沪教版八年级上册-函数的概念、正比例函数讲义

沪教版数学八年级上册18.1《函数的概念及正比例函数》教学设计一. 教材分析《函数的概念及正比例函数》是沪教版数学八年级上册第18.1节的内容。

本节主要介绍函数的概念和正比例函数的定义、性质及图像。

通过本节的学习，学生应能理解函数的基本概念，掌握正比例函数的性质和图像，并为后续学习函数的其他类型打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中数学的基础知识，具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。

但是对于函数这一概念，学生可能还比较陌生，难以理解函数的本质。

因此，在教学过程中，需要通过具体实例让学生感受函数的意义，逐步引导学生理解和掌握函数的概念。

三. 教学目标1.了解函数的概念，知道函数的定义要素。

2.掌握正比例函数的定义、性质和图像。

3.能够运用函数的知识解决实际问题。

四. 教学重难点1.函数的概念及正比例函数的定义。

2.正比例函数的性质和图像。

五. 教学方法1.情境教学法：通过具体实例引入函数的概念，让学生感受函数的意义。

2.讲授法：讲解函数的定义、性质和图像，引导学生理解和掌握。

3.实践操作法：让学生动手绘制正比例函数的图像，加深对函数的理解。

4.问题驱动法：设计一系列问题，引导学生思考和探索，提高学生的思维能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实例、图片、动画和练习题的PPT，辅助教学。

2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生应用函数的知识。

3.黑板、粉笔：用于板书和标注。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体实例引入函数的概念，如“汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶时间与所经过的路程之间的关系”。

让学生思考和讨论，引导学生感受函数的意义。

2.呈现（10分钟）讲解函数的定义，阐述函数的三个要素：定义域、值域、对应关系。

通过PPT 展示函数的图像，让学生直观地理解函数的概念。

3.操练（10分钟）讲解正比例函数的定义、性质和图像。

让学生动手绘制一些简单的正比例函数图像，加深对正比例函数的理解。

第七讲 函数的概念、正比例函数函数的概念 一、知识点 1. 变量与常量在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量. 2. 函数的定义在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。

3. 函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域. 如果y 是x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x a =时的函数值.符号“()y f x =”表示y 是x 的函数，f 表示y 随x 变化而变化的规律. 二、例题讲解例1 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中，m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受的重力G 是不是它的质量m 的函数？解：物体所受的重力G 随它的质量m 的变化而变化，由G mg =可知，这两个变量之间存在确定的依赖关系，所以物体所受的重力G 是它的质量m 的函数.例2 汽车的速度为50千米/时，写出汽车匀速运动时行驶的路程y （千米）关于时间x （时）的函数解析式及定义域.分析： 本题依据公式“路程=时间Ｘ速度”列出数量关系，因为时间为非负数，所以定义域为0x ≥. 解：函数解析式为50y x =，定义域为0x ≥. 例3 求下列函数的定义域：（1）23y x =+; （2）11y x =-； （3）y = 解：（1）对于整式23x +，无论x 取什么实数，它都有意义，所以函数23y x =+的定义域是一切实数；（2）对于分式11x -，当1x =时，它没有意义.所以函数11y x =-的定义域是1x ≠；（3，当12x ≥-时，它有意义，所以函数y = 域是12x ≥-.说明：求函数的定义域应该根据解析式的特征进行思考. 例4 已知()f x =12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 分析：函数与函数值是不同的概念.函数是指两个变量之间的某种关系，而函数值指的是当自变量取某一数值时，函数的一个对应值.求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，就是当12x =-时，求21y x =-+的值，只需要把12x =-代入后计算即可. 解：131322.241212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎝⎭⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭例5 等腰三角形的周长等于20cm ，请写出这个等腰三角形的底边长()x cm 和腰长()y cm 之间的解析式. 分析 根据周长的定义，得220x y +=，整理得20220,2xy x y -=-=， 即 1102y x =-+.函数解析式就是一个等式，求函数解析式时，有时可以利用一些现成的等式或公式，比如周长公式、面积公式等等.答案：1102y x =-+ 说明：1. 变量2x +是不是变量x 的函数？解： 对于代数式2x +，给定x 的一个值，可以求出这个代数式的一个值.所以2x +与x 有着确定的依赖关系，可以把变量2x +看做y .由函数的概念：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的2. 对于“”中的“f ”怎样理解？答：记号“()f x ”表示“y 是x 的函数”，这个记号比较抽象，“f ”并不是表示一个变量，()f x 也不是表示“f ”与“x ”的积，而是指明在变化过程中的自变量为x ，用f 表示变量y 随着x 的变化而变化的规律；在同时研究几个函数时，应选用不同字母表示不同函数变量间相互依赖的变化规律，如()()g x h x 、等，以免引起混乱.三、 巩固练习1. 说出下列变化过程中，哪些量是常量，哪些量是变量，变量之间是函数关系吗？ （1）正方形的周长C 与它的边长a ；（2）银行一年定期存款的本金x 元与利息y 元； （3）等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ； （4）长方形的宽一定时，其长与面积； （5）等腰三角形的底边长与面积；（6）关系式y x=中的y 与x .答案：（1）变量是周长C 与边长a ，是函数关系；（2）变量是本金x 元与利息y 元，是函数关系； （3）变量是顶角的度数x 与底角的度数y ，是函数关系；（4）变量是长方形的宽与面积，是函数关系； （5）变量是等腰三角形的底边长与面积，不是函数关系；（6）变量是y 与x ，不是函数关系. 2. 写出下列个函数的定义域；（1）2y x =-； （2）y =答案： 一切实数 答案：1x ≥- （3）234y x x =+-； （4）11y x =-；答案：一切实数 答案：1x ≠（5）1y x x =+； （6）y =答案：0x ≠ 答案：0x ≥≠且x 23. 在ABC 中，它的底边长是a ，底边上的高是h ，则三角形面积12S ah=，当a 为定长时，在此式子中（ A ）.A. S 、h 是变量，a 是常量B. ,,S h a 是变量，12是常量 C. ,a h 是变量，1,2S 是常量 D. S 是变量，1,,2a h是常量4. 下列函数中，自变量的取值范围是113x <<的是（ D ）.A.y =B.y =C.y = D.y = 5. 如果()f x =()3f =___6. 已知()234x f x x +=+，则()0f =___34____,f=____814_____. 7. 若12y x y -=+，则y 用x 的代数式表示为y =___211x x+-___.8. 设某种电报收费标准是每个字0.1元，写出电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围.答案：()0.10y x x x =≥且是整数 提高题1. 若函数2221x x y x --=-，则与函数值0y =对应的x 的值是（ D ）. A. 1x =-或2x =B. 1x =或2x =-C. 1x =-且2x =D. 2x = 2. 把一块边长为20厘米的正方形铁皮，四角各截去边长为x 厘米的小正方形后折成一个无盖盒子，则盒子的容积V （立方厘米）关于自变量x （厘米）的函数解析式为__()2202V x x =-__,定义域为_010x <<_. 3. 洗衣机在洗衣的过程中经历了进水、清洗、排水等过程.下图能反映洗衣机工作时的水量y （升）与时间x （分）之间关系的图像大致是（ C ）A.正比例函数 一、知识点1. 正比例函数的概念如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么称两个变量成正比例.用数学符号语言记为yk x =或()0y kx k =≠.解析式形如()0y kx k =≠的函数叫做正比例函数，其中，常数k 叫做比例系数，正比例函数y kx =的定义域是一切实数.2. 正比例函数的图像和基本性质 XXX二、例题 例1 若函数()31m y m x -=-是正比例函数，则m =_________,函数的图像经过_________象限.分析 由正比例函数的解析式可知，31m -=，所以4m =.把4m =代入函数解析式，得3y x =，再由正比例函数的性质，得到它的图像经过第一、三象限. 解：4m =，图像经过第一、三象限. 例2 若y 与21x +成正比例，且函数图像经过点()3,1A -,求y 与x 的函数解析式. 分析 由y 与21x +成正比例，可以设()()210y k x k =+≠.再把点A 的坐标()3,1-代入函数解析式，即可求出k 的值，这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.解:y 与21x +成正比例，∴ 设()()210y k x k =+≠.把点A()3,1-代入，得15k =-，()1215y x ∴=-+例3 已知点()11,x y 和()22,x y 在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 分析 由条件当12x x >时，12y y <，联系正比例函数的图像和性质，可知函数值y 随着x 的值增大而减小，即比例系数小于零.解 ：由题意，函数值y 的值随着x 的值增大而减小，0,2k k ∴<<例4 直角三角形的一条直角边是6，写出它的面积y 关于另一条直角边x 的函数关系式并画出这个函数的图像.解：由直角三角形的面积公式，得162x y ⨯=.()30y x x ∴=>说明：由于直角三角形的边长为正数，在画函数图像时要特别注意自变量x 的取值范围，因为定义域为X0x >，此时函数图像为一条射线，并且要除去端点.1. 如何理解正比例函数的性质：当0k >时，y 随着x 的值增大而逐渐增大，当0k <时，y 随着x 的值增大而逐渐减小？答：从解析式来看，当0k >时，若12x x <，由不等式的性质有12kx kx <，即12y y <；当0k <时，若12x x <由不等式的性质有12kx kx >，即12y y >;也可以结合正比例函数的图像去理解：当0k >时，从左往右看，直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化，点的位置随着从低到高逐渐变化，说明此时函数值y 相应地从小到大逐渐变化.当0k <时类似.2. 学习函数的性质要掌握的一个重要数学思想是“数形结合”，学会利用函数的图像直观的研究函数的性质.三、 巩固练习 1. 填空：（1）如果正比例函数的图像过点（1，-2），那么它的解析式是_2y x =-__;函数的图像经过第__二、四__象限.（2）正比例函数2y x =-的图像上一点横坐标为2，纵坐标是__-4___, 函数值随x 的值增大而__减小___. （3）由图写直线PO 的解析式：___34y x =___. （4）某函数具有下列两条性质：① 它的图像是经过 原点（0,0）的一条直线；② y 的值随x 的值增大而增大.请你举出一个满足上述条件的函数：____2y x =_（答案不唯一）___. 2. 选择：（1）下列函数中，正比例函数的是（ B ）A.3y x =B. 32y x =- C.213x y += D. 2y x = （2）下列各点中，在直线2y x =上的点有（ A ）.A.21⎫-⎪⎪⎝⎭ B. (2,2 C. 5,10D. ()2,1-（3）函数y kx =的图像经过点（1,4），那么()2y k x=-的图像经过第（ B ）象限.P-3/2-20yXA. 一、三B. 二、四C. 一、二D. 三、四 3. 已知y 是x 的正比例函数，当2x =时，12y =（1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当x =y 的值； （3）在直角坐标系内画出该函数的图像. 答案：（1）14y x =；（2）4y =；（3）略 4. 正比例函数2112y k x k ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的图像经过第二、四象限，求函数的解析式.答案：12y x =-5. 已知3y -与x 成正比例函数，且它的图像经过点（2,7） （1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当4x =时，y 的值； （3）求当3y =-时，x 的值.答案：（1）23y x =+； （2）11； （3）-3 6. 如果28my mx -=是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值(),x y ，有0xy <.求m 的值.答案：-37. 小明早上骑自行车离开家去学校，下图反映了小明离开家的距离y （米）与时间x （分）之间的关系.根据图像回答：（1） 小明家与学校的距离是___3000__米；（2） 小明骑自行车的平均速度是___200___米/分； （3） 写出小明汽车途中，离开家的距离y （米）与时间x （分）的函数关系式及定义域：___()200015y x x =≤≤提高题1. 正比例函数y kx =的图像上有一点A ，过点A 向x 轴作垂线，垂足为点B ，点B 的坐标为（2,0）.若三角形OAB 的面积为6，试求k 的值. 答案：3或-32. 已知正比例函数的自变量x 减小2时，对应的函数值增加4.求该正比例函数的解析式. 答案：2y x =-3. 已知点()()122,,1,A y B y -是正比例函数y kx =的图像上的两个点.若12y y >，试判断k 的取值范围. 答案：0k <家庭作业一、 填空题： 1. 若()21m y m x=+是正比例函数，则m =___1___.2. 已知函数()g x =，则()2g =___3___. 3. 在直角坐标系中，若点(),4M x -和点()3,N y 关于x 轴对称，则x y +=_7__.4. 如果正比例函数3xy =的图像过点()6,k ，那么k =___2___. 5. 已知矩形的周长为12，若矩形一边长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()2606y x x x =-+<<___.6. 若等腰三角形顶角的度数为y ，底角的度数为x ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()1802090y x x =-<<___.7. 若等腰三角形的周长是20cm ，腰长与底边长分别是ycm 和xcm ，那么y 与x 的函数关系式为__102xy =-__,定义域为__010x <<__. 8. 若()25y a x b =+-+是正比例函数，且其图像恰为第二、四象限的角平分线，则a b +=__2__. 9. 若等腰梯形的周长为20cm ，上底长ycm ，底角为30，腰长xcm ，则y 与x 的函数关系式为__2102y x +=-__.10. 若y 成正比例，且当4x =时，3y =-则当32x =时，y =__-___. 二、选择题11. 若()2,P x y 是1P 关于y 轴的对称点，而点1P 在第三象限内，则（ A ）A. 0,0x y >>B. 0,0x y ><C. 0,0x y <<D. 0,0x y <> 12. 若点()111,P x y 与()222,P x y 在同一个正比例函数的图像上，则（ D ）A. 1212x x y y +=+；B. 1212x x y y -=-；C.1212y y x x =； D. 1221x y x y =. 13. 平面直角坐标系中有点()4,3A -,那么点A 到x 轴的距离是（ A ）A. 3 ;B. -3 ;C. 4 ;D. -4. 14. 点()11,A x y 与()11,B y y 之间的距离是（ A ）A. 11x y -；11y - ；C.D. 15. 下列问题中，两个变量成正比例的是（ D ） A. 三角形的面积一定，它的底边与底边上的高； B. 等边三角形的面积与它的高；C. 长方形的一边长确定，它的周长与另一边长；D. 商品的价格确定时，销售额与销售量；E. 点到横坐标的距离确定时，它的纵坐标与横坐标；F. 商品的价格确定时，利润与成本. 三、 简答题16. 求下列函数的定义域：（1）322612y x x x =--+； （2）y =；答案：一切实数 答案：72x ≥（3）6y x =-； （3）y =答案：126x x ≥-≠且 答案：143x <17. 已知()225f x x =-+，求()()5+13f f a f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、.答案：5539f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭；()225f a a =-+；2243a a --+ 18. 已知正比例函数23y x =-. (1) 当x 取何值时，3y >-； (2) 当x 取何值时，3y =-； (3) 当x 取何值时，3y <-；(4) 画出图像，并结合图像说明理由. 答案：（1）()()999;2;3(4)222x x x <=>略 四、综合题已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，依照要求画图，并完成以下各 （1） 在函数34y x =的图像上取一点A （横坐标为4），点A 的坐标是__()4,3__;设点A 关于y 轴对称的点为A ’，那么A ’的坐标是__()4,3-__;（2） 过原点和点A ’画直线OA ’，它与直线34y x =关于y 轴对称吗？___对称____; （3） 如果在函数34y x =的图像上选取另一点B ，点B 关于y 轴对称的点B ’在直线OA ’上吗？ ________在_______;（4） 已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，那么k 的值是多少？ _____34y x =-____.x(分)。

专题05 函数的概念及正比例函数【考点剖析】 1.函数定义：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，在变量x 的允许取值范围内，变量y 随x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫x 的函数. 函数记号：()y f x =，()f a 表示x ＝a 时的函数值. 设()f x 为整式，则函数()y f x =的定义域：一切实数；函数1()y f x =的定义域：满足()0f x ≠的实数；函数y ()0f x ≥的实数.函数[]0()f x 的定义域：满足()0f x ≠的实数 2.正比例函数1）.正比例：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例.用数学式子表示两个变量x,y 成正比,就是yk x=或者y kx =,其中0k ≠。

2）.正比例函数：k>0k<03.注意点(1)正比例函数y kx =中, 0k ≠,但定义域是一切实数,两者不能混淆.(2)在实际问题中,正比例函数的图形往往是一条线段,一切要根据定义域来确定线段的所在范围。

(3)正比例函数与正比例是有区别的,正比例函数一定要满足y kx =,比如: 2(1)y x =+就不是正比例函数,是一次函数,但是y 与x+1成正比例。

【典例分析】 【考点1】函数的概念1．下列各选项中分别有两个变量x 、y ，则y 不是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．y=-2x-1D ．在国内投寄到外埠质量为100g 以内的普通信函应付邮资如下表： 信件质量/x y 020x <≤2040x <≤ 4060x <≤ 6080x <≤ 80100x <≤邮资y /元 1.202.403.604.806.002．函数y 11-x 的自变量x 的取值范围是______3．在函数y =中，自变量x 的取值范围是_________．4．如果函数()11f x x =-，那么f =_____．【考点2】正比例函数的图像及性质 1．下列问题中两个变量成正比例的是（ ） A ．正方形面积和它的边长B ．一条边确定的长方形，其周长与另一边长C ．圆的面积与它的半径D ．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数2．已知函数223y x k =+-是正比例函数，则常数k 的值为（ ） A ．2- B ．0 C ．2 D ．2±3．下列函数中，正比例函数是（ ） A ．3x y = B ．21y x - C ．22y x = D ．3y x=4．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（ ）A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-5．在32y x a =+-中，若y 是x 的正比例函数，则常数=a ___________．6．若函数()2269y m x m =++-是关于x 的正比例函数，则m 的值为_____________．7．已知正比例函数m y mx =∣∣，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m 的值为____．8．已知y 是x 的正比例函数，当2x =-时，8y =．求y 关于x 的函数表达式，以及当3x =时的函数值．9．已知3y 与21x -成正比例，且当1x =时，6y =． (1)求y 与x 之间的函数解析式．(2)已知点(,)P m n 在该函数的图像上，且4m n -=，求点P 的坐标．10．已知正比例函数过点(42)-，A ，点P 在正比例函数图像上，又(04)B ，且10ABPS =，求点P 的坐标．【课后练习】1．下列各图象中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数()032x y x -=+-的自变量x 的取值范围是___________3．已知函数1()1f x x=+，则3)f ＝ .4．下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（ ） A ．圆的面积S （cm 2）与它的半径r （cm ）之间的关系B ．某水池有水15m 3，现打开进水管进水，进水速度为5m 3/h ，xh 后这个水池有水y m 3C ．三角形面积一定时，它的底边a （cm ）和底边上的高h （cm ）之间的关系D ．汽车以60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程y 与行驶时间x 之间的关系5．下列变化过程中，y 是x 的正比例函数是（ ）A ．某村共有5210m 耕地，该村人均占有耕地y （单位：2m ）随该村人数x （单位：人）的变化而变化B ．一天内，温岭市气温y （单位：℃）随时间x （单位：时）的变化而变化C ．汽车油箱内的存油y （单位：升）随行驶时间x （单位：时）的变化而变化D ．某人一年总收入y （单位：元）随年内平均月收入x （单位：元）的变化而变化6．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ） A ．正方形的周长C 随着边长x 的变化而变化 B ．正方形的面积S 随着边长x 的变化而变化C ．面积为20的三角形的一边a 随着这边上的高h 的变化而变化D ．水箱以0.5L /min 的流量往外放水，水箱中的剩水量VL 随着放水时间t min 的变化而变化7．若()224y m x m =-+-是y 关于x 的正比例函数，求该正比例函数的解析式．8．正比例函数y=ax 中，y 随x 的增大而增大，则直线()1y a x =--经过（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限9．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （3，m ）、B （n ，﹣2），那么一定有（ ） A ．m ＞0，n ＞0B ．m ＞0，n ＜0C ．m ＜0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜010．已知正比例函数y =kx 的图象经过点（2，﹣4），（1，1y ），（﹣1，2y ），那么1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．1y ＜2y B ．1y ＝2y C ．1y ＞2yD ．无法确定11．正比例函数(1)y k x =+图像经过点（1，-1），那么k =__________．12．已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，且经过点（k ，k +2），则k =________．13．若正比例函数()1y m x =-的图象从左到右逐渐上升，则m 的取值范围是___________________14．已知正比例函数y=kx 图像经过点（2，-4），求： (1)这个函数的解析式；(2)判断点A （2，-1）是否在这个函数图像上；(3)图像上两点()11,B x y ，()22,C x y ，如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．15．已知y 与x-1成正比例，且当x= 3时，y= 4． (1)求y 与x 之间的函数解析式； (2)当x= -1时，求y 的值．16．如图，已知正比例函数y ＝kx 的图像经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，点A 的横坐标为4，且△AOH 的面积为8(1)求正比例函数的解析式．(2)在x 轴上能否找到一点P ，使△AOP 的面积为10？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知：如图，直线2y x =上有一点()2,P a ，直线()01y kx k =<<上有一点(),2Q b ．(1)求点P 和点Q 的坐标（其中点Q 的坐标用含k 的代数式表示）．(2)过点P 分别作PA y ⊥轴，PB x ⊥轴，过点Q 分别作QC x ⊥轴，如果OPQ △的面积等于BPQ 的面积的两倍，请求出k 的值．(3)在（2）的条件下，在直线OQ 上是否存在点D ，使12OCD S =△如果存在，请求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．。

正比例函数一、教学目标1．理解函数的定义以及函数的定义域、值域. 2．掌握正比例函数的概念、图像和性质.二、重点难点重点：正比例函数的概念、图像和性质的应用.难点：利用正比例函数的相关知识解决实际问题，学会数形结合.三、考点分析：这部分的知识应用性较强，一般以填空、判断、选择、读图题、解答题的形式考查四、提分技巧1、学会读图，加强数形结合思想2、考虑问题要全面，还要善于从问题情境中抽象出数学知识（一）函数的意义【例1】1、如果函数：()x x x f 22-=，试求：（1）()1-a f ； （2）()12+a f 【解析】（1）()1-a f ()1212---=a a（2）()12+a f ()122122+-+=a a2、如果函数：()112-=-x x f ,试求：（1）()2f ； （2）()x f【解析】（1）()2f ()813132=-=-=f（2）()1-x f ()()()()[]()()121211112-+-=+--=+-=x x x x x x()x x x f 22+=∴【拓展1】如果函数：()x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12，,试求)(x f 的解析式 【解析】()x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12x x f x f 11121=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⇒()xx f x f 112=⎪⎭⎫ ⎝⎛+② 联立①②，解得()332x x x f -=【拓展2】如果，()b ax x f +=,其中a 和b 是两个常数。

（1）()()34-=x x f f ，试求()x f 的表达式； （2）()()()78+=x x f f f ,求()x f 的表达式。

【解析】（1）()b ax x f +=∴()()()()342-=++=++=+=x b ab x a b b ax a b x af x f f⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==∴3212b a b a 或 ()()3212+-=-=∴x x f x x f 或（2） ()()()()()782322+=+++=+++=++=x b ab b a x a b b ab x a a b ab x a f x f f f⎪⎩⎪⎨⎧=++=∴7823b ab b a a ⎩⎨⎧==⇒12b a ()12+=∴x x f（二）正比例函数解析式【例2】已知y 与x －1成正比例，且当x =3时，y =4，求：（1）函数解析式；（2）x =1-时，y 的值【解析】设()1-=x k y ，代入x =3，y =4，解得2=k （1）所以函数解析式为22-=x y （2）当x =1-时，y =-4【拓展1】y 与3x 成正比例，当x =8时，y =－12，则y 与x 的函数解析式为___________. 【解析】设kx y 3=，代入x =8，y =－12，解得21-=k 所以函数解析式为x y 23-=【拓展2】已知2y －3与3x ＋1成正比例，且x=2时，y=5,求：（1）求y 与x 之间的函数关系式（2）若点（a ，2）在这个函数的图象上，求a . 【解析】设()133-2+=x k y ，代入x=2时，y=5，解得1=k（1）所以函数解析式为223+=x y （2）当2=y 时，0=a三）正比例函数的图像及性质【例3】已知直线y =kx 过点（-2，1），A 是直线y =kx 图象上的点，若过A 向x 轴作垂线， 垂足为B ，且ABO S ∆=9，求点A 的坐标。

沪科版八年级上册一次函数一对一讲义格德教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：初三课时数：2学员姓名：XXX辅导科目：数学学科教师：XXX授课类型：趣味引导、课本同步授课日期时段：待定教学内容：一、同步知识梳理1.函数的定义：在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。

常量为始终保持不变的量，变量为发生变化的量。

2.一次函数的图像与性质：y=kx+b (k≠0)b>0，直线经过一、二、三象限b=0，直线经过一、三象限及原点k>0或k<0，直线经过一、二、四象限或一、三、四象限b<0，直线经过一、三、四象限或二、三、四象限性质：（1）y随x的增大而增大（直线自左向右上升）；（2）直线一定经过一、三象限或二、四象限。

3.k和b的意义：1）|k|决定直线的“平陡”。

|k|越大，直线越陡（或越靠近y 轴）；|k|越小，直线越平（或越远离y轴）；2）b表示在y轴上的截距。

直线上升，k>0；直线下降，k0；直线与y轴负半轴相交，b<0.4.确定一次函数解析式———待定系数法：步骤：解、设、列、答。

5.一次函数图象的平移：设m>0，n>01）左右平移：直线y=kx+b向右（或向左）平移m个单位后的解析式为y=k(x-m)+b或y=k(x+m)+b。

2）上下平移：直线y=kx+b向上（或向下）平移n个单位后的解析式为y=kx+b+n或y=kx+b-n。

说明：规律简记为“左加右减，上加下减”，左右对x而言，上下对y而言。

二、同步题型分析1.函数的概念：例1．下列各曲线中表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．例2下列关于x，y的关系式中：①x-y=3；②y=2x2；③y=|3x|，其中表示y是x的函数的是（）A．①②B．②③C．②D．①②③2.图像表示的函数是y是x的函数的。

巩固1：下列函数中自变量x的取值范围：1）y=2x-3：x的取值范围为全体实数；2）y=√(x+1)：x的取值范围为x≥-1；3）y=1/(x-2)：x的取值范围为x≠2；4）y=|x-3|：x的取值范围为全体实数。

第十八章正比例函数和反比例函数18.1 函数的概念1、 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2、 在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3、 表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式4、 函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18.2 正比例函数1、 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2、 正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3、 对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4、 一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5、 正比例函数有如下性质：（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大（2）当k ＜0时，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小18.3 反比例函数1、 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2、 解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数（反比例函数的定义域是不等于零的一切实数）3、 反比例函数(0)k y k k x =≠是常数,有如下性质：（1）当k＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小（2）当k＜0时，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。

沪教版数学八年级上册18.1《函数的概念及正比例函数》教学设计一. 教材分析《函数的概念及正比例函数》是沪教版数学八年级上册第18.1节的内容。

本节课主要介绍了函数的概念，以及正比例函数的定义和性质。

教材通过具体的例子让学生理解函数的意义，并通过数学语言和符号来表示函数关系。

同时，通过正比例函数的学习，让学生掌握如何求解函数的值，以及如何判断两个函数是否成正比例。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对数学符号和概念有一定的理解。

但是，对于函数的概念和正比例函数的性质，学生可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，帮助学生理解和掌握函数的概念，以及正比例函数的性质。

三. 教学目标1.理解函数的概念，能够用数学语言和符号表示函数关系。

2.掌握正比例函数的定义和性质，能够求解正比例函数的值。

3.能够判断两个函数是否成正比例，并能够应用正比例函数解决实际问题。

四. 教学重难点1.函数的概念和表示方法。

2.正比例函数的定义和性质。

3.判断两个函数是否成正比例的方法。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和掌握函数的概念和正比例函数的性质。

2.利用数形结合的方法，通过图形和表格展示函数关系，帮助学生直观地理解函数的意义。

3.采用小组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中，共同探索和解决问题。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料和课件，包括函数的定义和表示方法，正比例函数的性质和图形的展示。

2.准备一些实际问题，用于引导学生应用正比例函数解决实际问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考函数的意义。

例如，提问：“如果一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，那么它在3小时内行驶的距离是多少？”让学生认识到，函数可以用来描述两个变量之间的关系。

2.呈现（10分钟）介绍函数的概念，以及如何用数学语言和符号表示函数关系。

第3节一次函数的概念及正比例函数※知识要点1．一次函数和正比例函数的概念一般地||，形如()的函数叫一次函数．特别地||，当b＝____时||，一次函数y＝kx＋b就成为(k是常数且)||，这时y叫做x的正比例函数．注意：(1)正比例函数是一种特殊的函数；(2)当关系式y＝kx(k是常数且)成立时||，则称y与x成关系||，反之也成立．2．正比例函数的图像与性质注意：(1)正比例函数过定点：（）、（1||，）；(2)系数k的几何意义：反映直线的||，称为；※题型讲练【例1】有如下表达式：①y＝－2x+3 ①y＝3x①y＝－2+x①y＝－x2①y＝－32x①y＝2x2+1①y＝x ①－3x+2＝5(1)其中是一次函数的有：；(2)其中是正比例函数的有：；变式训练1：1．判断下列函数是不是y关于x的一次函数？如果是||，请将其整理成y＝kx＋b形式||，并找出相应的k和b．(1)y＝－2x－33+2 (2)6x－2y＝52．汽车以40千米/时的速度行驶||，行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数解析式为||，y是x的_______函数．【例2】已知y关于x的函数式为y＝(m－2)x+m2－4．(1)若该函数是一次函数||，求m的取值范围；(2)若该函数是正比例函数||，求m的值．变式训练2：1．若已知函数y＝(m+3)x| m|－2是正比例函数||，求m的值及函数关系式．【例3】已知y－2与x+1成正比例关系||，且当x= 0时||，y= 4||，(1)求y关于x的函数解析式．(2)若点（a||，2）在该函数图像上||，求a的值．变式训练3：1．已知y－3与x2成正比例||，且当x= 1时||，y=6||，(1)求y关于x的函数解析式；(2)当x= 2时||，求对应的函数值y．【例4】已知函数y＝(2－a)x+2b－6的图像经过原点．(1)求b的值；(2)若该函数图像过一、三象限||，求a的取值范围；(3)若该函数的y随x增大而减小||，求a的取值范围；变式训练4：1．已知一个正比例函数图像过点（2||，－6）||，(1)求该函数的关系式；(2)已知函数图像上有两点(a||，m+3）、(b||，－2m+6）且a>b||，求m的取值范围．※课后练习1．下列函数中||，是正比例函数的是（）A．y＝2x B．y＝12x C．y＝x2 D．y＝2x－1 2．下列说法不正确的是( )A．一次函数不一定是正比例函数B．不是一次函数就一定不是正比例函数C．正比例函数是特定的一次函数D．不是正比例函数就不是一次函数3．函数y＝－2x的图象一定经过下列四个点中的（）A．(1||，2) B．(－2||，1) C．(12||，－1) D．(－1||，12)4．关于函数y=－2x||，下列判断正确的是( )A．图像过点(－1||，－2) B．图像经过二四象限C．y随x的增大而增大D．不论x为何值||，总有y＜05．如果函数y=(m－2)x| m－1 |是正比例函数||，那么（）A．m＝2或m＝0B．m＝2C．m＝0D．m＝16．已知函数y=3x||，则该函数图像必过象限||，函数值y 随自变量x的增大而．7．若直线y＝kx经过点A（－5||，3）||，则k＝______．如果这条直线上点A的横坐标x A＝4||，那么它的纵坐标y A＝______．8．若函数y＝(3－m)x+m2－9的图象经过原点||，则m= ．9．已知函数(2)1y m x m=++-||，当m时||，它是一次函数||，当m时||，它是正比例函数．10．已知函数y=(m－1)x的图像经过一、三象限||，则实数m的取值范围是___________．11．已知函数y=kx的图像经过二四象限||，A(x1||，y1)、B(x2||，y2)是该函数图像上任意的两个点||，若x1＜x2||，则||，函数值y1与y2的大小关系是y1y2．12．已知函数y=(2－m)x+2m－3．(1)当m为何值时||，此函数为正比例函数；(2)当m为何值时||，此函数为一次函数；(3)当m为何值时||，此函数图像过原点．13．已知y+2与2x－3成正比例||，且当x= 1时||，y=0．(1)求y关于x的函数关系式；(2)求当x= 2时对应的函数值y；(3)若点（a||，2）在该函数图像上||，求a的值．14．已知正比例函数y＝(2m－3)x．(1)求m的取值范围；(2)若该函数图像过点(－2||，2) ||，求m的值；(3)若该函数图像上||，y随x的增大而增大||，求m的取值范围．15．在直角坐标系中||，两条直线y=6与y=kx (k≠0)相交于点A||，且直线y=6与y轴交于点B．(1)求点A的坐标(用k表示)和点B的坐标；(2)若①ABO的面积为12||，求k的值．。

沪教版初中数学初二数学上册《正比例函数》说课稿一、引言《正比例函数》是初中数学上册的一部分，本课内容主要围绕正比例函数的定义、性质及应用展开。

正比例函数是初中数学中的重要概念之一，掌握正比例函数的概念和性质对学生理解数学世界中的变化规律具有重要意义。

本节课将通过引入实际问题、激发学生思考，培养学生对正比例函数的直观感知和应用能力。

二、教材分析本节课主要内容如下：1.正比例函数的定义与性质2.正比例函数在实际生活中的应用教学目标：1.理解正比例函数的定义，能够准确描述正比例关系；2.掌握正比例函数的性质，能够运用性质进行问题解答；3.能够灵活应用正比例函数解决实际问题。

三、教学过程3.1 导入新课首先，老师可以通过提出如下问题引入正比例函数：•我们在日常生活中遇到过什么样的变化规律？•如果两个量成正比，它们之间的关系是什么样的？通过提出这些问题，激发学生思考，并引导学生进一步思考变化规律与正比例函数的关系，为后续知识点的学习做好铺垫。

3.2 正比例函数的定义与性质接下来，老师将正比例函数的定义呈现给学生，并通过几个具体的例子展示变量之间的正比例关系。

例如，给出以下例子：•一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶1个小时后行驶了多远？•如果一个物品的价格是5元，那么3个物品的价格是多少？通过这些例子，让学生对正比例关系产生直观的认知，并引导学生总结出正比例函数的定义。

在学生理解了正比例函数的定义后，老师将向学生介绍正比例函数的性质，如：•函数图像经过原点；•函数图像是一条直线，斜率为常数；•斜率是量的比例系数，表示了变量之间的关系。

3.3 正比例函数在实际生活中的应用在学生掌握了正比例函数的定义与性质后，老师将通过实际生活中的案例向学生展示正比例函数的应用。

例如，老师可以提出如下问题：•如果一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶6个小时后行驶了多远？•一家超市举办促销活动，商品价格下调20%，如果原价是100元，促销后的价格是多少？通过这些问题，让学生应用正比例函数的性质解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质．1、函数的概念（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；（2）在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x允许的取值范围内，变量y随着x变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量.函数用记号()y f x=表示，()f a表示x a=时的函数值；（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．函数的概念正比例函数知识结构模块一：函数的概念知识精讲内容分析2.函数的定义域和函数值（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．【例1】 （1）在正方形的周长公式4l a =中，a 是自变量，_______是_________的函数，______是常量；（2）面积是2()S cm 的正方形地砖边长为a （cm ），S 与a 之间的函数关系式是_________， 其中自变量是____________．（3）圆的周长C 与半径r 之间的函数关系是______________，其中常量是__________，变量是____________．【例2】 在匀速运动中，若用s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么式子s vt =，下列说法中正确的是（ ）A ．s 、v 、t 三个量都是变量B ．s 与v 是变量，t 是常量C ．v 与t 是变量，s 是常量D ．s 与t 是变量，v 是常量【例3】 下列各式中，x 是自变量，y 表示对应的值，判断y 是否是x 的函数？为什么？ （1）2y x =； （2）|3|y x =；（3） （4） （5）【例4】 下列各式中，不是函数关系式的是（ ）A ．y x =B ．y x =-例题解析x 1 2 3 4y1122y 1 2 3 4 x1122C ．y =D ．y【例5】 判断下列变量之间是不是函数关系，如果是，写出函数关系式，如果不是，说明理由：（1） 长方形的宽a （cm ）固定，其面积S 与长b ； （2） 长方形的长a 固定，面积S 与周长c ；（3） 三角形一边上的高为4，三角形的面积y 与这边长x ； （4） 等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ．【例6】 填空：（1） 函数232y x =-+，当x =___________，函数y 的值等于0； （2） 若函数y =x 的取值范围是一切实数，则c 的取值范围是________．【例7】 求下列函数的定义域：（1）1||4y x =-（2）22x y x=；（3）y ； （4）y =【例8】 将2132y x y -=+写成()y f x =的形式，并求13(0)(3)()(0)2f f f a a a -≠≠，，，， 1(1)3f a a +≠-（）的值． 【难度】★★【例9】 A 、B 两地路程为160千米，若汽车以50千米/小时的速度从A 地驶向B 地，写出汽车距离B 地的路程S （千米）与行驶的时间t （小时）之间的函数关系式． 【难度】★★【例10】 已知水池的容量为1003m ，每小时灌水量为Q 3m ，灌满水池所需时间t 小时，求t 关于Q 的函数关系式，当每小时的灌水量为53m 时，灌满水池需多少时间?【例11】 如图，△ABC 与正方形BDEF ，其中∠C =90°，AC=BC =BD =8，且BC 与BD 均在直线L 上，将△ABC 沿直线以2个单位/秒向右平移，设移动的时间为t ，△ABC 与正方形BDEF 在移动的过程中重叠部分的面积为s ，求s 与t 的函数关系式，并写出定义域?【例12】 已知等腰三角形周长为24cm ，（1） 若腰长为x ，底边长为y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2） 若底边长为x ，腰长为y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．ACBDEF【例13】 如图，在△ABC 中，BC = AC = 12，∠C = 90°，D 、E 分别是边BC 、BA 上的动点（不与端点重合），且DE ⊥BC ，设BD x =，将△BDE 沿DE 进行折叠后与梯形ACDE 重叠部分的面积是y ：（1） 求y 和x 的函数关系式，并写出定义域；（2） 当x 为何值时，重叠部分的面积是△ABC 面积的14．1．正比例函数的概念(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是yk x =，或表示为y kx=（x 不等于0），k 是不等于零的常数.(2)解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y kx =的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式知识精讲模块二 正比例函数ABCDEABC备用图A BC备用图A BC备用图2.正比例函数的图象(1)一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过(00)，，(1)k ，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =；(2)图像画法：列表、描点、连线． 3．正比例函数的性质(1)当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大．(2)当0k <时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的 值则随着逐渐减小．【例14】 下列各变量成正比例函数关系的是（ ）A ．圆的面积与它的半径B ．长方形的面积一定时，长与宽C ．正方形的周长与边长D ．三角形面积和高【例15】 下列函数中，是正比例函数的是（ ）A ．3(0)y k k=≠ B ．(2)(2)y k x k =+≠-C ．1(0)y k kx=≠D ．2(0)y kx k =≠【例16】 （1）已知函数23(2)my m x -=-是正比例函数，则m =_________；（2）当a _________时，函数(1)y a x =+是正比例函数．例题解析【例17】 （1）已知函数y 与x 成正比例关系，且当122x y =-=时，，当3x y ==时，_________；（2）已知13y x -与成正比例，且当14x y =-=时，，则y 与x 之间的函数关系式是__________．【例18】 （1）若点B （b ，-9）在函数 3y x =的图像上，则b = _________；（2）若将点P （5，3）向下平移1个单位后，落在直线(0)y kx k =≠的图像上， 则k =_________．【例19】 （1）如果正比例函数21xy m =-的图像经过第二、四象限，那么m 的取值范围是_________；（2）函数(1)y k x =-的图像经过第一、三象限，那么k 的取值范围_________．【例20】 （1）已知y 与x 之间的函数关系式是21y x =-，那么y 与x___________（填“是”或“不是”）正比例关系；（2）已知39y x =-，y 与_____________成正比例关系，k =___________．【例21】 （1）已知2345y x -+与　成正比例，且当115x y ==时，，求y 与x 的函数关系式； （2）已知2(2)6y k x k k =-++-为正比例函数，求k 的值及函数解析式．【例22】 若431(23)t y t x +=-是正比例函数，又2712y x =-，当x 取何值时12y y >．【例23】 已知y 是x 的正比例函数，且当3x =时，1y =-：（1） 求出这个函数的解析式；（2） 在直角坐标平面内，画出这个函数的图像； （3） 如果点P （a ，4）在这个函数图像上，求a 的值； （4） 试问：点(62)A -，关于原点对称的点B 是否在这个图像上?【例24】 已知正比例函数的图像过第四象限且过(23)a -，和(6)a -，两点，求此正比例函数的解析式．【例25】 点燃的蜡烛，缩短的长度按照与时间成正比例缩短，一支长15cm 的蜡烛，点燃3分钟后，缩短1.2cm ，设蜡烛点燃x 分钟后，剩余长度ycm ，求y 与x 的函数解析式及x 的取值范围 ．【例26】 已知三角形ABC 的底边AB 的长为3，AB 边上的高为x ，面积为y ，（1） 写出y 和x 之间的函数关系式； （2） 画出函数的图像．【例27】 （1）已知直线y ax =在实数范围内有意义，求a 的取值范围；（2）已知函数(21)y m x =+的值随x 的增大而减小，且函数(13)y m x =-的值随着x 的增大而增大，求m 的取值范围．【例28】 正比例函数的解析式为2(1)y k x =-，（1） 当11k -<<时，y 的值随x 值的增大是增大还是减小？ （2） 若正比例函数的图像经过第一、三象限，k 的取值范围是什么？【例29】 已知正比例函数的自变量增加4时，对应的函数值增加6，（1） 求这个函数解析式； （2） 当6x =时，求y 的值； （3） 当4y =时，求x 的值；（4） 当24x -≤≤时，求y 的取值范围； （5） 当66y -≤≤时，求x 的取值范围．【例30】 m 取何值时，y 关于x 的函数21(3)4m y m x x +=++是正比例函数．【例31】 已知直角三角形ABC 中，∠C =90°AC =6，AB =12，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上（点E 、F 与三角形ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB ，EF ⊥AD ，垂足为点H ，设CE=x ，BF=y ，求y 与x 之间的函数关系式．【例32】 已知一正比例函数y mx =图像上的一点P 的纵坐标是3，作PQ ⊥y 轴，垂足为点Q ，三角形OPQ 的面积是12，求此正比例函数的解析式．x【例33】 如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP 与线段AB 相交于点P ， （1） 若直线OP 将△ABO 的面积等分，求直线OP 的解析式；（2）若点P 是直线OP 与线段AB 的交点，是否存在点P ，使△AOP 与△BOP 中，一个面 积是另一个面积的3倍？若存在，求直线OP 的解析式；若不存在，请说明理由．【习题1】 下列图像中，是函数图像的是（）．【习题2】 在函数y x x =+-中，自变量x 的取值范围是（）．A ．0x ≥B ．0x ≤C ．0x =D ．任意实数【习题3】 下列各点，不在函数23y x =-图像上的是（）．A ．（1，23-）B ．（3，-2）C ．(23-，13)D ．（-6，4）【习题4】 （1）若函数22()m y m m x =-是正比例函数，则m 的值是_________________；（2）已知y kx =是正比例函数，且当x =2时y =3，则比例系数是_____________．随堂检测A B C D【习题5】 求下列函数的定义域：（1）23xy x =-；（2）y =（3）12y x =+（4）y =．【习题6】 若211y x y +=-，用含x 的式子表示y ；若()y f x =，试求(1)f ，(0)f ，(1)(3)f a a -≠，()(2)f x x -≠-的值．【习题7】 已知正比例函数23(1)ky k x -=-的值随自变量x 的增大而减小，求k 的值及函数解析式．【习题8】 （1）已知32y x -+与成正比例，当x =3时，y =7，求y =9时，x 的值；（2）正比例函数(0)y kx k =≠的图像过A （1，a ）、B （a +1，6），求函数的解析式．【习题9】 已知122y y y =-，21y x 与成正比例，231y x +与成正比例．且当15x y ==时，当13x y =-=时，求y 关于x 的函数关系式．【习题10】 已知正比例函数的图像过点(323)-，． （1） 若点(2)a ，-，(3)b ，在图像上，求a 、b 的值；（2） 过图像上一点P 作y 轴 的垂线，垂足为Q (015)，-，试求三角形OPQ 的面积．【习题11】 在直角三角形ABC 中，AC =12，BC =16，AB =20，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，在CD 上取一点P （不与C 、D 重合），设三角形APB 的面积是y ，CP 的长为x ，求y 和x 的函数关系式，并写出函数的定义域．PABCD【习题12】 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD =5，AD =7，BC =13，40ABCD S =梯，P 是一动点，沿AD 、DC 由A 经D 点向C 点移动，设P 点移动的路程是x ．（1） 当P 在AD 上运动的时候，设PAB S y ∆=，求y 与x 之间的函数关系式及定义域，并画出函数图像；（2） 当点P 继续沿DC 向C 移动时，设PAB S y ∆=，求y 与x 之间的函数关系式．ABCDP【作业1】 三角形ABC 中∠A=90°，AB =4，BC =5，P 是AC 边上一动点，点P 不与A 、C重合，则该图中线段____________是常量，线段_______________是变量；若AP=x ，设BPC S y ∆=，写出y 关于x 的函数关系式______________，自变量x 的取值范围是______________．【作业2】 下列变量之间的变化是函数关系的是______________（只填序号）．（1） 正方形的面积和它的周长； （2）长方形的面积和它的周长； （3）(0)y x x =±≥；（4）||y x =；（5）(0)y x x =<【作业3】 （1）已知()2(2)6f x x f a =-=，，则a 的值是_____________；（2）已知2231()21()2(1)()()42f x xg x x f g =-=-+-+=，，则___________．【作业4】 （1）函数|3|y x =+的定义域为______________；（2） 函数011x y x =--的定义域为______________；课后作业（3） 函数0(3)2x x y x --=-的定义域为________________．【作业5】 23y x -与成正比例，当x =2时，y =11，求y 与x 之间的函数关系．【作业6】 （1）已知直线22(3)9k y m x m =++-是正比例函数，求mk 的值；（2）已知2215(4)my m m x -=-是正比例函数，求m 的值；（3）已知直线2(2)5y k x k k =-+-经过原点，且y 的值随x 的值的增大而减小，求k 的值．【作业7】 等腰钝角三角形ABC 中，底边长为8，面积是S ，底边上高AD 为h ，试求出S与h 的函数关系式及函数的定义域，并画出函数的图像．ABCD【作业8】 （1）某同学用20元钱买水笔，其单价为3.5元，求买水笔余下的钱y 与买水笔的数量x 之间的函数关系式；（2）靠墙（墙长为18cm ）的地方围成一个矩形的养鸡场，另三边用篱笆围成，如果竹篱笆总长为35cm ，求养鸡场的一边长为y （cm ）与另一边长x （cm ）之间的函数关系式，并写出函数的定义域．【作业9】 已知直线y kx =过点（12- ，3），A 为y kx =图像上的一点，过点A 向x 轴引垂线，垂足为点B ，5AOB S ∆= （1） 求函数的解析式；（2） 在平面直角坐标系内画出函数的图像； （3） 求点A 、B 的坐标．【作业10】 过正比例函数图像上的一点Q (35)a a --，在第二象限，（1）化简22441025a a a a -++-+的值；（2）若a 的值是整数，求正比例函数的解析式，并判断点()k k -，在不在函数图像上．xy墙【作业11】 已知正比例函数过点A （4，-2），点P 在正比例函数图像上，B （0，4）且10ABP S ∆=，求点P 的坐标．。

沪教版数学八年级上册18.1《正比例函数的图象和性质》教学设计一. 教材分析《正比例函数的图象和性质》是沪教版数学八年级上册第18.1节的内容。

本节主要让学生掌握正比例函数的图象和性质，包括正比例函数的定义、图象的特点以及性质。

通过学习，学生能够理解正比例函数的概念，识别正比例函数的图象，掌握正比例函数的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了函数的概念、一次函数和二次函数等基础知识。

他们对函数有一定的理解，但可能对正比例函数的概念和性质还不够清晰。

学生需要通过实例和图象来加深对正比例函数的理解，并能够运用正比例函数的性质解决实际问题。

三. 教学目标1.理解正比例函数的定义和性质。

2.能够识别和描述正比例函数的图象。

3.能够运用正比例函数的性质解决实际问题。

四. 教学重难点1.正比例函数的定义和性质的理解。

2.正比例函数图象的识别和描述。

五. 教学方法1.实例教学：通过具体的实例，让学生直观地理解正比例函数的概念和性质。

2.图象教学：通过展示正比例函数的图象，让学生观察和描述图象的特点。

3.问题解决：通过解决实际问题，让学生运用正比例函数的性质解决问题。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的PPT，展示正比例函数的图象和实例。

2.实例材料：准备一些实际问题，让学生解决。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出正比例函数的概念。

例如，假设有一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，问行驶3小时后，汽车行驶的距离是多少？让学生思考并回答问题。

2.呈现（10分钟）展示正比例函数的图象，让学生观察和描述图象的特点。

图象应该包括一条通过原点的直线，斜率为正比例常数。

引导学生注意图象的直线形状和斜率。

3.操练（10分钟）给学生发放实例材料，让学生解决一些实际问题，运用正比例函数的性质。

例如，给定两个正比例函数的图象，让学生确定它们的正比例常数，并解释如何通过图象来确定正比例常数。