高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳

第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

第二章 数列2.1 数列1.数列（1）数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123,,,,,n a a a a ……，简记为{}n a 。

其中数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项。

注意：①数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

所以，数列的一般形式可以写成123,,,,n a a a a …，简记为{}n a 。

如：数列1，2，3，4，…，可以简记为{n}。

②数列中的数是按一定次序排列的。

因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列。

如：数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不同的数列。

③数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同。

因此，同一个数在数列中可以重复出现。

如：1,1,1,1,1,1,---…；2,2,2,2,2,…等。

④{}n a 与n a 是不同的概念。

{}n a 表示数列123,,,,,n a a a a ……，而n a 仅表示数列{}n a的第n 项。

⑤从映射函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数N +（或它的有限子集{1,2,3,,}n …）的数与自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里的函数是一种特殊函数：它的自变量只能取正整数，由于数列的值是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

可以将序号为横坐标，相应的像为纵坐标，通过描点画图来表示一个数列，从数列的图像表示可以直观的看出数列的变化情况。

（2）数列的分类①按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列。

项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。

②按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。

是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。

与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

知识建构一、知识网络二、基本知识、方法归纳整理 1.数列的概念及表示法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数.(2)表示法：列表法、图象法、解析法(通项公式法和递推公式法).(3)分类：按项数分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列. 判断数列单调性的方法：①判断当n ∈N *时都有a n+1>a n ,则数列{a n }为递增数列； ②判断当n ∈N *时都有a n+1<a n ,则数列{a n }为递减数列. (4)S n 与a n 的关系. a n =⎩⎨⎧≥-=-,2,,1,11n S S n S n n 若n=1时，a 1符合a n =S n -S n-1(n ≥2),则数列的通项公式可以写成一个函数的形式：a n =f(n),n ∈N *;若n=1时，a 1不符合a n =S n -S n-1(n ≥2),则数列的通项公式只能写成分段函数的形式a n =⎩⎨⎧≥=.2),(,1,1n n f n S2.等差数列(1)定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列； (2)递推公式：等差数列中a 1=a,a n+1-a n =d ； (3)通项公式：a n =a 1+(n-1)d,a n =a m +(n-m)d. (4)前n 项和公式：S n =2)(1n a a n +①或S n =na 1+2)1(dn n -②,对于公式①常结合等差数列的性质变形运用. 如：S n =2)(1n a a n +=2)(12-+n a a n = (2)(1+-+m n m a a n ,若a 1、a n 有等差中项21+n a ,则S n =2)(1n a a n +=n ·21+n a ,这一公式体现了等差数列前n 项和公式与某一项的关系. 对于公式②常写成二次函数的形式S n =2d n 2+(a 1-2d)n,用于研究等差数列前n 项和的最值问题.(5)等差中项：若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 和b 的等差中项，且有A=2ba +. (6)性质：①当d>0时为递增数列；当d<0时为递减数列；当d=0时为常数列. ②若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *),则a m +a n =a p +a q .③在等差数列{a n }中，若k 1,k 2,…,k n ,…成等差数列，则a k1,a k2,…,a kn ,…也成等差数列. ④S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等差数列.⑤若{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，则{a n ±b n }、{ka n +b n }也是等差数列. (7)判断一个数列是否是等差数列的方法：①递推式法：即证a n+1-a n =d(d 是常数)对n ∈N *都成立，或证：2a n+1=a n +a n+2对n ∈N *都成立. ②{a n }成等差数列⇔a n =a 1+(n-1)d.③{a n }成等差数列⇔S n =an 2+bn(a 、b 是常数). 3.等比数列(1)定义：从第2项起每一项与它前一项的商等于同一常数的数列叫等比数列. (2)递推公式：a 1=a 1,nn a a 1+=q(q 是不等于零的常数). (3)通项公式：a n =a 1q n-1,a n =a m q n-m .(4)前n 项和公式：S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=.1,11)1(,1,111q q qa a q q a q na n n(5)等比中项：若a 、G 、b 成等比数列，则G 叫做a 、b 的等比中项，且有G 2=a ·b 或G=±ab .(6)等比数列的性质：①当⎩⎨⎧>>1,01q a 或⎩⎨⎧<<<10,01q a 时为递增数列；当⎩⎨⎧<<>10,01q a 或⎩⎨⎧><1,01q a 时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q=1时为常数列.②若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q .③在等比数列{a n }中，若k 1,k 2,…,k n ,…成等差数列，则a k1,a k2,…,a kn ,…成等比数列. ④S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等比数列.⑤若{a n }是等比数列，则{λa n }(λ为不等于零的常数)仍是公比为q 的等比数列；{na 1}是公比为q1的等比数列；{|a n |}是公比为|q|的等比数列；若{b n }是公比为q ′的等比数列，则{a n ·b n }是公比为q ·q ′的等比数列.(7)判断一个数列是否是等比数列的方法： ①递推法(定义法)：即证nn a a 1+=q(q 是不为零的常数)对n ∈N *都成立，或a n+12=a n ·a n+2对n ∈N *都成立.②通项公式法：{a n }成等比数列⇔a n =a 1q n-1.③{a n }成等比数列⇔S n =A-Aq n (其中A 是不为零的常数). 4.思想方法(1)数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想.(2)等差(等比)数列中，a 1,a n ,n,d(q),S n “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法.(3)求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想.(4)数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化法. 三、专题总结 (一)求通项公式1.观察归纳法求通项公式【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,…; (2)7,77,777,7 777,…; (3)32,154,356,638,9910,…; (4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,…;(5)53,21,115,73,…; (6)41,83,165,327,…; (7)1,0,31,0,51,0,71,0,…;(8)11,102,1 003,10 004,….思路分析：本题给出了数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式.通项公式就是寻找一列数的排列规则，也即找每一个数与它的序号间的对应法则.解：(1)应解决两个问题，一是符号问题，可考虑用(-1)n 或(-1)n+1表示；二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大 6.故通项公式a n =(-1)n (6n-5).(2)先联想数列1,11,111,1 111,…的通项，它又与数列9,99,999,9 999,…的通项有关，而9999个n ⋅⋅⋅⋅=10n-1,于是a n =97(10n -1). (3)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积.经过组合，则所求数列的通项公式a n =)12)(12(2+-n n n.(4)数列的各项具有周期性，联想基本数列1,0,-1,0,…,则a n =5sin 2πn . (5)数列可以写成53,84,115,146,…,于是分子依次为3,4,5,6,…,其规律是后项等于前项加1，又首项为3=1+2，故分子的通项公式为n+2;分母依次为5,8,11,14,其规律是后项等于前项加3,又首项为5=3×1+2,故分母的通项公式为3n+2. ∴数列的通项公式为a n =232++n n . (6)分子为1,3,5,7,…,其通项公式为2n-1;分母为4,8,16,32,即22,23,24,25,…,其通项公式为2n+1.∴数列的通项公式为a n =1212+-n n . (7)所给数列可等价变形为11,20,31,40,51,60,71,8,…,分子是1,0重复变化，且奇数项为1，偶数项为0，其通项公式为2)1(11+-+n ,分母的通项公式为n ，所以数列的通项公式为nn 2)1(11+-+.(8)所给数列可等价变形为10+1,102+2,103+3,104+4,…,所以其通项公式为a n =10n +n.思维启示：已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1)符号用(-1)n 或(-1)n+1或(-1)n-1来调解，这是因为n 和n+1奇偶交错.(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系. (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.(4)此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法.(5)应注意：①并非所有的数列都能写出通项公式；②同一数列的通项公式未必唯一；③数列是一个特殊的函数，其通项公式可用分段函数来表示. 2.由前n 项和S n 求通项公式a n【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式. (1)S n =2n 2-3n; (2)S n =(-1)n+1·n; (3)S n =n 2-1. 思路分析：直接根据公式a n =⎩⎨⎧≥-=-2,,1,11n S S n S n n解：(1)a 1=S 1=-1, 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(2n 2-3n)-［2(n-1)2-3(n-1)］=4n-5,由于a 1也适合此等式，因此a n =4n-5(n ∈N *).(2)当n=1时，a 1=S 1=(-1)2·1=1.当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(-1)n+1·n-(-1)n ·(n-1)=(-1)n+1(2n-1),由于a 1也适合此等式，∴a n =(-1)n+1·(2n-1)(n ∈N *).(3)当n=1时，a 1=S 1=0;当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(n 2-1)-［(n-1)2-1］=2n-1.由于a 1不适合此等式，∴a n =⎩⎨⎧≥-=.2,12,1,0n n n 思维启示：(1)给出S n 求a n 时，一定要分n ≥2和n=1两种情况分别求解；(2)如果当n=1时，a 1的表达式符合当n ≥2时的表达式，那么可将这两个式子合并.否则，就只能用分段函数形式表示.【例3】 已知数列{a n }中，a 1=1,且S n =1211+--n n S S (n ≥2),求a n .思路分析：已知条件是一个关于S n 的递推式，可以先求出S n ，然后求a n . 解：由S n =1211+--n n S S 两边取倒数，得n S 1=2+11-n S ,即n S 1-11-n S =2.∴{n S 1}是首项为11S =11a =1,公差为2的等差数列.∴nS 1=1+(n-1)×2=2n-1. 从而由a n =⎩⎨⎧≥-=-,2,,1,11n S S n n n 得a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=.2,)32)(12(2,1,1n n n n3.给出数列的递推式求通项公式a n (1)累差法【例4】 已知a 1=1,a n+1-a n =2n -n,求a n .思路分析：本题给出数列{a n }连续两项的差，故可用累加法得a n 的表达式. 解：∵a n+1-a n =2n -n, ∴a 2-a 1=21-1, a 3-a 2=22-2, a 4-a 3=23-3, ……n ≥2时，a n -a n-1=2n-1-(n-1).∴n ≥2时，有a n -a 1=(2+22+…+2n-1)-［1+2+3+…+(n-1)］. ∴a n =(1+2+22+…+2n-1)-2)1(-n n =2n -2)1(-n n -1.而a 1=1也适合上式. ∴{a n }的通项公式a n =2n -2)1(-n n -1. 思维启示：运用“累加法”求通项公式，此法是将递推式变形为a n -a n-1=f(n),令n=2,3,4,…,n,再将这n-1个式子相加得，a n -a 1=f(2)+f(3)+…+f(n),∴a n =a 1+f(2)+f(3)+…+f(n)({f(n)}是可求和数列). (2)累积法【例5】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n+1)a n+12-na n 2+a n+1a n =0(n=1,2,3,…),求{a n }的通项公式.思路分析：将已知的递推关系适当变形，可得递推式nn a a 1+=1+n n.用累积法可求通项公式.解：∵数列{a n }是首项为1的正项数列，∴a n ·a n+1≠0.∴n n a a n 1)1(++-1+n na na +1=0.令nn a a 1+=t,∴(n+1)t 2+t-n=0. 分解因式得［(n+1)t-n ］(t+1)=0,∴t=1+n n ,t=-1(舍去),即n n a a 1+=1+n n. ∴12a a ·23a a ·34a a ·45a a ·…·1-n n a a =21·32·43·54·…·n n 1-.∴a n =n 1.思维启示：运用“累积法”求通项公式，此法是将递推式变为1-n na a =f(n),令n=2,3,4,…,n,再将这n-1个式子相乘得1a a n=f(2)·f(3)·f(4)·…·f(n),∴a n =a 1·f(2)·f(3)·f(4)·…·f(n). (3)特殊数列法【例6】 已知a 1=2,a n+1=2a n +3,求数列{a n }的通项公式.思路分析：将已知递推公式适当变形，可得到如下递推式：a n+1+3=2(a n +3),于是数列{a n +3}构成公比为2，首项为a 1+3的等比数列，问题可解. 解：∵a n+1=2a n +3,即a n+1+3=2(a n +3),∴331+++n n a a =2.于是{a n +3}是首项为5,公比为2的等比数列. ∴a n +3=(a 1+3)·2n-1=5×2n-1.∴a n =5×2n-1-3.思维启示：一般地，数列{a n }满足a n =ca n-1+d(c 、d 为常数，c ≠0),a 1=b,求a n 时，常将其转化为等比数列求解.【例7】 已知数列{a n }的首项a 1=3,通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n =S n ·S n-1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式.思路分析：利用a n 和S n 之间的关系，首先将a n 换成S n -S n-1,这样便得到2(S n -S n-1)=S n ·S n-1,经变形可得11-n S -n S 1=21,即n S 1-11-n S =-21.这样{nS 1}构成等差数列，通过求出S n ，可求出a n .解：由于a n =S n -S n-1(n ≥2),∴2(S n -S n-1)=S n ·S n-1(n ≥2).∴n S 1-11-n S =-21.∴数列{n S 1}是以11a 为首项，以-21为公差的等差数列.于是n S 1=31-21(n-1)=635n -,∴S n =n 356-.当n ≥2时，a n =S n -S n-1=)83)(53(18--n n .当n=1时，a 1=3不适合上式.∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥--=.2,)83)(53(18,1,3n n n n思维启示：本题解题的关键是将原数列转化为等差数列{nS 1}作为突破口，使问题获解. 【例8】 已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n+1=4a n +2(n=1,2,…),a 1=1. (1)设b n =a n+1-2a n ,求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n =nna 2，求证：数列{c n }是等差数列. 证明：(1)由已知，得S n+1=4a n +2,S n+2=4a n+1+2. 两式相减，得S n+2-S n+1=4(a n+1-a n ), 即a n+2=4a n+1-4a n ,a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n ), 即b n+1=2b n .∴数列{b n }是公比为2的等比数列.(2)在S n+1=4a n +2中，令n=1，得S 2=4a 1+2=6.而S 2=a 1+a 2,∴a 2=5.∴b n =b 1·2n-1=(a 2-2a 1)·2n-1=3·2n-1,即a n+1-2a n =3·2n-1.∴112++n n a -nn a 2=43,即c n+1-c n =43. ∴数列{c n }是公差为43的等差数列.思维启示：着眼于数列间的联系，着手于公式的转换，将非等差数列、非等比数列转化为等差数列或等比数列，以求得问题的解决. (二)数列求和数列求和可分为特殊数列与一般数列求和，所谓特殊数列就是指等差或等比数列，非等差或非等比数列称之为一般数列.对于特殊数列的求和，要恰当地选择、准确地应用求和公式，采用直接求和的方法. 对于一般数列的求和，可采用下面介绍的几种化归策略. 1.并项求和法在数列求和过程中，如果将某些项分组合并后转化为特殊数列再求和，这种方法称为并项求 和法.【例9】 求数列-1,4,-7,10,…,(-1)n (3n-2),…的前n 项和.思路分析：(1){(-1)n-1(3n-2)}不是等差数列，但数列{3n-2}却是等差数列，因此数列{(-1)n-1(3n-2)}的奇数项与偶数项分别是等差数列，可将问题转化为等差数列求和问题. (2)根据等差数列的定义，数列{(-1)n-1(3n-2)}从第一项(或第二项)起，每两项的差是一个常数，因此在求和时，可以将数列{(-1)n-1(3n-2)}的相邻两项合并.解法一：当n 为偶数时，S n = 32)2353()107()41(个共nn n -++-+⋅⋅⋅++-++-=2n×3=23n;当n 为奇数时，S n =321)107()41(个共-⋅⋅⋅++-++-n +［-(3n-2)］=21-n ×3-(3n-2)=213+-n .综上，S n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-.,231,,23为奇数为偶数n n n n解法二：当n 是偶数时,奇数项与偶数项各有2n 项，S 奇=2n ×(-1)+2)12(2-nn ×(-6)=-43n 2+n,S 偶=2n ×4+2)12(2-n n ×6=43n 2+2n ,∴S n =S 偶+S 奇=23n.当n 是奇数时,奇数项共有21+n 项，偶数项共有21-n 项.S 奇=21+n ×(-1)+2)121(21-++n n ×(-6)=-43(n+1)2+(n+1), S 偶=21-n ×4+2)121(21---n n ×6=43(n-1)2+2)1(-n , ∴S n =S 奇+S 偶=213+-n .思维启示：应用并项转化法要注意对项数的奇偶进行讨论，若为偶数项，按两项合并后总项数为2n项；若为奇数项，按两项合并，则剩余一项. 2.分组求和法将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称之为分组化归法.【例10】 求数列241,481,6161,2n+121+n ,…的前n 项和S n . 思路分析：此数列的通项公式是a n =2n+121+n ,而数列{2n}是一个等差数列，数列{121+n }是一个等比数列，故采用分组求和法求和.解：S n =241+481+6161+…+(2n+121+n ) =(2+4+6+…+2n)+(221+321+421+…+121+n )=2)22(+n n +21])21(1[212--n=n(n+1)+21-121+n .思维启示：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们可用分组求和法求出它的前n 项和. 3.裂项相消法裂项相消法求和就是将数列的每一项拆成两项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的.【例11】 求1212-+1312-+1412-+…+112-n (n ≥2)的和. 思路分析：认真观察，可以发现数列的每一项112-n 均可分解成两项的差，于是可以用裂项相消法求和. 解：∵a n-1=112-n =)1)(1(1+-n n =21(11-n -11+n ), ∴1212-+1312-+1412-+…+112-n =21［(1-31)+(21-41)+(31-51)+…+(11-n -11+n )］ =21(1+21-n 1-11+n )=43-)1(212++n n n (n ≥2).思维启示：裂项相消法的关键是将数列的通项分解成两项的差，这两项一定要是数列的相邻(相间)两项，即这两项的结构应一致. 4.错位相减法【例12】 求和S n =x+2x 2+3x 3+…+nx n .思路分析：由于{n}是等差数列，而当x ≠0时，{x n }是等比数列，故可采用错位相减法. 解：当x=0,S n =0;当x=1时，S 1=2)1(+n n ; 当x ≠1且x ≠0时，∵S n =x+2x 2+3x 3+…+nx n , ① ∴xS n =x 2+2x 3+3x 4+…+(n-1)x n +nx n+1. ②①-②，得(1-x)S n =x+x 2+x 3+…+x n-nx n+1=x xx n --1)1(-nx n+1.∴S n =2)1(x x-·［nx n+1-(n+1)x n +1］. ∴S n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠++--=+-.1],1)1([)1(,1,2)1(12x x n nx x x x n n nn思维启示：(1)一般地，对于数列{c n }，如果c n =a n b n ,且{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么可以用错位相减法求数列{c n }的前n 项和.(2)错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{b n }的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和. 5.分类讨论法有些数列的求和需要经过分类讨论处理后才能进行求和，如等比数列的公比含参变数，则需在1点展开讨论，又如每一项均取绝对值的数列，则需在0点展开讨论. 【例13】 数列{a n }的前n 项和为S n =10n-n 2,求数列{|a n |}的前n 项和. 思路分析：首先通过S n 求出a n ，然后求和.解：当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(10n-n 2)-［10(n-1)-(n-1)2］=-2n+11. 当n=1时，a 1=S 1=9，适合上式. ∴a n =-2n+11(n ∈N *).又a n -a n-1=(-2n+11)-［-2(n-1)+11］=-2,∴数列{a n }是以9为首项，-2为公差的等差数列. 由-2n+11≥0,得n ≤211,a 5>0,a 6<0. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|+|a 6|+…+|a n |=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5-a 6-a 7-…-a n . 当n ≤5时，T n =9n+2)1(-n n (-2)=-n 2+10n. 当n ≥6时，T n =2S 5-S n =50+n 2-10n=n 2-10n+50.综上，T n =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-.6,5010,5,1022n n n n n n实践探究1.数列{a n }中，a 1=1，前n 项的乘积T n =n2.问225256是{a n }中的项吗？若是，是第几项？ 解：由已知a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,得a n =12121-∙⋅⋅⋅∙∙∙⋅⋅⋅∙∙n n a a a a a a =22)1(-n n (n ≥2).令22)1(-n n =225256,解方程得n=16.∵n=16∈N *,∴225256是数列{a n }的第16项.2.李明每月节省出100元，想以零存整取的方式存入银行，攒足2 625元购买冰箱.如果月利率为P=0.007 5，问存几个月能攒够购买冰箱的钱？解：设存x 个月能攒够购买冰箱的钱.当A=100,P=0.007 5时，第一个月月初存入的100元到第x 月月末可得到本利和为B 1=100+100×0.007 5x,第n 个月月初存入的100元到第x 月月末可得本利和为B n =100+100×0.007 5(x-n+1). 依题意得B 1+B 2+…+B n +…+B x =2 625. 因∑=xn 1=1(x-n+1)=1+2+3+…+x,故100［x+0.007 5(1+2+3+…+x)］=2 625,100［x+0.007 5×2)1(+x x ］=2 625. 整理得0.007 5x 2+(2+0.007 5)x-52.5=0. 解方程得x 1=015.0375.4-(舍去).x 2=015.035.0=370>23.3.因x ∈N *,所以x=24,即存够24个月便可攒足2 625元.3.(2004年全国高考题)数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n+1=n n 2+S n (n=1,2,3,…), 求证:(1)数列{nS n }是等比数列；(2)S n+1=4a n . 思路分析：解答本题的关键在于利用公式a n =⎩⎨⎧≥-=-.2,,1,11n S S n S n n证明：(1)∵a n+1=S n+1-S n ,a n+1=nn 2+S n ,∴(n+2)S n =n(S n+1-S n ). 整理得nS n+1=2(n+1)S n . 所以11++n S n =2nS n . 故{nS n }是以2为公比的等比数列. (2)由(1)知11++n S n =4·11--n S n (n ≥2),于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n ≥2). 又a 2=3S 1=3,故S 2=a 1+a 2=4.因此对于任意正整数n ≥1,都有S n+1=4a n .。

高三必修五数学第二章数列的概念与简单表示法知识点1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，构成数列：-1，1，-1，1，.(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2．数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，或1，3，5，7，9，，2n-1，，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3．数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的'数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4．数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.。

高中数学数列知识点归纳一、数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数。

例如，1，2，3，4，5……就是一个自然数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项……以此类推。

数列的一般形式可以写成 a₁，a₂，a₃，…，aₙ，…，其中 aₙ 是数列的第 n 项。

我们用｛aₙ} 来表示一个数列。

二、数列的分类1、按项数分类（1）有穷数列：项数有限的数列。

例如，数列 1，2，3，4，5 就是一个有穷数列。

（2）无穷数列：项数无限的数列。

比如自然数列 1，2，3，4，……就是一个无穷数列。

2、按项的大小变化分类（1）递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。

例如，数列 1，2，4，8，16，……就是一个递增数列。

（2）递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。

比如数列 10，8，6，4，2 就是一个递减数列。

（3）常数列：各项都相等的数列。

例如，数列 3，3，3，3，……就是一个常数列。

（4）摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。

比如数列 1，－1，1，－1，1，……就是一个摆动数列。

三、数列的通项公式如果数列｛aₙ} 的第 n 项 aₙ 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

例如，数列 1，3，5，7，9，……的通项公式为 aₙ ＝ 2n 1 。

通项公式可以帮助我们快速求出数列中的任意一项，也能让我们更深入地了解数列的性质。

四、数列的递推公式如果已知数列｛aₙ} 的第 1 项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项 aₙ 与它的前一项 aₙ₋₁（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

例如，已知数列｛aₙ} 的首项 a₁＝ 1 ，且 aₙ ＝ aₙ₋₁＋ 2 （n ≥2 ），则可以依次求出 a₂＝ a₁＋ 2 ＝3 ，a₃＝ a₂＋ 2 ＝ 5 ，……五、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

数列知识点总结一、等差数列与等比数列等差数列等比数列定义a n 1 - a n =d a n 1=q(q 0)通项公式递推公式中项前 n 项和性质a na n = a 1 +（ n-1 ） da n = a 1 q n 1 (q 0)a n = a n 1 +d, a n = a m +(n-m)da n = a n 1 qa n = a m q nma b推广： A= a n k a n k （ n,kG 2ab 。

推广：G= a n k a n k （ n,kA=+22 ;n>k>0 ）。

任意两数 a 、c 不一定N+有等比中项， 除非有 ac ＞ 0，则等比中N ;n>k>0 ）项一定有两个n（ a 1 + a n ）S n =a 1 (1 q n )S n =1 q2S n =n a 1 +n(n 1)dS n =a 1 a n q21 q（ 1）若 m n p q ，则 a m a n a p a q ； （1） 若m np q ， 则（2）数列 a2n 1, a 2n, a2n 1 仍为等差数a m ·a n a p ·a q列，S n ，S 2 nS n ， S 3 n S 2 n ⋯⋯ 仍为等差数（ 2）S n ，S 2n S n ，S 3nS 2n ⋯⋯ 仍列，公差为 n 2d ；为等比数列 ,公比为 q n（3）若三个成等差数列，可设为a d ， a ， a d（ 4）若 a n ，b n 是等差数列，且前 n 项和分别a m S2 m 1为 S n ， T n ，则T 2 m 1b m（ 5） a n为等差数列S n an 2bn（ a ， b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数） （ 6） d=a ma n(m n)m n(7)d>0 递增数列 d<0 递减数列 d=0 常数数列二、求数列通项公式的方法1、通项公式法： 等差数列、等比数列2、涉及前ｎ项和 S n 求通项公式，利用a n 与 S n 的基本关系式来求。

必修五数学第二章知识点必修五数学第二章知识点11、数列概念①数列是一种特殊的函数。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

数列可以看作一个定义域为正整数集Nx或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a、列表法；b、图像法；c、解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

等差数列1、等差数列通项公式an=a1+（n—1）dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn—Sn—1an=kn+b（k，b为常数）推导过程：an=dn+a1—d令d=k，a1—d=b 则得到an=kn+b2、等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。

这时，A叫做a与b的等差中项（arithmeticmean）。

有关系：A=（a+b）÷23、前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+（a1+d）+（a1+2d）+······+[a1+（n—1）d]①Sn=an+an—1+an—2+······+a1=an+（an—d）+（an—2d）+······+[an—（n—1）d]②由①+②得2Sn=（a1+an）+（a1+an）+······+（a1+an）（n 个）=n（a1+an）∴Sn=n（a1+an）÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n（a1+an）÷2=na1+n（n—1）d÷2Sn=dn2÷2+n（a1—d÷2）亦可得a1=2sn÷n—an=[sn—n（n—1）d÷2]÷nan=2sn÷n—a1有趣的是S2n—1=（2n—1）an，S2n+1=（2n+1）an+14、等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+（n—m）d它可以看作等差数列广义的通项公式。

必修5.2.1 数列及其相关概念二.重要题型1.“知三求二”原则例1.(1)在等差数列{}n a 中， 已知153,,562n n a a S ==-=-，求,n d ； (2)在等差数列{}n a 中，已知2,5,35n d n S ===，求1,n a a ； (3)在等比数列{}n a 中，已知11,32,63,n n a a S ===，求,n q ；2、列二元方程组求1,a d 或者1,a q ；例2.(1)在等比数列{}n a 中，若1346510,,4a a a a +=+=求45,a S (2)(2013北京)在等比数列{}n a 中，若243520,40,a a a a +=+=求,n q S(3)在等差数列{}n a 中，451,10,a S ==求n S 的最大值及对应n 的值。

练习1. 在等差数列{}n a 中，3913,45,a S =-=-问n S 是否存在最大值或最小值。

若存在，求出其最值及对应n 的值。

2.在等比数列当{}n a 中，212a a -=且22a 是13a 和3a 的等差中项，求该数列的前n 项和。

总结：1.必须已知条件是可以列两个关于1,a d 或1,a q 的方程.2.公式选择：求1,a d 时11(1)(1)2n n a a n dn n S na d =+--=+⎧⎪⎨⎪⎩，求1,a q 时11(1)1n n n n a aq a q S q -=-=-⎧⎪⎨⎪⎩3.等差数列{}n a 中，求最值时使用2n S An Bn =+的二次函数的最值决定。

必修5.2.2 求数列通项公式的常见方法一.公式法：已知n a 是等差或等比数列例1.(1)已知数列1,1,3,5,7,----⋅⋅⋅依次下去，求数列的通项公式，请问-89是该数列的项吗？(2)已知等比数列{}n a 中，已知312n n S -=，求n a .二.已知n S 求n a例2.已知数列{}n a 中，已知5n n S =求1,n a a ；练习21.已知数列{}n a 中，0n a >，且2(1)4n n a S +=，求n a2.已知数列{}n a 中，且n n a S n +=，(1)设1n n c a =-，求证：{}n c 是等比数列； (2)求n a三.或常数d )例3、已知数列n 中，且112,21n n a a n +==+-，求n a练习3.1.已知数列{}n a 中，且111,21n n n a a a +==++，求n a2.已知数列{}n a 中，121,2a a ==且2122n n n a a a ++=-+， (1)设1n n n b a a +=-，求证{}n b 是等差数列. (2)求n a四.或常数q ) 例4.已知数列{}n a 中，且12131,,(2)2n n a a na n a +===+，求n a ； 练习4.已知等比数列{}n a 中，首相为1a ，公比为q ，求证：11n n a a q -=；五.递推公式法：1n n a Aa B +=+(,A B 为常数)此种形式的递推公式，一定可以化成：公比q A =的等比数列{}n a λ+(λ为常数)，所以这种题目我们可以先设数列为：1n n a A a λλ++=+(或1()1n n B a A a A λλλ++=+⇒=- 例5.(2014全国)已知数列{}n a 中，且111,31n n a a a +==+，求n a练习5.已知数列{}n a 的前n 项和2142n n n S a -=--，(1)设1n a +与n a 的关系；(2)求n a必修5.2.3 求数列前n 项和的常见方法一.1.等差数列：12n n S =或1(1)2n n n S na d -=+；2.等比数列：1(1)1n n a q S q-=-或1(1)1n n a a qS q q -=≠-；1(1)n S na q == 3.2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=4.223333(1)1234n n n ++++⋅⋅⋅+=例1.(2014重庆)已知{}n a 是首相是1，公差为2的等差数列,n S 是{}n a 的前n 项和，(1)求,n n a S ;(2)设{}n b 是首项是2，公比q 满足244(1)0q a q S -++=，求{}n b 的通项公式和前n 项和。

必修五第二章数列归纳总结一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．3. an 与Sn 的关系设Sn ＝a1＋a2＋a3＋…＋an,则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2). 二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 这样的数列叫做等差数列．2. 等差中项如果三数a 、A.b 成等差数列, 则A 叫做a 和b 的等差中项, ∴A ＝ .3. (1)通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .推导方法: 累加法an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(2)前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 推导方法: 倒序相加法.4. 用函数观点认识等差数列(1)an ＝nd ＋(a1－d)是n 的一次函数.(2)Sn ＝ n2＋(a1－ )n, 是关于n 的常数项为零的二次函数．5. 等差数列的判定方法(1)定义法: an ＋1－an ＝d(常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)中项公式法: 2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法: an ＝kn ＋b(k, b 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(4)前n 项和公式法：Sn ＝An2＋Bn(A 、B 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列.(5){a n }是等差数列⇔{S n n}是等差数列 6. 等差数列的性质(1)下标和与项的和的关系在等差数列中, 若p ＋q ＝m ＋n, 则有ap ＋aq ＝am ＋an ；若2m ＝p ＋q, 则有2am ＝ap ＋aq, (p, q, m, n ∈N*).(2)任意两项的关系在等差数列{an}中, m 、n ∈N*, 则am －an ＝(m －n)d 或am ＝an ＋(m －n)d 或 ＝d.(3)在等差数列中, 等距离取出若干项也构成一个等差数列, 即an, an ＋m, an ＋2m, …为等差数列, 公差为md.等差数列的依次n项的和也构成一个等差数列, 即Sn, S2n－Sn, S3n－S2n, ……为等差数列, 公差为n2d.即下标成等差的项成等差数列, 下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列.(4)设等差数列{an}的公差为d, 那么d>0⇔{an}是递增数列；d<0⇔{an}是递减数列；d＝0⇔{an}是常数数列.(5)①数列{λan＋b}仍为等差数列, 公差为λd.若{bn}, {an}都是等差数列, 则{an±bn}仍为等差数列, {λ1an＋λ2bn}(λ1, λ2为常数)也是等差数列.②项数为n的等差数列中, n为奇数时, 设m＝ , 则S奇－S偶＝am, ＝ , Sn＝na 中＝nam.n为偶数时, S偶－S奇＝ d.③若{an}与{bn}为等差数列, 且前n项和分别为Sn与S′n, 则＝ .④等差数列{an}中, 若an＝m, am＝n(m≠n), 则am＋n＝0.⑤若数列{an}的前p项和为Sp＝q, 前q项和为Sq＝p(p≠q), 则Sp＋q＝－(p＋q).⑥若数列{an}的前n项和为Sn, Sp＝Sq(p≠q), 则Sp＋q＝0.三、等比数列1. 等比数列的定义一般地, 如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫做等比数列．2. 等比中项如果三个数a、G、b成等比数列, 那么G叫做a和b的等比中项, 即G2＝ab.3. 等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(n∈N*).推导方法: 累乘法: ·……·＝qn－1.4. 等比数列的前n项和当q＝1时, Sn＝na1,当q≠1时. Sn＝＝.推导方法: 乘公比、错位相减法.5. 等比数列的判定方法(1)an＋1＝anq(q是不为0的常数, n∈N*, an≠0)⇔{an}是等比数列.(2)an＝cqn－1(c, q均是不为0的常数, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(3)an＋12＝an·an＋2(an≠0, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(4)Sn＝A·qn－A(A.q为常数且A≠0, q≠0,1)⇔{an}是公比不为1的等比数列．6. 等比数列的主要性质(1)下标和与项的积的关系在等比数列{an}中, 若m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q, 则am·an＝ap·aq.特别地, 若2m＝p＋q, 则ap·aq＝am2；a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)任意两项的关系若{an}为等比数列, 则＝qm－n或am＝an·qm－n(m、n∈N*).(3)等间隔的k项和(或积)仍成等比数列.例如: {an}是等比数列, 则①a1, a3, a5, …, a2n－1；②a1＋a2, a2＋a3, a3＋a4, …；③a1a2, a2a3, a3a4, …；④a1＋a2, a3＋a4, a5＋a6……均成等比数列．(4)等比数列{a n}的单调性当, 或时, {an}为递增数列；当或时, {an}为递减数列.(5)①{an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0).②{an}、{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{ }仍是等比数列.③若{an}是等比数列, 则{an2}、{ }(an>0)、{ }、{|an|}均为等比数列.④非零常数列既是等差数列, 也是等比数列.⑤若{an}是等差数列, 则{ban}是等比数列.若{an}是正项等比数列, 则{lgan}是等差数列．误区警示1. 数列与数集应予区别, 数列中的数排列有序, 数集中的元素无序；数列中的数可重复出现, 数集中的元素互异.2. 并不是每一个数列都有通项公式, 给出前n项时, 写出的通项公式可以不止一个.3．已知{an}的前n项和Sn求an时,用an＝求解应注意分类讨论.an＝Sn－Sn－1是在n≥2条件下求出的, 应检验a1是否适合. 如果适合, 则合写在一块, 如果不适合, 则分段表示. 千万注意用an＝Sn－Sn－1判断数列{an}是否为等差(或等比)数列时, 不要忘记验证a1是否满足.如: Sn＝n2＋n时, {an}是等差数列.Sn＝n2＋n＋1时, {an}不是等差数列.Sn＝2n－1时, {an}是等比数列.Sn＝2n＋1时, {an}不是等比数列.4. 在讨论等差数列{an}的前n项和Sn的最值时, 不要忽视n是整数的条件及含0项的情形.如: 在等差数列{an}中, 已知a1＝20, 前n项和为Sn, 且如S10＝S15, 求当n取何值时, Sn有最大值, 并求出它的最大值．取最大值的应为S12和S13.5. G是a、b的等比中项 G＝.6. 在应用等比数列的前n项和公式时, 一定要对q＝1与q≠1进行分类讨论.7．等比数列中隐含着各项不为零、公比不为零, 项与公比的符号有着密切的联系, 解题时应特别注意．。

数学必修五数列知识点总结归纳数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

在必修五的数学课程中，数列是一个重要的知识点，学好数列的相关知识对于理解高中数学以及以后的数学学习都是至关重要的。

本文将对数学必修五中的数列知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握数列的概念和性质。

一、基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数，这些数之间存在一种特定的关系。

2. 通项公式：数列中的每一项可以由一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。

3. 等差数列：如果一个数列中的任意两项之差都是一个常数，那么这个数列就是等差数列。

4. 等比数列：如果一个数列中的任意两项之比都是一个常数，那么这个数列就是等比数列。

5. 递推公式：等差数列、等比数列中的每一项可以通过前一项来计算的公式，称为递推公式。

二、等差数列1. 基本性质：等差数列的基本性质包括公差、首项、末项和项数等。

2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。

3. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。

三、等比数列1. 基本性质：等比数列的基本性质包括公比、首项、末项和项数等。

2. 通项公式：等比数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。

3. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。

四、数列的应用1. 数列在初等数学中的应用：数列的应用不仅限于数学学科本身，在初等数学中，数列还有很多实际应用，例如求和、求平均数等。

2. 数列在自然科学中的应用：数列在自然科学中也有着广泛的应用，例如物理学中的运动学问题、化学中的化学反应速率等都可以通过数列来描述和求解。

五、数列知识点的拓展1. 等差数列和等比数列的推广：除了等差数列和等比数列之外，还存在其他形式的数列，例如等差递推数列和等比递推数列。

2. 数列的收敛性：数列的收敛性是数学分析中的一个重要概念，它与数列中项的趋势和极限有关。

高中数学数列知识点归纳一、数列的概念与性质1.数列的定义：数列是一组按照一定规律排列的实数，通常用{a1, a2,a3,...}表示。

2.数列的分类：根据项的性质，数列可分为整数数列、有理数数列、实数数列等；根据项之间的关系，数列可分为等差数列、等比数列、几何数列等。

3.数列的性质：数列具有交换性、结合律、分配律等基本运算性质。

二、等差数列1.等差数列的定义与性质：等差数列是相邻两项之差为一个常数的数列。

2.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

3.等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * [2a1 + (n-1)d]。

4.等差数列的求和公式应用：求解等差数列前n项和的最值、求解等差数列中的未知量等问题。

三、等比数列1.等比数列的定义与性质：等比数列是相邻两项之比为一个常数的数列。

2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

3.等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。

4.等比数列的求和公式应用：求解等比数列前n项和的最值、求解等比数列中的未知量等问题。

四、其他数列1.几何数列：几何数列是相邻两项之比为一个常数的数列，通项公式为an = a1 * r^(n-1)。

2.调和数列：调和数列是相邻两项之比为根号下n的数列，通项公式为an = a1 * (n^(1/2))^(n-1)。

3.Fibonacci数列：Fibonacci数列是满足递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)的数列，具有递归关系。

五、数列的递推关系与迭代1.递推关系的定义与性质：递推关系是利用数列的前几项求解后续项的关系。

2.迭代的方法与应用：迭代是求解递推关系的一种方法，可用于求解数列中的未知量、求解数列的极限等。

六、数列的极限与连续1.数列极限的定义与性质：数列极限是数列趋于某个值的过程，具有唯一性、无穷小性等性质。

【知识复习】1、相关概念:②数列的通项公式：如杲数列｛a n｝的第n项為与n Z间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。

③数列的递推公式：如果己知数列｛弭的第一项（或前n项，口任一项気与它的前一项时（或前n项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

④若数列｛a」的前n项和为h则2、等差与等比数列等差数列等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的项的并等于同一个常数，这个数列就叫做等丼比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

即定义数列。

即a-anFd,公差d可为正数、负数和零色-%：q,公比q是一个不等于零的常数。

通项公式爲F+S_l）d （来源：定义，迭加，迭代）a n=a m+（n-m）d（证明）a n = a}q n~x (% H 0, a H °)= 0捫叽北0, q H 0)(定义迭乘，迭代)若“ A, b成等差数列，那么A叫做a与b的若a,G, b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项等差中项，lLA~a + b中项, H G2=abo (a, b 是同号)2心+Q”)S/ 2na x(q = l)前n项S n ―W) (E)和或S〃 5 -（错位相减）2 （倒序和加）(1)⑷+% =°2 +勺1 =…二％ +匕-冲=…(1) W = a屮' =…=a#十' =…(2)m + 兀=p + q(m,n,p,q w NJ(2)m + n = p + q{m.n.p.q e N+)o 几 +久=ci a to Qg•么— ci.. 5性质m n p q m j? n p q（3）若｛aj为等差数列,则a n, a2n, a和也为(3)若｛aj为等比数列,则縮a2n, asn也为等比等差数列数列。

（4）若｛an｝为等差数列，则Sn，S2n-S n，S3n-S2n(4)若｛aj为等比数列,则Sn，S2n-S n, S3n-S2n也也为等斧数列为等比数列。

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习〔一〕一．数列的概念与简单表示法知识能否忆起1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，假设组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝a n(n∈N*)．〔一〕由数列的前几项求数列的通项公式[例1](2012·天津南开中学月考)以下公式可作为数列{a n}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )A ．a n ＝1B ．a n ＝(－1)n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝(－1)n －1＋32[自主解答] 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2， a 3＝1，a 4＝2，…. [答案] C 由题悟法1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想以题试法写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)3,33,333,3 333，…；(4)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n －1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn，也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.〔二〕由a n 与S n 的关系求通项a n已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据以下条件分别求它们的通项a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n ＋1.[自主解答] (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1. 当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1. 当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2.以题试法(2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝( )A.56 B.65 C.130D ．30解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，则a 5＝15×6＝130.〔三〕数列的性质[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20.(1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？[自主解答] (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小． 由题悟法1．数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，假设a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；假设a m ≤0，且a m ＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 以题试法3．(2012·江西七校联考)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值是( )A ．310B ．19 C.119D.1060解析：选C a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，易知当n ＝9或10时，a n ＝119最大．二．等差数列及其前n 项和知识能否忆起一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．二、等差数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . 2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. 三、等差数列的性质1．假设m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．在等差数列{a n }中，a k ，a 2k ，a 3k ，a 4k ，…仍为等差数列，公差为kd .3．假设{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列，公差为n 2d . 4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列，且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值．d <0时为递减数列，且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．5．等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d .假设其前n 项之和可以写成S n ＝An 2＋Bn ，则A ＝d 2，B ＝a 1－d2，当d ≠0时它表示二次函数，数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．n 项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这表达了方程思想．(2)S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn ⇒d ＝2A . (3)利用二次函数的图象确定S n 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，假设奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；假设偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．考点等差数列的判断与证明[例1] 在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋32n (n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．[自主解答] (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)，∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *，∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n ＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．由题悟法1．证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n (a 1＋a n )2.2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．以题试法1．已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列． 解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得A ＝2，B ＝－4，CS n ＝2n 2－4n . (2)证明：∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6. ∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．a n ＋1－a n ＝4， ∴数列{a n }是等差数列. 等差数列的基本运算典题导入[例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12.(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． [自主解答] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)可得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.由题悟法1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，表达了方程的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．以题试法2．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 412－S 39＝1，则公差为________．解析：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝3.则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44.(2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6.答案：(1)44 (2)6 等差数列的性质典题导入[例3] (1)等差数列{a n }中，假设a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和S 9等于( )A ．66B ．99C ．144D ．297(2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，假设S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( )A ．18B ．17C ．16D ．15[自主解答] (1)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝99.(2)设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.[答案] (1)B (2)A由题悟法1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．以题试法3．(1)(2012·江西高考)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，假设a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.(2)(2012·海淀期末)假设数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.(2)∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，解得193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴kn 的值为7.答案：(1)35 (2)B三．等比数列及其前n 项和[知识能否忆起]1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中，假设m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r . 特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k ；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)； a n ＝a m q n －m.(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 2．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误考点等比数列的判定与证明典题导入[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12.∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.在本例条件下，假设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比数列． 证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . ∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法(1)定义法：假设a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：假设数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：假设数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．以题试法1． (2012·沈阳模拟)已知函数f (x )＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }()A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列解析：选A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2，得log a a n ＋1a n ＝2＝log a a 2，故a n ＋1a n＝a 2.又a >0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列．等比数列的基本运算典题导入[例2] {a n }为等比数列，求以下各值： (1)a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求a n ；(2)已知a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q. 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 6－a 4＝a 1q3q 2－1＝24， ①a 3a 5＝a 1q 32＝64. ②由②得a 1q 3＝±8，将a 1q 3＝－8代入①中，得q 2＝－2(舍去)．将a 1q 3＝8代入①中，得q 2＝4，q ＝±2. 当q ＝2时，a 1＝1，∴a n ＝a 1qn －1＝2n －1.当q ＝－2时，a 1＝－1，∴a n ＝a 1q n －1＝－(－2)n －1.∴a n ＝2n －1或a n ＝－(－2)n －1.(2)∵a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝3，a 7＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝12，a 7＝3.∴q 4＝a 7a 3＝4或14.∴q ＝±2或q ＝±22.由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可无视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)． 因为a 2，a 4，a 8成等比数列， 所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )， 解得d ＝2.所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ， 则S n＝32＋34＋…＋32n ＝9(1－9n )1－9＝98(9n －1)． 等比数列的性质典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，假设a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12 B.32C ．1D ．－32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3. log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74 ＝7log 33π3＝7π3，故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.[答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，假设能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n )D.323(1－2－n ) 解析：(1)选D 法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.则⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. (2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －5. 故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )． 练习题1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是 ( )A ．a n ＝n2n ＋1B ．a n ＝n2n －1C ．a n ＝n2n －3D ．a n ＝n2n ＋3答案：B2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49D ．64解析：选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15.3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选A a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝(n ＋1)2－n (n ＋2)(n ＋1)(n ＋2)＝1(n ＋1)(n ＋2)>0.4．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)，则a 4·a 3＝________.解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：545．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝32，则a 8＝________.解析：由已知得⎩⎨⎧2p ＋q 2＝32，4p ＋q 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝14，q ＝2.则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝94.答案：941．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2a 4－π3＝( )A.32B.12 C ．－32D ．－12解析：选D ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2.∴sin ⎝⎛⎭⎫2a 4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12. 3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176解析：选B S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.4．在数列{a n }中，假设a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 解析：由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2. 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －15．(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，假设a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×12＝14n 2＋14n . 答案：1 14n 2＋14n1．(2011·江西高考){a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．假设S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．72解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48.3．(2013·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 25解析：选B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝20，因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.4．(2012·海淀期末)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25解析：选C ∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，1为公差的等差数列．∴a 2n ＝1＋(n －1)＝n .又a n >0，∴a n ＝n .∵a n <5，∴nnn 的最大值为24.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，假设S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为( )A ．5B ．6C ．4D ．7解析：选A 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5.6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．假设b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－(－2)10－3b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －18．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1， S k ＝k ＋k (k －1)2×2＝k 2k ∈N *，故k ＝3.答案：39．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，假设对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 解析：∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 答案：194110．(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.11．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 的前n 项和S n .解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1，两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.∵T 1＝1－a 1＝a 1， 故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列． (2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，从而a n ＝1－T n ＝n n ＋1.故a nT n＝n .∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列．∴S n ＝n (n ＋1)2.12．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. (1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值． 解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10， S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22， ∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，即12(a 11＋a 22)2＝0，故a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又∵a 1＝31，∴d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)法一：由(1)知S n ＝32n －n 2，故当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256. 法二：由S n ＝32n －n 2＝n (32－n )，欲使S n 有最大值， 应有1<n <32，从而S n ≤⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 22＝256， 当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4·⎝⎛⎭⎫32nB ．4·⎝⎛⎭⎫23n C ．4·⎝⎛⎭⎫32n －1D ．4·⎝⎛⎭⎫23n －1 解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5， a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝⎛⎭⎫32n －1. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128D ．243解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，假设a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12. 答案：2 2n －1－125．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0.∵a 1≠0，∴q ＝－2.答案：－21．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，假设S 3＝3a 3，则公比q 为( )A ．－12B ．1C ．－12或1 D.14解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2， 解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1. 2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( )A.152B.154 C ．4 D ．2解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 1(1－24)1－2a 1×2＝152. 3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4.又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知：2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)，同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n＝( )A.32B.32或23C.23 D ．以上都不对解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23. 7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n}是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16.答案：168．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋qq 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11. 答案：119．(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，假设a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________. 解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，故a n ＝a 12n －1＝2n ，∴1a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫14n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列， ∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝13⎝⎛⎭⎫1－14n . 答案：2 13⎝⎛⎭⎫1－14n 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1， 又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2. (2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3. ∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13. 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？假设存在，求出a 1的值；假设不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1.当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1. 两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0， 所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 1(1－3n )1－3＝12a 1·3n －12a 1， b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n . 要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2. 所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎨⎧ 5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)．(2)对m ∈N *，假设a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1. 因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 1(1－q m )1－q ＝7×(1－49m )1－49＝7×(72m －1)48＝72m ＋1－748.。

高中数学《数列》知识点归纳
一、数列的概念
1. 数列的定义与表示
2. 数列的分类：等差数列、等比数列、等差几何数列、斐波那契数列、调和数列等
3. 数列的通项公式、前n项和公式及其应用
五、斐波那契数列
1. 斐波那契数列的定义和性质
2. 斐波那契数列的通项公式及其应用
3. 斐波那契数列的递推公式及其推导方法
4. 斐波那契数列的特殊应用：黄金分割
六、调和数列
1. 调和数列的定义和特征：调和平均数、算术平均数、宾汉姆不等式
2. 调和数列的通项公式及应用
3. 调和数列和几何平均数的关系
4. 调和数列的应用：调和平均数与平均速度等
七、数列极限
1. 数列的极限及其定义
2. 数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性、代数运算性等
3. 数列极限的判定法：夹逼定理、单调有界原理等
4. 数列极限的应用：数学归纳法、发散数列的研究等
八、数列的应用领域
1. 数列在经济方面的应用：摆脱“复利”套路等
2. 数列在自然科学中的应用：波动方程、元素周期表等
3. 数列在计算机科学中的应用：搜索算法、排序算法等
4. 数列在生命科学和社会实践中的应用：基因序列分析、大学分配问题等。

人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2. (2)等差数列 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d .A ＝a ＋b 2(等差中项)． （3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m . S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q＝a 11－q n 1－q q ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ；在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一 数列的通项公式的求法1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)1,1，57，715，931，…； 2．定义法等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且 a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.求数列{a n }的通项公式．3．前n 项和法(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋1，求通项 a n ；(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2，求通项a n. 4．累加法已知{a n}中，a1＝1，且a n＋1－a n＝3n(n∈N*)，求通项a n. 5．累乘法已知数列{a n }，a 1＝13，前n 项和S n 与a n 的关系是S n ＝n (2n －1)a n ，求通项a n . 6．辅助数列法已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式．7．倒数法已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)．求通项a n . 专题二 数列的前n 项和的求法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解．求和：S n ＝112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )． 2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n ＋k ＝1k ·(1n －1n ＋k)； (2)若{a n }为等差数列，公差为d ，则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)； (3)1n ＋1＋n ＝n ＋1－n 等．3．错位相减法若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以等比数列{b n }的公比q ，然后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n .附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.（2）等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列定义公式1．2．1．2．性质1．，称为与的等差中项2．若（、、、1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则），则3．，，成等差数列4. 3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。