最新人版高中数学必修五数列知识点和习题详解

第一部分必修五数列知识点整理第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()nn S f a =，先求1a 11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，na 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。

③ 前n 1(1)2n n na d -=+，0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质：ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。

iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。

iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2a bA +=。

3.等比数列： ① 定义：1n na q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

② 通项时为常数列)。

③.前n 项和需特别注意,公比为字母时要讨论.④.性质：ii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。

iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。

数列知识总结一.知识网络 :等差数列的正等差数列性质有整数列的观点通项及关前 n 项和数应集等比数列等比数列的用性质二.重点提示:1.数列的定义 :按必定序次摆列的一列数. 数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，，n ｝上的函数当自变量由小到大挨次取值时对应的一列函数值．2.数列的通项公式和前 n 项和:关于随意数列a n , 其通项是 a n和它的前 n 项和S n之间的关系是: a n S1,(n 1)S n (n.Sn 1 2, n N *)3.求数列通项公式的方法:①察看法:找项与项数的关系,而后猜想查验, 即得通项公式 a n ,注意利用前几项得出的通项公式不必定独一 .②利用通项 a n和它的前 n 项和S n之间的关系是:,③公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解.④其余方法: 迭加,迭乘,待定系数等.4.证明一个数列是等差数列或等比数列, 常用的两种基本方法 : 一是利用定义; 二是．．．．利用等差中项（或等比中项）来进行证明.( 注意:通项的特色与前 n 项和的特色只用于判断)5.等差数列的性质:(1) 数列 a n为等差数列，则a m= a n＋（m－n）d,或d a n a m n m(2) 数列 a n为等差数列的充要条件是:其通项公式能够写成a n= an＋b (a,b为实．．．．常数).(3) 数列 a n 为等差数列的充要条件2a n an 1 a n 1,推广．．．．2a n a n k a n k( n>k. >0)(4) 数列a n为等差数列:若 m n p q ,则a m a n a p a q.(5)数列 a n为等差数列,去掉前m项,剩下的项组成等差数列.推行：数列 a n为等差数列,则每隔k项取m项的和仍组成等差数列.(6)数列 a n是公差为d的等差数列,则奇(偶)数项组成公差为2 d的等差数列.推行①:数列a n为公差为 d 等差数列: 则在数列中每隔 k 项取一项组成的数列是公差为 (k 1)d 的等差数列.项数成等差数列的项成等差数列.推行②:数列a n是公差为 d 的等差数列 ,则项下标成等差数列的项也成等差数列.(7) 数列a n , b n 项数同样的等差数列 :则ka n , pa n qb n , panq ( p, q 为常数) 仍为等差数列.(8) 数列a n 为等差数列,其前n 项和S n能够写成S n an 2 bn, (a, b 为常数).(9)数列 a n为等差数列:则数列中挨次每连续k项之和组成的数列也是等差数列.(10)数列 a n为等差数列: S奇表示奇数项的和, S偶表示偶数项的和,若项数为2n 项时, 则有S奇－S偶 = nd , S奇 / S偶= a n / a n+ 1 ;若项数为 2n － 1 项时 , 则有奇－S偶= an, 奇/S偶= n/ (n－S S 1), S2 n 1(2n 1)a n .6.等比数列的性质:(1) 数列a n 为等比数列: a n a1q n 1, a m a n q m n , a n 2 an man m.(2) 数列a n 为等比数列: a n 2 an 1 a n 1 ,推行 a n 2 a n m a n m ( n>m >0)(3) 数列a n 为等比数列: m n p k ,则 a m a n a p a k.(4)数列 a n为等比数列,取掉前若干项,节余的项也组成等比数列.推行：数列 a n为等比数列,则每隔k项取m项的和(积)仍组成等比数列.(5) 数列 a n 为等比数列,则奇(偶)数项组成等比数列.推行① :数列 a n 为公比为 q 等比数列: 则在数列中每隔 k 项取一项组成的数列是公比为 q k 1 的等比数列.推行②:数列 a n 为等比数列 ,则项数成等差数列的项成等比数列.1 a n } , ka n , a n b n , a n k(k 为 (6) 数列 a n , b n 为项数同样的等比数列: 则 { } , {b n a n常数) 等仍为等比数列.(7) 数列 a n 为公比为 q(q ≠±1) 的等比数列:则数列中连续 k 项之和(积) 组成的数列是等比数列.(8) 数列 a n 为等比数列: ( S 奇 表示奇数项的和, S 偶 表示偶数项的和 )若项数为 2n 项时,则有 S 偶 / S 奇 = q;若项数为 2n －1 项时, 则有( S 奇 － a 1 )/ S 偶 =q.(9) 递推公式为 a n 1 pa n q( p 1) 的递推数列 { a n } , 都能够转变为an 1q p a nq 进而结构等比数列.p1 p 17.等差数列与等比数列比较:名称等差数列等比数列定义a n+ 1 ―a n =da n 为等差数an 1q ( q0 )a n 为等比数列a n列通项公 a n = a 1＋( n －1) d = a m ＋( n －a n = a 1q n－1 = a m q n －m 式 m) d前 n 项 S nn a 1 a nna 1q 1 , 2S n a 1 1 q n a 1a n q和公式 1n n1q 1 q 1 .na 1dq2a ，A ，b 成等差数列a ，G ，b ，成等比数列中项Aa b，或 2 A=a ＋b ．Gab ，或 G 2=ab28.等差数列与等比数列的关系:(1) 各项为正的等比数列 a n ,其对数数列{log a a n }( a 0, a 1) 为等差数列.(2) 数列 a n 为等差数列,则数列{ C a n }( C 为正常数) 为等比数列.9.数列乞降的一般方法( 联合于详细的示例解说): ①倒序乞降法:(等差数列的乞降);②错位相减法:(等比数列和差比数列);例 1:乞降: a 2a 2 3a 3 4a 4na n (n N *) .③裂项相消法:(数列中的各项能够拆成几项, 而后进行消项);例 2:乞降:1 1 55 1 (2n 1) 1.1 3 3 7(2n 1)例 3:求数列{1} 的前 n 项和.nn1④通项化归法:(化出通项, 由通项确立乞降方法 );例 4:求数列:1,1 , 1 , ,2 1 , 的前 n 项和 S n .1 2 1 2 3 1 3n⑤分组乞降法:(将一个数列分红几组,每组都能够用乞降公式来求解); 例 5:求数列 2,2 1 ,3 1 ,4 1, , n1 , 的前 n 项之和.2 4 82n 1⑥公式法:( 应用等差或等比数列的乞降公式直接来求解). ⑦.累差迭加法例 6:已知数列 6,9,14,21,30, , 此中相邻两项之差成等差数列,求它的通项.⑨∑乞降记法n用 a k = a 1a 2a 3a n 。

1高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习（一）2一．数列的概念与简单表示法3知识能否忆起41．数列的定义、分类与通项公式5(1)数列的定义：6①数列：按照一定顺序排列的一列数．7②数列的项：数列中的每一个数．8(2)数列的分类：910(3)数列的通项公式：11如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．12 2．数列的递推公式13 如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或14 前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．15 1.对数列概念的理解16 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有17 关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因18 此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． 19 (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与20 数集的区别．21 2．数列的函数特征22 数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函23 数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *)．24 25 3.考点26 （一）由数列的前几项求数列的通项公式27 [例1] (2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{a n }：28 1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )29 A ．a n ＝1 B ．a n ＝－1n ＋1230C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2 D ．a n ＝－1n －1＋3231[自主解答] 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2， 32 a 3＝1，a 4＝2，…. 33 [答案] C 34 由题悟法35 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察36 出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常37 见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整． 38 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着39 “从特殊到一般”的思想40 以题试法41 写出下面数列的一个通项公式． 42 (1)3,5,7,9，…； 43 (2)12，34，78，1516，3132，…； 44 (3)3,33,333,3 333，…； 45 (4)－1，32，－13，34，－15，36，….46 解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.47 (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .48(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是1049 －1,102－1,103－1,104－1，….50 所以a n ＝13(10n －1)．51 (4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n ；各项绝对值的分52 母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶53 数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，54 所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为55a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.56（二）由a n 与S n 的关系求通项a n57 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： 58 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；59 (2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求60 出当n ≥2时a n 的表达式；61 (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，62 则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写． 63 [例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n . 64 (1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n ＋1.65[自主解答] (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5， 66 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1. 67 当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. 68 (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 69 当n ≥2时，70 a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1. 71 当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1， 72 故a n ＝⎩⎨⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2.73以题试法74 (2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝nn ＋1，则1a 5＝( )75A.56B.65 76C.130D ．3077解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n n ＋1，则a 5＝15×678 ＝130. 79 （三）数列的性质80 [例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20.81(1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； 82 (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？83 [自主解答] (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n84 ＝212＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－85 21×11＋20＝－90.86 (2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，87 故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小． 88 由题悟法89 1．数列中项的最值的求法90 根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数91 最值的方法求解，但要注意自变量的取值．92 2．前n 项和最值的求法93 (1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值；94 (2)根据数列的通项公式，若a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；若a m ≤0，且a m ＋1>0，95 则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 96 以题试法97 3．(2012·江西七校联考)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值98 是( )99 A ．310B ．19100C.119D.1060101解析：选C a n ＝1n＋90n，由基本不等式得，1n＋90n≤1290，由于n∈N*，易知102当n＝9或10时，a n＝119最大．103二．等差数列及其前n项和104知识能否忆起105一、等差数列的有关概念1061．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个107常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．1082．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做109a，b的等差中项．110二、等差数列的有关公式1111．通项公式：a n＝a1＋(n－1)d. 1122．前n项和公式：S n＝na1＋n n－12d＝a1＋a n n2.113三、等差数列的性质1141．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{a n}为等差数列，则a m＋a n＝a p＋a q. 1152．在等差数列{a n}中，a k，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd.1163．若{a n}为等差数列，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d. 1174．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和S n有最小值．d<0 118时为递减数列，且当a1>0时前n项和S n有最大值．1195．等差数列{a n}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成S n＝An2＋Bn，120则A＝d2，B＝a1－d2，当d≠0时它表示二次函数，数列{a n}的前n项和S n＝An2＋121Bn是{an }成等差数列的充要条件．1221.与前n项和有关的三类问题123(1)知三求二：已知a1、d、n、a n、S n中的任意三个，即可求得其余两个，这124体现了方程思想．125(2)S n＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n＝An2＋Bn⇒d＝2A.126(3)利用二次函数的图象确定S n的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，127最低点的纵坐标不一定是最小值．1282．设元与解题的技巧129已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等130差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；131若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋1323d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．133134考点135等差数列的判断与证明136[例1] 在数列{a n}中，a1＝－3，a n＝2a n－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．137(1)求a2，a3的值；138(2)设b n＝an＋32n(n∈N*)，证明：{b n}是等差数列．139[自主解答] (1)∵a1＝－3，a n＝2a n－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，∴a2＝2a1＋14022＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13.141(2)证明：对于任意n∈N*，142∵b n＋1－b n＝an＋1＋32n＋1－an＋32n＝12n＋1[(a n＋1－2a n)－3]＝12n＋1[(2n＋1＋3)－3]＝1，143∴数列{b n}是首项为a1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．144由题悟法1451．证明{a n}为等差数列的方法：146(1)用定义证明：a n－a n－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{a n}为等差数列；147(2)用等差中项证明：2a n＋1＝a n＋a n＋2⇔{a n}为等差数列；148(3)通项法：a n为n的一次函数⇔{a n}为等差数列；149(4)前n项和法：S n＝An2＋Bn或S n＝n a1＋a n2.1502．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n＋1－a n＝d和a n－a n－1＝d，但151它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．152以题试法1531．已知数列{a n}的前n项和S n是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6. 154(1)求S n ；155 (2)证明：数列{a n }是等差数列． 156 解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，157则⎩⎨⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，158解得A ＝2，B ＝－4，C ＝0.故S n ＝2n 2－4n . 159 (2)证明：∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.160 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6. 161 ∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．a n ＋1－a n ＝4， 162 ∴数列{a n }是等差数列. 163 等差数列的基本运算 164165 典题导入166 [例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. 167 (1)求{a n }的通项公式；168 (2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． 169 [自主解答] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知 170 ⎩⎨⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2.171所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .172 (2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n2＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)．173 因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 174 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 175 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.176 由题悟法177 1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝178na 1＋n n －12d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，179 体现了方程的思想．180 2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是181 等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．182 以题试法183 2．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝________.184 (2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．185 解析：(1)∵a 6＝10，S 5＝5， 186 ∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.187解方程组得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝3.188 则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44.189 (2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有190 4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 191 答案：(1)44 (2)6 192 等差数列的性质193194 典题导入195 [例3] (1)等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和196 S 9等于( )197 A ．66 B ．99 198 C ．144D ．297199 (2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11200 ＋a 12＋a 13＋a 14＝( )201 A ．18 B ．17 202 C ．16D ．15203 [自主解答] (1)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4204 ＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.205所以S9＝9a1＋a92＝9a4＋a62＝99.206(2)设{a n}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝20716d，解得d＝14，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.208[答案] (1)B (2)A209由题悟法2101．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知211识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决212许多等差数列问题．2132．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．214以题试法2153．(1)(2012·江西高考)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋216b3＝21，则a5＋b5＝________.217(2)(2012·海淀期末)若数列{a n}满足：a1＝19，a n＋1＝a n－3(n∈N*)，则数列218{a n}的前n项和数值最大时，n的值为( )219A．6 B．7220C．8 D．9221解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{c n}，由题意知新数列仍为等差数列222且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.223(2)∵a n＋1－a n＝－3，∴数列{a n}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴224a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，即225 ⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，226解得193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7.227 答案：(1)35 (2)B228 三．等比数列及其前n 项和229230 [知识能否忆起]231 1．等比数列的有关概念 232 (1)定义：233 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为234 零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字235 母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． 236 (2)等比中项：237 如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的238 等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .239 2．等比数列的有关公式 240 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.241(2)前n 项和公式：S n＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q＝a 1－a nq1－q ，q ≠1.242243 3．等比数列{a n }的常用性质244 (1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝245a p ·a q ＝a 2r . 246 特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….247 (2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数248 列，公比为q k ；249 数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)；250 a n ＝a m q n －m . 251 1.等比数列的特征252 (1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常253 数．254 (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 255 2．等比数列的前n 项和S n256 (1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列257 求和中的运用．258 (2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，259 防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误260考点261 等比数列的判定与证明262263 典题导入264 [例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . 265 (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； 266 (2)求数列{a n }的通项公式．267 [自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① 268 ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② 269 ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， 270 ∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，271 ∴a n ＋1－1a n －1＝12. 272 ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，273 ∴a 1＝12，c 1＝－12.274又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．275(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，276∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.277278 在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比279 数列．280 证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，281 ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 282 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1283＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 284又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .285∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列． 286287 由题悟法288 等比数列的判定方法289 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，290n ∈N *)，则{a n }是等比数列． 291 (2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }292是等比数列．293(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n＝c·q n(c，q均是不为0的常数，294n∈N*)，则{an }是等比数列．295以题试法2961．(2012·沈阳模拟)已知函数f(x)＝log a x，且所有项为正数的无穷数列{a n} 297满足log a a n＋1－log a a n＝2，则数列{a n}( )298A．一定是等比数列299B．一定是等差数列300C．既是等差数列又是等比数列301D．既不是等差数列又不是等比数列302解析：选A 由log a a n＋1－log a a n＝2，得log a an＋1an＝2＝log a a2，故an＋1an＝a2.又a>0303且a≠1，所以数列{a n}为等比数列．304等比数列的基本运算305306典题导入307[例2] {an }为等比数列，求下列各值：308(1)a6－a4＝24，a3a5＝64，求an；309(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.310解：(1)设数列{an }的公比为q，311由题意得⎩⎨⎧a 6－a 4＝a 1q3q 2－1＝24， ①a 3a 5＝a 1q32＝64. ②312 由②得a 1q 3＝±8，313 将a 1q 3＝－8代入①中，得q 2＝－2(舍去)． 314 将a 1q 3＝8代入①中，得q 2＝4，q ＝±2. 315 当q ＝2时，a 1＝1，∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1.316 当q ＝－2时，a 1＝－1，∴a n ＝a 1q n －1＝－(－2)n －1. 317 ∴a n ＝2n －1或a n ＝－(－2)n －1.318 (2)∵a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15， 319 ∴⎩⎨⎧a 3＝3，a 7＝12或⎩⎨⎧a 3＝12，a 7＝3.320∴q 4＝a 7a 3＝4或14.321∴q ＝±2或q ＝±22. 322323 由题悟法324 1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，325n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 326 2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，327 切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．328以题试法3292．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2，330且a2，a4，a8成等比数列．331(1)求数列{a n}的通项公式；332(2)求数列{3a n}的前n项和．333解：(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)．334因为a2，a4，a8成等比数列，335所以(2＋3d)2＝(2＋d)·(2＋7d)，336解得d＝2.337所以a n＝2n(n∈N*)．338(2)由(1)知3a n＝32n，设数列{3a n}的前n项和为S n，339则S n＝32＋34＋…＋32n＝91－9n1－9＝98(9n－1)．340等比数列的性质341342典题导入343[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n}中，若a3a4a5＝3π，344则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为( )345A.12B.32346C ．1D ．－32347 (2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) 348 A ．1∶2 B ．2∶3 349 C ．3∶4D ．1∶3350 [自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3. 351 log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 352 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74353 ＝7log 33π3＝7π3， 354故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 355 (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9356 －S 6)，357 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.358 [答案] (1)B (2)C359 由题悟法360 等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有361 许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的362 “积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也363有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能364 关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．365 以题试法366 3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则367a 1＋a 10＝( )368 A ．7 B ．5 369 C ．－5D ．－7370 (2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…371 ＋a n a n ＋1＝( ) 372 A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) 373 C.323(1－4－n )D.323(1－2－n ) 374 解析：(1)选D 法一：375 由题意得⎩⎨⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，376解得⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧q 3＝－12，a 1＝－8，377故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 378 法二：由⎩⎨⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2.379则⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.380(2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －5.381故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．382练习题383 1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是 ( )384A ．a n ＝n2n ＋1 B ．a n ＝n 2n －1 385C ．a n ＝n2n －3D ．a n ＝n 2n ＋3386 答案：B387 2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) 388 A ．15 B ．16 389 C ．49D ．64390 解析：选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15.391 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )392 A ．递增数列 B ．递减数列393C ．常数列D ．摆动数列394 解析：选A a n＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－nn ＋1＝n ＋12－n n ＋2n ＋1n ＋2＝395 1n ＋1n ＋2>0.3964．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎨⎧2·3n －1n 为偶数，2n －5n 为奇数，397 则a 4·a 3＝________.398 解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 399 答案：54400 5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，401a 4＝32，则a 8＝________.402解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q 2＝32，4p ＋q 4＝32，解得⎩⎨⎧p ＝14，q ＝2.403则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝94.404答案：94405 1．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差406 为( )407A ．1B ．2 408C ．3D ．4409 解析：选B 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.410解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.故d ＝2.411 法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 412 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.413 2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝( )414A.32B.12 415C ．－32D ．－12416解析：选D ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2. 417∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12. 418 3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项419 和S 11＝( )420 A ．58B ．88421 C ．143D ．176422解析：选B S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.423 4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 424 解析：由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2. 425 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 426 答案：2n －1427 5．(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝428a 3，则a 2＝________，S n ＝________. 429 解析：设{a n }的公差为d ，430 由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 431 又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，432S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×12433＝14n 2＋14n . 434答案：1 14n 2＋14n435 1．(2011·江西高考){a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10436 ＝S 11，则a 1＝( )437 A ．18 B ．20438C ．22D ．24439 解析：选 B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－440 10)×(－2)＝20.441 2．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则442 S 10－S 7的值是( ) 443 A ．24 B ．48 444 C ．60D ．72445 解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎨⎧a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解446 得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48.447 3．(2013·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则448 log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )449 A ．10 B ．20 450 C ．40D ．2＋log 25451 解析：选B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝20，452 因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.453 4．(2012·海淀期末)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，454 那么使a n <5成立的n 的最大值为( )455 A ．4B ．5 456C ．24D ．25457解析：选C ∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，1为公差的等差数458 列．∴a 2n ＝1＋(n －1)＝n .又a n >0，∴a n ＝n .∵a n <5，∴n <5.即n <25.故n 的459 最大值为24.460 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *461 恒成立，则正整数k 的值为( )462 A ．5 B ．6 463 C ．4D ．7464 解析：选A 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，465 所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，466 则k ＝5.467 6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，468 b 10＝12，则a 8＝( ) 469 A ．0 B ．3 470 C ．8D ．11471 解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，472 故公差d ＝12－－210－3＝2.于是b 1＝－6，473 且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.474 所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0475 ＋2＋4＋6＝3.476 7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n477＝________.478 解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2479 ＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.480 ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 481 答案：2n －1482 8．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，483 则k ＝________.484 解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，485 S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.486 答案：3487 9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S nT n488 ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 489 解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，490 ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. 491∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 492答案：1941493 10．(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.494(1)求数列{a n }的通项公式；495 (2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 496 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 497 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 498 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . 499 (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，500 所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.501 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 502 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 503 又k ∈N *，故k ＝7.504 11．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，505 (1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是等差数列；506(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 的前n 项和S n .507解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1， 508两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.509 ∵T 1＝1－a 1＝a 1，510故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.511∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列．512(2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，513从而a n ＝1－T n ＝nn ＋1.故a nT n＝n .514∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列．515∴S n ＝n n ＋12.516 12．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. 517 (1)求S n ；518 (2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值． 519 解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，520 S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22， 521 ∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0， 522 即12a 11＋a 222＝0，故a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.523 又∵a 1＝31，∴d ＝－2，524 ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.525(2)法一：由(1)知S n ＝32n －n 2，526 故当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256. 527 法二：由S n ＝32n －n 2＝n (32－n )，欲使S n 有最大值， 528 应有1<n <32，从而S n ≤⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 22＝256， 529 当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.530 1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) 531 A ．4 B ．8 532 C ．16D ．32533 解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.534 2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( ) 535 A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n536C ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1537 解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，538 a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.539 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) 540 A ．64B ．81541 C ．128D ．243542解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2， 543 故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.544 4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；545a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.546 解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝121－2n 1－2＝2n －1－12.547答案：2 2n －1－12548 5．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则549 公比q ＝________.550 解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， 551 ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. 552 ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 553 答案：－2554 1．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( ) 555 A ．－12B ．1556C ．－12或1D.14557 解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.558当q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q ＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，559解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.560 2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和561 为S n ，则S 4a 2的值为( )562A.152 B.154563 C ．4D ．2564解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 11－241－2a 1×2565 ＝152. 566 3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，567 则log 2a 10＝( )568 A ．4 B ．5 569 C ．6D ．7570 解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 571 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 572 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.573 4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”574 的( )575A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 576C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件577 解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，578 则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…579 5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，580S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) 581 A ．80 B ．30 582 C ．26D ．16583 解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 584 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)， 585 同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.586 6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，587 则m n＝( )588A.32B.32或23589C.23D ．以上都不对590 解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不591 妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到592c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝92，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝92，则mn＝5933 2或mn＝23.5947．已知各项不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比595数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.596解析：由题意可知，b6b8＝b27＝a27＝2(a3＋a11)＝4a7，597∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.598答案：165998．(2012·江西高考)等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1.若a1＝1，600则对任意的n∈N*，都有a n＋2＋a n＋1－2a n＝0，则S5＝________.601解析：由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－6022＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝a11－q51－q＝1－－253＝11.603答案：116049．(2012·西城期末)已知{a n}是公比为2的等比数列，若a3－a1＝6，则a1＝605________；1a21＋1a22＋…＋1a2n＝________.606解析：∵{a n}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6，∴4a1－a1＝6，即a1＝2，607故a n＝a12n－1＝2n，∴1an＝⎝⎛⎭⎪⎫12n，1a2n＝⎝⎛⎭⎪⎫14n，即数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a2n是首项为14，公比为14的等比608数列，609∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 610答案：2 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 611 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． 612 (1)求数列{a n }的通项公式； 613 (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.614 解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1， 615 又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2. 616 ∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.617 (2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，618 ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n 1－4＝24n －13.619∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n －13＝22n ＋1＋13.620 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成621 等差数列．622 (1)求{a n }的通项公式；623 (2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1624 的值；若不存在，请说明理由．625解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1. 626 当n ≥2时，有⎩⎨⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.627 两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 628 又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，629 所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 630 因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．631 (2)因为S n ＝a 11－3n1－3＝12a 1·3n －12a 1， 632b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .633要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.634 所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．635 12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. 636 (1)求数列{a n }的通项公式；637 (2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前638m 项和S m . 639 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 640 由T 5＝105，a 10＝2a 5，641得⎩⎨⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d ，642解得a 1＝7，d ＝7.643 因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． 644 (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1. 645 因此b m ＝72m －1.646 所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，647 故S m ＝b 11－q m 1－q ＝7×1－49m 1－49＝7×72m －148＝72m ＋1－748.648649650。

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。

是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。

与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

知识建构一、知识网络二、基本知识、方法归纳整理 1.数列的概念及表示法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数.(2)表示法：列表法、图象法、解析法(通项公式法和递推公式法).(3)分类：按项数分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列. 判断数列单调性的方法：①判断当n ∈N *时都有a n+1>a n ,则数列{a n }为递增数列； ②判断当n ∈N *时都有a n+1<a n ,则数列{a n }为递减数列. (4)S n 与a n 的关系. a n =⎩⎨⎧≥-=-,2,,1,11n S S n S n n 若n=1时，a 1符合a n =S n -S n-1(n ≥2),则数列的通项公式可以写成一个函数的形式：a n =f(n),n ∈N *;若n=1时，a 1不符合a n =S n -S n-1(n ≥2),则数列的通项公式只能写成分段函数的形式a n =⎩⎨⎧≥=.2),(,1,1n n f n S2.等差数列(1)定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列； (2)递推公式：等差数列中a 1=a,a n+1-a n =d ； (3)通项公式：a n =a 1+(n-1)d,a n =a m +(n-m)d. (4)前n 项和公式：S n =2)(1n a a n +①或S n =na 1+2)1(dn n -②,对于公式①常结合等差数列的性质变形运用. 如：S n =2)(1n a a n +=2)(12-+n a a n = (2)(1+-+m n m a a n ,若a 1、a n 有等差中项21+n a ,则S n =2)(1n a a n +=n ·21+n a ,这一公式体现了等差数列前n 项和公式与某一项的关系. 对于公式②常写成二次函数的形式S n =2d n 2+(a 1-2d)n,用于研究等差数列前n 项和的最值问题.(5)等差中项：若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 和b 的等差中项，且有A=2ba +. (6)性质：①当d>0时为递增数列；当d<0时为递减数列；当d=0时为常数列. ②若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *),则a m +a n =a p +a q .③在等差数列{a n }中，若k 1,k 2,…,k n ,…成等差数列，则a k1,a k2,…,a kn ,…也成等差数列. ④S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等差数列.⑤若{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，则{a n ±b n }、{ka n +b n }也是等差数列. (7)判断一个数列是否是等差数列的方法：①递推式法：即证a n+1-a n =d(d 是常数)对n ∈N *都成立，或证：2a n+1=a n +a n+2对n ∈N *都成立. ②{a n }成等差数列⇔a n =a 1+(n-1)d.③{a n }成等差数列⇔S n =an 2+bn(a 、b 是常数). 3.等比数列(1)定义：从第2项起每一项与它前一项的商等于同一常数的数列叫等比数列. (2)递推公式：a 1=a 1,nn a a 1+=q(q 是不等于零的常数). (3)通项公式：a n =a 1q n-1,a n =a m q n-m .(4)前n 项和公式：S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=.1,11)1(,1,111q q qa a q q a q na n n(5)等比中项：若a 、G 、b 成等比数列，则G 叫做a 、b 的等比中项，且有G 2=a ·b 或G=±ab .(6)等比数列的性质：①当⎩⎨⎧>>1,01q a 或⎩⎨⎧<<<10,01q a 时为递增数列；当⎩⎨⎧<<>10,01q a 或⎩⎨⎧><1,01q a 时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q=1时为常数列.②若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q .③在等比数列{a n }中，若k 1,k 2,…,k n ,…成等差数列，则a k1,a k2,…,a kn ,…成等比数列. ④S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等比数列.⑤若{a n }是等比数列，则{λa n }(λ为不等于零的常数)仍是公比为q 的等比数列；{na 1}是公比为q1的等比数列；{|a n |}是公比为|q|的等比数列；若{b n }是公比为q ′的等比数列，则{a n ·b n }是公比为q ·q ′的等比数列.(7)判断一个数列是否是等比数列的方法： ①递推法(定义法)：即证nn a a 1+=q(q 是不为零的常数)对n ∈N *都成立，或a n+12=a n ·a n+2对n ∈N *都成立.②通项公式法：{a n }成等比数列⇔a n =a 1q n-1.③{a n }成等比数列⇔S n =A-Aq n (其中A 是不为零的常数). 4.思想方法(1)数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想.(2)等差(等比)数列中，a 1,a n ,n,d(q),S n “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法.(3)求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想.(4)数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化法. 三、专题总结 (一)求通项公式1.观察归纳法求通项公式【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,…; (2)7,77,777,7 777,…; (3)32,154,356,638,9910,…; (4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,…;(5)53,21,115,73,…; (6)41,83,165,327,…; (7)1,0,31,0,51,0,71,0,…;(8)11,102,1 003,10 004,….思路分析：本题给出了数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式.通项公式就是寻找一列数的排列规则，也即找每一个数与它的序号间的对应法则.解：(1)应解决两个问题，一是符号问题，可考虑用(-1)n 或(-1)n+1表示；二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大 6.故通项公式a n =(-1)n (6n-5).(2)先联想数列1,11,111,1 111,…的通项，它又与数列9,99,999,9 999,…的通项有关，而9999个n ⋅⋅⋅⋅=10n-1,于是a n =97(10n -1). (3)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积.经过组合，则所求数列的通项公式a n =)12)(12(2+-n n n.(4)数列的各项具有周期性，联想基本数列1,0,-1,0,…,则a n =5sin 2πn . (5)数列可以写成53,84,115,146,…,于是分子依次为3,4,5,6,…,其规律是后项等于前项加1，又首项为3=1+2，故分子的通项公式为n+2;分母依次为5,8,11,14,其规律是后项等于前项加3,又首项为5=3×1+2,故分母的通项公式为3n+2. ∴数列的通项公式为a n =232++n n . (6)分子为1,3,5,7,…,其通项公式为2n-1;分母为4,8,16,32,即22,23,24,25,…,其通项公式为2n+1.∴数列的通项公式为a n =1212+-n n . (7)所给数列可等价变形为11,20,31,40,51,60,71,8,…,分子是1,0重复变化，且奇数项为1，偶数项为0，其通项公式为2)1(11+-+n ,分母的通项公式为n ，所以数列的通项公式为nn 2)1(11+-+.(8)所给数列可等价变形为10+1,102+2,103+3,104+4,…,所以其通项公式为a n =10n +n.思维启示：已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1)符号用(-1)n 或(-1)n+1或(-1)n-1来调解，这是因为n 和n+1奇偶交错.(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系. (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.(4)此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法.(5)应注意：①并非所有的数列都能写出通项公式；②同一数列的通项公式未必唯一；③数列是一个特殊的函数，其通项公式可用分段函数来表示. 2.由前n 项和S n 求通项公式a n【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式. (1)S n =2n 2-3n; (2)S n =(-1)n+1·n; (3)S n =n 2-1. 思路分析：直接根据公式a n =⎩⎨⎧≥-=-2,,1,11n S S n S n n解：(1)a 1=S 1=-1, 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(2n 2-3n)-［2(n-1)2-3(n-1)］=4n-5,由于a 1也适合此等式，因此a n =4n-5(n ∈N *).(2)当n=1时，a 1=S 1=(-1)2·1=1.当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(-1)n+1·n-(-1)n ·(n-1)=(-1)n+1(2n-1),由于a 1也适合此等式，∴a n =(-1)n+1·(2n-1)(n ∈N *).(3)当n=1时，a 1=S 1=0;当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(n 2-1)-［(n-1)2-1］=2n-1.由于a 1不适合此等式，∴a n =⎩⎨⎧≥-=.2,12,1,0n n n 思维启示：(1)给出S n 求a n 时，一定要分n ≥2和n=1两种情况分别求解；(2)如果当n=1时，a 1的表达式符合当n ≥2时的表达式，那么可将这两个式子合并.否则，就只能用分段函数形式表示.【例3】 已知数列{a n }中，a 1=1,且S n =1211+--n n S S (n ≥2),求a n .思路分析：已知条件是一个关于S n 的递推式，可以先求出S n ，然后求a n . 解：由S n =1211+--n n S S 两边取倒数，得n S 1=2+11-n S ,即n S 1-11-n S =2.∴{n S 1}是首项为11S =11a =1,公差为2的等差数列.∴nS 1=1+(n-1)×2=2n-1. 从而由a n =⎩⎨⎧≥-=-,2,,1,11n S S n n n 得a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=.2,)32)(12(2,1,1n n n n3.给出数列的递推式求通项公式a n (1)累差法【例4】 已知a 1=1,a n+1-a n =2n -n,求a n .思路分析：本题给出数列{a n }连续两项的差，故可用累加法得a n 的表达式. 解：∵a n+1-a n =2n -n, ∴a 2-a 1=21-1, a 3-a 2=22-2, a 4-a 3=23-3, ……n ≥2时，a n -a n-1=2n-1-(n-1).∴n ≥2时，有a n -a 1=(2+22+…+2n-1)-［1+2+3+…+(n-1)］. ∴a n =(1+2+22+…+2n-1)-2)1(-n n =2n -2)1(-n n -1.而a 1=1也适合上式. ∴{a n }的通项公式a n =2n -2)1(-n n -1. 思维启示：运用“累加法”求通项公式，此法是将递推式变形为a n -a n-1=f(n),令n=2,3,4,…,n,再将这n-1个式子相加得，a n -a 1=f(2)+f(3)+…+f(n),∴a n =a 1+f(2)+f(3)+…+f(n)({f(n)}是可求和数列). (2)累积法【例5】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n+1)a n+12-na n 2+a n+1a n =0(n=1,2,3,…),求{a n }的通项公式.思路分析：将已知的递推关系适当变形，可得递推式nn a a 1+=1+n n.用累积法可求通项公式.解：∵数列{a n }是首项为1的正项数列，∴a n ·a n+1≠0.∴n n a a n 1)1(++-1+n na na +1=0.令nn a a 1+=t,∴(n+1)t 2+t-n=0. 分解因式得［(n+1)t-n ］(t+1)=0,∴t=1+n n ,t=-1(舍去),即n n a a 1+=1+n n. ∴12a a ·23a a ·34a a ·45a a ·…·1-n n a a =21·32·43·54·…·n n 1-.∴a n =n 1.思维启示：运用“累积法”求通项公式，此法是将递推式变为1-n na a =f(n),令n=2,3,4,…,n,再将这n-1个式子相乘得1a a n=f(2)·f(3)·f(4)·…·f(n),∴a n =a 1·f(2)·f(3)·f(4)·…·f(n). (3)特殊数列法【例6】 已知a 1=2,a n+1=2a n +3,求数列{a n }的通项公式.思路分析：将已知递推公式适当变形，可得到如下递推式：a n+1+3=2(a n +3),于是数列{a n +3}构成公比为2，首项为a 1+3的等比数列，问题可解. 解：∵a n+1=2a n +3,即a n+1+3=2(a n +3),∴331+++n n a a =2.于是{a n +3}是首项为5,公比为2的等比数列. ∴a n +3=(a 1+3)·2n-1=5×2n-1.∴a n =5×2n-1-3.思维启示：一般地，数列{a n }满足a n =ca n-1+d(c 、d 为常数，c ≠0),a 1=b,求a n 时，常将其转化为等比数列求解.【例7】 已知数列{a n }的首项a 1=3,通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n =S n ·S n-1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式.思路分析：利用a n 和S n 之间的关系，首先将a n 换成S n -S n-1,这样便得到2(S n -S n-1)=S n ·S n-1,经变形可得11-n S -n S 1=21,即n S 1-11-n S =-21.这样{nS 1}构成等差数列，通过求出S n ，可求出a n .解：由于a n =S n -S n-1(n ≥2),∴2(S n -S n-1)=S n ·S n-1(n ≥2).∴n S 1-11-n S =-21.∴数列{n S 1}是以11a 为首项，以-21为公差的等差数列.于是n S 1=31-21(n-1)=635n -,∴S n =n 356-.当n ≥2时，a n =S n -S n-1=)83)(53(18--n n .当n=1时，a 1=3不适合上式.∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥--=.2,)83)(53(18,1,3n n n n思维启示：本题解题的关键是将原数列转化为等差数列{nS 1}作为突破口，使问题获解. 【例8】 已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n+1=4a n +2(n=1,2,…),a 1=1. (1)设b n =a n+1-2a n ,求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n =nna 2，求证：数列{c n }是等差数列. 证明：(1)由已知，得S n+1=4a n +2,S n+2=4a n+1+2. 两式相减，得S n+2-S n+1=4(a n+1-a n ), 即a n+2=4a n+1-4a n ,a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n ), 即b n+1=2b n .∴数列{b n }是公比为2的等比数列.(2)在S n+1=4a n +2中，令n=1，得S 2=4a 1+2=6.而S 2=a 1+a 2,∴a 2=5.∴b n =b 1·2n-1=(a 2-2a 1)·2n-1=3·2n-1,即a n+1-2a n =3·2n-1.∴112++n n a -nn a 2=43,即c n+1-c n =43. ∴数列{c n }是公差为43的等差数列.思维启示：着眼于数列间的联系，着手于公式的转换，将非等差数列、非等比数列转化为等差数列或等比数列，以求得问题的解决. (二)数列求和数列求和可分为特殊数列与一般数列求和，所谓特殊数列就是指等差或等比数列，非等差或非等比数列称之为一般数列.对于特殊数列的求和，要恰当地选择、准确地应用求和公式，采用直接求和的方法. 对于一般数列的求和，可采用下面介绍的几种化归策略. 1.并项求和法在数列求和过程中，如果将某些项分组合并后转化为特殊数列再求和，这种方法称为并项求 和法.【例9】 求数列-1,4,-7,10,…,(-1)n (3n-2),…的前n 项和.思路分析：(1){(-1)n-1(3n-2)}不是等差数列，但数列{3n-2}却是等差数列，因此数列{(-1)n-1(3n-2)}的奇数项与偶数项分别是等差数列，可将问题转化为等差数列求和问题. (2)根据等差数列的定义，数列{(-1)n-1(3n-2)}从第一项(或第二项)起，每两项的差是一个常数，因此在求和时，可以将数列{(-1)n-1(3n-2)}的相邻两项合并.解法一：当n 为偶数时，S n = 32)2353()107()41(个共nn n -++-+⋅⋅⋅++-++-=2n×3=23n;当n 为奇数时，S n =321)107()41(个共-⋅⋅⋅++-++-n +［-(3n-2)］=21-n ×3-(3n-2)=213+-n .综上，S n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-.,231,,23为奇数为偶数n n n n解法二：当n 是偶数时,奇数项与偶数项各有2n 项，S 奇=2n ×(-1)+2)12(2-nn ×(-6)=-43n 2+n,S 偶=2n ×4+2)12(2-n n ×6=43n 2+2n ,∴S n =S 偶+S 奇=23n.当n 是奇数时,奇数项共有21+n 项，偶数项共有21-n 项.S 奇=21+n ×(-1)+2)121(21-++n n ×(-6)=-43(n+1)2+(n+1), S 偶=21-n ×4+2)121(21---n n ×6=43(n-1)2+2)1(-n , ∴S n =S 奇+S 偶=213+-n .思维启示：应用并项转化法要注意对项数的奇偶进行讨论，若为偶数项，按两项合并后总项数为2n项；若为奇数项，按两项合并，则剩余一项. 2.分组求和法将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称之为分组化归法.【例10】 求数列241,481,6161,2n+121+n ,…的前n 项和S n . 思路分析：此数列的通项公式是a n =2n+121+n ,而数列{2n}是一个等差数列，数列{121+n }是一个等比数列，故采用分组求和法求和.解：S n =241+481+6161+…+(2n+121+n ) =(2+4+6+…+2n)+(221+321+421+…+121+n )=2)22(+n n +21])21(1[212--n=n(n+1)+21-121+n .思维启示：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们可用分组求和法求出它的前n 项和. 3.裂项相消法裂项相消法求和就是将数列的每一项拆成两项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的.【例11】 求1212-+1312-+1412-+…+112-n (n ≥2)的和. 思路分析：认真观察，可以发现数列的每一项112-n 均可分解成两项的差，于是可以用裂项相消法求和. 解：∵a n-1=112-n =)1)(1(1+-n n =21(11-n -11+n ), ∴1212-+1312-+1412-+…+112-n =21［(1-31)+(21-41)+(31-51)+…+(11-n -11+n )］ =21(1+21-n 1-11+n )=43-)1(212++n n n (n ≥2).思维启示：裂项相消法的关键是将数列的通项分解成两项的差，这两项一定要是数列的相邻(相间)两项，即这两项的结构应一致. 4.错位相减法【例12】 求和S n =x+2x 2+3x 3+…+nx n .思路分析：由于{n}是等差数列，而当x ≠0时，{x n }是等比数列，故可采用错位相减法. 解：当x=0,S n =0;当x=1时，S 1=2)1(+n n ; 当x ≠1且x ≠0时，∵S n =x+2x 2+3x 3+…+nx n , ① ∴xS n =x 2+2x 3+3x 4+…+(n-1)x n +nx n+1. ②①-②，得(1-x)S n =x+x 2+x 3+…+x n-nx n+1=x xx n --1)1(-nx n+1.∴S n =2)1(x x-·［nx n+1-(n+1)x n +1］. ∴S n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠++--=+-.1],1)1([)1(,1,2)1(12x x n nx x x x n n nn思维启示：(1)一般地，对于数列{c n }，如果c n =a n b n ,且{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么可以用错位相减法求数列{c n }的前n 项和.(2)错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{b n }的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和. 5.分类讨论法有些数列的求和需要经过分类讨论处理后才能进行求和，如等比数列的公比含参变数，则需在1点展开讨论，又如每一项均取绝对值的数列，则需在0点展开讨论. 【例13】 数列{a n }的前n 项和为S n =10n-n 2,求数列{|a n |}的前n 项和. 思路分析：首先通过S n 求出a n ，然后求和.解：当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(10n-n 2)-［10(n-1)-(n-1)2］=-2n+11. 当n=1时，a 1=S 1=9，适合上式. ∴a n =-2n+11(n ∈N *).又a n -a n-1=(-2n+11)-［-2(n-1)+11］=-2,∴数列{a n }是以9为首项，-2为公差的等差数列. 由-2n+11≥0,得n ≤211,a 5>0,a 6<0. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|+|a 6|+…+|a n |=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5-a 6-a 7-…-a n . 当n ≤5时，T n =9n+2)1(-n n (-2)=-n 2+10n. 当n ≥6时，T n =2S 5-S n =50+n 2-10n=n 2-10n+50.综上，T n =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-.6,5010,5,1022n n n n n n实践探究1.数列{a n }中，a 1=1，前n 项的乘积T n =n2.问225256是{a n }中的项吗？若是，是第几项？ 解：由已知a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,得a n =12121-∙⋅⋅⋅∙∙∙⋅⋅⋅∙∙n n a a a a a a =22)1(-n n (n ≥2).令22)1(-n n =225256,解方程得n=16.∵n=16∈N *,∴225256是数列{a n }的第16项.2.李明每月节省出100元，想以零存整取的方式存入银行，攒足2 625元购买冰箱.如果月利率为P=0.007 5，问存几个月能攒够购买冰箱的钱？解：设存x 个月能攒够购买冰箱的钱.当A=100,P=0.007 5时，第一个月月初存入的100元到第x 月月末可得到本利和为B 1=100+100×0.007 5x,第n 个月月初存入的100元到第x 月月末可得本利和为B n =100+100×0.007 5(x-n+1). 依题意得B 1+B 2+…+B n +…+B x =2 625. 因∑=xn 1=1(x-n+1)=1+2+3+…+x,故100［x+0.007 5(1+2+3+…+x)］=2 625,100［x+0.007 5×2)1(+x x ］=2 625. 整理得0.007 5x 2+(2+0.007 5)x-52.5=0. 解方程得x 1=015.0375.4-(舍去).x 2=015.035.0=370>23.3.因x ∈N *,所以x=24,即存够24个月便可攒足2 625元.3.(2004年全国高考题)数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n+1=n n 2+S n (n=1,2,3,…), 求证:(1)数列{nS n }是等比数列；(2)S n+1=4a n . 思路分析：解答本题的关键在于利用公式a n =⎩⎨⎧≥-=-.2,,1,11n S S n S n n证明：(1)∵a n+1=S n+1-S n ,a n+1=nn 2+S n ,∴(n+2)S n =n(S n+1-S n ). 整理得nS n+1=2(n+1)S n . 所以11++n S n =2nS n . 故{nS n }是以2为公比的等比数列. (2)由(1)知11++n S n =4·11--n S n (n ≥2),于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n ≥2). 又a 2=3S 1=3,故S 2=a 1+a 2=4.因此对于任意正整数n ≥1,都有S n+1=4a n .。

【一】1.數列的函數理解：①數列是一種特殊的函數。

其特殊性主要表現在其定義域和值域上。

數列可以看作一個定義域為正整數集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函數的觀點認識數列是重要的思想方法，一般情況下函數有三種表示方法，數列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法;b。

圖像法;c.解析法。

其中解析法包括以通項公式給出數列和以遞推公式給出數列。

③函數不一定有解析式，同樣數列也並非都有通項公式。

2.通項公式：數列的第N項an與項的序數n之間的關係可以用一個公式an=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式(注：通項公式不)。

數列通項公式的特點：(1)有些數列的通項公式可以有不同形式，即不。

(2)有些數列沒有通項公式(如：素數由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。

3.遞推公式：如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式。

數列遞推公式特點：(1)有些數列的遞推公式可以有不同形式，即不。

(2)有些數列沒有遞推公式。

有遞推公式不一定有通項公式。

注：數列中的項必須是數，它可以是實數，也可以是複數。

【二】1.等差數列通項公式an=a1+(n-1)dn=1時a1=S1n≥2時an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b為常數)推導過程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b則得到an=kn+b2.等差中項由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。

這時，A叫做a與b的等差中項(arithmeticmean)。

有關系：A=(a+b)÷23.前n項和倒序相加法推導前n項和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個)=n(a1+an) ∴Sn=n(a1+an)÷2等差數列的前n項和等於首末兩項的和與項數乘積的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差數列性質一、任意兩項am，an的關係為：an=am+(n-m)d它可以看作等差數列廣義的通項公式。

必修五第二章数列归纳总结一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．3. an 与Sn 的关系设Sn ＝a1＋a2＋a3＋…＋an,则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2). 二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 这样的数列叫做等差数列．2. 等差中项如果三数a 、A.b 成等差数列, 则A 叫做a 和b 的等差中项, ∴A ＝ .3. (1)通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .推导方法: 累加法an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(2)前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 推导方法: 倒序相加法.4. 用函数观点认识等差数列(1)an ＝nd ＋(a1－d)是n 的一次函数.(2)Sn ＝ n2＋(a1－ )n, 是关于n 的常数项为零的二次函数．5. 等差数列的判定方法(1)定义法: an ＋1－an ＝d(常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)中项公式法: 2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法: an ＝kn ＋b(k, b 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(4)前n 项和公式法：Sn ＝An2＋Bn(A 、B 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列.(5){a n }是等差数列⇔{S n n}是等差数列 6. 等差数列的性质(1)下标和与项的和的关系在等差数列中, 若p ＋q ＝m ＋n, 则有ap ＋aq ＝am ＋an ；若2m ＝p ＋q, 则有2am ＝ap ＋aq, (p, q, m, n ∈N*).(2)任意两项的关系在等差数列{an}中, m 、n ∈N*, 则am －an ＝(m －n)d 或am ＝an ＋(m －n)d 或 ＝d.(3)在等差数列中, 等距离取出若干项也构成一个等差数列, 即an, an ＋m, an ＋2m, …为等差数列, 公差为md.等差数列的依次n项的和也构成一个等差数列, 即Sn, S2n－Sn, S3n－S2n, ……为等差数列, 公差为n2d.即下标成等差的项成等差数列, 下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列.(4)设等差数列{an}的公差为d, 那么d>0⇔{an}是递增数列；d<0⇔{an}是递减数列；d＝0⇔{an}是常数数列.(5)①数列{λan＋b}仍为等差数列, 公差为λd.若{bn}, {an}都是等差数列, 则{an±bn}仍为等差数列, {λ1an＋λ2bn}(λ1, λ2为常数)也是等差数列.②项数为n的等差数列中, n为奇数时, 设m＝ , 则S奇－S偶＝am, ＝ , Sn＝na 中＝nam.n为偶数时, S偶－S奇＝ d.③若{an}与{bn}为等差数列, 且前n项和分别为Sn与S′n, 则＝ .④等差数列{an}中, 若an＝m, am＝n(m≠n), 则am＋n＝0.⑤若数列{an}的前p项和为Sp＝q, 前q项和为Sq＝p(p≠q), 则Sp＋q＝－(p＋q).⑥若数列{an}的前n项和为Sn, Sp＝Sq(p≠q), 则Sp＋q＝0.三、等比数列1. 等比数列的定义一般地, 如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫做等比数列．2. 等比中项如果三个数a、G、b成等比数列, 那么G叫做a和b的等比中项, 即G2＝ab.3. 等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(n∈N*).推导方法: 累乘法: ·……·＝qn－1.4. 等比数列的前n项和当q＝1时, Sn＝na1,当q≠1时. Sn＝＝.推导方法: 乘公比、错位相减法.5. 等比数列的判定方法(1)an＋1＝anq(q是不为0的常数, n∈N*, an≠0)⇔{an}是等比数列.(2)an＝cqn－1(c, q均是不为0的常数, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(3)an＋12＝an·an＋2(an≠0, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(4)Sn＝A·qn－A(A.q为常数且A≠0, q≠0,1)⇔{an}是公比不为1的等比数列．6. 等比数列的主要性质(1)下标和与项的积的关系在等比数列{an}中, 若m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q, 则am·an＝ap·aq.特别地, 若2m＝p＋q, 则ap·aq＝am2；a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)任意两项的关系若{an}为等比数列, 则＝qm－n或am＝an·qm－n(m、n∈N*).(3)等间隔的k项和(或积)仍成等比数列.例如: {an}是等比数列, 则①a1, a3, a5, …, a2n－1；②a1＋a2, a2＋a3, a3＋a4, …；③a1a2, a2a3, a3a4, …；④a1＋a2, a3＋a4, a5＋a6……均成等比数列．(4)等比数列{a n}的单调性当, 或时, {an}为递增数列；当或时, {an}为递减数列.(5)①{an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0).②{an}、{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{ }仍是等比数列.③若{an}是等比数列, 则{an2}、{ }(an>0)、{ }、{|an|}均为等比数列.④非零常数列既是等差数列, 也是等比数列.⑤若{an}是等差数列, 则{ban}是等比数列.若{an}是正项等比数列, 则{lgan}是等差数列．误区警示1. 数列与数集应予区别, 数列中的数排列有序, 数集中的元素无序；数列中的数可重复出现, 数集中的元素互异.2. 并不是每一个数列都有通项公式, 给出前n项时, 写出的通项公式可以不止一个.3．已知{an}的前n项和Sn求an时,用an＝求解应注意分类讨论.an＝Sn－Sn－1是在n≥2条件下求出的, 应检验a1是否适合. 如果适合, 则合写在一块, 如果不适合, 则分段表示. 千万注意用an＝Sn－Sn－1判断数列{an}是否为等差(或等比)数列时, 不要忘记验证a1是否满足.如: Sn＝n2＋n时, {an}是等差数列.Sn＝n2＋n＋1时, {an}不是等差数列.Sn＝2n－1时, {an}是等比数列.Sn＝2n＋1时, {an}不是等比数列.4. 在讨论等差数列{an}的前n项和Sn的最值时, 不要忽视n是整数的条件及含0项的情形.如: 在等差数列{an}中, 已知a1＝20, 前n项和为Sn, 且如S10＝S15, 求当n取何值时, Sn有最大值, 并求出它的最大值．取最大值的应为S12和S13.5. G是a、b的等比中项 G＝.6. 在应用等比数列的前n项和公式时, 一定要对q＝1与q≠1进行分类讨论.7．等比数列中隐含着各项不为零、公比不为零, 项与公比的符号有着密切的联系, 解题时应特别注意．。