k介原点矩及中心距

第1章 广义矩估计1.1矩估计1.1.1 总体矩与样本矩设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθ=θ是待估计的未知参数。

假定总体分布的m 阶矩存在，则总体分布的k 阶原点矩和k 阶中心矩为()(),1kkk EX x dF x k m α+∝-∝=≤≤⎰θθ 1()[()]()[()],1kk k E X E x x E x dF x k m μ+∝-∝-=-≤≤⎰θθ 2两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩：()E X μ= 3 2222()[()]()Var X E X E X μμσ=-=- 4一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。

对于样本12(,,,)n X X X =X ，其k 阶原点矩是：11n kk i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5当k =1时，m 1表示X 的样本均值。

X 的k 阶中心矩是：()11nk ki i B X X n =-∑（1k m ≤≤） 6 当k =2时，B 2表示X 的样本方差。

1.1.2 矩估计方法矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。

其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。

这个常数又是分布中未知参数的一个函数。

总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θ的函数。

根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩。

因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令：()12,,,1,2,,k K km k K αθθθ==即：()11,1,2,,n kki i x dF x X k K n +∝-∝= = =∑∑θ 7上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θ的K 个方程式，求解上式所构成的方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θ的一组解()12ˆˆˆˆ,,,k θθθ=⋯θ。

因为m k 是随机变量，故解得的ˆθ也是随机变量。

中心矩和原点矩的关系推导中心矩和原点矩是在数学统计中常用的两个概念，它们之间有着紧密的关系。

本文将从简单到复杂、由浅入深地探讨中心矩和原点矩的关系，并提供个人观点和理解。

1.中心矩和原点矩的定义我们来了解一下中心矩和原点矩的定义。

在随机变量X的概率分布中，X的k阶原点矩（kth order moment about the origin）定义为E(X^k)，即X的k次幂的期望。

这可以表示为：M_k = E(X^k)其中E表示期望。

而X的k阶中心矩（kth order moment about the mean）定义为：μ_k = E((X-μ)^k)其中μ是X的均值（mean）。

2.中心矩和原点矩的关系中心矩和原点矩之间有着紧密的联系。

我们可以通过简单的变换将中心矩转化为原点矩。

以二阶矩为例，假设X的均值为μ，那么X的二阶中心矩可以表示为：μ_2 = E((X-μ)^2)对上式进行展开和整理可得：μ_2 = E(X^2 - 2μX + μ^2)= E(X^2) - 2μE(X) + μ^2= E(X^2) - 2μ^2 + μ^2= E(X^2) - μ^2二阶中心矩μ_2和二阶原点矩M_2之间的关系为：μ_2 = M_2 - μ^2通过这个推导，我们可以看出中心矩和原点矩之间的关系是通过均值来建立的。

中心矩减去均值的k次方，就得到了对应的原点矩。

类似地，可以推导出中心矩和原点矩的关系公式：μ_k = M_k - kμ^(k-1)M_1 + (k-1)μ^(k-2)M_2 - ... - M_(k-1)μ这个公式展现了中心矩和原点矩之间的联系。

我们可以通过原点矩和均值，来计算得到对应的中心矩。

3.个人观点和理解中心矩和原点矩是描述随机变量分布特征的重要工具。

通过引入均值，中心矩能够描述随机变量相对于均值的偏离程度，从而更准确地刻画其分布形态。

原点矩则直接描述随机变量的分布情况，对于分布的形状有更直观的反映。

k阶原点距和k阶中心距各是说明什么数字特征在数学的概率领域中有一类数字特征叫矩.(X^k为X的k次方)原点矩：对于正整数k,如果E|X^k|<无穷,称Vk＝E(X^k) 为随机变量X的k阶原点矩.X的数学期望是X的一阶原点矩,即E(x)=v1.k阶矩定义：设X为随机变量,c为常数,k为正整数,如果E[|X-c|^c]<无穷大,则称E[（X -c）^k]为X关于点c的k阶矩.c=0时,称其为X的k阶原点矩；c=E[X]时,称为k阶中心矩.原点矩顾名思义，是随机变量到原点的距离（这里假设原点即为零点）。

中心矩则类似于方差，先要得出样本的期望即均值，然后计算出随机变量到样本均值的一种距离，与方差不同的是，这里所说的距离不再是平方就能构建出来的，而是k次方。

这也就不难理解为什么原点矩和中心矩不是距离的“距”，而是矩阵的“矩”了。

仅凭本人目前的所学，我认为通过随机试验得出的各种结果虽然都假定为实值单值函数，但它们完全有可能是空间分布，即不在一个平面上。

那么这是的距离就类似于一个向量的模了，于是在空间的范围内也能比较出大小来了。

我们都知道方差源于勾股定理，这就不难理解原点矩和中心矩了。

还能联想到力学中的力矩也是“矩”，而不是“距”。

力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。

力矩也是矢量，它等于力乘力臂。

由此可见数学和物理关系非同一般！二阶中心距，也叫作方差，它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小，方差越大,波动性越大。

方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。

(The moment of iner tia.)三阶中心距告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。

在均值不为零的情况下，原点距只有纯数学意义。

A1,一阶矩就是 E(X),即样本均值。

具体说来就是A1=(西格玛Xi)/n ----（1）A2,二阶矩就是 E(X^2)即样本平方均值 ,具体说来就是 A2=(西格玛Xi^2)/n-----(2)Ak,K阶矩就是 E(X^k)即样本K次方的均值,具体说来就是 Ak=(西格玛Xi^k)/n，-----(3)用样本的K阶矩代替总体的K阶矩来估计总体中未知参数的方法。

opencv中的图像矩（空间矩，中⼼矩，归⼀化中⼼矩，Hu矩）严格来讲矩是概率与统计中的⼀个概念，是随机变量的⼀种数字特征。

设 x 为随机变量，C为常数，则量E[(x−c)^k]称为X关于C点的k阶矩。

⽐较重要的两种情况如下：1.c=0,这时a_k=E(X^k)称为X的k阶原点矩;2.c=E(X),这时µ_k=E[(X−EX)^k]称为X的k阶中⼼矩⼀阶原点矩就是期望，⼀阶中⼼矩µ_1=0，⼆阶中⼼矩µ_2就是X的⽅差Var(X)。

在统计学上，⾼于4阶的矩极少使⽤，µ_3可以去衡量分布是否有偏，µ_4可以衡量分布（密度）在均值拘谨的陡峭程度。

对于数学来说⼀阶原点矩就是期望。

⼆阶中⼼矩就是随机变量的的⽅差. 在统计学上，⾼于4阶的矩极少使⽤。

三阶中⼼距可以去衡量分布是否有偏。

四阶中⼼矩可以去衡量分布在均值附近的陡峭程度如何。

那针对⼀幅图像，我们把像素的坐标看成是⼀个⼆维随机变量(X, Y)，那么⼀副灰度图可以⽤⼆维灰度图密度函数来表⽰，因此可以⽤矩来描述灰度图像的特征。

空间矩的实质为⾯积或者质量。

可以通过⼀阶矩计算质⼼/重⼼。

重⼼（中⼼centers）：Hu矩class Moments{public :Moments();Moments(double m00, double m10, double m01, double m20, double m11,double m02, double m30, double m21, double m12, double m03 );Moments( const CvMoments& moments );operator CvMoments() const ;// spatial moments 空间矩double m00, m10, m01, m20, m11, m02, m30, m21, m12, m03;// central moments 中⼼矩double mu20, mu11, mu02, mu30, mu21, mu12, mu03; // central normalized moments 中⼼归⼀化矩double nu20, nu11, nu02, nu30, nu21, nu12, nu03;}#include <opencv2/highgui/highgui.hpp>#include <opencv2/imgproc/imgproc.hpp>using namespace cv;using namespace std;//定义窗⼝名字的宏#define WINDOW_NAME1 "【原始图】"#define WINDOW_NAME2 "【图像轮廓】"//全局变量的声明Mat g_srcImage, g_grayImage;int g_nThresh = 100;int g_nMaxThresh = 255;RNG g_rng(12345);Mat g_cannyMat_output;vector<vector<Point> > g_vContours;vector<Vec4i>g_vHierarchy;//全局函数声明void on_ThreshChange(int, void*);//main()函数int main(){//改变console字体颜⾊system("color 1E");//读⼊原图，返回3通道图像数据g_srcImage = imread("E:\\VS2015Opencv\\vs2015\\project\\picture\\01.jpg", 1);//源图像转化为灰度图像并平滑cvtColor(g_srcImage, g_grayImage, COLOR_BGR2GRAY);blur(g_grayImage, g_grayImage, Size(3, 3));//创建新窗⼝namedWindow(WINDOW_NAME1, WINDOW_AUTOSIZE);imshow(WINDOW_NAME1, g_srcImage);//创建滚动条并进⾏初始化createTrackbar("阈值：", WINDOW_NAME1, &g_nThresh, g_nMaxThresh, on_ThreshChange);on_ThreshChange(0, 0);waitKey(0);return 0;}void on_ThreshChange(int, void *){//使⽤canny检测边缘Canny(g_grayImage, g_cannyMat_output, g_nThresh, g_nThresh * 2, 3);//找到轮廓findContours(g_cannyMat_output, g_vContours, g_vHierarchy, RETR_TREE, CHAIN_APPROX_SIMPLE, Point(0, 0));//计算矩vector<Moments> mu(g_vContours.size());for (unsigned int i = 0; i < g_vContours.size(); i++){mu[i] = moments(g_vContours[i], false);}//计算中⼼矩vector<Point2f>mc(g_vContours.size());for (unsigned int i = 0; i < g_vContours.size(); i++){mc[i] = Point2f(static_cast<float>(mu[i].m10 / mu[i].m00), static_cast<float>(mu[i].m01 / mu[i].m00));}//绘制轮廓Mat drawing = Mat::zeros(g_cannyMat_output.size(), CV_8UC3);for (unsigned int i = 0; i < g_vContours.size(); i++){//随机⽣成颜⾊值Scalar color = Scalar(g_rng.uniform(0, 255), g_rng.uniform(0, 255), g_rng.uniform(0, 255));//绘制外层和内层轮廓drawContours(drawing, g_vContours, i, color, 2, 8, g_vHierarchy, 0, Point());//绘制圆circle(drawing, mc[i], 4, color, -1, 8, 0);}//显⽰到窗⼝中namedWindow(WINDOW_NAME2, WINDOW_AUTOSIZE);imshow(WINDOW_NAME2, drawing);//通过m00计算轮廓⾯积和Opencv函数⽐较printf("\t输出内容：⾯积和轮廓长度\n");for (unsigned int i = 0; i < g_vContours.size(); i++){printf(">通过m00计算出轮廓[%d]的⾯积：(M_00) = %.2f \n Opencv函数计算出⾯积 = %.2f，长度：%.2f \n\n", i, mu[i].m00, contourArea(g_vContours[i]), arcLength(g_vContours[i], true)); Scalar color = Scalar(g_rng.uniform(0, 255), g_rng.uniform(0, 255), g_rng.uniform(0, 255));drawContours(drawing, g_vContours, i, color, 2, 8, g_vHierarchy, 0, Point());circle(drawing, mc[i], 4, color, -1, 8, 0);}}本⽂参考：。

总体参数的点估计一 矩估计法如果总体中的未知参数θ恰好就是某个总体矩，那么相应的样本矩就是它的矩估计。

但是当总体中的未知参数θ不是某个总体矩时，通常按下面的步骤来求未知参数θ的矩估计。

问题：设总体X 中含有k 个参数k θθθ ,,21，n X X X ,,21是来自总体的样本，求k θθθ ,,21的矩估计。

不管未知参数k θθθ ,,21是不是总体矩，我们都可以按以下步骤来求它们的矩估计。

①求出总体X 的一阶直到k 阶原点矩()()()k X E X E X E ,,,2 （也可以是总体中心距），并且把它们表示成未知参数k θθθ ,,21的函数。

设求得：()()k a X E θθθ,,,211 =()()k a X E θθθ,,,2122 =………………………………()()k k k a X E θθθ,,,21 =②用样本矩替换相应的总体矩，即()k ni i a X n θθθ,,,12111=∑= ()k ni i a X n θθθ,,,121212 =∑=………………………()k k n i ki a X n θθθ,,,1211=∑= 这是k 个关于未知参数k θθθ ,,21的方程。

③解由这k 个方程构成的方程组，得到k θθθ ,,21的解k θθθˆ,ˆ,ˆ21 ，这k 个解就是相应的未知参数的矩估计。

注意：（1）在上面的第一个步骤中，如果计算总体中心矩比较方便，也可以把部分总体原点矩换成总体中心矩。

（2）在上面的三个步骤中，把步骤②和③颠倒也可以。

二 最大似然估计法求总体中的未知参数k θθθ ,,21的最大似然估计可以归结为求似然函数的最大值点。

一般情况下可以按照以下三个步骤来做：①求似然函数()k n x x x L θθθ ,,;,,,2121 ②对似然函数取自然对数，并列似然方程()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂0,,,;,,,ln 0,,,;,,,ln 0,,,;,,,ln 21212212112121k k n k n k n x x x L x x x L x x x L θθθθθθθθθθθθ ②解似然方程，得到k θθθ ,,21的解k θθθˆ,ˆ,ˆ21 ，这k 个解就是未知参数k θθθ ,,21的最大似然估计值。

k阶原点矩和k阶中心矩随着数字图像处理技术的使用越来越广泛，各种图像特征的提取也变得越来越重要。

其中，矩是一种常见的特征，常用于图像处理中的形状描述、边缘检测、目标跟踪等领域。

本文将介绍两种常用的矩：k阶原点矩和k阶中心矩。

k阶原点矩指的是对于一幅图像I(x,y)而言，对其像素值进行k次幂次方的累加和，即：Mk0 = ΣΣx^k y^0 I(x,y)其中，k阶原点矩表示的是图像的像素分布情况，也称为“零阶矩”。

这种矩能够提供有关图像亮度和对比度的信息，同时还能提供图像的整体大小和形状信息。

k阶中心矩是指对于一幅图像I(x,y)而言，对其像素值进行k次幂次方的累加和，同时将每个像素的坐标减去图像的中心点坐标，即：Mkpq = ΣΣ(x-xc)^p(y-yc)^q I(x,y)其中，xc、yc是图像的中心坐标，p+q=k，表示了图像的几何特征，如重心、惯性矩等。

一般而言，k阶中心矩提供的信息更加丰富，能够描述图像的细节特征。

对于一般图像而言，我们常常会先求出其一阶原点矩和二阶中心矩，来估计图像的重心坐标和形状。

一阶原点矩可以用来计算图像的总亮度，从而可以做灰度直方图均衡化等预处理；而二阶中心矩可以用来计算图像的旋转角度、长宽比等重要的形状信息。

需要注意的是，由于矩的定义中包含了像素的幂次方，所以其值通常会非常大，可能超过数据类型所能表示的范围。

因此，在计算矩的过程中可能需要进行数据类型转换，或者使用double等数据类型来存储结果。

总的来说，k阶原点矩和k阶中心矩是图像处理中常用的特征描述工具，能够提供图像的亮度、形状等重要信息。

对于需要进行图像处理操作的人员和学生而言，了解矩的相关知识是非常重要的，能够更好地理解和利用图像特征提取技术。

总体k阶中心矩总体k阶中心矩是统计学中常用的一种统计量，用于描述数据集的集中趋势和离散程度。

它是对数据集中各数据点与数据集中心的距离进行求和的一种方式。

在本文中，我们将详细介绍总体k阶中心矩的定义、计算方法以及其在数据分析中的应用。

我们来定义总体k阶中心矩。

对于一个包含n个观测值的总体，其k阶中心矩定义为：M_k = (1/n) * Σ(x_i - μ)^k其中，x_i 是第i个观测值，μ是总体的均值，k是阶数。

可以看出，总体k阶中心矩是每个观测值与总体均值的差的k次方的平均值。

接下来，我们来讨论总体k阶中心矩的计算方法。

为了计算总体k 阶中心矩，我们需要先计算总体的均值。

然后，我们将每个观测值与均值的差的k次方求和，并除以观测值的个数n，即可得到总体k 阶中心矩的值。

总体k阶中心矩在数据分析中有广泛的应用。

首先，它可以用来衡量数据集的集中趋势。

当k=2时，总体2阶中心矩就是方差，可以用来描述数据的离散程度。

当k=3时，总体3阶中心矩可以用来衡量数据的偏斜程度。

当k=4时，总体4阶中心矩可以用来衡量数据的峰度。

通过计算不同阶数的总体中心矩，我们可以综合地了解数据集的分布特征。

总体k阶中心矩还可以用于比较不同数据集之间的差异。

通过计算不同数据集的总体k阶中心矩，我们可以比较它们的集中趋势、离散程度、偏斜程度和峰度，从而判断它们的差异程度。

总体k阶中心矩还可以用于数据的规范化处理。

通过对数据进行中心化，即将每个观测值减去总体均值，然后再计算总体k阶中心矩，可以消除数据之间的尺度差异，使得不同数据集之间可以进行更为准确的比较和分析。

总的来说，总体k阶中心矩是一种重要的统计量，它可以用于描述数据集的集中趋势和离散程度，衡量数据的偏斜程度和峰度，比较不同数据集之间的差异，以及进行数据的规范化处理。

在实际数据分析中，我们可以根据具体的问题和需求，选择不同的阶数k来计算总体中心矩，从而得到更全面和准确的数据分析结果。