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习题二：1.证：设为X 取值为k （1k ≥）的随机变量。
且()k p p x k == 证法I （通俗证法，但不严格）：111()()(1)2(2)3(3)...()...(1)(2)(3)...()...()k k k k k E x x p kp x k p x p x p x np x n p x p x p x p x n p x k ∞∞==∞======+=+=+=+=≥+≥+≥+≥+=≥∑∑∑证法II ：111111()()()()()k k k i i k ii k EX kp x k p x k p x k p x i p x k ∞∞∞∞∞======∞========≥=≥∑∑∑∑∑∑∑证法III ：1111111()()(()(1))()(1)(1)(1)(1)(1)()k k k k k k k E X kp x k k p X k p x k kp x k k p x k p x k p k p x k p x k ∞∞==∞∞∞===∞∞=====≥-≥+=≥-+≥++≥+==+≥+=≥∑∑∑∑∑∑∑2.解：(1)0(1)0()()()1111ax ax ax x x a a x E Y E e e f x dx e e dx e dxde a a+∞+∞+∞---∞+∞-======--⎰⎰⎰⎰3.解：边缘概率密度为：12021202,01()(,)603,01()(,)60,X Y x x f x f x y dy xy dy y y f y f x y dx xy dx +∞-∞+∞-∞<<⎧===⎨⎩⎧<<===⎨⎩⎰⎰⎰⎰其它其它因为(,)()()f x y f x f y =所以X ，Y 独立。
故cov(,)cov(,)0X Y Y X ==11223001132400222221()()2()23233()()3()34513cov(,)()(())cov(,)()(())1880E X xf x dx x dx E X x dx E Y yf y dy y dy E Y y dy X X E X E X Y Y E Y E Y +∞-∞+∞-∞===========-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 故(,)X Y 的协方差矩阵为10cov(,)cov(,)18cov(,)cov(,)3080X X X Y Y X Y Y ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦4.解：（1）22121210,1,4,2μμσσρ=====将各参数代入二维正态分布密度函数，最终得：22211(,)324f x y x xy y ⎧⎫⎡⎤=--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭（2）1cov(,)12XY X Y ρ==⇒=cov(,)()()()()1X Y E XY E X E Y E XY =-∴=当Z 与X 独立时，有()()()E ZY E Z E Y =()()()()()222()()()0,()0,()404E Z aE X E Y E Y E ZY E a XY Y aE XY E Y aE XY E Ya a ⎡⎤=+===+=+⎣⎦∴+=+=⇒=-6.解：()()()1212121211()()12121()(,)!!!!!!!kn kn nk k nnk n kk P X Y n P X k Y n k ee k n k en e n k n k n λλλλλλλλλλλλ---==-+-+-=+====-=-==+-∑∑∑()()12121212()121212!!(|)(|)()!kn kk n kk n n ee k n k P X k Y n k P X k X Y n C e P X Y n n λλλλλλλλλλλλλλ-----+-⎛⎫⎛⎫==-=+====⎪ ⎪+=++⎝⎭⎝⎭+8.解：()0()()()ux ux ux x X M u E e e f x dx e e dx u uλλλλλ+∞+∞--∞====>-⎰⎰()()()()222121()X X u u E X M u E X M u D X λλλ=='''=====13.解：由特征函数与矩母函数关系知：()11X M u u=- ()()()()201()21X X u u E X M u E X M u D X =='''∴=====14.解：1,...,n X X 均相互独立。
随机变量特征函数矩
随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机事件的结果。
而特征函数则是描述随机变量的重要工具之一，它可以用来确定随机变量的分布和性质。
特征函数是一个复数函数，通常表示为φ(t)，其中t为实数。
对于一个随机变量X，它的特征函数φ(t)定义为：
φ(t) = E[e^(itX)]
其中E表示期望，i表示虚数单位。
特征函数在概率论中有广泛的应用，可以用来计算随机变量的矩和分布，以及求解各种概率分布的性质。
矩是描述随机变量的另一个重要工具，它表示随机变量的各阶矩值。
对于一个随机变量X，它的k阶矩定义为：
E[X^k]
其中E表示期望。
随机变量的矩可以用来描述它的分布和性质，例如均值、方差、偏度和峰度等。
特征函数和矩之间存在着紧密的联系，可以通过特征函数来计算随机变量的各阶矩。
具体来说，随机变量的k阶矩可以表示为特征函数的k阶导数在0处的值：
E[X^k] = (-i)^k φ^(k)(0)
其中φ^(k)(t)表示φ(t)的k阶导数。
这个公式可以用来计算随机变量的矩，从而求解各种概率分布的性质。
总之，随机变量、特征函数和矩是概率论中的重要概念和工具，
它们在统计学、金融学、物理学等领域有广泛的应用。
深入理解这些概念和工具，对于掌握概率论和统计学的基本原理和方法，以及解决实际问题都具有重要意义。
x2-分布、t-分布、f-分布的w特征函数和矩
x^2-分布指的是自由度为n的卡方分布，一般用于研究样本方差的分布情况。
其概率密度函数为：
f(x) = 1/(2^(n/2)*Γ(n/2))*x^(n/2-1)*e^(-x/2)
其中Γ表示伽玛函数，是一个常见特殊函数。
x^2-分布的特征函数为：
其中i为虚数单位，E表示期望，t为实数。
对于特征函数的研究，我们可以通过它的矩来得出更多的性质。
对于x^2-分布，它的m阶矩为：
其中m为正整数。
其中n为自由度。
t-分布的特征函数为：
ϕ(t) = E(e^(itx)) = (1-it/ν)^(-ν/2)
其中ν=n-1，表示度量总体标准差的自由度。
通过特征函数，我们可以得到t-分布的m阶矩为：
E(x^m) = 0 (当m为奇数时)
当m为奇数时，矩不存在。
E(x^m) =
Γ((n1+n2+m)/2)*((n1/n2)^(m/2))*Γ((n1+m)/2)/(Γ(n1/2)*Γ(n2/2)*(n1+n2)^(m/2))。
