拉压杆的变形计算

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拉压杆的变形计算胡克定律

200 103 500
500
300
102 64 3.2102 mm 0.032mm 200 103
小结
一、变形与线应变
绝对变形 l=l1- l
线应变 =
Δl l
横向应变
， Δb b
横向变形系数（泊松比）
`

或
´= -
二、胡克定律
胡克定律的两种表达式 Δl FNl EA
`

横向
Δb b1 b

Δb b
´= -
知识准备：拉（压）杆的变形计算
二、胡克定律
实验表明，在材料的弹性范围内，杆件的变形与内力FN、杆长l 成正比关系，与横截面积成反比关系，比例常数E 称为材料的弹性模
量。即
Δl FNl EA

E
或

E
其中EA 称为抗拉（压）刚度。
=E
抗拉（压）刚度EA，在弹性范围内，应力与应变成正比。
三、拉（压）杆的变形计算
任务布置
1.图示螺栓接头，螺栓内径d1=10.1mm ,拧紧后测得长度l=80mm 内的伸长量△l=0.4mm，E=200GPa,试求螺栓拧紧后横截面的正应
力及螺栓对钢板的预紧力。
情境三轴向拉（压）强度计算
◆ 轴力 ◆ 应力 ◆ 强度计算（强度校核） ◆ 强度计算（设计截面，确定许可载荷） ◆ 变形计算 ◆ 材料力学性能
知识准备：拉（压）杆的变形计算
F
l l1
F b1 b
一、变形与线应变
绝对变形
相对变形横向变形系数（线应变）（泊松比）
轴
向
Δl l1 l

拉压杆的变形及刚度计算

胡克定律：
l FNl EA
上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A均为常
值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。
EA称为杆的拉压刚度
1.2 横向变形、泊松比则横向正应变为：
a
a
当应力不超过一定限度时，横向应变
与轴向应变之比的绝对值是一个常数。
横向变形因数或泊松比
法国科学家泊松（1781~1840）于1829年从理论上推演得出的结果。，
FRA F2 F1 (10 30)
=－20kN (2)、计算各段杆件横截面上的轴力
AB段： FNAB=FRA=－20kN
BD段： FNBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。
(4)、计算各段应力
AB段： BC段： CD段：
AB
FNAB AAC
20 103 500
40MPa
表4-1给出了常用材料的E、值。
表8.1 常用材料的E、值
材料名称低碳钢中碳钢
低合金钢合金钢
灰口铸铁球墨铸铁
铝合金硬铝合金
混凝土木材（顺纹）木材（横纹）
牌号 Q235
45 16Mn 40CrNiMoA
LY12
E 200 ~ 210
205 200 210 60 ~ 162 150 ~ 180 71 380 15.2 ~ 36 9.8 ~ 11.8 0.49 ~ 0.98
例2 图示托架，已知 F 40 kN，圆截面钢杆
AB的直径 d 20 mm ，杆BC是工字钢，其
横截面面积为 1430mm，2 钢材的弹性模量
E 200GPa。求托架在F力作用下，
节点B的铅垂位移和水平位移？解：（1）、取节点B为研究对象，求两杆轴力

材料力学杆件的变形计算

例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa， ν = 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 σ (b) 螺栓的横向变形△d
解：1) 求横截面正应力：
ε=
∆l 0.04 = = 7.41×10-4 l 54
l = 54 mm ，di = 15.3 mm， E＝200 GPa， ν = 0.3， △l ＝0.04 mm
∆ac = a ′c′ − ac
∆ac ε′ = ac
二、拉压杆的弹性定律 1、等内力拉压杆的弹性定律 P P
PL NL dL = = EA EA
PL dL ∝ A
2、变内力拉压杆的弹性定律
N（x） N(x)
x dx dx 内力在n段中分别为常量时内力在段中分别为常量时
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。 ※“ ”称为杆的抗拉压刚度。
C1
C点总位移：点总位移：
∆C = ∆C y + ∆C x = 1.47mm
2 2
C0
Cx
(此问题若用圆弧精确求解) 此问题若用圆弧精确求解)
∆C x = 0.278mm ∆C y = 1.44mm
第二节圆轴的扭转变形及相对扭转角
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dϕ 的两个相邻截面之间有相对转角d
800 π × 0.04 4 80 ×109 32 = 0.03978rad / m
综合两段，综合两段，最大单位扭转角应在BC 段为 0.03978 rad/m
例4-5 图示一等直圆杆，图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, ϕ DB=1O , 求 : 1) 最大切应力 2）ϕ AC

《工程力学》第五章杆件的变形与刚度计算

根据杆所受外力，作出其轴力图如图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角，等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形

杆系结构的刚度与稳定性计算—轴向拉压杆的变形

所示。已知材料的弹性模量 E 0.03 105 MPa，外力 F 50kN 。试求砖柱顶部
的位移。
解：（1）求各杆段的轴力，作其轴力图。
AB段
BC段
FN 1 F 50 (kN)
FN 2 F 2 F 150 kN
作轴力图如右图所示。
（2）求柱的轴向变形。由 l 计算式得：
0.03 10 370
计算结果为负，说明柱沿轴线方向缩短。
（3）求柱顶的位移
因为柱的下端C固定不动，柱沿轴线的缩短量等于柱顶向下的位移
量，所以，柱顶A向下位移了2.3mm。
轴向拉压杆的变形
目
录
1
绝对变形量
2
工程案例
添加标题
1.绝对变形量
1. 绝对变形量计算式
材料在线性弹性范围内，轴向拉压杆横截面上的正应力与轴向线应变
满足胡克定律：
将应力公式

E
和应变公式 =

=绝对变Βιβλιοθήκη 量 l 为：
代入胡克定律表达式中可得，杆件的
FN l
l
EA
适用于等截面常轴力拉压杆，在正应力不超过材料的比例极限时，拉压杆
的轴向变形 l 与轴力 FN 及杆长成正比，与乘积EA成反比。EA称为杆件的
抗拉压刚度。
对于给定长度的等截面拉压杆，在一定轴向力作用下，拉压刚度愈大，杆
的轴向变形愈小。
轴向变形 l 与轴力 FN 具有相同的正负符号，即伸长为正，缩短为负。
FN l FN l FN l
l

EA 1 EA 2
i 1 EA i
2
50 10 3 3 10 3 150 10 3 4 10 3

第四章杆件的变形计算

3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0
A F B 30oC2 C
Cx CC2 0.277mm C y CC1 / sin30 CC 2 cot30
C1
1.44mm
C点总位移：
Cy
C C y C x 1.47mm
(此问题若用圆弧精确求解)
2
2
Cx
C0
T3 C
1）根据题意，首先画出扭矩图
T1 d1 A Mx N· m B T2 d2 C T3
2）AB 段单位长度扭转角：
1400
800
AB
M xAB GI pAB
+
x
1400 4 π 0.06 80 10 9 32 0.01375rad / m
3）BC 段单位长度扭转角： M xBC BC
M xi li j i 1 GI pi
n
请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别
例4-3 一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400N· m， T2=600N· m， T3=800N· m， d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计算最大单位长度扭转角。
T1 d1 A
T2 d2 B
第四章
• • • • •
杆件的变形计算
本部分主要内容:
拉压杆的轴向变形圆轴的扭转变形与相对扭转角梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程用积分法求梁的弯曲变形用叠加法求梁的弯曲变形
第一节拉压杆的轴向变形
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向变形相应变细或变粗杆件在轴线方向的伸长

泊松比ν 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系

《材料力学》2-4拉(压)杆的变形.胡克定律

拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
LLL 绝对变形
线应变: 受力物体变形时，一点处沿某一方向微小线段的相对变形
当杆沿长度均匀变形时
L L
纵向线应变 (无量纲)
y
C
O
x
A
B
z △x
当杆沿长度非均匀变形时
αD
B1 BB2C1 C
FNCD
F
A
C
a
CC1
CL CCD ccooss
C
C1
L/2
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LC FD LFN1 2CEL D A cLC o DsFCD
2Fa
EAcos2
B
4Fa
EAco3s
移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
a
LCDa
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCDa EA
mA 0
FNCD2F
B 2L 2 LC FN DCD 4EFFAaL0
例题
2.12
B
图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知
L AB L AC F N EA L A C 2 EF c A o Ls
A
A AA
L AC
cos
FL
2EAcos2

材料力学杆件的变形计算

40kN A
60kN B
20kN C
400
400
9
40kN A
60kN B
20kN
C
1）求出轴力，并画出轴力图
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EAAB
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FNBC l BC EABC
x0 x
5、杆的横向变形：
ac ac ac
6、x点处的横向线应变：
ac
ac
2
二、拉压杆的弹性定律
1、等内力拉压杆的弹性定律
P
P
2、变内力拉压杆的弹性定律
NN（(xx)）
x dx 内力在n段中分别为常量时
dL PL A
dL PL NL EA EA
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。
(dx) N ( x)dx EA( x)
C
C2
C1
因此，C节点变形后将位于C3点
C3 C0
由于材料力学中的小变形假设，可
以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替圆弧（以切代弧法），得到交点C0
14
[解]
1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预
A
先设为拉力）
F
B
30oC2
C
C1
y
FAC
F
30
FBC
C x
FAC sin 30 F 0 FAC 2F 80kN 拉伸长
是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认识，就将会在我们面前展现出一个迄今为止只被人们神话般

学习情境三 3.拉压杆的变形计算

580 600 200 702

(580 660) 700 2001202
l2
0.355 0.301 0.656(mm)
（2）上、下两部分的线应变之比
1

l1 l1

0.355 600
5.916 10 4
2

l2 l2

0.301 700
4.310 4
l 1 N l EA
＝E
虎克定律的另一种表达形式
上式表明：在弹性范围内，应力与应变
成正比。
例图示阶梯杆，已知横截面面积 AAB=ABC=500mm2 ， ACD=300mm2，弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长。
解 ①作轴力图。
②分段计算变形量。
实验表明，在弹性范围内，杆件的纵向变形与
轴力N、杆长l 成正比，而与杆的横截面积A成反比。
即
l Nl
EA
上式称胡克定律。
E——称为弹性模量 E与材料性质有关，是衡量材料抵抗变形能力的
一个指标，大小由试验测定，单位为Pa。 EA——称为抗拉压刚度它反映了杆件抵抗拉压变形的能力。
二、虎克定律
l Nl EA
l AB

N ABlAB EA AB
20 103 100 200 103 500 0.02mm
△lBC = -0.01mm △lCD = -0.0167mm
AB C 30kN
D 10kN
100 100 100
FN 20kN
+
O
－
x
10kN
③计算总变形量。
△l = △lAB + △lBC + △lCD = -0.0067mm

轴向拉伸和压缩—轴向拉(压)杆的变形(建筑力学)

长度的纵向变形，即纵向线应变，简称应变。
纵向线应变
l
l
线应变--每单位长度的变形，无量纲。
△l以杆件伸长时为正，缩短时为负；的正负号与△l
一致，因此，拉应变为正，压应变为负。
FP
a1
a
FP
l l1
杆的横向变形为
∆a =a1－a
杆在轴向拉伸时的横向变形为负值，压缩时为正值。
同理，将杆件的横向变形除以杆的原截面边长，得杆件单
轴向拉伸与压缩
对于长度相同，轴力相同的杆件，分母EA越大，杆的纵向变形⊿ l 就越小。
可见EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。
胡克定律的另一表达形式或 E
E
在弹性范围内，正应力与线应变成正比。
对于各段杆件截面面积不同或内力分段不同的拉压杆，在计算杆件变形量时，应分段计算，然后叠加，即：
位长度的横向变形
' a
a
ε′称为横向线应变。ε′的正负号与⊿a 相同，压缩时为正值，拉伸时为负值；ε′也是一个无量纲的量。
'
泊松比μ是一个无量纲的量。它的值与材料有关，可由实验测出。
由于杆的横向线应变ε′与纵向线应变ε总是正、负号相反，所以
-
轴向拉伸与压缩
第四节轴向拉（压）杆的变形
一、纵向变形和横向变形
FP
a1
a
FP
l l1
纵向变形 l l1 - l
长度量纲
将杆件的绝对伸长量△l 除以杆的原长l，得到杆件单位
FNl EA
轴向拉伸与压缩
例7-6 试求例7-5中砖柱顶面位移。已知E=3GPa， lAB=3m， lBC=4m。
解由于砖柱底端是固定端，所以柱顶面位移等于全柱的总缩短变形。

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B 1 2
C
B
1 2
C

A

A
A'' （2）两杆的变形为
FN1l1 Fl Δl1 Δl2 （伸长） EA 2 EA cos
变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起.
B 1 2
C
1
2

A
A''
l 1 A2
A A' A1
A
以两杆伸长后的长度BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A, 即为A点的新位置.AA 就是A点的位移. 因变形很小,故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A 可认为
拉压杆的变形计算 (Calculation of axial deformation)
h1
F
h
b b1
F
l
l1
一、纵向变形 (Axial deformation)
1. 纵向变形 (Axial deformation)
2. 纵向应变 (Axial strain)
Δl l1 l Δl l
拉压杆的变形计算 (Calculation of axial deformation)
B 1 C

A
2
y B 1 2
C
FN1
1
FN2

2

A
x A
F 解：（1）列平衡方程,求杆的轴力
Fx 0 Fy 0
FN1 FN 2
FN 2 sin FN1 sin 0 FN1 cos FN 2 cos F 0 F 2 cos
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比.
E 为材料的拉(压)弹性模量，单位是Gpa
拉压杆的变形计算
例如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力，并画出轴 2 A1 200mm 力图。若杆件较细段横截面面积，较粗 2 段 A2 300mm，材料的弹性模量 E 200GPa ， L 100 mm 求杆件的总变形。
工件
得到所以
b 173 mm
A
F
h b
B F
h 1.4b 1.4 173 200 mm
200GPa X 300 mm
2
L = - 0.025mm
拉压杆的变形计算
例图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成. 已知杆端铰接，两杆
与铅垂线均成 =30° 的角度, 长度均为 l = 2m,直径均为
d=25mm,钢的弹性模量为 E=210GPa.设在点处悬挂一重物 F=100 kN,试求 A点的位移 A.
= 100 MPa
轴力图如图：
FN
x
30KN
拉压杆的变形计算
由于AB、BC两段面积不同，变形量应分别计算。由虎克定律
：
FN L L EA
10KN X 100mm 200GPa X 200 mm
2
可得：
LAB = LBC =
= 0.025mm = -0.050mm
-30KN X 100mm
FN L L EA
或
E
E 为材料的拉(压)弹性模量，单位是Gpa
FN、E、A均为常量，否则，应分段计算。
由此，当轴力、杆长、截面面积相同的等直杆,E L 就越小，所以 E 值代表了材料抵抗拉(压) 值越大，变形的能力，是衡量材料刚度的指标。
拉压杆的变形计算
三、虎克定律
E
F
h b b1
h1
F
l
l1
பைடு நூலகம்
二、横向变形(Lateral deformation)
1. 横向变形(Lateral deformation)
2. 横向应变(Lateral strain)
b b1 b b1 b Δb b b
拉压杆的变形计算三、虎克定律
实验表明，对拉(压)杆，当应力不超过某一限度时，杆的轴向变形与轴力FN 成正比，与杆长L成正比，与横截面面积A 成反比。这一比例关系称为虎克定律。引入比例常数E，其公式为:
⒉设计截面已知 []和 FN ，求
FN max A [ ]
3.确定许用载荷：已知 []和A，求
[ FN ] A[ ]
拉（压）杆强度计算例已知一圆杆受拉力P =25 k N ，许用应力 []=170MPa ，直径 d =14mm，校核此杆强度。解：① 轴力：FN = P =25kN ②应力： max
Δl1 Fl Δ A A A 1.293mm ( ) 2 cos 2 EA cos
AA AA
拉（压）杆强度计算强度条件
强度计算的三类问题
FN max max [ ] A
FN max [ ] ⒈强度校核已知 []、 FN和A，检验 max A
解： 1.求轴力

A
B
F N F 3780 kN
2.求截面积由
FN [ ] ，得到 A
工件
A
F b
h
B
F
FN 3780 103 2 2 3 2 A m 0 . 042 m 42 10 mm [ ] 90 106
拉（压）杆强度计算
3．确定截面尺寸由

A
B
A hb 1.4b 2 42 103 mm 2
FN 4 25103 162MP a 2 A 3.1414
③强度校核： max 162MPa
④结论：安全
注意解题步骤
拉（压）杆强度计算
例某冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压时，连杆AB在水平位置。已知：h=1.4b，[]=90MPa， F=3780kN，不计自重。试确定连杆的矩形截面尺寸。
10KN A
40KN
B
L L
C
30KN
拉压杆的变形计算
解：分别在AB、 BC段任取截面，如图示，则： 10KN A 10KN 40KN B L L C 30KN
FN1= 10KN
σ1 =
FN1 / A1
= 50 MPa
FN1 FN2
10KN
30KN
FN2= -30KN σ2 = FN2 / A2

拉压杆的变形计算

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