2020步步高教师用书(京津鲁琼专用)高考数学-微专题十

第练随机事件的概率[基础保分练]．给出下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件发生的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是( )．①②③④．①④⑤．①②③④⑤．②③．把红、蓝、黑、白张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )．对立事件．互斥但不对立事件．不可能事件．以上都不对．从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，那么对立事件是( )．至少有一个红球与都是红球．至少有一个红球与都是白球．至少有一个红球与至少有一个白球．恰有一个红球与恰有两个红球．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( ) ．在正方体上任选个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是和，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )．．．．．从存放的号码分别为，…，的卡片的盒子中，有放回地取次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码取到次数则取到号码为奇数的卡片的频率是( )．．．．．设事件，，已知()＝，()＝，(∪)＝，则，之间的关系一定为( )．两个任意事件．互斥事件．非互斥事件．对立事件．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为的概率分别为，则该企业在一个月内被消费者投诉不超过次的概率为．．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件为出现奇数点，事件为出现点，已知()＝，()＝，则出现奇数点或点的概率为．[能力提升练]．从个同类产品(其中有个正品，个次品)，从中任意抽取个，下列事件是必然事件的是( )．个都是正品．至少有个是次品．个都是次品．至少有个是正品．从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，互斥而不对立的两个事件是( )．至少有个白球，都是白球．至少有个白球，至少有个红球．恰有个红球，恰有个白球．至少有个白球，都是红球．已知口袋内装有一些大小、质地相同的红球、白球和黑球，从中摸出个球，摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，若红球有个，则黑球有( )．．．．．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[)上的为一等品，在区间[)和[)上的为二等品，在区间[)和[)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )．．．．．若随机事件，互斥，且，发生的概率均不为，()＝－，()＝－，则实数的取值范围为．．现有个数，它们能构成一个以为首项，－为公比的等比数列，若从这个数中随机抽取一个数，则它小于的概率是．答案精析基础保分练．能力提升练．．[摸出黑球的概率为－－＝.因为口袋内球的总个数为÷＝，所以黑球的个数为×＝.]．[设区间[)对应矩形的高为，则所有矩形面积之和为，即(＋＋＋＋)×＝，解得＝.产品为二等品的概率为×＋×＝.]解析由题意可得∴解得<≤.解析由题意得＝(－)－，易知前项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于的项为第一项和偶数项，共项，即个数，所以＝＝.。

阶段强化练(六)一、选择题1．(2019·四川诊断)已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线() A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内答案 B解析假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，则m∥l且n∥l，由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．故选B.2．(2019·化州模拟)设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是() A．m⊥n，m∥α⇒n⊥αB．m⊥n，m⊥α⇒n∥αC．m∥n，m⊥α⇒n⊥αD．m∥n，m∥α⇒n∥α答案 C解析对于A，若m⊥n，m∥α时，可能n⊂α或斜交，故错误；对于B，m⊥n，m⊥α⇒n∥α或n⊂α，故错误；对于C，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，正确；对于D，m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，故错误．故选C.3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③答案 D解析∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．4.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案 C解析因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.5．(2019·唐山模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1，则异面直线A1B与B1C 所成角的余弦值为()A.105 B.15 C.55 D.155答案 B解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1D，可得A1D∥B1C，所以异面直线A1B与B1C所成的角，即为直线A1B与直线A1D所成的角，即∠DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AB＝BC＝2AA1＝2，则A1B＝A1D＝5，BD＝22，在△A 1BD 中，由余弦定理得cos ∠DA 1B ＝A 1B 2＋A 1D 2－BD 22A 1B ·A 1D ＝5＋5－82×5×5＝15，故选B.6．(2019·长春质检)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为( ) A ．1 B.32 C.22 D.12答案 D解析 如图所示，连接A 1D ，AD 1交于点O ，连接OC 1， 在正方体中，∵AB ⊥平面AD 1， ∴AB ⊥A 1D ，又A 1D ⊥AD 1，且AD 1∩AB ＝A ， ∴A 1D ⊥平面AD 1C 1B ，∴∠A 1C 1O 即为A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角， 在Rt △A 1C 1O 中，sin ∠A 1C 1O ＝12，所以A 1C 1与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为12，故选D.7．(2019·湖南岳阳一中质检)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3，AA 1＝1，而对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP ＋D 1P 取得最小值，则此最小值为( )A ．2B ．3C ．1＋ 3 D.7 答案 D解析 把对角面A 1C 绕A 1B 旋转至ABB 1A 1， 使其与△AA 1B 在同一平面上，连接AD 1， 在△AA 1D 1中，AA 1＝1，A 1D 1＝3， ∠AA 1D 1＝∠AA 1B ＋90°＝150°， 则AP ＋D 1P 的最小值为 AD 1＝12＋(3)2－2×1×3×cos 150°＝7.故选D.8．(2019·湖南五市十校联考)已知E ，F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP ，BC 的中点，AB ＝6，PC ＝6，EF ＝33，则异面直线AB 与PC 所成的角为( ) A ．120° B ．45° C ．30° D ．60° 答案 D解析 取AC 的中点D ，连接ED ，FD ，因为E ，F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP ，BC 的中点， 所以ED ∥PC ，FD ∥AB ，则直线DE 与直线DF 所成的角即异面直线AB 与PC 所成的角， 又因为AB ＝6，PC ＝6，EF ＝33，所以在△DEF 中，cos ∠EDF ＝DE 2＋DF 2－EF 22DE ·DF ＝－12，即∠EDF ＝120°，所以异面直线AB 与PC 所成的角为60°.9．(2019·淄博期中)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为(容器壁的厚度忽略不计)( )A ．28πB ．30πC ．60πD ．120π 答案 B解析 由题意知，该球形容器的半径的最小值为 1225＋4＋1＝302， ∴该球形容器的表面积的最小值为4π×⎝⎛⎭⎫3022＝30π. 故选B.10．(2019·安徽皖南八校联考)已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1，2，a ，且长为a 的棱与长为2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为( ) A.212 B.312 C.26 D.36答案 A解析 如图所示，在三棱锥A －BCD 中，AD ＝a ，BC ＝2，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝1，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD 看作底面， 则当平面ABC ⊥平面BCD 时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h ＝22， △BCD 是等腰直角三角形，则S △BCD ＝12，综上可得，三棱锥的体积的最大值为13×12×22＝212.故选A.11．(2019·成都诊断)如图，在矩形ABCD 中，EF ∥AD ，GH ∥BC ，BC ＝2，AF ＝FG ＝BG ＝1，现分别沿EF ，GH 将矩形折叠使得AD 与BC 重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为( )A ．24πB ．6π C.163π D.83π 答案 C解析 由题意可知，在矩形ABCD 中，EF ∥AD ，GH ∥BC ，BC ＝2，AF ＝FG ＝BG ＝1，沿EF ，GH 将矩形折叠使得AD 与BC 重合后，所得几何体是底面为等边三角形的三棱柱． 底面等边三角形的外接圆直径2r ＝1sin 60°，所以r ＝33， 三棱柱的高为BC ＝2，所以外接球的球心与底面的圆心距离为1， 所以三棱柱的外接球半径R ＝⎝⎛⎭⎫332＋12＝233，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝16π3.故选C.12．(2019·衡水中学模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱BB 1，CC 1的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含A 1的部分为V 1，不含A 1的部分为V 2，连接A 1和V 2的任一点M ，设A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为α，则sin α的最大值为( )A.22 B.255 C.265 D.266答案 B解析 连接EF ，因为EF ∥平面ABCD ，所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线， 过点O 作GH ∥BC 交CD 于点G ，交AB 于H 点，则GH ∥EF ，连接EH ，FG ，则平行四边形EFGH 即为截面，则五棱柱A 1B 1EHA －D 1C 1FGD 为V 1，三棱柱EBH －FCG 为V 2，设M 点为V 2的任一点，过M 点作底面A 1B 1C 1D 1的垂线，垂足为N ，连接A 1N ， 则∠MA 1N 即为A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角， 所以∠MA 1N ＝α.因为sin α＝MN A 1M ，要使α的正弦值最大，必须MN 最大，A 1M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意．故(sin α)max ＝⎝⎛⎭⎫MN A 1M max＝HN A 1H ＝255.故选B. 二、填空题13．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________． 答案3π4解析 由题意得，该圆柱底面圆周半径 r ＝12－⎝⎛⎭⎫122＝32.∴该圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π⎝⎛⎭⎫322×1＝3π4.14．(2019·洛阳、许昌质检)在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝CC 1＝2，P是BC1上一动点，则A1P＋PC的最小值为________．答案10解析连接A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，在BC1上取一点与A1，C构成三角形，∵三角形两边和大于第三边，∴A1P＋PC的最小值是A1C的连线．作展开图如图，由∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝2，得AB＝AC2＋BC2＝6，又AA1＝CC1＝2，∴A1B＝AA21＋AB2＝2＋6＝22，BC1＝2＋2＝2，A1C1＝AC＝2，∴∠A1BC1＝45°，∠CBC1＝45°，∴∠A1BC＝90°，∴A1C＝A1B2＋BC2＝8＋2＝10.15．(2019·河北衡水中学调研)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC ＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．答案10 5解析如图所示，设M，N，P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1，BC1的夹角为MN和NP的夹角或其补角，MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝22，作BC 的中点Q ，则△PQM 为直角三角形， ∵PQ ＝1，MQ ＝12AC ，△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋1－2×2×1×⎝⎛⎭⎫－12＝7， ∴AC ＝7，∴MQ ＝72， 在△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝112， 在△PMN 中，由余弦定理得 cos ∠MNP ＝MN 2＋NP 2－PM 22·MN ·NP＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫11222×52×22＝－105， 又异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2， ∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为105. 16．已知四面体ABCD ，AB ＝4，AC ＝AD ＝6，∠BAC ＝∠BAD ＝60°，∠CAD ＝90°，则该四面体外接球的半径为________． 答案 2 5 解析 如图，设△ADC的外心是O1，作BH⊥平面ADC，易知H在AO1上，再作BM⊥AC，垂足为M，连接MH，则MH⊥AC，AO1＝12DC＝32，AM＝MH＝2，AH＝22，设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，OO1＝d，因为AH＝22，BH＝16－8＝22，所以在△BOG中，由勾股定理可得R＝O1A2＋OO21＝(BH＋OO1)2＋O1H2＝(22＋d)2＋2，即d2＋(32)2＝(22＋d)2＋2，解得d＝2，所以R＝(22＋2)2＋2＝20＝2 5.三、解答题17.(2019·葫芦岛协作校联考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．(1)求证：AE⊥平面A1BD；(2)求三棱锥B1－A1BD的体积．(1)证明∵AB＝BC＝CA，D是AC的中点，∴BD⊥AC，∵AA1⊥平面ABC，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，∴BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥AE.又∵在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点，∴A1D⊥AE.又A1D∩BD＝D，A1D，BD⊂平面A1BD，∴AE⊥平面A1BD.(2)解 连接AB 1交A 1B 于O ，∵O 为AB 1的中点，∴点B 1到平面A 1BD 的距离等于点A 到平面A 1BD 的距离．∴11B A BD V －＝1A A BD V －＝1B AA D V －＝13×1AA D S △×BD ＝13×12×2×1×3＝33. 18．(2019·长沙长郡中学调研)如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于A ，B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB ＝2AD ＝2.(1)求证：EA ⊥EC ；(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F .①证明：EF ∥AB ；②若EF ＝1，求三棱锥E －ADF 的体积．(1)证明 ∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊥AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ABE .又∵AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE .∵E 在以AB 为直径的半圆上，∴AE ⊥BE ，又∵BE ∩BC ＝B ，BC ，BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥平面BCE .又∵CE ⊂平面BCE ，∴EA ⊥EC .(2)①证明 ∵AB ∥CD ，AB ⊄平面CED ， CD ⊂平面CED ，∴AB ∥平面CED .又∵AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面CED ＝EF ， ∴AB ∥EF .②解 取AB 的中点O ，EF 的中点O ′，在Rt △OO ′F 中，OF ＝1，O ′F ＝12，∴OO ′＝ 32. 由(1)得BC ⊥平面ABE ，又已知AD ∥BC ，∴AD ⊥平面ABE .故V E －ADF ＝V D －AEF ＝13·S △AEF·AD ＝13·12·EF ·OO ′·AD ＝ 312.。

§2.9 函数模型及其应用最新考纲 1.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了解函数模型的广泛应用.1.几类函数模型2.三种函数模型的性质概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤.提示解函数应用题的步骤题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(×)(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(×)(3)不存在x0,使0x a＜x n0＜log a x0.(×)(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(×)题组二教材改编2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是()A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元答案 D【解析】由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正确；由题图可知,7月份的结余最高,为80－20＝60(万元),故B正确；由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C 正确；由题图可知,前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元),故D 错误. 3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为 万件. 答案 18【解析】 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142,当x ＝18时,L (x )有最大值.4.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 . 答案 3【解析】 设隔墙的长度为x (0＜x ＜6),矩形面积为y , 则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18,∴当x ＝3时,y 最大.5.一枚炮弹被发射后,其升空高度h 与时间t 的函数关系为h ＝130t －5t 2,则该函数的定义域是 . 答案 [0,26]【解析】 令h ≥0,解得0≤t ≤26,故所求定义域为[0,26]. 题组三 易错自纠6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 . 答案(p ＋1)(q ＋1)－1【解析】 设年平均增长率为x ,则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q ), ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.7.已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到 只. 答案 200【解析】 由题意知100＝a log 3(2＋1), ∴a ＝100,∴y ＝100log 3(x ＋1). 当x ＝8时,y ＝100log 39＝200.题型一用函数图象刻画变化过程1.高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为v,则函数v＝f(h)的大致图象是()答案 B【解析】v＝f(h)是增函数,且曲线的斜率应该是先变大后变小,故选B.2.(2018·广西柳州联考)设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D【解析】y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B,故选D.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D【解析】 根据图象所给数据,逐个验证选项.根据图象知,当行驶速度大于40千米/时时,消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A 错；以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B 错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C 错；最高限速80千米/时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D 对. 思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. 题型二 已知函数模型的实际问题例1 (1)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ,b ,c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 分钟.答案 3.75【解析】 根据图表,把(t ,p )的三组数据(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入函数关系式, 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316,所以当t ＝154＝3.75时,p 取得最大值,即最佳加工时间为3.75分钟.(2)某公司招聘员工,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，2x ＋10，10<x ≤100，1.5x ，x >100，其中x 代表拟录用人数,y 代表面试对象人数.若面试对象人数为60,则该公司的拟录用人数为( ) A.15 B.40 C.25 D.70 答案 C【解析】 当1≤x ≤10时,y ≤40；当x >100时,y >150.因此所求人数x ∈(10,100],由2x ＋10＝60,得x ＝25,故选C.思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.跟踪训练1 (1)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位:元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出,其中m >0,[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3,[3.7]＝3,[3.1]＝3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为 元. 答案 4.24【解析】 ∵m ＝6.5,∴[m ]＝6, 则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K 是单位产品数Q 的函数,K (Q )＝40Q －120Q 2,则总利润L (Q )的最大值是万元. 答案 2 500【解析】 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500.则当Q ＝300时,L (Q )的最大值为2 500万元.题型三 构建函数模型的实际问题命题点1 构造一次函数、二次函数模型例2 (1)某航空公司规定,乘飞机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为 kg.答案 19【解析】 由图象可求得一次函数的【解析】式为y ＝30x －570,令30x －570＝0,解得x ＝19. (2)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2B.y ＝12(x 2－1)C.y ＝log 2xD.y ＝12log x答案 B【解析】 由题中表可知函数在(0,＋∞)上是增函数,且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快,分析选项可知B 符合,故选B. 命题点2 构造指数函数、对数函数模型例3 一片森林原来面积为a ,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年降低的百分比为x (0＜x ＜1), 则a (1－x )10＝12a ,即(1－x )10＝12,解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22, 则a (1－x )m＝22a ,即⎝⎛⎭⎫1210m＝⎝⎛⎭⎫1212, 即m 10＝12,解得m ＝5. 故到今年为止,该森林已砍伐了5年.引申探究若本例的条件不变,试计算:今后最多还能砍伐多少年？ 解 设从今年开始,以后砍了n 年, 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ,即(1－x )n ≥24, ⎝⎛⎭⎫1210n≥⎝⎛⎭⎫1232,即n 10≤32,解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年. 命题点3 构造y ＝x ＋ax(a >0)型函数例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段),则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为 .答案 5【解析】 根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11, ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x , ∵x ＋25x ≥10,当且仅当x ＝5时等号成立.∴要使平均利润最大,客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9 3 平方米,且高度不低于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为x 米,外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x ＝ 米.答案 2 3【解析】 由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x ＜6),∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x ＜6),即x ＝23时等号成立.命题点4 构造分段函数模型例5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完,每万只的销售收入为R (x )万美元,且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数【解析】式；(2)当年产量为多少万只时,该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.解 (1)当0＜x ≤40时,W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40, 当x >40时,W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0＜x ≤40时,W ＝－6(x －32)2＋6 104, 所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时,W ＝－40 000x －16x ＋7 360,由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600, 当且仅当40 000x ＝16x ,即x ＝50∈(40,＋∞)时,取等号,所以W 取最大值5 760.综合①②,当年产量为32万只时,W 取最大值6 104万美元.思维升华 构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系,将文字语言转化成数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制. 跟踪训练2 (1)某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,至少应过滤 次才能达到市场要求.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 答案 8【解析】 设至少过滤n 次才能达到市场要求, 则2%⎝⎛⎭⎫1－13n ≤0.1%,即⎝⎛⎭⎫23n ≤120, 所以n lg 23≤－1－lg 2,所以n ≥7.39,所以n ＝8.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要装修费为20 000元,每天需要房租、水电等费用100元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益R (元)与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则当总利润最大时,该门面经营的天数是 . 答案 300【解析】 由题意,总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400， 当0≤x ≤400时,y ＝－12(x －300)2＋25 000,所以当x ＝300时,y max ＝25 000； 当x >400时,y ＝60 000－100x ＜20 000.综上,当门面经营的天数为300时,总利润最大为25 000元.用数学模型求解实际问题数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程,主要包括从数量,图形关系中抽象出数学概念,并且用数学符号和术语予以表征.例 (1)调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg /mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,则至少经过 小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时) 答案 4【解析】 设n 小时后他才可以驾驶机动车,由题意得3(1－0.5)n ≤0.2,即2n ≥15,故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用),则要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为 元. 答案 3 300【解析】 设利润为y 元,租金定为3 000＋50x (0≤x ≤70,x ∈N )元.则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22,当且仅当58＋x＝70－x ,即x ＝6时,等号成立,故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时,公司获得最大利润. 素养提升 例题中通过用字母表示变量,将酒后驾车时间抽象为不等式问题,将租房最大利润抽象为函数的最值问题.1.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )答案 A【解析】 前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A,C 图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.2.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 答案 B【解析】 5月1日到5月15日,汽车行驶了35 600－35 000＝600(千米),实际耗油48升,所以该车每100千米平均耗油量为486＝8(升).3.(2018·大同模拟)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就要减少20个,为了赚得最大利润,每个售价应定为()A.85元B.90元C.95元D.100元答案 C【解析】设每个售价定为x元,则利润y＝(x－80)[400－(x－90)·20]＝－20·[(x－95)2－225],∴当x＝95时,y最大.4.国家规定某行业征税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p ＋2)%征税,有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%,则该公司的年收入是()A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元答案 D【解析】设该公司的年收入为x万元(x>280),则有280×p%＋(x－280)(p＋2)%x＝(p＋0.25)%,解得x＝320.故该公司的年收入为320万元.5.某大型民企为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2017年B.2018年C.2019年D.2020年答案 D【解析】设从2016年起,过了n(n∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元,则130×(1＋12%)n≥200,则n≥lg2013lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8,由题意取n＝4,则n＋2 016＝2 020.故选D.6.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1＝4.1x－0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2＝2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元答案 C【解析】设公司在A地销售该品牌的汽车x辆,则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆,所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1()x－10.52＋0.1×10.52＋32.因为x∈[0,16]且x∈N,所以当x＝10或11时,总利润取得最大值43万元.7.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则k ＝________,经过5小时,1个病毒能繁殖为________个. 答案 2ln 2 1 024【解析】 当t ＝0.5时,y ＝2,∴2＝12e k ,∴k ＝2ln 2,∴y ＝e 2t ln 2,当t ＝5时,y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.8.(2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后,从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿 千克.答案1909【解析】 前10天满足一次函数关系,设为y ＝kx ＋b (k ≠0),将点(1,10)和点(10,30)代入函数【解析】式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209,b ＝709,所以y ＝209x ＋709,则当x ＝6时,y ＝1909.9.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x 为 m.答案 20【解析】 设内接矩形另一边长为y m, 则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40,解得y ＝40－x ,所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40), 所以当x ＝20时,S max ＝400.10.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数),广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大的广告效应,投入的广告费应为 .(用常数a 表示) 答案 14a 2【解析】 令t ＝A (t ≥0),则A ＝t 2, ∴D ＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋14a 2, ∴当t ＝12a ,即A ＝14a 2时,D 取得最大值.11.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资,假设以v km/h 的速度直达灾区,已知某市到灾区公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202 km,那么这批物资全部到达灾区的最少时间是 h.(车身长度不计) 答案 12【解析】 设全部物资到达灾区所需时间为t h,由题意可知,t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间,因此,t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ≥12, 当且仅当36v 400＝400v ,即v ＝2003时取“＝”.故这些汽车以2003km/h 的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间为12 h.12.某书商为提高某套丛书的销售量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x 元时,销售量可达到(15－0.1x )万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格,问:(1)每套丛书售价定为100元时,书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大？解 (1)每套丛书售价定为100元时,销售量为15－0.1×100＝5(万套),此时每套供货价格为30＋105＝32(元),书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元).(2)每套丛书售价定为x 元时,由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0，解得0＜x ＜150. 依题意,单套丛书利润P ＝x －⎝⎛⎭⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x －30,所以P ＝－⎣⎡⎦⎤(150－x )＋100150－x ＋120.因为0＜x ＜150,所以150－x >0, 则(150－x )＋100150－x≥2(150－x )·100150－x＝2×10＝20,当且仅当150－x ＝100150－x,即x ＝140时等号成立,此时,P max ＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时,单套丛书的利润最大,最大值为100元.13.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比,且比例系数为k ,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,当这艘轮船的速度为 海里/时时,总费用最小. 答案 40【解析】 设每小时的总费用为y 元, 则y ＝k v 2＋96,又当v ＝10时,k ×102＝6, 解得k ＝0.06,所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96,匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时,故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥20.6v ×960v ＝48,当且仅当0.6v ＝960v ,即v ＝40时等号成立. 故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.14.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a ,最高销售限价b (b >a )以及实数x (0＜x ＜1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里,x 被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得,最佳乐观系数x ＝ . 答案5－12【解析】 由题意得x ＝c －ab －a ,(c －a )2＝(b －c )(b －a ),∵b －c ＝(b －a )－(c －a ),∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a ), 两边同除以(b －a )2,得x 2＋x －1＝0, 解得x ＝－1±52.∵0＜x ＜1,∴x ＝5－12.15.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T 0,经过一定时间t (单位:min)后的温度是T ,则T －T a ＝(T 0－T a )⎝⎛⎭⎫12th,其中T a 称为环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡,放在21 ℃的房间中,如果咖啡降到37 ℃需要16 min,那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃,还需要 min. 答案 8【解析】 由题意知T a ＝21 ℃. 令T 0＝85 ℃,T ＝37 ℃,得37－21＝(85－21)·⎝⎛⎭⎫1216h ,∴h ＝8. 令T 0＝37 ℃,T ＝29 ℃,则29－21＝(37－21)·⎝⎛⎭⎫128t,∴t ＝8. 16.某禁毒机构测定,某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服用毒品后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定,每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态,求服用毒品后重度躁动状态的持续时间.解 (1)由题中图象,设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1.当t ＝1时,由y ＝4,得k ＝4；由⎝⎛⎭⎫121－a＝4,得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.50,得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.50或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.50，解得18≤t ≤4,因此服用毒品后重度躁动状态持续4－18＝318(小时).。

§4.6 正弦定理和余弦定理最新考纲 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．概念方法微思考1．在△ABC 中，∠A >∠B 是否可推出sin A >sin B? 提示 在△ABC 中，由∠A >∠B 可推出sin A >sin B .2．如图，在△ABC 中，有如下结论：b cos C ＋c cos B ＝a .试类比写出另外两个式子．提示 a cos B ＋b cos A ＝c ； a cos C ＋c cos A ＝b .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( × ) (3)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( √ )(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ ) 题组二 教材改编2．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为 ． 答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为 ． 答案 2 3解析 ∵23sin 60°＝4sin B，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，∴AB ＝2，∴S △ABC ＝12×2×23＝2 3.题组三 易错自纠4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c <b cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 由已知及正弦定理得sin C <sin B cos A ， ∴sin(A ＋B )<sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， 又sin A >0，∴cos B <0，∴B 为钝角， 故△ABC 为钝角三角形．5．(2018·桂林质检)在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．6．(2018·包头模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C ＝ . 答案2π3解析 由3sin A ＝5sin B 及正弦定理，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝⎝⎛⎭⎫53b 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.题型一 利用正弦、余弦定理解三角形例1 (2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B， 可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝217. 因为a <c ，所以cos A ＝277.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．跟踪训练1 (1)(2018·天津河西区模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，则B 的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 D解析 因为sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ， 所以b 2－c 2－a 2＝3ac ， 即a 2＋c 2－b 2＝－3ac ， 则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32，又0°<B <180°，则B ＝150°.(2)如图所示，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为．答案66解析 设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3.在△ABD 中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63.在△BDC 中，BDsin C ＝BCsin ∠BDC，∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2018·济南模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos A －a cos B ＝2c .(1)证明：tan B ＝－3tan A ；(2)若b 2＋c 2＝a 2＋3bc ，且△ABC 的面积为3，求a . (1)证明 根据正弦定理，由已知得sin B cos A －cos B sin A ＝2sin C ＝2sin(A ＋B )，展开得sin B cos A －cos B sin A ＝2(sin B cos A ＋cos B sin A )， 整理得sin B cos A ＝－3cos B sin A ， 所以tan B ＝－3tan A .(2)解 由已知得b 2＋c 2－a 2＝3bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，由0<A <π，得A ＝π6，tan A ＝33，∴tan B ＝－3，由0<B <π，得B ＝2π3，所以C ＝π6，a ＝c ，由S ＝12ac sin 2π3＝12×32a 2＝3，得a ＝2.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 跟踪训练2 (1)(2018·承德质检)若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( ) A ．2 2 B.32 C.23D ．3 2 答案 A解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x .根据三角形的面积公式， 得S △ABC ＝12·AB ·BC sin B ＝x1－cos 2B .①根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x .②将②代入①，得 S △ABC ＝x1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 24x 2＝128－(x 2－12)216.由三角形的三边关系，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是________． 答案332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6. ① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab . ②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三 正弦定理、余弦定理的应用命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 答案 C解析 方法一 由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b＝c ，从而△ABC 为等腰三角形．方法二 由正弦定理可得sin A ＝2sin B cos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， 于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形．(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．引申探究1．本例(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0.又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．本例(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三角形． 命题点2 求解几何计算问题例4 (2018·云南11校跨区调研)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD＝7，AB ⊥BC.(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．解 (1)因为AD ∶AB ＝2∶3，所以可设AD ＝2k ， AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，所以由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，所以AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)因为AB ⊥BC ，所以cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217， 所以sin ∠DBC ＝277，所以BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，所以CD ＝7×27732＝433.思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．跟踪训练3 (1)(2018·安徽六校联考)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 ∵cos 2B2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．(2)(2018·洛阳统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝ . 答案 4解析 依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，sin ∠ACD ＝25.又∠ACD 是锐角， 因此cos ∠ACD ＝1－sin 2 ∠ACD ＝15. 在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4，AD sin ∠ACD ＝CDsin A ，sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝15 .在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，BC ＝AC ·sin Asin B＝4.1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°， 即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝23，C ＝30°，则B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．30°或60° D ．60°或120°答案 D解析 ∵c ＝2，b ＝23，C ＝30°，∴由正弦定理可得 sin B ＝b sin C c ＝23×122＝32，由b >c ，可得30°<B <180°，∴B ＝60°或B ＝120°.3．(2018·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.14 C ．1 D ．2 答案 A解析 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2，p ＝⎝⎛⎭⎫c ，cos C2共线，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 答案 A解析 ∵向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B2共线， ∴a cos B 2＝b cos A2.由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A2.∴2sin A 2cos A 2 cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A2.则sin A 2＝sin B 2.∵0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，即A ＝B .同理可得B ＝C .∴△ABC 的形状为等边三角形．故选A.5．(2018·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9π D ．36π 答案 C解析 c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223，得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，R ＝3，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B解析 因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列， 所以sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理得b 2＝ac ， 又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.7．(2018·成都模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为 ． 答案 π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，又0<B <π，∴B ＝π3或2π3. 8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ .答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即332＝b 12， 解得b ＝1.9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为 ． 答案3＋1解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝7π12， ∴sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3 ＝6＋24.则S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.10.如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD＝3，则BD 的长为________．答案3解析 因为sin ∠BAC ＝223，且AD ⊥AC ，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠BAD ＝223，所以cos ∠BAD ＝223，在△BAD 中，由余弦定理，得BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223＝ 3.11．(2018·珠海模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A . (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .(1)证明 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得 sin A ＝sin B ·sin Acos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)解 由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6. sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 12．(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2，所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.13．在△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝23ab sin C ，则△ABC 的形状是( ) A ．不等腰的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．钝角三角形 D ．正三角形 答案 D解析 易知a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 2＋a 2＋b 2－2ab cos C ＝23ab sin C ，即a 2＋b 2＝2ab sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6，由于a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以2ab sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6≥2ab ，sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6≥1，故只能a ＝b 且C ＋π6＝π2，所以△ABC 为正三角形．14．(2018·大理模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________． 答案 12解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22， 则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，∴△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.15．在△ABC 中，C ＝60°，且asin A ＝2，则△ABC 面积S 的最大值为 ．答案334解析 由C ＝60°及c sin C ＝a sin A＝2，可得c ＝ 3. 由余弦定理得3＝b 2＋a 2－ab ≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)， ∴S ＝12ab sin C ≤12×3×32＝334，∴△ABC 的面积S 的最大值为334.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，且sin B ＝1＋cos C ，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，即b 2＋c 2－a 2＝3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0<A <π，∴A ＝π6.又sin B ＝1＋cos C,0<sin B <1， ∴cos C <0，即C 为钝角， ∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π3＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，sin C ＝32，cos C ＝－12， 在△ACM 中，由余弦定理得 AM 2＝b 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2b ·a2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。

阶段强化练(七)一、选择题1．(2019·成都诊断)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( )A ．长轴长为12B ．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32 答案 D解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得x 2116＋y 214＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32.故选D. 2．双曲线x 23－y 29＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 答案 C解析 因为x 23－y 29＝1， 所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b ax ， 即为y ＝±3x ，故选C.3．(2019·河北衡水中学调研)已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±3xC ．y ＝±13x D ．y ＝±33x 答案 A解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A.4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( )A.45B.35C.34D.15答案 A解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34， 又b 2＋c 2＝a 2⇒⎝⎛⎭⎫34c 2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[2，＋∞)C ．(1，3]D ．[3，＋∞)答案 A解析 双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A.6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( )A.13B.23C.23D.223答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0<k <1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝8k 2－4， ①x 1x 2＝4， ②根据抛物线定义及|F A |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2， ③且x 1>0，x 2>0，由②③解得x 1＝4，x 2＝1，代入①得k 2＝89， ∵0<k <1，∴k ＝223.故选D. 7．(2019·唐山模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，则E 的离心率为( )A ．2 B.2147 C ．2 2 D ．2 3 答案 C解析 由题意，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，即b a＝7，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝22，故选C.8．(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x答案 A解析 如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .整理，得b ＝2a .所以b a ＝ 2. 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.9．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR |等于( )A ．2 B. 3 C ．2 3 D ．3答案 A解析 由抛物线C ：y 2＝4x ，得焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥QF ，所以四边形QMRF 为平行四边形，|FR |＝|QM |，又由PQ 垂直l 于点Q ，可知|PQ |＝|PF |，因为∠NFR ＝60°，所以△PQF 为等边三角形，所以FM ⊥PQ ，所以|FR |＝2，故选A.10．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32C. 3 D ．2 答案 A解析 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a.又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13， 即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a， 所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a ＝ 2. 11．(2019·湖南长沙长郡中学调研)已知点P (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于不同的两点A ，B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点( )A.⎝⎛⎭⎫12，0 B ．(1,0) C ．(2,0) D ．(－2,0)答案 B解析 根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x ＝ty ＋m (t ≠0)，与抛物线方程联立，消元得y 2－2ty －2m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP ，BP 的斜率互为相反数，所以y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝0， 所以2ty 1y 2＋(m ＋1)(y 1＋y 2)＝0，结合根与系数之间的关系，整理得出2t (－2m )＋2tm ＋2t ＝0,2t (m －1)＝0，因为t ≠0，所以m ＝1，所以过定点(1,0)，故选B.12．(2019·陕西四校联考)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22等于( ) A ．4 B ．2 3 C ．2 D ．3答案 A解析 如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3， 则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos2π3， 化简得3a 21＋a 22＝4c 2， 该式可变成3e 21＋1e 22＝4.故选A. 二、填空题13．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．答案 2 2解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2. 14．(2019·新乡模拟)设P 为曲线2x ＝4＋y 2上一点，A (－5，0)，B (5，0)，若|PB |＝2，则|P A |＝________.答案 4解析 由2x ＝4＋y 2，得4x 2＝4＋y 2(x >0)， 即x 2－y 24＝1(x >0)， 故P 为双曲线x 2－y 24＝1右支上一点， 且A ，B 分别为该双曲线的左、右焦点，则|P A |－|PB |＝2a ＝2，|P A |＝2＋2＝4.15．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，直线y ＝k (x －1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则|AB |·|CD |的值是________．答案 1解析 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|AB |·|CD |＝(|AF |－1)(|DF |－1)＝(x 1＋1－1)(x 2＋1－1)＝x 1x 2，由y ＝k (x －1)与y 2＝4x 联立方程消y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，x 1x 2＝1，因此|AB |·|CD |＝1.16．(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|P A ||PB |＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足|P A ||PB |＝2，△P AB 的面积最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则椭圆的离心率为________． 答案 32解析 依题意A (－a ,0)，B (a ,0)，设P (x ，y )，依题意得|P A |＝2|PB |，(x ＋a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，两边平方化简得⎝⎛⎭⎫x －53a 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫43a 2， 故圆心为⎝⎛⎭⎫5a 3，0，半径r ＝4a 3. 所以△P AB 的最大面积为12·2a ·43a ＝163，解得a ＝2， △PCD 的最小面积为12·2b ·⎝⎛⎭⎫5a 3－4a 3＝b ·a 3＝23， 解得b ＝1.故椭圆的离心率为e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－14＝32. 三、解答题17．(2019·湖南长沙长郡中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －3)2＋(y －b )2＝r2(r为正数，b∈R)．(1)若对任意给定的r∈(0，＋∞)，直线l：y＝－x＋r＋4总能把圆M的周长分成3∶1的两部分，求圆M的标准方程；(2)已知点A(0,3)，B(1,0)，且r＝103，若线段AB上存在一点P，使得过点P的某条直线与圆M交于点S，T(其中|PS|<|PT|)，且|PS|＝|ST|，求实数b的取值范围．解(1)根据题意可得，圆心到直线的距离为22r恒成立，即|3＋b－r－4|2＝22r，整理得|b－1－r|＝r，去绝对值符号可得b－1－r＝r或b－1－r＝－r，根据恒成立，可得b＝1，所以圆M的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝r2.(2)根据题意，如果存在满足条件的点，对应的边界值为过圆心的弦，而从另一个角度，即为线段端点值满足条件即可，先考虑点A，即为|AM|≤3r，即(0－3)2＋(b－3)2≤9×109，解得2≤b≤4，再考虑点B，即为|BM|≤3r，即(1－3)2＋b2≤10，解得－6≤b≤6，两者取并集，得到b的取值范围是[－6，4]．18.(2019·陕西四校联考)已知抛物线C：y2＝2px过点A(1,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)．设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．(1)解由题意得2p＝1，所以抛物线方程为y2＝x.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN 的方程为x ＝t (y ＋1)＋3， 代入抛物线方程得y 2－ty －t －3＝0. 所以Δ＝(t ＋2)2＋8>0，y 1＋y 2＝t ，y 1y 2＝－t －3.所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1－1y 21－1·y 2－1y 22－1＝1(y 1＋1)(y 2＋1)＝1y 1y 2＋y 1＋y 2＋1 ＝1－t －3＋t ＋1＝－12， 所以k 1·k 2是定值．。

第十编计数原理§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础自测1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（）A.7B.64C.12D.81答案C2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（）A.6B.5C.3D.2答案B3.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有不同的选法种数为（）A.9B.20C.54D.45答案B4.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（）A.34种B.43种C.18种D.36种答案D5.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？解（1）“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+5=16种.(2)“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：选老师有3种方法，选学生有8+5=13种方法，共有3×13=39种方法.(3)“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有3×8×5=120种方法.例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解方法一按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.方法二按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，所以按分类计数原理共有：1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）.例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?解（1）确定平面上的点P(a,b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法.根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6×6=36.（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0,所以有3种确定方法；第二步确定b,由于b＞0，所以有2种确定方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2=6.（3）点P（a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y=x 上的点有6个.由（1）得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.例3（12分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）. 3分（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040（种）. 6分（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，10分所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）. 12分1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?解当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法.当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,2种取法.当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法.……当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,…,20,10种取法.当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,…,20,9种取法.……当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法.由分类加法计数原理可得共有1+2+3+…+10+9+8+…+1=100种取法.2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？解先分三步选号，再计算总钱数.按号段选号，分成三步.第一步从01至17中选3个连续号，有15种选法；第二步从19至29中选2个连续号，有10种选法；第三步从30至36中选1个号，有7种选法.由分步乘法计数原理可知，满足要求的号共有15×10×7=1 050(注),故至少要花1 050×2=2 100(元).3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？解（1）分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分类计数原理，共有6+7+8=21种不同的选法.（2）每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分步计数原理，共有6×7×8=336种不同的选法.（3）分三类，每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7+6×8+7×8=146种不同选法.一、选择题1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A.10种B.20种C.25种D.32种答案D2.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”个数为（）A.2 000B.4 096C.5 904D.8 320答案C3.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（）A.3B.4C.6D.8答案D4.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有（）A.180种B.120种C.96种D.60种答案A5.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有（）A.6种B.8种C.36种D.48种答案D6.（2020·全国Ⅰ文，12）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A.6种B.12种C.24种D.48种答案B二、填空题7.在2020年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有种.答案 2 8808.若一个m,n均为非负整数的有序数对（m,n)，在做m+n的加法时各位均不会进位，则称（m,n)为“简单的”有序数对，m+n称为有序数对（m,n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是 .答案300三、解答题9.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四个都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有：3×3×3×3=81种报名方法.（2）完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有：4×4×4=43=64种可能的情况.10.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解完成该件事可分步进行.涂区域1，有5种颜色可选.涂区域2，有4种颜色可选.涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选.若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选.所以共有5×4×（1×4+3×3）=260种涂色方法.11.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5.求这样的点P的个数.解按点P的坐标a将其分为6类:(1)若a=1,则b=5或6,有2个点;(2)若a=2,则b=5或6,有2个点;(3)若a=3,则b=5或6或4,有3个点;(4)若a=4,则b=3或5或6,有3个点;(5)若a=5,则b=1,2,3,4,6,有5个点;(6)若a=6,则b=1,2,3,4,5,有5个点;∴共有2+2+3+3+5+5=20（个）点.12.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？解设由左到右五块田中要种a,b,c三种作物，不妨先设第一块种a,则第二块可种b,c,有两种选法.同理，如果第二块种b,则第三块可种a和c,也有两种选法，由分步乘法计数原理共有1×2×2×2×2=16.其中要去掉ababa和acaca两种方法.故a种作物种在第一块田中时的种法数有16-2=14（种）.同理b种或c种作物种在第一块田中时的种法数也都为14种.所以符合要求的种植方法共有3×(2×2×2×2-2)=3×(16-2)=42(种).§10.2 排列与组合1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ ）A .9个B .24个C .36个D.54个答案 D2.（2020·福建理，7）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）A .14B .24C .28D.48答案 A3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有 （ ）A .A 77B .A 37C .C 18A 77D.C 18A 37答案 C4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是（ ）A .C 16C 294B .C 16C 299C .C 3100-C 394D.A 3100-A 394答案 C5.（2020·上海理，12）组合数C r n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A .11++n r C 11--r nB .(n +1)(r +1)C 11--r nC .nr C 11--r nD.rn C 11--r n 答案 D例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （1）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻； （3）甲、乙不相邻； （4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲、乙站在两端； （6）甲不站左端，乙不站右端.解 （1）方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A 14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A 55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A 14·A 55=480（种）.方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A 25种站法，然后中间4人有A 44种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A 25·A 44=480（种）.方法三 若对甲没有限制条件共有A 66种站法，甲在两端共有2A 55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：A 66-2A 55=480（种）.基础自测（2）方法一先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A55·A22=240（种）站法.方法二先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A15种方法，最后让甲、乙全排列，有A22种方法，共有A44·A15·A22=240（种）.（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A25种站法，故共有站法为A44·A25=480（种）.也可用“间接法”，6个人全排列有A66种站法，由（2）知甲、乙相邻有A55·A22=240种站法，所以不相邻的站法有A66-A55·A22=720-240=480（种）.（4）方法一先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A22种，故共有A44·（3A22）=144（种）站法.方法二先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A24种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A33种方法，最后对甲、乙进行排列，有A22种方法，故共有A24·A33·A22=144（种）站法.（5）方法一首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44=48（种）站法.方法二首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A44种站法，由分步乘法计数原理共有A22·A44=48（种）站法.（6）方法一甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，共有A66-2A55+A44=504（种）站法.方法二以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A55种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A14·A14·A44种，故共有A55+A14·A14·A44=504（种）站法.例2（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.解（1）第一步：选3名男运动员，有C36种选法.第二步：选2名女运动员，有C24种选法.共有C36·C24=120种选法. 3分（2）方法一至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46+C24C36+C34C26+C44C16=246种. 6分方法二“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“至少有1名女运动员”的选法为C510-C56=246种. 6分（3）方法一可分类求解：“只有男队长”的选法为C48；“只有女队长”的选法为C48；“男、女队长都入选”的选法为C38；所以共有2C48+C38=196种选法. 9分方法二间接法：从10人中任选5人有C510种选法.其中不选队长的方法有C58种.所以“至少1名队长”的选法为C510-C58=196种. 9分（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法.其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有C48-C45种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C49+C48-C45=191种. 12分例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？解（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22=144种.（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有C24种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有222 22 4 A CC·A22种方法.故共有C24( C34C11A22+222 22 4 A CC·A22）=84种.1.用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.解 (1)先排个位，再排首位，共有A13·A14·A24=144（个）.(2)以0结尾的四位偶数有A35个，以2或4结尾的四位偶数有A12·A14·A24个，则共有A35+ A12·A14·A24=156（个）.(3)要比3 125大，4、5作千位时有2A35个，3作千位，2、4、5作百位时有3A24个，3作千位，1作百位时有2A13个，所以共有2A35+3A24+2A13=162（个）.2.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解（1）只需从其他18人中选3人即可，共有C318=816（种）.（2）只需从其他18人中选5人即可，共有C518=8 568（种）.（3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C418+C318=6 936（种）.（4）方法一（直接法）至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C112C48+C212C38+C312C28+C412C18=14 656（种）.方法二（间接法）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C520-（C58+C512)=14 656(种）.3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.解（1）分三步：先选一本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；对于余下的三本全选有C33种选法，由分步乘法计数原理知有C16C25C33=60种选法.（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有C 16C 25C 33A 33=360种选法.（3）先分三步，则应是C 26C 24C 22种选法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为（AB ，CD ，EF ），则C 26C 24C 22种分法中还有（AB 、EF 、CD ），（CD 、AB 、EF ）、（CD 、EF 、AB ）、（EF 、CD 、AB ）、（EF 、AB 、CD ）共有A 33种情况，而且这A 33种情况仅是AB 、CD 、 EF 的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分法有33222426A C C C =15种.（4）在问题（3）的工作基础上再分配，故分配方式有33222426A C C C ·A 33= C 26C 24C 22=90种.一、选择题1.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有（ ）A .60个B .48个C .36个D .24个答案 C2.将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法的种数为（ ）A .6B .10C .20D .30答案 B3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A .1 440种B .960种C .720种D .480种答案 B4.在图中，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读（不能跳读），共有不同的读法种数是（ ）A .250B .240C .252D .300答案 C5.(2020·天津理，10)有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 （ ）A .1 344种B .1 248种C .1 056种D .960种答案 B6.（2020·安徽理，12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）A .C 28A 23B .C 28A 66C .C 28A 26D .C 28A 25答案C二、填空题7.（2020·海滨模拟）平面α内有四个点，平面β内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定个平面，任取四点，最多可确定个四面体.（用数字作答）.答案72 1208.（2020·浙江理，16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻.这样的六位数的个数是 .（用数字作答）答案40三、解答题9.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？解可先分组再分配，据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有C23A24种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A34种方案.由分类加法计数原理可知共有C23A24+A34=60种方案.10.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有一名女生；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选.解（1）一名女生，四名男生，故共有C15·C48=350（种）.（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311=165（种）.（3）至少有一名队长含有两类：有一名队长和两名队长.故共有：C12·C411+C22·C311=825（种）.或采用间接法：C513-C511=825（种）.（4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为C25·C38+C15·C48+C58=966（种）.11.已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点.（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解（1）所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α，β本身.∴所作的平面最多有C14·C26+C24·C16+2=98（个）.（2）所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C 24·C 26个；α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C 34·C 16个.∴最多可作出的三棱锥有：C 14·C 36+C 24·C 26+C 34·C 16=194（个）.（3）∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等, 且平面α∥β，∴体积不相同的三棱锥最多有C 36+C 34+C 26·C 24=114（个）.12.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？ 解 ∵前排中间3个座位不能坐， ∴实际可坐的位置前排8个，后排12个.（1）两人一个前排，一个后排，方法数为C 18·C 112·A 22种；（2）两人均在后排左右不相邻，共A 212-A 22·A 111=A 211种；（3）两人均在前排，又分两类：①两人一左一右，共C 14·C 14·A 22种；②两人同左同右，有2（A 24-A 13·A 22）种.综上可知，不同排法种数为C 18·C 112·A 22+A 211+C 14·C 14·A 22+2（A 24-A 13·A 22）=346种.§10.3 二项式定理1.在（1+x ）n (n ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n 等于（ ）A .8B .9C .10D .11答案 C2.在（a 2-2a 31）n 的展开式中，（ ）A .没有常数项B .当且仅当n =2时，展开式中有常数项 C.当且仅当n =5时，展开式中有常数项 D.当n =5k (k ∈N +)时，展开式中有常数项 答案 A3.若多项式0C n (x +1 n ）-C 1n (x +1)n -1+…+(-1)r C r n (x +1)n -r +…+(-1)n C n n =a 0x n +a 1x n -1+…+a n -1x +a n ,则a 0+a 1+…+a n -1+a n 等于（ ）A .2nB .0C .-1D .1答案 D4.（2020·山东理，9）(x -31x)12展开式中的常数项为（ ）基础自测A .-1 320B .1 320C .-220D .220答案 C5.（2020·福建理，13）若(x -2)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= .（用数字作答） 答案 31例1 在二项式(x +421x)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，2n ，81n (n -1)， ∴2·2n =1+81n （n -1）， 解得n =8或n =1（不合题意，舍去）， ∴T k +1=C k 8x28k -k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421x =C k 82-k x 4-43k ， 当4-43k ∈Z 时，T k +1为有理项， ∵0≤k ≤8且k ∈Z ,∴k =0，4，8符合要求. 故有理项有3项，分别是 T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2561x -2.∵n =8，∴展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大.T 5=835x . 例2 已知(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7. 求:(1)a 1+a 2+…+a 7; (2)a 1+a 3+a 5+a 7; (3)a 0+a 2+a 4+a 6;(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|.解 令x =1,则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=-1 ①令x =-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37②(1)∵a 0=C 07=1,∴a 1+a 2+a 3+…+a 7=-2. (2)(①-②)÷2,得a 1+a 3+a 5+a 7=2317--=-1 094.(3)(①+②)÷2, 得a 0+a 2+a 4+a 6=2317+-=1 093. (4)∵(1-2x )7展开式中,a 0,a 2,a 4,a 6都大于零, 而a 1,a 3,a 5,a 7都小于零, ∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7| =(a 0+a 2+a 4+a 6)-(a 1+a 3+a 5+a 7),∴由(2)、（3）即可得其值为2 187.例3（12分）（1）已知n∈N+,求证：1+2+22+23+…+25n-1能被31整除；（2）求0.9986的近似值，使误差小于0.001.（1）证明 1+2+22+23+…+25n-1=21215--n=25n-1=32n-1 3分=（31+1）n-1=31n+C1n·31n-1+C2n·31n-2+…+C1-n n·31+1-1=31（31n-1+C1n·31n-2+…+C1-n n）5分显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除. 6分（2）解∵0.9986=（1-0.002）6=1-C16（0.002）+C26（0.002）2-C36（0.002）3+…8分第三项T3=15×(0.002)2=0.000 06＜0.001,以后各项更小,∴0.9986≈1-0.012=0.988. 12分1.在（3x-2y）20的展开式中，求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项；（3）系数最大的项.解（1）二项式系数最大的项是第11项，T11=C1020310（-2）10x10y10=C1020610x10y10.（2）设系数绝对值最大的项是第r+1项，于是⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅≥⋅⋅----+-+-1211202020119120202023C23C23C23Crrrrrrrrrrrr，化简得⎩⎨⎧≥--≥+rrrr3)21(2)20(2)1(3，解得752≤r≤852.所以r=8,即T9=C820312·28·x12y8是系数绝对值最大的项.（3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大，于是⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅≥⋅⋅----------rrrrrrrrrrrr222022022222222042224422022222222023C23C23C23C，化简得⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+9241631007711431022rrrr.解之得r=5,即2×5-1=9项系数最大.T9=C820·312·28·x12y8.2.求x (1-x )4+x 2(1+2x )5+x 3(1-3x )7展开式中各项系数的和. 解 设x (1-x )4+x 2(1+2x )5+x 3(1-3x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n在原式中，令x =1,则1×(1-1)4+12×(1+2)5+13×(1-3)7=115, ∴展开式中各项系数的和为115. 3.求证:3n ＞(n +2)·2n -1（n ∈N +，n ＞2）.证明 利用二项式定理3n =(2+1)n 展开证明.因为n ∈N +，且n ＞2,所以3n =(2+1)n 展开后至少有4项.（2+1）n =2n +C 1n ·2n -1+…+C 1-n n ·2+1≥2n +n ·2n -1+2n +1＞2n +n ·2n -1=(n +2)·2n -1,故3n ＞(n +2)·2n -1.一、选择题1.（1-2x )6=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 6|的值为（ ）A .1B .64C .243D .729答案 D2.（2020·安徽理，6）设（1+x ）8=a 0+a 1x +…+a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为（ ） A .2 B .3 C .4 D .5答案 A3.（2020·全国Ⅱ理，7）(1-x )6(1+x )4的展开式中x 的系数是（ ）A .-4B .-3C .3D .4答案 B 4.已知(x -xa )8展开式中常数项为1 120，其中实数a 为常数，则展开式中各项系数的和为 （ ）A .28B .38C .1或38D .1或28答案 C5.若(1+5x 2)n 的展开式中各项系数之和是a n ,（2x 3+5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ,则nn n b a 13+的值为（ ） A .31B .21 C .1 D .3答案 A6.设m ∈N +,n ∈N +,若f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n 的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A .31B .40C .31或40D .不确定答案 C 二、填空题7.（1+x ）6(1-x )4展开式中x 3的系数是 . 答案 -88.（2020·天津理，11）52⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中x 2的系数是 .（用数字作答） 答案 40 三、解答题 9.已知(x +22x)n (n ∈N +)的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为10∶1.求展开式中系数最大的是第几项？解 依题意，第5项的系数为C 4n ·24，第三项的系数为C 2n ·22，则有2244C 2C 2nn ⋅⋅=110，解得n =8. 设展开式中第r +1项的系数最大，则⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--118811882C 2C ,2C 2C r r rr r r r r 解得5≤r ≤6. ∴第6项和第7项的系数相等且最大， 即最大为56×25=7×28=1 792.10.已知（32x +3x 2）n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.解 令x =1，得各项的系数和为(1+3)n =4n ，而各项的二项式系数和为：C 0n +C 1n +…+C n n =2n ，∴4n =2n +992. ∴(2n -32)(2n +31)=0∴2n =32或2n =-31（舍去），∴n =5 设第r +1项的系数最大，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--;3C 3C ,3C 3C 11551155r r rr r r r r 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥;1351,613r r r r ∴27≤r ≤29，又r ∈Z ，∴r =4， ∴系数最大的项是T 5=C 45x 32(3x 2)4=405x326.11.（1）求(x 2-x21)9的展开式中的常数项； （2）已知(x a -2x )9的展开式中x 3的系数为49，求常数a 的值；（3）求（x 2+3x +2）5的展开式中含x 的项. 解 （1）设第r +1项为常数项，则T r +1=C r9(x 2）9-r ·(-x 21)r =(-21)r C r 9x r318- 令18-3r =0,得r =6,即第7项为常数项.。

§2.4 幂函数与二次函数最新考纲 1.通过实例,了解幂函数的概念.2.结合函数y ＝x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1x,y ＝12x 的图象,了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地,形如y ＝x α的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较2.二次函数的图象和性质概念方法微思考1.二次函数的【解析】式有哪些常用形式？ 提示 (1)一般式:y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式:y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式:y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).2.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),写出f (x )≥0恒成立的条件. 提示 a >0且Δ≤0.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),x ∈[a ,b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × )(2)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )(3)函数y ＝122x 是幂函数.( × )(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ ) (5)当n ＜0时,幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数.( × ) 题组二 教材改编2.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22,则k ＋α等于( )A.12B.1C.32 D.2 答案 C【解析】 由幂函数的定义,知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝⎛⎭⎫12α. ∴k ＝1,α＝12.∴k ＋α＝32.3.已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞,6)内单调递减,则a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a ≤3 C.a ＜－3 D.a ≤－3答案 D【解析】 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是x ＝－2a ,由函数在区间(－∞,6)内单调递减可知,区间(－∞,6)应在直线x ＝－2a 的左侧, ∴－2a ≥6,解得a ≤－3,故选D. 题组三 易错自纠 4.幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数,且f (x )在区间(0,＋∞)上是减函数,则a 等于( )A.3B.4C.5D.6 答案 C【解析】 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2, f (x )＝2(5)2a x－－(a ∈Z )为偶函数,且在区间(0,＋∞)上是减函数, 所以(a －5)2－2＜0,从而a ＝4,5,6,又(a －5)2－2为偶数,所以只能是a ＝5,故选C.5.已知函数y ＝2x 2－6x ＋3,x ∈[－1,1],则y 的最小值是______. 答案 －1【解析】 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1,∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减,∴y min ＝2－6＋3＝－1.6.设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0),若f (m )＜0,则f (m －1)________0.(填“>”“＜”或“＝”) 答案 >【解析】 f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12,且f (1)>0,f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1),∴m －1＜0,∴f (m －1)>0.题型一 幂函数的图象和性质1.若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14,则它的单调递增区间是( ) A.(0,＋∞) B.[0,＋∞) C.(－∞,＋∞) D.(－∞,0)答案 D【解析】 设f (x )＝x α,则2α＝14,α＝－2,即f (x )＝x －2,它是偶函数,单调递增区间是(－∞,0).故选D.2.若四个幂函数y ＝x a ,y ＝x b ,y ＝x c ,y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示,则a ,b ,c ,d 的大小关系是( )A.d >c >b >aB.a >b >c >dC.d >c >a >bD.a >b >d >c 答案 B【解析】 由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x 轴,由题图知a >b >c >d ,故选B.3.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称,且在(0,＋∞)上是减函数,则n 的值为( )A.－3B.1C.2D.1或2 答案 B【解析】 由于f (x )为幂函数,所以n 2＋2n －2＝1,解得n ＝1或n ＝－3,经检验只有n ＝1符合题意,故选B.4.(2018·潍坊模拟)若(a ＋1)13－＜(3－2a )13－,则实数a 的取值范围是____________.答案 (－∞,－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32 【解析】 不等式(a ＋1)13－＜(3－2a )13－等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a ＜a ＋1＜0或a ＋1＜0＜3－2a ,解得a ＜－1或23＜a ＜32.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R ),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其【解析】式.(2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x 轴.(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 题型二 求二次函数的【解析】式例1 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3,对∀x ∈R ,都有f (1＋x )＝f (1－x )成立,则f (x )的【解析】式为________________. 答案 f (x )＝x 2－2x ＋3 【解析】 由f (0)＝3,得c ＝3, 又f (1＋x )＝f (1－x ),∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称, ∴b2＝1,∴b ＝2, ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1,则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x【解析】 设函数的【解析】式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0), 所以f (x )＝ax 2＋2ax ,由4a ×0－4a 24a＝－1,得a ＝1,所以f (x )＝x 2＋2x .思维升华 求二次函数【解析】式的方法跟踪训练1 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ,b ∈R ,a ≠0),x ∈R ,若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0,则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1【解析】 设函数f (x )的【解析】式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0), 又f (x )＝ax 2＋bx ＋1,所以a ＝1, 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3),它在x 轴上截得的线段长为2,并且对任意x ∈R ,都有f (2－x )＝f (2＋x ),则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3【解析】 因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立,所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2,所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的【解析】式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0),又f (x )的图象过点(4,3),所以3a ＝3,即a ＝1,所以f (x )的【解析】式为f (x )＝(x －1)(x －3),即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象例2 (2018·重庆五中模拟)一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C【解析】 若a >0,则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数,二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上,故可排除A ；若a ＜0,一次函数y ＝ax ＋b 为减函数,二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下,故可排除D ；对于选项B,看直线可知a >0,b >0,从而－b2a＜0,而二次函数的对称轴在y 轴的右侧,故应排除B,选C.命题点2 二次函数的单调性例3 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1,＋∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是( ) A.[－3,0) B.(－∞,－3] C.[－2,0] D.[－3,0]答案 D【解析】 当a ＝0时,f (x )＝－3x ＋1在[－1,＋∞)上单调递减,满足题意. 当a ≠0时,f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a,由f (x )在[－1,＋∞)上单调递减,知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上,a 的取值范围为[－3,0]. 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1,＋∞),则a ＝________.答案 －3【解析】 由题意知f (x )必为二次函数且a ＜0, 又3－a 2a ＝－1,∴a ＝－3. 命题点3 二次函数的最值例4 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4,求实数a 的值. 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时,函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去；(2)当a >0时,函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数,最大值为f (2)＝8a ＋1＝4,解得a ＝38；(3)当a ＜0时,函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数,最大值为f (－1)＝1－a ＝4,解得a ＝－3. 综上可知,a 的值为38或－3.引申探究将本例改为:求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值. 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2,∴f (x )的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12即a >－12时,f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5,(2)当－a ≥12即a ≤－12时,f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ,综上,f (x )max＝⎩⎨⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题例5 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ,且f (0)＝1,若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立,则实数m 的取值范围为____________. 答案 (－∞,－1)【解析】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),由f (0)＝1,得c ＝1,又f (x ＋1)－f (x )＝2x ,得2ax ＋a ＋b ＝2x ,所以a ＝1,b ＝－1,所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立,即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立,令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54－m ,x ∈[－1,1],g (x )在[－1,1]上单调递减,所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0,所以m ＜－1.(2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1),若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立,则a 的最大值为________. 答案 2【解析】 令a x ＝t ,因为a >1,x ∈[－1,1],所以1a ≤t ≤a ,原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2,t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ,显然g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增,所以f (x )≤8恒成立,即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立,所以有a 2＋3a －2≤8,解得－5≤a ≤2,又a >1,所以a 的最大值为2. 思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意:(1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解).(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路:一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域. 跟踪训练2 (1)函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0,＋∞))是单调函数的充要条件是( ) A.b ≥0 B.b ≤0 C.b >0 D.b ＜0答案 A【解析】 ∵函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0,＋∞))是单调函数,∴图象的对称轴x ＝－b2在区间[0,＋∞)的左边或－b 2＝0,即－b2≤0,得b ≥0.(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ,值域为[1,＋∞),则a 的值为________. 答案 －1或3【解析】 由于函数f (x )的值域为[1,＋∞), 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4, 当x ∈R 时,f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1, 即a 2－2a －3＝0,解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2,对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )>0,则实数a 的取值范围为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【解析】 由题意得a >2x －2x 2对1＜x ＜4恒成立,又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12,14＜1x ＜1, ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12,∴a >12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质,可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题,要明确参数对图象的影响,进行分类讨论.例 设函数f (x )＝x 2－2x ＋2,x ∈[t ,t ＋1],t ∈R ,求函数f (x )的最小值.解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1,x ∈[t ,t ＋1],t ∈R ,函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1,即t ≤0时,函数图象如图(1)所示,函数f (x )在区间[t ,t ＋1]上为减函数, 所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ＜1＜t ＋1,即0＜t ＜1时,函数图象如图(2)所示,在对称轴x ＝1处取得最小值,最小值为f (1)＝1；当t ≥1时,函数图象如图(3)所示,函数f (x )在区间[t ,t ＋1]上为增函数,所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知,f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.1.幂函数y ＝f (x )经过点(3,3),则f (x )是( ) A.偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数 B.偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数 C.奇函数,且在(0,＋∞)上是减函数 D.非奇非偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数 答案 D【解析】 设幂函数的【解析】式为y ＝x α,将(3,3)代入【解析】式得3α＝3,解得α＝12,∴y＝12x ,故选D. 2.幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示,则m 的值为( )A.0B.1C.2D.3答案 C【解析】 ∵y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点,∴m 2－4m ＜0,即0＜m ＜4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z , ∴m 2－4m 为偶数,∴m ＝2.3.若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x －＋在(0,＋∞)上为增函数,则m 的值为( )A.1或3B.1C.3D.2 答案 B【解析】 由题意得m 2－4m ＋4＝1,m 2－6m ＋8>0, 解得m ＝1.4.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方,则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 答案 C【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120.5.已知a ,b ,c ∈R ,函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1),则( ) A.a >0,4a ＋b ＝0 B.a ＜0,4a ＋b ＝0 C.a >0,2a ＋b ＝0 D.a ＜0,2a ＋b ＝0答案 A【解析】 由f (0)＝f (4),得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b2a＝2,∴4a ＋b ＝0,又f (0)>f (1),f (4)>f (1),∴f (x )先减后增,于是a >0,故选A.6.已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ,x ∈[0,1]有最大值2,则a 等于( ) A.2 B.0 C.0或－1 D.2或－1答案 D【解析】 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1,其图象的对称轴方程为x ＝a .当a ＜0时,f (x )max ＝f (0)＝1－a ,所以1－a ＝2,所以a ＝－1；当0≤a ≤1时,f (x )max ＝f (a )＝a 2－a＋1,所以a 2－a ＋1＝2,所以a 2－a －1＝0,所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时,f (x )max ＝f (1)＝a ,所以a ＝2.综上可知,a ＝－1或a ＝2.7.已知f (x )＝x 2,g (x )＝12x ,h (x )＝x－2,当0＜x ＜1时,f (x ),g (x ),h (x )的大小关系是________________.答案 h (x )>g (x )>f (x )【解析】 分别作出f (x ),g (x ),h (x )的图象如图所示,可知h (x )>g (x )>f (x ).8.已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49,且方程f (x )＝0的两个实根之差的绝对值等于7,则此二次函数的【解析】式是________________.答案 f (x )＝－4x 2－12x ＋40【解析】 设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49(a ≠0), 方程a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49＝0的两个实根分别为x 1,x 2, 则|x 1－x 2|＝2 －49a＝7, 所以a ＝－4,所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40.9.已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数,那么f (2)的取值范围是______________.答案 [7,＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数,由于其图象(抛物线)开口向上,所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧,即应有a －12≤12,解得a ≤2,所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7,即f (2)≥7.10.设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ,n ]上的值域是[－6,2],则m ＋n 的取值范围是______________.答案 [0,4]【解析】 令f (x )＝－6,得x ＝－1或x ＝3；令f (x )＝2,得x ＝1.又f (x )在[－1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,∴当m ＝－1,n ＝1时,m ＋n 取得最小值0；当m ＝1,n ＝3时,m ＋n 取得最大值4.11.(2018·河南南阳一中月考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1,若对于任意x ∈[m ,m ＋1],都有f (x )＜0成立,则实数m 的取值范围是____________.答案 ⎝⎛⎭⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上,所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0， 解得－22＜m ＜0. 12.已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2,x ∈[－2,3]时,求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1,求实数a 的值.解 (1)当a ＝2时,f (x )＝x 2＋3x －3,x ∈[－2,3],函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3], ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214, f (x )max ＝f (3)＝15,∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1,即a ≥－12时,f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3, ∴6a ＋3＝1,即a ＝－13,满足题意； ②当－2a －12>1,即a ＜－12时, f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1,∴－2a －1＝1,即a ＝－1,满足题意.综上可知,a ＝－13或－1.13.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分,图象过点A (－3,0),对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论:①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b .其中正确的是( )A.②④B.①④C.②③D.①③ 答案 B【解析】 因为图象与x 轴交于两点,所以b 2－4ac >0,即b 2>4ac ,①正确；对称轴为x ＝－1,即－b 2a＝－1,2a －b ＝0,②错误； 结合图象,当x ＝－1时,y >0,即a －b ＋c >0,③错误；由对称轴为x ＝－1知,b ＝2a .又函数图象开口向下,所以a ＜0,所以5a ＜2a ,即5a ＜b ,④正确.14.当x ∈(1,2)时,不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立,则m 的取值范围是________.答案 (－∞,－5]【解析】 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4＜0对x ∈(1,2)恒成立,∴mx ＜－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立,即m ＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立, 令y ＝x ＋4x ,x ∈(1,2),则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数.∴4＜y ＜5,∴－5＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＜－4, ∴m ≤－5.方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4,当x ∈(1,2)时,由f (x )＜0恒成立,得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15.若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0,＋∞)上单调递增,求实数m 的取值范围.解 当0≤x ＜1时,φ(x )＝x 2－mx ＋m ,此时φ(x )单调递增,则m 2≤0,即m ≤0； 当x ≥1时,φ(x )＝x 2＋mx －m ,此时φ(x )单调递增,则－m 2≤1,即m ≥－2.综上,实数m 的取值范围是[－2,0].16.是否存在实数a ∈[－2,1],使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时,值域为[－2,2]？若存在,求a 的值；若不存在,请说明理由.解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2,当－2≤a ＜－1时,f (x )在[－1,1]上为增函数,∴由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时,由⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1； 当0＜a ≤1时,由⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－2，f (－1)＝2，得a 不存在； 综上可得,存在实数a 满足题目条件,a ＝－1.。

第45练 不等式的概念与性质答案精析基础保分练1．D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.B 7.A 8.C 9.②③④⑤ 10.P >Q能力提升练1．D [对于A ，∵b >c >1，∴b c>1， ∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >1，故错误；对于B ，若c －a b －a >c b，则bc －ab >bc －ca ， 即a (c －b )>0，这与b >c >1矛盾，故错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0，∵b >c >1，则c a －1>b a －1，故错误； 对于D ，∵b >c >1，∴log c a <log b a ，故正确，故选D.]2．A [由a x <a y (0<a <1)知，x >y ，所以x 3>y 3，A 正确；对于B ，取x ＝2π3， y ＝π3，x >y ，此时sin x ＝sin y ， 即sin x >sin y 不成立；对于C ，取x ＝1，y ＝－2，x >y ，此时ln 2<ln 5，即ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)不成立；对于D ，取x ＝2，y ＝－1，x >y ，此时15<12， 即1x 2＋1>1y 2＋1不成立，故选A.] 3．D [∵a >1,0<c <b <1，∴log b 2 018<0，log a 2 018>0，∴log b 2 018<log a 2 018，∴A 正确；∵0>log a b >log a c ，∴1log a b <1log a c， ∴log b a <log c a ，∴B 正确；∵c a <b a ，c －b <0，∴(c －b )c a >(c －b )b a ，∴C 正确；∵a c <a b ，a －c >0，∴(a －c )a c <(a －c )a b ，∴D 错误，故选D.]4．B [取x ＝y ＝0，则f (0)－f (0)＝f (0)，所以f (0)＝0.设－1<x <y <1，则－1<x －y 1－xy<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy >0，所以f (x )>f (y )，所以函数f (x )在(－1,1)上为减函数． 由f (x )－f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ， 得f (x )＝f (y )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ， 取y ＝15，x －y 1－xy ＝111，则x ＝27， 所以P ＝f ⎝⎛⎭⎫15＋f ⎝⎛⎭⎫111＝f ⎝⎛⎭⎫27.因为0<27<12， 所以f (0)>f ⎝⎛⎭⎫27>f ⎝⎛⎭⎫12，所以R >P >Q .]5.⎣⎡⎦⎤49，22 解析 根据a >0，b >0，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2b ，2b ≤2a ＋b ， 求得12≤a b ≤2，2ab a 2＋2b 2＝2a b ＋2b a， 令a b＝t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， 则t ＋2t ∈⎣⎡⎦⎤22，92， 所以2t ＋2t∈⎣⎡⎦⎤49，22. 6.⎝⎛⎭⎫35，＋∞解析 由数列b 5，b 6，b 7，…，b n (n ≥5，n ∈N *)是“减差数列”，得b n ＋2－b n ＋1<b n ＋1－b n (n ≥5)，即2t －tn 2－n 2n －1＋2t －t (n ＋2)2－(n ＋2)2n ＋1<2⎣⎡⎦⎤2t －t (n ＋1)2－(n ＋1)2n ， 化简得t (n 2－4n )>n －2，当n ≥5时，若t (n 2－4n )>n －2恒成立，则t >n －2n 2－4n ＝1(n －2)－4n －2恒成立，又当n ≥5时，1(n －2)－4n －2的最大值为35，则t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫35，＋∞.。

高中数学学习材料唐玲出品有人曾做过摸底调查，对20个因素在高考成功中的作用进行排名，结果考场心态、考前心态、考试策略技巧、临场发挥，分别排在第一、第二、第五、第七位．确实，高考成功主要靠二个因素：一靠高考硬件，平时掌握知识的程度，学习能力；二靠高考软件，考前的心态，考中的心态．实力是基础，发挥是关键，它是高考成功最关键、最主要、最基础的因素．一个考生的失利可能失在知识的掌握上，也可能失在答卷的策略和技巧上，还可能失在心态上，这其中的任何环节都是成功的必要保证，不可忽视．一、心态策略（一）考前心态高考成功与否，确实关系到今后的路将如何走．但它并不能决定考生一生的前途和幸福，人一生中奋进的机会很多，高考只不过是其中之一，俗话说得好：条条道路通罗马．即使一时落榜，也可另走他路成才，要做到一颗红心，多种准备，千万不要将生命的赌注全部押在高考这一颗法码上，致使心理压力过大．唯有轻装上阵，才能发挥水平．在临考的前几天，考生往往随着较大的心理压力，表现出心神不宁、忐忑不安等种种焦躁情绪．更有的考生会因为恐惧，抓住最后几天死拼，搞得疲惫不堪．殊不知这些都是临考大忌．心理学的研究表明，一个人的考试焦虑水平和其思维效率成倒“U”形．因此，考生应利用临考前的一段时间调整出情绪稳定、精力充沛、充满自信的身心状态．具体地说，临考前，考生应把自己从繁重的学习中解放出来，采取各种方法放松身心，如增加轻度的体育锻炼，拣起自己喜欢的、不耗时间的爱好，吃好、睡好，使自己的精神像“洗”过一样崭新，以便从容地走进考场．这期间，考生可以根据自己的实际情况进行一些自信训练、放松训练，下面就介绍一种排除考试焦虑的常用方法——系统脱敏训练．训练程序如下：考生在睡觉前放松的时候，在大脑中想象自己在考试中的全过程，以及考场上可能出现的突发情况，如想象自己进考场时十分紧张，还遇到了不会做的难题，而且考试时间也不够用．注意，将考场上的惊慌想象得越细致越具体越好．临考前如能每天坚持这种训练，你就会发现自己并不那么恐惧考试了，而且考试应变能力也会有所提高．越是临近高考，心态的调节越重要，因此可以说，调节好心态是高考成功的一半．如何调整好心态，概括为16个字：强化信心，优化情绪，进入状态，充分发挥．（二）考中心态高考是紧张、激烈的脑力劳动，需要考生全身心投入，且处于最佳状态，以保证每分钟都能积极思维．考试开始前，考生应像运动员比赛前先做准备活动一样，摒弃与高考无关的一切杂念，排除种种可能在考场中分散注意力的因素，适当热身，提前进入“角色”．考试中要克服六种不良心态．1、偏急心态．考试时，有些考生为了抢时间，刚拿到试题，情绪急躁，没有审清题设条件，慌忙答题，这种心态称作偏急心态．正确的做法是：拿到试题，先大致浏览一下，做到心中有数．每做一题，不要急于动手，先看清题设条件，挖掘隐晦信息．根据条件，设计出先求什么，后求什么，再求什么，使解题有顺序地进行．2、犹豫心态．一接触到试题，好象有不少思路，但对每一种思路又感到模糊朦胧，不知如何是好，犹豫不定，迟迟不下笔，此谓犹豫心态．正确做法：仔细分析题目，选取自己感到比较适合的思路，进行解答操作．3、烦躁心态．经过几次的尝试，仍不得其解，心情烦躁不安，再尝试，再失败，烦躁更甚．这种烦躁心态，堵塞了思路，失去了灵感，妨碍了能力及水平的发挥．正确做法：静下心，不急躁，将这个题目打上记号暂时放一下，继续做下面的题目．4、固执心态．考试时，久攻不下的试题，又不愿意放弃，又不愿意转换思考角度，苦思冥想，徒然浪心态．正确做法：告诫自己必须冷静，不要被胜利冲昏头脑．（三）考后心态——糊涂孤独出考场每考完一科，大家都会叽叽喳喳议论答案，当发现自己做得不对时就很沮丧、很难过，根本没有心情复习下一门．和同学对答案是考试结束后的大忌，是一种破坏性的行为，只会造成更加的慌乱、怀疑、沮丧．因此，考生走出考场后应做到两点：一是越糊涂越好．不要去回想考试内容，不要回忆自己的答案，更不要翻书去验证．只要出了考场，就要坚决“忘掉一切”．二是尽量避免与同学同行．因为同学在一起，总免不了要议论考试内容，这势必引起自己对考试的回想和怀疑，从而引起情绪波动．总之，出了考场，考生就应把全部注意力迅速转移到下一个科目，为下一场考试思维高潮的出现打好基础．二、答题策略（一）评卷情况评卷坚持三个原则：1．阅卷力求公平；2．标准把握基本到位；3．给分相对宽松几种情况：1．如果一个大题由几个小题组成，即使前面小题错了或未做，后面小题做对，后边分数全给；2．前面的错引起后面结果出错，但方法用对，则后边给一半分；3．一题中给分点不平衡；4．有能力者分数不会低．（不追求综合题解题的格式规范与严谨）特别忠告：1．写新再删旧；2．有比留空好；3．用好草稿纸；4．得分用时率（二）时间安排走进考场，大多数考生都会紧张的，这时要注意平衡心绪，首先，做一次深呼吸，然后告诫自己：“欲速则不达”，“不要着急，按时交卷就行了”；然后通过浏览全卷，大致了解试题的类型、数量、分值和试题的难易，进而确定题目相应的作答时间．分配时间要服从于考试成功的目的，基本原则就是保证在能够得分的地方不丢分，不容易得分的地方争取尽可能多得分．在具体操作上，要求考生做到“量菜吃饭”，按“分数时间比”实用原则，分值大的题目多花些时间，分值小的题目少花一些时间；一看就会做的题目先花时间，需要考虑一下才能解答的题目放在第二梯队完成；难度最大的或从来没有见到过的题目，放在最后攻关．记住：考场上的时间是“一寸光阴一寸金”，你必须精打细算，其核心是让时间为你高考得分最大值这一目的服务．时间安排大致可以是这样的：Ⅰ卷30分钟左右，最多不要超过40分．（三）小题战术：小题指的是选择题与填空题，先谈选择题的处理．解选择题的基本原则：小题不要大做．解选择题的的基本策略：1.能定性判断的不要定量计算．2.能用间接法的不要用直接法．3.能用特殊方法的不要用常规方法．4.能归筛选排除的用筛选排除．高考数学应试答题技巧一、考前准备1．调适心理，增强信心（1）合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考；（2）合理安排饮食，提高睡眠质量；（3）保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示；（4）静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试。