高考数学大一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用课件文新人教A版

1.一、二次函数模型问题的 2 个注意点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但 一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错． (2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待 定系数法． 2．指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在 求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型 是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、银 行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(1)求出 a，b 的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量 至少要多少个单位？
解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s， 此时耗氧量为 30 个单位，
故有 a＋blog33100＝0，即 a＋b＝0. 当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s， 故 a＋blog39100＝1，整理得 a＋2b＝1. 解方程组aa＋＋b2＝b＝0，1， 得ab＝＝－1. 1，
考点二 已知函数模型的实际问题
(1)某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一
批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量为 Q 件，则销售量 Q(单位：
件)与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛
利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( D )
A．30 元
B．60 元
某创业团队拟生产 A，B 两种产品，根据市场预测，A 产品 的利润与投资额成正比(如图①)，B 产品的利润与投资额的算术平方根 成正比(如图②)．(注：利润与投资额的单位均为万元)
(1)分别将 A，B 两种产品的利润 f(x)，g(x)表示为关于投资额 x 的 函数．

即当x= 时,y取得最大值 ;
2.(必修1P107T4 改编)有一批材料可以建成200m 长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块 矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩 形(如图所示),则围成的矩形最大面积为________.(围 墙厚度不计)
【解析】设矩形的长为xm, 宽为 m,
则S=x·
= (-x2 +200x).
f(x)=ba x+c(a,b,c为常数 ,b≠0,a>0 指数函数模型
且a≠1)
对数函数模型 f(x)=blog ax+c(a,b,c为常数 ,b≠0, a>0 且a≠1)
幂函数模型 f(x)=ax n +b(a,b 为常数 ,a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数 性质
y=a x(a>1)
y=log ax(a>1)
随 x 的增大逐 渐表现为与 _x_轴__平行
随n 值变化 而各有不 同
值的比较 存在一个 x0 ,当x>x 0 时,有log ax<x n <a x
3.解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初 步选择数学模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转 化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.
(2)当x>0 时,x= 时取最小值2 , 当x<0 时,x=- 时取最大值-2 .
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P107T1 改编)在某种新型材料的研制中,实 验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个 函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接 近的一个是 ( )
x 1.95 y 0.97

A．10 元
B．20 元
C．30 元
D.430元
14
(2)将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时，能卖出 400 个。若该商品每个涨
价 1 元，其销售量就减少 20 个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个( )
A．115 元
B．105 元
C．95 元
D．85 元
解析：(1)设 A 种方式对应的函数解析式为 s＝k1t＋20， B 种方式对应的函数解析式为 s＝k2t， 当 t＝100 时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝15。 t＝150 时，150k2－150k1－20＝150×15－20＝10。 选 A。
越来越□5 _慢___
相对平稳
图象的变化
随 x 值增大，图象与 随 x 值增大，图象与□7 随 n 值变化而不
□6 _y___轴接近平行 __x__轴接近平行
同
5
2.几种常见的函数模型
(1)一次函数模型：y＝□8 _a_x_＋__b_，__a_≠__0___；
(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)；
8
2．抽气机每次抽出容器内空气的 60%，要使容器内剩下的空气少于原来的
0.1%，则至少要抽( )
(参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)
A．15 次
B．14 次
C．9 次
D．8 次
解析：依题意，先建立容器内剩余空气量 y 与抽气次数 x 的函数关系式，即 y＝ (1－0.6)x＝0.4x。要使容器内剩余空气少于原来的 0.1%，则有 y＜0.1%。即 0.4x＜0.001 ＝10－3，两边取常用对数，得 xlg0.4＜－3，即 x(2lg2－1)＜－3，解得 x＞7.5。又 x ∈N*，故 x＝8。

解析:将各点代入到各选项函数中,
1 2 比较发现函数 y= (x -1)最接近.故选 B. 2
3.(2013 泉州模拟)某厂日产手套总成本 y(元)与 手套日产量 x(副)的函数解析式为 y=5x+4000,而 手套出厂价格为每副 10 元,则该厂为了不亏本,日 产手套至少为( D ) (A)200 副 (B)400 副 (C)600 副 (D)800 副 解析:设日产手套至少 x 副,依题意, 10x≥5x+4000,解得 x≥800, 故选 D.
y y y 思维导引:(1)平均处理成本即 , 最低,即求 的最小值; x x x
(2)若要获利,需利润(100x-y)为正值,否则不能获利. 解:(1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为
1 80000 y 1 80000 = x+ -200≥2 -200=200, x x 2 x 2 x
2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实 验数据:
x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的 规律,其中最接近的一个是( (A)y=2x-2 B )
1 2 x (B)y= (x -1) (C)y=log3x (D)y=2 -2 2
1 2 1 2 =- x +300x-80000=- (x-300) -35000, 2 2
因为 400≤x≤600, 所以当 x=400 时,S 有最大值-40000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40000 元, 才能不亏损.
即时突破 1 为了发展电信事业方便用户,电信公司
对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如 意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通 话时间 x(分)与通话费 y(元)的关系如图所示.

必修(bìxiū)部分
第二章 函数(hánshù)、导数及其应用
第九节 函数模型(móxíng)及其应用
第一页，共33页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
第二页，共33页。
1
考情分析
第三页，共33页。
考点分布
考纲要求
第十三页，共33页。
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大 利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 答案：18
第三十页，共33页。
指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会 合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一 类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函 数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
第六页，共33页。
f(x)＝bax＋c 指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)

(3)因为 y=5x2+52(100-x)2=125x2-500x+25 000=125
������-
100 3
2
+
50
3000,所以当
x=1030时,ymin=50
3000.故核电站建在距
A
城100
3
km 处,
能使供电总费用 y 最少.
考点1
考点2
考点3
考点4
-12-
解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间是二次函数关系, 如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的 图象与单调性解决.
价为25万元,生产的产品全部卖出,则该工厂获得最大利润(利润=销售收入-
产品成本)时的产量是( )
A.70台
B.75台
C.80台
D.85台
关闭
B 答案
-7-
知识梳理
双基自测
自测点评
12345
4.(教材例题改编P123例2)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组 数据,如下表.则x,y最适合的函数模型是( )
-13-
考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练1某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润
与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其
关系如图②(注:利润和投资单位:万元).
C. ������������
D. (������ + 1)(������ + 1)-1
关闭
D 答案
-6-
知识梳理
双基自测
自测点评
12345
3.(教材例题改编P123例1)某工厂生产一种产品的总成本y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是y=0.1x2+10x+300(0<x≤240,x∈N).若每台产品的售

A
B
C
D
(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折 线BCDA向点A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积 为S，则函数S＝f(x)的图象是( D )
A
B
C
D
[解析] 依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x； 当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四 个选项知，故选D.
考点3 构建函数模型解决 实际问题
1.几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝xk＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函
f(x)＝ax2，a≠0)
指数函 数模型
对数函 数模型
幂函数 模型
f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0， a>0且a≠1) f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0， a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b为常数， a≠0)
[点石成金] 解决分段函数模型问题的三个注意点 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给 出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间 的关系，应构建分段函数模型求解； (2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、 不重不漏； (3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值的最大者(最小 者)．
角度三
构建“对勾”函数f(x)＝x＋ax(a>0)模型
[典题5] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房
屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20
年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每

年)．
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解析：(1)当 x＝1 时， y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当 x＝2 时， y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 当 x＝3 时， y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3； …… 故 y 关于 x 的函数解析式为 y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
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【教材导读】 1．函数模型应用常见的有哪三种情形？ 提示：(1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题．
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2．应用函数模型解决实际问题的一般步骤有哪些？ 提示：(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原．
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考点三 分段函数模型 据气象中心观察和预测：发生于沿海 M 地的台风一直
向正南方向移动，其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所 示，过线段 OC 上一点 T(t，0)作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即 t(h)内台风所经过的路程 s(km)．
(3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．
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考点二 指数函数、对数函数与幂函数模型 某县目前有 100 万人，经过 x 年后有 y 万人．如果年平
均增长率是 1.2%，请回答下列问题： (1)写出 y 关于 x 的函数解析式； (2)计算 10 年后该县的人口总数(精确到 0.1 万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到 120 万(精确到 1
第二篇 函数、导数及其应用 (必修1、选修1-2)
第 9 节 函数模型及其应用

(1)
(2)
图 2－9－3
(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A，B 两 种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企 业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
(3)设从今年开始，以后砍了 n 年， 则 n 年后剩余面积为 22a(1－x)n. 令 22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥ 42， 121n0≥1232，1n0≤32，解得 n≤15. 故今后最多还能砍伐 15 年．
考向三 [035] 分段函数模型的应用 (2014·杭州模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改 善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单 位：千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车 流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车 流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时．研究表 明：当 20≤x≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数．
(1)当 h＝1 时，求跳水曲线所在的抛物线方程； (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到比较好的训练 效果，求此时 h 的取值范围．
图 2－9－2 【思路点拨】 (1)利用顶点式求抛物线方程． (2)利用抛物线方程在区间[5,6]内有解，求h的取值范围．
【尝试解答】 由题意，最高点为(2＋h,4)(h≥1)． 设抛物线方程为 y＝a[x－(2＋h)]2＋4 (1)当 h＝1 时，最高点为(3,4)，方程为 y＝a(x－3)2＋4(*)． 将点 A(2,3)代入(*)式得 a＝－1. 即所求抛物线的方程为 y＝－x2＋6x－5. (2)将点 A(2,3)代入 y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得 ah2＝－1. 由题意，方程 a[x－(2＋h)]2＋4＝0 在区间[5,6]内有一解．

1234567
题组三 易错自纠 6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q， 则该市这两年生产总值的年平均增长率为____p_＋__1__q_＋__1__－__1__. 解析 设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)， ∴x＝ 1＋p1＋q－1.
1234567
f(x)＝
k x
＋b(k，b为常数且k≠0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 幂函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
思维升华
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结 合模型选图象. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势， 验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为
p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：
Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)
A.30元
B.60元
C.28 000元
√D.23 000元
解析 设毛利润为L(p)元，则由题意知
2.三种函数模型的性质
性质
函数
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)

规律方法 实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产 量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数 的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义 域.
【训练1】 (2014·武汉高三检测)某汽车销售公司在A，B两
地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位: 万
元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位: 万元)为
y2＝2x，其中x为销售量(单位: 辆)，若该公司在两地共
销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是
()
A．10.5万元
B．11万元
C．43万元
D．43.025万元
解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售 该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润 y＝4.1x－0.1x2＋2(16 －x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－221)2＋0.1×2412＋32.因为 x∈[0，16]且 x∈N，所以当 x＝10 或 11 时，总利润取得最大 值 43 万元．
答案 C
考点二 指数函数、对数函数模型
【例2】 (2014·青岛模拟)世界人口在过去40年翻了一番，
则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0，
100.007 5≈ 1.017)
()
A. 1.5%
B. 1.6%
解C.析1.7设% 每年人口D平. 均1.增8%长率为 x，则(1＋x)40＝2，两边取 以 10 为底的对数，则 40 lg(1＋x)＝lg 2，所以 lg(1＋x)＝l4g02 ≈0.007 5，所以 100.007 5＝1＋x，得 1＋x＝1.017，所以 x＝ 1.7%.
请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利 润，定价应为________元．