沪教版-八年级数学-正比例函数与反比例函数复习讲义

《正比例函数和反比例函数》全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法）能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和反比例函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过正比例函数和反比例函数的图像和性质，能够用数形结合的观点解决有关的题型.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y, 如果在变量x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。

y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 要点二、正比例函数1.定义：定义域是一切实数的函数y=kx（k 是不等于零的常数）叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数. 注意：正比例函数的定义域是一切实数.2.图象：一般地，正比例函数y=kx （k为常数，k≠ 0）的图像是经过原点（0,0）和点（1，k）的一条直线，. 我们把正比例函数y=kx 的图像叫做直线y=kx.3.画函数图像的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.画直线y=kx 的图像. 为了方便，我们通常取原点O（0，0）和点（1，k）.4.正比例函数的性质：（1）当k>0 时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大.（2）当k<0 时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐减小.要点三、反比例函数1、定义k定义域为不等于零的一切实数的函数y ，（k 为不等于零的常数）叫做反比例函x数，其中k 也叫比例系数.2、图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴。

第七讲 函数的概念、正比例函数函数的概念 一、知识点 1. 变量与常量在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量. 2. 函数的定义在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。

3. 函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域. 如果y 是x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x a =时的函数值.符号“()y f x =”表示y 是x 的函数，f 表示y 随x 变化而变化的规律. 二、例题讲解例1 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中，m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受的重力G 是不是它的质量m 的函数？解：物体所受的重力G 随它的质量m 的变化而变化，由G mg =可知，这两个变量之间存在确定的依赖关系，所以物体所受的重力G 是它的质量m 的函数.例2 汽车的速度为50千米/时，写出汽车匀速运动时行驶的路程y （千米）关于时间x （时）的函数解析式及定义域.分析： 本题依据公式“路程=时间Ｘ速度”列出数量关系，因为时间为非负数，所以定义域为0x ≥. 解：函数解析式为50y x =，定义域为0x ≥. 例3 求下列函数的定义域：（1）23y x =+; （2）11y x =-； （3）y = 解：（1）对于整式23x +，无论x 取什么实数，它都有意义，所以函数23y x =+的定义域是一切实数；（2）对于分式11x -，当1x =时，它没有意义.所以函数11y x =-的定义域是1x ≠；（3，当12x ≥-时，它有意义，所以函数y = 域是12x ≥-.说明：求函数的定义域应该根据解析式的特征进行思考. 例4 已知()f x =12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 分析：函数与函数值是不同的概念.函数是指两个变量之间的某种关系，而函数值指的是当自变量取某一数值时，函数的一个对应值.求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，就是当12x =-时，求21y x =-+的值，只需要把12x =-代入后计算即可. 解：131322.241212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎝⎭⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭例5 等腰三角形的周长等于20cm ，请写出这个等腰三角形的底边长()x cm 和腰长()y cm 之间的解析式. 分析 根据周长的定义，得220x y +=，整理得20220,2xy x y -=-=， 即 1102y x =-+.函数解析式就是一个等式，求函数解析式时，有时可以利用一些现成的等式或公式，比如周长公式、面积公式等等.答案：1102y x =-+ 说明：1. 变量2x +是不是变量x 的函数？解： 对于代数式2x +，给定x 的一个值，可以求出这个代数式的一个值.所以2x +与x 有着确定的依赖关系，可以把变量2x +看做y .由函数的概念：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的2. 对于“”中的“f ”怎样理解？答：记号“()f x ”表示“y 是x 的函数”，这个记号比较抽象，“f ”并不是表示一个变量，()f x 也不是表示“f ”与“x ”的积，而是指明在变化过程中的自变量为x ，用f 表示变量y 随着x 的变化而变化的规律；在同时研究几个函数时，应选用不同字母表示不同函数变量间相互依赖的变化规律，如()()g x h x 、等，以免引起混乱.三、 巩固练习1. 说出下列变化过程中，哪些量是常量，哪些量是变量，变量之间是函数关系吗？ （1）正方形的周长C 与它的边长a ；（2）银行一年定期存款的本金x 元与利息y 元； （3）等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ； （4）长方形的宽一定时，其长与面积； （5）等腰三角形的底边长与面积；（6）关系式y x=中的y 与x .答案：（1）变量是周长C 与边长a ，是函数关系；（2）变量是本金x 元与利息y 元，是函数关系； （3）变量是顶角的度数x 与底角的度数y ，是函数关系；（4）变量是长方形的宽与面积，是函数关系； （5）变量是等腰三角形的底边长与面积，不是函数关系；（6）变量是y 与x ，不是函数关系. 2. 写出下列个函数的定义域；（1）2y x =-； （2）y =答案： 一切实数 答案：1x ≥- （3）234y x x =+-； （4）11y x =-；答案：一切实数 答案：1x ≠（5）1y x x =+； （6）y =答案：0x ≠ 答案：0x ≥≠且x 23. 在ABC 中，它的底边长是a ，底边上的高是h ，则三角形面积12S ah=，当a 为定长时，在此式子中（ A ）.A. S 、h 是变量，a 是常量B. ,,S h a 是变量，12是常量 C. ,a h 是变量，1,2S 是常量 D. S 是变量，1,,2a h是常量4. 下列函数中，自变量的取值范围是113x <<的是（ D ）.A.y =B.y =C.y = D.y = 5. 如果()f x =()3f =___6. 已知()234x f x x +=+，则()0f =___34____,f=____814_____. 7. 若12y x y -=+，则y 用x 的代数式表示为y =___211x x+-___.8. 设某种电报收费标准是每个字0.1元，写出电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围.答案：()0.10y x x x =≥且是整数 提高题1. 若函数2221x x y x --=-，则与函数值0y =对应的x 的值是（ D ）. A. 1x =-或2x =B. 1x =或2x =-C. 1x =-且2x =D. 2x = 2. 把一块边长为20厘米的正方形铁皮，四角各截去边长为x 厘米的小正方形后折成一个无盖盒子，则盒子的容积V （立方厘米）关于自变量x （厘米）的函数解析式为__()2202V x x =-__,定义域为_010x <<_. 3. 洗衣机在洗衣的过程中经历了进水、清洗、排水等过程.下图能反映洗衣机工作时的水量y （升）与时间x （分）之间关系的图像大致是（ C ）A.正比例函数 一、知识点1. 正比例函数的概念如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么称两个变量成正比例.用数学符号语言记为yk x =或()0y kx k =≠.解析式形如()0y kx k =≠的函数叫做正比例函数，其中，常数k 叫做比例系数，正比例函数y kx =的定义域是一切实数.2. 正比例函数的图像和基本性质 XXX二、例题 例1 若函数()31m y m x -=-是正比例函数，则m =_________,函数的图像经过_________象限.分析 由正比例函数的解析式可知，31m -=，所以4m =.把4m =代入函数解析式，得3y x =，再由正比例函数的性质，得到它的图像经过第一、三象限. 解：4m =，图像经过第一、三象限. 例2 若y 与21x +成正比例，且函数图像经过点()3,1A -,求y 与x 的函数解析式. 分析 由y 与21x +成正比例，可以设()()210y k x k =+≠.再把点A 的坐标()3,1-代入函数解析式，即可求出k 的值，这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.解:y 与21x +成正比例，∴ 设()()210y k x k =+≠.把点A()3,1-代入，得15k =-，()1215y x ∴=-+例3 已知点()11,x y 和()22,x y 在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 分析 由条件当12x x >时，12y y <，联系正比例函数的图像和性质，可知函数值y 随着x 的值增大而减小，即比例系数小于零.解 ：由题意，函数值y 的值随着x 的值增大而减小，0,2k k ∴<<例4 直角三角形的一条直角边是6，写出它的面积y 关于另一条直角边x 的函数关系式并画出这个函数的图像.解：由直角三角形的面积公式，得162x y ⨯=.()30y x x ∴=>说明：由于直角三角形的边长为正数，在画函数图像时要特别注意自变量x 的取值范围，因为定义域为X0x >，此时函数图像为一条射线，并且要除去端点.1. 如何理解正比例函数的性质：当0k >时，y 随着x 的值增大而逐渐增大，当0k <时，y 随着x 的值增大而逐渐减小？答：从解析式来看，当0k >时，若12x x <，由不等式的性质有12kx kx <，即12y y <；当0k <时，若12x x <由不等式的性质有12kx kx >，即12y y >;也可以结合正比例函数的图像去理解：当0k >时，从左往右看，直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化，点的位置随着从低到高逐渐变化，说明此时函数值y 相应地从小到大逐渐变化.当0k <时类似.2. 学习函数的性质要掌握的一个重要数学思想是“数形结合”，学会利用函数的图像直观的研究函数的性质.三、 巩固练习 1. 填空：（1）如果正比例函数的图像过点（1，-2），那么它的解析式是_2y x =-__;函数的图像经过第__二、四__象限.（2）正比例函数2y x =-的图像上一点横坐标为2，纵坐标是__-4___, 函数值随x 的值增大而__减小___. （3）由图写直线PO 的解析式：___34y x =___. （4）某函数具有下列两条性质：① 它的图像是经过 原点（0,0）的一条直线；② y 的值随x 的值增大而增大.请你举出一个满足上述条件的函数：____2y x =_（答案不唯一）___. 2. 选择：（1）下列函数中，正比例函数的是（ B ）A.3y x =B. 32y x =- C.213x y += D. 2y x = （2）下列各点中，在直线2y x =上的点有（ A ）.A.21⎫-⎪⎪⎝⎭ B. (2,2 C. 5,10D. ()2,1-（3）函数y kx =的图像经过点（1,4），那么()2y k x=-的图像经过第（ B ）象限.P-3/2-20yXA. 一、三B. 二、四C. 一、二D. 三、四 3. 已知y 是x 的正比例函数，当2x =时，12y =（1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当x =y 的值； （3）在直角坐标系内画出该函数的图像. 答案：（1）14y x =；（2）4y =；（3）略 4. 正比例函数2112y k x k ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的图像经过第二、四象限，求函数的解析式.答案：12y x =-5. 已知3y -与x 成正比例函数，且它的图像经过点（2,7） （1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当4x =时，y 的值； （3）求当3y =-时，x 的值.答案：（1）23y x =+； （2）11； （3）-3 6. 如果28my mx -=是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值(),x y ，有0xy <.求m 的值.答案：-37. 小明早上骑自行车离开家去学校，下图反映了小明离开家的距离y （米）与时间x （分）之间的关系.根据图像回答：（1） 小明家与学校的距离是___3000__米；（2） 小明骑自行车的平均速度是___200___米/分； （3） 写出小明汽车途中，离开家的距离y （米）与时间x （分）的函数关系式及定义域：___()200015y x x =≤≤提高题1. 正比例函数y kx =的图像上有一点A ，过点A 向x 轴作垂线，垂足为点B ，点B 的坐标为（2,0）.若三角形OAB 的面积为6，试求k 的值. 答案：3或-32. 已知正比例函数的自变量x 减小2时，对应的函数值增加4.求该正比例函数的解析式. 答案：2y x =-3. 已知点()()122,,1,A y B y -是正比例函数y kx =的图像上的两个点.若12y y >，试判断k 的取值范围. 答案：0k <家庭作业一、 填空题： 1. 若()21m y m x=+是正比例函数，则m =___1___.2. 已知函数()g x =，则()2g =___3___. 3. 在直角坐标系中，若点(),4M x -和点()3,N y 关于x 轴对称，则x y +=_7__.4. 如果正比例函数3xy =的图像过点()6,k ，那么k =___2___. 5. 已知矩形的周长为12，若矩形一边长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()2606y x x x =-+<<___.6. 若等腰三角形顶角的度数为y ，底角的度数为x ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()1802090y x x =-<<___.7. 若等腰三角形的周长是20cm ，腰长与底边长分别是ycm 和xcm ，那么y 与x 的函数关系式为__102xy =-__,定义域为__010x <<__. 8. 若()25y a x b =+-+是正比例函数，且其图像恰为第二、四象限的角平分线，则a b +=__2__. 9. 若等腰梯形的周长为20cm ，上底长ycm ，底角为30，腰长xcm ，则y 与x 的函数关系式为__2102y x +=-__.10. 若y 成正比例，且当4x =时，3y =-则当32x =时，y =__-___. 二、选择题11. 若()2,P x y 是1P 关于y 轴的对称点，而点1P 在第三象限内，则（ A ）A. 0,0x y >>B. 0,0x y ><C. 0,0x y <<D. 0,0x y <> 12. 若点()111,P x y 与()222,P x y 在同一个正比例函数的图像上，则（ D ）A. 1212x x y y +=+；B. 1212x x y y -=-；C.1212y y x x =； D. 1221x y x y =. 13. 平面直角坐标系中有点()4,3A -,那么点A 到x 轴的距离是（ A ）A. 3 ;B. -3 ;C. 4 ;D. -4. 14. 点()11,A x y 与()11,B y y 之间的距离是（ A ）A. 11x y -；11y - ；C.D. 15. 下列问题中，两个变量成正比例的是（ D ） A. 三角形的面积一定，它的底边与底边上的高； B. 等边三角形的面积与它的高；C. 长方形的一边长确定，它的周长与另一边长；D. 商品的价格确定时，销售额与销售量；E. 点到横坐标的距离确定时，它的纵坐标与横坐标；F. 商品的价格确定时，利润与成本. 三、 简答题16. 求下列函数的定义域：（1）322612y x x x =--+； （2）y =；答案：一切实数 答案：72x ≥（3）6y x =-； （3）y =答案：126x x ≥-≠且 答案：143x <17. 已知()225f x x =-+，求()()5+13f f a f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、.答案：5539f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭；()225f a a =-+；2243a a --+ 18. 已知正比例函数23y x =-. (1) 当x 取何值时，3y >-； (2) 当x 取何值时，3y =-； (3) 当x 取何值时，3y <-；(4) 画出图像，并结合图像说明理由. 答案：（1）()()999;2;3(4)222x x x <=>略 四、综合题已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，依照要求画图，并完成以下各 （1） 在函数34y x =的图像上取一点A （横坐标为4），点A 的坐标是__()4,3__;设点A 关于y 轴对称的点为A ’，那么A ’的坐标是__()4,3-__;（2） 过原点和点A ’画直线OA ’，它与直线34y x =关于y 轴对称吗？___对称____; （3） 如果在函数34y x =的图像上选取另一点B ，点B 关于y 轴对称的点B ’在直线OA ’上吗？ ________在_______;（4） 已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，那么k 的值是多少？ _____34y x =-____.x(分)。

【知识精要】1. 函数(1) 变量和常量变量：可以取不同数值的量；常量：保持数值不变的量。

区别：表示量的数值变还是不变。

(2)函数的定义：在某个变化过程中变化有两个变量，设为X和Y，如果在X的允许取值范围内，变量Y 随着X的变化而变化，他们之间存在着确定的依赖关系(对应法则)，那么变量Y叫做变量X 的函数，X叫做自变量。

注意：(1) 函数并不是数，它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系；(2) 自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域；(3) 函数三要素：自变量、因变量、对应法则。

(3) 函数解析式：两个变量之间依赖关系的数学式子；(4)函数的定义域和函数值定义域：如果y是x的函数，自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域。

函数值：如果y是x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。

符号“y=f(x)”表示y是x的函数，f表示y随x变化而变化的规律(对应法则)。

值域：函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域。

2. 正比例函数(1) 概念：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么就说这两个变量成正比例；用数学符号语言记为ykx=或y=kx(0k≠).解析式形如y=kx(0k≠)的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数。

正比例函数解析式右边是常数与自变量的乘积的形式，且这个常数不为0；自变量的指数为1。

(可用来判断一个函数是不是正比例函数)(2) 定义域：一切实数。

(3) 图像一般地，正比例函数y=kx(k是常数，且k0≠)的图像是经过原点O(0，0)和点M(1，k)的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.(4) 正比例函数的性质①当k>0时，函数图像经过第一.三象限；当k<0时，函数图像经过第二.四象限。

②当k>0时，自变量x逐渐增大时，函数值y也在逐渐增大；当k<0时，自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小。

正比例函数和反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，从本章开始，我们以运动．变化的观点为指导，引入变量和函数的初步的概念，学习两种与现实生活密切相关的简单函数．通过对这两类函数的解析式．定义域．它们的图像和性质的逐一研究，深化了函数概念的理解，并得出研究函数的一般方法．函数的概念与性质是初中阶段的重点．(1)理解函数的意义，掌握函数的定义域和对应法则,会求出x a 时的函数值．(2)本章研究了两个最简单的函数，即正比例函数与反比例函数的定义．图像和性质.这是本章的重点．要理解这两个函数的概念，能借助直观的图像，得到它们的一些基本性质，并知道它们在现实生活中的广泛应用．会用这些概念和性质，采用一定的方法，并渗透数形结合的思想，去解决一些简单的实际问题．(3)掌握函数的三种常用表示法，即解析法．列表法和图像法．知道各种表示法的优缺点，善于把这些方法结合起来，对函数进行分析与研究，还要善于利用图表获取信息．处理信息去解决问题，善于用数形结合的思想研究性质．知识结构正反比例函数单元复习内容分析班假暑级年八2 / 14一．函数的意义1．在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果x 在它的允许值范围内变化，y 随着x 的变化而变化，也就是他们之间存在着相依关系，就说变量y 是变量x 的函数．2．当一个变量取一个确定值时，按照某一对应法则，另一个变量也有确定的值与它对应，这就反映了两个变量间的对应关系，就目前我们涉及的函数，对于自变量在它自己允许值范围内的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与它对应，这里的对应法则就是函数的要素之一．3．自变量可取值的范围，我们称它为定义域.每一个函数都有定义域，定义域是函数的要素之一.函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体就称为函数的值域，这也是函数的要素之一． 二．正比例函数和反比例函数正比例函数 反比例函数解析式 (0)y kx k =≠(0)ky k x =≠图像经过(0,0)(1,)k 和两点的直线双曲线性质当0k >时，图像经过第一．三象限； 当0k <时，图像经过第二．四象限当0k >时，图像经过第一．三象限 当0k <时，图像经过第二．四象限 增减性当0k >时，y 的值随着x 的值增大而增大当0k >时，y 的值随着x 的值增大而减小当0k >时，在每个象限内，y 的值随着x 的值增大而减小；当0k >时，在每个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大．三．函数的常用表示法 1．数学方法—“待定系数法”，待定系数法是数学中常用的方法；2．数学思想—“数形结合”的思想，在解函数题时要充分利用所给函数图形，会正确画图．知识精讲【习题1】 下列说法正确的是（ ）． A ．21x +不是x 的函数B ．汽车的行驶速度与驾驶员的身高存在函数关系C ．凡是过原点的直线的解析式都是正比例函数D ．反比例函数4y x=，当0x <时，y 随x 的增大而减小【答案】D【解析】A 答案中是函数关系；B 答案中两者不存在函数关系；C 答案中过原点的直线也可 以是x 轴和y 轴．【总结】本题主要考查函数的概念，以及正、反比例函数的性质．【习题2】 y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，那么y 与z 的关系是（ ）．A ．成正比例B ．成反比例C ．可能成正比例也可能成反比例D ．既不成正比例也不成反比例【答案】B【解析】∵y 与x 成正比例，∴kx y =，∵x 与z 成反比例，∴z m x =，∴zkm y =． 【总结】本题主要考查两个变量成正比例或者成反比例的概念．【习题3】 若函数231(1)mm y m x ++=+是正比例函数，则m 的值为（ ）．A ．3m =-B ．0m =C ．30m m =-=或D ．30m m ==或【答案】C【解析】1132=++m m ，则0=m 或3-． 【总结】本题主要考查正比例函数的概念．【习题4】 函数3y x =．2y x =-．34y x =的共同点是（ ）． A ．图像经过相同的象限 B ．随着x 逐渐增大，y 值逐渐减小C ．图像都经过原点D ．随着x 逐渐增大，y 值逐渐增大选择题【答案】C【解析】都是正比例函数，因此图像都过原点． 【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．【习题5】 若正比例函数的图像经过点(12)-，，则这个函数的图像一定经过点（ ）．A ．(21)-，B ．1(2)2-，C ．(12)-，D ．1(2)2，【答案】C【解析】正比例函数解析式为x y 2-=，代入C 中的点坐标，成立． 【总结】本题主要考查正比例函数图像上点的坐标特征．【习题6】 如图，过原点的一条直线与反比例函数(0)ky k x=≠的图像分别交于A 、B 两点．若A 点的坐标为()a b ，，则B 点的坐标为（ ）．A ．()a b ，B ．()b a ，C ．()b a --，D ．(a --，【答案】D【解析】正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称．【习题7】 已知0ab >，则函数by x a=的图像经过（ ）．A ．二、三象限B ．二、四象限C ．一、三象限D ．一、四象限【答案】C【解析】∵0ab >，∴0>ab． 【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质．【习题8】 已知：点P 是反比例函数(0)ky k x=≠的图像上任一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k 的值为（ ）． A ．2B ．2-C ．±2D ．4【答案】C【解析】过反比例函数xky =上任一点分别作x 轴、y 轴垂线，构成的矩形的面积为k ． 【总结】本题主要考查反比例函数图像性质中面积不变性的运用．【习题9】 已知反比例函数3k y x+=在它的图像所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而增大，则k 的取值范围是（ ）． A ．0k >B ．0k <C ．3k >-D ．3k <-【答案】D 【解析】()0<=k xky 在每个象限内y 随着x 的增大而增大． 【总结】考查反比例函数的定义和图像性质．【习题10】 函数11y x =-的定义域是_________．【答案】1>x ．【解析】需要满足01>-x ，则1>x ．【总结】本题主要考查函数的定义域的求法，当含有二次根式时，被开方数要非负，同时保证分母不为零． 【习题11】 已知2()2f x x=-，则(2)f =_________． 【答案】12+． 【解析】2(2)=2+122f =-．【总结】本题主要考查利用代入法求函数的值．【习题12】 正比例函数的图像经过(21)，，那么这个正比例函数的解析式是_________． 【答案】x y 21=． 【解析】主要考查利用待定系数法求正比例函数解析式．【习题13】 反比例函数12y x=-的比例系数是_________． 【答案】21-． 【解析】xky =中k 叫做比例系数． 填空题【总结】本题主要考查反比例函数比例系数的概念．【习题14】 反比例函数2k y x-=的图像经过点(23)--，，那么这个反比例函数的解析式是 _________．【答案】xy 6=．【解析】待定系数法求反比例函数解析式．【习题15】 反比例函数mny x=，当m 、n 异号时，它的图像位于第_______象限． 【答案】二、四．【解析】m ．n 异号时，则0<mn ．【总结】本题主要考查反比例函数图像的性质．【习题16】 若函数23my mx -=，当m =______时，此时函数是正比例函数，且图像在第一、三象限，y 随x 的减小而_________． 【答案】2；减小．【解析】132=-m ，则2±=m ；∵图像在第一、三象限，则2=m ． 【总结】本题主要考查正比例函数的概念以及正比例函数的图像的性质．【习题17】 已知y8x =时，16y =，那么当64x =-时，y =__________，当64y =-时，x =__________． 【答案】-32；-512【解析】∵y成正比例，∴3x k y =．∵当8x =时，16y =，∴3816k =，∴8=k ，∴38x y =．当64x =-时，326483-=-⨯=y ；当64y =-时，6483-=x ，则512-=x ．【总结】本题一方面考查两个变量成正比例的概念，另一方面考查求函数值的问题．【习题18】 要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q (米3)和水泵抽水时间t (小时)的函数关系式为__________， t 的取值范围为_________________． 【答案】t Q 30600-=；200≤≤t 【解析】工作总量=工作时间×工作效率． 【总结】本题主要考查函数与实际问题的结合．【习题19】 已知函数y ax =和4ay x-=的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标是__________． 【答案】(12)，或(12)--，． 【解析】当1=x 时，a ax y ==，a xay -=-=44，则a a -=4，解得：2=a ．所以两个函数的解析式为：2y x =和2y x=，联立，解得交点坐标为：(12)，或(12)--，． 【总结】本题主要考查待定系数法求解析式以及利用解析式求交点坐标．【习题20】 已知：函数55y x x =--， 求：（1）自变量的取值范围；（2）(4)A m ，在这个函数图像上，求m 的值；（3）当11x =-时，函数值y 等于多少？ （4）当x 取什么值时，函数值是3？【答案】（1）（1）5≤x ；（2）19；（3）-59；（4）1． 【解析】（1）5≤x ；简答题（2）当4=x 时，194545=--⨯=m ；（3）当11-=x 时，()()59115115-=----⨯=m ；（4）355=--x x ，x x -=-535，两边平方可得：0429252=+-x x ，则11=x ，2542=x ； 代入到原方程中，254=x 不满足方程，则1=x ． 【总结】本题主要考查根据函数解析式求函数值．【习题21】 市出租车起步价是7元（路程小于或等于3千米），超过3千米加收1.2元，求出租车车费y 与行程x （3x >）之间的函数关系式． 【答案】4.32.1+=x y ．【解析】()4.32.132.17+=-+=x x y ．【总结】本题主要考查根据实际问题确定函数解析式．【习题22】 近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距是0.25米．求y 与x 的函数关系式． 【答案】xy 100=． 【解析】用待定系数法求反比例函数解析式．【习题23】 现有100本图书借给学生每人2本，写出余下书数y (本)与学生数x (人)之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围． 【答案】()5002100≤≤-=x x y ． 【解析】考查实际问题．【习题24】 已知等腰三角形的周长为24，设腰长为x ，底边长为y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并求出自变量x 的取值范围． 【答案】()126224<<-=x x y ．【解析】由三角形三边关系可得：x x y x x +<<-，将x y 224-=代入不等式中，可得： 126<<x ．【总结】本题主要考查函数关系式与实际问题之间的关系．【习题25】 某下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x 与售价y写出y 关于x 的函数解析式并画出函数图像．【答案】x y 1.2=，图像略． 【解析】x x x y 1.21.02=+=【习题26】 当k 为何值时，函数321()3k y k x -=+，（1）是正比例函数，并求出此时的函数解析式；（2）是反比例函数，此时函数的图像在什么象限？【答案】（1）x y 34=；（2）x y 32=，此时函数在一、三象限．【解析】（1）123=-k ，则1=k ，函数解析式为x y 34=；（2）123-=-k ，则31=k ，函数解析式为xy 32=，此时函数图像在一、三象限． 【总结】本题一方面考查正、反比例函数的概念，另一方面考查反比例函数的性质．【习题27】 已知反比例函数(0)ky k x =≠的图像经过直线3y x =m ）．求m 和k 的值．【答案】33=m ，9=k ．【解析】∵m ）在直线3y x =上，∴33=m∵在反比例函数xky =上，∴9333=⨯=k ． 【总结】本题主要考查反比例函数图像上的点与图像的关系．【习题28】 已知y 是x 的正比例函数，并且当2x =时，8y =，如果(24)A m m -+，是它图像上的一点，求m 的值．【答案】32=m ． 【解析】∵y 是x 的正比例函数，并且当2x =时，8y =，∴x y 4=，∵(24)A m m -+，是x y 4=上的一点，∴m m 442=+-，∴32=m ． 【总结】本题主要考查正比例函数图像上的点与图像的关系．【习题29】 若双曲线21k y x-=的图象经过第二、四象限，求k 的取值范围． 【答案】21<k ． 【解析】由题意，可得：012<-k ，所以21<k ． 【总结】本题主要考查反比例函数的性质．【习题30】 在反比例函数21m y x--=的图像上有三点11()x y ，，22()x y ，，33()x y ，，若1230x x x >>>，比较1y ，2y ，3y 的大小．【答案】312y y y <<．【解析】012<--m ，则函数y 随着x 增大而增大． 【总结】本题主要考查反比例函数的性质．【习题31】 若11()A x y ，、22()B x y ，、33()C x y ，是函数3y x=图象上的点，且1230x x x <<<，求1y 、2y 、3y 、0的大小关系．【答案】3120y y y <<< 【解析】函数3y x=y 随着x 增大而减小． 【总结】本题主要考查反比例函数的性质．【习题32】 已知反比例函数3m y x+=经过点A (2)m -，和B 2)n n （，， （1）求m 和n 的值；（2）若图像上有两点111()p x y ，和122()p x y ，，且120x x <<，试比较1y 和2y 的大小． 【答案】（1）1-=m ，1±=n ；（2）21y y <． 【解析】（1）∵反比例函数3m y x +=经过点A (2)m -，，∴23+=-m m ，解得：1-=m ．∴反比例函数解析式为：x y 2=，∵()n n B 2，在x y 2=上，∴nn 22=，∴1±=n（2）∵120x x <<，∴21y y <．【总结】本题一方面考查利用待定系数法确定反比例函数的解析式，另一方面考查反比例函数图像的性质．【习题33】 已知点A 坐标为(60)-，，点(1)B a -，在直线3y x =上，求AOB ∆的面积． 【答案】9．【解析】∵点(1)B a -，在直线3y x =上，∴(13)B --，∴93621210=⨯⨯=⋅⋅=y B A B OA S △． 【总结】本题主要考查函数在求几何图形面积中的应用．【习题34】 已知M 是反比例函数(0)ky k x =≠图像上一点，MA ⊥x 轴于A ，若4AOM S ∆=，求这个反比例函数的解析式．【答案】x y 8=．【解析】过反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点作x 轴的垂线（或y 轴的垂线)构成的三角形的面积为k 21． 解答题【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用．【习题35】 已知直线y kx =过点(23)-，，点A 是直线y kx =上一点，点B 的坐标(40)，，且12ABC S ∆=，求点A 的坐标． 【答案】()64-，A 或()64，-．【解析】∵直线y kx =过点(23)-，，∴x y 23-=∵点A 是直线32y x =-上一点，∴可设⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m A 23,∵12ABC S ∆=，∴1221=⋅⋅y A OB ，即1223421=-⨯⨯m ，则4±=m∴()64-，A 或()64，-．【总结】本题综合性较强，注意两种情况的讨论．【习题36】 已知直线12y x =与双曲线ky x=交于A 点，且点A 的横坐标为4．若双曲线ky x=上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积． 【答案】15．【解析】∵点A 的横坐标为4，∴其纵坐标为2214=⨯，∴()2,4A ． ∵()24，A 在x k y =上，则反比例的解析式为xy 8=，∴()81，C ． 过点C 、A 分别作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ， 则4==AOF COE S S △△．∴AOE COA CEFA COE S S S S △△梯形△+=+ ∴CEFA COA S S 梯形△= ∵()1538221=⨯+⨯=CEFA S 梯形∴15=COA S △．【总结】本题综合性较强，要注意分析坐标与距离的关系，另外注意利用割补法求面积． 【习题37】 正方形ABCD 的边长为8厘米，现点P 由点B 出发，沿BC →CD 边，设点P从B 点移动了x cm ，ABP S y ∆=2cm ，求y 关于x 的解析式，并写定义域．【答案】当80≤≤x 时，x y 4=；当168≤<x 时，32=y ． 【解析】当P 在BC 上运动时，x x y 4821=⨯⨯=；当P 在CD 上运动时，328821=⨯⨯=y ． 【总结】本题主要考查动点与三角形面积的关系，注意分类讨论．【习题38】 如图，正比例函数y kx =（k ＞0）与反比例函数3y x=的图像交于A ．C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，求ABCD S 四边形． 【答案】6．【解析】∵正比例函数y kx =（k ＞0） 与反比例函数3y x=的图像交于A ．C 两点． ∴A 、C 关于原点对称， ∴OB OD =，∴OAD OAB S S △△=，OCD OCB S S △△=． ∵23=AOB S △，23=COD S △，∴3462AOB AOD DOC COB ABCD S S S S S =+++=⨯=△△△△四边形．【总结】本题一方面考查反比例函数与正比例函数的交点坐标的特征，另一方面考查反比例函数图像的性质．【习题39】 已知反比例函数(0)ky k x =≠的图像上有一点A ，过点A 向x 轴，y 轴分别作垂线，垂足分别为点B 、C ，且矩形ABOC 的面积为15．求这个反比例函数的解析式．【答案】x y 15=或x y 15-=．【解析】过反比例函数xky =上任一点分别作x 轴、y 轴垂线，构成的矩形的面积为k ． 【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用．【习题40】 已知正比例函数11(0)y k x k =≠与反比例函数22(0)ky k x=≠的图像交于A ．B两点，点A 的坐标为（2，1）． （1）求正比例函数、反比例函数的表达式； （2）求点B 的坐标．班假暑级年八14 / 14【答案】（1）x y 21=，xy 2=；（2）()12--，B 【解析】用待定系数法求函数解析式；正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称．【习题41】 如图所示，在函数1y x=的图象上有三点A ．B ．C ，过这三点分别向x 轴．y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴．y 轴围成的矩形的面积分别为1S 、2S 、3S ，比较1S 、2S 、3S 的大小． 【答案】123S S S ==． 【解析】过反比例函数x ky =上任一点分别作x 轴、y 轴垂线，构成的矩形的面积为k．【总结】本题主要考查反比例函数图像的面积不变性的运用．。

第三讲 函数的表示法【知识要点】1．函数的表示法：（1） 列表法：把两个变量之间的依赖关系用表格来表达； （2） 图像法：把两个变量之间的依赖关系用图像来表示； （3） 解析法：把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达； 【注意】解析法是比较常用的方法，也是考试重点考察的方法。

2．正、反比例函数与实际问题（1）根据实际问题，判断两个变量是成正比例还是反比例； （2）设函数解析式，待定系数法确定函数解析式； （3）确定函数定义域；【学习目标】1. 掌握函数的三种表示法，并掌握列表法与解析法的相互转化、图像法与解析法的相互转化；2. 对于实际问题，熟练确定函数解析式并给出定义域。

【典型例题】1． 由图表和图像求函数关系【例1】下面给出的是函数)(x f y =的部分数值对应表，x 1 -2 3 2 4 -4 y 3 4 5 4 1 0 则与4)(=x f （A ）-2 （B ）1 （C ）2（D ）2±【分析】理解了列表法，即能直接从表中找到对应的关系． 【解答】（D ），在表中找关系，当4)(=x f ，2,2x =- 【例2】下列图形可以作为某个函数的图象的是（ ）y yO x O x O x O x（A ） （B ） （C ） （D ）【分析】用图象反映函数的概念。

【解答】定义域内的任意一个x 至多有一个y 的值与之对应．所以选（B ）。

【例3】某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则其中的图形较符合该学生走法的是（ ）1. （B ）（C ）（D ）【分析】前一段时间，路程走得多，后一段时间路程走得少，开始时与家里的距离是0 【解答】（C ），根据分析只有（C ）适合，故选（C ）．2． 函数的嵌套【例4】已知xx f -=11)(，当≠x时，下列各式中与)]([x f f 相等的一个是（ ） （A ）)(1x xf （B ）)(1x f x + （C ）)(1x xf - （D ）)(1x f x - 【分析】计算出)]([x f f 与对应的项进行比较． 【解答】（C ）【例5】已知12)3(2++=-x x x f ，那么=+)3(x f （ ）（A ）49142++x x （B ）1682++x x （C ）242+-x x （D ）49142+-x x【分析】16)3(8)3()3(2+-+-=-x x x f ，∴163(8)3()3(2++++=+）x x x f ． 【解答】（A ），化简分析的式子可以得到答案。

《正比例函数和反比例函数》全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和反比例函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过正比例函数和反比例函数的图像和性质，能够用数形结合的观点解决有关的题型.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x和y,如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。

y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.要点二、正比例函数1.定义：定义域是一切实数的函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数.注意：正比例函数的定义域是一切实数.2.图象：一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图像是经过原点（0,0）和点（1，k）的一条直线，.我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.3.画函数图像的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.画直线y=kx的图像.为了方便，我们通常取原点O（0，0）和点（1，k）.4.正比例函数的性质：（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大.（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐减小.要点三、反比例函数 1、定义定义域为不等于零的一切实数的函数xky =，（ k 为不等于零的常数）叫做反比例函数，其中k 也叫比例系数. 2、图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴。

正比例函数和反比例函数的复习一、教学目标：1．系统梳理正比例函数和反比例函数的概念和性质；2．引导学生梳理求正，反比例函数解析式的条件和方法；3．通过函数解析式来确定函数的大致位置，使学生充分体会和感悟数形结合的思想方法；4．提高应用正比例函数和反比例函数解决实际问题的能力。

二、教学重点：1．通过类比总结归纳确定正比例函数解析式和反比例函数解析式依靠待定系数法；2．由于正比例函数和反比例函数在实际中的应用定义域可能是部分实数，故它们的图像可能是直线的部分，可能是曲线的一部分。

三、教学难点：1．反比例函数在面积中的应用2．通过画反比例函数的大致图像，从而确定点的大致位置。

四、教学过程：（一）知识点的梳理：正比例函数反比例函数解析式定义域x取一切实数或的一切实数图像k>0 k<0k>0 k<0增减性 当k>0时，图像经过第一，三象限，y 的值随着x 的值的增大而增大；当k 〈0时，图像经过第二，四象限，y 的值随着x 的值的增大而减小。

当k>0时，图像经过第一，三象限，在每个象限内，y 的值随着x 的值的增大而减小；当k 〈0时，图像经过第二，四象限，在每个象限内，y 的值随着x 的值的增大而增大。

（二） 正确区分正比例函数和反比例函数： 判断下列函数中，哪些是关于的正比例函数？哪些是反比例函数？小结：依据解析式来判断正，反比例函数（三） 探索确定正比例，反比例函数的解析式所需要的条件： 1． 已知是的正比例函数，且当=2时，=4，则函数解析式是变式1：已知是的正比例函数，点M （2，4）在这个函数的图像上，则函数解析式是变式2：一个正比例的函数图像如图所示，写出这个函数解析式变式3：设三角形底边长为，底边上的高是4，三角形的面积为，则与的函数解析式2．已知是的反比例函数，且当=2时，=4，则函数解析式是变式1：已知是的反比例函数，点M（2，4）在这个函数的图像上，则函数解析式是变式2：一个反比例的函数图像如图所示，写出这个函数解析式变式3：设三角形底边长为，底边上的高是，三角形的面积为4，则与的函数解析式变式4：（1）如图，A（，）为反比例函数图像上的一点，AB垂直轴于B，B为垂足，若，则这个反比例函数的解析式是（2）如图，点P（，）是反比例函数图像上的一点，PM⊥轴，PN⊥轴，M，N为垂足，xy24 A.O且，则矩形PMON 的面积是8，则这个反比例函数的解析式是小结：确定正比例函数和反比例函数的解析式只要一个条件，比如知道函数图像上的一个点，用的都是待定系数法，求关于k 的一元一次方程（四） 通过正比例，反比例函数的解析式来确定点的坐标：1． 正比例函数中，当=-2时，对应的函数值是 -1变式：反比例函数中，当=-2时，对应的函数值是 -12． 点P （-4，m ）在正比例函数上，则m= -16变式：点P （-4，m ）在反比例函数上，则m= -13． 已知点A （2，4）在正比例函数图像上，则下列各点中，不在此图像上的点是（ D ）A （3，6）B （-3，-6）C （1，2）D （-1， 2）变式：已知点B （-4，-6）在反比例函数图像上，则下列各点中，不在此图像上的点是（ C ） A （4，6） B （6，4） C （-6，4） D （-6，-4） 小结：有时候可以把解析式变形为，如题3。

正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据．一、 正比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是yk x =，或表示为y kx =，k 是不等于零的常数．2、解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数；正比例函数y kx =的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．3、一般地，正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是经过（0，0），（1，k ）这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =．正反比例综合知识结构模块一：正反比例函数图像和性质知识精讲内容分析4、正比例函数图像的性质：（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y 值也随着逐渐增大．（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y 值反而逐渐减小．二、反比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是xy k=，或表示为kyx=，其中k是不等于零的常数．2、解析式形如kyx=（k是常数，0k≠）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做比例系数．反比例函数kyx=的定义域是不等于零的一切实数．3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的图像．反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支．4、反比例函数图像的性质：（1）当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小；（2）当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大；（3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交．【例1】函数25(1)my m x-=+：（1）当m为_______时，它是正比例函数，且y随x的增大而增大；（2）当m为_______时，它是反比例函数，且在各个象限中，y随x的增大而增大．【例2】（1）函数2y x=与3yx=的图像的交点坐标是_______________；例题解析（2）函数121y x y x=-=与的图像的交点坐标是___________．【例3】 已知直线2y mx =与双曲线1k y x-=的一个交点A 的坐标为(12)--，， 则m k +=________；它们的另一个交点坐标是___________．【例4】 若y 与1x成正比例关系，z 与x 成正比例关系，则y 与z 成___________关系． 【答案】【例5】 若正比例函数和反比例函数的图像经过点A （-2，1）和点B (312)a b -+，，则2a b 的值为 ___________．【例6】 若直线1100x y =-与双曲线2(0)my m x=≠的图像有两个交点，则m 的取值范围是___________． 【例7】【例8】 如图，正比例函数1(0)y kx k =≠和反比例函数2(00)ky k x x =≠>，的图像在同一平面直角坐标系中大致是（ ）．AxyO By xODyxOCyxO【例9】 若A 、B 两点关于y 轴对称，点A 在双曲线14y x=上，点B 在2y x =-上，则B 点坐标是_________．【例10】正比例函数1(0)y kx k =>和反比例函数21y x=的图像交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B 点，连接BC ，若△ABC 的面积是S ，求S 的值．【例11】 已知正比例函数1(1)y k x =+与反比例函数21m y x-=交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是-1，点B 的纵坐标是2，求这两个函数的解析式．【例12】 已知反比例函数11k y x=和正比例函数22y k x =的图像交于点（2，3）， （1） 求这两个函数解析式；（2） 判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上； （3） 求两个函数图像的另一个交点．【例13】 已知函数(1)y k x =-的图像上一点A (03)-，，并且它和反比例函数的图像交于点B （2，m ）求反比例函数的解析式．【例14】 已知函数124my mx y x-==，的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标是1，求这两个函数图像的交点坐标．【例15】 已知直角坐标系内一个正方形的边长为2，中心位于点（2，2），各边与坐标轴平行，双曲线ky x =与正方形有公共点，求k 的取值范围．【例16】 已知12y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 且当1x =时，5y =，当4x =时，18y =，求： （1）y 与x 的函数解析式； （2）当2x =时，y 的值．【例17】 已知：1223y y y =-，1y 与3x -成正比例，2y 与x+8成反比例，且当1x =和5x =-时，y 的值分别是3和-11，求y 和x 之间的函数关系式．【例18】 在同一平面直角坐标系中，已知正比例函数12y x =-和正反比例函数26y x=-的图像相交于P 、Q 两点，点A 在x 轴的负半轴上，且与原点的距离是4， （1）求P 、Q 两点的坐标； （2）求△APQ 的面积．【例19】 A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别过A 、B 两点向x 、y 轴作垂线段，重叠部分的面积为1S =阴，如图所示，求空白部分的面积之和，即12S S +的值．【例20】 如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C在y 轴上，点B 是双曲线ky x=上的点，P （m ，n ）是图像上任意一点，过点P 分别作x 、y 轴的垂线段，垂足分别为E 、F ，若矩形OEPF 和正方形OABC 重合的部分的面积是S ，求出S 和m 的函数关系式．【例21】 已知函数2(0)a y x x =>的图象与13(0)y x x-=<的图象关于y 轴对称．在AB O xyA BC O E FG Py x2(0)ay x x =>的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2)，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足是Q ，若存在两点B 、C ，且B (0，2)，C (2，0)，使得四边形BCQP 的面积等于2，求P 点的坐标．【例22】 如图，正比例函数1y kx =（k >0）与反比例函数21y x=的图像交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连接BC ．若△ABC 的面积是S ，试指出S 是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．【例23】 如图，直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两，P 是线段AB 上的点（不与A 、 B 重合），过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C 、D 、E ,连接OA 、OB 、OP ， 设△AOC 面积是1S ，△BOD 面积是2S ，△POE 面积是3S ，试比较123S S S ，，的大小 关系．【例24】 已知：关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k +-+=的两根12x x ，满足22120x x -=，双曲线4(0)ky x x=>经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于点C ，求OBC S ∆．ABC DOxyA BC D OxyABC D E Px y O L【例25】 已知：在矩形AOBC 中，OB =4，OA =3，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过F点的反比例函数ky x =的图像与AC 边交于点E ．（1）求出满足题意的k 的取值范围；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求S 关于k 的函数解析式；（3）是否存在这样的实数k ，使△OEF 和△ECF 面积相等?若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由．【例26】 如图，11POA ∆、212PA A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数9(0)y x x=<的图像上，斜边1OA 、ky x=都在x 轴上，则点2P 的坐标为_________．【例27】 在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过点A (1，0)且与y 轴平行，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平行，直线1l 与2l 相交于P ．点E 为直线2l 一点，反比例函数(0)ky x x =>的图象过点E 且与直线1l 相交于点F . （1）若点E 与点P 重合，求k 的值；（2）连接OE 、OF 、EF ，若2k >，且△OEF 的面积为△PEF 的面积2倍，求点E 的坐标．OxAB C O yEFE ABxyOPF【例28】 如图，已知直线112y x =与双曲线2(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标是4，过原点O 的另一条直线L 交双曲线2(0)ky k x =>于P 、Q 两点（点P 在第一象限），若由点A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形的面积是24，求点P 的坐标．随堂检测yABxOPABOxy【习题1】 已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点()215-，，那么这两个函数的另一个交点的坐标为________，两个函数解析式分别是_________________________．【习题2】 若正比例函数和反比例函数都经过1(0)y mx m =≠和2(0)ny n x=≠都经过点（2，3）则m =___________，n =__________．【习题3】 已知：221(+2)mm y m m x +-=：（1）如果y 是x 的正比例函数，则m ______，函数解析式为_________； （2）如果y 是x 的反比例函数，则m ______，函数解析式为_________．【习题4】 点P 是反比例函数图像2y x=-上的一点，PD ⊥x 轴，则△POD 的面积为_______．【习题5】 如图，A 是反比例函数ky x=图像上的一点，过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为P 、C ，若矩形ACOP 的面积是3，则反比例函数的解析式是________．【习题6】 已知函数1y ax =与反比例函数2by x=的图像在同一直角坐标系中无交点，则a POxDyAxC O P y和b 的关系式（）． A ．0ba >B ．0a b ->C ．0a b +=D ．0ab <【习题7】 已知函数1(0)y x x =>与反比例函数24(0)y x x=>的图像在如图所示，下列结论正确的是（）．① 两函数的交点坐标为（2，2）； ② 当212x y y >>时；③ 直线x=1分别与两函数的图像交于B 、C 两点，则线段BC 的长为3； ④ 当x 逐渐增大时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小． A ．只有①② B ．只有①③C ．只有②④D ．只有①③④【习题8】 已知12y y y =-，1y 与2x 成正比例，2y 与2x -成反比例，当x = 1时，1y =-；当x = 3时，y = 5；（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当22x =-时，求y 的值．【习题9】 点P 是反比例函数与正比例函数2y x =-的图像的交点，PQ ⊥x 轴于点Q （2，0）．（1） 求这个反比例函数的解析式；（2） 如果点M 在这个反比例函数的图像上，且△MPQ 的面积是6，求M 点的坐标．ABC O xy【习题10】 已知：如图，等腰Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴的正半轴上，斜边AC 上的中线BD 的反向延长线交y 轴的负半轴于点E ，且B 恰好是DE 的中点，双曲线(0)ky k x=>经过点A ，若△BEC 的面积为5，求k 的值．【习题11】 两个反比例函数1k y x =和21y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在1k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交21y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点，交21y x=的图象于点B ，当点P 在1ky x=的图象上运动时，以下结论:①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点. 其中一定正确的是( )A ．①②③④B ． ①②③C ．①②④D ． ①③④【习题12】 已知：正方形1112A B PP 的顶点12P P ，在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点11A B ，分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2223A B P P ，顶点3P 在反比例函数2(0)y x x =>的图象上，顶点2A 在x 轴的正半轴上，则点3P 的坐标为______．A BCDP xyOxOyABCDExyO【作业1】 已若y 与3x -成反比例，x 与4z成正比例，则y 是z 的__________．【作业2】 正比例函数113y x =和反比例函数2ky x=的图像都经过A (m ，1)，则m =_________，反比例函数的解析式为______________．【作业3】 A 是反比例函数ky x=图像上的一点，AB ⊥x 轴于点B ，若3AOB S ∆=，则k 的值是__________．【作业4】 设直线(0)y kx k =<与双曲线5y x=-相交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，则12213x y x y -的值为() A ．-10 B ．-5C ．5D ．10课后作业【作业5】 在同一坐标系中函数1y kx =和2-1k y x=的大致图像是（ ）ABCD【作业6】 如图，正比例函数y x =与反比例函数1y x=的图象相交于点A 、C 两点， AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，求四边形ABCD 的面积．【作业7】 已知12y y y =+，1y 与22x 成正比例，2y 与x 成反比例，当x =1时，y 的值为5；当x =4时，y 的值为18，求当x =9时，y 的值．【作业8】 如图，直线(0)x t x =>与反比例函数1221y y x x==-，的图象分别交于B ，C 两点，A 为y 轴上的任意一点，求△ABC 的面积ABCD O xyByO-11-111-1 1xy xyxyxy-1【作业9】 如图所示，正方形OABC 、ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上，点F 在AB上，点B 、E 在函数1(0)y x x =>的图像上，求点E 的坐标．【作业10】 如图所示，已知正比例函数1y ax =的图像和反比例函数2ky x=的图像交于A （3，2）．（1） 试确定正比例函数和反比例函数的解析式；（2） 根据图像回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3） M （m ，n ）是反比例函数上的动点，其中03m <<，过点M 坐MN ∥x 轴，交y轴于点B ，过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线BM 于点D ，当四边形OADM 的面积是6时，请判断BM 与DM 的大小关系，并说明理由．A F BCDExy O ABM D CxyO【作业11】 如图（a )双曲线1(0)ky k x=>与直线`2y k x =交于A 、B 两点，点A 在第一象限，试回答一下问题（1）若点A 的坐标为（4，2），则点B 的坐标为______________；若A 的横坐标为m ，则点 B 的坐标可以表示为______________；（2）如图（b ）所示，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线1(0)ky k x=>于P 、Q 两点，点P 在第一象限，①说明四边形APBQ 一定是平行四边形②设点A 、P 的横坐标分别是m 、n 四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出m 、n 应满足的条件；若不可能，请说明理由．ABOxyAQPOyBx。

专题05 正比例函数与反比例函数【考点剖析】 1.函数定义：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，在变量x 的允许取值范围内，变量y 随x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫x 的函数. 函数记号：()y f x =，()f a 表示x ＝a 时的函数值. 设()f x 为整式，则函数()y f x =的定义域：一切实数；函数1()y f x =的定义域：满足()0f x ≠的实数；函数y ()0f x ≥的实数.2.正比例函数与反比例函数3.函数的表示法：解析法；列表法；图像法等. 【典例分析】 【考点1】函数的概念例1 （松江2018期末2）函数y =的定义域是【答案】32x ≤; 【解析】由320x -≥可得32x ≤. 例2 （浦东四署2018期末21）已知y 与2x －3成正比例，且当x ＝4时，y ＝10，求y 与x 的函数解析式. 【答案】46y x =-【解析】设函数解析式为(23)(0)y k x k =-≠，把x ＝4，y ＝10代入得10(83)k =-，解得k ＝2，所以函数解析式为46y x =-.例3 （长宁2018期末3）已知函数()f x =，则(3)f ＝ .1【解析】1)(3)12f ===.【考点2】正、反比例函数的性质例4 （松江2018期末9）已知反比例函数12ky x-=，当0x >时，y 的值随着 x 的增大而减小，则实数k 的取值范围 . 【答案】12k <. 【解析】因为y 的值随着 x 的增大而减小，所以1120,2k k ->∴<例5 （松江2018期末25）已知：如图，点A （1，m ）是正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x=的图像在第一象限 的交点，AB x ⊥轴，垂足为点B ，ABO ∆和面积为2. （1）求m 的值以及这两个函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且AOP ∆是以OA 为腰的等腰三角形，求点P 的坐标.【答案】（1）4y x=，4y x =；（2）P （2，0）、(P 或 【解析】（1）因为242,4,;ABO S k y x∆=∴=∴=又点A （1，m ）在反比例函数图像上，所以m=4,又点A在正比例函数图像上，所以1k ＝4，所以4y x =. （2）若AOP ∆为等腰三角形，则①AO ＝OP ，得OP ＝2）B ＝2，所以P （2，0）； ②OA ＝OP ，OA(P 或，综上所述，点P 的坐标为 P （2，0）、(P 或【真题训练】 一、选择题1.（崇明2018期中5）函数3y x =与函数2y x=-在同一坐标系中的大致图像是（ ）(D )(C )(B )(A )【答案】B【解析】函数3y x =的图像在第一、三象限，函数2y x=-的图像在第二、四象限，故选B. 2.（普陀2018期末3）已知正比例函数2y x =-的图像上有两点1122(,)(,)A x y B x y 、，如果12x x <，那么12y y 与的大小关系是（ ）A.12y y >；B. 12y y <；C. 12=y y ；D. 不能确定【答案】A【解析】因为正比例函数2y x =-中y 随x 的增大而减小，如果12x x <，那么12y y >. 3.（崇明2018期中6）如果点123(2,),(1,),(1,)A y B y C y --在反比例例函数1y x=的图像上，那么下列结论正确的是（ ）A.123y y y >>；B. 321y y y >>；C. 312y y y >>；D. 132y y y >> 【答案】C【解析】画反比例函数1y x=的图像，由图像可知(1)(2)(1)f f f >->-，即312y y y >> 4.（嘉定2017期中2）函数 13y x =图像一定不经过点（ ）A. (3,1)B. (3,1)--C. 1(1,)3-- D. (1,3)【答案】D【解析】把点的坐标代入函数解析式，如果左右两边相等的，点在函数图像上，否则不在图像上。

专题05 函数的概念及正比例函数【考点剖析】1.函数定义：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，在变量x 的允许取值范围内，变量y 随x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫x 的函数.函数记号：()y f x =，()f a 表示x ＝a 时的函数值.设()f x 为整式，则函数()y f x =的定义域：一切实数； 函数1()y f x =的定义域：满足()0f x ≠的实数；函数y ()0f x ≥的实数.函数[]0()f x 的定义域：满足()0f x ≠的实数2.正比例函数1）.正比例：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例.用数学式子表示两个变量x,y 成正比,就是y k x=或者y kx =,其中0k ≠。

2）.正比例函数：k>0 k<0 3.注意点(1)正比例函数y kx =中, 0k ≠,但定义域是一切实数,两者不能混淆.(2)在实际问题中,正比例函数的图形往往是一条线段,一切要根据定义域来确定线段的所在范围。

(3)正比例函数与正比例是有区别的,正比例函数一定要满足y kx =,比如: 2(1)y x =+就不是正比例函数,是一次函数,但是y 与x+1成正比例。

【典例分析】【考点1】函数的概念1．下列各选项中分别有两个变量x 、y ，则y 不是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．y=2x 1D ．在国内投寄到外埠质量为100g 以内的普通信函应付邮资如下表： 信件质量/x y020x <≤ 2040x <≤ 4060x <≤ 6080x <≤ 80100x <≤ 邮资y /元1.202.403.604.80 6.002．函数y 11-x 的自变量x 的取值范围是______3．在函数y =中，自变量x 的取值范围是_________．4．如果函数()11f x x =-，那么f =_____．【考点2】正比例函数的图像及性质1．下列问题中两个变量成正比例的是（ ）A ．正方形面积和它的边长B ．一条边确定的长方形，其周长与另一边长C ．圆的面积与它的半径D ．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数2．已知函数223y x k =+-是正比例函数，则常数k 的值为（ ） A ．2-B ．0C ．2D ．2±3．下列函数中，正比例函数是（ ）A ．3x y =B ．21y x -C ．22y x =D ．3y x=4．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-5．在32y x a =+-中，若y 是x 的正比例函数，则常数=a ___________．6．若函数()2269y m x m =++-是关于x 的正比例函数，则m 的值为_____________．7．已知正比例函数m y mx =∣∣，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m 的值为____．8．已知y 是x 的正比例函数，当2x =-时，8y =．求y 关于x 的函数表达式，以及当3x =时的函数值．9．已知3y 与21x -成正比例，且当1x =时，6y =．(1)求y 与x 之间的函数解析式．(2)已知点(,)P m n 在该函数的图像上，且4m n -=，求点P 的坐标．10．已知正比例函数过点(42)-，A ，点P 在正比例函数图像上，又(04)B ，且10ABP S =，求点P 的坐标．【课后练习】1．下列各图象中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数()032x y x -=+-的自变量x 的取值范围是___________3．已知函数1()1f x x=+，则3)f ＝ . 4．下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（ ）A ．圆的面积S （cm 2）与它的半径r （cm ）之间的关系B ．某水池有水15m 3，现打开进水管进水，进水速度为5m 3/h ，xh 后这个水池有水y m 3C ．三角形面积一定时，它的底边a （cm ）和底边上的高h （cm ）之间的关系D ．汽车以60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程y 与行驶时间x 之间的关系5．下列变化过程中，y 是x 的正比例函数是（ ）A ．某村共有5210m 耕地，该村人均占有耕地y （单位：2m ）随该村人数x （单位：人）的变化而变化B ．一天内，温岭市气温y （单位：℃）随时间x （单位：时）的变化而变化C ．汽车油箱内的存油y （单位：升）随行驶时间x （单位：时）的变化而变化D ．某人一年总收入y （单位：元）随年内平均月收入x （单位：元）的变化而变化6．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ）A ．正方形的周长C 随着边长x 的变化而变化B ．正方形的面积S 随着边长x 的变化而变化C ．面积为20的三角形的一边a 随着这边上的高h 的变化而变化D ．水箱以0.5L /min 的流量往外放水，水箱中的剩水量VL 随着放水时间t min 的变化而变化7．若()224y m x m =-+-是y 关于x 的正比例函数，求该正比例函数的解析式．8．正比例函数y=ax 中，y 随x 的增大而增大，则直线()1y a x =--经过（ ）A ．第一、三象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限9．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （3，m ）、B （n ，﹣2），那么一定有（ ）A ．m ＞0，n ＞0B ．m ＞0，n ＜0C ．m ＜0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜010．已知正比例函数y =kx 的图象经过点（2，﹣4），（1，1y ），（﹣1，2y ），那么1y 与2y 的大小关系是（ ）A ．1y ＜2yB ．1y ＝2yC ．1y ＞2yD ．无法确定11．正比例函数(1)y k x =+图像经过点（1，1），那么k =__________．12．已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，且经过点（k ，k +2），则k =________．13．若正比例函数()1y m x =-的图象从左到右逐渐上升，则m 的取值范围是___________________14．已知正比例函数y=kx 图像经过点（2，4），求：(1)这个函数的解析式；(2)判断点A （2，1）是否在这个函数图像上；(3)图像上两点()11,B x y ，()22,C x y ，如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．15．已知y 与x1成正比例，且当x= 3时，y= 4．(1)求y 与x 之间的函数解析式；(2)当x= 1时，求y 的值．16．如图，已知正比例函数y ＝kx 的图像经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，点A 的横坐标为4，且△AOH 的面积为8(1)求正比例函数的解析式．(2)在x 轴上能否找到一点P ，使△AOP 的面积为10？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知：如图，直线2y x =上有一点()2,P a ，直线()01y kx k =<<上有一点(),2Q b ．(1)求点P 和点Q 的坐标（其中点Q 的坐标用含k 的代数式表示）．(2)过点P 分别作PA y ⊥轴，PB x ⊥轴，过点Q 分别作QC x ⊥轴，如果OPQ △的面积等于BPQ 的面积的两倍，请求出k 的值．(3)在（2）的条件下，在直线OQ 上是否存在点D ，使12OCD S =△如果存在，请求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．。