第二章点、直线、平面之间的位置关系
§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1平面
1．A 2.D 3.C 4.D
5．0
6．A∈m
7. 解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，
即点S在交线上，
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD
和平面SAC的
交线．
8．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1D∥\l2，
∴l1、l2交于一点，记交点为P.
∵P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3交于一点．
9．C10.C
11．③
12．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴E、C、D1、F四点共面．
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1．D2．C3．B
4．D 5.平行或异面
6．(1)60°(2)45°
7．(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH 綊12AD .又BC 綊1
2AD ，
∴GH 綊BC ，
∴四边形BCHG 为平行四边形．
(2)解 由BE 綊1
2AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ，
∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．
又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．
8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，
又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.
(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，
∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ，
∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，
又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.
9．D 10．B 11．①③
12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．
(2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相
交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在
Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝1
2AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.
13．解 如图，取AC 的中点P .
连接PM 、PN ，
则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝1
2CD ，
所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，
若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，
所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)．
又因AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，
所以∠PMN＝60°，
即AB与MN所成的角为60°.
若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，
即AB与MN所成的角为30°.
故直线AB和MN所成的角为60°或30°.
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4平面与平面之间的位置关系
1．D2．C3．D4．C
5.平行、相交或异面
6．b⊂α，b∥α或b与α相交
7．解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，
a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β
＝l.
8．证明∵直线a∥平面α，
∴直线a与平面α无公共点．
∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.
∴直线a与b无公共点．
∵a⊂β，∴a∥b.
9．D10.D11.平行或相交
12．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，
由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，
∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．
又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.
∵α∥β，∴α与β无公共点，
又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.
13．解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；
图(1)图(2)
