原点矩和中心矩
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概率4.3 k阶矩页数:5
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k介原点矩及中心距页数:1
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《概率论》第4章矩、协方差矩阵页数:8
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概率论与数理统计：矩与协方差矩阵的概念页数:3
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参数的矩估计及评价标准页数:25
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原点矩与中心矩
试求在仪器使用的最初500小时内，至少有一个电子元 件损坏的概率. 6. 某商店出售的灯泡来自甲、乙两个工厂，甲厂产品 占70%，乙厂产品占30%，甲厂、乙厂的产品合格率分 别为0.92和0.87。某顾客从该商店买了一个灯泡。 （1）求该灯泡是合格品的概率； （2）若该灯泡是次品，问它是甲厂生产的概率多大？ 7. 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5。在袋中 同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出 随机变量的分布律并写出分布函数。
(3) E ( 2 ) D( ) E ( ) 16 1 17
2
E ( 2 ) 13, E ( ) Cov( , ) E ( ) E ( ) 4 E ( )2 E ( 2 ) 2 E ( ) E ( 2 ) 22
3. 设随机变量的分布律为 -1 0 1 2 p 0.4 0.2 0.3 0.1 试求随机变量 2 3 及 ( 1)2 的分布律。
4. 设 ~ N ( , 2 ), 且P( 0) 0.6915, P( 1) 0.5000. 求 P(1.2 3), P( 4), P(| | 2).
1 k k 1 k 1 k (b b a ba a ） k 1
又因为 ,
ab E 2
b a
故 E[ E ]
3
ab 3 1 (x ) dx 2 ba
令t x a b 2
1 ba
ba 2 ba 2
t dt 0
(已知(0.1) 0.5398, (1) 0.8413, (1.5) 0.9332, (0.5) 0.6915)
5. 某仪器装有四只独立工作的同型号电气元件，其寿 命(单位：小时)都服从同一指数分布，密度函数为：
矩在物理、数学以及图像处理中的意义
矩在物理、数学以及图像处理中的意义一、物理意义：（点表示质量）1、零点矩：总质量；2、一阶矩：重心；3、二阶矩：转动惯量。
二、矩的数学意义：1、矩：一组点组成的模型的特定的数量测度，定义在实数域的实函数相对于值C的n阶矩为：归一化n阶中心矩或者说标准矩，是n阶中心矩除以标准差σn,归一化n阶中心矩为：2、一阶矩：就是期望值、平均数；4、二阶矩：就是方差；5、三阶（中心）矩：随机变量的偏态（衡量分布不对称性），表示偏斜度。
注：①任何对称分布的随机变量的偏态为0；②偏态：6、四阶（中心）矩：峰度加3。
注：①一般随机变量的峰度定义为其四阶矩与方差平方的比值减3，减3是为了让正态分布峰度为0，这也被称为超值峰度；②峰度：7、混合矩：多个变量的矩，如协方差，协偏度，协峰度。
协方差只有一个，协峰度和协偏度存在多个。
8、样本矩：通过样本来估计，不需要先估计其概率分布；（均值）注：①对于任何样本大小，原始样本矩的期望值等于群体的k阶矩。
②矩通常通过样本矩估计※中心转换：∵∴三、在图像处理中的意义：1、背景知识：①图像被概括为具有几个较低阶矩的函数。
面积（二值图）或灰度和（灰度图）：M00②质心：③唯一性定理：如果f（x ,y）是分段连续并且仅在x y平面的有限部分中具有非零值，则存在所有阶的矩，并且矩序列M pq由f（x, y）唯一确定。
反之中心矩M pq唯一确定f（x, y）。
④图像看成概率密度计算：2、图像矩：图像像素强度的某个特定加权平均（矩），或是这样的矩的函数，通常选一些具有吸引力的特性或解释。
3、原点矩：对于一个二维连续函数f（x,y）,第（p+q）个点的矩被定义为像素强度为I（x, y）的灰度图，原点矩为:4、中心矩：若是数字图像，则等式变为5、三阶以下中心矩依次为：∴注：中心矩具有平移不变性。
3-6原点矩与中心矩
X 若 为离散随机变量，
则
k ( X ) [xi E( X )]k p(xi );
i
X 若 为连续随机变量，
则
k (X )
[x
E(X
)]k
f
(x)dx.
§3.6 原点矩与中心矩
一阶中心矩恒等于零： 二阶中心矩就是方差：
1( X ) 0. 2( X ) D( X ).
§3.6 原点矩与中心矩
原点距与中心矩的一些关系
记 k k ( X ), vk vk ( X ). (1) 2 v2 v12,
D(X ) E(X 2) [E(X )]2;
(2) 3 v3 3v2v1 2v13; (3) 4 v4 4v3v1 6v2v12 3v14.
§3.6 原点矩与中心矩
[例] 设随机变量
第三章 随机变量的数字特征
§3.6 原点矩与中心矩
§3.6 原点矩与中心矩
原点矩
k [定义1]
随机变量 的 X次幂的数学期望
（ k为正整数）
叫做随机变量
X 的 k 阶原点矩.
记作： vk ( X ), 即
vk ( X ) E( X k ).
X 若 为离散随机变量， X 若 为连续随机变量，
则 vk ( X ) xik p(xi ).
X 服从指数分布
矩及三、四阶中心矩.
பைடு நூலகம்
e() , 求 X的 阶原k 点
解： 因为随机变量
X 的概率密度
ex , x 0 ;
f (x) 0 , x0.
所以， X 的 k 阶原点矩
vk ( X )
xk exdx 0
xk exdx, 0
置换积分变量
x t , 得
矩
)
k
E ⎡ X Y ⎤ = E ⎡ X ⎤ • E ⎡Y ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
E ( X 1 − EX 1 ) 1 ( X 2 − EX 2 ) 2 L( X n − EX n ) n
k k
则X 和 Y 统计独立。
见书p.51
23
见书p.44
24
4
若n维随机变量 ( X 1 , X 2 , L, X n ) 用随机矢量
若 E X − EX p ∞ k = 0, 1, 2, L
k 阶中心矩
E ( X − EX )
k
k = 2 时， E ( X − EX ) 为方差
2
9 10
见书p.44
方差
我们常常除了需要知道某一随机变量的平均值 外，还要知道随机变量与其期望之间的偏离程 度。
2. 性质 ⑴ DC = 0 ，C 为常数； ⑵ DX = EX 2 − ( EX ) ；
27
⎡ C11 C12 L C1n ⎤ ⎢C C L C ⎥ 2n ⎥ = CX DX = ⎢ 21 22 ⎢ M M L M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣Cn1 Cn 2 L Cnn ⎦
又可称为n维随机变量的协方差矩阵
28
5
2
1. 定义 DX = E ( X − EX )
2
⑶ D ( C + X ) = DX ；
2
⑴离散型随机变量的方差： = DX ⑵连续型随机变量的方差：
∑ ( x − EX )
i =1 i
∞
pi
⑷ D ( CX ) = C 2 DX ； ⑸ D ( X 1 ± X 2 ± L ± X n ) = DX 1 + DX 2 + L + DX n ，
概率论与数理统计(第三版)第三章4协方差与相关系数-PPT精品文档
o 3 X , Y 不相关 E ( XY ) E ( X ) E ( Y ).
3. 相关系数的性质
是一个用来表征 X ,Y之间线性关系紧密 XY
程度的量 .
1 . 1 ρ XY
a , b使 1 的充要条件是 :存在常数 2 ρ XY
P { Y a bX } 1 .
0.3 0.7
0 . 3 0 0 . 7 1 0 . 7
0 . 6 1 0 . 4 2 1 . 4
0 . 9 50 . 7 1 . 4 0.03
c o v (,) X Y E X Y E X E Y
三、 相关系数的意义
1 . 当 ρ 表明 X,Y的线性关系联 XY 较大时
例1 已知 (X,Y)的分布律求Cov(X，Y)
x 0 1 y 1 2 0.15 0.15 0.45 0.25
解: c o v (,) X Y E X Y E X E Y
EX ( Y ) 0 .9 5
x 0 1
EX ( ) EY ( )
y 1 0.15 0.45 0.6
2 0.15 0.25 0.4
3.设X和Y是随机变量，若
E(XkYL)
k, L=1,2,…
存在，
称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩.
k L 4.若 E {[ X E ( X )] [ Y E ( Y )] } 存在，
称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.
二、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机变量 X 和 Y 相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ独立 ,那么
3 Cov( X X , Y ) Cov( X , Y ) Co X , Y ). 1 2 1 2
二阶原点矩和二阶中心矩
二阶原点矩和二阶中心矩1.引言1.1 概述二阶原点矩和二阶中心矩是统计学中常用的描述统计量，用于描述一个随机变量或随机过程的分布特征。
它们在统计分析、概率论、图像处理等领域都有广泛的应用。
二阶原点矩是描述一个随机变量的离散程度的量度，在二维平面上表示为(X, Y)。
它是指将随机变量的值与原点(0, 0)的距离的平方加权求和的期望值。
直观上，它可以理解为随机变量分布的离散程度，越大表示分布越分散，越小则表示分布越集中。
而二阶中心矩则是描述随机变量相对于其均值的离散程度的量度。
与二阶原点矩不同的是，二阶中心矩是在原点平移后进行计算的，它用于分析随机变量的对称性和形状特征。
二阶中心矩的计算方法是将随机变量的值减去均值后的差的平方加权求和的期望值。
二阶原点矩和二阶中心矩在统计分析中起到了关键的作用。
它们可以帮助我们更加全面地了解数据的分布情况，从而进行更精确的统计推断和预测。
在实际应用中，我们可以利用这些统计量来比较各个样本之间的差异、评估模型的拟合程度、寻找异常值等。
本文旨在介绍二阶原点矩和二阶中心矩的定义、计算方法以及它们的应用领域。
通过深入理解这两个概念，我们能够更好地进行数据分析和解释，为我们的研究和决策提供更有力的支持。
在接下来的章节中，我们将详细讨论它们的定义和计算方法，并探讨它们在实际应用中的作用和意义。
文章结构如下：首先，我们将在第2节介绍二阶原点矩的定义和计算方法；然后，在第3节讨论二阶中心矩的内涵和计算方法；最后，我们将在第4节总结并提出本文的结论。
通过阅读本文，读者将对二阶原点矩和二阶中心矩有更为深刻的理解，并能够灵活应用它们进行数据分析和解释。
希望本文能对读者在统计分析和概率论学习中起到一定的帮助和指导。
文章结构部分的内容可以参考以下样例:"1.2 文章结构本文将以二阶原点矩和二阶中心矩为主题，通过引言、正文和结论三个部分对其进行详细的阐述和分析。
引言部分将首先概述二阶原点矩和二阶中心矩的概念和重要性，以引起读者的兴趣和注意。
正态分布矩估计
正态分布矩估计正态分布矩估计引言在统计学中，矩估计是一种参数估计方法，它通过样本矩来估计总体参数。
其中，样本矩是指样本的各阶原点矩和中心矩。
正态分布是一种常见的概率分布，具有许多重要的应用，如金融、物理、天文学等领域。
因此，正态分布的矩估计方法对于这些领域的数据分析非常重要。
正态分布的基本概念正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$其中，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。
正态分布有许多重要性质：1. 正态分布是对称的，在均值处取得最大值。
2. 68% 的数据落在均值 $\pm$ 标准差范围内；95% 的数据落在均值$\pm$ 2 倍标准差范围内；99.7% 的数据落在均值 $\pm$ 3 倍标准差范围内。
3. 正态分布有一个重要的中心极限定理，即若从总体中随机抽取大量样本，则样本均值的分布趋近于正态分布。
矩估计方法矩估计是一种参数估计方法，它通过样本矩来估计总体参数。
其中，样本矩是指样本的各阶原点矩和中心矩。
对于正态分布，其前两个原点矩和中心矩为：$$E(X)=\mu$$$$E[(X-\mu)^2]=\sigma^2$$因此，我们可以用这两个样本矩来估计正态分布的均值和标准差。
具体地，设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是一个来自正态分布$N(\mu,\sigma^2)$ 的样本，则其前两个原点矩和中心矩为：$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$$$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2$$其中，$\overline{X}$ 和 $S^2$ 分别是样本均值和样本方差。
根据上述公式，我们可以得到正态分布的均值和标准差的矩估计量：$$\hat{\mu}=\overline{X}$$$$\hat{\sigma}=\sqrt{S^2}$$这里的 $\hat{\mu}$ 和 $\hat{\sigma}$ 分别是正态分布均值和标准差的矩估计量。
原点矩和中心矩
k阶原点距和k阶中心距各是说明什么数字特征在数学的概率领域中有一类数字特征叫矩.(X^k为X的k次方)原点矩：对于正整数k,如果E|X^k|<无穷,称Vk＝E(X^k) 为随机变量X的k阶原点矩.X的数学期望是X的一阶原点矩,即E(x)=v1.k阶矩定义：设X为随机变量,c为常数,k为正整数,如果E[|X-c|^c]<无穷大,则称E[（X -c）^k]为X关于点c的k阶矩.c=0时,称其为X的k阶原点矩；c=E[X]时,称为k阶中心矩.原点矩顾名思义，是随机变量到原点的距离（这里假设原点即为零点）。
中心矩则类似于方差，先要得出样本的期望即均值，然后计算出随机变量到样本均值的一种距离，与方差不同的是，这里所说的距离不再是平方就能构建出来的，而是k次方。
这也就不难理解为什么原点矩和中心矩不是距离的“距”，而是矩阵的“矩”了。
仅凭本人目前的所学，我认为通过随机试验得出的各种结果虽然都假定为实值单值函数，但它们完全有可能是空间分布，即不在一个平面上。
那么这是的距离就类似于一个向量的模了，于是在空间的范围内也能比较出大小来了。
我们都知道方差源于勾股定理，这就不难理解原点矩和中心矩了。
还能联想到力学中的力矩也是“矩”，而不是“距”。
力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。
力矩也是矢量，它等于力乘力臂。
由此可见数学和物理关系非同一般！二阶中心距，也叫作方差，它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小，方差越大,波动性越大。
方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。
(The moment of iner tia.)三阶中心距告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。
在均值不为零的情况下，原点距只有纯数学意义。
A1,一阶矩就是 E(X),即样本均值。
具体说来就是A1=(西格玛Xi)/n ----（1）A2,二阶矩就是 E(X^2)即样本平方均值 ,具体说来就是 A2=(西格玛Xi^2)/n-----(2)Ak,K阶矩就是 E(X^k)即样本K次方的均值,具体说来就是 Ak=(西格玛Xi^k)/n，-----(3)用样本的K阶矩代替总体的K阶矩来估计总体中未知参数的方法。
原点矩与中心矩
第10讲 原点矩与中心矩 协方差与相关系数教学目的：掌握矩、协方差及相关系数的概念、性质及计算。
教学重点：矩、协方差及相关系数的概念和性质。
教学难点：矩、协方差及相关系数的概念。
教学学时：2学时教学过程：第三章 随机变量的数字特征§3.3 原点矩与中心矩随机变量的数字特征除了数学期望和方差外，为了更好的描述随机变量分布的特征，有时还要用到随机变量的各阶矩（原点矩与中心矩），它们在数理统计中有重要的应用。
定义1 设X 是随机变量，若),2,1)(( =k X E k 存在，则称它为X 的k 阶原点矩，记作)(X v k ，即)()(k k X E X v =， ,2,1=k显然，一阶原点矩就是数学期望，即)()(1X E X v =。
定义2 设随机变量X 的函数),2,1()]([ =-k X E X k 的数学期望存在，则称})]({[k X E X E -为X 的k 阶中心矩，记作)(X k μ，即})]({[)(k k X E X E X -=μ， ,2,1=k易知，一阶中心矩恒等于零，即0)(1≡X μ；二阶中心矩就是方差，即)()(2X D X =μ。
不难证明，原点矩与中心矩之间有如下关系：2122v v -=μ31213323v v v v +-=μ412121344364v v v v v v -+-=μ等。
定义3 设X 和Y 是随机变量，若),2,1,)(( =l k Y X E l k 存在，则称它为X 和Y 的l k +阶混合矩。
若),2,1,}()]([)]({[ =--l k Y E Y X E X E l k 存在，则称它为X 和Y 的l k +阶混合中心矩。
§3.4 协方差与相关系数1.协方差与相关系数的定义二维随机变量的数字特征中最常用的就是协方差与相关系数。
定义 3 设有二维随机变量),(Y X ，如果)]()][([Y E Y X E X E --存在，则称)]()][([Y E Y X E X E --为随机变量X 与Y 的协方差，记作),cov(Y X ，即=),cov(Y X )]()][([Y E Y X E X E -- 而)()(),cov(Y D X D Y X 称为随机变量X 与Y 的相关系数，记作),(Y X R ，即)()(),cov(),(Y D X D Y X Y X R =)()(),cov(Y X Y Xσσ=显然，协方差),cov(Y X 是X 和Y 的二阶混合中心矩。
概率4-2
2 2 2
因此,0-1分布
E ( X ) p, D( X ) p(1 p)
概率论
例3 解
设X ~ P( )，求D( X )。
X的分布率为
P{ X k }
k e
k!
, k 0,1,2,, 0
上节已算得 E ( X ) , 而
E ( X 2 ) E[ X ( X 1) X ]
a b 上节已求得E ( X ) 。方差为 2 D( X ) E ( X 2 ) E ( X ) 2
b a 1 a b 2 x dx ba 12 2 a 因此,均匀分布
b 2
2
b a ab E( X ) , D( X ) 2 12
能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度.
但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量
E{[ X E ( X )] }
2
来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度. 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的
方差
概率论
一、方差的定义
设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在 , 称 E[(X-E(X)]2 为 X 的方差. 记为D(X)或Var(X)，即 D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2
二、方差的计算
由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望 .
[ xk E ( X )]2 pk , D ( X ) k 1 [ x E ( X )]2 f ( x )dx ,
X为连续型，X概率密度f(x)
X为离散型， 分布率
2
xe
x2 2
dx 0
因此,0-1分布
E ( X ) p, D( X ) p(1 p)
概率论
例3 解
设X ~ P( )，求D( X )。
X的分布率为
P{ X k }
k e
k!
, k 0,1,2,, 0
上节已算得 E ( X ) , 而
E ( X 2 ) E[ X ( X 1) X ]
a b 上节已求得E ( X ) 。方差为 2 D( X ) E ( X 2 ) E ( X ) 2
b a 1 a b 2 x dx ba 12 2 a 因此,均匀分布
b 2
2
b a ab E( X ) , D( X ) 2 12
能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度.
但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量
E{[ X E ( X )] }
2
来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度. 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的
方差
概率论
一、方差的定义
设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在 , 称 E[(X-E(X)]2 为 X 的方差. 记为D(X)或Var(X)，即 D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2
二、方差的计算
由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望 .
[ xk E ( X )]2 pk , D ( X ) k 1 [ x E ( X )]2 f ( x )dx ,
X为连续型，X概率密度f(x)
X为离散型， 分布率
2
xe
x2 2
dx 0
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k阶原点距和k阶中心距各是说明什么数字特征
在数学的概率领域中有一类数字特征叫矩.(X^k为X的k次方)
原点矩：
对于正整数k,如果E|X^k|<无穷,称Vk＝E(X^k) 为随机变量X的k阶原点矩.X的数学期望是X的一阶原点矩,即E(x)=v1.
k阶矩定义：设X为随机变量,c为常数,k为正整数,如果E[|X-c|^c]<无穷大,则称E[（X-c）^k]为X关于点c的k阶矩.
c=0时,称其为X的k阶原点矩；
c=E[X]时,称为k阶中心矩.
原点矩顾名思义，是随机变量到原点的距离（这里假设原点即为零点）。
中心矩则类似于方差，先要得出样本的期望即均值，然后计算出随机变量到样本均值的一种距离，与方差不同的是，这里所说的距离不再是平方就能构建出来的，而是k次方。
这也就不难理解为什么原点矩和中心矩不是距离的“距”，而是矩阵的“矩”了。
仅凭本人目前的所学，我认为通过随机试验得出的各种结果虽然都假定为实值单值函数，但它们完全有可能是空间分布，即不在一个平面上。
那么这是的距离就类似于一个向量的模了，于是在空间的范围内也能比较出大小来了。
我们都知道方差源于勾股定理，这就不难理解原点矩和中心矩了。
还能联想到力学中的力矩也是“矩”，而不是“距”。
力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。
力矩也是矢量，它等于力乘力臂。
由此可见数学和物理关系非同一般！
二阶中心距，也叫作方差，它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小，方差越大,波动性越大。
方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。
(The moment of inertia.)
三阶中心距告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。
在均值不为零的情况下，原点距只有纯数学意义。
A1,一阶矩就是 E(X),即样本均值。
具体说来就是A1=(西格玛Xi)/n ----（1）
A2,二阶矩就是 E(X^2)即样本平方均值 ,具体说来就是 A2=(西格玛Xi^2)/n-----(2) Ak,K阶矩就是 E(X^k)即样本K次方的均值,具体说来就是 Ak=(西格玛Xi^k)/n，---
--(3)
用样本的K阶矩代替总体的K阶矩来估计总体中未知参数的方法。
用已知样本的X的一阶矩和二阶矩来估计分布律，分布函数，概率函数或者数字特征中的某个未知参数a的值，此即矩估计法。
大概步骤如下
1 根据分布律或者分布函数，概率函数，计算EX或者EX2,其中含有未知参数a
2 令样本的一阶矩A1等于EX（二阶矩A2等于EX^2)
3 由2得到
a的表达式子，此式子中含有A1(A2,...),而A1,A2表达式如上(1),(2)，（3）所示. 该含有 A1,A2,..Ak的表达式称为估计量，如果把样本具体值带入，即可得a的估计值。