2020-2021年高一数学上 3.《分段函数》教案 沪教版

跟踪训练2
(1)函数f(x)＝x＋
x x
的图象是(
)
答案：B
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，在区间[0，4]上是抛物线的一段， 求f(x)的解析式．
题型 3 分段函数的实际应用 例3 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特
点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每 尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)表示为养殖密度x(单位：尾/立 方米)的函数．当0<x≤4时，v的值为2；当4<x≤20时，v是关于x的一 次函数．当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．( × )
(2)分段函数有多个定义域．( × )
(3)函数f(x)＝ቊ−xx，，xx
≤ ≥
00，是分段函数．(
×
)
2．已知f(x)＝ቊ−x2x，，xx
≤ >
00，则f(－3)＝(
A．－3
B．3
C．－9
答案：B
第2课时 分段函数
预学案
共学案
预学案
分段函数❶ 1．分段函数的定义 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应 关系，这样的函数通常叫做分段函数． 2．分段函数的定义域、值域 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、 值域的___并_集____；各段函数的定义域的交集是___空_集____． 3．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系 中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的 端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函 数的图象．

分段函数教案分段函数教案一、引言在数学学科中，分段函数是一个重要的概念。

它在实际问题的建模和解决中起着重要的作用。

本教案将介绍分段函数的概念、性质以及解题方法，帮助学生更好地理解和应用分段函数。

二、概念解释1. 分段函数的定义分段函数是由两个或多个函数组成的函数，每个函数在某个区间内有效。

函数的定义域可以分成多个不相交的区间，每个区间内有一个函数与之对应。

2. 分段函数的表示方式分段函数可以用符号表示，也可以用图像表示。

符号表示通常采用条件表达式，例如：f(x) = { x, x < 0{ x^2, x ≥ 0图像表示则是将每个函数的图像绘制在同一坐标系中，形成一个整体的图像。

三、性质探究1. 连续性分段函数在每个定义域内都是连续的，但在定义域之间可能存在间断点。

学生可以通过观察图像来判断分段函数的连续性。

2. 极值点分段函数的极值点可能出现在每个定义域内的端点，也可能出现在定义域之间的间断点。

学生需要通过求导或观察图像来确定极值点的位置。

3. 零点分段函数的零点是指函数取值为0的点。

学生可以通过求解方程或观察图像来确定分段函数的零点。

四、解题方法1. 确定定义域学生需要根据题目中给出的条件来确定每个函数的定义域，并将定义域整合成一个整体的定义域。

2. 绘制图像学生可以根据每个函数的表达式和定义域来绘制图像。

通过观察图像，学生可以更好地理解分段函数的性质。

3. 求解问题学生需要根据题目中的要求，利用分段函数的性质来解决问题。

例如，求函数的极值、零点和特定取值等。

五、案例分析以下是一个案例分析，帮助学生更好地理解和应用分段函数。

案例：某公司的销售业绩奖金制度如下：- 当销售额不超过100万时，奖金为销售额的5%；- 当销售额超过100万但不超过200万时，奖金为100万的5%加上超出部分的3%；- 当销售额超过200万时，奖金为100万的5%加上100万到200万的3%，再加上超出200万部分的1%。

7、下列图形中，不能表示函数图像的是（B）
A B C D
8、求下列函数的值域
答案：（1）[-1,1];(2) ;(3) ;(4)[2,11];(5) ;(6) (7)
(8)
9、若 求f(x)
解： 令 则 (t0)则
∴f(x)= (x0且x1)
10、已知f(x)=ax+b,且af(x)+b=ax+8求f(x)
恒成立”的只有（）
A. B. C. D
【答案】A
【例8】画出下列函数的图象
1。 2。
答：略
【课堂小练】
1、判断下列各组函数是否表示同一函数，并说明理由。
（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】先确定它们的定义域和对应关系，在判断它们是否相同。
【答案】（1）中 ， ，其定义域和对应关系相同，故是同一函数。
（2）中 有意义，需 解得
高中数学沪教版高一（上）
函数的基本概念同步教学案【解析】
【教学目的】
1、理解函数的概念，能使用y=f(x)表示y是x的函数，会求函数值f(a),会求简单函数的定义，会求简单函数的定义域和值域；
2、掌握函数的表示方法。
【知识梳理】
1.怎样定义函数？函数的三要素是、、。
2.确定函数的定义域一般要考虑哪几个方面的因素？
解：（待定系数法）
∵af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b∴
解之 或 ∴f(x)=3x+2或f(x)=3x4
11、已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x1,求f(x)的解析式。
解：（待定系数法）设f(x)=kx+b则k(kx+b)+b=4x1

高中数学讲解分段函数教案
一、教学目标：
1. 理解分段函数的概念；
2. 能够根据图像和定义求分段函数的值；
3. 能够解决实际问题中涉及到分段函数的计算和应用。

二、教学重点与难点：
重点：掌握分段函数的概念及应用方法；
难点：理解分段函数的图像和定义。

三、教学过程：
1. 概念引入
示意图展示，引导学生思考分段函数的概念，并举例说明分段函数的应用场景。

2. 分段函数的定义
通过简单的例题，引导学生理解分段函数的定义，并让学生学会根据定义求分段函数的值。

3. 分段函数的图像
通过绘制分段函数的图像，让学生直观感受分段函数的特点，掌握函数图像的变化规律。

4. 分段函数的计算与应用
练习题目，让学生熟练掌握分段函数的求解方法，并能够灵活运用于实际问题中。

四、教学总结：
总结分段函数的概念和应用方法，强调分段函数在解决实际问题中的重要性和实用性。

五、课后作业：
1. 完成练习题目，并总结解题方法；
2. 梳理课堂知识点，做好笔记。

六、扩展拓展：
扩展分段函数的应用领域，如金融、经济等领域中的分段函数应用案例，激发学生对分段函数的兴趣和学习积极性。

高中数学分段函数总结教案教学内容分析：分段函数是高中数学中的一个重要内容，通过本课的学习，学生将能够掌握分段函数的定义、性质、图像及求解等知识。

本节课将对分段函数进行总结，让学生加深对分段函数的理解，同时通过解题训练提高学生的分析和解决问题的能力。

教学目标：1. 知识与技能：掌握分段函数的定义、性质及图像等知识，能够准确解析和应用分段函数进行实际问题的求解。

2. 过程与方法：培养学生分析问题的能力，引导学生探索问题解决的方法和思路。

3. 情感态度与价值观：培养学生勤奋学习、积极思考、团结合作的学习态度，促进学生的创新意识和实践能力的提升。

教学重点和难点：重点：分段函数的定义，性质及图像。

难点：分段函数的解析与应用。

教学过程设计：一、导入环节（5分钟）教师引导学生回顾分段函数的定义和性质，提出本节课的学习内容和目标。

二、知识讲解（15分钟）1. 分段函数的定义及性质；2. 分段函数的图像特点；3. 分段函数的求解方法。

三、示例讲解（15分钟）教师通过具体的例题，演示如何解析和应用分段函数进行求解。

四、练习环节（15分钟）学生进行课堂练习，巩固所学知识，提高解题能力。

五、反馈与讨论（10分钟）教师与学生一起总结学习内容，讨论学习中的问题及解题思路。

六、拓展延伸（5分钟）教师引导学生进行延伸思考，拓展分段函数的应用领域，提高学生的分析与解决问题的能力。

七、作业布置（5分钟）布置课后作业，巩固所学知识。

教学反思：通过本节课的教学，学生对分段函数的定义、性质及图像等知识有了更深入的理解，能够运用所学知识解答实际问题。

同时，学生在课堂练习中也提高了解题的能力。

在以后的教学中，需要引导学生多进行实际问题的应用，提高学生的解决问题的能力及创新思维。

高一数学必修1 分段函数【学习导航】知识网络分段函数⎪⎩⎪⎨⎧分段函数图象分段函数定义域值域分段函数定义学习要求1、了解分数函数的定义；2、学会求分段函数定义域、值域；3、学会运用函数图象来研究分段函数；自学评价：1、分段函数的定义在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；2、分段函数定义域，值域；分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)3、分段函数图象画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；【精典范例】一、含有绝对值的解析式例1、已知函数y=|x －1|+|x+2|(1)作出函数的图象。

(2)写出函数的定义域和值域。

【解】：(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞)所以已知函数可写为分段函数形式：y=|x －1|+|x+2|=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<--≤--)1(12)12(3)2(12x x x x x在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。

（图象略）(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，+∞）二、实际生活中函数解析式问题例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。

写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。

【解】：先考虑由甲地到乙地的过程：0≤t ≤2时， y=6t再考虑在乙地耽搁的情况：2<t ≤3时， y=12最后考虑由乙地返回甲地的过程：3<t ≤6时， y=12－4(t －3)所以S(t)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤≤)63(244)32(12)20(6t t t t t函数图象（略）点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.三、二次函数在区间上的最值问题例3、已知函数f(x)=2x 2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).(1)求g(a)的函数表达式(2)求g(a)的最大值。

3.1函数的概念（2）一、教学内容分析函数的概念（2）是学习函数的定义概念之后,进一步学习函数的解析法、列表法和图像法,课本通过出租车的车费问题,要求理解分段函数的概念和分段函数的图像，并能求分段函数对应的函数值,它是后面进一步应用建立分段函数关系,来表示个人所得税等函数关系的基础.通过统计上海市在不同时间人均住房面积的图和表,说明图和表是有效的表示函数的方法.能通过观察和分析图和表，确定函数的定义域和值域.懂得函数的对应法则，要能求出函数对应函数值.二、教学目标设计加深理解函数的概念,熟悉函数的解析法、列表法和图像法；理解分段函数的概念，并能作出分段函数的图像，在简单的情形下能通过观察和分析，确定函数的值域。

懂得函数的抽象记号，能求出函数对应函数值三、教学重点及难点函数的表示法和利用对应法则求值四、教学流程设计五、教学过程设计一、情景引入1．复习和回顾函数的的定义2．函数的解析式表示学生交流并回答上堂课给出的出租车问题：问题1:（1） 某人乘坐出租车7千米，车费为多少元？（2） 某人乘坐出租车15千米，车费为多少元？（3） 尝试写出里程x （千米）与车费y （元）的函数关系,并给出定义域.某地的出租车价格规定：起步费元，可行千米，千米以后按每千米元计价，可再行千米，以后每千米都按元计价，车费元与行车里程（千米）之间的关系可表示为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+≤<=10631034230,10x x x x x y所以，（1）某人乘车千米的的车费为18472=+⨯=y （元）（2）某人乘车千米的的车费为396153=-⨯=y （元）二、学习新课变量之间的对应关系常常可以用解析式来表示函数的对应法则，例如，我们已经学过的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数都是用一个解析式表示函数关系的。

而出租车车费问题中，由于不同里程的计费单价是不一样的，因此车费关于里程的关系是一个分段函数,它的图象看课本P73图3-1.例题选讲例1：已知函数312--=x y（1） 将函数表示为分段函数；（2） 作出函数的图像；（3） 观察函数的图象，指出函数的值域.[说明]（1） 例1说明有些函数可以用一个解析式表示，也可以用分段函数来表示；将含有绝对值的函数表示为分段函数,容易作出函数的图像.（3）根据学生的能力可以选择不同的函数，例如：函数1-=x y 、x x y +-=22、21++-=x x y 等不同难度的问题.3.函数的图象法和列表法当函数的变量之间的对应关系不适合或难以用解析式表示时，函数还可以用图和表来表示.例2：根据国家统计局公布的上海市人均住房面积资料，可作出下面的图和表.（看课本P55图3-2，表1）观察上海市人均住房面积的图和表，回答下列问题（1）指出函数的定义域和值域; （2）哪一年的平均住房面积最小？ （3）哪一年开始，上海市人均住房面积逐年增加？ （4）估计1998年的上海市人均住房面积为多少？ （5） 解析法、图像法和列表法表示函数时，各有什么优点？[说明]（1）从图3-2可以知道，函数的图像不一定是连续的曲线，也可以是一些不连续（离散）的点.（2）要引导学生如何观察函数的图和表.有时为了观察图像的变化趋势，可以用折线依次连接图像的各点.例3．（1）已知x x x f 23)(3+=，求证：0)()(=-+a f a f .)(R a ∈（2）已知二次函数)(x f 满足569)13(2+-=+x x x f 求)(x f[说明]例3的目的是进一步理解函数的对应法则.有了函数的解析式)(x f y =后，对于任何定义域内的x 的值，都有唯一确定的y 值与之对应，我们把与x 值对应的y 值记作)(x f .三、巩固练习1. 设函数)(x f y =满足x x x f 2)1(2+-=-,求函数)(x f y =的解析式.2. 设11)(+-=x x x f ,求满足条件x x x f -=+-)11(的x 值. 四、课堂小结(1)函数的表示法:解析法、图象法和列表法 (2)已知函数的解析式,求对应的函数值的方法.四、 作业布置i.已知函数x x y -=2(Z x ∈且62≤≤-x ),作出函数的图像. ii. 将函数x x y ---=12表示为分段函数,并作出函数的图像3.课本P56 T3.T4六、教学设计说明通过函数的概念（2）的内容分析,函数的解析法、列表法和图像法和函数的对应法则,是本课时教学的主要内容.通过出租车的车费问题,说明出租车的车费关于里程的关系是一个分段函数,给出了分段函数的概念.通过例1,说明有些函数可以用一个解析式表示，也可以分段函数来表示,通过用分段函数表示,更容易作出函数的图像.根据国家统计局公布的上海市人均住房面积资料，给出的图和表, 说明图和表是有效的表示函数的方法,是一个很好的具有实际背景的函数例子.设计例3的目的是进一步理解函数的对应法则.。

高中数学分段方程问题教案
教学目标：
1. 了解分段函数的概念；
2. 掌握分段函数的图像和性质；
3. 能够应用分段函数解决实际问题。

教学重点：
1. 分段函数的概念；
2. 分段函数图像的绘制；
3. 分段函数在实际问题中的应用。

教学难点：
1. 应用分段函数解决实际问题；
2. 理解分段函数的性质。

教学准备：
1. 教师准备ppt或板书；
2. 教师准备分段函数相关的练习题；
3. 学生准备纸笔。

教学环节：
一、导入（5分钟）
教师通过引入一个实际问题来引起学生的兴趣，让学生思考如何使用分段函数解决这个问题。

二、讲解分段函数的概念（10分钟）
1. 介绍分段函数的定义和用途；
2. 讲解如何表示和绘制分段函数的图像；
3. 解释分段函数的性质。

三、例题讲解（15分钟）
1. 给出一个简单的分段函数问题，并讲解如何解决；
2. 带着学生一起解决一个稍复杂一点的分段函数问题。

四、练习与巩固（15分钟）
1. 学生独立完成课堂练习；
2. 学生相互交流答案并讨论问题。

五、实际问题应用（10分钟）
1. 给出一个实际问题，并让学生尝试使用分段函数进行求解；
2. 学生讨论解决方案并写出答案。

六、总结与展望（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，并展望下节课的学习内容。

教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握分段函数的基本概念和应用能力，能够灵活运用分
段函数解决实际问题。

同时，教师应该注重引导学生思维，培养学生独立解决问题的能力。

3.3函数的运算一、 教学内容分析函数的运算在课时安排上只有1课时，内容也较为简单，关键在于求和函数的定义域，但其重要性却不容忽视，首先，函数的运算体现了高中数学的一大基本思想方法----转化思想，把陌生化为熟悉，把复杂的函数看做简单的函数的和（积）。

其次，由函数的运算引出()00b y ax a b x=+>>，的图像，利用此类函数的单调性可以解决许多最值问题。

为了引入函数运算，我从实例出发构造了利用基本不等式所不能解决的一个求最值的问题，这样通过创设问题情景，突出了函数运算的必要性，增强学生解决问题的内驱力。

最后运用函数运算，画出耐克函数，解决实例所提出的最值问题。

二、教学目标设计1．理解函数运算的概念及简单的应用。

2．通过对例题的讲解，让学生体会到数形结合，转化思想的重要性。

三、教学重点及难点函数运算的概念和应用。

如何把复杂的函数看做简单的函数的和（积）。

四、教学流程设计五、教学过程设计问题：甲，乙两实验室地相距1000千米，开汽车从甲匀速到乙实验室，速度为()85100v v ≤≤千米/小时。

已知小车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为1，固定部分为35元1）把全程运输成本表示为速度的函数。

2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。

一、 情景引入引入函数运算怎样求最小成本？能否用基本不等式求最小成本？那只能从函数本身性质，图像等入手，但这个函数是陌生的。

遇见陌生转化为熟悉，这函数与我们所熟悉的那些函数有关？有何关系？所以我们今天研究函数的运算，首先研究和运算。

二、学习新知1．定义函数的运算函数有三要素。

其中定义域和对应法则起核心作用思考： 和函数的定义域怎么取，对应法则呢？怎样定义()f x 和()g x 的和？()()f x g x +是否一定是函数呢？怎样定义函数的积？是否有必要定义函数的差，商？于是给出两个函数和及积的概念。

xy80160240320400204060801001.2.2 函数的表示方法第二课时 分段函数【教学目标】1. 根据要求求函数的解析式2. 了解分段函数及其简单应用3．理解分段函数是一个函数, 而不是几个函数 【教学重难点】 函数解析式的求法 【教学过程】 1、 分段函数由实际生活中, 上海至港、澳、台地区信函部分资费表重量级别 资费（元）20克及20克以内 1.50 20克以上至100克 4.00 100克以上至250克 8.50 250克以上至500克16.70引出问题: 若设信函的重量 （克）应支付的资费为 元, 能否建立函数 的解析式？ 导出分段函数的概念。

通过分析课本第46页的例4.例5进一步巩固分段函数概念, 明确建立分段函数解析式的一般步骤, 学会分段函数图象的作法可选例: 1.动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动, 沿正方形ABCD 的运动路程为自变量 , 写出P 点与A 点距离 与 的函数关系式。

2、在矩形ABCD 中, AB ＝4m, BC ＝6m, 动点P 以每秒1m 的速度, 从A 点出发, 沿着矩形的边按A →D →C →B 的顺序运动到B, 设点P 从点A 处出发经过 秒后, 所构成的△ABP 面积为 m2, 求函数 的解析式。

3、以小组为单位构造一个分段函数, 并画出该函数的图象。

2.典题例1 国内投寄信函（外埠）, 每封信函不超过20g 付邮资80分, 超过20g 而不超过40g 付邮资160分, 依次类推, 每封x g(0<x 100)的信函应付邮资为（单位: 分）, 试写出以x 为自变量的函数y 的解析式, 并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是 , 函数的解析式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈=].100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80x x x x x yxy这个函数的图象是5条线段（不包括左端点）, 都平行于 x 轴, 如图所示. 这一种函数我们把它称为分段函数 变式练习1 作函数y=|x-2|(x ＋1)的图像分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难, 除去对其函数性质分析外, 我们还应想到对已知解析式进行等价变形.解：(1)当x ≥2时, 即x-2≥0时,49)21(2)1)(2(22--=--=+-=x x x x x y当x ＜2时, 即x-2＜0时,49)21(2)1)(2(22+--=++-=+--=x x x x x y .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4921492122x x y 22<≥x x 这是分段函数, 每段函数图象可根据二次函数图象作出例2画出函数y=|x|=⎩⎨⎧<-≥.0,0x x x x 的图象.解: 这个函数的图象是两条射线, 分 别是第一象限和第二象限的角平分线, 如图所示.说明: ①再次说明函数图象的多样性；②从例4和例5看 到, 有些函数在它的定义域中, 对于自变量x 的不同取值范围, 对应法则不同, 这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数, 而不是几个函数.③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象, 如狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x)= ,我们就作不出它的图象.变式练习2 作出分段函数21++-=x x y 的图像解: 根据“零点分段法”去掉绝对值符号, 即:21++-=x x y =⎪⎩⎪⎨⎧++-123)12(x x1122>≤<--≤x x x 作出图像如下变式练习3. 作出函数 的函数图像 解: 步骤: （1）作出函数y= (2x(3的图象（2）将上述图象x 轴下方部分以x 轴为对称轴向上翻折（上方部分不变）, 即得y=| (2x(3|的图象3.小结：本节课学习了分段函数及其简单应用, 进一步学习了函数解析式的求法. 课后作业: （略） 【板书设计】 一、 分段函数 二、 典型例题例1 : 例2:小结:【作业布置】完成本节课学案预习下一节。

.微课——《分段函数》教学设计天台第二职业技术学校占志勇学科《数学》（基础模块上册）（修订版）高等教育出版社课程第三章第三节《函数的实际应用举例》P57-58适用对象高一学员一、教学背景分析（一）教学内容分析1、本节课内容是全章知识的综合应用。

这一节主要体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产、生活的实际中去，形成应用数学的意识。

2、在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，分段函数的概念及性质。

在方法上涉及到数形结合的思想方法。

本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识。

3、数学在职高属于基础课程，学习目的是为专业课程服务，为学生将来的社会生活服务，本节内容正体现了这一特点。

（二）学情分析学生对分段函数的表示方法是完全陌生的，需要一个接受过程。

分段函数是一个函数还是两个或多个函数，学生可能会理解错误。

正确理解分段函数的概念对学生来讲是个难点。

二、教学目标和教学重点、难点（一）知识目标（1）理解分段函数的概念；（2）了解实际问题中的分段函数问题。

（二）能力目标会求分段函数的定义域和分段函数在x0处的函数值f(x0)。

（三）情感目标（1）体会数学与生活实际的密切联系，激发学习兴趣；（2）通过学习探索过程，培养分析问题解决问题的能力。

（四）教学重点.分段函数的概念。

（五）教学难点会求分段函数在x0处的函数值f(x 0)。

三、教学方法（一）教法1、启发式教学、问题引导，由特殊到一般；2、激发兴趣、发挥学生主观能动性。

（二）学法实践操作、主动参与、成功参与、快乐体验。

四、教学设计教学过程【设置情景兴趣导入】根据水文地理学家的估算，地球上的水资源总量约为 1.38 109立方米，其中 97.5%是海水，适宜人类享用的仅为0.01%，目前世界上许多国家正面临水资源危机。

为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：用水量不超过 10 m3超过 10 m3部分部分收费（元／ m3） 1.30 2.00污水处理费（元／m3）0.300.80（1）小王家今年 9 月份用水量为 8.9 立方米，他家应该交多少水费？（2）小明家今年 10 月份用水量为 12 立方米，他家应该交多少水费？（3）每户每月用水量x（m3）与应交水费y（元）之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？解：（1 ）小王家应该交：8.9 1.3 0.3 14.24元；教学意图用日常生活场景中的问题带领学生进入分段函数的研究注意引导学生理解实际的问题的意思（2 ）小明家应该交：10 1.30.3121020.821.6 元（3）当0x10 时， y 1.30.3 x 1.6x 元体现由特殊到一般的数当 x10时， y 1.61020.8x10学思想综合以上两种情况，将函数写作：y f x 1.6x,0x ,10,2.8x12,x10.解析式的建教学 过 程【动脑思考 探索新知】分段函数：在自变量的不同取值范围内，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段函数 。

高中数学中分段函数教案1. 了解分段函数的定义和概念；2. 能够分析分段函数的图像，并理解其性质；3. 能够求解分段函数的定义域和值域；4. 能够应用分段函数解决实际问题。

【教学重点】1. 理解分段函数的定义和概念；2. 能够分析分段函数的图像；3. 能够求解分段函数的定义域和值域。

【教学难点】1. 解决包含多个分段的复杂函数的问题；2. 应用分段函数解决实际问题。

【教学准备】1. 教师准备：课件、讲义、分段函数的例题、练习题等；2. 学生准备：笔记本、笔、计算器等。

【教学过程】一、引入教师通过一个简单的例子引入分段函数的概念，如何根据不同的条件来定义不同的函数，引出分段函数的定义和概念。

二、讲解1. 分段函数的定义和表示方式；2. 分段函数的图像及性质；3. 分段函数的定义域和值域；4. 分段函数的应用举例。

三、练习1. 基础练习：让学生计算给定分段函数的特定值；2. 拓展练习：让学生分析给定的分段函数的图像，并求解定义域和值域；3. 实际问题练习：让学生应用分段函数解决实际问题。

四、总结总结本节课的重点、难点和要点，巩固学生对分段函数的理解。

【课堂小结】通过本节课的学习，学生应该能够理解分段函数的定义和概念，能够分析分段函数的图像，并求解定义域和值域，能够应用分段函数解决实际问题。

【作业布置】1. 完成课堂练习题和分段函数的作业；2. 思考如何将所学的知识应用到实际问题中。

【教学反思】通过分段函数的教学，学生能够提高对函数概念的理解，培养解决实际问题的能力。

需要多设置实际问题练习，提高学生的应用能力。

教学对象：高中一年级学生教学目标：1. 理解分段函数的概念，掌握分段函数的定义域和值域。

2. 学会分段函数的图像绘制，并能分析分段函数的性质。

3. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高逻辑思维能力。

教学重点：1. 分段函数的定义域和值域。

2. 分段函数的图像绘制。

教学难点：1. 分段函数的图像绘制与性质分析。

2. 分段函数在实际问题中的应用。

教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题3. 小黑板教学过程：一、导入1. 回顾函数的定义，引出分段函数的概念。

2. 通过生活中的实例，如温度变化、路程计算等，让学生感受到分段函数的实际应用。

二、新课讲授1. 分段函数的定义：函数在某个区间内有不同的表达式，这些表达式通过某个条件（如自变量的取值）进行分段。

2. 分段函数的定义域：分段函数的定义域是各段定义域的并集。

3. 分段函数的值域：分段函数的值域是各段值域的并集。

4. 分段函数的图像绘制：a. 按照分段函数的定义，分别绘制各段函数的图像。

b. 将各段函数的图像在同一坐标系中拼接，形成分段函数的完整图像。

5. 分段函数的性质分析：a. 单调性：分段函数的单调性由各段函数的单调性决定。

b. 奇偶性：分段函数的奇偶性由各段函数的奇偶性决定。

c. 周期性：分段函数的周期性由各段函数的周期性决定。

三、课堂练习1. 练习绘制分段函数的图像，分析其性质。

2. 练习解决实际问题，如计算分段函数的定积分。

四、课堂小结1. 回顾分段函数的定义、定义域、值域和图像绘制。

2. 总结分段函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性。

五、课后作业1. 练习题：绘制分段函数的图像，分析其性质。

2. 实际问题：解决实际问题，如计算分段函数的定积分。

教学反思：1. 在教学过程中，注重引导学生理解分段函数的概念，掌握分段函数的定义域和值域。

2. 通过实例讲解分段函数的应用，提高学生的实际操作能力。

3. 在课堂练习和课后作业中，注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

第2课时 分段函数[目标] 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象，培养数学运算核心素养；2.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题，培养数学建模核心素养．[重点] 分段函数求值、分段函数的图象及应用． [难点] 对分段函数的理解．知识点 分段函数[填一填]如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．[答一答]1．分段函数的定义域部分可以相交吗？提示：分段函数的定义域部分是不可以相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的． 2．分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的呢？提示：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数，它只不过是在定义域的不同子集内解析式不一样而已．(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．3．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域为[－4,3]．解析：由题图可知，当x ∈[－2,4]时，f (x )∈[－2,3]；当x ∈[5,8]时，f (x )∈[－4,2.7]．故函数f (x )的值域为[－4,3].类型一 分段函数的定义域、值域 [例1] (1)已知函数f (x )＝|x |x ，则其定义域为( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0<x <1，0，x ＝0，x 2－1，－1<x <0的定义域为________，值域为________．[分析] 分段函数的定义域、值域⇒各段函数的定义域、值域． [答案] (1)D (2)(－1,1) (－1,1)[解析] (1)由于f (x )＝|x |x＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由已知定义域为{x |0<x <1}∪{0}∪{x |－1<x <0}＝{x |－1<x <1}，即(－1,1)，又0<x <1时，0<－x 2＋1<1，－1<x <0时，－1<x 2－1<0，x ＝0时，f (x )＝0，故值域为(－1,0)∪{0}∪(0,1)＝(－1,1)．1.分段函数定义域、值域的求法(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集.2.绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.[变式训练1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1，则函数的定义域为R ，值域为[0,1]．解析：由已知定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R ，又x ∈[－1,1]时，x 2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]．类型二 分段函数求值 [例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x <0)，x 2(0≤x <2)，12x (x ≥2).(1)求f (f (f (－12)))的值．(2)若f (x )＝2，求x 的值． [分析] 分段考虑求值即可． (1)先求f (－12)，再求f (f (－12))，最后求f (f (f (－12)))；(2)分别令x ＋2＝2，x 2＝2，12x ＝2，分段验证求x .[解] (1)f (－12)＝(－12)＋2＝32.∴f (f (－12))＝f (32)＝(32)2＝94，∴f (f (f (－12)))＝f (94)＝12×94＝98.(2)当f (x )＝x ＋2＝2时，x ＝0，不符合x <0. 当f (x )＝x 2＝2时，x ＝±2， 其中x ＝2符合0≤x <2.当f (x )＝12x ＝2时，x ＝4，符合x ≥2.综上，x 的值是2或4.(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得.(2)多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理.(3)已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.[变式训练2] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －1)，x >0，x ，x ≤0，则f (1)的值为( D )A ．1B ．2C ．3D ．0(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (a )＝4，则实数a ＝( B )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析：(1)因为1>0，所以f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，故选D. (2)当a ≤0时，由f (a )＝－a ＝4，得a ＝－4； 当a >0时，由f (a )＝a 2＝4， 得a ＝2或a ＝－2(舍去)． ∴a ＝－4或a ＝2.类型三 分段函数的图象[例3] 画出下列函数的图象，并写出它们的值域． (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，2x ，x ≥1；(2)y ＝|x ＋1|＋|x －3|.[分析] 先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时，要注意对应关系与自变量范围的对应．[解] (1)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，2x ，x ≥1的图象如图所示，观察图象，得函数的值域为(1，＋∞)．(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x ≤3，2x －2，x >3，它的图象如图所示．观察图象，得函数的值域为[4，＋∞)．作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数的取值情况决定着图象在分界点(关键点)处的断开或连接，断开时要分清断开点处是虚还是实.[变式训练3] (1)下列图形是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是( C )解析：因为f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有选项C 中的图象符合．(2)已知函数f (x )＝|x －2|(x ＋1)． ①作出函数f (x )的图象．②判断直线y ＝a 与y ＝|x －2|(x ＋1)的交点的个数． 解：①函数f (x )＝|x －2|(x ＋1)，去绝对值符号得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥2，－x 2＋x ＋2，x <2.可得f (x )的图象如图所示．②直线y ＝a 与y ＝|x －2|(x ＋1)的图象的交点的个数．作出图象如图： 由图象可知．当a <0时，有一个交点； 当a ＝0时，有两个交点； 当0<a <94时，有三个交点；当a ＝94时，有两个交点；当a >94时，有一个交点．综上，当a <0或a >94时，有一个交点；当a ＝0或a ＝94时，有两个交点；当0<a <94时，有三个交点．1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤1，x ，1<x <2，则f (x )的定义域为( C )A ．RB ．(－∞，1]C ．(－∞，2)D ．(1，＋∞)2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f (43)＋f (－43)等于( B )A ．－2B ．4C ．2D ．－4解析：f (43)＝2×43＝83， f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，所以f (43)＋f (－43)＝83＋43＝4.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝2.解析：由题意知f (0)＝2.又f (2)＝22＋2a ，所以22＋2a ＝4a ，即a ＝2.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，－x －2，x ≤1，则f [f (2)]＝－52，函数f (x )的值域是[－3，＋∞)．5．如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)．(1)求f [f (0)]的值； (2)求函数f (x )的解析式．解：(1)直接由图中观察，可得f [f (0)]＝f (4)＝2. (2)设线段AB 所对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4＝b ，0＝2k ＋b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，k ＝－2.∴y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)． 同理，线段BC 所对应的函数解析式为y ＝x －2(2<x ≤6)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6.——本课须掌握的问题(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．。