杆件的轴向拉压变形及强度计算.

18、轴向拉压杆的强度计算

；σcmax及[σc] 分别为最大工作压应力和许用压应力。
轴向拉伸和压缩
⒉ 强度条件在工程中的应用
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
FN max 1、强度校核： A FN 2、设计确定截面： A
3、确定许用载荷：
FN A
轴向拉伸和压缩
例1 正方形截面阶梯形砖柱。已知：材料的许用压应力 [σC]=1.05MPa，荷载FP=60kN，试校核该柱的强度。
D
B
-FNBC×2sin45°+FP×2=0
FNBC=56.58KN(拉力） 2、计算BC杆工作应力，与许用应力比较，进行强度校核。
FNBC 56.58 1O3 = MPa A 600 94.3MPa
45°
A 2m 2m C A
FNBC
450
FAX
FAY 解：1、求BC杆轴力。取AD杆为研究对象，画受所以：BC杆的强度满足要求。力图。由∑MA=0得：
解（1）画轴力图如图b所示。（2）计算最大工作应力需分段计算各段的应力，然后选最大值。
AB
FNAB 60103 MPa 0.96MPa AAB 250 250
BC
FNBC 180103 MPa 0.72MPa ABC 500 500
轴向拉伸和压缩
m
其中： max ----最大局部应力 FP m ----名义应力（平均应 σ 力）二、应力集中对杆件强度影响 F P σmax 应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧烈，应力集中程度越剧烈。静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，如铸铁）应考虑。动载下，塑性和脆性材料均需考虑。
选定的比例尺，用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，用垂 FN=∑FP 7、胡克定律表明：在弹性范围内正应力与线应变成什么比例？直于杆轴线的坐标表示各横截面轴力的大小，绘出表示轴力与 6 、答：σ正应力截面位置关系的图线，该图线就称为轴力图。

拉压杆的变形计算胡克定律

200 103 500
500
300
102 64 3.2102 mm 0.032mm 200 103
小结
一、变形与线应变
绝对变形 l=l1- l
线应变 =
Δl l
横向应变
， Δb b
横向变形系数（泊松比）
`

或
´= -
二、胡克定律
胡克定律的两种表达式 Δl FNl EA
`

横向
Δb b1 b

Δb b
´= -
知识准备：拉（压）杆的变形计算
二、胡克定律
实验表明，在材料的弹性范围内，杆件的变形与内力FN、杆长l 成正比关系，与横截面积成反比关系，比例常数E 称为材料的弹性模
量。即
Δl FNl EA

E
或

E
其中EA 称为抗拉（压）刚度。
=E
抗拉（压）刚度EA，在弹性范围内，应力与应变成正比。
三、拉（压）杆的变形计算
任务布置
1.图示螺栓接头，螺栓内径d1=10.1mm ,拧紧后测得长度l=80mm 内的伸长量△l=0.4mm，E=200GPa,试求螺栓拧紧后横截面的正应
力及螺栓对钢板的预紧力。
情境三轴向拉（压）强度计算
◆ 轴力 ◆ 应力 ◆ 强度计算（强度校核） ◆ 强度计算（设计截面，确定许可载荷） ◆ 变形计算 ◆ 材料力学性能
知识准备：拉（压）杆的变形计算
F
l l1
F b1 b
一、变形与线应变
绝对变形
相对变形横向变形系数（线应变）（泊松比）
轴
向
Δl l1 l

1.3轴向拉压杆横截面上的变形

目录引言 (2)一杆件受拉压的内力、应力、变形 (2)1.1轴向拉压的内力、轴力图 (2)1.2 轴向拉压杆横截面上的应力 (5)1.3 轴向拉压杆横截面上的变形 (7)1.4 圣维南原理 (9)1.5 工程结构实例分析 (11)二圆轴扭转 (15)2.1、扭转的力学模型及ANSYS建模 (15)2.2、圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩------扭矩 (15)2.3、圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件 (15)(1) 横截面上的切应力 (15)(2) 极惯性矩与抗扭截面系数 (15)三、梁弯曲的内力、变形、应力 (20)3.1 梁的弯曲内力、变形 (20)3.2 弯曲应力 (27)3.3 工程实例： (31)四、压杆稳定 (35)4.1、压杆稳定的概念 (35)4.2、临界压力 (35)4.3、三类压杆的临界载荷 (36)4.4、压杆稳定性计算 (36)4.5 工程实例4 (38)引言《材料力学》是机械、土木类工科学生重要的技术基础课，其计算方法和思想在工程计算中应用非常广泛。

为了使学生对课内知识体系有一个比较清晰的感性认识，锻炼学生的求真精神和实践动手能力，进一步培养学生的综合创造力，兴趣小组的学生们在教师的指导下基于ANSYS 有限元分析软件对《材料力学》的某些知识点进行数值计算与模拟，得到相关的数据、云图或动画，从而对理论公式进行形象验证，更开阔了学生的视野，提高了学生的CAE 水平。

本研究内容包括三部分：（1）对《材料力学》课程中的基本内容，包括拉压、剪切、扭转、弯曲的内力、应力、变形、压杆稳定、动载荷、疲劳强度、圣维南原理等重要理论知识点情况通过ANSYS 进行分析，得到内力、变形、应力、应变相关的数据、云图或动画；（2）对重要知识点的典型例题通过ANSYS 进行计算，并与理论计算结果进行对比验证。

（3）对《材料力学》理论知识能够解决的典型工程实际问题进行建模、分析与计算。

一杆件受拉压的内力、应力、变形1.1轴向拉压的内力、轴力图在工程结构和机械中，发生轴向拉伸或压缩的构件是很常见的。

轴向拉伸和压缩

第七章轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。

(一)、基本概念1. 内力由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。

这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。

2. 轴力轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。

它通过截面形心，与横截面相垂直。

拉力为正，压力为负。

3. 应力截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。

与截面相垂直的分量σ称为正应力，与截面相切的分量τ称为切应力。

轴拉（压）杆横截面上只有正应力。

4. 应变单位尺寸上构件的变形量。

5. 轴向拉（压）杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压）。

6. 极限应力材料固有的能承受应力的上限，用σ0表示。

7. 许用应力与安全系数材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。

极限应力与许用应力的比值称为安全系数。

8. 应力集中由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。

(二)、基本计算1. 轴向拉（压）杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法。

用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。

求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。

画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。

2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式 AF N =σ 等直杆的最大应力计算公式 AF max N max =σ 3. 轴向拉（压）杆的变形计算虎克定律 A E l F l N =∆εσE =或虎克定律的适用范围为弹性范围。

泊松比 εε=μ'4. 轴向拉（压）杆的强度计算强度条件塑性材料：σma x ≤[σ] 脆性材料： σt ma x ≤[σt ]σ c ma x ≤[σc ]强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断σma x是否不超过许用值[σ]，杆是否能安全工作。

拉压杆的变形及刚度计算

胡克定律：
l FNl EA
上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A均为常
值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。
EA称为杆的拉压刚度
1.2 横向变形、泊松比则横向正应变为：
a
a
当应力不超过一定限度时，横向应变
与轴向应变之比的绝对值是一个常数。
横向变形因数或泊松比
法国科学家泊松（1781~1840）于1829年从理论上推演得出的结果。，
FRA F2 F1 (10 30)
=－20kN (2)、计算各段杆件横截面上的轴力
AB段： FNAB=FRA=－20kN
BD段： FNBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。
(4)、计算各段应力
AB段： BC段： CD段：
AB
FNAB AAC
20 103 500
40MPa
表4-1给出了常用材料的E、值。
表8.1 常用材料的E、值
材料名称低碳钢中碳钢
低合金钢合金钢
灰口铸铁球墨铸铁
铝合金硬铝合金
混凝土木材（顺纹）木材（横纹）
牌号 Q235
45 16Mn 40CrNiMoA
LY12
E 200 ~ 210
205 200 210 60 ~ 162 150 ~ 180 71 380 15.2 ~ 36 9.8 ~ 11.8 0.49 ~ 0.98
例2 图示托架，已知 F 40 kN，圆截面钢杆
AB的直径 d 20 mm ，杆BC是工字钢，其
横截面面积为 1430mm，2 钢材的弹性模量
E 200GPa。求托架在F力作用下，
节点B的铅垂位移和水平位移？解：（1）、取节点B为研究对象，求两杆轴力

杆件的变形及计算

τ=
Q ≤ [τ ] A
其中 Q 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解;A 为剪切面面积;[τ]为材料的许用剪应力,单位 MPa. 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解; 为剪切面面积; 为材料的许用剪应力为材料的许用剪应力, .
二,挤压使用计算
在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压, 在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压,因而在二者接触面的局部区域产生较大的接触应力,称为挤压应力,用符号σjy表示单位MPa.挤压应力是垂直与接触面的正应力.其可表示, 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号表示,单位 .挤压应力是垂直与接触面的正应力. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 积压力为作用在接触面上的总的压力, 表示. 积压力为作用在接触面上的总的压力,用符号 Pjy 表示. 表示. 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影, 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影,用符号 Ajy 表示. 其强度设计准则
在例6-1中杆的直径均为d=30mm,[σ]=160MPa,其它条件不变.试确定此时结构所能例6-3 在例中杆BC,EF 的直径均为 , ,其它条件不变. 承受的许可载荷? 承受的许可载荷? 中分析EF杆为危险杆解:根据例1中分析杆为危险杆,由平衡方程可得根据例中分析杆为危险杆,
N2 =
第三节连接件的强度设计
一,剪切实用计算
当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值, 当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值,反 ,,销钉作用线距离很近的平行力作用时, 向,作用线距离很近的平行力作用时,其主要失效形式之一为沿剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面. 剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面.由于剪切面上剪应力分布比较复杂, 切面上剪应力分布比较复杂,可假定认为剪应力在剪切面上均匀分布——剪切实用计算. 剪切实用计算. 分布剪切实用计算其设计准则为

材料力学第04章杆件变形分析

桁架的变形通常用节点的位移（displacement）表示，现以下图所示桁架为例，说明桁架节点位移的分析方法。
例4-2 桁架是由1、2杆组成，
通过铰链连接，在节点A承受铅垂载荷F=40kN作用。已知
杆1为钢杆，横截面面积
A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa，杆2为木杆，横截面面积A2=2.5×104mm2，弹性模量E2=10GPa，杆2的杆长为1m。求节点A的位移。
M (x) EI 24
d2w/dx2与弯矩的关系如图所示，坐标轴w以向上为正。由
该图可以看出，当梁段承受正弯矩时，挠曲线为凹曲线，如
图（a）所示，d2w/dx2为正。反之，当梁段承受负弯矩时，挠曲线为凸曲线，如图（b）所示，d2w/dx2为负。可见， d2w/dx2与弯矩M的符号一致。因此上式的右端应取正号，即
于梁的高度，剪力对梁的变形影响可以忽略不计，上式仍可
用来计算横力弯曲梁弯曲后的曲率，但由于弯矩不再是常量，
上式变为
1 M (x)
(x) EI
即挠曲线上任一点处的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，
而与该截面的抗弯刚度（flexural rigidity）EI成反比。
23
由高等数学可知，平面曲线w=w(x)上任一点的曲率为
15
对于扭矩、横截面或剪切弹性模量沿杆轴逐段变化的圆截面轴，其扭转变形为
n
Tili
i1 Gi I Pi
式中，Ti、li、Gi与IPi分别为轴段i的扭矩、长度、剪切弹性模量与极惯性矩，n为杆件的总段数。
16
2．圆轴扭转的刚度条件
在圆轴设计中，除考虑其强度问题外，在许多情况下对刚度的要求更为严格，常常对其变形有一定限制，即应该满足相应的刚度条件。

轴向拉、压杆的内力及应力计算

解：（1）计算各段的轴力
AB段：用1-1截面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象，以N1表示截面上的轴力，并假设为拉力。写出平
衡方程： ∑X=0，N1+P1=0
得 N1=-P1=-20KN 负号表示AB段轴力N1实际为压力。
BC段：同理写出平衡方程： ∑X=0，N2+P1-P2=0
得 N2=-P1+P2=-20+30=10KN 正号表示BC段轴力N2实际为拉力。
面垂直的应力为正应力，与截面相切的应力为剪应力。轴向拉伸、压缩时，杆件
截面上各点处产生正应力，且大小相等。若应力用σ表示，横截面积为A，轴力
为N，则
N
A
正应力的正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
课题七轴向拉、压杆的内力及应力计算
例：如图7-2a悬臂梁，已知P1=20KN，P2=30KN，P3=10KN，试画出杆的轴力图。
课题七轴向拉、压杆的内力及应力计算
三、轴力图
表明沿杆长各横截面轴力变化规律的图形称为轴力图。用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按选定的比例尺把正轴力画在轴的上方，负轴力画在轴的下方，并连成直线，就得到轴力图。
四、轴向拉、压杆横截面上的应力
单位面积课题七轴向拉、压杆的内力及应力计算
一、轴向拉伸和压缩
受力特点：直杆的两端沿杆轴线方向作用一对大小相等，方向相反的力。变形特点：在外力作用下产生轴线方向的伸长或缩短。当作用力背离杆端时，作用力是拉力，杆件产生伸长变形，叫做轴向拉伸。见图7-1a 当作用力指向杆端时，作用力是压力，杆件产生压缩变形，叫做轴向压缩。见图7-1b
图 7-1
课题七轴向拉、压杆的内力及应力计算

材料力学第2章-1拉压

6 9 2
平方米）（牛顿/平方米）记作：Pa （帕斯牛顿平方米记作：记为：记为：Mpa 记为：记为：Gpa 矢量背离截面矢量指向截面
返回
N/m N/m
2 2
兆帕千兆帕
4、正应力的符号规定：、正应力的符号规定：与轴力相同，拉伸（）与轴力相同，拉伸（+）压缩（压缩（-）
5、应力的分布规律： dFN= σ dA
ε
返回
二、压缩曲线：压缩曲线：
F D B A C
σp
σs
σb
E
O
ε=∆ L/L
1、低碳钢的压缩曲线
特点：弹性模量E均与拉伸时相同均与拉伸时相同，特点：极限应力σS弹性模量均与拉伸时相同，但得不到强度极限。到强度极限。
返回
铸铁压缩曲线
2、铸铁压缩曲线的特点：铸铁压缩曲线的特点： 1）形状与拉伸时相似。）形状与拉伸时相似。 2）抗压强度比抗拉强度高）抗压强度比抗拉强度高4~5倍。倍 3）在较小的变形下突然破坏，破坏断面与轴线大约成）在较小的变形下突然破坏， 450~550角。三、两类材料力学性能比较塑性材料：1）破坏前变形大，有流动阶段。塑性材料：破坏前变形大，有流动阶段。承受冲击的能力好。 2）承受冲击的能力好。均相同。 3）拉压时E、 σs均相同。脆性材料：破坏前变形小，没有明显的流动阶段。脆性材料：1）破坏前变形小，没有明显的流动阶段。承受冲击的能力不好。 2）承受冲击的能力不好。抗拉强度低，抗压强度高。 3）抗拉强度低，抗压强度高。塑性材料适合做承拉构件，脆性材料适合做承压构件。塑性材料适合做承拉构件，脆性材料适合做承压构件。
FN =
∫ dF
A
N

材料力学第二章轴向拉伸和压缩

伸长 l2 0.24mm 缩短
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４１=40kN F
纵向线即：原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力应力分布规律找变形规律研究思路：试验观察综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章轴向拉伸和压缩
第二章轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容轴力及轴力图横截面上的应力拉压杆的变形、胡克定律强度计算材料的力学性质
材料力学
第2章轴向拉伸和压缩
§2-1 概述一、工程实际中的轴向拉压杆

第7章杆件的变形与刚度

32Tmax ⋅180 4 32 × 2000 ×180 d ≥4 = ×103 = 83.5mm G[θ ]⋅ π 2 80 ×109 × 0.3π 2
该圆轴直径应选择：d =83.5mm.
[例2]图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； [τ]=60MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。 mC
D
解：本题应分4段考虑。 π D4 I P1 = I P 2 = 32
d
A
a
1
2
B 3 b b
4
a
C
32 π D3 Wt1 = Wt 2 = 16 d4 π D3 (1 − 4 ) Wt 3 = Wt 4 = 16 D
I P3 = I P 4 =
π
(D4 − d 4 )
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 4 1 2 3
16mC
⊕
○ 1kN.m
π [τ ]
16 × 2000 3 = ×10 6 π 60 ×10
3
= 55.4mm
mA A
mB
mC
⑵按刚度条件
l1
B l C 2
2kN.m
⊕
○ 1kN.m
θ max = T ⋅ 180 ≤ [θ ] (°/m) GI p π π 4 Tmax 180 IP = d ≥ ⋅ 32 G[θ ] π
d2
mA
d1
mB
解： ⑴按强度校核
C
l2
A l1 B
0.6kN.m
T1 16mB τ1 = = Wt1 π d13 16 × 600 = = 47.7 MPa < [τ ] 3 π ×4

《材料力学》2-4拉(压)杆的变形.胡克定律

拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
LLL 绝对变形
线应变: 受力物体变形时，一点处沿某一方向微小线段的相对变形
当杆沿长度均匀变形时
L L
纵向线应变 (无量纲)
y
C
O
x
A
B
z △x
当杆沿长度非均匀变形时
αD
B1 BB2C1 C
FNCD
F
A
C
a
CC1
CL CCD ccooss
C
C1
L/2
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LC FD LFN1 2CEL D A cLC o DsFCD
2Fa
EAcos2
B
4Fa
EAco3s
移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
a
LCDa
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCDa EA
mA 0
FNCD2F
B 2L 2 LC FN DCD 4EFFAaL0
例题
2.12
B
图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知
L AB L AC F N EA L A C 2 EF c A o Ls
A
A AA
L AC
cos
FL
2EAcos2

精品课件-材料力学(张功学)-第2章

应力。
FN A
50 103 400 106
125106 Pa 125 MPa
斜截面m-m的方位角为
α=50°
于是，由式（2-2）与式（2-3），得截面m-m的正应力与切应力
分别为
cos2 125cos2 50 51.6MPa 50
t
50o
=
s 2
sin2a=-
125 2
sin100o
为便于应用上述公式，现对方位角与切应力的正负符号作如下规定：以x轴正向为始边，向斜截面外法线方向旋转，规定方位角α逆时针转向为正，反之为负；将截面外法线 On沿顺时针方向旋转90°，与该方向同向的切应力为正，反之为负。按此规定，图2-7(c)所示之α与τα均为正。
第2章轴向拉压与材料的力学性能
形状的等截面拉压杆。当杆的横截面沿轴线缓慢变化时（小锥
度直杆），也可以应用式（2-1）计算横截面上的正应力。
由式（2-1）可知，正应力与轴力具有相同的正负符号，
即拉应力为正，压应力为负。
第2章轴向拉压与材料的力学性能图2-5
第2章轴向拉压与材料的力学性能
2.2.3 圣维南原理当作用在杆端的轴向外力，沿横截面非均匀分布时，外力
第2章轴向拉压与材料的力学性能第2章轴向拉压与材料的力学性能
2.1 引言 2.2 拉压杆的内力与应力 2.3 材料拉伸与压缩时的力学性能 2.4 拉压杆的强度计算 2.5 拉压杆的变形计算 2.6 简单拉压静不定问题 2.7 连接件的强度计算
第2章轴向拉压与材料的力学性能 2.1 引言
在生产实践中经常遇到承受拉伸或压缩的杆件。例如，图2-1(a)所示的连接螺栓承受拉力作用，图2-1(b)所示的活塞杆承受压力作用。此外，如起重钢索在起吊重物时承受拉力作用；千斤顶的螺杆在顶起重物时承受压力作用；至于桁架中的杆件，则不是受拉就是受压。

建筑力学第3章轴向拉伸与压缩

A

F
x
0
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 2 45° B
F
x
F
45°
y
0
B F
C
FN 1 sin 45 - F 0
FN 1 28.3kN FN 2 -20kN

A

2、计算各杆件的应力。
45°
C

B
FN 1 28.3 10 90MPa A1 20 2 4
斜截面上全应力：
p 0 cos
k
③pa 分解为：
p
P
P
p cos 0 cos 2

p sin 0 cossin
0
2
k
k

sin2

P
P

k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。当 = 0时，当 = 90°时，当 = ±45°时，当 = 0,90°时，
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 - 150 103 -1.1 MPa Ⅱ 2 A2 370
所以，最大工作应力为
max= = -1.1 MPa (压应力）
三、轴向拉（压）杆斜截面上的应力
上述讨论的横截面上的正应力是今后强度计算的基础。但不同的材料实验表明，拉（压）杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时确是沿斜截面发生的，为此，应进一步讨论斜截面上的应力。为了全面分析拉（压）杆的强度，应研究它斜截面上的应力情况。
解(1)、(2)曲线交点处：
30
60

B 31;PB 54.4kN
1 1
PB1 ,60 A /cos60/sin604601024/ 355.44kN

轴向拉伸和压缩及连接件的强度计算

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11
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
【例2-1】(教材P10) 一等直杆如图所示,计算杆件的内力,并作轴力图。
F1=5 kN A
F2=15 kN C
F3=10 kN B
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12
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
【例2-1】解
1 F1=5 kN
2 F2=15 kN
F3=10 kN
A F1=5 kN
s
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2.2 拉压杆截面上的内力和应力 2.2.2 1 拉压杆横截面上的应力
设横截面的面积为A，由静力学关系：
F
FN
s
FN s dA s A
s FN A
s 正应力，拉应力为“+”，压应力为“－”
FN 轴力 A 横截面面积杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆：
多个轴向载荷作用的等截面直杆：
符号为正
Cross Section
FN FN
符号为负
Cross Section
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10
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 2.2.1 拉压杆截面上的内力 2 轴力图
将内力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示– 内力图将轴力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示– 轴力图
1) 一截为二 2) 弃一留一 3) 代力平衡
C
2
FN
+
5 kN
－
F3=10 kN FN15kN 拉 FN210kN 压
B
x
10 kN
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14
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
【例】一等直杆受力如图，已知F1=40kN，F2=55kN，F3=25kN， F4=20kN。作出该直杆的轴力图。

轴向拉伸与压缩、圆轴扭转变形

2Fl [s ]sin 2q
欲使VBD最小, sin 2q = 1 q = 45o
§3-5 拉伸与压缩
讨论题：杆钢段AB ，[]钢=200MPa, 铜段BC和CD， []铜=70MPa；AC段截
面积 A1=100mm2 , CD段截面积 A2=50mm2 ；试校核其强度。
解（1）画轴力图
（2）求各段应力
s AB
=
9´ 103 100
MPa =
90MPa
6´ 103
s BC = -
MPa = - 60MPa 100
4´ 103
s CD =
MPa = 80MPa 50
（3）强度校核
s AB = 90MPa<[s ]钢强度足够；
9kN
A
9kN
15kN
10kN 4kN
B
C
D
FN图 4kN
6kN
s BC = 60MPa<[s ]钢强度足够；
式中： s 为横截面上的正应力； FN为横截面上的轴
力； A为横截面面积。
正应力 s 的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。
公式的使用条件：轴向拉压杆。
§3-5 直杆轴向拉伸与压缩
例3-1 如图所示圆截面杆，直径 d 40,m拉m力
试求杆横截面上的最大正应力。
F 60kN
解（1）作轴力图
FN F 60 kN
零件抵抗破坏的能力，称为强度。零件抵抗变形的能力，称为刚度。学习基本变形、应力、强度是为了保证材料具有足够的使用寿命。
§3-5 直杆轴向拉伸与压缩
一、轴向拉伸与压缩时的变形特点
实验：
F
ac
a
c
F

杆件的强度计算公式资料讲解

杆件的强度计算公式资料讲解杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能⼒，指的是什么？答：构件满⾜强度、刚度和稳定性要求的能⼒称为构件的承载能⼒。

(1)⾜够的强度。

即要求构件应具有⾜够的抵抗破坏的能⼒，在荷载作⽤下不致于发⽣破坏。

(2)⾜够的刚度。

即要求构件应具有⾜够的抵抗变形的能⼒，在荷载作⽤下不致于发⽣过⼤的变形⽽影响使⽤。

(3)⾜够的稳定性。

即要求构件应具有保持原有平衡状态的能⼒，在荷载作⽤下不致于突然丧失稳定。

2.什么是应⼒、正应⼒、切应⼒？应⼒的单位如何表⽰？答：内⼒在⼀点处的集度称为应⼒。

垂直于截⾯的应⼒分量称为正应⼒或法向应⼒，⽤σ表⽰；相切于截⾯的应⼒分量称切应⼒或切向应⼒，⽤τ表⽰。

应⼒的单位为Pa。

1 Pa=1 N／m2⼯程实际中应⼒数值较⼤，常⽤MPa或GPa作单位1 MPa=106Pa1 GPa=109Pa3.应⼒和内⼒的关系是什么？答：内⼒在⼀点处的集度称为应⼒。

4.应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。

单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表⽰。

单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表⽰横向应变。

5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松⽐？答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表⽰。

对于轴⼒为常量的等截⾯直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为l l?=ε（4-2）拉伸时ε为正，压缩时ε为负。

线应变是⽆量纲（⽆单位）的量。

（2）横向应变拉(压)杆产⽣纵向变形时，横向也产⽣变形。

设杆件变形前的横向尺⼨为a，变形后为a1，则横向变形为aaa-=1横向应变ε/为a a=/ε（4-3）杆件伸长时，横向减⼩，ε/为负值；杆件压缩时，横向增⼤，ε/为正值。

因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。

（3）横向变形系数或泊松⽐试验证明，当杆件应⼒不超过某⼀限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之⽐为⼀常数。

此⽐值称为横向变形系数或泊松⽐，⽤µ表⽰。

工程力学材料力学第一章

直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定的距离。
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 k
设有一等直杆受拉力P作用。 P 求：斜截面k-k上的应力。解：采用截面法由平衡方程：Pα=P P P k P
α α
k Pα k
Pα 则： pα = Aα
Aα：斜截面面积；Pα：斜截面上内力。
A 由几何关系： α = cos Aα
σ 0 ( 45°斜截面上剪应力达到最大 ) |τ 当α = ± 45°时， α |max =
目录
公式的应用条件：公式的应用条件：直杆、杆的截面无突变、的距离。直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定的距离。圣维南( 原理：圣维南 Saint-Venant)原理：原理离开载荷作用处一定距离，离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。用方式的影响。应力集中（应力集中（Stress Concentration）：）：在截面尺寸突变处，应力急剧变大。在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。 2. 应力的表示：应力的表示： ① 平均应力：平均应力： ∆P M ∆A
ΔP pM = ΔA
全应力（总应力）： ② 全应力（总应力）：
p = lim
∆A → 0
∆P dP = ∆ A dA
目录
目录
目录
例题
图示结构，已知斜杆AB长2m,横截面面积为图示结构，已知斜杆AB长2m,横截面面积为 AB 水平杆AC的横截面面积为250mm AC的横截面面积为 200mm2。水平杆AC的横截面面积为250mm2。材料的弹性摸量E=200GPa 载荷F=10kN 试求节点A E=200GPa。 F=10kN。弹性摸量E=200GPa。载荷F=10kN。试求节点A的位移。计算各杆件的轴力。（设斜杆为1 。（设斜杆为解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2 用截面法取节点A 平杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象

杆件拉伸和压缩强度计算

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29
第四节拉压杆的强度计算
3M23.tif
例3-5 空心圆截面杆如图3-23所示，外径D＝20mm,内径d=15mm,承受轴向载荷F=20kN作用，材料的屈服应力σs=235MPa，安全系数n=1. 5。试校核该杆的强度。解杆件横截面上的正应力为
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30
第四节拉压杆的强度计算
例3-6 如图3-24所示桁架，由杆1与杆2组成，在节点B承受集中载荷F作用。试计算载荷F的最大许可载荷［F］。已知杆1与杆2的横截面面积均为A=100mm2,许用拉应力为［σt］=200MPa，许用压应力为［σc］=150MPa。解 1) 轴力分析：设杆1与杆2的轴力分别为FN1与FN2，则根据节点平衡方程
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16
第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能
一、低碳钢拉伸时的力学性能
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17
第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能
图3-13 F-ΔL曲线
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18
第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能
图3-14 低碳钢应力-应变曲线
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19
第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能
3M14.tif
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31
第四节拉压杆的强度计算
3M24.tif
2)确定F的许用值：杆1的强度条件为
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32
(1)弹性阶段图中OA′为一直线，说明应力与应变成正比，OA′直线
的倾角为α，斜率为tanα=σ/ε=E，即材料的弹性模量。
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20
第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能
(2)屈服阶段当应力超过弹性极限σe后，图上出现接近水平的小锯齿形线段BC，说明此时应力虽然有波动，但几乎没有变化，而变形却急剧增加，材料失去抵抗变形的能力。 (3)强化阶段超过屈服阶段后，图3-14上出现上凸的曲线CD，表明若要使材料继续变形，还需要增加应力，即材料重新产生抵抗变形的能力，这种现象称为材料的强化，CD段对应的过程称为材料的强化阶段，其最高点D对应的应力值σb，称为抗拉强度(强度极限)，它是材料所能承受的最大应力。 (4)缩颈断裂阶段从D点开始，在试样较薄弱处的横截面发生急剧的局部收缩，出现颈缩现象(图3-16)。

轴向拉伸和压缩

2、横向变形
△b=b1－b
b1 b
Db b
横向线应变

泊松比

图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆件的轴向变形△L，B点的位移δB和C点的位移δC
F A
F
B DLAB
C
FL EA
B
L
L
FL C B EA
图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆， B点受荷载F作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆的抗拉刚度EA.
F
A B
C
l
l 2
一等直拉杆在两端承受拉力作用，若其一半为钢，另一半为铝，则两段的（ B ）。 A.应力相同，变形相同；B.应力相同，变形不同； C.应力不同，变形相同；D.应力不同，变形不同。
6.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能
力学性能———指材料受力时在强度和变形方面表现
出来的性能。
塑性变形变形弹性变形
20kN E
18kN 4m 4m
30
O
FNCD
CFNBCFra bibliotek BC
FNBC ABC
A
1m
CD
B
FNCD ACD
(轴向接触问题）左端固定的等直杆，长度和拉（压）刚度分别为l和EA，右端作用一轴向拉力F，杆伸长δ后，右端与支撑刚性接触，然后，外力F继续加大。设杆件始终在线弹性范围内工作，试分析外力F的施加过程中杆件轴力FN的变化。
a
F D
FNAB B C
a
a
计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应力值。已知CD杆为φ28的圆钢，BC杆为φ22的圆钢。

杆件的轴向拉压变形及强度计算.

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18、轴向拉压杆的强度计算

拉压杆的变形计算胡克定律

1.3轴向拉压杆横截面上的变形

轴向拉伸和压缩

拉压杆的变形及刚度计算

杆件的变形及计算

材料力学第04章杆件变形分析

轴向拉、压杆的内力及应力计算

材料力学第2章-1拉压

材料力学第二章轴向拉伸和压缩

第7章杆件的变形与刚度

《材料力学》2-4拉(压)杆的变形.胡克定律

精品课件-材料力学(张功学)-第2章

建筑力学第3章轴向拉伸与压缩

轴向拉伸和压缩及连接件的强度计算

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