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课题：不等式的综合应用教学目标：掌握不等式的各类综合问题的处理方法.教学重点：建立不等式求参数的取值X 围，利用不等式讨论函数的最值，利用不等式解决实际问题．（一）典例分析：问题1． 设关于x 的不等式()()221122a a x +--≤和()()2312310x a x a -+++≤的解集依次为A 、B 求使A B ⊆的实数a 的取值X 围.问题2．已知函数()12log xa f x a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭在R 上为减函数，某某数a 的取值X 围.问题3．()1若关于x 的方程4210x xa a +⋅++=有实数解，某某数a 的取值X 围. ()2解关于x 的不等式：()2111a x x ax +->+（0a >）.问题4．已知正项数列{}n a 中，对于一切*n N ∈均有2n a ≤1n n a a +-成立. ()1求证：数列{}n a 中的任何一项都小于1；()2探究n a 与1n的大小，并加以证明.问题5．（05春）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：292031600v y v v =++(0)v >.()1在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到1.0千辆/小时）()2若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么X 围内？（四）课后作业：1.数列{}n a 的通项公式是290n n a n =+，数列{}n a 中最大的项是.A 第9项.B 第10项 .C 第8项和第9项 .D 第9项和第10项2.已知,,x y z R +∈，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为.A 4.B 3.C 2.D 13.若实数,,,m n x y 满足2222,m n a x y b +=+=()a b ≠，则mx ny +的最大值是.A 2a b +.B .C .D ab a b +4.设,x y R ∈，221x y +=，(1)(1)m xy xy =+-，则m 的取值X 围是.A 1[,1]2.B (0,1].C 3[,1]4.D 3[,2]45.已知,a b 是大于0的常数，则当x R +∈时，函数()()()x a x b f x x++=的最小值为6.设,,,a b x y R ∈，且223a b +=，226x y +=，求ax by +的X 围7.函数()2()lg 1f x x ax =-+在()0,+∞有意义，求a 的取值X 围8.1的直角三角形面积的最大值为．9.设,,a b c R ∈，2ab =且22c a b ≤+恒成立，则c 的最大值为10.（08届高三桐庐中学月考）若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为 .A 1.B 5.C .D 3+11.若不等式2231x x m +->的解集为R ，求正实数m 的取值X 围.12.(06苏大附中模拟)对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，则实数 t 的取值X 围是13.若对一切实数x ，不等式()422242x x m x +++≥1恒成立，某某数m 的取值X 围.14.k 为何实数时，方程220x kx k -+-=的两根都大于1215.光线每通过一块玻璃板，其强度要减少10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，能使通过它们的光线强度在原强度的31以下．(lg30.477)=16.已知函数1()f x a x=-.()1求证：函数()y f x =在(0,)+∞上是增函数 ()2若()2f x x <在(1,)+∞上恒成立，某某数a 的取值X 围.()3若函数()y f x =在[,]m n 上的值域是[,]m n ()m n ≠，某某数a 的取值X 围.17.（08届高三桐庐中学月考）已知()kx x x x f ++-=221()1若2=k ，求方程()0=x f 的解；()2若关于x 的方程()0=x f 在()2,0上有两个解21,x x ，求k 的取值X 围，并证明41121<+x x18.（07届高三黄冈中学）已知关于x 的不等式()1102k x x -+<-的解集为空集，某某数k 的值或取值X 围★★★19.对于函数2()f x ax bx c =++，当x ≤1时，有()f x ≤1. ()1求证：b ≤1，c ≤1；()2求证：22a b +≤4；()3求证：(2)f ≤7（五）走向高考：20.（04某某） 设数列{}n a 满足12a =，11n n n a a a +=+，（1,2,3n =，…）. ()1证明n a n 成立； ()2令1,2,3......)n b n ==,判断1n n b b +与的大小，并说明理由 .21.(04全国)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1)n n n S a =+-，n ≥1. ()1写出数列{}n a 的前三项1a ，2a ，3a ； ()2求数列{}n a 的通项公式； ()3证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a .22.（05某某）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1231611a a a ===，，，且 1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，123n =，，，其中A B ，为常数. (Ⅰ)求A 与B 的值；(Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列；(Ⅲ)1>对任何正整数m n ，都成立.。
§7.1 不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b<1⇔a <b (a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若ab>1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( √ )(5)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b .( √ )题组二 教材改编2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析a －b >0⇒a >b⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0D /⇒a －b >0.3．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________．答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题组三 易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c －bd >0 B.a c －b d <0 C.a d >b c D.a d <b c答案 D解析 ∵c <d <0，∴0<－d <－c ，又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ， 又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad.5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案 (－π，0)解析 由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.题型一 比较两个数(式)的大小1．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b答案 A解析 ∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴c ≥b >a .2．若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 B解析 方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 题型二 不等式的性质典例 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立．(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③ 答案 D解析 由不等式性质及a >b >1，知1a <1b，又c <0，∴c a >cb ，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是单调递减的， 又a >b >1，∴a c <b c ，②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 跟踪训练 若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④答案 C解析 方法一 因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误； 因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0， 所以④错误．综上所述，可排除A ，B ，D. 方法二 由1a <1b<0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |， 即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立 典例 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．故选A.方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A. 命题点2求代数式的取值范围典例已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.思维升华(1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．②在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．跟踪训练 (1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a －b >1bB ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n答案 C解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1) ⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C.(2)已知－1<x <y <3，则x －y 的取值范围是________．答案 (－4,0)解析 ∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4.又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0)．利用不等式变形求范围典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 错解展示：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，①2≤a ＋b ≤4. ② ①＋②得32≤a ≤3，②－①得12≤b ≤1.由此得4≤f (－2)＝4a －2b ≤11.所以f (－2)的取值范围是[4,11]．错误答案 [4,11]现场纠错解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， 得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5， 当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10.答案 [5,10]纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．1．(2018·济宁模拟)若a <0，ay >0，且x ＋y >0，则x 与y 之间的不等关系是( )A ．x ＝yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y答案 B解析 由a <0，ay >0，可知y <0，又由x ＋y >0，可知x >0，所以x >y .2．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )>g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 值的变化而变化答案 B解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，则f (x )>g (x )．3．若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( )A ．a －b >0B ．a 3＋b 3>0C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b <0答案 D解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |，当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．故选D.4．(2018·乐山调研)若6<a <10，a 2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是() A ．9≤c ≤18 B ．15<c <30C ．9≤c ≤30D ．9<c <30答案 D解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a 2，∴9<3a 2≤a ＋b ≤3a <30.5．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由(a －b )·a 2<0，可知a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ，可知a －b <0，当0＝a <b 时，推不出(a －b )·a 2<0，必要性不成立．6．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π)D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 7．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz 答案 B解析 令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3.A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14；B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.8．(2018·济南调研)若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A 解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A. 9．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__________________． 答案 a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．(填序号)答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．11．(2018·青岛调研)设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .12．已知－1<x ＋y <4,2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－32，232 解析 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232， ∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232.13．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( )A ．x >2且y >2B ．x <2且y <2C ．0<x <2且0<y <2D ．x >2且0<y <2答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0， 由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2. 14．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >b x这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2.符合题设条件x >y ，a >b .∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5.∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③不成立．∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b x，因此⑤不成立． 由不等式的性质可推出②④成立．15．(2018·江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4答案 A 解析 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧ n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及pq ≤2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4. 16．(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3) 答案 B解析 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a ≤3，1＋b a >c a ，1＋c a >b a ， ∴⎩⎨⎧ 1<b a ＋c a≤3，－1<c a －b a <1， 两式相加，得0<2×c a <4， ∴c a 的取值范围为(0,2)．。
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§7。
4 不等式的综合应用考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度不等式的综合应用综合运用不等式的性质、定理，与函数、导数、数列等内容相结合，解决与不等式有关的数学问题和实际问题Ⅲ2015浙江,6；2014浙江,16;2013山东，16选择题、填空题、解答题★★☆分析解读通过分析近几年的高考试题可以看出，高考对这一部分的考查是多方面的，不等式与函数、方程、导数、解析几何等知识都可以结合，是高考中的重中之重.不等式的实际应用问题仍是高考命题的一个热点.本节内容在高考中分值为5分左右，属于中档题.五年高考考点不等式的综合应用1。
（2015浙江，6,5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x，y,z,且x〈y〈z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2）分别为a，b，c,且a〈b〈c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ）A。
ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz答案 B2.（2013课标全国Ⅱ，12，5分)若存在正数x使2x(x—a）〈1成立,则a的取值范围是（）A。
(-∞,+∞)B。
§7.5不等式的综合应用考纲解读分析解读不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.五年高考考点不等式的综合应用1.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( )A. B.C.[-2,2]D.答案 A2.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,+-的最大值为( )A.0B.1C.D.3答案 B3.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]答案 D4.(2014福建,13,4分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元). 答案160教师用书专用(5—6)5.(2014辽宁,12,5分)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3]答案 C6.(2013湖南,20,13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.解析设点P的坐标为(x,y).(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|.因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立.又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立.d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点不等式的综合应用1.(2018四川南充一诊,7)若0<m<1,则( )A.log m(1+m)>log m(1-m)B.log m(1+m)>0C.1-m>(1+m)2D.(1-m>(1-m答案 D2.(2017湖南怀化一模,6)已知x>0,y>0,+=,x+2y>m2-2m恒成立,则m的取值范围是( )A.[-6,4]B.[-4,6]C.(-4,6)D.(-6,4)答案 C3.(2016广东实验中学第二次阶段考试,7)已知函数f(x)=若对任意的x∈R,不等式f(x)≤m2-m恒成立,则实数m的取值范围是( )A. B.∪[1,+∞)C.[1,+∞)D.答案 B4.(2018辽宁鞍山第一中学上学期第二次模拟考试(期中),15)函数y=log a(x+4)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则+的最小值为.答案5+25.(2018四川泸州第一中学第一次诊断性考试,15)已知函数f(x)=x,若f(x-1)>f(x),则x的取值范围是.答案6.(2017安徽“江淮十校”第一次联考,16)对任意实数x均有e2x-(a-3)e x+4-3a>0,则实数a的取值范围为.答案a≤B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:25分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018吉林东北师范大学附属中学高三上学期第一次摸底,12)已知函数f(x)=e x(x-b)(b∈R),若存在x∈,使得f(x)+xf '(x)>0,则实数b的取值范围是( )A. B.C. D.答案 A2.(2017山东烟台一模,10)已知f(x)=若不等式f(x-1)≥f(x)对一切x∈R恒成立,则实数a的最大值为( )A.-B.-1C.-D.1答案 B3.(2017安徽“江淮十校”第一次联考,12)设函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=2x,若对x∈[1,2],不等式af(x)+g(2x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[-1,+∞)B.[-2,+∞)C. D.答案 C4.(2017江西金溪一中等期中联考,12)已知函数f(x)=2x-5,g(x)=4x-x2,给出下列三个命题:p1:若x∈R,则f(x)f(-x)的最大值为16;p2:不等式f(x)<g(x)的解集为集合{x|-1<x<3}的真子集;p3:当a>0时,若∀x1,x2∈[a,a+2],f(x1)≥g(x2)恒成立,则a≥3.那么,这三个命题中所有的真命题是( )A.p1,p2,p3B.p2,p3C.p1,p2D.p1答案 A二、填空题(每小题5分,共15分)5.(2018四川成都第七中学一诊,16)设函数f(x)=,g(x)=,对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式≤恒成立,则正数k的取值范围是.答案k≥6.(2018广东广州华南师范大学附属中学高三综合测试(二),16)已知函数f(x)的定义域为R,若存在常数m>0,对任意x∈R,有|f(x)|≤m|x|,则称f(x)为F函数.给出下列函数:①f(x)=x2;②f(x)=sin x+cos x;③f(x)=;④f(x)是定义在R上的奇函数,且满足对一切实数x1,x2均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|.其中是F函数的序号为.答案③④7.(2017湖北重点高中联合协作体期中,16)如果函数f(x)在区间D上满足:∀a,b,c∈D,f(a),f(b),f(c)为一个三角形的三边长,则称f(x)为“区间D上的三角形函数”.已知函数f(x)=kx+2是“[1,4]上的三角形函数”,则实数k的取值范围是.答案C组2016—2018年模拟·方法题组方法不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题方法(2017吉林长春三模,12)∀x∈,23x≤log a x+1恒成立,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.答案 C。
课题：不等式的综合应用教学目标：掌握不等式的各类综合问题的处理方法.教学重点：建立不等式求参数的取值范围，利用不等式讨论函数的最值，利用不等式解决实际问题．（一）典例分析：问题1．设关于的不等式和的解集依次为、求使的实数的取值范围.问题2．已知函数在上为减函数，求实数的取值范围.问题3．若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.解关于的不等式：（）.问题4．已知正项数列中，对于一切均有≤成立.求证：数列中的任何一项都小于；探究与的大小，并加以证明.问题5．（北京春）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：.在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）若要求在该时段内车流量超过千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？（四）课后作业：数列的通项公式是，数列中最大的项是第项第项第项和第项第项和第项已知，且满足，则的最小值为若实数满足，则的最大值是设，，，则的取值范围是已知是大于的常数，则当时，函数的最小值为设，且，，求的范围函数在有意义，求的取值范围周长为的直角三角形面积的最大值为．设，且恒成立，则的最大值为（届高三桐庐中学月考）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为若不等式的解集为，求正实数的取值范围.(苏大附中模拟)对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是若对一切实数，不等式≥恒成立，求实数的取值范围.为何实数时，方程的两根都大于光线每通过一块玻璃板，其强度要减少，把几块这样的玻璃板重叠起来，能使通过它们的光线强度在原强度的以下．已知函数.求证：函数在上是增函数若在上恒成立，求实数的取值范围.若函数在上的值域是，求实数的取值范围.（届高三桐庐中学月考）已知若，求方程的解；若关于的方程在上有两个解，求的取值范围，并证明（届高三黄冈中学）已知关于的不等式的解集为空集，求实数的值或取值范围对于函数，当≤时，有≤.求证：≤，≤；求证：≤；求证：≤（五）走向高考：（重庆）设数列满足，，（，…）. 证明对一切正整数成立；令,判断的大小，并说明理由 .(全国)已知数列的前项和满足，≥.写出数列的前三项，，；求数列的通项公式；证明：对任意的整数，有 .（江苏）设数列的前项和为，已知，且，其中为常数.(Ⅰ)求与的值；(Ⅱ)证明：数列为等差数列；(Ⅲ)证明：不等式对任何正整数都成立.。
§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲考情考向分析1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元一次线性规划问题，并能加以解决.以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中低档.1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C ，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可断定Ax ＋By ＋C >0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x ，y 组成的一次不等式线性约束条件由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x ，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．知识拓展1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ )(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( × )(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)> 0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.( √ )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．( √ )(5)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(7)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( × )题组二 教材改编2．[P86T3]不等式组Error!表示的平面区域是( )答案 B解析 x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分．3．[P91T2]投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)答案 Error!解析 用表格列出各数据A B总数产品吨数x y资金200x300y 1 400场地200x100y900所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900.题组三 易错自纠4．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( )A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－3)答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.25．(2017·日照一模)已知变量x，y满足Error!则z＝()2x＋y的最大值为( ) 22A.B．2C．2 D．4答案 D解析 作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，令m ＝2x ＋y ，则当m 取得最大值时，z ＝()2x ＋y 取得最大值．由图知直线m ＝2x ＋y 经过2点A (1,2)时，m 取得最大值，所以z max ＝()2×1＋2＝4，故选D.26．已知x ，y 满足Error!若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案 －1解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题典例(2017·黄冈模拟)在平面直角坐标系中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C. D.1214答案 B解析 对于集合B ，令m ＝x ＋y ，n ＝x －y ，则x ＝，y ＝，由于(x ，y )∈A ，m ＋n2m －n2所以Error!即Error!因此平面区域B 的面积即为不等式组Error!所对应的平面区域(阴影部分)的面积，画出图形可知，该平面区域的面积为2×＝1，故选B.(12×1×1)命题点2 含参数的平面区域问题典例 若不等式组Error!表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥B ．0<a ≤143C ．1≤a ≤ D ．0<a ≤1或a ≥4343答案 D解析 作出不等式Error!表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．故选D.思维升华(1)求平面区域的面积对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解．跟踪训练(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )答案 C解析 由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，可得Error!或Error!画出平面区域后，只有选项C符合题意．(2)已知约束条件Error!表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )A．1 B．－1 C．0 D．－2答案 A解析 由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只有可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直．①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求．②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求．题型二 求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值典例(2017·全国Ⅱ)设x，y满足约束条件Error!则z＝2x＋y的最小值是( )A．－15 B．－9 C．1 D．9答案 A解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平移该直线知，当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z有最小值，且z min＝2×(－6)－3＝－15.故选A.命题点2 求非线性目标函数的最值典例(2016·山东)若变量x，y满足Error!则x2＋y2的最大值是( )A．4 B．9 C．10 D．12答案 C解析 满足条件Error!的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取得最大值，最大值为10.故选C.命题点3 求参数值或取值范围典例(2018届广雅中学、东华中学等联考)已知实数x，y满足Error!若z＝x－my(m>0)的最大值为4，则z＝x－my(m>0)的最小值为________．答案 －6解析 作出可行域如图阴影部分所示．目标函数化简得y ＝x －，1m zm 因为m >0，故只可能在A ，B 处取最大值．联立Error!解得B (－2，－2)，联立Error!解得C (0,2)，联立Error!解得A (2,0)，若目标函数z ＝x －my (m >0)过点A ，z ＝2不符合题意，所以过点B 时取得最大值，此时4＝－2＋2m ，解得m ＝3，z ＝x －my (m >0)过点C 时，z min ＝－6.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有①表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；x 2＋y 2(x －a )2＋(y －b )2②表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．yx y －bx －a (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．跟踪训练 (1)已知实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝的取值范围为( )y －3x －2A. B.(－∞，－12](－∞，－13]C. D.[－12，－13][－13，＋∞)答案 B解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝表示点D (2,3)与平面区域内的点(x ，y )之间连线的斜率．因为点D (2,3)与点B (8,1)连y －3x －2线的斜率为－且C 的坐标为(2，－2)，故由图知，z ＝的取值范围为，故选13y －3x －2(－∞，－13]B.(2)已知x ，y 满足约束条件Error!若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3 B ．2C ．－2 D ．－3答案 B解析 根据已知条件，画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ，直线的斜率k ＝－a .当0<k ≤1，即－1≤a <0时，无选项满足此范围；当k >1，即a <－1时，由图形可知此时最优解为点(0,0)，此时z ＝0，不合题意；当－1≤k <0，即0<a ≤1时，无选项满足此范围；当k <－1，即a >1时，由图形可知此时最优解为点(2,0)，此时z ＝2a ＋0＝4，得a ＝2.题型三 线性规划的实际应用问题典例 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为Error!整理得Error!目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图阴影部分所示，作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，由Error!得Error!∴最优解为A(50,50)，此时ωmax＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．思维升华解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反馈．跟踪训练(2016·全国Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．答案 216 000解析 设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为Error!目标函数z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max＝2100×60＋900×100＝216 000(元)．线性规划问题考点分析线性规划是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有三类：①目标函数是线性的；②目标函数是非线性的；③已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题．典例若实数x，y满足约束条件Error!则z＝2x＋y的取值范围是( )A．[3,4]B．[3,12]C．[3,9]D．[4,9]解析 画出Error!表示的可行域(如图阴影部分所示)，由Error!得A(1,1)，由Error!得B(3,3)，平移直线y＝－2x＋z，当直线经过A，B时分别取得最小值3，最大值9，故z＝2x＋y的取值范围是[3,9]，故选C.答案 C1．下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是( )A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!答案 C解析 将原点坐标(0,0)代入2x －y ＋2，得2>0，于是2x －y ＋2≥0所表示的平面区域在直线2x －y ＋2＝0的右下方，结合所给图形可知C 正确．2．(2018届贵州黔东南州联考)已知实数x ，y 满足Error!则z ＝3x －4y ＋3的取值范围是( )A. B.[43，13)(43，13]C.D ．(3,13)[43，3)答案 A解析 画出不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y ＋3，得y ＝x ＋，343－z4平移直线y ＝x ，当经过点A (2，－1)，B 时，z 的取值为13，，所以z ∈，故选34(13，23)43[43，13)A.3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组Error!表示的平面区域的公共点有( )A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个答案 B解析 由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分所示．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－，即直线2x ＋y －10＝0与平43面区域仅有一个公共点A (5,0)．4．若不等式组Error!表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m 的值为( )43A ．－3 B ．1 C. D ．343答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝，2m ＋23C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝×(2＋2m )×(1＋m )－×(2＋2m )×＝＝，12122m ＋23(m ＋1)2343∴m ＝1或m ＝－3，又∵当m ＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m ＝1.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元 B ．2 400元C ．2 800元 D ．3 100元答案 C解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x ，y 满足的约束条件为Error!设获利z 元，则z ＝300x ＋400y .画出可行域如图阴影部分．画出直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过点M 时，目标函数取得最大值．由Error!解得Error! 即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.6．已知实数x ，y 满足约束条件Error!则ω＝的最小值是( )y ＋1x A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，ω＝的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当y ＋1x P 位于点D (1，0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝的最小值为＝1.故选D.y ＋1x －1－00－17．(2017·开封一模)若x ，y 满足约束条件Error!且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2] B ．(－4,2)C ．[－4,1] D ．(－4,1)答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－，从图中可看出，当－1<－<2，即－4<a <2时，仅在点a 2a2(1,0)处取得最小值，故选B.8．(2017·河北“五个一名校联盟”质检)已知点P 的坐标(x ，y )满足Error!过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是________．答案 4解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离d 最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1,3)，则d ＝＝，12＋3210此时|AB |min ＝2＝4.14－109．(2017·全国Ⅲ)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x －4y 的最小值为________．答案 －1解析 不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y ，得y ＝x －z .3414平移直线y ＝x ，易知经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值．34由Error!得Error!∴A (1,1)．∴z min ＝3－4＝－1.10．(2018·广州模拟)若满足不等式组Error! 的点(x ，y )组成的图形的面积是5，则实数a 的值为________．答案 3解析 不等式组化为Error!或Error!画出平面区域如图所示，平面区域为△ABC ，△ADE ，A (1,2)，B (a ，a ＋1)，C (a,3－a )，面积为S ＝(2a －2)(a －1)＋×2×1＝5，1212解得a ＝3或a ＝－1(舍去)．11．(2017·衡水中学月考)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件Error!则实数m 的最大值为____________．答案 1解析 约束条件Error! 表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组Error!得A 点坐标为(1,2)．∴m 的最大值为1.12．已知x ，y 满足不等式组Error!则z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为________．答案 2解析 画出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分所示)，目标函数z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2＝(x ＋1)2＋(y －1)2表示可行域内一点到点A (－1,1)的距离的平方，根据图象可以看出，点A (－1,1)到可行域内一点距离的最小值为点A (－1,1)到直线x －y ＝0的距离d ＝＝，则d 2＝2，则z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为2.|－1－1|2213．(2017·石家庄二模)在平面直角坐标系中，不等式组Error!(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝的最小值为( )x ＋y＋1x ＋3A ．－1 B ．－52＋17C. D ．－1375答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由题意，知πr 2＝π，解得r ＝2.14z ＝＝1＋，易知表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3,2)的连线的斜率，由图x ＋y ＋1x ＋3y －2x ＋3y －2x ＋3可知，当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有＝2，解得k ＝－或k ＝0(舍)，所以|3k ＋2|k 2＋1125z min ＝1－＝－，故选D.1257514．(2018届衡水联考)已知x ，y 满足约束条件Error!其中t >，若sin(x ＋y )的最大值与最小π2值分别为1，，则实数t 的取值范围为________．12答案 [5π6，7π6]解析 作出可行域如图阴影部分所示，设z ＝x ＋y ，作出直线l ：x ＋y ＝z ，当直线l 过点B 时，z 取得最小值；当直线l 过点(π6，0)π6A 时，z 取得最大值t －.即≤x ＋y ≤t －，当x ＋y ＝时，sin(x ＋y )＝1.(π6，t －π2)π3π6π3π2当x ＋y ＝或时，sin(x ＋y )＝.π65π612所以≤t －≤，解得≤t ≤.π2π35π65π67π615．(2018届江苏常州名校联考)已知f (m )＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0,1]时，f (m )≤1恒成立，则a ＋b 的最大值是________．答案 73解析 f (m )＝(3m －1)a ＋b －2m ＝(3a －2)m －a ＋b ，∵当m ∈[0,1]时，f (m )≤1恒成立，∴Error!即Error!画出不等式组表示的可行域如图阴影部分，由Error!解得Error!所以点A 的坐标为.(23，53)令z ＝a ＋b ，则b ＝－a ＋z ，由图可知，当直线b ＝－a ＋z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，即z 有最大值，且z max ＝＋＝，即a ＋b 的最大值是.2353737316．(2017·湖北七市联考)已知实数x ，y 满足Error!则的最小值为________．yx 答案 13解析 不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，表示可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，设k ＝，由可行域可知，k 取得最小值时曲线yx yx y ＝x 4＋与直线y ＝kx 相切，设此时切点为P (x 0，y 0)，11214由y ＝x 4＋，可得y ′＝x 3，所以切线方程为y －y 0＝x (x －x 0)，又y 0＝x ＋，所以112141313301124014切线方程可化为y ＝x x －x ＋x ＋，即y ＝x x －x ＋，又该切线过原点O (0,0)，1330134011240141330144014所以x ＝1，40所以x 0＝1，切线的斜率为x ＝，则min ＝.133013(y x )13。
第44讲 不等式的综合应用【考点解读】⑴ 不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．⑵ 解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决【知识扫描】1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题．【考计点拔】牛刀小试：1．若集合{x |3a sin x －2a +1=0, x ∈R}=φ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{0}B ．（－1，51）C ．（－∞，－1）∪（51，+∞） D ．（－51，1） 2．θ是第一象限角，那么恒有（ ）A ．02sin>θB ． 12tan<θC ． 2cos 2sinθθ> D ．2cos 2sin θθ< 3．设a,b ∈R +，则下列不等式中一定不成立的是 （ ）A ． 221>++abb a B ．411)((>++ba b aC ．22ab abb a >+D ．ab ba ab>+2 4．设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=R x x x xB ,03,则A ∩B= （ ）A ．]2,3(--B ． ]25,0[]2,3(⋃--C ．),25[]3,(+∞⋃--∞D ． ),25[)3,(+∞⋃--∞5．已知函数1/1|,lg |)(>>>=b a c x x f 若，则（ ）A ．)()()(c f b f a f >>B ．)()()(b f a f c f >>C ．)()()(a f b f c f >>D ．)()()(c f a f b f >>参考答案：B B D D B【典例解析】考点一：应用不等式求变量的范围例1.若关于x 的方程4x ＋a·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围. 解:令t ＝2x (t ＞0)，则原方程化为t 2＋at ＋a ＋1＝0，变形得]212)1[(112-+++-=++-=t t t t a 222)222(-=--≤【变式训练1】：已知方程sin 2x －4sinx ＋1－a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[－3，6] B ．[－2，6] C ．[－3，2] D ．[－2，2] 解:B考点二：应用不等式解应用题例2. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝abk，其中k ＞0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60(a ＞0，b ＞0)， 得b ＝aa+-230(0＜a ＜30) ① 于是 y ＝ab k＝aa a k +-230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =当a ＋2＝264+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a ＝6，a ＝－10(舍去). 将a ＝6代入①式得b ＝3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大. 由题设知 4b ＋2ab ＋2a ＝60(a ＞0，b ＞0)， 即 a ＋2b ＋ab ＝30(a ＞0，b ＞0). 因为 a ＋2b ≥2ab 2，所以 ab 22+ab ≤30，当且仅当a ＝2b 时，上式取等号. 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18.即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2＝18.解得b ＝3，a ＝6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．【变式训练2】：一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v 千米/小时，两车的距离不能小于(10v )2千米，运完这批物资至少需要（ ）A ．10小时B ．11小时C ．12小时D ．13小时 解:C考点三：结合二次函数、应用不等式解决有关问题例3. 已知二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c ，其中a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0. （1） 求证：此函数的图象与x 轴交于相异的两个点.（2） 设函数图象截x 轴所得线段的长为l ，求证：3＜l ＜23. 证明:(1)由a ＋b ＋c ＝0得b ＝－(a ＋c). Δ＝(2b)2－4ac ＝4(a ＋c)2－4ac ＝4(a 2＋ac ＋c 2)＝4[(a ＋2c )2＋43c 2]＞0. 故此函数图象与x 轴交于相异的两点.(2)∵a ＋b ＋c ＝0且a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0. 由a ＞b 得a ＞－(a ＋c)，∴ac＞－2. 由b ＞c 得－(a+c)＞c ，∴ac＜－21.∴－2＜a c＜－21. l ＝|x 1－x 2|＝32142++）（a c .由二次函数的性质知l ∈(3，23)【变式训练3】：设函数f(x)＝x 2＋2bx ＋c (c ＜b ＜1)，f(1)＝0，且方程f(x)＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c≤－1且b≥0；(2)若m 是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m －4)的正负，并加以证明． 证明:(1)210210)1(+-=⇒=++⇒=c b c b f 又c ＜b ＜1，故313121-<<-⇒<+-<c c c 又方程f(x)＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根．故△＝4b 2－4(c －1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1由1313313-≤<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-<<-c c c c 或由021≥+-=b c b 知 (2))()1(2)(22c x c x c x c bx x x f -=++-=++=x()1f(m)＝－1＜0∴c＜m＜1c－4＜m－4＜－3＜c∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)＞0 ∴f(m－4)的符号为正．。
§7.4 基本不等式及其应用考情考向分析 理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档．1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )． (2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ； 不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．[P101练习T3]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________． 答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．[P101练习T4]若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的________条件．答案 充要解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件．5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0， 当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．∴函数的最小值为0.6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是________． 答案 5解析 由3x ＋y ＝5xy ， 得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．命题点2 通过常数代换法利用基本不等式典例 若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案 4解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值． 跟踪训练 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )min ＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. (2)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________． 答案 8解析 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8， 当且仅当x ＝2y 时等号成立． 题型二 基本不等式的实际应用典例 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250 ＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元； 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－210 000＝1 000(万元)， 当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1 000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 跟踪训练 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元． 因为3 600x＋4x ≥23 600x·4x ＝240， 当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是________．答案 9解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为 x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当4c b ＝bc 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即当b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9.(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是________． 答案 92解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2，∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92.命题点2 求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为________．答案 12解析 由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab＋6≥29＋6＝12 ⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立，∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173， ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是________．答案 1解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1.(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________． 答案 32解析 由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． 因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6.所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝32. 当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立，又m ＋n ＝6，解得m ＝2，n ＝4，符合题意．故1m ＋4n 的最小值为32.利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的值域为________．现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2 (－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)． 答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的________条件．答案 充分不必要解析 由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立．2．下列不等式一定成立的是________．(填序号) ①lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)； ②sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )；③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )； ④1x 2＋1>1(x ∈R )． 答案 ③解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)， 当且仅当x ＝12时，等号成立；故①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确． 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________． 答案 92解析 依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b ) ＝12⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2b a ·4a b ＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号， 即1a ＋4b 的最小值是92. 4．(2017·苏北四市期末)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为__________．答案 8解析 方法一 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x－3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8. 方法二 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x－6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8. 5．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________． 答案 2 2解析 由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧ 1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.6．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析 因为对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立， 所以对任意x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝⎛⎭⎫x x 2＋3x ＋1max ， 而对任意x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，∴a ≥15. 7．已知a >b >0，且ab ＝1，那么a 2＋b 2a －b取最小值时，b ＝________. 答案 6－22解析 a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b ≥22，当且仅当a －b ＝2时取等号，所以1b －b ＝2，解得b ＝6－22⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－6－22. 8．已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y的最小值为________． 答案 92解析 ∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2， ∴1x ＋1＋2y ＝12[(x ＋1)＋2y ]⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋2y ＝52＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y x ＋1＋2(x ＋1)y ≥52＋12×22y x ＋1·2(x ＋1)y ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2y x ＋1＝2(x ＋1)y ，x ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧ x ＝－13，y ＝23时取等号，故1x ＋1＋2y 的最小值为92. 9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知，4≤x 2＋4y 2≤12.10．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．答案 2 20解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)， ∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？解 (1)由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3,所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y (x >3，y >3)．(2)方法一 S ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568， 当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1 800x＝45， 所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值．方法二 设S ＝f (x )＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x (x >3)， 则f ′(x )＝4 800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝40，当0<x <40时，f ′(x )>0；当x >40时，f ′(x )<0.所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45.13．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为________． 答案 6解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a>0， ∴b >1，a >1，则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝2 9ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9b －1的最小值为6. 14．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________． 答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，可得－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝n m ＋4m n＋4≥24＋4＝8 ⎝⎛⎭⎫当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立.15．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值是________．答案 1解析 xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 16．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 答案 27解析 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1. 又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15. 因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15 ≥2 6(a －1)×6a －1＋15＝27， 当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.。
