。

有遞推公式不一定有通項公式。

注：數列中的項必須是數，它可以是實數，也可以是複數。

【二】1.等差數列通項公式an=a1+(n-1)dn=1時a1=S1n≥2時an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b為常數)推導過程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b則得到an=kn+b2.等差中項由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。

這時，A叫做a與b的等差中項(arithmeticmean)。

有關系：A=(a+b)÷23.前n項和倒序相加法推導前n項和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個)=n(a1+an) ∴Sn=n(a1+an)÷2等差數列的前n項和等於首末兩項的和與項數乘積的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差數列性質一、任意兩項am，an的關係為：an=am+(n-m)d它可以看作等差數列廣義的通項公式。