一次函数第1课时 一次函数的图象和性质1．下列函数关系式：①y＝－x ；②y＝2x －1；③y ＝x 2；④y＝1x.其中一次函数的个数是( C )A ．4B ．3C ．2D ．1 2．(2016·湘西)一次函数y ＝－2x ＋3的图象不经过的象限是( C )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(2015·西安)设正比例函数y ＝mx 的图象经过点A(m ，4)，且y 的值随x 值的增大而减小，则m 的值为( B ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－44．(2016·玉林)关于直线l ：y ＝kx ＋k (k≠0)，下列说法不正确的是( D ) A ．点(0，k)在l 上 B ．l 经过定点(－1，0)C ．当k ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．l 经过第一、二、三象限5．(2016·无锡)一次函数y ＝43x －b 与y ＝43x －1的图象之间的距离等于3，则b 的值为( D )A ．－2或4B ．2或－4C ．4或－6D ．－4或66．(2016·益阳)将正比例函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第四象限． 7．(2015·无锡)一次函数y ＝2x －6的图象与x 轴的交点坐标为(3，0)．8．已知点M(x 1，y 1)和点N(x 2，y 2)是一次函数y ＝－2x ＋1图象上的两点，若x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是y 1＞y 2．9．(2016·荆州)若点M(k －1，k ＋1)关于y 轴的对称点在第四象限内，则一次函数y ＝(k －1)x ＋k 的图象不经过第一象限．10．(2016·枣庄)如图，点A 的坐标为(－4，0)，直线y ＝3x ＋n 与坐标轴交于点B ，C ，连接AC ，若∠ACD＝90°，则n 的值为－311．(2016·厦门)已知一次函数y ＝kx ＋2，当x ＝－1时，y ＝1，求此函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出此函数图象．解：将x ＝－1，y ＝1代入一次函数解析式y ＝kx ＋2， 可得1＝－k ＋2.解得k ＝1.∴一次函数的解析式为y ＝x ＋2.当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝－2. ∴函数图象经过(0，2)，(－2，0)． 此函数图象如图所示．12．(2015·蒙城期末)已知正比例函数y ＝k 1x 的图象与一次函数y ＝k 2x －9的图象交于点P(3，－6)，求两函数的表达式及一次函数y ＝k 2x －9与x 轴的交点坐标．解：∵点P(3，－6)在y ＝k 1x 和y ＝k 2x －9上， ∴－6＝3k 1, －6＝3k 2－9.解得k 1＝－2，k 2＝1. ∴两函数的表达式分别为y ＝－2x ，y ＝x －9. ∵一次函数y ＝x －9与x 轴相交， 当y ＝0时，x ＝9，∴一次函数y ＝x －9与x 轴交点为(9，0)．13．如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点(1，2)，点(－1，6)，且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A. (1)求出这个一次函数的解析式；(2)求出一次函数图象与两坐标轴围成的图形的面积．解：(1)∵一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点(1，2)，点(－1，6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，－a ＋b ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.∴这个一次函数的解析式为y ＝－2x ＋4.(2)∵当x ＝0时，y ＝4，∴一次函数与y 轴交于点A(0，4)． ∵当y ＝0时，x ＝2，∴一次函数与x 轴交于点B(2，0)．∴一次函数图象与两坐标轴围成的图形的面积为 12×2×4＝4.14．点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是一次函数y ＝kx ＋2(k ＜0)图象上不同的两点，若t ＝(x 2－x 1)(y 2－y 1)，则( A ) A ．t ＜0 B ．t ＝0 C ．t ＞0 D ．t ≤015．(2016·合肥蜀山区一模)如图，一次函数y ＝－12x ＋3的图象上有两点A ，B ，A 点的横坐标为3，B 点的横坐标为a(0＜a ＜6且a≠3)，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足为点C ，D ，△AOC ，△BOD 的面积分别为S 1，S 2，则S 1，S 2的大小关系是( A )A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．无法确定提示：易知A(3，32)，则S 1＝12×32×3＝94，S 2＝12a×(－12a ＋3)＝－14(a －3)2＋94.又0＜a ＜6且a≠3，∴S 2＜94＝S 1，即S 1＞S 2.16．(2016·宁国一模)如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(2，0)，直线y ＝43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为4．17．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称为“理想点”．例如点(－2，－4)，(1，2)，(3，6)，…，都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．(1)若点M(2，a)是“理想点”，且在正比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)图象上，求这个正比例函数的表达式； (2)函数y ＝3mx －1(m 为常数，且m≠0)的图象上存在“理想点”吗？若存在，请用含m 的代数式表示出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵点M(2，a)是“理想点”， ∴a ＝4.∵点M(2，4)在正比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)图象上， ∴4＝2k.解得k ＝2.∴正比例函数的表达式为y ＝2x.(2)设正比例函数y ＝3mx －1(m 为常数，m ≠0)的图象上存在“理想点”(x，2x)，则有3mx －1＝2x ， 整理得(3m －2)x ＝1，当3m －2≠0，即m≠23时，解得x ＝13m －2.当3m －2＝0，即m ＝23时，无解．综上所述，当m≠23时，函数图象上存在“理想点”，为(13m －2，23m －2)；当m ＝23时，函数图象上不存在“理想点”．18．(2015·淮南期末)一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x≤1时，1≤y ≤9，则k ＋b ＝9或1．提示：分2种情况：①当k ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＝－3k ＋b ，9＝k ＋b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝7. ∴k＋b ＝9；②当k ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧9＝－3k ＋b ，1＝k ＋b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝3.∴k＋b ＝1.综上，k ＋b ＝9或1.。
考点强化练12 二次函数的图象及性质夯实基础1.(2018·某某某某)抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)2.(2018·某某)下列对二次函数y=x2-x的图象的描述,正确的是()A.开口向下B.对称轴是y轴C.经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的y=x2-x的二次项系数为a=1,开口向上,A选项错误;对称轴x=-b2b =12,B选项错误;原点(0,0)满足二次函数y=x2-x关系式,C选项正确;二次函数y=x2-x的二次项系数为a=1,开口向上,在对称轴右侧部分是上升的,D选项错误.故选C.3.(2018·某某某某)已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为()A.1或-2B.-√2或√2C.√2D.1y=a(x+1)2+3a2-a+3,对称轴为x=-1,当x≥2时,y随x的增大而增大,所以a>0,抛物线开口向上.因为-2≤x≤1时,y的最大值为9,结合对称轴及增减性可得,当x=1时,y=9,代入可得,a+2a+3a2+3=9,解得a1=1,a2=-2.又因为a>0,所以a=1.故选D.4.(2018·某某某某)如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是()a>0时,二次函数图象的对称轴在y轴的右侧,一次函数的图象上升,删去A、C;当a<0时,二次函数图象的对称轴在y轴的左侧,删去D.故选B.5.(2018·某某随州)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=1.直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,则下列结论:①2a+b+c>0;②a-b+c<0;③x(ax+b)≤a+b;④a<-1.其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个x=1,得-b=1,b=-2a,于是2a+b+c=2a-2a+c=c,而c>0,所以2a+b+c>0,故①2b正确;根据抛物线的轴对称性可知,x=-1和x=3时,对应的函数值相等,因为x=3时,函数值y<0,所以x=-1时,函数值y<0,即a-b+c<0,故②正确;因为x=1时,二次函数有最大值,所以ax2+bx+c≤a+b+c,即x(ax+b)≤a+b,故③正确;在y=ax2+bx+c中,令y=-x+c,得ax2+bx+c=-x+c,即ax 2+(b+1)x=0,因为a ≠0,解得x 1=0,x 2=-b +1b,所以根据D 点横坐标小于3,得-b +1b<3,再结合a<0,b=-2a ,有-b-1>3a ,2a-1>3a ,a<-1,故④正确.6.(2017·某某某某)当x=时,二次函数y=x 2-2x+6有最小值.y=x 2-2x+6=(x-1)2+5,∴当x=1时,y 最小值=5.7.(2018·某某某某)已知二次函数y=x 2-4x+k的图象的顶点在x 轴下方,则实数k 的取值X 围是. 4y=x 2-4x+k 的图象的顶点在x 轴下方,二次函数y=x 2-4x+k 的图象与x 轴有两个公共点.∴b 2-4ac>0,即(-4)2-4×1×k>0.解得k<4.8.(2017·某某)已知抛物线y=x 2-4x+3与x 轴相交于点A ,B (点A 在点B 左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M 平移后的对应点M'落在x 轴上,点B 平移后的对应点B'落在y 轴上.则平移后的抛物线解析式为. 2+2x+1y=0可得x 2-4x+3=0,解得x 1=1,x 2=3,可得A (1,0),B (3,0),根据抛物线顶点坐标公式可得M (2,-1),由M 平移后的对应点M'落在x 轴上,点B 平移后的对应点B'落在y 轴上,可知抛物线分别向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,根据抛物线平移规律,可知平移后的抛物线为y=(x+1)2=x 2+2x+1.9.(2018·某某模拟)下表给出了代数式-x 2+bx+c 与x 的一些对应值:(1)根据表格中的数据,确定b ,c ,n 的值;(2)设y=-x 2+bx+c ,直接写出当0≤x ≤2时y 的最大值.根据表格数据可得{-4-2b +b =5,-1+b +b =2,解得{b =-2,b =5,∴-x 2+bx+c=-x 2-2x+5.当x=-1时,-x 2-2x+5=6,即n=6.(2)根据表中数据得当0≤x ≤2时,y 的最大值是5.10.(2018·某某某某)设二次函数y=ax 2+bx-(a+b )(a ,b 是常数,a ≠0) (1)判断该二次函数图象与x 轴交点的个数,说明理由.(2)若该二次函数的图象经过A (-1,4),B (0,-1),C (1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式;(3)若a+b<0,点P (2,m )(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.a ≠0,∴Δ=b 2+4a (a+b )=(b+2a )2≥0,∴二次函数与x 轴有1个或2个交点.(1,0),则不经过C (1,1),即只可经过A ,B 两点,代入A ,B 坐标得:{b -b -(b +b )=4,b +b =1,∴{b =-2,b =3,∴y=3x 2-2x-1.P (2,m )在二次函数图象上,∴m=4a+2b-(a+b )=3a+b=a+b+2a. ∵a+b<0,m>0,∴2a>0,即a>0.〚导学号16734112〛提升能力11.(2018·某某四中模拟)对称轴与y 轴平行且经过原点O 的抛物线也经过A (2,m ),B (4,m ),若△AOB 的面积为4,则抛物线的解析式为. y=-12x 2+3x 或y=12x 2-3x抛物线经过A (2,m ),B (4,m ),∴对称轴是x=3,AB=2. ∵△AOB 的面积为4, ∴12AB ·|m|=4,m=±4.当m=4时,则A (2,4),B (4,4), 设抛物线的解析式为:y=a (x-3)2+h , 把(0,0)和(2,4)代入得:{9b +b =0,b +b =4,解得{b =-12,b =92,∴抛物线的解析式为:y=-12(x-3)2+92=-12x 2+3x ;当m=-4时,则A (2,-4),B (4,-4), 设抛物线的解析式为:y=a (x-3)2+h , 把(0,0)和(2,-4)代入得:{9b +b =0,b +b =-4,解得:{b =12,b =-92,∴抛物线的解析式为:y=12(x-3)2-94=12x 2-3x ;综上所述,抛物线的解析式为:y=-12x 2+3x 或y=12x 2-3x. 12.(2017·某某某某)如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是.1或x>4:在点A的左侧和点B的右侧,一次函数的函数值都大于二次函数的函数值,∵A(-1,p),B(4,q),∴关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是x<-1或x>4.13.(2018·某某德阳)已知函数y={(b-2)2-2,b≤4, (b-6)2-2,b>4.使y=a成立的x的值恰好只有3个时,a的值为.,要使y=a成立的x的值恰好只有3个,即函数图象与y=2这条直线有3个交点,即a=2.14.(2018·某某某某)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的有.①abc>0②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3③2a+b=0④当x>0时,y随x的增大而减小y=ax2+bx+c的图象开口向下,∴a<0.二次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴,∴c>0.∵x=-b2b>0,∴b>0,∴abc<0.则①正确;由二次函数图象与x轴的交点横坐标为3,对称轴x=1,则另一个点的横坐标为2×1-3=-1,∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3.∴②正确;∵对称轴为x=-b2b=1,则2a+b=0.∴③正确;∵二次函数图象的开口向下,对称轴为x=1,∴当0<x<1时,y随x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小.∴④错误.故正确的有①②③.15.(2018·某某某某)已知,点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x 轴,y轴于点A、B.(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由.(2)如图①,若二次函数图象也经过点A、B,且mx+5>-(x-b)2+4b+1.根据图象,写出x的取值X围.(3)如图②,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C(14,b1),D(34,b2)都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.∵点M坐标是(b,4b+1),∴把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,∴点M在直线y=4x+1上.(2)如图,∵直线y=mx+5与y轴交于点B,∴点B坐标为(0,5).又∵B (0,5)在抛物线上,∴5=-(0-b )2+4b+1,解得b=2. ∴二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9. ∴当y=0时,得x 1=5,x 2=-1. ∴A (5,0).观察图象可得,当mx+5>-(x-b )2+4b+1时,x 的取值X 围为x<0或x>5. (3)如图,∵直线y=4x+1与直线AB 交于点E ,与y 轴交于点F ,而直线AB 表达式为y=-x+5,解方程组{b =4b +1,b =-b +5,得{b =45,b =215.∴点E (45,215),F (0,1).点M 在△AOB 内,∴0<b<45.当点C 、D 关于抛物线的对称轴(直线x=b )对称时,b-14=34-b ,∴b=12.且二次函数图象的开口向下,顶点M 在直线y=4x+1上, 综上:①当0<b<12时,y 1>y 2;②当b=12时,y 1=y 2; ③当12<b<45时,y 1<y 2.〚导学号16734113〛。
