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高考数学大一轮复习 10.2排列与组合课件 理

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高考一轮总复习 数学 第10章 第2讲 排列与组合

高考一轮总复习 数学 第10章 第2讲 排列与组合
解析 根据排列数定义，由题意得 A420＝1560，故全班共写了 1560 条毕业留言．
5．[2016·永州模拟]两男两女共 4 个学生站成一排照相，两个女生必须相邻的站法有__1_2_____种．(用数 字作答)
解析 根据题意，分两步进行，先将 2 名女生排在一起看成一个元素，考虑其顺序有 A22种情况，再与 2 名男生全排列有 A33种情况，则不同的排列方法有 A33A22＝12 种．
第10章 计数原理、概率、随机变量及分布列
第2讲 排列与组合
1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.能解决简单的实际问题.
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 1 排列与排列数
1．排列 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
①A 中 2 人，B 中 1 人，C 中 2 人，有 C24＝6 种分法； ②A 中 1 人，B 中 2 人，C 中 2 人，有 C24C12＝12 种分法； ③A 中 2 人，B 中 2 人，C 中 1 人，有 C24C12＝12 种分法， 即甲被分到 B 宿舍的分法有 30 种，同样甲被分到 C 宿舍的分法也有 30 种，所以甲不到 A 宿舍一共有 60 种分法．
板块二 典例探究·考向突破
点击观看 考点视频
考向 排列问题
例 1 [2015·四川高考]用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有( )
A．144 个
B．120 个
C．96 个
D．72 个
[解析] 当五位数的万位为 4 时，个位可以是 0,2，此时满足条件的偶数共有 C12A43＝48(个)；当五位数 的万位为 5 时，个位可以是 0,2,4，此时满足条件的偶数共有 C13A43＝72(个)，所以比 40000 大的偶数共有 48 ＋72＝120(个)，选 B.

人教a版高考数学(理)一轮课件：10.2排列与组合

人教a版高考数学(理)一轮课件：10.2排列与组合
������!
������ 写出C������ .
������!(������-������)!
3. 常用的几个恒等式
������ ������ ������ ������ ������+1 (1) C������ + C������ +1+ C������ +2+„+ C������ +������= C������ +������+1; ������-1
2 重复数字的三位数中奇数的个数为C3 × 4=, 3, 5 中任选两个所组成的无重复数字的三位
2 数中奇数的个数为C3 × 2=6.
故满足条件的奇数的总个数为 12+6=18.
5. 2012年上海春季高考有 8 所高校招生, 如果某 3 位同学恰好被其中 2所高 校录取, 那么录取方法的种数为 . 【答案】168
0!=1 , 所以
0 C������ =1. ������ -������ ������ (4) 组合数的性质: ①C������ = C������ ������ -1 ������ ������ ; ②C������ +1=C������ + C������
.
(1 ) 要搞清组合与排列的区别与联系: 组合与顺序无关, 排列与顺序有关; 排列可以分成先选取( 组合) 后排列两个步骤进行. (2)组合数公式有两种形式: ①乘积形式; ②阶乘形式. 前者多用于数字 计算, 后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算. 注意公式的逆用. 即 由
������ 个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数, 用符号C������ 表示 .
������ A ������! ������ ������ ������(������-1)(������ -2)„(������-������+1) (3) 组合数公式: C������ = ������= = , 由于 A������ ������! ������!(������-������)!

高考数学一轮总复习 10.2 排列与组合精品课件 理 新人教版

高考数学一轮总复习 10.2 排列与组合精品课件 理 新人教版
2.有些复杂问题用直接法不好解决,往往选用间接法;
3.均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题
型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序
分组要除以均匀组数的阶乘数;还要考虑到是否与顺序有关,有序分组要在
无序分组的基础上乘分组数的阶乘数.
考点(kǎo diǎn)一
后面的每一个因数都比前面一个少 1,最后一个是 n-m+1,共
m 个连续
正整数相乘.当 m,n 较小时,可利用该公式计数;排列数公式还可表示成
A
=
!
(-)!
,它主要有两个作用:一是当 m,n 较大时,可利用计算器计算阶
乘数,二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时,写出这种形式更便于
发现它们之间的规律.
A2
答案
(dá àn)
答案
第十一页，共25页。
探究
(tànjiū)
突破
方法提炼
对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进
行排列,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”;
对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的元素插入空
当,这种方法称为“插空法”;对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法
若甲排在排尾共有A11 A33 =6 种排法.
(3)甲一定在乙的右端(可以不相邻).
若甲既不在排头也不在排尾共有A12 A12 A22 =8 种排法,由分类计数原理知满
足条件的排法共有A11 A33 + A12 A12 A22 =14(种).
②也可间接计算:A44 -2A33 + A22 =14(种).
梳理(shūlǐ)

高考数学(理)一轮复习精选课件：第10章 第2节 排列与

高考数学(理)一轮复习精选课件：第10章 第2节 排列与
4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片 排成一行，如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，则不同的 排法共有______种(用数字作答)．
【解析】取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10，
共有三种情况：1144,2233,1234.所取卡片是 1144 的共有 A 44种排法． 所取卡片是 2233 的共有 A 44种排法．所取卡片是 1234，则其中卡片 颜色可为无红色，1 张红色，2 张红色，3 张红色，全是红色，共有 A44＋C14A44＋C24A44＋C34A44＋A44＝16A 44种排法， 所以共有 18A44＝18×4×3×2×1＝432 种排法．
3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为( )
A．360
B．288
C．216中有且只有两位女生相邻， 则有 C23·A22·A33·A 24种排法，再从中排除甲站两端的排法，
所以所求排法种数为 C23·A22·A33·A24－2C23·A22·A22·A23＝ 6×(6×12－24)＝288.
(4)多元问题分类法． 将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出， 然后根据分类计数原理求出排列总数．
高频考点全通关——排列与组合的综合应用 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
1. 8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法
种数为( )
A．A88A29
B．A88C29
C．A88A27
【命题角度】
高考对排列与组合综合应用题的考查主要有以下几个命题角度： (1)相邻问题； (2)相间问题； (3)特殊元素(位置)问题； (4)多元问题等．
高频考点全通关——排列与组合的综合应用

新高考2023版高考数学一轮总复习第10章第2讲排列与组合课件

新高考2023版高考数学一轮总复习第10章第2讲排列与组合课件

知识点二 组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从n个__不__同____元素中取出m(m≤n)个元素 __作__为__一__组____，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2) 组 合 数 的 定 义 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 的 __所__有__不__同__组__合____的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合 数，用符号___C_mn___表示．
[引申]本例中7人排一排，(1)甲站中间的站法有__7_2_0___种；(2)甲、 乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有__9_6_0___种；(3)甲、乙相邻且都与 丙不相邻的站法有__9_6_0___种．
[解析] (1)A36A33＝720；或 A66＝720 (2)A22A14A55＝960； (3)A22A44A25＝960.
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．
( ×)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．
( ×)
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． ( √ )
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.
( √)
(5)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立． (6)kCkn＝nCnk－－11.
A．12
B．24
C．36
D．48
[解析] (1)①从 7 个人中选 5 个人来排，是排列， 有 A57 ＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． ②分两步完成，先选 3 人排在前排，有 A37种方法，余下 4 人排在后 排，有 A44种方法，故共有 A37·A44＝5 040(种)．事实上，本小题即为 7 人排 成一排的全排列，无任何限制条件． ③优先法：解法一：(元素分析法)甲为特殊元素．先排甲，有 5 种方 法；其余 6 人有 A66种方法，故共有 5×A66＝3 600 种．

高考数学一轮总复习 10.2排列与组合课件

高考数学一轮总复习 10.2排列与组合课件

精选ppt
19
问题 3 排列、组合应用题有哪些常见类型？ (1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组 合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空 处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集 团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价 条件．
精选ppt
8
3．组合数公式为
Amn nn－1n－2…n－m＋1
Cmn ＝ Amm ＝
m！ n！
，这里 n，m∈ N* ，
并且 m≤n，还可以写成 Cmn ＝ m！n－m！ ，规定：C0n＝ 1 .
4．组合数的两个性质
①Cmn ＝ Cnn－m . ②Cmn＋1＝ Cmn ＋Cmn －1 .
精选ppt
9
对点自测
知识点一 排列
1.不等式 Ax8<6×Ax8－2的解集为( )
A．[2,8]
B．[2,6]
C．(7,12)
D．{8}
精选ppt
10
解析 8－8！x！<6×108－！x！， ∴x2－19x＋84<0，解得 7<x<12. 又 x≤8，x－2≥0，∴7<x≤8，x∈N*，即 x＝8.
答案 D
答案 7 或 9
精选ppt
14
5．“2 012”含有数字 0,1,2，且有两个数字 2，则含有数字 0,1,2， 且有两个相同数字的四位数的个数为( )
A．18 B．24 C．27 D．36
精选ppt
15
解析 依题意，就所含的两个相同数字是否为 0 进行分类计 数：第一类，所含的两个相同数字是 0，则满足题意的四位数的个 数为 C32A22＝6；第二类，所含的两个相同数字不是 0，则满足题意 的四位数的个数为 C21·C13·C13＝18.由分类加法计数原理得，满足题 意的四位数的个数为 6＋18＝24，故选 B.

高三数学(理)一轮复习课件：第10章 第2节排列与组合

[答案] B
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
创新大课堂
考点自主回扣
考向互动探究
考能感悟提升
课时活页作业
4．(2015·广东高考)某高三毕业班有 40 人，同学之间两两 彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕 业留言．(用数字作答)
[解析] 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A240＝40×39＝1 560 条毕业留言，故应填入 1 560.
创新大课堂
考点自主回扣
考向互动探究
考能感悟提升
课时活页作业
[解] (1)从 7 人中选 5 人排列，有 A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A37种方法，余下 4 人站后排，有 A44种方法，共有 A37·A44＝5 040(种)．
(3)法一 (特殊元素优先法)先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A66种排列方法，共有 5×A66＝3 600(种)．
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
创新大课堂
考点自主回扣
考向互动探究
考能感悟提升
课时活页作业
考点三 分组分配问题(高频型考点——全面发掘) [考情聚焦]
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问 题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有 整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只 要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．常见的命题 角度有：
(1)整体均分问题；(2)部分均分问题；(3)不等分问题．
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[答案] 1 560
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：排列与组合


跟踪训练1 (1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在 21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件， 宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负 责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也 不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有
(1)0！＝ 1 ；Ann＝__n_！__. 性质 (2)Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝_C_mn_＋__C__mn _－_1
常用结论
1.排列数、组合数常用公式 (1)Amn ＝(n－m＋1)Amn －1. (2)Amn ＝nAmn－－11. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kCkn＝nCkn－－11. (5)Cmn ＋Cmn－1＋…＋Cmm＋1＋Cmm＝Cmn＋＋11.
教材改编题
3.将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至 少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有__3_6__种.
第一步，先从 4 名学生中任取两人组成一组，与剩下 2 人分成三组， 有 C24＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三 地，则有 A33＝6(种)不同的方法.故共有 6×6＝36(种)不同的安排方案.
常用结论
2.解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理.
常用结论
(7)分排问题直排处理. (8)“小集团”排列问题先整体后局部. (9)构造模型. (10)正难则反，等价转化.
方法一 从特殊位置入手(直接法) 分三步完成，第一步先填个位，有 A13种填法，第二步再填十万位，有 A14种填法，第三步填其他位，有 A44种填法，故无重复数字的六位奇数 共有 A13A14A44＝288(个).

高考数学(理)一轮课件：10.2排列与组合

������ 写出C������ .
������!(������-������)!
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3. 常用的几个恒等式
������ ������ ������ ������ ������+1 (1) C������ + C������ +1+ C������ +2+…+ C������ +������= C������ +������+1; ������-1
������! (������-������)!
, 这里规定 0!=1.
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2. 组合 (1) 组合的定义: 从 n个不同元素中取出 m (m ≤n ) 个元素并成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. (2) 组合数的定义: 从 n 个不同元素中取出 m (m ≤n) 个元素的所有组合的
2 【解析】 分步考虑: 从 8 所高校中选 2所 , 有C8 种选法 ; 依题意必有 2位同学被
2 1 同一所学校录取, 则有C3 C2种录取方法; 另一位同学被剩余的一所学校录取. 2 2 1 所以共有C8 ·C3 ·C2 =168 种录取方法.
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(3) 排列数公式: A������ n-1 ) ( n-2)…(n-m +1 ), 其中 n , m ∈N , 并且 m ≤n. ������ =n (
*
(4) 全排列: n 个不同元素全部取出的一个排列, 叫做 n 个不同元素的一个 全排列, A������ n-1 ) ·( n-2)·…·2·1=n!. 排列数公式写成阶乘的形式为 ������ =n ·( A������ ������ =
2 重复数字的三位数中奇数的个数为C3 × 4=12;

高考数学一轮复习 10-2 排列与组合课件 理 新人教A版


(4)插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有
A33A44＝144(种)．
(5) 插 空 法 ． 先 排 女 生 ， 然 后 在 空 位 中 插 入 男 生 ， 共 有
A
4 4
A
3 5
＝
1
440(种)．
(6)定序排列．第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数
为 N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为 7 个人的全排列，因此
答案：B
排列应用题(师生共研)
例1 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方 法总数：
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，男生不能排在一起； (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (7)排成前后两排，前排3人，后排4人； (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
解析 (1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素，故 先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有 A13种，其余 6 人全排 列，有 A66种．
由分步乘法计数原理得 A13A66＝2 160(种)． (2)位置分析法(特殊位置优先安排)，先排最左边，除去甲外，有 A16种， 余下的 6 个位置全排有 A66种，但应剔除乙在最右边的排法数 A15A55种． 则符合条件的排法共有 A16A66－A51A55＝3 720(种)． (3)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行 全排列，共有 A33A55＝720(种)．
定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以
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13
4．如图 M，N，P，Q 为海上四个小岛，现要建造三座 桥，将这四个小岛连接起来，则共有________种不同的建桥 方法．
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解析：M，N，P，Q 两两之间共有 6 条线段(桥抽象为 线段)，任取 3 条有 C36＝20 种方法，其中不合题意的有 4 种 方法．则共有 20－4＝16 种不同的建桥方法．
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3．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某 次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方 案有________种．
解析：①有 1 名女生：C12C34＝8. ②有 2 名女生：C22C24＝6. ∴不同的选派方案有 8＋6＝14(种)． 答案：14
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必考部分
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1
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
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2
第二节 排列与组合
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3
主干知识·整合 热点命题·突破
课堂实效·检测 课时作业
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4
主干知识·整合 01
要点梳理 追根求源
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5
排列
1．排列的定义：从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个 元素，按照一定的 顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列．
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3．破解排列、组合问题的十种方法与技巧 (1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排 列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不 相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题 直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造 模型；(10)正难则反，等价条件．
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11
排列与组合有何异同点？ 提示：排列与组合问题的共同点：都是“从 n 个不同元 素中取出 m 个元素”；不同点：前者与元素的顺序有关， 为“将取出的元素按照一定顺序排成一列”，后者与元素的 顺序无关，为“将取出的元素合成一组”． 因此我们可以得到：区分某一问题是排列问题还是组合 问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关．
数的个数为( )
A．8
B．24
C．48
D．120
解析：分两步： (1)先排个位有 A12种排法． (2)再排前三位有 A34种排法，故共有 A12A43＝48 种排法．
答案：C
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9
组合
1．组合的定义：从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个 元素 合成一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个组合．
2．排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个 元素的 所有不同排列 的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 Amn 表示．
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6
3．排列数公式：Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ． 4．全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，Ann＝n·(n－1n)！·(n－2)·…·2·1＝ n！.排列 数公式写成阶乘的形式为 Amn ＝ n－m，！这里规定 0！＝ 1 .
(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．
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20
【解】 (1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排列，有 A57＝2 520 种排法．
(2)前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A77＝5 040 种排法．
(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全 排列，有 A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列， 有 A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A22种排 法，根据分步乘法计数原理，共有 A33·A44·A22＝288 种排法．
答案：16
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15
1．排列问题与组合问题的识别方法： 识别方法
排 若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是 列 排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关 组 若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是 合 组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关
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16
2．组合数的性质中(2)的应用主要是两个方面，一个简 化运算，当 m>n2时，通常将计算 Cmn 转化为计算 Cnn－m.二是列 等式，由 Cxn＝Cyn可得 x＝y 或 x＋y＝n.性质(3)主要用于恒等 变形简化运算．
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7
1．若从 6 名志愿者中选出 4 名分别从事翻译、导游、
导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )
A．180 种
B．360 种 C．15 种
D．30
种
解析：从 6 名志愿者中选出 4 人进行全排列， 所以共有 A46＝360(种)选派方案．
答案：B
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8
2．用数字 1、2、3、4、5 组成的无重复数字题·突破 02
考点突破 解码命题
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19
排列问题
【例 1】 3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排 队，求不同的排队方案的方法种数：
(1)选其中 5 人排成一排；
(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起；
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(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题 时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用 特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条 件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定 序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方 法．
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(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有 A44种排法，男 生在 4 个女生隔成的 5 个空中安排共有 A35种排法，故共有 A44·A53＝1 440 种排法．
(5)先安排甲，从除去排头和排尾的 5 个位中安排甲，有 A15＝5 种排法；再安排其他人，有 A66＝720 种排法．所以共 有 A15·A66＝3 600 种排法．
2．组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个 元素的 所有不同组合 的个数，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的组合数，用 Cmn 表示．
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3
．
组
合
数
的
计
算
公
式
：
C
m n
＝
Amn Amm
＝
n！ m！n－m！
＝
nn－1n－m2！…n－m＋1，由于 0！＝ 1 ，所以 Cn0＝ 1 .