3-6原点矩与中心矩

数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。

今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。

由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。

对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。

实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。

⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。

形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。

容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。

特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。

二阶原点矩和二阶中心矩1.引言1.1 概述二阶原点矩和二阶中心矩是统计学中常用的描述统计量，用于描述一个随机变量或随机过程的分布特征。

它们在统计分析、概率论、图像处理等领域都有广泛的应用。

二阶原点矩是描述一个随机变量的离散程度的量度，在二维平面上表示为(X, Y)。

它是指将随机变量的值与原点(0, 0)的距离的平方加权求和的期望值。

直观上，它可以理解为随机变量分布的离散程度，越大表示分布越分散，越小则表示分布越集中。

而二阶中心矩则是描述随机变量相对于其均值的离散程度的量度。

与二阶原点矩不同的是，二阶中心矩是在原点平移后进行计算的，它用于分析随机变量的对称性和形状特征。

二阶中心矩的计算方法是将随机变量的值减去均值后的差的平方加权求和的期望值。

二阶原点矩和二阶中心矩在统计分析中起到了关键的作用。

它们可以帮助我们更加全面地了解数据的分布情况，从而进行更精确的统计推断和预测。

在实际应用中，我们可以利用这些统计量来比较各个样本之间的差异、评估模型的拟合程度、寻找异常值等。

本文旨在介绍二阶原点矩和二阶中心矩的定义、计算方法以及它们的应用领域。

通过深入理解这两个概念，我们能够更好地进行数据分析和解释，为我们的研究和决策提供更有力的支持。

在接下来的章节中，我们将详细讨论它们的定义和计算方法，并探讨它们在实际应用中的作用和意义。

文章结构如下：首先，我们将在第2节介绍二阶原点矩的定义和计算方法；然后，在第3节讨论二阶中心矩的内涵和计算方法；最后，我们将在第4节总结并提出本文的结论。

通过阅读本文，读者将对二阶原点矩和二阶中心矩有更为深刻的理解，并能够灵活应用它们进行数据分析和解释。

希望本文能对读者在统计分析和概率论学习中起到一定的帮助和指导。

文章结构部分的内容可以参考以下样例:"1.2 文章结构本文将以二阶原点矩和二阶中心矩为主题，通过引言、正文和结论三个部分对其进行详细的阐述和分析。

引言部分将首先概述二阶原点矩和二阶中心矩的概念和重要性，以引起读者的兴趣和注意。

k阶原点距和k阶中心距各是说明什么数字特征在数学的概率领域中有一类数字特征叫矩.(X^k为X的k次方)原点矩：对于正整数k,如果E|X^k|<无穷,称Vk＝E(X^k) 为随机变量X的k阶原点矩.X的数学期望是X的一阶原点矩,即E(x)=v1.k阶矩定义：设X为随机变量,c为常数,k为正整数,如果E[|X-c|^c]<无穷大,则称E[（X -c）^k]为X关于点c的k阶矩.c=0时,称其为X的k阶原点矩；c=E[X]时,称为k阶中心矩.原点矩顾名思义，是随机变量到原点的距离（这里假设原点即为零点）。

中心矩则类似于方差，先要得出样本的期望即均值，然后计算出随机变量到样本均值的一种距离，与方差不同的是，这里所说的距离不再是平方就能构建出来的，而是k次方。

这也就不难理解为什么原点矩和中心矩不是距离的“距”，而是矩阵的“矩”了。

仅凭本人目前的所学，我认为通过随机试验得出的各种结果虽然都假定为实值单值函数，但它们完全有可能是空间分布，即不在一个平面上。

那么这是的距离就类似于一个向量的模了，于是在空间的范围内也能比较出大小来了。

我们都知道方差源于勾股定理，这就不难理解原点矩和中心矩了。

还能联想到力学中的力矩也是“矩”，而不是“距”。

力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。

力矩也是矢量，它等于力乘力臂。

由此可见数学和物理关系非同一般！二阶中心距，也叫作方差，它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小，方差越大,波动性越大。

方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。

(The moment of iner tia.)三阶中心距告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。

在均值不为零的情况下，原点距只有纯数学意义。

A1,一阶矩就是 E(X),即样本均值。

具体说来就是A1=(西格玛Xi)/n ----（1）A2,二阶矩就是 E(X^2)即样本平方均值 ,具体说来就是 A2=(西格玛Xi^2)/n-----(2)Ak,K阶矩就是 E(X^k)即样本K次方的均值,具体说来就是 Ak=(西格玛Xi^k)/n，-----(3)用样本的K阶矩代替总体的K阶矩来估计总体中未知参数的方法。

中心矩和原点矩的关系推导在代数几何中，中心矩是一个被广泛应用的概念，用于描述一个图形或区域与一个固定点（通常是原点）之间的关系。

它是一组数值，可以反映出图形的几何特征和分布情况。

而原点矩则是中心矩的一种特殊情况，即当固定点为原点时的中心矩。

要理解中心矩和原点矩之间的关系，我们首先需要了解中心矩是如何定义和计算的。

中心矩主要用于描述图形的形态和分布，可以通过将图形上各点的坐标与中心点的坐标之差的幂次方相乘，并对所有点进行求和来计算。

中心矩的计算公式如下：μ'pq = ∑(x-xc)^p * (y-yc)^q其中，μ'pq表示中心矩的阶数。

p和q分别代表x和y轴坐标的幂次方。

x和y分别表示图形上每个点的横纵坐标，而xc和yc则表示中心点的横纵坐标。

而∑则表示对所有点的坐标差的幂次方相乘进行求和。

当我们将中心点取为原点时，即xc和yc都为0时，中心矩就变为了原点矩。

原点矩的计算公式如下：μpq = ∑x^p * y^q可以看出，原点矩的计算方法与中心矩的计算方法非常相似，只是去掉了对坐标差的计算，而直接使用了图形上每个点的坐标的幂次方相乘进行求和。

通过对比中心矩和原点矩的计算公式，我们可以得出一个重要的结论：中心矩可以通过原点矩和中心点的坐标来计算。

具体而言，对于同一阶数的中心矩μ'pq和原点矩μpq，它们之间的关系可以通过以下公式推导得到：μ'pq = μpq - xc^p * yc^q这个公式的意义在于，它告诉我们如何通过已知的原点矩和中心点的坐标，计算出对应的中心矩。

通过减去中心点坐标的幂次方乘积，我们可以将原点矩转化为中心矩。

这个过程实质上是将图形在平面上平移，使中心点变为原点，从而得到新的中心矩。

中心矩和原点矩的关系推导在实际应用中具有重要的意义。

通过计算中心矩，我们可以得到图形的几何特征和分布情况，帮助我们理解和描述图形的形态。

而对于那些需要对坐标进行平移的情况，中心矩和原点矩的关系可以帮助我们在不重新计算原点矩的基础上，获得新的中心矩。

第10讲 原点矩与中心矩 协方差与相关系数教学目的：掌握矩、协方差及相关系数的概念、性质及计算。

教学重点：矩、协方差及相关系数的概念和性质。

教学难点：矩、协方差及相关系数的概念。

教学学时：2学时教学过程：第三章 随机变量的数字特征§3.3 原点矩与中心矩随机变量的数字特征除了数学期望和方差外，为了更好的描述随机变量分布的特征，有时还要用到随机变量的各阶矩（原点矩与中心矩），它们在数理统计中有重要的应用。

定义1 设X 是随机变量，若),2,1)(( =k X E k 存在，则称它为X 的k 阶原点矩，记作)(X v k ，即)()(k k X E X v =， ,2,1=k显然，一阶原点矩就是数学期望，即)()(1X E X v =。

定义2 设随机变量X 的函数),2,1()]([ =-k X E X k 的数学期望存在，则称})]({[k X E X E -为X 的k 阶中心矩，记作)(X k μ，即})]({[)(k k X E X E X -=μ， ,2,1=k易知，一阶中心矩恒等于零，即0)(1≡X μ；二阶中心矩就是方差，即)()(2X D X =μ。

不难证明，原点矩与中心矩之间有如下关系：2122v v -=μ31213323v v v v +-=μ412121344364v v v v v v -+-=μ等。

定义3 设X 和Y 是随机变量，若),2,1,)(( =l k Y X E l k 存在，则称它为X 和Y 的l k +阶混合矩。

若),2,1,}()]([)]({[ =--l k Y E Y X E X E l k 存在，则称它为X 和Y 的l k +阶混合中心矩。

§3.4 协方差与相关系数1.协方差与相关系数的定义二维随机变量的数字特征中最常用的就是协方差与相关系数。

定义 3 设有二维随机变量),(Y X ，如果)]()][([Y E Y X E X E --存在，则称)]()][([Y E Y X E X E --为随机变量X 与Y 的协方差，记作),cov(Y X ，即=),cov(Y X )]()][([Y E Y X E X E -- 而)()(),cov(Y D X D Y X 称为随机变量X 与Y 的相关系数，记作),(Y X R ，即)()(),cov(),(Y D X D Y X Y X R =)()(),cov(Y X Y Xσσ=显然，协方差),cov(Y X 是X 和Y 的二阶混合中心矩。

统计矩原理及其在药物动力学中的应用统计矩理论基础1978年先后有Yamaoka 等及Culture 发表了就将矩量的统计概念应用于药物动力学研究。

1980年Riegelman 等将统计矩应用与评价剂型在药物体内的溶出，释放及吸收过程。

目前，统计矩分析已作为一种研究药物在体内吸收、分布、代谢及排泄过程的新方法。

用统计矩分析药物体内过程，主要一句血药浓度时间-时间曲线下面积，不受数学模型的限制，适用于任何隔室模型，故为非隔室分析方法之一。

药物体内过程是一个随机过程，血药浓度-时间曲线可以看成是一个统计分布曲线，不论哪种给药途径，从统计矩理论可定 义3个矩量。

数学期望和统计矩量（1）数学期望（总体均值）设连续变量X(a ，b)的概率密度函数为f(x)。

而函数在(-∞，+∞)区间是有限值，则样品的总体均值(数学期望)为:概率统计中关于“矩” 的概念由力学中移植而来，借以表征随机变量的某种分布特征。

•常用的“矩”有两种，即原点矩和中心矩。

•随机变量t 的k 阶矩原点矩μk （k ＝1，2，3等）是指t k 的 理论平均值。

若t 为连续型变量，概率密度函数为f （t ）。

（2）原点矩（均值）样品随机变量t 的k 次幂的数学期望，称为随机变量t 的k 阶 原点矩。

即：k*C()k 2*111*t 0C t t C C AUC i i ni i i +-+=-=-→∑ 零阶矩 K=0一阶矩 K=1二阶矩 K=2第一节 统计矩的基本概念统计矩原理也称为矩量法，统计矩源于概率统计理论，将药物的体内转运过程视为随机过程血药浓度-时间曲线可看作是药物的统计分布曲线，用于统计矩分析。

主要优点:不受数学模型的限制，适用于线性动力学的任何隔室模型。

非房室模型的统计矩方法以概率论和数理统计学 中的统计矩(Statistical Moment)方法为理论基 础，对数据进行解析，包括零阶矩、一阶矩和二 阶矩，体现平均值、标准差等概念，反映了随机 变量的数字特征。

图像的矩特征1. 矩的概念图像识别的⼀个核⼼问题是图像的特征提取，简单描述即为⽤⼀组简单的数据（图像描述量）来描述整个图像，这组数据越简单越有代表性越好。

良好的特征不受光线、噪点、⼏何形变的⼲扰。

图像识别发展⼏⼗年，不断有新的特征提出，⽽图像不变矩就是其中⼀个。

矩是概率与统计中的⼀个概念，是随机变量的⼀种数字特征。

设X为随机变量，c为常数，k为正整数。

则量E[(x-c)^k]称为X关于c点的k阶矩。

⽐较重要的有两种情况：1. c=0。

这时a_k=E(X^k)称为X的k阶原点矩2. c=E(X)。

这时\mu_k=E[(X-EX)^k]称为X的k阶中⼼矩。

⼀阶原点矩就是期望。

⼀阶中⼼矩\mu_1=0，⼆阶中⼼矩\mu_2就是X的⽅差Var(X)。

在统计学上，⾼于4阶的矩极少使⽤。

\mu_3可以去衡量分布是否有偏。

\mu_4可以去衡量分布（密度）在均值附近的陡峭程度如何。

针对于⼀幅图像，我们把像素的坐标看成是⼀个⼆维随机变量(X,Y)，那么⼀幅灰度图像可以⽤⼆维灰度密度函数来表⽰，因此可以⽤矩来描述灰度图像的特征。

不变矩(Invariant Moments)是⼀处⾼度浓缩的图像特征，具有平移、灰度、尺度、旋转不变性。

M.K.Hu在1961年⾸先提出了不变矩的概念。

1979年M.R.Teague根据正交多项式理论提出了Zernike矩。

下⾯主要介绍这两种矩特征的算法原理与实现。

2. Hu矩⼀幅M\times N的数字图像f(i,j)，其p+q阶⼏何矩m_{pq}和中⼼矩\mu_{pq}为：m_{pq}=\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^Ni^pj^qf(i,j)\mu_{pq}=\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^N(i-\bar{i})^p(j-\bar{j})^qf(i,j)其中f(i,j)为图像在坐标点(i,j)处的灰度值。

\bar{i}=m_{10}/m_{00},\bar{j}=m_{01}/m_{00}若将m_{00}看作是图像的灰度质量，则(\bar{i},\bar{j})为图像的质⼼坐标，那么中⼼矩\mu_{pa}反映的是图像灰度相对于其灰度质⼼的分布情况。