常见函数的导数..函数的和、差、积、商的导数作业 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-2

常见函数的导数学习目标：能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，同时体会算法的 思想并熟悉具体的操作步骤。

学习重难点：利用导数公式求一些函数的导数 一、 知识点梳理1. 基本初等函数，有下列的求导公式'1.()(,)kx b k k b +=为常数 '2.()1x = 2'3.()2x x =4.()0C '= 3'25.()3x x = '2116.()xx =-'=18.()x xααα-'=（α为常数） 9.()ln (01)xxa a a a a '=>≠，a a 1110.(log x)log e (01)x xlna a a '==>≠， x x 11.(e )e '= 112.(lnx)x'= 13.(sinx)cosx '= 14.(cosx)sinx '=－从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。

二、典例讲解例1、求下列函数导数。

练习：（1）5-=xy （2）、xy 4= （3）、x x x y =（4）、x y 3log = （5）、)100()1(log 1≠>>-=x a a x ay x ，，， （6）、y=sin(2π+x) (7)y=sin 3π（8）、y=cos(2π－x) （9）、y=(1)f ' 例2、1.求过曲线y=cosx 上点P( 2π，0 ) 的切线的直线方程.2. 若直线y x b =-+为函数1y x=图象的切线,求b 的值和切点坐标.(1)(23)(2)(2)(3)3x x '-+='-='=4(4)y x =3(6)y x -==0(5)sin 45y练习：1.已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x ≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。

函数的和、差、积、商的导数(1)教学目的：1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则 教学难点：函数的积、商的求导法则的推导． 授课类型：新授课教学过程： 一、复习引入： 常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且()'x x e e =1(ln )'x x =11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x sin )'(cos -=二、讲解新课： 例1.求2y x x =+的导数.法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x =法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+ 法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭三、讲解范例： 例1 求下列函数的导数(1)y =x 2+sin x (2) 323622y x x x =--+(3)2(23)(32)y x x =+- (两种方法)例2 求下列函数的导数⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t+=(3)tan y x = (4) y =x1·cos x四、课堂练习： 1.求下列函数的导数：(1)2cos y x x =+ (2)22ln x y x =- (3)y =232x x + (4)y =xa xa +- (5)y =xcos 11- (6)(21)(3)y x x =-+五.课堂小结六、课后作业： 1.求下列函数的导数(1)2()31f x x x =-+ (2)1()f x x x=+(3)()sin f x x x =+ (4)()cos f x x x =2. 求下列函数的导数(1)()23x f x x =+ (2)22()log f x x x =+(3)()xe f x x= (4)()ln f x x x =3.求曲线338y x x =+-在2x =处的切线的方程.4.质点的运动方程是5sin 2cos S t t =+ (1)求5t =时的速度(2)求质点运动的加速度。

函数的和、差、积、商的导数●课题函数的和、差、积、商的导数●教学目标(一)教学知识点1.和(或差)的导数法则.2.积的导数法则．(二)能力训练要求1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数．(三)德育渗透目标1.培养学生的推理论证能力．2.培养学生的运算能力．3.培养学生的直观猜想的能力.4.培养学生由特殊到一般进行归纳总结的能力.●教学重点和(或差)的导数法则、积的导数的法则．●教学难点和(或差)的导数法则，积的导数法则的引入，以及它们的证明过程，仍然用定义来证明.●教学方法建构主义式中的启发式.(让学生通过具体的实例，自己发现规律，进行归纳和猜想，主动地得到结论)●教具准备实物投影仪●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们大家先拿出笔和纸来求几个导数，可以用上节课学过的四个公式，也可以用导数的定义求.［板书］求下列函数的导数(1)x2 (2)x3 (3)x2+x3 (4)5 (5)x3+5 (6)sin x (7)x2－sin x (8)sin x－5(或者写在纸上用实物投影仪放出来) (给5分钟左右，拿几个学生写的答案由实物投影仪放出来)解：(1)(x2)′=2x(2)(x3)′=3x3－1=3x2(3)(x2+x3)′=xxxxxxxx∆+ -∆++∆+→∆)()()(lim3232(4)5′=0(5)(x3+5)′=x xxxx∆+ -+∆+→∆)5(5)(lim3 30 (6)(sin x)′=cos x※(7)(x2－sin x)′=xxxxxxxx∆--∆+-∆+→∆)sin()sin()(lim 22 0※(8)(sin x－5)′x xxxx∆---∆+=→∆)5(sin5)sin(limⅡ.讲授新课［师］我们学极限的时候，学习了极限的四则运算法则，知道函数的和、差、积、商的极限，等于函数的极限的和、差、积、商，那观察一下上面八道题目，我们可以发现什么.［生］(x 2+x 3)′=(x 2)′+(x 3)′ ［生］(x 3+5)′=(x 3)′+5′［生］(x 2－sin x )′=(x 2)′－(sin x )′ ［生］(sin x －5)′=(sin x )′－5′［师］那么对于一般的两个函数u 、v ，它们的和与差的导数与它们的导数的和与差有什么关系？能否根据刚才得到的几个等式进行猜想呢？［生］(u +v )′=u ′+v ′ (u －v )′=u ′－v ′［师］ 这只是我们的猜想，要验证它是否正确，必须经过证明，这就是数学所要求的严谨性.下面我们用导数的定义来证明一下，和或差的导数等于导数的和或差.［板书］(u ±v )′=u ′±v ′(可让学生证明) 证明：y =f (x )=u (x )±v (x )Δy =u (x +Δx )±v (x +Δx )－［u (x )±v (x )］=u (x +Δx )－u (x )±［v (x +Δx )－v (x )］ =Δu ±Δv∴x v x u x v u x y ∆∆±∆∆=∆∆±∆=∆∆ ∴x vx u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000limlim )(lim lim=u ′(x )±v ′(x ) 即y ′=(u ±v )′=u ′±v ′ 1.和(或差)的导数法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即(u±v)′=u′±v′.［师］猜想一下两个函数的积的导数与两个函数的导数有什么关系？［生］(uv)′=u′v′［师］我们猜想出来的结论，有时是正确的，有时却是错误的.经过证明正确，才能说明确实是正确的，下面看一个例子.［板书］例如u=x2，v=x3u′=(x2)′=2x，v′=(x3)′=3x2u′·v′=2x·3x2=6x3(u·v)′=(x2·x3)′=(x5)′=5x4∴(u·v)′≠u′v′［师］所以两个函数的积的导数不一定等于两个函数的导数的积.［板书］2.积的导数.法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即(uv)′=u′v+uv′.证明：y=f(x)=u(x)v(x)Δy=u(x+Δx)v(x+Δx)－u(x)v(x)=u(x+Δx)v(x+Δx)－u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)－u(x)v(x)=［u(x+Δx)－u(x)］v(x+Δx)+u(x)·［v(x+Δx)－v(x)］∴x x v x x v x u x x v x x u x x u x y ∆-∆++∆+∆-∆+=∆∆)()()()()()(∵v (x )在点x 处可导，∴v (x )在点x 处连续 ∴当Δx →0时，v (x +Δx )→v (x )∴x x v x x v x u x x v x x u x x u x y x x x ∆-∆++∆+∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆)()()(lim )()()(lim lim000 =u ′(x )v (x )+u (x )v ′(x ) ∴y ′=(uv )′=u ′v +uv ′［师］我们由极限的性质可以知道，常数C 可以直接提出来. ∴(Cu )′=Cu ′，我们也可以从法则2得出结论. ［板书］(Cu )′=C ′u +Cu ′=0·u +Cu ′=Cu ′3.常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即(Cu )′=Cu ′.［师］这说明，在求导时，可以把函数的常数因子直接提出来. 下面我们用和、差、积的导数法则来计算几个函数的导数. 4.课本例题［例1］求y =x 3+sin x 的导数.解：y ′=(x 3+sin x )′=(x 3)′+(sin x )′=3x 2+cos x ［例2］求y =x 4－x 2－x +3的导数. 解：y ′=(x 4－x 2－x +3)′ =(x 4)′－(x 2)′－x ′+3′ =4x 3－2x －1，即y ′=4x 3－2x －1. ［例3］求y =2x 3－3x 2+5x －4的导数. 解：y ′=(2x 3－3x 2+5x －4)′ =(2x 3)′－(3x 2)′+(5x )′－4′=2·3x2－3·2x+5=6x2－6x+5即y′=6x2－6x+5［例4］求y=(2x2+3)(3x－2)的导数.解：y′=［(2x2+3)(3x－2)］′=(2x2+3)′(3x－2)+(2x2+3)(3x－2)′=［(2x2)′+3′］(3x－2)+(2x2+3)·［(3x)′－2′］=4x(3x－2)+(2x2+3)·3=18x2－8x+9即y′=18x2－8x+95.精选例题［例1］求函数y=(2x+3)(1－x)(x+2)的导数.［师生共评］这是三个函数相乘的导数的类题，先要把两个看作一个，根据法则2，进行求导，要连续用两次法则2.解：(uvt)′=(uv)′t+uvt′=(u′v+uv′)t+uvt′=u′vt+uv′t+uvt′∴y′=［(2x+3)(1－x)(x+2)］′=(2x+3)′(1－x)(x+2)+(2x+3)(1－x)′(x+2)+(2x+3)(1－x)(x+2)′=2(1－x)(x+2)+(2x+3)(－1)(x+2)+(2x+3)(1－x)=－6x2－10x+1［师生共评］求三个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个、第三个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数乘第三个函数，再加上第一个函数乘第二个函数乘第三个函数的导数.［师］那么求四个函数乘积的导数，五个，……，甚至是n个函数乘积的导数呢？猜想一下应该是什么形式呢？n个函数.［生］(f1f2…f n)′=f1′f2…f n+f1f2′f3…f n+…+f1f2…f n－1′f n+f1f2…f n－1f n′(板书)［师］三个函数乘积的导数，我们求的时候是连续用了两次法则2，那现在有n个函数，是否要用n－1次法则2呢？像这一类与n有关的命题，我们要证明它，可以用什么方法？［生］可以用数学归纳法.［学生板演］证：用数学归纳法.1°当n=1时，f1′=f1′当n=2时，(f1f2)′=f1′f2+f1f2′，等式成立2°假设当n=k时，等式成立，即(f1f2…f k)′=f1′f2…f k+f1f2′f3…f k+…+f1…f k－2f k－1′f k+f1…f k－1f k′当n=k+1时(f1f2…f k f k+1)′=(f1f2…f k)′f k+1+f1f2…f k f k+1′=(f1′f2…f k+f1f2′f3…f k+…+f1…f k－2f k－1′f k+f1…f k－1f k′)f k+1+f1f2…f k f k+1′=f1′f2…f k f k+1+f1f2′f3…f k f k+1+…+f1…f k－2f k－1′f k f k+1+f1…f k－1f k′f k+1+f1f2…f k f k+1′，等式也成立∴由1°，2°，对任意的n∈N*等式都成立，即(f1f2…f n)′=f1′f2…f n+f1f2′f3…f n+…+f1…f n－2f n－1′f n+f1…f n－1f n′［例2］求(f1+f2+…+f n)′解法一：(f1+f2+…+f n)′=f1′+(f2+…+f n)′=f1′+f2′+(f3+…+f n)′=…=f1′+f2′+…+f n′［师评］这样虽然可以明显地看出来，但如果是一个证明题，则如方法一的证明过程，理由不充分，我们仍然可以用数学归纳法证明.解法二：猜想(f1+f2+…+f n)′=f1′+f2′+…+f n′.证明：用数学归纳法1°当n=1时，f1′=f1′当n=2时，(f1+f2)′=f1′+f2′，等式成立2°假设当n=k时，等式成立，即(f1+f2+…+f k)′=f1′+f2′+…+f k′当n=k+1时，(f1+f2+…+f k+f k+1)′=(f1+f2+…+f k)′+f k+1′=f1′+f2′+…+f k′+f k+1′，等式也成立∴由1°，2°，对任意的n∈N*等式成立，即(f1+f2+…+f n)′=f1′+f2′+…f n′.［师］等式中如果把“+”换成“－”号，或者全部换，或者部分换，等式都成立.［例3］y=3x2+x cos x，求导数y′.解：y′=(3x2+x cos x)′=(3x2)′+(x cos x)′=3·2x+x′cos x+x(cos x)′=6x+cos x+x sin x［例4］y=5x10sin x－2x cos x－9，求y′.解：y′=(5x10sin x－2x cos x－9)′=(5x10sin x)′－(2x cos x)′－9′=5(x10)′sin x+5x10(sin x)′－［2(x )′·cos x +2x (cos x )′］－0=5·10x 9sin x +5x 10cos x －(121212 x ·cos x －2x sin x )=50x 9sin x +5x 10cos x －x 1cos x +2x sin x =(50x 9+2x )sin x +(5x 10－x 1)cos xⅢ.课堂练习1.求下列函数的导数. (1)2x 3+3x 2－5x +4解：(2x 3+3x 2－5x +4)′=(2x 3)′+(3x 2)′－(5x )′+4′ =2·3x 2+3·2x －5 =6x 2+6x －5 (2)y =sin x －x +1解：y ′=(sin x －x +1)′=(sin x )′－x ′+1′=cos x －1 (3)y =(3x 2+1)(2－x )解：y ′=［(3x 2+1)(2－x )］′ =(3x 2+1)′(2－x )+(3x 2+1)(2－x )′ =3·2x (2－x )+(3x 2+1)(－1) =－9x 2+12x －1 (4)y =(1+x 2)cos x解：y ′=［(1+x 2)cos x ］′=(1+x 2)′cos x +(1+x 2)(cos x )′ =2x cos x +(1+x 2)(－sin x ) =2x cos x －(1+x 2)sin x 2.填空：(1)［(3x2+1)(4x2－3)］′=( )(4x2－3)+(3x2+1)( )解：［(3x2+1)(4x2－3)］′=(3x2+1)′(4x2－3)+(3x2+1)(4x2－3)′=3·2x(4x2－3)+(3x2+1)(4·2x)=(6x)(4x2－3)+(3x2+1)(8x)(2)(x3sin x)′=( )x2sin x+x3( )解：(x3sin x)′=(x3)′sin x+x3(sin x)′=(3)x2sin x+x2(cos x)3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.［(3+x2)(2－x3)］′=2x(2－x3)+3x2·(3+x2)解：不正确.［(3+x)2(2－x3)］′=(3+x2)′(2－x3)＋(3＋x2)(2－x3)′=2x(2－x3)+(3+x2)(－3x2)=2x(2－x3)－3x2(3+x2)Ⅳ.课时小结这节课主要学习了和(或差)的导数和积的导数,即(u±v)′=u′±v′和(uv)′=u′v+uv′.把这三个公式推广成n个函数的公式为(f1+f2+…+f n)′=f1′+f2′+…+f n′和(f1f2…f n)′=f1′f2…f n+f1f2′f3…f n+…+f1…f n－2f nf n+f1…f n－1f n′.利用这些公式，以及上节课学习的四个公式，－1′可以方便地求解一些函数的导数.Ⅴ.课后作业(一)课本2.预习提纲(1)商的导数的法则、文字语言、符号语言.(2)预习例5、例6，利用法则3会求分式的导数.●板书设计。

5.2.2 导数的四则运算法则 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点 导数的运算法则已知f (x )，g (x )为可导函数，且g (x )≠0.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2.1.⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( √ ) 2．函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( √ )3．当g (x )≠0时，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).( √ )一、利用运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋43x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝x 1＋x； (4)y ＝lg x －e x ；(5)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋43x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫43x 3′＝x 4＋4x 2. (2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝x ′(1＋x )－x (1＋x )′(1＋x )2＝1＋x －x (1＋x )2＝1(1＋x )2. (4)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (5)y ′＝⎣⎡⎦⎤(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1′ ＝⎝⎛⎭⎫1x －x ′1122=x x '-⎛⎫- ⎪⎝⎭1131222211=22x 'x 'x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－－＝－－－ ＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . 反思感悟 利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋x ln x ；(2)y ＝ln x x 2； (3)y ＝e xx； (4)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)．解 (1)y ′＝(x 2＋x ln x )′＝(x 2)′＋(x ln x )′＝2x ＋(x )′ln x ＋x (ln x )′＝2x ＋ln x ＋x ·1x＝2x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2′＝(ln x )′·x 2－ln x (x 2)′x 4 ＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x ·x －e xx 2. (4)方法一 y ′＝[(2x 2－1)(3x ＋1)]′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x (3x ＋1)＋(2x 2－1)×3＝12x 2＋4x ＋6x 2－3＝18x 2＋4x －3.方法二 ∵y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，∴y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′－(1)′＝18x 2＋4x －3.二、利用运算法则求曲线的切线例2 (1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故π=4|x y'＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. (2)已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.①求a ，b 的值；②如果曲线y ＝f (x )的切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切线的方程． 解 ①f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，解得a ＝1，b ＝－16.②∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14或y 0＝－1－1－16＝－18，则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练2 (1)曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )A ．y ＝－x ＋2B ．y ＝5x －4C ．y ＝－5x ＋6D ．y ＝x －1答案 C解析 由y ＝x 3－4x 2＋4，得y ′＝3x 2－8x ，y ′|x ＝1＝3－8＝－5，所以曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－5(x －1)，即y ＝－5x ＋6.(2)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，则a ，b 的值分别为________．答案 1,1 解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是( ) A. 2 B.22C ．1D ．2 答案 B解析 设曲线y ＝x ln x 在点(x 0，y 0)处的切线与直线x －y －2＝0平行．∵y ′＝ln x ＋1，∴0=|x x y'＝ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1，∴y 0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－0－2|1＋1＝22， 即曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是22. (2)设曲线 y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与直线 x ＋2y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 2e解析 令y ＝f (x )，则曲线y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线的斜率为f ′(1)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝2.因为f (x )＝a (x －1)e x ，所以f ′(x )＝a e x ＋a (x －1)e x ＝ax e x ，所以f ′(1)＝a e ，故a ＝2e. 反思感悟 本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 求曲线y ＝2e(x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积． 解 由题意可知，y ′＝2ex ·e x ，y ′|x ＝1＝2， ∴切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.令x ＝0得y ＝－2；令y ＝0得x ＝1.∴曲线y ＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S ＝12×2×1＝1.1．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 2．设函数y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．3．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 因为f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， 所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2，所以f ′(－1)＝－1.4．已知f (x )＝ln x x，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝(ln x )′·x －ln x ·(x )′x 2＝1x ·x －ln x x 2 ＝1－ln x x 2， 所以f ′(1)＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.1．知识清单：(1)导数的运算法则．(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．1．(多选)下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′答案 AD解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确；B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，故错误；C 项中，⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2，故错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，故正确．2．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π2答案 B解析 对函数求导得f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，∴f ′(0)＝1，∴函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4. 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2 答案 B解析 ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．(多选)当函数y ＝x 2＋a 2x(a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是( ) A ．a B ．0 C ．－a D ．a 2答案 AC解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .6．已知f (x )＝sin x 1＋cos x，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________. 答案 23解析 因为f ′(x )＝(sin x )′(1＋cos x )－sin x (1＋cos x )′(1＋cos x )2＝cos x (1＋cos x )－sin x (－sin x )(1＋cos x )2＝cos x ＋cos 2x ＋sin 2x (1＋cos x )2＝cos x ＋1(1＋cos x )2 ＝11＋cos x . 所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝11＋cos π3＝23. 7．已知f (x )＝e x x，则f ′(1) ＝________，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________. 答案 0 12解析 因为f ′(x )＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x (x －1)x 2(x ≠0)． 所以f ′(1)＝0.由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得()00020e 1e 0.x x x x x 0-＋＝ 解得x 0＝12. 8．已知函数f (x )＝e x ·sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是____________． 答案 y ＝x解析 ∵f (x )＝e x ·sin x ，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .9．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x， 由题意可知，存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0， 即a ＝2x ＋1x成立，∴a ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立)．∴a 的取值范围是[22，＋∞)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.11．已知曲线f (x )＝x 2＋ax ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a 等于( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 ∵f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，又f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.12．已知曲线f (x )＝(x ＋a )·ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，则a 等于() A.12 B ．1 C ．－32 D ．－1答案 C解析 因为f (x )＝(x ＋a )·ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋(x ＋a )·1x ，所以f ′(1)＝1＋a .又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，所以f ′(1)＝－12，所以a ＝－32，故选C. 13．已知函数f (x )＝f ′(－1)x 22－2x ＋3，则f (－1)的值为________． 答案 92解析 ∵f ′(x )＝f ′(－1)·x －2，∴f ′(－1)＝－f ′(－1)－2，解得f ′(－1)＝－1.∴f (x )＝－x 22－2x ＋3， ∴f (－1)＝92. 14．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点坐标为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x (x >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝________. 答案 212解析 因为f ′(x )＝(x )′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.16．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点坐标为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。

函数的和、差、积、商的导数一、基础过关1．下列结论不正确的是________．(填序号)①若y ＝3，则y ′＝0；②若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3；③若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1； ④若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x .2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.4．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 5．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________.6．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________．7．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；(2)y ＝(x －2)2；(3)y ＝x －sin x 2cos x 2. 二、能力提升8．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．9．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．10．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 11．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的表达式．12．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．三、探究与拓展13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程．答案1．④2．3x 2＋3x ·ln 33．－24．－25.126．0.4 m/s7．解 (1)方法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.方法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3，∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4·12x －12＝1－2x －12. (3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－(12sin x )′＝1－12cos x . 8．49．y ＝720x10．611．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.12．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，② 由①，②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3. 故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.13．解 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.②因为两切线重合，所以由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝－2(x 2－2)，－x 21＝x 22－4 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝0. 所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。