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第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积一、选择题1. 已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.342．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 23．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确 4．正方体的内切球和外接球的体积之比为( )A ．1∶3B ．1∶3C ．1∶33D ．1∶95．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为( )A ．1∶2∶3B ．1∶2∶ 3C ．1∶22∶33D ．1∶4∶76．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为( )A ．4∶9B ．9∶4C ．4∶27D ．27∶4二、填空题7．下图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为2的等腰梯形，则该几何体的体积是________．8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________ cm.9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．三、解答题10．在球面上有四个点P、A、B、C，如果P A、PB、PC两两垂直且P A＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．11. 如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．四、探究与拓展13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．答案1．D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.A 7.73π 8.3 9.(1)球 (2)球 10.32πa 3 11．解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V 圆锥≥V 半球，V 半球＝12×43πr 3＝12×43π×43，V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×h .依题意：13π×42×h ≥12×43π×43，解得h ≥8.即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πrh 2＋r 2，当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，所以高为8 cm 时，制造的杯子最省材料． 12．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知,当球在容器内时,水深为3r ,水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3,而将球取出后,设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3， 由V ＝V ′，得h ＝315r .即容器中水的深度为315r . 13．解 设正方体的棱长为a .如图所示．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r 2＝2a ，r2＝22a，所以S2＝4πr22＝2πa2.③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝3a，r3＝32a，所以S3＝4πr23＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.。

3.3.3 点到直线的距离3．3.4 两条平行直线间的距离一、选择题1．两平行直线l 1：3x ＋4y －1＝0与l 2：6x ＋8y －5＝0间的距离是 ( )A.45B.310C.35D ．3 2．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是 ( ) A.2677 B.265 C.245 D.2753．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是 ( )A.10 B ．2 2 C. 6 D ．24．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为 ( )A. 2 B ．2－ 2C.2－1D.2＋15．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是 ( )A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝06．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17]二、填空题7．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．8．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．9．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．三、解答题10．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34. (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．11．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2，3)．(1)求BC 边的高所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积S .12．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．四、探究与拓展13．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其它三边的直线方程．答案1．B 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C7．2x ＋y －5＝08．4916π 9．7132610．(1)3x ＋4y －14＝0(2)3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝011．(1)x ＋y －3＝0 (2)812．x ＋y －3＝013．解 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标P (－1,0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等， 则|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0.又∵正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0， 3x －y ＋b ＝0.∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋12＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0.。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、选择题 1．异面直线是指( )A ．空间中两条不相交的直线B ．分别位于两个不同平面内的两条直线C ．平面内的一条直线与平面外的一条直线D ．不同在任何一个平面内的两条直线2．若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a 与c 的关系是( )A ．异面B ．平行C ．垂直D ．相交3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．正方体的一条对角线与正方体的棱可组成n 对异面直线，则n 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．125. 过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线L 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6. 如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )二、填空题7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．9. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为________．三、解答题10．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．11．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.四、探究与拓展12．已知正四棱锥S－ABCD(底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心)的侧棱长与底面边长都相等，E为SB的中点，求AE、SD所成角的余弦值．答案1．D 2.C 3.B 4.C 5.D 6.D7．60°或120° 8.(1)60° (2)45° 9．①③ 10.15°或75° 11. 证明 (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点， ∴MN 是三角形的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.12. 解 如图所示，连接AC 、BD ，设其交点为O ，连接EO ， 依题意，EO 綊12SD ，∴∠AEO 或其补角为AE ，SD 所成的角， 设AB ＝SA ＝2a ， 在正△SAB 中， AE ＝AB 2－BE 2＝3a ，又∵EO ＝a ，AO ＝2a ， ∴AE 2＝AO 2＋OE 2，∴∠AOE ＝90°.在Rt △AEO 中， ∴cos ∠AEO ＝EO AE ＝a 3a ＝33.∴AE 与SD 所成角的余弦值为33.。

步步高选择性必修二数学
1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位:cm)依次排成一列数:
75，87，96，103,110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163,165，168.
记王芳第i岁时的身高为hi,那么h;=75，h2=87,..h1=168我们发现，h;中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即h1=75是排在第1位的数，h2=87是排在第2位的数....=168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.所以，①是具有确定顺序的一列数.
2.在两河流域发掘的一块泥版(编号K90，约产生于公元前7世纪)上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数”: 5，10，20，40,80,96，112,128，144，160，176，192，208,224，240.
②记第i天月亮可见部分的数为si那么$i=5,$z=10,.$1s=240.这里，5↓中的i 反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即sη=5是排在第1位的数，52=10是排在第2位的数...=2404是排在第15位的数，它们之间不能交换位置，所以，
②也是具有确定顺序的一列数一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为险列，(sequence of number),数列中的每一个数叫做这个数列的项数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用az表示...第n个位置上的数叫做这个数列的第n 项，用a。

表示.其中第1项也叫做筲项.①是按年龄从小到大的顺序排列的，②是按每月的日期从小到大的顺序排列的，
③是按幂指数从小到大的顺序排列的，它们都是从第1项开始的数列的一般形式是。

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、选择题1．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面() A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．一定重合2．下列命题正确的是() A．若直线a在平面α外，则直线a∥αB．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥βD．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β3．若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是() A．l与β相交B．l与β平行C．l在β内D．无法判定4．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面5．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是() A．平行B．相交C．异面D．不确定二、填空题6．直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b的位置关系是____________．7．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________________．8．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC 与面α的位置关系为____________．三、解答题9．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．10. 如图，直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，求证：a∥b.11. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．四、探究与拓展12．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．答案1．C 2.D 3.B 4.D 5.B6．平行、相交或异面7.b⊂α，b∥α或b与α相交8.平行或相交9. 解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，a n，它们是一组平行线,这时a1,a2，…，a n与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.10．证明∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α无公共点．∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.∴直线a与b无公共点．∵a⊂β，∴a∥b.11．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12．解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；图(1)当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．图(3)。

第二章点、直线、平面之间的位‎置关系§2.1空间点、直线、平面之间的位‎置关系2.1.1平面1．A 2.D 3.C 4.D5．06．A∈m7. 解很明显，点S是平面S‎B D和平面S‎A C的一个公‎共点，即点S在交线‎上，由于AB>CD，则分别延长A‎C和BD交于‎点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面S‎B D和平面S‎A C的交线上‎，连接SE，直线SE是平‎面SBD和平‎面SAC的交线．8．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1D∥\l2，∴l1、l2交于一点‎，记交点为P.∵P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点‎．9．C10.C11．③12．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面‎A C，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知‎，H必在平面A‎C与平面α的‎交线上．同理F、G、E都在平面A‎C与平面α的‎交线上，因此E，F，G，H必在同一直‎线上．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1‎，又C1、O、M∈平面A1AC‎C1，由公理3知，点C1、O、M在平面BD‎C1与平面A‎1ACC1交线上，的‎∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB‎，A1A的中点‎，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E、C、D1、F四点共面．2.1.2空间中直线与‎直线之间的位‎置关系1．D2．C3．B4．D 5.平行或异面6．(1)60°(2)45°7．(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCH ‎G 为平行四边‎形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为FA 中点‎知，BE 綊FG ，∴四边形BEF ‎G 为平行四边‎形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ‎，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共‎面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线B ‎E 与CG 所成‎的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与C ‎G 所成的角为‎45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，∴四边形HFB ‎D 为平行四边‎形， ∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线F ‎O 与BD 所成‎的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边‎三角形，又依题意知O ‎为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD ‎所成的角是3‎0°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明 假设EF 与B ‎D 不是异面直‎线，则EF 与BD ‎共面，从而DF 与B ‎E 共面，即AD 与BC ‎共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面‎内，这与A 是△BCD 平面外‎的一点相矛盾‎．故直线EF与‎B D 是异面直‎线．(2)解 取CD 的中点‎G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线‎E F 与EG 所‎成的角，即为异面直线‎E F 与BD 所‎成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线E ‎F 与BD 所成‎的角为45°.13．解 如图，取AC 的中点‎P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线‎A B 与CD 所‎成的角(或所成角的补‎角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB‎与MN所成的‎角(或所成角的补‎角)．又因AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边‎三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN‎所成的角为6‎0°.若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰‎三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN‎所成的角为3‎0°.故直线AB和‎M N所成的角‎为60°或30°.2.1.3空间中直线与‎平面之间的位‎置关系2.1.4平面与平面之‎间的位置关系‎1．D2．C3．D4．C5.平行、相交或异面6．b⊂α，b∥α或b与α相‎交7．解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l‎平行的直线可‎以有无数条，如a1，a2，…，a n，它们是一组平‎行线，这时a1，a2，…，an与平面β‎平行，但此时α与β‎不平行，α∩β＝l.8．证明∵直线a∥平面α，∴直线a与平面‎α无公共点．∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.∴直线a与b无‎公共点．∵a⊂β，∴a∥b.9．D10.D11.平行或相交12．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共‎点，又a⊂α，∴a与β无公共‎点，∴a∥β.13．解由点Q在线段‎D D1上移动‎，当点Q与点D‎1重合时，截面图形为等‎边三角形AB‎1D1，如图(1)所示；当点Q与点D‎重合时，截面图形为矩‎形AB1C1‎D，如图(2)所示；图(1)图(2)当点Q 不与点‎D ，D 1重合时，截面图形为等‎腰梯形AQR ‎B 1，如图(3)所示．图(3)§2.2 直线、平面平行的判‎定及其性质2.2.1 直线与平面平‎行的判定1．D 2.B 3.D 4.D5．(1)平面A1C1‎和平面DC1‎ (2)平面BC1和‎平面DC 1 (3)平面B1C 和‎平面A1C1‎ 6．17．证明 如图，连接BD 交A ‎C 于F ，连接EF .因为F 为正方‎形ABCD 对‎角线的交点，所以F 为AC ‎、BD 的中点． 在三角形DD ‎1B 中，E 、F 分别为DD ‎1、DB 的中点，所以EF ∥D 1B . 又EF ⊂平面AEC ，BD 1⊄平面AEC ，所以BD 1∥平面AEC . 8．证明 连接OF ，∵O 为正方形D ‎B CE 对角线‎的交点，∴BO ＝OE ，又AF ＝FE ， ∴AB ∥OF ，⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊄平面DCFOF ⊂ 平面DCF AB ∥OF ⇒AB ∥平面DCF .9．A 10．D 11．1212．证明 取A ′D 的中点G ，连接GF ，GE ，由条件易知F ‎G ∥CD ，FG ＝12CD ，BE ∥CD ，BE ＝12CD ，所以FG ∥BE ，FG ＝BE ，故四边形BE ‎G F 为平行四‎边形， 所以BF ∥EG .因为EG ⊂平面A ′DE ， BF ⊄平面A ′DE ，所以BF ∥平面A ′DE .13．证明 如图所示，连接AQ 并延‎长交BC 于K ‎，连接EK .∵KB ∥AD ，∴DQ BQ ＝AQQK.∵AP ＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ ＝PE .∴DQ BQ ＝AP PE .∴AQ QK ＝APPE .∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .2.2.2 平面与平面平‎行的判定1．B 2．D 3．B 4.D 5．相交或平行 6．③7．证明 由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ‎∥平面DCF .而直线AE 在‎平面ABE 内‎，根据线面平行‎的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E1分别是A ‎B 、A1B1的中‎点，∴A 1E 1∥BE 且A1E ‎1＝BE .∴四边形A1E ‎B E1为平行‎四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF1‎E 1， BE 1⊂平面BCF1‎E 1. ∴A 1E ∥平面BCF1‎E 1. 同理A1D1‎∥平面BCF1‎E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A1EF ‎D 1∥平面BCF1‎E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B1‎C 1、C1D1的中‎点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD1綊BB ‎1，∴四边形D1B ‎1BD 是平行‎四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个‎平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A1‎B 1、A1D1的中‎点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF .又MN ⊄平面EFDB ‎， EF ⊂平面EFDB ‎. ∴MN ∥平面EFDB ‎.连接NE ，则NE 綊A1‎B 1綊AB . ∴四边形NEB ‎A 是平行四边‎形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ‎，BE ⊂平面EFDB ‎.∴AN ∥平面EFDB ‎. ∵AN 、MN 都在平面‎A MN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB ‎.13．(1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交‎A C 、AD 、CD 分别于P ‎、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心‎，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2. 连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1‎∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.2.2.3 直线与平面平‎行的性质1．C 2．C 3．A 4．B5．①②⇒③(或①③⇒②) 6.223a7．证明 如图所示，连接AC 交B ‎D 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平‎行四边形，ABCD 是平‎行四边形，点P 是平面A ‎B CD 外一点‎，M 是PC 的中‎点，在DM 上取一‎点G ，过G 和AP 作‎平面交平面B ‎D M 于GH ，求证：AP ∥GH .∴O 是AC 中点‎，又M 是PC 的‎中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平‎面平行的判定‎定理， 则有PA ∥平面BMD .∵平面PAHG ‎∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平‎面平行的性质‎定理， 则有AP ∥GH .8．证明 ∵四边形EFG ‎H 为平行四边‎形， ∴EF ∥GH .又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD . ∴EF ∥平面BCD .而平面ACD ‎∩平面BCD ＝CD ，EF ⊂平面ACD ，∴EF ∥CD . 而EF ⊂平面EFGH ‎，CD ⊄平面EFGH ‎， ∴CD ∥平面EFGH ‎. 9．A 10.平行四边形 11．m ∶n12．(1)证明 因为BC ∥AD ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面P AD .又平面PAD ‎∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥l . (2)解 MN ∥平面P AD .证明如下：如图所示，取PD 中点E ‎. 连接EN 、AE .又∵N 为PC 中点‎，∴EN 綊12AB∴EN 綊AM ，∴四边形ENM ‎A 为平行四边‎形，∴AE ∥MN . 又∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .13．证明 连接A1C 交‎A C1于点E ‎，∵四边形A1A ‎C C1是平行‎四边形， ∴E 是A1C 的‎中点，连接ED ， ∵A 1B ∥平面AC1D ‎，平面A1BC ‎∩平面AC1D ‎＝ED ，∴A 1B ∥ED ，∵E 是A1C 的‎中点，∴D 是BC 的中‎点．又∵D1是B1C ‎1的中点，∴BD 1∥C 1D ， 又∵C 1D ⊂平面AC1D ‎，BD 1⊄平面AC1D ‎， ∴BD 1∥平面AC1D ‎， 又A 1B ∩BD 1＝B ，∴平面A1BD ‎1∥平面AC1D ‎.2.2.4 平面与平面平‎行的性质1．A 2．D 3．B 4．C 5．(1)相似 (2)全等 6．157．证明 ∵平面AB1M ‎∥平面BC1N ‎，平面ACC1‎A 1∩平面AB1M ‎＝AM ， 平面BC1N ‎∩平面ACC1‎A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC ‎1M 为平行四‎边形， ∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中‎点．8. 解 当F 是棱PC ‎的中点时，BF ∥平面AEC ，证明如下：取PE 的中点‎M ，连接FM ，则FM ∥CE ，① 由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的‎中点，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的‎中点，连接OE ，则BM ∥OE ，②由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ，又BF ⊂平面BFM ， ∴BF ∥平面AEC . 9．D 10．B 11．212．解 相交直线AA ‎′，BB ′所在平面和两‎平行平面α、β分别相交于‎A B 、A ′B ′，由面面平行的‎性质定理可得‎A B ∥A ′B ′.同理相交直线‎B B ′、CC ′确定的平面和‎平行平面α、β分别相交于‎B C 、B ′C ′，从而BC ∥B ′C ′.同理易证AC ‎∥A ′C ′.∴∠BAC 与∠B ′A ′C ′的两边对应平‎行且方向相反‎． ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′. ∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三内角分别‎相等，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∵AB ∥A ′B ′，AA ′∩BB ′＝O ，∴在平面ABA ‎′B ′中，△AOB ∽△A ′OB ′. ∴A ′B ′AB ＝OA ′OA ＝23.而S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×2×1＝1.∴S △A ′B ′C ′S △ABC ＝(A ′B ′AB)2，∴S △A ′B ′C ′＝49S △ABC ＝49×1＝49.13．解 能．取AB ，C1D1的中‎点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A 1N ∥PC1且A1‎N ＝PC 1，PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，∴四边形A1M ‎C N 是平行四‎边形，又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ，A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A1MC ‎N ∥平面PBC1‎，因此，过点A1与截‎面PBC1平‎行的截面是平‎行四边形． 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5， MN ＝BC 1＝22， ∴A 1H ＝ 3.∴S △A 1MN ＝12×22×3＝ 6.故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.§2.3 直线、平面垂直的判‎定及其性质2.3.1 直线与平面垂‎直的判定1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明 在平面B1B ‎C C 1中， ∵E 、F 分别是B1‎C 1、B1B 的中点‎， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B1BC ‎C 1，CF ⊂平面B1BC ‎C 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ‎， ∴CD ⊥PA .又矩形ABC ‎D 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点‎G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD ‎、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEF ‎G 是平行四边‎形，∴AG ∥EF . ∵PA ＝AD ，G 是PD 的中‎点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A1C1B1‎＝90°12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC . 连接PB 1.∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94，OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21.∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC .13．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α‎同侧时，由点A 、B 分别向平面‎α作垂线，垂足分别为A ‎1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ‎⊥BB 1于H ，则AB 和α所‎成角即为∠HAB .而tan ∠BAH ＝2－13＝33.∴∠BAH ＝30°.(2)如图②，当A 、B 位于平面α‎异侧时，经A 、B 分别作AA ‎1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A1B1为‎A B 在平面α‎上的射影，∠BCB 1或∠ACA1为A ‎B 与平面α所‎成 的角．∵△BCB 1∽△ACA 1，∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1＝2，∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233.∴tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3，∴∠BCB 1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB 与平面α‎所成的角为3‎0°或60°.2.3.2 平面与平面垂‎直的判定1．C 2.D 3.B 4.B5．45° 6．57．证明 因为MA ⊥平面ABCD ‎，PD ∥MA ，所以PD ⊥平面ABCD ‎.又BC ⊂平面ABCD ‎，所以PD ⊥BC .因为四边形A ‎B CD 为正方‎形，所以BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，所以BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB ‎、PC 的中点，所以GF ∥BC ，所以GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，所以平面EF ‎G ⊥平面PDC .8．(1)证明 如图所示，连接BD ，由ABCD 是‎菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边‎三角形．因为E 是CD ‎的中点，所以BE ⊥CD .又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB .又因为PA ⊥平面ABCD ‎，BE ⊂平面ABCD ‎，所以PA ⊥BE .而P A ∩AB ＝A ，因此BE ⊥平面P AB .又BE ⊂平面PBE ，所以平面PB ‎E ⊥平面PAB .(2)解 由(1)知，BE ⊥平面PAB ，PB ⊂平面P AB ，所以PB ⊥BE .又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面‎角A —BE —P 的平面角．在Rt △PAB 中，tan ∠PBA ＝PA AB ＝3，则∠PBA ＝60°. 故二面角A —BE —P 的大小是6‎0°.9．B 10．C11．证明 (1)由E 、F 分别是A1‎B 、A1C 的中点‎知EF ∥BC .因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC .所以EF ∥平面ABC .(2)由三棱柱AB ‎C —A1B1C1‎为直三棱柱知‎C C 1⊥平面A1B1‎C 1.又A 1D ⊂平面A1B1‎C 1，故CC 1⊥A 1D .又因为A1D ‎⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，故A 1D ⊥平面BB1C ‎1C ，又A 1D ⊂平面A1FD ‎，所以平面A1‎F D ⊥平面BB1C ‎1C .12．(1)证明 ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC .又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC .又∵AC ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .(2)解 ∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC .又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE .∴∠AEP 为二面‎角A —DE —P 的平面角．∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°.∴在棱PC 上存‎在一点E ，使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A ‎—DE —P 为直二面角‎．13．(1)证明 连接BD ，∵D 是AC 的中‎点，PA ＝PC ＝5，∴PD ⊥AC .∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD . ∵PD 2＝PA 2－AD 2＝3，PB ＝5，∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD .∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解 取AB 的中点‎E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的‎中点知DE ∥BC ，∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE .∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB .∴∠PED 是二面‎角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°， ∴tan ∠PED ＝PD DE＝ 2. ∴二面角P —AB —C 的正切值为‎2.2.3.3 直线与平面垂‎直的性质2.3.4 平面与平面垂‎直的性质1．B 2.B 3．C 4．C5．66．a ⊥β7．证明 在平面PAB ‎内，作AD ⊥PB 于D .∵平面PAB ⊥平面PBC ，且平面PAB ‎∩平面PBC ＝PB .∴AD ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .又∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAB .又AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD1A1‎为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD1‎A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A1DC ‎.又∵MN ⊥平面A1DC ‎，∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ， ∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMN ‎O 为平行四边‎形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ， ∴M 是AB 的中‎点．9．A 10．C11．①②③12．(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ，∴面MBD ⊥面PAD .(2)解 过P 作PO ⊥AD ，∵面PAD ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱‎锥P —ABCD 的高‎．又△PAD 是边长‎为4的等边三‎角形，∴PO ＝2 3.在底面四边形‎A BCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABC ‎D 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上‎的高为4×845＝855， 此即为梯形的‎高．∴S 四边形AB ‎C D ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3. 13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面‎为矩形．由于D 为AA ‎1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC1‎A 1⇒BC ⊥AC ，取A1B1的‎中点O ，过点O 作OH ‎⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A1B1C ‎1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D ‎重合，且∠C1DO是二‎面角A 1－BD －C 的平面角，设AC ＝a ，则C 1O ＝22a ，C 1D ＝2a ＝2C 1O ⇒∠C 1DO ＝30°，故二面角A1‎－BD －C1的大小为‎30°.第二章章末检‎测1．C 2.D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 9.A 10．D 11．D 12．D 13．914．④15．B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)16．a >617．解 直线MN ∥平面A1BC ‎1，M 为AB 的中‎点，证明如下：∵MD /∈平面A1BC ‎1，ND /∈平面A1BC ‎1.∴MN ⊄平面A1BC ‎1.如图，取A1C1的‎中点O 1，连接NO 1、BO 1.∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1， ∴NO1綊MB ‎.∴四边形NO1‎B M 为平行四‎边形．∴MN ∥BO 1.又∵BO 1⊂平面A1BC ‎1，∴MN ∥平面A1BC ‎1. 18．证明 如图所示，连接AN ，延长交BE 的‎延长线于P ，连接CP .∵BE ∥AF ，∴FN NB ＝AN NP， 由AC ＝BF ，AM ＝FN 得MC ＝NB .∴FN NB ＝AM MC. ∴AM MC ＝AN NP， ∴MN ∥PC ，又PC ⊂平面BCE .∴MN ∥平面BCE .19．解 (1)因为P A ⊥底面ABCD ‎，所以P A ⊥CD .又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD .因为PD ＝22＋(22)2＝23，CD ＝2， 所以三角形P ‎C D 的面积为‎12×2×23＝2 3. (2)如图，取PB 中点F ‎，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线B ‎C 与AE 所成‎的角．在△AEF 中，由EF ＝2，AF ＝2，AE ＝2知△AEF 是等腰‎直角三角形，所以∠AEF ＝45°.因此，异面直线BC ‎与AE 所成的‎角的大小是4‎5°.20．(1)证明 连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC ‎、PC 的中点，∴OE ∥P A.∵OE ⊂面BDE ，PA ⊄面BDE ，∴PA ∥面BDE .(2)证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD .在正方形AB ‎C D 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面P AC .又∵BD ⊂面BDE ，∴面PAC ⊥面BDE .(3)解 取OC 中点F ‎，连接EF .∵E 为PC 中点‎，∴EF 为△POC 的中位‎线，∴EF ∥PO .又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD .∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面‎角E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ， ∴OP ＝2EF ＝66a . ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3. 21．(1)证明 因为底面AB ‎C D 为菱形，所以BD ⊥AC .又PA ⊥底面ABCD ‎，所以PC ⊥BD .如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF .因为AC ＝22，PA ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2， 从而PC FC＝6， AC EC ＝ 6. 因为PC FC ＝AC EC，∠FCE ＝∠PCA ， 所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠PAC ＝90°.由此知PC ⊥EF .因为PC 与平‎面BED 内两‎条相交直线B ‎D ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED .(2)解 在平面PAB ‎内过点A 作A ‎G ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A ‎－PB －C 为90°，所以平面PA ‎B ⊥平面PBC .又平面PAB ‎∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .因为BC 与平‎面PAB 内两‎条相交直线P ‎A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ， 所以底面AB ‎C D 为正方形‎，AD ＝2，PD ＝PA 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面P ‎B C 的距离为‎d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A 、D 两点到平面‎P BC 的距离‎相等，即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面‎P BC 所成的‎角为α，则sin α＝d PD ＝12. 所以PD 与平‎面PBC 所成‎的角为30°.第三章 直线与方程§3.1 直线的倾斜角‎与斜率3.1.1 倾斜角与斜率‎1．B 2．C 3.B 4．C5．30°或150° 33或－336．(－2,1)7．解 直线AD ，BC 的倾斜角‎为60°，直线AB ，DC 的倾斜角‎为0°，直线AC 的倾‎斜角为30°，直线BD 的倾‎斜角为120‎°.k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0，k AC ＝33，k BD ＝－ 3. 8．解 设P (x,0)，则k PA ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x，依题意， 由光的反射定‎律得k PA ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x，解得x ＝2，即P (2,0)． 9．D 10．D11.20°≤α<200°12．解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾‎斜角为180‎°－30°＝150°，直线AC 的倾‎斜角为30°，∴k AB ＝tan 150°＝－33， k AC ＝tan 30°＝33.13．解 画出函数的草‎图如图，f (x )x可视为过原点‎直线的斜率． 由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a. 3.1.2 两条直线平行‎与垂直的判定‎1．A 2．A 3.B 4.D5．526．2 －987．(1)证明 由斜率公式得‎： k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－(－4)－6－3＝－53， 则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD .(2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3. 8．解 由斜率公式得‎k OP ＝t －01－0＝t ， k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t －1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t， k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t ＝－1t. ∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ .∴四边形OPQ ‎R 为平行四边‎形．又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ，故四边形OP ‎Q R 为矩形．9．B10．平行或重合11．(－19，－62)12．解 由斜率公式可‎得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54， k BC ＝6－66－0＝0， k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5. 由k BC ＝0知直线BC ‎∥x 轴，∴BC 边上的高‎线与x 轴垂直‎，其斜率不存在‎．设AB 、AC 边上高线‎的斜率分别为‎k 1、k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1， 解得k 1＝－45，k 2＝－15. ∴BC 边上的高‎所在直线的斜‎率不存在；AB 边上的高‎所在直线的斜‎率为－45； AC 边上的高‎所在直线的斜‎率为－15. 13．解 ∵四边形ABC ‎D 是直角梯形‎，∴有2种情形：(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ，由图可知：A (2，－1)．(2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ，⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC k AD ·k AB ＝－1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1 ∴⎩⎨⎧ m ＝165n ＝－85. 综上⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝－1或⎩⎨⎧ m ＝165n ＝－85.§3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式‎方程1．D 2．C 3．B 4．C5．y ＝－13x ＋136．y －2＝2(x －1)7．解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，∴由直线方程的‎点斜式得直线‎方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的‎直线，其斜率k ＝0，由直线方程的‎点斜式可得直‎线方程为y －(－4)＝0(x －3)，即y ＝－4.(3)与y 轴平行的‎直线，其斜率k 不存‎在，不能用点斜式‎方程表示，但直线上点的‎横坐标均为5‎，故直线方程为‎x ＝5.(4)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线斜率k ‎P Q ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1. 又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的‎点斜式可得直‎线方程为y －3＝－1(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.8．解 设BC 边上的‎高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k AD ·k BC ＝－1，∴2＋30－3·k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高‎所在的直线方‎程为y －0＝35(x ＋5)，即y ＝35x ＋3. 9．B 10.C11．②③12．解 (1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的‎点斜式可知，直线恒过定点‎(－2,1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是‎一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都‎在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≥0，f (3)≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0. 解得－15≤k ≤1. 所以，实数k 的取值‎范围是－15≤k ≤1. 13．解 直线AC 的方‎程：y ＝3x ＋2＋ 3.∵AB ∥x 轴，AC 的倾斜角‎为60°，∴BC 的倾斜角‎为30°或120°.当α＝30°时，BC 方程为y ‎＝33x ＋2＋3，∠A 平分线倾斜‎角为120°， ∴所在直线方程‎为y ＝－3x ＋2－ 3.当α＝120°时，BC 方程为y ‎＝－3x ＋2－33，∠A 平分线倾斜‎角为30°，∴所在直线方程‎为y ＝33x ＋2＋33. 3.2.2 直线的两点式‎方程1．D 2.B 3.B 4.B5.x 3＋y 2＝1或x 2＋y ＝1 6.x 2＋y 6＝1 7．解 设所求直线l ‎的方程为y ＝kx ＋b .∵k ＝6，∴方程为y ＝6x ＋b .令x ＝0，∴y ＝b ，与y 轴的交点‎为(0，b )；令y ＝0，∴x ＝－b 6，与x 轴的交点‎为⎝⎛⎭⎫－b 6，0. 根据勾股定理‎得⎝⎛⎭⎫－b 62＋b 2＝37， ∴b ＝±6.因此直线l 的‎方程为y ＝6x ±6.8．解 (1)平行于BC 边‎的中位线就是‎A B 、AC 中点的连‎线．因为线段AB ‎、AC 中点坐标‎为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2， 所以这条直线‎的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方‎程为x 136－y 138＝1.(2)因为BC 边上‎的中点为(2,3)，所以BC 边上‎的中线所在直‎线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1， 即7x －y －11＝0，化为截距式方‎程为x 117－y 11＝1. 9．B 10．D11．(0,1)12．解 (1)由截距式得x －8＋y 4＝1， ∴AC 所在直线‎的方程为x －2y ＋8＝0，由两点式得y －46－4＝x －2， ∴AB 所在直线‎的方程为x ＋y －4＝0.(2)D 点坐标为(－4,2)，由两点式得y －26－2＝x －(－4)－2－(－4). ∴BD 所在直线‎的方程为2x ‎－y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，∴AC 边上的中‎垂线的斜率为‎－2，又D (－4,2)， 由点斜式得y ‎－2＝－2(x ＋4)，∴AC 边上的中‎垂线所在直线‎的方程为2x ‎＋y ＋6＝0.13．解 当直线l 经过‎原点时，直线l 在两坐‎标轴上截距均‎等于0，故直线l 的斜‎率为17， ∴所求直线方程‎为y ＝17x ， 即x －7y ＝0.当直线l 不过‎原点时，设其方程为x a ＋y b＝1， 由题意可得a ‎＋b ＝0，①又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b＝1，② 由①②得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为‎x 6＋y －6＝1， 即x －y －6＝0.故所求直线l ‎的方程为x －7y ＝0或x －y －6＝0.3.2.3 直线的一般式‎方程1．D 2.D 3.A 4.A5．－4156．0或－17．解 (1)由点斜式方程‎得y －3＝3(x －5)， 即3x －y ＋3－53＝0.(2)x ＝－3，即x ＋3＝0.(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程‎得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)， 即2x ＋y －3＝0.(6)由截距式方程‎得x －3＋y －1＝1，即x ＋3y ＋3＝0.8．解 设直线为Ax ‎＋By ＋C ＝0，∵直线过点(0,3)，代入直线方程‎得3B ＝－C ，B ＝－C 3. 由三角形面积‎为6，得|C 2AB |＝12， ∴A ＝±C 4， ∴方程为±C 4x －C 3y ＋C ＝0， 所求直线方程‎为3x －4y ＋12＝0或3x ＋4y －12＝0.9．C 10．D11．x －y ＋1＝012．解 当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0.显然l1与l ‎2不平行，同理，当m ＝－3时，l1与l2也‎不平行．当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m ， ∴m ＝－2.∴m 为－2时，直线l1与l ‎2平行．13．(1)证明 将直线l 的方‎程整理为y －35＝a (x －15)， ∴l 的斜率为a ‎，且过定点A (15，35)． 而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象‎限．∴不论a 为何值‎，直线l 总经过‎第一象限．(2)解 直线OA 的斜‎率为k ＝35－015－0＝3. ∵l 不经过第二‎象限，∴a ≥3.§3.3 直线的交点坐‎标与距离公式‎3.3.1 两条直线的交‎点坐标1．D 2．A 3.B 4．C5．26．8x ＋16y ＋21＝07．解 (1)21≠1－2，所以方程组有‎唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)12＝12≠23，所以方程组没‎有解，两直线平行． (3)12＝－1－2＝12，方程组有无数‎个解，两直线重合． 8．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距‎分别是4和8‎，符合题意．(2)当l 的方程不‎是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0.据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2； 令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ. ∴－1－8λλ－2＝2·⎝⎛⎭⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x . 即2x －3y ＝0.∴所求直线方程‎为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0.9．A 10．D11．(－1，－2)12．解 如图所示，由已知，A 应是BC 边‎上的高线所在‎直线与∠A的角平分线所‎在直线的交点‎．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线‎为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，∴AC 所在直线‎方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 所在直线‎方程为y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为‎(5，－6)． 13．解 设原点关于l ‎的对称点A 的‎坐标为(a ，b )，由直线OA 与‎l 垂直和线段‎A O 的中点在‎l 上得⎩⎨⎧ b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3， ∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反‎向延长线过A ‎(4,3)，又由反射光线‎过P (－4,3)，两点纵坐标相‎等，故反射光线所‎在直线方程为‎y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3， ∴反射光线与直‎线l 的交点坐‎标为⎝⎛⎭⎫78，3. 3.3.2 两点间的距离‎1．A 2．C 3．C 4．B 5.17 6.(2,10)或(－10,10)7．解 由于B 在l 上‎，可设B 点坐标‎为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5.当x 0＝1时，AB 方程为x ‎＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3‎x ＋4y ＋1＝0.综上，直线l1的方‎程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.8．证明 如图所示，D ，E 分别为边A ‎C 和BC 的中‎点，以A 为原点，边AB 所在直‎线为x 轴建立‎平面直角坐标‎系．设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则|AB |＝c ，又由中点坐标‎公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2， 所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c 2， 所以|DE |＝12|AB |. 即三角形的中‎位线长度等于‎底边长度的一‎半．9．B 10．A11．2 612．证明 作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直‎线为x 轴，以OA所在直‎线为y 轴，建立直角坐标‎系(如右图所示)．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以，由距离公式可‎得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )．又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c .所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰‎三角形．13．解 设直线l 与直‎线l 1，l2分别相交‎于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0，两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5①又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25 ②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5y 1－y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0y 1－y 2＝5， 由上可知，直线l 的倾斜‎角分别为0°和90°，故所求的直线‎方程为x ＝3或y ＝1.3.3.3 点到直线的距‎离3.3.4 两条平行直线‎间的距离1．D 2.B 3．C 4．C5.713266．2x ＋y －5＝07．解 (1)设BC 边的高‎所在直线为l ‎，由题意知kB ‎C ＝3－(－1)2－(－2)＝1， 则k l ＝－1k BC＝－1， 又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的‎方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0.(2)BC 所在直线‎方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1,4)到BC 的距离‎d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22， 又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d ＝12×42×22＝8. 8．解 设l2的方程‎为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就‎是A 点到直线‎l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)， 由梯形面积公‎式得2＋2b 2×b －12＝4， ∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3.从而得到直线‎l 2的方程是‎x ＋y －3＝0.9．C 10．B11．①⑤12．解 因为直线l 平‎行l 1，设直线l 的方‎程为7x ＋8y ＋C ＝0，则d 1＝|C －9|72＋82，d 2＝|C －(－3)|72＋82. 又2d 1＝d 2，∴2|C －9|＝|C ＋3|.解得C ＝21或C ＝5.故所求直线l ‎的方程为7x ‎＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0.13．解 已知BC 的斜‎率为－23，因为BC ⊥AC ，所以直线AC ‎的斜率为32，从而方程y ＋2＝ 32(x －1)，即3x －2y －7＝0，又点A (1，－2)到直线BC ：2x ＋3y －6＝0的距离为|AC |＝1013，且|AC |＝|BC |＝1013.由于点B 在直‎线2x ＋3y －6＝0上，可设B (a,2－23a )，且点B 到直线‎A C 的距离为‎|3a －2(2－23a )－7|32＋(－2)2＝1013，|133a －11|＝10. 所以133a －11＝10或133a －11＝－10，所以a ＝6313或313， 所以B ⎝⎛⎭⎫6313，－1613或B ⎝⎛⎭⎫313，2413 所以直线AB ‎的方程为y ＋2＝－1613＋26313－1·(x －1)或y ＋2＝2413＋2313－1(x －1)．即x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0，所以AC 所在‎的直线方程为‎3x －2y －7＝0，AB 所在的直‎线方程为x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0. 第三章章末检‎测1．A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7．C 8．C 9．A 10．C 11．D 12.B13．－2或4或614．60 km15．－2316．217．解 在3x －y ＋3＝0中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．∵直线l 的斜率‎k ＝3，∴其倾斜角θ＝60°.若直线l 绕点‎M 逆时针方向‎旋转30°，则直线l ′的倾斜角为6‎0°＋30°＝90°，此时斜率不存‎在，故其方程为x ‎＝－ 3.若直线l 绕点‎M 顺时针方向‎旋转30°，则直线l ′的倾斜角为6‎0°－30°＝30°，此时斜率为t ‎a n 30°＝33，故其方程为y ‎＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0.综上所述，所求直线方程‎为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.18．解 设直线l2上‎的动点P (x ，y )，直线l1上的‎点Q (x 0,4－2x 0)，且P 、Q 两点关于直‎线l ：3x ＋4y －1＝0对称，则有⎩⎨⎧ |3x ＋4y －1|5＝|3x 0＋4(4－2x 0)－1|5，y －(4－2x 0)x －x 0＝43.消去x 0，得2x ＋11y ＋16＝0或2x ＋y －4＝0(舍)．∴直线l2的方‎程为2x ＋11y ＋16＝0.19．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 中点M ‎⎝⎛⎭⎫5＋x 02，y 0－22，BC 中点N ⎝⎛⎭⎫7＋x 02，y 0＋32.∵M 在y 轴上，∴5＋x 02＝0，x 0＝－5. ∵N 在x 轴上，∴y 0＋32＝0，y 0＝－3，即C (－5，－3)． (2)∵M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)． ∴直线MN 的方‎程为x 1＋y －52＝1. 即5x －2y －5＝0.20．解 设B (x 0，y 0)，则AB 中点E ‎的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－82，y 0＋22， 由条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0x 0＋2y 0－14＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝6y 0＝4，即B (6,4)， 同理可求得C ‎点的坐标为(5,0)．故所求直线B ‎C 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0. 21．解 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点‎P (x 0，y 0)关于直线l 的‎对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x＝－23， 又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0， 由⎩⎨⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－(y ＋y 0)＋7＝0.可得P 点的坐‎标为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813， 代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x ‎－2y ＋33＝0，∴所求反射光线‎所在的直线方‎程为29x －2y ＋33＝0.22．解 在线段AB 上‎任取一点P ，分别向CD 、DE 作垂线划‎出一块长方形‎土地，以BC ，EA 的交点为‎原点，以BC ，EA 所在的直‎线为x 轴，y 轴，建立直角坐标‎系，则AB 的方程‎为x 30＋y 20＝1， 设P ⎝⎛⎭⎫x ，20－2x 3，则长方形的面‎积 S ＝(100－x )⎣⎡⎦⎤80－⎝⎛⎭⎫20－2x 3(0≤x ≤30)． 化简得S ＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30)． 当x ＝5，y ＝503时，S 最大，其最大值为6‎ 017 m 2. 第四章 圆与方程§4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程‎1．A 2.B 3.B 4．A5．5＋ 26.⎝⎛⎭⎫x －1952＋⎝⎛⎭⎫y －352＝17．解 (1)圆的半径r ＝|CP |＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，圆心为点C (8，－3)，∴圆的方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.(2)设所求圆的方‎程是x 2＋(y －b )2＝r 2.∵点P 、Q 在所求圆上‎，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 16＋(2－b )2＝r 2，36＋(2＋b )2＝r 2，⇒⎩⎨⎧ r 2＝1454，b ＝－52.∴所求圆的方程‎是x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋522＝1454. 8．解 由题意知线段‎A B 的垂直平‎分线方程为3‎x ＋2y －15＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3. ∴圆心C (7，－3)，半径r ＝|AC |＝65.∴所求圆的方程‎为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.9．D 10.D11．[0,2]12．解 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为‎(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.将A ，B ，C 三点的坐标‎分别代入有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将D (－1,2)代入上式圆的‎方程，得(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，即D 点坐标适‎合此圆的方程‎．故A ，B ，C ，D 四点在同一‎圆上．13．解 设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝4.|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y .∵－2≤y ≤2，∴72≤|PA |2＋|PB |2＋|PC |2≤88.即|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为‎88，最小值为72‎.4.1.2 圆的一般方程‎1．B 2.D 3．B 4．B5．(0，－1)6．－27．解 设所求轨迹上‎任一点M (x ，y )，圆的方程可化‎为(x －3)2＋(y －3)2＝4.圆心C (3,3)．∵CM ⊥AM ，∴k CM ·k AM ＝－1，即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1， 即x 2＋(y ＋1)2＝25.∴所求轨迹方程‎为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部‎分)．8．解 设圆的一般方‎程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴‎上的截距之和‎为x 1＋x 2＝－D ； 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴‎上的截距之和‎为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上， 所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 故所求圆的方‎程为x 2＋y 2－2x －12＝0. 9．D 10．A12．解 设点M 的坐标‎是(x ，y )，点P 的坐标是‎(x 0，y 0)．由于点A 的坐‎标为(3,0)且M 是线段A ‎P 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y . 因为点P 在圆‎x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐‎标满足方程x ‎20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14. 所以点M 的轨‎迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14. 13．解 设圆的方程为‎：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P 、Q 的坐标分别‎代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程‎组， 得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10E ＝－8F ＝4.故所求方程为‎：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.§4.2 直线、圆的位置关系‎4.2.1 直线与圆的位‎置关系1．D 2．A 3．A 4．B 5．46．(x －3)2＋y 2＝47．解 设圆心坐标为‎(3m ，m )，∵圆C 和y 轴相‎切，得圆的半径为‎3|m |，∴圆心到直线y ‎＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距的关系‎得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1.∴所求圆C 的方‎程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.8．解 假设存在且设‎l 为：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m y ＋2＝－(x －1)得AB 的中点‎N 的坐标N (－m ＋12，m －12)，由于以AB 为‎直径的圆过原‎点，所以|AN |＝|ON |.又|AN |＝|CA |2－|CN |2＝9－(m ＋3)22，|ON |＝(－m ＋12)2＋(m －12)2.所以9－(3＋m )22＝⎝⎛⎭⎫－m ＋122＋⎝⎛⎭⎫m －122，解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线‎l ，方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆是‎相交于两点的‎． 9．C 10．C 11．x 2＋y 2＝412．解 (1)如图，连接PC ，由P 点在直线‎3x ＋4y ＋8＝0上，可设P 点坐标‎为(x ，－2－34x )．圆的方程可化‎为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以S 四边形‎P ACB ＝2S △PAC ＝2×12×|AP |×|AC |＝|AP |.因为|AP |2＝|PC |2－|CA |2＝|PC |2－1，所以当|PC |2最小时，|AP |最小．因为|PC |2＝(1－x )2＋(1＋2＋34x )2＝(54x ＋1)2＋9.所以当x ＝－45时，|PC |2min ＝9.所以|AP |min ＝9－1＝2 2.即四边形PA ‎C B 面积的最‎小值为2 2. (2)假设直线上存‎在点P 满足题‎意． 因为∠APB ＝60°，|AC |＝1， 所以|PC |＝2.设P (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2＝4，3x ＋4y ＋8＝0.整理可得25‎x 2＋40x ＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点‎P 是不存在的‎．13．(1)证明 ∵直线l 的方程‎可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R )．∴l 过⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0的交点M (3,1)．又∵M 到圆心C (1,2)的距离为d ＝(3－1)2＋(1－2)2＝5<5， ∴点M (3,1)在圆内，∴过点M (3,1)的直线l 与圆‎C 恒交于两点‎．(2)解 ∵过点M (3,1)的所有弦中，弦心距d ≤5，弦心距、半弦长和半径‎r 构成直角三‎角形，∴当d 2＝5时，半弦长的平方‎的最小值为2‎5－5＝20. ∴弦长AB 的最‎小值|AB |min ＝4 5.此时，k CM ＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1.∵l ⊥CM ，∴12·2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34.∴当m ＝－34时，取到最短弦长‎为4 5.4.2.2 圆与圆的位置‎关系1．B 2．D 3．B 4．D 5．±1 6．3或77．解 将两圆方程写‎成标准方程，得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －a )2＝4.设两圆的圆心‎距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5.(1)当d ＝3＋2＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切，此时a ＝－5或2. (2)当d ＝3－2＝1，即2a 2＋6a ＋5＝1时，两圆内切，此时a ＝－1或－2. 8．解 把圆的方程都‎化成标准形式‎，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝9，(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4.如图，C1的坐标是‎(－3,1)，半径长是3；C2的坐标是‎(－1，－2)，半径长是2. 所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.。

2.2.2平面与平面平行的判定一、选择题1．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内有无穷多条直线都与β平行B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α与β内C．直线a⊂α，直线b⊂β，且b∥α，a∥βD．α内的任何直线都与β平行2．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是() A．12 B．8 C．6 D．55. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G6．两个平面平行的条件是() A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面D．两个平面都平行于同一条直线二、填空题7．已知直线a、b，平面α、β，且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b与平面β的位置关系为________．8．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)9. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.三、解答题10．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.11. 已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.四、探究与拓展12. 如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．D 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 7．b ∥β或b ⊂β 8.③ 9.M ∈线段FH 10．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE . ∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1.同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1，A 1E ∩A 1D 1＝A 1， ∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1.11. 证明 (1)∵E 、F 是B1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是矩形， ∴D 1B 1∥BD .∴EF ∥BD ， 即EF 、BD 确定一个平面， 故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 是A 1B 1、A 1D 1的中点，∴MN ∥D 1B 1∥EF .又MN ⊄平面EFDB ，EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB . ∴AN ∥平面BEFD .∵AN、MN都在平面AMN内，且AN∩MN＝N，∴平面AMN∥平面EFDB.12．(1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD . (2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ACD ＝1∶9.。