沪教版(上海)八年级上18.2第2课时正比例函数的图像与性质

正比例函数图像与性质教学内容1 .理解函数的概念，会求函数的解析式和函数值和函数定义域；2 .理解正比例函数的概念，会用待定系数法、数形结合法求正比例函数解析式;3 .熟练掌握正比例函数的图像和性质，会解相关题目.（以提问的形式回顾）1.请填写下表： 正比例函数的定义、图像和性质:定义形如y =kX （k 中0）的函数叫正比例函数 图像经过定点（0，0）和（1,k ）的一条直线图形经过第一、三象限 k /0y 随X 的增大而增大 性质 L/C 图形经过第二、四象限k <0y 随X 的增大而减小 4 .填空:（1）函数y =2X —1自变量的取值范围是—一,3X —1……，一—口（2）函数y =-一-自变量的取值范围是—2X -1（3）函数y =、2X -1自变量的取值范围是、1111答案：（1）全体实数；（2）X W5；（3）X ^—；（4）X ^—且X ^—（4） v13X -1函数k ^1自变量的取值范围是•(采用教师引导，学生轮流回答的形式)已知函数f (x )=x 2—2x —1.求：(1)f (0)；(2)f (-1)；(3)f «2)；(4)f (-a ).(1)-1；(2)2；(3)—2v2+1；(4)a 2+2a —1 例2：下列函数中，是正比例函数的是()A1 4「、,ClA .y =—x B.y =—C y =5x —3D .y =6x 2—2x —1 2 x试一试：(1)若y =5x 3m -2是正比例函数，则m =.(2)若函数y =(m —4)x 是关于x 的正比例函数，则m 的取值范围是(3)若函数y =(a +2)x a 2-3是正比例函数，则a 的值是.(4)若函数y =(a +2)x +a 2—4是正比例函数，则a 的值是.答案：1；m 丰4；2；2例3：已知正比例函数的比例系数是-5,则解析式为答案：y =—5x试一试：已知y 是x 的正比例函数，且当x =2时，y =12，求这个正比例函数的解析式.答案：y =6x例4：一个函数的图像是经过原点的直线，并且这条直线经过点(1,3)，则这个函数的解析式为. 答案：y =3x试一试：(1)已知正比例函数图像上有一个点A 到x 轴的距离为4,这个点A 的横坐标是-2,则这个正比例函数的解析式为.(2)已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1：2,则此函数解析式是.(3)已知点A (4,-2)、B (a ,3)都在同一个正比例函数的图像上，则a 的值为.饼提升答案:A .a >b >c 答案：C 例6.若点A 纵坐标为4,且A 在直线y =kx 上，过点A 坐AD 垂直y 轴于点D .若■ADO 的面积为4,求点A 坐标和直线y =kx 的解析式.答案:一、…，一，……1……解：设点A 纵坐标为x ，则—x x x 4=4,解得所以点A 的坐标是(2,4)或(-2,4).将点A 的坐标代入y =kx ，得k =±2,所以直线的解析式为y =2x 或y =-2x . 答案：y =2x 或y =2x ；y =x 或y =-x ；-3例5：(1)正比例函数y =(m -1)x ,y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是(2)若正比例函数y =(m -1)x m 2—3的图像经过第二、四象限，则m 的值是答案：m>1；-2试一试:1 .已知函数y =(k 2—4)x 2+(k +1)x 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则k =答案：-22 .已知正比例函数y =(2m —1)x 的图像上有两点R ，y j B (x ,y )，当x <x 时，有y >y ，那么m 的 取值范围是(B .m>2D . 答案：C3.如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①y =ax :② y =bx ；@y =cx ，贝U a 、b 、c 的大 小关系是()x =±21 .下列函数中，是正比例函数的有（） ①y =3x +1；©y=4x ；@s —1=t +5；@m +2=2—x .A .①②B .②③C ②④D .③④2 .如果y =(m +3)x n -1是正比例函数，那么m ，n = 3,若y =（n —2）X n L 1是正比例函数，则n =4 .一根蜡烛长20厘米，点燃后平均每小时燃烧5厘米，燃烧后剩下的蜡烛高度y 厘米与燃烧时间x 小时之间的函数关系用图像可表示为（）5 .已知正比例函数的图像经过点P （2,3）.（1）求此函数解析式；（2）若在x 轴上有点。

学科教师辅导讲义学员日校：年级：初二课时数：2学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长签名组长备注课题正比例函数的认识和图像教学目标正比例函数的认识和图像重点、难点正比例函数的认识和图像考点及考试要求教学内容正比例函数知识精要1. 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数(这个常数不等于零)那么就说这两个变量成正比例.2. 解析式形如y=kx(k是不等于零的常数)的函数叫做正比例函数,其中常数k叫做比例系数3. 一般地,正比例函数y=kx(k是常数,k 0)的图像是经过原点O(0,0)和点M(1,k)的一条直线.我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx4. 正比例函数性质(1)当k>0时,正比例函数的图像经过第一,三象限;自变量x的值逐渐增大时,y的值也随着逐渐增大.(2)当k<0时,正比例函数的图像经过第二,四象限;自变量x的值逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小.1. 下列各题中的两个变量是否成正比例?(1)某复印社按复印A4纸1张收0.4元计费,变量是复印纸张数x(张)与费用y(元).(2)正方形ABCD 的边长为6,P 是边BC 上一点,变量是BP 的长x 与△ABP 的面积S.(3)圆的面积随半径变化而变化,变量是圆的面积A 与该圆半径r.2. 下列函数中,哪些是正比例函数?(1)5x y -=; (2)x 5y =; (3)x -3y =; (4)2x 2y =3. 已知在函数8k2x )3k (y --=中,当x 为何值时,它是正比例函数?4. 若函数)4m (x )1m 4(y -+-=是正比例函数,那么m=________________5. 已知正比例函数8x y =,那么y 与x 之间的比例系数是_____________6. 如果2个变量y 与x 的比值为k1,这里的k 为常数且不为零,那么y 与x_____正比例.(填”成”或”不成”)7. 已知y 与x 成正比例,当x=4时,y=6,求y 与x 的比例系数.8. 已知3y 与2x 2成正比例,当5x =时,7y =,求y 关于x 的函数解析式.9. 如果)1k 3(kx y -+=是正比例函数,求当y=6时,x 的值.10. 若点P 在直线x 2y -=上,且点P 的横坐标为1,那么点P 的坐标为___________11. 正比例函数图像上有两点A(3,1),B(a,2),则a=__________12. 在同一个直角坐标平面内画出两个函数的图像:(1)x 4y =与x 41y =(2)x 31y -=与x 3y -=13. 已知mn<0,那么函数x nm y =的图像经过第_____________象限. 14. 已知正比例函数x )4a 1(y -=,y 的值随着x 的值增大而增大,求a 的取值范围.15. 函数kx y =(k ≠0)的图像经过点A(21-,5),写出函数解析式,并说明函数图像经过哪几个象限.16. 已知正比例函数x )1k 2(y +=的图像经过第二,四象限,那么k_________17. 若正比例函数x )3m (y -=,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是____________18. 已知点(11y ,x ),(22y ,x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上,当21x x >时,21y y <,那么k 的取值范围是多少?19. 已知y 与x 的正比例函数,且当x=6时y=-2(1)求出这个函数的解析式;(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像;(3)如果点P(a,4)在这个函数的图像上,求a 的值;(4)试问,点A(6,-2)关于原点对称的点B 是否也在这个图像上?20. 已知y-3与5x 成正比例关系,且当x=2时,y=8,求x=-4时y 的值.21. 已知21y y 2y -=,1y 与3x 成正比例,2y 与5)(x +成正比例,且1x =时, 12y =, 1x -=时,2y -=,求y 与x 的函数解析式巩固练习1. 判断题(1) 当k ≠0时,y=(k-1)x 是正比例函数. ( )(2) 当k ≠1时,y=kx-x 是正比例函数. ( )(3) 如果3n 2x )2n (y --=是正比例函数,那么2n ±=. ( )(4) 如果y 与x+2成正比例,那么y 是x 的正比例函数. ( )2. 正比例函数kx y =(k 为常数,k ≠0)的图像是经过_________和点(1,_____)的一条直线.3. 若正比例函数的图像经过点(-1,3),则这个正比例函数的解析式是______________4. 当a=___________时,)9a (x )3a (y 2-+-=是正比例函数,图像经过第_________象限.5. 如果直线kx y =平分第一,三象限,那么k=_____________6. 正比例函数kx y =的图像经过点)5,21(-,则图像一定经过___________象限. 7. 已知点A(m,-3)在直线x 3y =上,那么m=_________8. 下列函数中，是正比例函数的是 ( )A. 3-x y =B. x 52y -= C. 2x y = D. 7x 2y -=9. 已知y 是x 的正比例函数,且当x=2时,y=2,求y 与x 之间的比例系数,写出函数解析式,并求当y=34时,x 的值.10. 已知正比例函数x )k 25(y -=的图像经过第二,四象限,求k 的取值范围.11. 已知2y-3与4x+5成正比例,且当x=1时,y=15,求y 与x 的函数关系式.12. 函数2)2k (x )2k (y --=是正比例函数,且y 的值随着x 的减小而增大,求k 的值.13. 已知6k k x )2k (y 2-++-=为正比例函数.(1) 求k 的值及函数解析式(2) 当x 取什么值时,函数的值为4314. 一个正比例函数的图像经过点A(-1,3),B(-a ，-a-1),求a 的值.15. 已知点P(2a,3b)且a 与b 互为相反数,过点P 作y 轴的垂线,垂足为点H,如果15S POH =∆.求: (1)点P 的坐标;(2)直线OP 的解析式.13. 点燃的蜡烛,长度按照与时间成正比例缩短,一支长21cm 的蜡烛,点燃6分钟后,缩短3.6cm.设蜡烛点燃x 分钟后,缩短y cm,求y 的函数解析式和x 的取值范围.14. 已知正比例函数图像过点(-2,5),过图像上一点A 作y 轴的垂线,垂足为B 的坐标为(0,-3);(1) 求函数解析式;(2) 在直角坐标平面内画出函数图像;(3) 求A 点坐标及AOB S ∆.15. 已知直线y=kx 过点(21-,3), A 为y=kx 图像上的一点,过点A 点向x 轴引垂线,垂足为点B,12S AOB =∆ (1) 求函数解析式(2) 在直角坐标平面内画出函数图像;(3) 求A 点,B 点的坐标.16. 已知在正比例函数7m22x )3m 2()x (f --=中,y 随x 的值减小而增大. (1) 求m 的值;(2) 求)32(f ;(3) 在直角坐标平面内画出函数图像,并根据图像说明;当x 取何值时,2y -≤。

12.2一次函数第1课时正比例函数的图象和性质教学目标【知识与能力】1. 认识正比例函数的意义，掌握正比例函数解析式的特点；2. 理解和掌握正比例函数图象的性质，能利用所学知识解决相关实际问题；3. 培养学生的观察能力、数形结合能力、探索规律能力、解决实际问题能力。

【过程与方法】本节内容第一次涉及一个具体的函数的学习和研究，要让学生体会研究函数的方法步骤和知识结构，因此，本课的教与学的活动，要学生有比较清醒的方案意识。

【情感态度价值观】经历利用正比例函数图象直观分析正比例函数性质的过程，体会数形结合的思想方法和研究函数的方法，形成合作交流、独立思考的学习习惯。

教学重难点【教学重点】正比例函数及其图象性质。

【教学难点】正比例函数的增减性。

课前准备课件、教具、方格纸等。

教学过程一、情境导入生活中，我们常常见到各式各样的钟表．时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了1min；旋转两圈，表示时间过了2min……那么，秒针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？二、合作探究探究点一：一次函数与正比例函数【类型一】一次函数与正比例函数的识别例1 下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6；(3)y ＝2πx; (4)y ＝－x 2； (5)y ＝1x； (6)y ＝8x 2＋x (1－8x )． 解析：首先看每个函数的表达式能否变形转化为y ＝kx ＋b (k ≠0，k 、b 是常数)的形式，如果x 的次数是1，则是一次函数，否则不是一次函数；在一次函数中，如果常数项b ＝0，那么它是正比例函数．解：(1)是一次函数，不是正比例函数；(2)不是一次函数，也不是正比例函数；(3)是一次函数，也是正比例函数；(4)是一次函数，也是正比例函数；(5)不是一次函数，也不是正比例函数；(6)是一次函数，也是正比例函数．方法总结：一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．【类型二】 根据一次函数与正比例函数的定义求字母的值例2 已知函数y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1.(1)若它是一次函数，求m 的值；(2)若它是正比例函数，求m 的值．解析：(1)要使函数是一次函数，根据一次函数的定义x 的指数m 2－24＝1，且一次项系数m －5≠0；(2)要使函数是正比例函数，除了满足上述条件外，还需加上m ＋1＝0这个条件．解：(1)因为y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1是一次函数，所以m ＝±5且m ≠5，所以m ＝－5.所以当m ＝－5时，函数y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1是一次函数；(2)因为y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1是一次函数，所以m 2－24＝1且m －5≠0且m ＋1＝0.所以m ＝±5且m ≠5且m ＝－1，这样的m 不存在，所以函数y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1不可能为正比例函数．方法总结：函数是一次函数，则k ≠0，且自变量的次数为1.当b ＝0时，一次函数为正比例函数．探究点二：正比例函数的图象和性质【类型一】 正比例函数的图象例3 已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)，当x ＝－1时，y ＝－2，则它的图象大致是( )解析：将x＝－1，y＝－2代入正比例函数y＝kx(k≠0)中，求出k的值为2，即可根据正比例函数的性质判断出函数的大致图象，故选C.方法总结：本题考查了正比例函数的图象，知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k>0时，图象过第一、三象限；当k<0时，图象过第二、四象限．【类型二】正比例函数的性质例4 已知正比例函数y＝－kx的图象经过第一、三象限，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)三点在函数y＝(k－2)x的图象上，且x1>x3>x2，则y1，y2，y3的大小关系为( ) A．y1>y3>y2 B．y1>y2>y3C．y1<y3<y2 D．y3>y2>y1解析：由y＝－kx的图象经过第一、三象限，可知－k>0即k<0，∴k－2<0.由正比例函数的性质可知，y＝(k－2)x的函数值y随x的增大而减小，则由x1>x3>x2得y1<y3<y2.故选C.方法总结：正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的变化情况由k的符号决定．k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小．探究点三：两点法画正比例函数的图象例5 画出函数y＝－2x的图象．解析：当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝－2.经过原点O(0，0)和点A(1，－2)作直线，则这条直线就是函数y＝－2x的图象．解：如图所示.方法总结：作函数图象的一般步骤：列表，描点，连线，正比例函数的图象是经过原点的直线，只需再另外找一点就可作出图象．三.课堂练习在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较：⑴y= x; ⑵y=- x.设问：通过例题讲解和课堂练习，你认为画正比例函数的图象时，有没有更简单一点的方法？为什么？四.本课小结一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的直线，我们称之为直线y=kx，当k>0时，直线y=kx经过三、一象限从左向右上升，即随着x 的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限从左向右下降，即随着x的增大y 反而减小．教学反思教学中随着一环扣一环的提问、练习、点拨，突出教学目标．通过观察—比较—交流—归纳，利用图象和解析式的统一化抽象为具体，降低了难度，突破了正比例函数的性质这一难点．让学生进行课堂小结，不仅使学生从总体上把握知识，强化知识的理解和记忆，还培养了学生良好的个性和思维品质．12.2一次函数第2课时一次函数的图象和性质教学目标【知识与能力】1．理解和掌握一次函数解析式的特点及意义，掌握一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的性质，能根据k与b的值说出函数的有关性质；2．会用描点法和平移的方法画一次函数图象，理解和掌握截距的概念。

沪教版数学八年级上册18.1《正比例函数的图象和性质》教学设计一. 教材分析沪教版数学八年级上册18.1《正比例函数的图象和性质》是学生在学习了函数概念和一次函数的基础上，进一步探究正比例函数的图象和性质。

这一节内容通过具体的实例和图形，让学生理解和掌握正比例函数的图象特点和性质，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了函数概念和一次函数的基础知识，对于图象和性质的探究也有一定的经验。

但学生在理解正比例函数的图象和性质时，还需要进一步引导和启发，帮助学生建立清晰的概念，培养学生的抽象思维能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握正比例函数的图象和性质，能够识别和描述正比例函数的图象特点。

2.过程与方法：通过观察、分析和探究，培养学生运用图形和数学语言描述和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的抽象思维能力和合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：正比例函数的图象特点和性质。

2.教学难点：正比例函数图象的斜率和截距的定义及其关系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，让学生通过观察、分析和讨论，自主发现和归纳正比例函数的图象和性质。

2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型，为学生提供直观的图形和实例，帮助学生理解和掌握正比例函数的图象和性质。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出正比例函数的概念，激发学生的兴趣和好奇心。

2.新课导入：介绍正比例函数的定义和图象特点，引导学生观察和分析正比例函数的图象。

3.实例分析：通过具体的实例，让学生理解和掌握正比例函数的性质，引导学生运用数学语言描述和解决问题。

4.合作探究：学生分组讨论，分享自己的发现和理解，培养学生的合作精神和交流能力。

5.总结提升：教师引导学生总结正比例函数的图象和性质，强调重点和难点，帮助学生建立清晰的概念。

沪科版数学八年级上册《正比例函数图象及其性质》教学设计1一. 教材分析《正比例函数图象及其性质》是沪科版数学八年级上册的教学内容。

本节课主要让学生了解正比例函数的图象特征，掌握正比例函数的性质，并能运用其性质解决实际问题。

教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探究正比例函数的图象与性质，培养学生的观察能力、思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的知识，对函数有一定的认识。

但是，对于正比例函数的图象和性质，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要结合学生的已有知识，通过生动的实例和实际的练习，让学生更好地理解和掌握正比例函数的图象和性质。

三. 教学目标1.了解正比例函数的图象特征，掌握正比例函数的性质。

2.能够运用正比例函数的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.正比例函数的图象特征和性质。

2.如何运用正比例函数的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.采用直观演示法，通过多媒体展示正比例函数的图象，让学生直观地感受正比例函数的特征。

2.采用引导发现法，引导学生通过观察、分析、归纳正比例函数的性质。

3.采用实践练习法，让学生通过实际的练习，巩固对正比例函数性质的理解。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.正比例函数的图象和实例。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入正比例函数的概念，让学生回顾一次函数的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）利用多媒体展示正比例函数的图象，引导学生观察、分析正比例函数的特征，让学生直观地感受正比例函数的性质。

3.操练（15分钟）让学生通过实际的练习，运用正比例函数的性质解决问题，巩固对正比例函数性质的理解。

4.巩固（10分钟）通过一组练习题，让学生进一步巩固对正比例函数性质的理解，提高解决问题的能力。

5.拓展（5分钟）引导学生思考：正比例函数的性质在实际生活中有哪些应用？让学生结合生活实际，运用所学的知识。

正比例函数的性质
知识呈现:
二、新授：
1、操作在同一直角坐标平面内,分别画出下列函数的图象：
观察图像，比较它们的异同：
增大时，y的值则随着逐渐减小.
左右函数图像的差异是由什么因素造成的?
3、小结:
由上述观察、探究,你能归纳出正比例函数y=kx（x是任意实数）的性质吗?
正比例函数y=kx(x是任意实数)有如下性质:
(1）当k＞0时，正比例函数的图像经过第一，三象限；自变量x的值逐渐增大时,y 的值也随着逐渐增大。

(2）当k＜0时，正比例函数的图像经过第二，四象限；自变量x的值逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小。

也可以说：当k＞0时，正比例函数的图像（除原点外）在第一，三象限(当k＜0时类似）。

4、形象记忆：
5、例题选讲：
例题1 已知正比例函数y=(1—2a）x，如果y的值随x的增大而减小,那么a的取值范围是什么？
三、巩固练习：
1、例题2 在水管放水的过程中，放水的时间x(分）与流出的水量y（立方米）是两个变量。

已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程持续10分钟,写出y与x之间的函数解析式，并指出函数的定义域,再画出这个函数的图像.
2、(1)在同一直角坐标平面内，画正比例函数y=5x和y=-5x的图像;
（2)观察（1）所画的两个函数图像，它们关于x轴对称吗？关于y轴对称吗?
(3)由此你得到什么结论?
课堂小结：
四、本课小结：
正比例函数的性质
攀上山峰，见识险峰,你的人生中,也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神,也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷,也许就会有钢铁般的意志。

上海市沪教版八年级数学上册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质16.1 二次根式1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。

2． 二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a b a b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：≥0) ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a=a ≥0,b>0） n ≥0)第十七章 一元二次方程17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax ²+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a---= , = ；△=24b ac -≥0 17.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3． 实际问题：设，列，解，答第十八章 正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18.2 正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5． 正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大（2）当k ＜0时 ，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小18.3 反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数 3．反比例函数(0)k y k k x =≠是常数,有如下性质： （1）当k ＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小（2）当k ＜0时 ，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。

18.2 正比例函数一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数. 2、正比例函数的等价形式 （1）、y 是x 的正比例函数； （2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）； （3）、若y 与x 成正比例； （4）、k xy=（k 为常数且k ≠0）. 二、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.三、正比例函数的图象与性质（图像画法：列表；描点；连线）正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.题型1：正比例函数的概念1．下列问题中，两个变量成正比例的是（ ） A ．圆的面积和它的半径；B ．长方形的面积一定时，它的长和宽；C ．正方形的周长与边长；D ．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高． C【分析】先列出函数关系式，然后再根据正比例函数的定义即可解答． 解：A 、圆的面积S =πr 2，不是正比例函数，故此选项不符合题意；B 、长方形的面积S 一定时，它的长a 和宽b 的关系S =ab ，不是正比例函数，故此选项不符合题意；2．下列函数是正比例函数的是（ ）． A ．22y x = B ．()21y x =-C ．3y x =-D ．3y x=3．函数2(1)m y m x =+是正比例函数，则m 的值为（ ） A ．±1 B ．1C ．1-D ．不存在B【分析】根据正比例函数的定义，得m 2=1，且m +1≠0，求解即可． 解：∵函数y =（m +1）xm 2是正比例函数，∴m 2=1，且m +1≠0， 解得，m =1． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如y =kx ，且k ≠0，叫正比例函数． 4．若函数()221y k x k =-++是正比例函数，则k 的值是（ ）A ．2k ≠B ．2k =C ．12k =-D ．2k =-解：函数5．若函数y ＝（2m +6）x +m 2﹣9是关于x 的正比例函数，则m 的值为（ ） A ．3 B ．﹣3C ．±3D ．0A【分析】根据正比例函数的定义求解即可． 解：由题意得：m 2﹣9＝0， 解得：m ＝3或m ＝-3， ∵2m +6≠0， ∴m ≠-3， ∴m ＝3， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义，形如y =kx （k 是常数，k ≠0）的函数，其中k 叫做比例系数．题型3：求函数的值与待定系数法6．已知y 与x 成正比例，如果x =2时，y =1，那么x =3时，y 为( )A ．32B ．2C ．3D ．0A【分析】根据y 与x 成正比例，如果x =4时，y =2，用待定系数法可求出函数关系式．再将x =3代入求出y 的值．解：∵y 与x 成正比例， ∴y =kx ，7．若y 与x 成正比例，且当x ＝3时，y ＝6，则y 与x 之间的函数关系式为 __． 2y x =【分析】首先设y ＝kx ，再代入x ＝3，y ＝6可得k 的值，进而可得函数解析式．解：设y ＝kx ， ∵当x ＝3时，y ＝6， ∴6＝3k ， 解得：k ＝2， ∴y ＝2x ， 故答案为：y ＝2x ．【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握形如y ＝kx （k ≠0）的形式是正比例函数．8．正比例函数y kx =经过点()2,6，则k 的值是______． 3【分析】把点（2，6）代入正比例函数y ＝kx ，可以求得k 的值，本题得以解决． 解：∵正比例函数y ＝kx 的图象经过点（2，6），∴6＝2k ， ∴k ＝3． 故答案为：3．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 9．变量x ，y 的一些对应值如表：根据表格中的数据规律，当x ＝11时，y 的值是（ ）A ．﹣22B ．﹣11C ．11D ．22A【分析】根据表格中变量x 、y 的变化关系，得出函数关系式，再代入计算即可． 解：由表格中变量x 每增加1个单位，y 就减少2个单位，且经过点(0，0)， 所以变量x 、y 的变化关系为正比例函数关系，即y =-2x ， 当x =11时，y =-2×11=-22， 故选：A ．【点睛】本题考查了函数值，根据表格中变量之间的变化关系和对应值得出函数关系式是解决问题的关键． 10．已知A （﹣3，4），B （3，﹣4），C （2，﹣5），D （﹣5，203），其中点（ ）与其它三个点不在同一正比例函数的图象上． A ．A B ．B C ．C D ．D11．已知2y -和21x +成正比例，且2x =-时，7y =-，则y 与x 之间的函数表达式为_________．65y x =+【分析】根据题意设出函数解析式，把当x =-2时，y =-7代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解析式．解：∵2y -和21x +成正比例， ∴设2(21)y k x -=+当x =-2时，y =-7代入解析式得，72[2(2)1]k --=⨯⨯-+ 解得，3k = ∴23(21)y x -=+ 整理得 ，65y x =+ 故答案为：65y x =+【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意掌握待定系数法的运用． 12．已知y 与x 之间成正比例关系，且当x = 1时，y =-3． (1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)当x =-2时，求y 的值． (1)3y x =- (2)6y =【分析】（1）利用待定系数法解题； （2）把x =-2代入（1）中的解析式． (1)解：y 与x 之间成正比例关系， 设(0)y kx k =≠ 当x = 1时，y =-33k ∴=-3y x ∴=-； (2)当x =-2时，33(2)6y x =-=-⨯-=6y ∴=【点睛】本题考查正比例函数的定义，涉及待定系数法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．13．已知：y ＝y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成正比例，当x ＝1时，y ＝0；当x ＝3时，y ＝4． (1)求y 与x 之间的关系式； (2)当x ＝﹣1时，求y 的值． (1)22y x =- (2)4-【分析】（1）根据题意分别设出y 1，y 2，代入y ＝y 1＋y 2，表示出y 与x 的解析式，将已知两对值代入求出k 与b 的值，确定出解析式；（2）将x ＝－1代入计算即可求出值． (1)设y 1＝ax ，y 2＝k （x ﹣2）， ∴y ＝ax +k （x ﹣2）由当x ＝1时，y ＝0．当x ＝3时，y ＝4可得， ()()0124332a k a k ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，解得：11a k =⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的关系式为：y ＝2x ﹣2； (2)当x ＝﹣1时,()2124y ⨯-=﹣=﹣． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法．题型5：正比例函数的图像14．画出下列正比例函数的图象： （1）4y x =； （2）23y x =；（3）23y x =-． （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】根据三条直线的解析式其图象均过原点，再分别求另一个点，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象．解：（1）当0,0x y ==， 当1,4x y ==， 如图，描点后连线得： （2）当3,2x y ==， 当0,0x y ==， 如图，描点后连线得： （3）当0,0x y ==， 当3,2x y ==-， 如图，描点后连线得：【点睛】本题考查了正比例函数的图象的作法，解题的关键是掌握理函数图象的作法，列表、描点、连线． 15．已知：函数2y x =-． (1)画出此函数的图象；(2)若点P （m ，4）在图象上，求出m 的值． (1)画图见解析 (2)2m =-【分析】（1）先列表，再描点并连线即可； （2）把(),4P m 代入函数解析式求解即可． (1) 解：列表： x 0 1 y 0-2描点并连线(2)解：当点P （m ，4）在图象上，则 24,m 解得： 2.m =-【点睛】本题考查的是画正比例函数的解析式，正比例函数的性质，掌握“利用描点法画函数图象”是解本题的关键．16．点A （1，m ）在函数y =2x 的图象上，则m 的值是（ ） A ．2 B ．1C ．0.5D ．2-A【分析】直接把点A （1，m ）代入函数y =2x ，求出m 的值即可．解：把x =1，y =m 代入y =2x ， 得m =2×1， 解得：m =2． 故选：A ．【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．已知正比例函数()0y kx k =≠的图像如图所示，则下列各点在该函数图像上的是（ ）A ．()2,4-B ．()1,1--C ．()4,8D ．()8,10C【分析】根据函数图像经过点（2，4）可求出k 的值，得到函数解析式，将各点坐标代入验证即可． 由图像可知，正比例函数()0y kx k =≠的图像经过点（2，4）， ∴4=2k ， 解得：k =2，∴函数解析式为y =2x ，A.当x =-2时，y =2×(-2)=-4，故A 错误；B.当x =-1时，y =2×(-1)=-2，故B 错误；C.当x =4时，y =2×4=8，故C 正确；D.当x =8时，y =2×8=16，故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查了正比例函数，通过函数经过的点的坐标求函数解析式是解题的关键． 18．若一个正比例函数的图象经过A (2，﹣4)，B (m ，﹣6)两点，则m 的值为（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．3D ．2C【分析】运用待定系数法求得正比例函数解析式，把点B 的坐标代入所得的函数解析式，即可求出m 的值． 解：设正比例函数解析式为：y ＝kx ， 将点A （2，﹣4）代入可得：2k ＝﹣4， 解得：k ＝﹣2，∴正比例函数解析式为：y ＝﹣2x ，将B （m ，﹣6）代入y ＝﹣2x ，可得：﹣2m ＝﹣6， 解得m ＝3， 故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解题时需灵活运用待定系数法求出函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程思想解决问题是解本题的关键．19．如图，直线l 是某正比例函数的图象，点()4,12A -，()3,9B -是否在该函数的图象上？点()4,12A -与点()3,9B -都在该函数图象上．【分析】根据题意先设直线l 的解析式为y =kx （k ≠0），再把（-1，3）代入求出k 的值，把A 、B 两点代入进行检验即可．解：设直线l 的解析式为y =kx （k ≠0），∵直线过点（-1，3），∴3=-k ，解得k =-3，∴直线l 的解析式为y =-3x ．∵当x =-4时，y =12；当x =3时，y =-9，∴点A （-4，12），B （3，-9）在该函数的图象上．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．20．根据下表写出y 与x 之间的一个关系式，并求出表中m ，n 的值x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y n 6 0 ﹣6 ﹣12﹣18 m 6y x =-，m 的值为-24，n 的值为12【分析】根据表格中的数据，x 与 y 的比值不变，即可判断是一个正比例函数，设正比例函数的解析式为：y kx =，再根据已知点代入，即可求出解析式，进而可求出m ，n 的值解：根据表中数据知：y 是x 的正比例函数．设正比例函数的解析式为：y kx =∴当1x =时，6y =-，y ∴与x 的关系式为6y x =-．当2x =-时，6(2)12,12y n =-⨯-=∴=；当4x =时，6424,24y m =-⨯=-∴=-．m ∴的值为24-，n 的值为12．【点睛】本题考查了求正比例函数解析式，要注意正比例函数的特点，x 与 y 的比值不变题型6：根据正比例函数的图像求参数21．已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，且经过点（k ，k +2），则k =________． 2【分析】先根据正比例函数的图象可得0k >，再将点(,2)k k +代入函数的解析式可得一个关于k 的一元二次方程，解方程即可得．解：正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，0k ∴>，由题意，将点(,2)k k +代入函数()0y kx k =≠得：22k k =+， 解得2k =或10k =-<（舍去），故答案为：2．【点睛】本题考查了正比例函数的图象、一元二次方程的应用，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键．22．如果正比例函数y ＝（k ﹣2）x 的图象经过第二、四象限，那么k 的取值范围是 _____． 2k <【分析】根据正比例函数的性质列不等式求解即可．解：∵正比例函数y ＝（k ﹣2）x 的的图象经过第二、四象限，∴k ﹣2＜0，解得，k ＜2．故填：k ＜2．【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、正比例函数的图象等知识点，根据正比例函数图象所在的象限列出不等式是解答本题的关键．题型7：正比例函数的性质23．已知正比例函数y kx =（0k ≠）的图象经过点（3，6-）．（1）求这个函数的解析式；（2）直接在图中画出这个函数的图象；（3）判断点A （4，2-）、点B （ 1.5-，3）是否在这个函数图象上；（4）已知图象上两点C （1x ，1y ）、D （2x ，2y ），如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．（1）2y x =-；（2）见解析；（3）点A 不在2y x =-函数图象上，点B 在2y x =-函数图象上；（4）12y y <．【分析】（1）将点（3，6-）代入y kx =即可求得；（2）通过描点，连线作图；（3）将已知点代入解析式，分析判断即可；（4）根据正比例函数的性质或者结合图像分析即可． （1）正比例函数y kx =（0k ≠）的图象经过点（3，6-），63k ∴-=，解得：2k =-，∴这个函数的解析式为：2y x =-．（2）正比例函数2y x =-经过原点，且是一条直线，当1x =时，2y =-，则在图中找到P (1,2)-，作直线OA 即可，如图：（3）将A （4，2-）、点B （ 1.5-，3）分别代入2y x =-，224-≠-⨯,则点A 不在2y x =-函数图象上，32 1.5=-⨯，则点B 在2y x =-函数图象上；（4）20k =-<，∴ y 随着x 增大而减小，当12x x >时，12y y <．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数图像的作图，正比例函数图像的性质，掌握正比例函数的相关知识是解题的关键．24．正比例函数的图像是______，当0k >时，直线y kx =过第______象限，y 随x 的增大而______. 一条直线 一、三 增大【分析】正比例函数的图象是一条过原点的直线，当k ＞0时，过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，过二、四象限，y 随x 的增大而减小．据此解答即可.解：正比例函数的图象是一条直线，当k ＞0时，直线y=kx 过第 一、三象限，y 随x 的增大而增大． 故答案为一条直线；一、三；增大．【点睛】本题考查了正比例函数的图象和性质，注意图像的特点：是一条经过原点的直线．25．若14(,)3M y -、21(,)2N y -、3(0,)P y 三点都在函数(0)y kx k =<的图像上，那么123、、y y y 的大小关系是（ ）A ．312y y y >>B ．321y y y >>C ．231y y y >>D ．123y y y >>D 【分析】由于k ＜0时，函数y 随x 的增大而减小．又因为41032-<-<，所以123y y y >>．26．已知()1M y ，()22,N y 是直线3y x =-上的两个点，则1y ，2y 的大小关系是（ ）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y ≥D ．12y y = 的增大而减小．再根据32,即可得出结论．解： 30,k 的增大而减小，()22,y 是直线上的两个点，而32,【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，掌握“正比例函数的增减性27．关于函数y ，以下说法错误的是（ ）A ．图象经过原点B ．图象经过第二、四象限C ．图象经过点2)-D ．y 的值随x 的增大而增大28．点A （x 1，y 1）、点B （x 2，y 2）在正比例函数y ＝4x 的图象上，当x 1＜x 2时，则y 1与y 2的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．无法判断 A【分析】由正比例函数的性质可知，当0k >时，y 随x 的增大而增大，随着x 的减小而减小，结合40k =>，即可作答．解：∵y ＝4x 中k ＝4＞0，∴y 随x 的减小而减小，∵x 1＜x 2，∴y 1＜y 2．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，正比例函数图象上点的坐标的特征，利用图象的性质解答是解题的关键．29．已知函数()231m x y m -=﹣是正比例函数．(1)若函数关系式中y 随x 的增大而减小，求m 的值；(2)若函数的图象过第一、三象限，求m 的值． (1)2m =-；(2)2m =【分析】（1）由函数关系式中y 随x 的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出10m <-，解之即可得出m 的取值范围，进而可确定m 的值；（2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出10m >-，解之即可得出m 的取值范围，进而可确定m 的值．(1)解：∵函数()231m x y m-=﹣是正比例函数，∴21031m m -≠⎧⎨-=⎩， 解得：1222m m =-=，．∵函数关系式中y 随x 的增大而减小，∴10m <-，∴1m <，∴2m =-．(2)∵函数的图象过第一、三象限，∴10m >-，∴1m ，∴2m =．【点睛】此题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键．30．已知正比例函数的图象经过点(3，−6)．（1）求这个函数的解析式：（2）图象上有两点B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．（1）y =-2x ；（2）y 1＜y 2．【分析】（1）利用待定系数法把（3，-6）代入正比例函数y =kx 中计算出k 即可得到解析式；（2）根据正比例函数的性质：当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，即可判断．解：（1）设正比例函数的解析式为y =kx ，∵正比例函数的图象经过点（3，-6），∴-6=3•k ，解得：k =-2，∴这个正比例函数的解析式为：y =-2x ；（2）∵k =-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵x 1＞x 2，∴y 1＜y 2．【点睛】本题考查了用待定系数求正比例函数的关系式，判断点是否在函数的图象上及正比例函数的性质，解（1）的关键是能正确代入即可；解（2）的关键是：熟记当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大．题型7：正比例函数的定义、图像与性质综合题31．若y =（m -1）x +m 2-1是y 关于x 的正比例函数，如果A （1，a ）和B （-1，b ）在该函数的图象上，那么a 和b 的大小关系是（ ）A ．a b <B ．a b >C ．a b ≤D ．a b ≥ A 【分析】利用正比例函数的定义，可求出m 的值，进而可得出m -1=-2＜0，利用正比例函数的性质可得出y 随x 的增大而减小，结合1＞-1，即可得出a ＜b ．解：∵y =（m -1）x +m 2-1是y 关于x 的正比例函数，∴m 2-1=0，m -1≠0，解得：m =-1，∴m -1=-1-1=-2＜0，∴y 随x 的增大而减小．又∵A （1，a ）和B （-1，b ）在函数y =（m -1）x +m 2-1的图象上，且1＞-1，∴a ＜b ．故选：A ．【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小”． 题型8：分段函数图像的画法32．当0x >时，y 与x 之间的函数解析式为2y x =，当0x ≤时，y 与x 之间的函数解析式为2y x =-，则在同一直角坐标系中y 与x 之间的函数关系图象大致为图中的（ ）A ．B ．C ．D ．C【分析】根据正比例函数的图象和性质判断即可；解：∵当0x >时，2y x =，∴此时函数在第一象限，∵当0x ≤时，2y x =-，∴此时函数过原点及第二象限，故选： C ．【点睛】本题考查了正比例函数的性质：在y =kx （k ≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，直线经过原点及第一、三象限， 当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，直线经过原点及第二、四象限．一、单选题1．下列函数中，正比例函数是（ ）.A ．25y x =B ．25y x =C ．245y x =D ．25y x =- B【分析】正比例函数的定义：形如(0)y kx k =≠的函数叫做正比例函数.根据正比例函数的定义可得：A 、是反比例函数，B 、是正比例函数，C 、是二次函数,D 、是反比例函数.故选B【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟知正比例函数的定义，即可完成．2．一个正比例函数的图象过点(2，﹣3)，它的表达式为（ ）A ．32y x =-B ．23y x =-C ．32y x =D ．23y x = A【分析】根据待定系数法求解即可．解：设函数的解析式是y ＝kx ，根据题意得：2k ＝﹣3，解得：k ＝﹣32． 故函数的解析式是：y ＝﹣32x ． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题关键．3．已知正比例函数()y kx k 0=≠的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（ ） A ．y 2x = B ．y 2x =- C ．12y x = D ．1y x 2=-B【分析】利用待定系数法把（1，-2）代入正比例函数y=kx 中计算出k 即可得到解析式．根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，－2）代入y kx =，得：k 2=-，∴正比例函数的解析式为y 2x =-.故选B.4．如果一盒圆珠笔有12支，售价18元，用y （元）表示圆珠笔的售价，x 表示圆珠笔的支数，那么y 与x 之间的解析式为（ ）.A ．32y x =B ．23y x =C ．12y x =D ．18=y x5．设a 为常数，且()33,1P a a ++，则该点位于正比例函数（ ）上．A ．3y x =B ．33x y -=C ．13y x =D ．31y x =-6．当k ＞0时，正比例函数y =kx 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． A【分析】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k ＞0时，经过一、三象限．解：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k ＞0时，经过一、三象限．故选A ．【点睛】本题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线．7．已知函数y ＝kx(k≠0)的函数值随x 的增大而增大，则函数的图象经过( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限 B【分析】根据正比例函数的性质解答．根据题意，函数值随x 的增大而增大，k 值大于0，图象经过第一、三象限．故选B ．8．关于函数12y x =，下列结论正确的是 （ ） A ．函数图像必经过点（1，2）B ．函数图像经过二、四象限C ．y 随x 的增大而增大D ．y 随x 的增大而减小 C【分析】根据正比例函数图象的性质分析．A 、当x =1时，y =12，错误；B 、因为k ＞0，所以图象经过第一、三象限，错误；C 、因为k ＞0，所以y 随x 的增大而增大，C 正确；D 、错误．故选：C ．9．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图象分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则下列关系中正确的是（ ）A ．1234k k k k <<<B ．2143k k k k <<<C ．1243k k k k <<<D ．2134k k k k <<< B 【分析】首先根据直线经过的象限判断k 的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡k 越大）判断k 的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.解：根据直线经过的象限，知20k <，10k <，40k >，30k >，根据直线越陡k 越大，知21k k >，43k k <，所以2143k k k k <<<．故选B ．【点睛】此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡k 越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．10．下列说法中不成立的是（ ）A ．在y=3x ﹣1中y+1与x 成正比例B ．在y=﹣2x 中y 与x 成正比例C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例D ．在y=x+3中y 与x 成正比例D解：A.∵y =3x −1，∴y +1=3x ，∴y +1与x 成正比例，故本选项正确；B.∵2x y =-，∴y 与x 成正比例，故本选项正确；C.∵y =2(x +1)，∴y 与x +1成正比例，故本选项正确；D.∵y =x +3，不符合正比例函数的定义，故本选项错误．故选：D ．二、填空题11．若()12k y k x-=-是正比例函数，则k =______.【分析】根据正比例函数的定义可得2k -≠0，且|k-1|=1.根据函数是正比例函数知x 的幂是一次得，2k -≠0，且|k-1|=1,解得k=0.故答案为0【点睛】考核知识点：正比例函数定义.理解定义是关键.12．已知y 与x 成正比例，且当1x =时，2y =，那么当3x =时，y =______. 6【分析】根据待定系数法求出函数解析式，再求y 值.因为y 与x 成正比例，所以设正比例函数的解析式为y=kx （k≠0），把x=1时，y=2代入得：k=2，故此正比例函数的解析式为：y=2x ，当x=3时，y=2×3=6． 故答案为6．【点睛】考核知识点：求正比例函数解析式.利用待定系数法求解是关键.13．如果正比例函数y ＝(k －1)x 的图象经过第二、四象限，那么k 的取值范围是__________．k ＜1【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数y=kx （k≠0），当k ＜0时，该函数的图象经过第二、四象限）解答．正比例函数y=(k−1)x 的图象经过第二、四象限，∴k−1<0，解得k<1.故答案为：k<1.【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练的掌握正比例函数的性质.14．若点()1,P n ，()3,6Q n +在正比例函数y kx =的图像上，则k =______. 3【分析】把点P 与Q 分别代入解析式，即可求出k 的值.解：把点()1,P n ，()3,6Q n +代入解析式，得36k n k n =⎧⎨=+⎩ ，解得：33k n =⎧⎨=⎩， ∴k 的值为3.故答案为3.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.15．放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28kg ，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考你. 图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了______kg.” 20 【分析】依题意，因为两个图都是正比例函数，可设图1，图2的解析式，把已知坐标代入求解． 两个图都是正比例函数，可设图1的解析式为：y=k 1t ，把（1，8）代入得k 1=8，∴y=8t ．此时小明加工了28千克，∴t=3.5．同理设图2的解析式为：y=k 2t ，把（7，40），代入得7k 2=40，解得：k 2=407， ∴y=407t ． 因为他们用的时间是相等的，∴当t=3.5时，y=20．故答案为20．【点睛】考核知识点：实际问题与正比例函数.从函数图象获取信息是关键.16．如图，过点()2,0A 作x 轴的垂线与正比例函数y x =和3y x =的图象分别相交于点B ，C ，则OCB 的面积为________．4.【分析】把点A （2，0）的横坐标分别代入正比例函数y=x 和y=3x ，求得B 、C 点的坐标，进一步求得BC 的长度，利用三角形的面积求得答案即可．解：把2x =分别代入y x =和3y x =中，可得点B 的坐标是()2,2，点C 的坐标是()2,6，所以624BC =-=．因为点()2,0A ，所以2OA =，所以1142422OCB S BC OA =⋅=⨯⨯=．【点睛】此题考查两条直线的交点问题，三角形的面积，利用代入的方法求得B 、C 两点的坐标是解决问题的关键．17．已知正比例函数()0y kx k =≠，当31x -≤≤时，对应的y 的取值范围是113y -≤≤，且y 随x 的减小而减小，则k 的值为________．13【分析】先根据题意判断直线经过点（-3，-1）、（1，13），再用待定系数法求出解析式即可． 解：因为y 随x 的减小而减小，所以当3x =-时，1y =-；当1x =时，13y =．把()3,1--代入y kx =，得31k -=-，解得13k =． 【点睛】此题考查正比例函数的性质，根据y 随x 的减小而减小判断直线经过点（-3，-1）、（1，13）是解答此题的关键．18． 如图，直线l 1⊥x 轴于点（1，0），直线l 2⊥x 轴于点（2，0），直线l 3⊥x 轴于点（3，0），…，直线l n ⊥x 轴于点（n ，0）．函数y=x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…，l n 分别交于点A 1，A 2，A 3，…，A n ；函数y=2x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…，l n 分别交于点B 1，B 2，B 3，…，B n ．如果△OA 1B 1的面积记作S 1，四边形A 1A 2B 2B 1的面积记作S 2，四边形A 2A 3B 3B 2的面积记作S 3，…，四边形A n-1A n B n B n-1的面积记作S n ，那么S 2019=______．40372【分析】先结合图形确定n n A B 的长度规律及图形形状为梯形的规律，再根据所得规律将具体值代入梯形面积公式即得．解：由题意可得：当x n =时，()n A n n ，，()2n B n n ，∴n n A B n =∴201820182018A B =，201920192019A B =∵直线l 1⊥x 轴，直线l 2⊥x 轴，直线l 3⊥x 轴，...，直线l n ⊥x 轴∴l 1∥l 2∥l 3∥...∥l n∴当2n ≥时四边形A n-1A n B n B n-1是梯形∵平行线间距离处处相等，所以梯形A n-1A n B n B n-1的高为1三、解答题19．已知正比例函数y=kx．（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的范围是什么？（2）点（1，-2）在它的图象上，求它的表达式．（1）k＜0；（2）y=-2x分析：(1)根据正比例函数图象的性质,得;(2)只需把点的坐标代入即可计算.本题解析：（1）∵函数图象经过第二、四象限，∴k＜0；（2）当x=1，y=-2时，则k=-2，即：y=-2x．20．正比例函数的图像经过点P（-3，2）和Q（-m，m-1 ），求m的值．21．已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．y=﹣x+1；画出该函数的图象见解析．【分析】根据题意分别设出y 1，y 2，代入y =y 1+y 2，表示出y 与x 的解析式，将已知两对值代入求出k 1与k 2的值，确定出解析式．利用两点法画出函数图象即可．解：根据题意设y 1=k 1x ，y 2=k 2(x ﹣2)，即y =y 1+y 2=k 1x +k 2(x ﹣2)，将x =﹣1时，y =2；x =3时，y =﹣2分别代入得：12123232k k k k --=⎧⎨+=-⎩， 解得：k 1=﹣12，k 2=﹣12，则y =﹣12x ﹣12(x ﹣2)=﹣x +1．即y 与x 的函数关系式为y =﹣x +1；画出该函数的图象为: 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据题意设出y 与x的函数关系式是解本题的关键．22．已知y 与x ﹣1成正比例，且当x=3时，y=4．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）当x=﹣1时，求y 的值；（3）当﹣3＜y ＜5时，求x 的取值范围．（1）y=2x ﹣2；（2）﹣4；（3）x 的取值范围是﹣12＜x ＜72． 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y=k （x-1），然后把已知的一组对应值代入求出k 即可得到y 与x 的关系式；（2）利用（1）中关系式求出自变量为-1时对应的函数值即可；（3）先求出函数值是-3和5时的自变量x 的值，x 的取值范围也就求出了．（1）设y=k （x ﹣1），把x=3，y=4代入得（3﹣1）k=4，解得k=2，所以y=2（x ﹣1），即y=2x ﹣2；（2）当x=﹣1时，y=2×（﹣1）﹣2=﹣4；（3）当y=﹣3时，x﹣2=﹣3，解得：x=﹣12，当y=5时，2x﹣2=5，解得：x=72，∴x的取值范围是﹣12＜x＜72．【点睛】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．23．如图，是小王和小李在一次跑步比赛中的时间和路程图．(1)这次比赛的路程是_______米；(2)小王的平均速度是_________米/秒；(3)他们先到达终点的是_______；(4)小李跑步的路程S(米)与时间t(秒)的函数关系式是_________．(1)100；(2)253；(3)小李；(4)10S t．试题分析：（1）观察一次函数图象易得到甲乙都跑了100米；（2）由速度=路程÷时间即可得到结论；（3）这次赛跑中先到达终点的是用时较少的；（4）先根据图象得出小李跑100米用了10秒，再根据速度=路程÷时间，计算出小李的速度，即可得到结论．试题解析：解：（1）根据图象可以得到路程s的最大值是100米，因而这次赛跑的赛程为100米；（2）从图象可知，小王跑完全程用时12秒，所以小王的速度为：100÷12=253；（3）从图象可知，小李跑完全程用时10秒，小王跑完全程用时12秒，所以先到达终点的是小李；（4）∵小李跑100米用了10秒，∴小李的速度=100÷10=10（米/秒）；∴S =10t ． 点睛：本题主要考查了观察一次函数图象，从中获取信息的能力，以及路程、速度与时间的关系． 24．已知如图，在平面直角坐标系中，点A （3，7）在正比例函数图像上．（1）求正比例函数的解析式．（2）点B （1，0）和点C 都在x 轴上，当△ABC 的面积是17.5时，求点C 的坐标．（1）73y x =；（2）(6,0)或(4,0)-．【分析】（1）根据点A 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）如图（见解析），过点A 作AD x ⊥轴于点D ，从而可得7AD =，设点C 的坐标为(,0)a ，从而可得1BC a =-，再根据三角形的面积公可求出a 的值，由此即可得出答案．解：（1）设正比例函数的解析式为y kx =，将点(3,7)A 代入得：37k =，解得73k =， 则正比例函数的解析式为73y x =； （2）如图，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，(3,7)A ，7AD ∴=，。

正比例函数的性质及应用课前测试【题目】课前测试物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受重力G 是不是它的质量m 的函数？【答案】是．【解析】由公式变形可得Gm g=，在g 一定的情况下，对任一G 值，有唯一确定的m 值与 之相对应，即m 与G 之间有确定的依赖关系，可知G 是m 的函数．【总结】本题主要考查函数的概念，对两个变量而言，对一个变量取值范围内任意值，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应，则为函数关系，否则不是． 【难度】3【题目】课前测试 已知13()21xf x x -=+． （1）求(0)f ，(1)f ，1()3f ，1()()2f a a ≠-；（2）当x 为何值时，()f x 没有意义？ （3）当x 为何值时，()2f x =-？ 【答案】（1）()01f =，()213f =-，103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1321a f a a -=+；（2）12x =-；（3）3x =-． 【解析】（1）()1301012011f -⨯===⨯+，()13122121133f -⨯-===-⨯+，11313013213f -⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭⨯+，()1321a f a a -=+； （2）()f x 没有意义，可知210x +=，即得12x =-；（3）()2f x =-，即13221xx -=-+，解得3x =-． 【总结】计算函数值时，只需要将其中的自变量用数值替换并计算出结果即可；求自变量的取值范围则需要考虑以下几点：①分式的分母不为零；②偶次根式被开方数是非负数；③当前两种情况同时出现时，自变量应取两者的公共部分；④实际问题要考虑实际意义。

【难度】3知识定位适用范围：沪教版，初二年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正比例函数的概念、图像及性质是初二常考的知识点，考查的形式包括选择题、填空题和简答题，难度在中等或中等偏上，要求学生熟练掌握，对学习反比例函数、一次函数、二次函数也是一个很好的铺垫.适用对象：成绩中等以及中等以下注意事项：学生主要想听正比例函数的性质及其应用 重点选讲：①正比例函数的概念 ②正比例函数的图像 ③正比例函数的性质知识梳理知识梳理1：正比例函数的概念❖ 1.函数❖ 2. 正比例函数在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量； 在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 允许的取值范围内，变量y 随着x 变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量.函数用记号()y f x =表示，()f a 表示x a =时的函数值；表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．1.正比例如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是yk x=，或表示为y kx =（x 不等于0），k 是不等于零的常数. 2.正比例函数解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y kx =的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式.知识梳理2：正比例函数的图像知识梳理3：正比例函数的性质例题精讲【题目】题型1：正比例函数的概念已知122y y y =-，1y 与3x 成正比例，2y 与()5x +成正比例，且1x =时，12y =，1x =-时2y =-，求y 与x 的函数解析式．【答案】75y x =+．1.正比例函数的图像一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过(00)，，(1)k ，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =；2.正比例函数作图方法 图像画法：列表、描点、连线．（1） 当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 也随着逐渐增大．（2） 当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 则随着逐渐减小．【解析】设113y k x =⋅，()225y k x =+，(1200k k ≠≠，)，则()()121212226565y y y k x k x k k x k =-=-+=--，1x =时，12y =，1x =-时，2y =-；即得：12126612642k k k k -=⎧⎨--=-⎩，解得：1211k k =⎧⎨=-⎩．代入即得：y 与x 的函数解析式是：75y x =+．【总结】解决这类型问题主要通过以下三步：（1）明确函数关系；（2）写出函数关系的一般形式；（3）通过待定系数法求解. 【难度】3【题目】题型1变式练习1：正比例函数的概念2(1)56y k x k k =++--k 已知函数是正比例函数，求的值． 【答案】6．2560k k --=()()610k k -+=【解析】函数是正比例函数，可知，即，同时一次函数未知10k +≠60k -=6k =数系数不为0，可知，由此，解得．【总结】正比例函数常数项为0，注意自变量系数不为0的隐含条件． 【难度】 3【题目】题型1变式练习2：正比例函数的概念写出下列各题中x 与y 的关系式，并判断y 是否是x 的正比例函数？ （1）圆面积y （cm 2）与半径x （cm ）的关系；（2）地面气温是28℃，如果每升高1km ，气温下降5℃，则气温y （℃）与高度x （km ）的关系；（3）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系． 2y x π=285y x =-【答案】（1），不是正比例函数；（2），不是正比例函数；（3）0.1y x =，是正比例函数．2y x π=【解析】（1）根据圆的面积公式可知.5x 285y x =-（2）中随高度升高，降低的温度为，则实际气温.0.1y x =（3）中根据等量关系总价=单价×数量，可知，根据正比例 函数定义，形如()0y kx k =≠的函数是正比例函数，可知（1）（2）不是正比例函数， （3）是正比例函数．【总结】根据实际问题等量关系可求出函数解析式，再根据正比例函数定义和特征相应判断． 【难度】3【题目】题型2：正比例函数的图像 在同一直角坐标平面内画出下列函数图像．（1）； （2） ； （3）．【答案】【解析】分析：根据三条直线的解析式其图象均过原点，再分别令x=1求出y 的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象【总结】本题考查了函数的图象的作法，理解作函数图象的作法，列表、描点、连线．解答此题的关键是画出函数的图象 【难度】3【题目】题型2变式练习1：正比例函数的图像 已知y 是x 的正比例函数，且当6x =时，2y =-． (1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问点A (62)-，关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？ 【答案】（1）x y 31-=；（2）如图：（3）12-=a ；（4）在．【解析】（1）设正比例函数解析式为(0)y kx k =≠，当6x =时，2y =-，代入可得：13k =-．所以这个函数的解析式为x y 31-=；（2）如图所示：（3）将（a ，4）代入x y 31-=中，得：12-=a ；（4）易得点B 坐标为2)(6-，，将6x =代入x y 31-=，得2y =-，所以点B 也在这个 函数的图像上．【总结】正比例函数的一般形式：y kx =(k 是常数, 0k ≠)，图像是经过(00)，，(1)k ，这两点的一条直线，图像上的点的坐标都满足正比例函数的解析式 【难度】3【题目】题型2变式练习2：正比例函数的图像已知直线y kx =过点1(3)2，，A 是直线y kx =上一点，若过点A 向x 轴引垂线，垂足为B ，且5AOB S ∆=，求点B 的坐标．【答案】0⎫⎪⎪⎭，0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 【解析】∵直线y kx =过点1(3)2，，∴321=k ，∴6=k ，∴x y 6=．∵A 是直线x y 6=上一点， ∴可设()m m A 6,，∴5621=⋅⋅m m ． ∴315±=m ．∴B 点坐标为0⎫⎪⎪⎭，0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 【总结】求函数解析式常用方法：待定系数法；根据三角形的面积公式、函数解析式，即可得出结果. 【难度】3【题目】题型3：正比例函数的性质 正比例函数2m my mx +=的图像经过第一、三象限，求m 的值．【答案】215-． 【解析】由题意，可得：12=+m m ，则251±-=m ． ∵正比例函数2m my mx +=的图像经过第一、三象限，∴0>m ，∴215-=m ． 【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质． 【难度】3【题目】题型3变式练习1：正比例函数的性质（1）已知y ax =在实数范围内有意义， 求a 的取值范围；（2）已知函数()21y m x =+的值随自变量x 的值增大而增大，且函数()31y m x =+的 值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围． 【答案】（1）03<≤-a ；（2）3121-<<-m ． 【解析】（1）由题意，可得：030a a <⎧⎨+≥⎩，所以30a -≤<；（2）由题意，可得：210310m m +>⎧⎨+<⎩，解得：1213m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩，所以1123m -<<-．【总结】正比例函数的性质：当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 也随着逐渐增大．当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 则随着逐渐减小． 【难度】3【题目】题型3变式练习2：正比例函数的性质 已知在正比例函数()()22723m f x m x -=-中，y 随x 的值减小而减小．（1）求m 的值； （2）求23f ⎛⎫⎪⎝⎭32【答案】（1）2；（2）； 1722=-m 2±=m 【解析】（1）由题意，得：，则．032>-m 2=m∵y 随x 的值减小而减小，∴，∴；x y =3232=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （2）由（1）可得：，∴；【总结】本题主要考查正比例函数的概念及性质． 【难度】3【题目】兴趣篇1一种豆子在市场上出售，豆子的总售价与所售豆子的数量之间的数量关系如下表：（1）上表反映的变量是_____和_____，___________是自变量，___________是因变量，_____ 随_____的变化而变化，___________是___________的函数．（2）若出售2.5千克豆子，售价应为_____元．（3）根据你的预测，出售_____千克豆子，可得售价21元．（4）请写出售价与所售豆子数量的函数关系式. ________________（解析式）．【答案】（1）所售豆子数量，售价，所售豆子数量，售价，售价，所售豆子数量，售价，所售豆子数量；（2）5；（3）10.5；（4）2y x =【解析】（1）根据变量和函数的相关定义，即可判定x 和y 是变量，其中x 是自变量，y 是 因变量，y 随x 的变化而变化，y 是x 的函数；（2）查看上表可知 2.5x =，5y =；（3）根据上表，可知每1kg 豆子的价格应为2元，21元可购得21210.5kg ÷=豆子；（4）依据上表，可知豆子的单价为2元，根据总价=单价×数量，可知售价与所售豆子关 系式为2y x =．【总结】把握正比例函数的定义积一般形式，根据实际问题等量关系可求出函数解析式作出相应判断．【难度】3x【题目】兴趣篇2如图，在直角坐标系中，OA = 3，OB = 4，直线OP 与线段AB 相交于点P ，(1) 求△ABO 的面积；(2) 若直线OP 将△ABO 的面积等分，求直线OP 的解析式；(3) 若点P 是直线OP 与线段AB 的交点，是否存在点P ，使△AOP 与△BOP 中，一个面积是另一个面积的4倍？若存在，求直线OP 的解析式；若不存在，请说明理由．x y 2-=x y 316-=x y 31-=【答案】（1）6；（2）；（3）存在，解析式为：或． 【解析】（1）64321=⨯⨯=ABO S △； （2）∵621321⨯=⨯⨯y P ，621421⨯=⨯⨯x P ， ∴2=y P ，23=x P ． ∵点P 在第二象限， ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-323，P ． ∴直线OP 的解析式为x y 2-=．（3）存在．直线OP 的解析式为x y 316-=或x y 31-=． 当△AOP 面积是△BOP 面积的4倍时，则△AOP 面积是△AOB 面积的54， △BOP 面积是△AOB 面积的51． ∵654321⨯=⨯⨯y P ，651421⨯=⨯⨯x P ，∴516=y P ，53=x P ． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-51653，P ， ∴直线OP 的解析式为x y 316-=； 当△BOP 面积是△AOP 面积的4倍时，则△AOP 面积是△AOB 面积的51， △BOP 面积是△AOB 面积的54． ∵651321⨯=⨯⨯y P ，654421⨯=⨯⨯x P ，∴54=y P ，512=x P ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-54512，P ，∴直线OP 的解析式为x y 31-=． 【总结】本题综合性较强，主要考查函数与几何图形面积间的关系，解题时注意点坐标与线段长度之间的转化，还要注意分类讨论思想的运用．【难度】3【题目】备选试题1如果()43123t y t x +=-是关于x 的正比例函数，又函数()22324t y t x +=++，当x 取何值时12y y >？【答案】1x >．【解析】()43123t y t x +=-是关于x 的正比例函数，可知431t +=，解得1t =-，代入可求得15y x =，24y x =+，12y y >，即54x x >+，解得1x >， 即1x >时，12y y >．【总结】1. 正比例函数的一般形式：y kx =(k 是常数, 0k ≠)2.正比例函数(0)y kx k k =≠是常数，的性质： （1） 当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 也随着逐渐增大．（2） 当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 则随着逐渐减小．【难度】3【题目】备选试题2两个正比例函数11y k x =与22y k x =，当2x =-时，122y y +=，当x =时，12y y -=．(1) 求这两个函数的解析式；(2) 当x = 3时，求2212y y -的值．【答案】（1）12y x =，23y x =-；（2）45-．【解析】（1）由题意，可知：⎩⎨⎧=-=--25222222121k k k k ， ∴⎩⎨⎧-==3221k k ．∴这两个函数的解析式为：12y x =与23y x =-；（2）当x = 3时，126y x ==，239y x =-=-， ∴()2222126945y y -=--=-． 【总结】本题主要考查复合函数的运用，注意对题目条件的准确理解．【难度】3【题目】备选试题3已知23y -与45x +成正比例，且当1x =时，15y =，求y 与x 的函数关系式．【答案】69y x =+．【解析】23y -与45x +对应成比例，可设()2345y k x -=+(0k ≠)，当1x =时，15y =，即()2153415k ⨯-=⨯+，解得：3k =，则有()23345y x -=+，整理得69y x =+．【总结】式子对应成比例，依题意可按照待定系数法的方法进行求解．。

沪教版数学八年级上册18.1《正比例函数的图象和性质》教学设计一. 教材分析《正比例函数的图象和性质》是沪教版数学八年级上册第18.1节的内容。

本节主要让学生掌握正比例函数的图象和性质，包括正比例函数的定义、图象的特点以及性质。

通过学习，学生能够理解正比例函数的概念，识别正比例函数的图象，掌握正比例函数的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了函数的概念、一次函数和二次函数等基础知识。

他们对函数有一定的理解，但可能对正比例函数的概念和性质还不够清晰。

学生需要通过实例和图象来加深对正比例函数的理解，并能够运用正比例函数的性质解决实际问题。

三. 教学目标1.理解正比例函数的定义和性质。

2.能够识别和描述正比例函数的图象。

3.能够运用正比例函数的性质解决实际问题。

四. 教学重难点1.正比例函数的定义和性质的理解。

2.正比例函数图象的识别和描述。

五. 教学方法1.实例教学：通过具体的实例，让学生直观地理解正比例函数的概念和性质。

2.图象教学：通过展示正比例函数的图象，让学生观察和描述图象的特点。

3.问题解决：通过解决实际问题，让学生运用正比例函数的性质解决问题。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的PPT，展示正比例函数的图象和实例。

2.实例材料：准备一些实际问题，让学生解决。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出正比例函数的概念。

例如，假设有一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，问行驶3小时后，汽车行驶的距离是多少？让学生思考并回答问题。

2.呈现（10分钟）展示正比例函数的图象，让学生观察和描述图象的特点。

图象应该包括一条通过原点的直线，斜率为正比例常数。

引导学生注意图象的直线形状和斜率。

3.操练（10分钟）给学生发放实例材料，让学生解决一些实际问题，运用正比例函数的性质。

例如，给定两个正比例函数的图象，让学生确定它们的正比例常数，并解释如何通过图象来确定正比例常数。