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第4讲 Chapter2-3第二章 拉压变形及算例应变能

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材料力学课件刘第二章拉压

材料力学课件刘第二章拉压

P x A(x)
x
P P
P
P P P
例2-3 已知双压手铆机活塞 杆N图，横截面面积A=4cm2 , 求杆件AB、BC段应力。
解:
AB
N A
N 2.62 10 6.5 106 Pa A 4 10 4
3
AB
§2-3 材料在拉伸时的力学性能
力学性能、力学性质、机械性质 拉伸压缩试验、常温、静载 一、 低碳钢在拉伸时的力学性能
、
ζ 、ε成正比阶段的最高点
成正比
比例极限ζP— 对应的应力值。 E（=tgα）——弹性模量
E ——胡克定律
由此知：胡克定律的适用范围：
＜ p
第二阶段： 屈服阶段
特点：应力几乎不变，变形增加很快。材
料失去抵抗变形的能力。有塑性变形产生 屈服极限ζs — 屈服阶段最低 点对应的应力值
极限应力： 材料处于极限状态（失效）时的应力，用ζjx(ηjx)表示。 塑性材料：
jx S
脆性材料：
jx b
jx n
——
许用应力，构件工作应力不允许超过的数值。
塑性材料：

s ns
脆性材料：

b nb
ns , nb —— 安全系数
§2 — 6
轴向拉伸或压缩时的变形 b1
F
L L1
b F
一、轴向拉（压） 杆件变形 (一) 轴向变形 1. 杆件轴向总变形ΔL ： （即杆两端截面的相对位移）
L L1 L （拉正、压负） L 2.轴向线应变ε ： L
(二) 横向变形
1. 横向总变形Δb ：
（拉正、压负）
b b1 b

第3讲 chapter2-2第二章 拉压应力和变形

第3讲 chapter2-2第二章 拉压应力和变形

实验表明，纵向线应变和横向线应变成比例关系。


称为横向变形因数或泊松比(Poisson’s Ratio)。
17
泊松比的学术之争(1833-1879)
1821年:纳维首次用分子理论来研究各向同性材料弹性体的 平衡问题，所导出的方程中只有一个弹性常数C，因此被称为 “单常数理论”。
3
实验观察（平面假设）
F
p
F A

F F
A / cos
F A
cos
0 cos
p cos 0 cos2
p sin 0 sin cos
0 sin 2
2
F
p

p

4
斜截面上的应力



0
cos2
1807年因英国医生兼物理学家托马 斯·杨(Thomas Young, 1773-1829) 所得到的结果而命名，主要是由于 杨在光学方面的贡献（关的波动 说）。
橡胶的弹性模量：8MPa 钢的弹性模量：210GPa 钻石的弹性模量：1100 GPa
1795年，他来到德国的格丁根大学学 习医学，一年后便取得了博士学位。
F
F
D
d
d
ab
l l2
l1
28
Thank you for your attention!
作业 P52：2-4
P53： 2-6；2-8(3)
下次课的内容： 拉（压）杆的变形、应变能
29
“泊松比之争”并没有就此告终，关于泊松比的又一个学术 争论至今尚未了结－－“泊松比的取值范围”。
21
泊松比的取值范围
经典的弹性固体力学已经严格证明： 等温条件下各向同性线弹性材料泊松比的取值范围为：

材料力学课件2拉压

材料力学课件2拉压


第四节 轴向拉伸或压缩时的变形
1. 应变 变形 轴向（x方向）线段伸长，横向线段收缩。
l l
F
b
b b
F
应变 线应变伸长为正，收缩为负。 纵向线应变 横向线应变
lim
第二章
l
Δl l
l0
' lim
Δb b
19Байду номын сангаас
b 0
轴向拉伸和压缩
2. 胡克定律

单向胡克定律

例9：（续） 解： (2) 应用应变能计算AC相对位移 外力功 1
WF Vε F 2 4 2
AC
应变能
F N 1 Δl 1
2
1 2
2
F N 5 Δl 5 2a Fa EA
4F a 4 EA

F
2 EA
AC
W F V ε：

2
2

34
第二章
轴向拉伸和压缩
第六节
材料拉伸压缩力学性质

vr vε

l
FN d x 2 EA
V d V l l
FN FN A EA FN
2
Vε
Ad x
dx
O
轴向拉伸和压缩

29
EA
第二章
外力功与应变能的关系
外力功 外力在因变形而产生的位移上所作的功。 功能原理 在线性弹性、小变形的条件下，外力功全部转换为 应变能。 计算条件 1 F W F 2 线性弹性，小变形
（+）
FN
FN
（-）
轴向拉伸和压缩
FN
第二章
3

《拉压的应力和变形》PPT课件

《拉压的应力和变形》PPT课件

实验表明：当应力小于比例极限时，横向应变与纵向应变成正比。
m －e’ e
.
4.5-4
比例常数 称 μ为泊松比。弹性模量 E与泊松比μ 都是材料的弹性常数，
对于各向同性材料， E和 μ之值均与3方5 向无关。
如用N 代表杆中轴力，A 代表杆的截面面积，并将式（4.5-1）和式（4.5-3） 联合，则有
实践证明：杆件在加力点附近，应力 分布十分复杂，很大程度上受到加力 方式的影响，所以公式（4.3-4）不能 使用，除非所加的外力是分布力，而 且是均匀分布的。如图压杆，其附近 的横截面1-1和2-2，应力是非均匀分布 的，但是，距离外力作用稍远的横截 面3-3，应力很快趋于均匀（图4.34b），公式（4.3-4）即可使用，其影 响范围约等于截面高度h。以上概念称 之为圣维南原理（Saint_Venant‘s Principle）。需要说明的是，在材料力 学中，一般假定外力均匀地施加在作 用处，所以公式（4.3-4）对整个杆件 都适用。
图示杆受自重，已知单位杆长L，自重为r，试画轴力图。
解：（1）由总体平衡方程：得支反 R =rL
（2）由截面法无论保留自由体① 或自由体②平衡，均得相同的轴力N： • 对自由体①，可得
SX = 0, N = -rx • 对自由体②，可得
SX = 0, N = ρ(L-x)- R=-rx
（3）按比例画轴力图。
1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
⑶ 应力公式及其适用范围 由于横截面上的正应力是均匀分布的,故:
dA dA A N
A
A
得
N

第4讲--拉压杆的变形与变形能

第4讲--拉压杆的变形与变形能

第4讲教学方案——拉压杆的变形与变形能1 / 7§2-8拉伸或压缩时的变形1．沿杆件轴线的轴向变形如图2-23，设等直杆的原长为l ，横截面面积为A 。

在轴向力P 作用下，长度由l 变为1l 。

杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为l l l -=∆1 （1）由于杆内各点轴向应力σ与轴向应变ε为均匀分布，所以一点轴向线应变即为杆件的伸长l ∆除以原长l ： l l ∆=ε （2） 由εσE =得ll E A N ∆= 所以EAPl EA Nl l ==∆ （2-6） 式（2-6）表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l ∆与拉力P 和杆件的原长度l 成正比，与横截面面积A 成反比。

这是胡克定律的另一种表达形式。

式中EA 是材料弹性模量与拉压杆件横截面面积乘积，EA 越大，则变形越小，将EA 称为抗拉（压）刚度。

2．横向变形若在图2-23中，设变形前杆件的横向尺寸为b ，变形后相应尺寸变为1b ，则横向变形为 b b b -=∆1横向线应变可定义为bb ∆='ε 由实验证明，在弹性范围内3 / 7μεε=' （2-7） μ为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比。

由于μ为反映材料横向变形能力的材料弹性常数，为正值，所以，一般冠以负号εεμ'-=，称为泊松比或横向变形系数。

ε'与ε的关系为μεε-=' （2-8）3．变截面杆的伸长变形 ()()()x A x N x =σ例，变截面杆内应力相同，则杆截面面积按什么规律变化？()Adx A dA A γσσ+=+；dx A dA σγ= 积分：0ln C x A +=σγ；x e C A σγ0= 在0=x 处0A A =，所以：σP A C o ==0；x x e P e A A σγσγσ==0 即：A 按指数函数变化。

例2-6 图2-25所示为变截面杆，已知BD 段21=A cm 2，DA 段42=A cm 2，51=P kN ，102=P kN 。

轴向拉压变形及应变能力学性质

轴向拉压变形及应变能力学性质
内容提要
• 拉（压）杆的变形与位移 • 拉（压）杆内的应变能 • 低碳钢和铸铁受拉伸和压
缩时的力学性能
§7—5 拉（压）杆的变形与位移
一、变形与线应变
d P
d1 P
l l1
d P
d1 P
l l1
杆件的纵向伸长为
l l1 l
纵向线应变为
l
l
伸长时纵向线应变为正，缩短时纵向线应变为负。
d P
可认为
AA AA
B
d1 P
l l1
杆件在纵向变形的同时，将有横向变形。
d d1 d
杆件的横向线应变为
d
d
伸长时横向线应变为负，缩短时横向线应变为正。
d P
d1 P
l l1
二、泊松比 当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩 沿纵向缩短时，横向则伸长。
d P
d1 P
l l1
横向线应变与纵向线应变之间的关系
1665年，胡克提出了光的波动学说，将光振动的传播同 水波的传播相比较。1672年，他进一步指出，光振动可以垂 直于光传播的方向，他还研究了云母片的颜色，确认光现象 随着云母片厚度的变化而变化。
胡克根据弹簧实验的结果，于1678年得出了胡克定律， 即在比例极限内，弹性物体的应力与应变成正比。
1674年，胡克根据修正的惯性原理，以及离开太阳的离 心力同向着太阳的吸引力之间的平衡，提出了行星运动的理 论。
FN 3l3 EA3
(2 105 1105 2.5105 )m
0.015mm
BC段的纵向变形 l2= -0.01mm 也就是 B 截面和 C 截面的相对纵 向位移 lBC。
1
2
3
30KN

弹性变形能(应变能)


需用
Vc V v求c dVVc。
由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为
应力为
FN1

FN 2

F1
2 cos
s1

FN A

F1
2 A cos
2019/5/4
19
由
s k1/n （n>1）
得


s
(
)n
k
余能密度为
vc
s1 ds
0
s1 (s )n ds
0k

k
n
1 (n
F 和Me 同时作用在梁上， B 并按同一比例由零逐渐增加到
最终值——简单加载。
(a)
在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相
同的比例，由零逐渐增加到最终值。
上图中
2019/5/4
wC

Fl 3 48 EI
Mel2 16 EI
A

Fl 2 16 EI

M el 3EI
Vε

1 2
FwC

1 2
M e A

F 2l3 96 EI

M e2l 6EI

FM el 2 16 EI
12
先加F, 再加Me (图 b，c)
F
A
A,F
EI
B
C
,
l/2
wC,F
l/2
wC , F

Fl3 48 EI
Vε

1 2
F
wC,F

1 2
Me
A,Me
F wC,Me

1 2

弹性应变能


60
(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左 侧由剪应力控制杆的强
度，B点右侧由正应力控制杆的强度，当a=60°时，由(2)式得
P60A /cos60/sin604501024/ 346.2kN
Pm a x50 kN
P

讨论：若 [ ]60MPa;Pmax?

B1
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
N1
A
BC
D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P
同理，求得AB、
N2
BC、CD段内力分
别为：
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
127.4MPa
max 0/2127 .4/263.7MPa

a
0
2
(1c
os2a
)127.4(1c 2
os60)95.5MPa
a
0
2
s
in2a
127.4s 2
in6055.2MPa
例7图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用拉
应力为[]=100MPa ；许用剪应力为[]=50MPa ，并设杆的强
1、杆的纵向总变形：
dL L1 L
3、平均线应变：
dL L1 L
L
L
P
a´
b´
P
c´
d´
x dx
L1 4、x点处的纵向线应变：
6、x点处的横向线应变：

应变能.


3 3

3
1
E 3
2

｛ 应变能:
体积改变而形成。
1 2E
12


2 2


2 3
2 1 2
2 3
31
形状改变而形成。
1 2 3
2 体积改变能密度
3
vv

1 2E
2
2

2
2
2
2
强度条件
变形分析 临界力
刚度条件 稳定条件
弯曲内力 弯曲超静定
弯曲应力
弯曲
压杆稳定
弯曲变形 组合变形
轴向拉压
对称弯曲
扭转
内力分量
内力分量
轴力FN 应力分布规律
弯矩M,剪力FS 应力分布规律
正应力均匀分布
FN
A
应力状态
单轴应力状态
正应力与中性轴距离成正比
My IZ


FS
S
* Z
IZb
W 1 T
f
2
F
W 1 M
2
统一表示为
W 1 F 2
广义力
广义位移

2 能（应变能或变形能）
能是一种可对物体做功的本领
根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能 V等于外力在物
体变形过程中所做的功W。
V W Fdu
AB
应变能密度：单位体积内积蓄的应变能
W
1 d
0

v
若微元各边分别为 dx, dy, dz dV v dxdydz
V V v dxdydz
FN

工程力学：拉压与剪切应变能

Vε W －弹性体功能原理
功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢 增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能 等的变化，均可忽略不计。
轴向拉压应变能
线弹性杆的外力功
f
Δ
dW fd W fd 0
W FΔ 2
线弹性拉压杆的外力功
W Fl FN2l 2 2EA
线弹性杆的拉压应变能
Vε W
F 2(lnD lnd ) 4hG
3. 位移计算
FΔ F 2(lnD lnd )
2
4hG
F (lnD lnd )
2hG
FN2＝FN3＝F （压）
2. 应变能计算
Vε
3 i1
FN2i li 2Ei Ai
Vε
FN21 2l FN22l FN23l 2EA 2EA 2EA
F 2l( 2 1)Biblioteka EA3. 位移计算
由
W Vε
W＝F By 2
可得 FBy F 2l( 2 1)
2
EA
By
2Fl( 2 EA
1)
拉压与剪切应变能
应变能概念 轴向拉压应变能 拉压与剪切应变能密度 例题
应变能概念
应变能与功能原理
构件在载荷作用点、沿载荷方向的位移－相应位移
弹性体因变形而储存的能量－应变能 Ve 外力在变形过程中所作之功－外力功 W
根据能量守恒定律，弹性体因变形所储 存的应变能 ，数值上等于外力所作的功
Vε
FN2l 2EA
拉压与剪切应变能密度
拉压应变能密度
dVε
dxdz edy
2
e dxdydz
2
单位体积内应变能－应变能密度
vε
e
2
2
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解得 FN 1 FN 2
P 2 cos
16
两杆的伸长为：
Pl FN 1l l1 l2 2 EA cos EA
A点的最终位置可这样看：
①
EA l
②
EA l

l1
将两杆分别先拉长l后再组装于一起。 关于微小变形问题的处理
A
17
B C A
A


l
l l
l
0
l
FN ( x) dx EA
FN dx EA( x) FN dx E ( x) A
F
l
F
0 l
F
l
F
0
F
l F l
Fl l EA
7
积分式改写
( x) ( x)dx FN ( x) 1 FN ( x) dx . dx dx l E ( x) E ( x) A( x) E ( x). A( x)
3
y
1 W P y 2
Pl 2 EA
29
§2-8 应力集中的概念
应力集中是在机械制造、航空航天、造船和建筑等工程应用领域中常见的问题 开有圆孔的板条
F
带有切口的板条
F
max
max
F
F
F
F
30
因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象， 称为应力集中。
应力集中因数：
max K nom
l
26
应变能计算的一般情况（续） 由应变能密度定义（单位体积变形能）：
dV v dV
dV v dV
V v dV
V
V
FN
V
A 2E
2
dV
2
V
2
V
2 E dV
V
1 V 2
dV
V
l
FN
A
A 2E
dAdl
V
22
外力对弹性体做的功
F
W ?
1 W Fl 2
Fl l EA
l F
W
O
l
F 2l W 2 EA
23
拉（压）杆的应变能
F l W 2 EA
Fl l EA
2
功能原理 W＝ V
F l V 2 EA
2
EA 2 V l 2l
24
应变能密度：单位体积变形能
F l 1 V v V Al 2
1 2
E
1 2 v 2E 1 2 v E 2
25
应变能计算的一般情况
分段直杆
FNi 2li V i 2 Ei Ai
变截面直杆
FN2 V dx 0 2 E ( x ) A( x )
l
变截面且变外力直杆
FN ( x) 2 V dx 0 2 E ( x ) A( x )
max ：发生应力集中的截面上的最大应力 nom ：同一截面上按净面积算出的平均应力
F
max
31
应力集中因数的大小：
2 4 a a 1 3 0 90 : q 1 2 4 2r 2r
q a2 a2 0 : 2 3 2 1 2r r
F
D
F
d
d
a
b
l
l2 l1
12
课本P54
13
14
例：求图示结构结点A的垂直位移。
EA ① l
② EA
l

15
解: 先求各杆的内力
受力分析如图
FN 1 cos FN 2 cos P 0 FN 1 sin FN 2 sin 0
EA ① l
FN1
② EA
l
FN2
0
r a : 3q
32
不同大小的截面过渡区域也有应力集中
33
34
谢谢各位！
作业
P54： 2-11、2-12 P55： 2-15
下次课讲 材料的力学性能和强度条件
35
补充练习题
36
第二章 轴向拉伸和压缩（三）
Axial Loading （Tension & Compression）
第 四 讲
1
内 容
§2-4 拉（压）杆的变形
关于拉（压）杆纵向变形和横向收缩的计算 （算例）
§2-5 拉（压）杆的应变能 §2-8 应力集中的概念
2
§2-4 拉（压）杆的变形
例：图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2段为边长 a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆 内的应力2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长△l。 F
0.272 mm ( 缩短）
4
非均匀（变形）杆伸长量的计算
F l q F l F F
Fl l EA
FN FN ( x)
A A( x) E E ( x)
5
F
l
F
l
对于各段伸长不均匀的杆，有
x ( x )
A
Байду номын сангаас
A点沿x方向的线应变
x
O x
( x) d( x) x lim x 0 x dx
2 FN l 2 EA
dl
27
应变能计算的应用（1）
例：求图示结构结点A的垂直位移。 解： FN 1 FN 2 系统应变能
P 2 cos
EA ① l
② EA
l

FNi 2li l P V i 1 ( )2 2 Ei Ai EA 2 cos
2

Pl 2 EA cos 2
FN1
FN 1 P (拉)
FN 2 2 P (压)
Pl l1 (+ ) EA
2 P 2l 2 Pl l2 (-) EA EA
20
Ax 450 l2 450
l1 Ay
Pl (+) l1 EA
2P 2l 2Pl l2 (-) EA EA
变形协调关系的建立 Pl Ax l1 ( ) EA 0 0 Ay sin 45 Ax cos 45 l2
小变形假设的处理方法 变形前后角度视为不变
l1


l 2
A’ A’ A
A cos l1
l1 A cos
Pl 2 EA cos 2
18
例：求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。
EA, l 450 EA P
19
解: 受力分析如图
将力直接分解 450 FN2 P
Ay 2l2 Ax
Ay (l2 Ax cos 450 ) sin 450
2 2 1 Ay Pl EA
21
§2-5 拉（压）杆的应变能 Strain Energy in Axially Loaded Bar
弹性体受外力作用变形。外力对弹性体做的功储存 在弹性体内，称为变形能或应变能(strain energy)。 当外力逐渐减小时，弹性体变形逐渐恢复，所储存 的变形能被释放而做功。
1
0.2m
2
3
F
0.4m
0.2m
解:
F 2 A2 30 252 N 18.75kN
3
F
1
0.2m
2
3
F
0.4m
0.2m
FN 1l1 FN 2l2 FN 3l3 l ＋ EA1 EA2 EA3
F 18.75kN
18750 0.2 0.4 0.2 ( ) 2 2 9 2 0.02 0.025 0.012 210 10 4 4
1 W P 2
28
应变能计算的应用（2）
例：图示结构中三杆的刚度均为EA, AB 为刚体，P、l、EA 皆为已知。求C点的垂直和水平位移。 ?
x
FN 1 FN 3
系统应变能
P , 2
2
FN 2 0
P 2 2
l P 2l FNi li V i 1 2 2 Ei Ai 2 EA 4 EA
( x)
E
dx
9
例题：
已知：EA， L及q。 求：B点的位移。
x
x
q
o
l EA, L
l ( x)dx
0
l

l
( x)
l
0
FN ( x) dx dx 0 EA E
l
B
2 qx ql dx ( ) 0 EA 2 EA
10
关于横向变形的计算
11
材料弹性模量为E，泊松比为
l ( x)dx
任何单轴情形都适用
( x) d( x) x lim x 0 x dx
积分
d( x) x dx
8
关于拉（压）杆伸长和缩短的计算公式：
Fl l EA FN ( x) l dx E ( x). A( x)
l ( x)dx
l
x 0

l ( x)
FN ( x ).x ( x ) E ( x ). A( x )

FN ( x ) dx E ( x ). A ( x )
任何单轴情 形都适用
l
x dx

FN ( x ).d x E ( x ). A( x )
6
对于各段伸长不均匀的杆: q F