【步步高高考数学总复习】第三编 导数及其应用

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题3 导数及其应用 23 导数与学科知识的综合应用 理(1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x 的值．2．(2015·广东)设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O是坐标原点)，证明：m ≤3a －2e－1.3．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，a ∈R ， (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－2x ＋1，若对任意x 1∈(0，＋∞)，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数a 的取值范围．4．(2015·陕西)设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n－1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n . 5．(2015·北京西城区期末)对于函数f (x )，g (x )，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数f (x )和g (x )在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点．设函数f (x )＝ax 2－bx (a ≠0)，g (x )＝ln x .(1)当a ＝－1，b ＝0时，判断函数f (x )和g (x )是否相切，并说明理由； (2)已知a ＝b ，a >0，且函数f (x )和g (x )相切，求切点P 的坐标；(3)设a >0，点P 的坐标为(1e ，－1)，问是否存在符合条件的函数f (x )和g (x )，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为(e 2,2)呢？(结论不要求证明)答案解析1．解 (1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝cos x －sin x ，代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2，可得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝2＋1，其最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (x )＝2f ′(x )，易得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ，解得tan x ＝13.∴1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－tan x ＝116. 2．(1)解 f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x ＝(x ＋1)2e x，∀x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(2)证明 ∵f (0)＝1－a ，f (a )＝(1＋a 2)e a－a ， ∵a >1，∴f (0)<0，f (a )>2a e a－a >2a －a ＝a >0， ∴f (0)·f (a )<0，∴f (x )在(0，a )上有一零点， 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上递增， ∴f (x )在(0，a )上仅有一个零点， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明 f ′(x )＝(x ＋1)2e x，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0(x 0＋1)2＝0，∴x 0＝－1， 把x 0＝－1，代入y ＝f (x )得y 0＝2e －a ，∴k OP ＝a －2e.f ′(m )＝e m (m ＋1)2＝a －2e，令g (m )＝e m －(m ＋1)，g ′(m )＝e m －1.令g ′(m )>0，则m >0，∴g (m )在(0，＋∞)上单调递增； 令g ′(m )<0，则m <0，∴g (m )在(－∞，0)上单调递减． ∴g (m )min ＝g (0)＝0.∴e m－(m ＋1)≥0，即e m≥m ＋1. ∴e m (m ＋1)2≥(m ＋1)3，即a －2e≥(m ＋1)3.∴m ＋1≤3a －2e ，即m ≤ 3a －2e－1.3．解 (1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x >0)．①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0， 所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a ，在区间(0，－1a)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．在区间(－1a，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(0，－1a )，f (x )的单调递减区间为(－1a，＋∞)．(2)由已知，转化为f (x )max <g (x )max ， 又g (x )max ＝g (0)＝1.由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意． 当a <0时，f (x )在(0，－1a )上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，即f (x )max ＝f (－1a )＝－1＋ln (－1a)＝－1－ln (－a )，所以1>－1－ln(－a )，解得a <－1e 2.故实数a 的取值范围是(－∞，－1e 2)．4．(1)解 方法一 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1，所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，①则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n，②①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1＋2－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )2n－1，所以f n ′(2)＝(n －1)2n＋1.方法二 当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，则f n ′(x )＝[1－n ＋1x n]1－x ＋x －x n ＋11－x2，可得f n ′(2)＝－[1－n ＋12n]＋2－2n ＋11－22＝(n －1)2n＋1.(2)证明 因为f n (0)＝－1＜0，f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≥1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＞0，所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内至少存在一个零点， 又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nxn －1＞0，所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内单调递增， 因此f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点a n ， 由于f n (x )＝x －x n ＋11－x －1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23，所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.5．解 (1)结论：当a ＝－1，b ＝0时，函数f (x )和g (x )不相切． 理由如下：由条件知f (x )＝－x 2，g (x )＝ln x ，得x >0. 又因为f ′(x )＝－2x ，g ′(x )＝1x，所以当x >0时，f ′(x )＝－2x <0，g ′(x )＝1x>0，所以对于任意的x ，f ′(x )≠g ′(x )．所以当a ＝－1，b ＝0时，函数f (x )和g (x )不相切． (2)若a ＝b ，则f ′(x )＝2ax －a ，g ′(x )＝1x.设切点坐标为(s ，t )，其中s >0. 由题意，得as 2－as ＝ln s ，① 2as －a ＝1s.②由②，得a ＝1s2s －1，代入①，得s －12s －1＝ln s ．③因为a ＝1s2s －1>0，且s >0，所以s >12.设函数F (x )＝x －12x －1－ln x ，x ∈(12，＋∞)，则F ′(x )＝－4x －1x －1x 2x －12.令F ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝14(舍)．当x 变化时，F ′(x )与F (x )的变化情况如下表所示.所以当x ＝1时，F (x )取到最大值F (1)＝0，且当x ∈(2，1)∪(1，＋∞)时，F (x )<0.因此，当且仅当x ＝1时F (x )＝0.所以方程③有且仅有一解s ＝1.于是t ＝ln s ＝0， 因此切点P 的坐标为(1,0)．(3)当点P 的坐标为(1e ，－1)时，存在符合条件的函数f (x )和g (x )，使得它们在点P 处相切；当点P 的坐标为(e 2,2)时，不存在符合条件的函数f (x )和g (x )，使得它们在点P 处相切．。

高考专题突破一高考中的导数应用问题■I考点自测快速解答自查自纠1.(2015-课标全国II)设函数(x)是奇函数./(x)(xWR)的导函数，./(一1)=0,当x>0时，xf (x) —沧)<0,贝ij使得.心)>0成立的x的取值范围是()A.(—I —1)U(O,1)B.(-1,O)U(1, +oo)C.(—8, -1)U(-1,O)D.(O,1)U(1, +8)答案Afix' 解析因为,/(x)(xeR)为奇函数，/(—1) = 0,所以/(—1) = 0.当xHO时，令规力=丫, 则g(x)为偶函数，且g(l)=g(—1)=0.则当x>0时，丈(力=庠尊'=护(¥ 金)vo,故g(x) 在(0, +°°)上为减函数，在(一8, 0)上为增函数.所以在(0, +°°)上，当0<x<l时，g(x)> g(l)=Oo号>oo/(x)>0；在(一8, 0)上，当x<-l 时，g(x)<g(—l)=0o¥<0o/(x)>0.•A综上，使得/(x)>0成立的x的取值范围是(一8, -1)U(O,1),选A.2.若函数^x)=kx~\wc在区间(1, +呵上单调递增，则£的取值范围是()A.(—8, —2]B.( —8, — 1]C.[2, +8)D.[l, +8)答案D 解析由于.广(x)=«—£心)=也一lnx在区间(1, +8)上单调递增of(x)=R—£三0在(1, + oo)上恒成立.由于&丄,而0<丄<1,所以k2\.X X即k的取值范围为[1, +-).3.函数,/(x)=3x2 + lnx-Zr的极值点的个数是()A.O B」 C.2 D.无数个答案A解析函数定义域为(0, +-),_ . , 1 6x2—2x+l且./ (x)=6x+~— 2= - ,由于x>0, g(x)=6x-2x+\中/ = 一20<0,所以g(x)>0恒成立，故f (x)>0恒成立，即/(X)在定义域上单调递增，无极值点.4.(2015-课标全国I )已知函数/(x)=a0+x+l的图像在点(1, ./⑴)处的切线过点(2,7),则a答案1解析 / (X)=3«X2+1, / (l)=l+3a, ./(l)=a+2.(1, XI))处的切线方程为j-(a+2)=(l+3a)(x-l).将(2,7)代入切线方程，得7-(a+2)=l+3a,解得a=l.2 ° 25. ____________________ 设函数y(x)=e "Ji，g(x)=亍，对任意兀1，疋丘(0, +°°),不等式赵护w誓吟恒成立，则正数k的取值范围是.答案［1, +°°)解析因为对任意X］,兀2丘(0, +°°), 不等式嚳W倍恒成立，所以缶三沢迦k k+\ /(X2)min因为g(x)=亍，所以g‘ w=e2_x(l—x).当0<x<l 时，g‘ (x)>0；当x>l 时，g‘ (x)<0,所以g(x)在(0,1］上单调递增，在［1, +8)上单调递减.所以当x=l时，g(x)取到最大值，即g(x)max=g(l)=e.X/(x)=e2x+丄N2c(x>0).X当且仅当e2x=^即兀三时取等号，故./(x)min=2e.Ji V所以如皿皿=2=丄应有一^-3丄力以您)斷2e 2' “驾+1 一2'又£>0,所以kM\.题型分类对接高考深度剖析题型一利用导数研究函数性质例1 (2015-课标全国II )己知函数./(Q = hu+d(l-r).⑴讨论/(X)的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于2a —2时，求a的取值范围. 解(1)/«的定义域为(0, +-), f (x)=g—a・即心X2+2Xx+1(兀+1)2—x+1若aWO,则产(x)>0,所以/(x)在(0, +8)上单调递增.若a>0,则当炸(0, 时，/⑴>0；当用(£ +oo)时，f (x)<0.所以/⑴在(0, 上单调递增，在+«>)上单调递减.(2)由(1)知，当G WO时，./(X)在(0, +8)无最大值；当Q>0时，.几¥)在x=+取得最大值，最大值为./(毎=1I£+Q(1—£)=—lno+a—1.因此层>2a~2等价于\na+a-i<0.令g(a)=lM + a—1,则g(Q)在(0, +°°)上单调递增，g(l)=0.于是，当0GV1 时，g(a)<0；当a>\时，g(a)>0.因此，G的取值范围是(0,1).思维升华利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知.兀对的单调性，可转化为不等式f (x)N0或.厂(x)W0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析.跟踪训练1已知Q GR,函数f[x)=(—x2+ax)c x (xR, c为自然对数的底数).(1)当。

§3.1 导数的概念及运算[考试要求] 1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率．了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．1．导数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数．简称导数，记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率， 相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos xf ′(x )＝－sin xf (x )＝a x (a >0且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )．5．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 微思考1．根据f ′(x )的几何意义思考一下，随着|f ′(x )|增大，曲线f (x )的形状有何变化？ 提示 |f ′(x )|越大，曲线f (x )的形状越来越陡峭．2．函数f (x )在点P 处的切线与函数f (x )过点P 的切线有什么区别？提示 在点P 处的切线，点P 一定是切点；过点P 的切线，点P 不一定是切点．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (2)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × )(3)f (x )在某点处的切线与f (x )过某点处的切线意义相同．( × ) (4)若f (x )＝2x ，则f ′(x )＝x ·2x －1.( × ) 题组二 教材改编2．某跳水运动员离开跳板后， 他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( ) A ．9.1米/秒B ．6.75米/秒C ．3.1米/秒D ．2.75米/秒答案 C解析 h ′(t )＝－9.8t ＋8， ∴h ′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.3．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝ . 答案 －1e解析 f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.4．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为 ．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1， 又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1， 即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2. 题组三 易错自纠5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为 ． 答案 2解析 f ′(x )＝cos x ＋x ·(－sin x )＋a cos x ＝(1＋a )cos x －x sin x ， ∴f ′(0)＝1＋a ＝3， ∴a ＝2.6．已知函数f (x )＝ln(3－2x )＋e 2x －3，则f ′(x )＝ . 答案22x －3＋2e 2x －3 解析 f ′(x )＝13－2x ·(3－2x )′＋e 2x －3·(2x －3)′＝22x －3＋2e 2x －3.题型一 导数的运算1．(多选)下列求导运算正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(sin 2x )′＝2cos 2x C ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x答案 BCD解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则知B ，C ，D 正确，故选BCD. 2．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ .答案1cos 2x －2x3 解析 f ′(x )＝(sin x )′·cos x －sin x ·(cos x )′cos 2x ＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3.3．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ . 答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ， ∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1， 则a ＝e 2.4．(2020·葫芦岛模拟)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ . 答案 －74解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ， ∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x ，将x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54.∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74.思维升华 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．题型二 导数的几何意义命题点1 导数与函数图象例1 (1)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )答案 B解析 由y ＝f ′(x )的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ .答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 命题点2 求切线方程例2 (1)(2020·全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x －1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝2x －3 D ．y ＝2x ＋1答案 B解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)， f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4×13－6×12＝－2， 切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.命题点3 求参数的值(范围)例3 (1)(2019·全国Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.(2)(2020·淄博联考)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．答案 [2，＋∞)解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0.又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”． ∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”：在“点P 处的切线”，说明点P 为切点，点P 既在曲线上，又在切线上；“过点P 处的切线”，说明点P 不一定是切点，点P 一定在切线上，不一定在曲线上．跟踪训练 (1)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)或(－1,3) D ．(1，－3)答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)， f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1， ∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 30－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3； 当x 0＝－1时，y 0＝3. ∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．(2)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A.18B.14C.12 D ．1 答案 B解析 ∵y ＝x －1x ＋1，∴y ′＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2，∴k ＝y ′|x ＝0＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x －0)，即y ＝2x －1， 令x ＝0，得y ＝－1； 令y ＝0，得x ＝12，故所求的面积为12×1×12＝14.(3)(2021·乐山调研)已知曲线f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫3，72 B ．(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，72 D ．(0,3)答案 A解析 f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ， 依题意知f ′(x )＝3有两个实数解， 即2e 2x －2e x ＋a ＝3有两个实数解， 即a ＝－2e 2x ＋2e x ＋3有两个实数解， 令t ＝e x ， ∴t >0，∴a ＝－2t 2＋2t ＋3(t >0)有两个实数解，∴y ＝a 与φ(t )＝－2t 2＋2t ＋3(t >0)的图象有两个交点， φ(t )＝－2t 2＋2t ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋72， ∵t >0，∴φ(t )max ＝φ⎝⎛⎭⎫12＝72， 又φ(0)＝3， 故3<a <72.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．例1 已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ . 答案 8解析 方法一 因为y ＝x ＋ln x ，所以y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 因为y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，所以a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.方法二 同方法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．因为y ′＝2ax ＋(a ＋2)，所以0|x x y '=＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.例2 (2020·江南十校联考)已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为 ． 答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1解析 设l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)， 则y 1＝1e x， f ′(x )＝e x ， ∴f ′(x 1)＝1e x ， ∴切点为(x 1，1e x)， 切线斜率k ＝1e x，∴切线方程为y －1e x＝1e x(x －x 1)， 即y ＝1111e e e xxx x x ⋅-+，①同理设l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)，∴y 2＝ln x 2＋2， g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)， 切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+=+⎩=③④⇒ 把③代入④有111e e x xx -+＝－x 1＋1， 即(1－x 1)(1e x－1)＝0， 解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ； 当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1， 综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.例3 已知曲线f (x )＝ln x ＋1与g (x )＝x 2－x ＋a 有公共切线，求实数a 的取值范围． 解 设切线与f (x )＝ln x ＋1相切于点P (x 0，ln x 0＋1)， f ′(x 0)＝1x 0，∴切线方程为y －(ln x 0＋1)＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x 0x ＋ln x 0，y ＝x 2－x ＋a ，得x 2－⎝⎛⎭⎫1＋1x 0x ＋a －ln x 0＝0， ∴Δ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 02－4(a －ln x 0)＝0， 即1x 20＋2x 0＋1－4a ＋4ln x 0＝0， 即4a ＝1x 20＋2x 0＋1＋4ln x 0有解，令φ(x )＝1x 2＋2x ＋1＋4ln x (x >0)，φ′(x )＝－2x 3－2x 2＋4x＝4x 2－2x －2x 3＝2(2x ＋1)(x －1)x 3，当x ∈(0,1)时，φ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝4，又x →＋∞时，φ(x )→＋∞，故φ(x )的值域为[4，＋∞)，所以4a ≥4，即a ≥1，故实数a 的取值范围是[1，＋∞)．课时精练1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x答案 B解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确．2．(2021·安徽江南十校联考)曲线f (x )＝1－2ln xx 在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为() A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0C ．3x ＋y ＋2＝0D ．3x ＋y －4＝0答案 D解析 因为f (x )＝1－2ln x x ，所以f ′(x )＝－3＋2ln xx 2.又f (1)＝1，且f ′(1)＝－3，故所求切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.3．(2020·广元模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )答案 A解析 f ′(x )＝12x －sin x ， ∴f ′(x )为奇函数，排除B ，D ，又f ′⎝⎛⎭⎫π6＝π12－sin π6＝π12－12<0， 故选A.4．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6答案 C解析 y ′＝3x 2－3，∴y ′≥－3，∴tan α≥－3，又α∈[0，π)，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 故选C.5.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2)答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0，故A 错误，B 正确．设A (2，f (2))，B (3，f (3))，则f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2＝k AB ， 由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x 答案 AC解析 若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求．故选AC.7．已知函数y ＝f (x )的图象在x ＝2处的切线方程是y ＝3x ＋1，则f (2)＋f ′(2)＝ . 答案 10解析 切点坐标为(2，f (2))，∵切点在切线上，∴f (2)＝3×2＋1＝7，又k ＝f ′(2)＝3，∴f (2)＋f ′(2)＝10.8．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ . 答案 2解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ， ∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.9．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________.答案 y ＝x 12 021解析 函数f (x )＝ln(1＋x )，则f ′(x )＝11＋x，f ′(0)＝1，f (0)＝0， ∴切线方程为y ＝x .∴ln 2 022－ln 2 021＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋12 021＝f ⎝⎛⎭⎫12 021， 根据以直代曲，x ＝12 021也非常接近切点x ＝0. ∴可以将x ＝12 021代入切线近似代替f ⎝⎛⎭⎫12 021， 即f ⎝⎛⎭⎫12 021≈12 021.10．(2021·山东省实验中学四校联考)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ．答案 2解析 设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则0|x x y '=＝12x x x x 0=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2x 0－1x 0＝1. ∴x 0＝1，y 0＝1，则P (1,1)，则曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝ 2. 11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3， 解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 12．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3， 当x ＝2时，y ＝12. 又因为f ′(x )＝a ＋b x2， 所以⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3， 所以f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，所以切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，所以切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.13．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案 C解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x .故选C.14．已知函数f (x )＝x ＋a 2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是 ．答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)解析 f ′(x )＝1－a 2x2， 设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋a 2x 0， ∴切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝1－a 2x 20， ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0＋a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(x －x 0)， 又切线过点(1,0)，即－⎝⎛⎭⎫x 0＋a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(1－x 0)， 整理得2x 20＋2ax 0－a ＝0，∵曲线存在两条切线，故该方程有两个解，∴Δ＝4a 2－8(－a )>0，解得a >0或a <－2.15．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为 ． 答案 34e --解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f ′(0)＝a ，又f (0)＝14，∴f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝a (x －0)， 即y ＝ax ＋14， 故y ＝ax ＋14与g (x )＝－ln x 相切， 设切点坐标为(x 0，y 0)，又g ′(x )＝－1x， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1x 0，y 0＝－ln x 0，y 0＝ax 0＋14，解得340034e ,3,e .4x y a -⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩ 16．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，则－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，解得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。

第三编 导数及其应用 §3.1 变化率与导数、导数的计算基础自测1.在曲线y =x 2+1的图像上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则xy∆∆为 （ ） A .21+∆+∆xx B .21-∆-∆xx C .2+∆xD .xx ∆-∆+12 答案 C2.已知f (x )=sin x (cos x +1)，则)(x f '等于 （ ） A .cos2x -cos xB .cos2x -sinxC .cos2x +cos xD .cos 2x +cosx答案C3.若函数y =f (x )在R 上可导且满足不等式x )(x f '＞-f (x )恒成立，且常数a ,b 满足a ＞b ,则下列不等式一定成立的是（ ）A .af (b )＞bf (a) B .af (a )＞bf (b)C .af (a )＜bf (b )D .af (b )＜bf (a)答案B4.（2008·辽宁理，6）设P 为曲线C ：y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1B .［-1，0］C .［0，1］D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21答案A5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y =e ax 在点（0，1）处的切线与直线x +2y +1=0垂直，则a= .答案2例1 求函数y =12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(22020202020+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x例2 求下列各函数的导数： （1）;sin 25x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xx y ++-=解 (1)∵,sin sin 2332521x x x x x x x x y ++=++=- ∴'y .cos sin 2323)sin ()()(232252323x x x x x x x x x x -----+-+-='+'+'= （2）方法一 y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴'y =3x 2+12x+11.方法二 'y =[]'++)2)(1(x x (x+3)+（x+1）（x+2）'+)3(x=[)2(）1（+'+x x +（x+1）'+)2(x ］（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x x x xxy -=+--++=++-=12)1)(1(111111 ， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 例3 求下列函数的导数：（1）y =4）3（11x -;(2)y =sin 2(2x +3π); (3)y =x21x +.解 （1）设u=1-3x ,y=u -4.则'y x ='y u ·'u x =-4u -5·（-3）=5）31（12x -.(2)设y=u 2,u =sin v ,v=2x+3π, 则'yx ='y u ·'u v ·'v x =2u ·cos v ·2=4sin （2x+3π）·cos （2x+3π）=2sin （4x+32π）. (3)'y =(x 21x +)′='x ·21x ++x ·（21x +)′=21x ++22221211xx xx ++=+.例4 （12分）已知曲线y =.34313+x （1）求曲线在x =2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）∵'y =x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2=4. 2分∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 4分（2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ， 则切线的斜率k='y |0x x ==20x . 6分 ∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y 8分∵点P （2，4）在切线上，∴4=,34322302+-x x 即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 12分1.求y =x 在x =x0处的导数.解 )())((lim lim lim00000000000x x x x x x x x x x x x x x x yx x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim00x x x x x =+∆+=→∆2.求y =tan x 的导数.解 'y .cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛= 3.设函数f (x )=cos(ϕ+x 3)(0＜ϕ＜π) .若f (x )+ )(x f '是奇函数，则ϕ= . 答案6π4．若直线y =kx 与曲线y =x 3-3x 2+2x 相切，则k = . 答案 2或41-一、选择题1.若,2)(0='x f 则()kx f k x f k 2)(lim000--→等于( )A .-1B .-2C .1D .21答案 A2.（2008·全国Ⅰ理，7）设曲线y =11-+x x 在点（3，2）处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a 等于（ ）A .2 B .21C .21-D .-2答案D3.若点P 在曲线y =x 3-3x 2+(3-3)x +43上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,322,0C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,32D .⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,0πππ答案 B4.函数f (x )、g (x )在区间［a ，b ］上满足)(x f '·g (x )＞f (x )·)(x g '且g (x )＞0，则对任意x ∈（a ,b ) 都有（ ）A .f (x ）·g (x )＞f (a )·g (b )B .f (x )·g (x )＞f (b )·g (b )C .f (x )·g (a )＞f (a )·g (x )D .f (x )·g (b )＞f (b )·g (x )答案 C5.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间（1，2）上的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），|f （x 2）-f （x 1）|＜|x 2-x 1|恒成立”的只有 （ ） A .xx f 1)(= B .f (x )=|x | C .f (x )=2xD .f (x )=x2答案 A6.已知曲线S :y =3x -x 3及点P （2，2），则过点P 可向S 引切线，其切线条数为 ( ) A .0 B .1 C .2 D .3 答案 D 二、填空题 7.曲线y =x1和y =x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 答案43 8.若函数f (x )的导函数为)(x f '=-x (x +1),则函数g (x )=f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是 .答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 1,1三、解答题9. 求下列函数在x =x0处的导数.（1）f (x )=cos x ·sin 2x +cos 3x ,x 0=3π;（2）f (x )=;2,1e 1e 0=++-x xxx x （3）.1,ln )(0223=+-=x xxx x x x f解 （1） ()[],sin )(cos cos sin cos )(22x x x x x x f -='=+=''∴233-=⎪⎭⎫⎝⎛'πf .（2）∵,)1(e )2(2)1()1(e 2)1()e 2(1e 2)(22x x x x x x x f xx x x --=-'---'='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='∴)2(f '=0. （3）∵,1123)(ln )()(2523x x x x xx f +--='+'-'='--∴.23)1(-='f10.求曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离.解 设曲线上过点P （x 0,y 0）的切线平行于直线2x -y +3=0，即斜率是2，则.2122|122|)12(121|0000=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⋅-='===x x x x y x x x x x x解得x 0=1,所以y 0=0,即点P （1，0），点P 到直线2x -y +3=0的距离为5)1(2|302|22=-++-，∴曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离是5. 11.（2008·海南、宁夏，21）设函数bx ax x f ++=1)( (a ,b ∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y =3.（1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线y =f (x )上任一点的切线与直线x =1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解 2)(1)(b x a x f +-='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a因为a ,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f ． （2）证明 在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,000x x x ． 由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--． 令x=1得1100-+=x x y ，切线与直线x=1的交点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11,100x x ． 令y=x 得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(00--x x ．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ．所以，所围三角形的面积为定值2.12. 偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx +e 的图像过点P （0，1），且在x =1处的切线方程为y =x -2，求y =f （x ）的解析式.解 ∵f （x ）的图像过点P （0，1），∴e=1. ①又∵f （x ）为偶函数，∴f （-x ）=f （x ）. 故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-dx+e.∴b=0，d=0. ②∴f(x)=ax4+cx 2+1.∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）. ∴a+c+1=-1.③ ∵)1('f =(4ax 3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1.④由③④得a=25，c=29-.∴函数y=f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f§3.2 导数的应用基础自测1.函数y =f (x )的图像过原点且它的导函数g =)(x f '的图像是如图所示的一条直线，则y =f (x )图像的顶点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A2.已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x ＞0时，)(x f '＞0,)(x g '＞0，则x ＜0时（ ）A .)(x f '＞0, )(x g '＞0B .)(x f '＞0, )(x g '＜0C .)(x f '＜0, )(x g '＞0D . )(x f '＜0, )(x g '＜0答案 B3.（2008·广东理，7）设∈a R ，若函数y =e ax +3x ，∈x R 有大于零的极值点，则 （ ）A ．a ＞-3B ．a ＜-3C ．a ＞-31 D ．a ＜-31 答案B4.函数y =3x 2-2ln x 的单调增区间为 ，单调减区间为 . 答案 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞33,0,335.（2008·江苏，14）f (x )=ax 3-3x +1对于x ∈［-1,1］总有f (x )≥0成立，则a = . 答案4例1 已知f (x )=e x -ax-1. （1）求f (x )的单调增区间；（2）若f (x ）在定义域R 内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a ,使f (x )在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解 )(x f '=e x -a.（1）若a ≤0，)(x f '=e x -a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a>0,e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立. ∴a ≤（e x ）min ，又∵e x >0，∴a ≤0.（3）方法一 由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立.∵e x 在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤1，∴a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0-a=0,∴a=1.例2 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,曲线y =f (x ）在点x =1处的切线为l :3x -y +1=0，若x =32时，y =f (x ）有极值.（1）求a ,b ,c 的值；（2）求y =f (x ）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解 （1）由f(x)=x 3+ax 2+bx+c,得)(x f '=3x 2+2ax+b,当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ① 当x=32时，y=f(x)有极值，则⎪⎭⎫⎝⎛'32f =0,可得4a+3b+4=0 ②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴)(x f '=3x 2+4x-4, 令)(x f '=0,得x=-2,x=32.∴y=f （x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.2795例3 （12分）已知函数f (x )=x 2e -ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ∵f （x ）=x 2e -ax （a ＞0）,∴)(x f '=2xe -ax +x 2·（-a)e -ax =e -ax (-ax 2+2x). 1分令)(x f '＞0,即e -ax (-ax 2+2x)＞0,得0＜x ＜a2.∴f(x)在（-∞,0),⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a 上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0上是增函数.①当0＜a2＜1,即a ＞2时,f(x ）在（1，2）上是减函数,∴f （x ）max =f （1）=e -a . 6分②当1≤a2≤2,即1≤a ≤2时， f(x)在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,1上是增函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2a 上是减函数，∴f(x)max =f ⎪⎭⎫⎝⎛a 2=4a -2e -2. 9分③当a2＞2时，即0＜a ＜1时，f(x)在（1，2）上是增函数，∴f （x ）max =f （2）=4e -2a .综上所述，当0＜a ＜1时，f(x)的最大值为4e -2a , 当1≤a ≤2时，f(x)的最大值为4a -2e -2,当a ＞2时，f(x)的最大值为e -a . 12分 例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为(12-x )2万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）. 解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x ∈［9,11］. (2))(x L '=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L ′=0得x=6+32a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+32a ≤328. 在x=6+32a 两侧L ′的值由正变负. 所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜29时，L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).②当9≤6+32a ≤328，即29≤a ≤5时， L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<≤-=.529,3134,293),6(9)(3a a a a a Q答 若3≤a ＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a )（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a )元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )=33134⎪⎭⎫ ⎝⎛-a (万元).1．已知函数f (x )=x 3-ax -1.（1）若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ,使f (x )在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f (x )=x 3-ax -1的图像不可能总在直线y =a 的上方.（1）解 由已知)(x f '=3x 2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴)(x f '=3x 2-a ≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.∵3x 2≥0,∴只需a ≤0,又a=0时，)(x f '=3x 2≥0,故f(x)=x 3-1在R 上是增函数，则a ≤0.（2）解 由)(x f '=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立，得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴3x 2<3,∴只需a ≥3.当a=3时，)(x f '=3(x 2-1), 在x ∈(-1,1)上，)(x f '<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a ≥3. 故存在实数a ≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图像不可能总在直线y=a 的上方. 2.求函数y =x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解 先求导数,得'y =4x 3-4x,令'y =0,即4x 3-4x=0.解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1.3.（2008·山东理，21）已知函数f (x )=nx ）1（1-+a ln(x -1),其中n ∈N +*a 为常数. (1)当n =2时,求函数f (x )的极值;(2)当a =1时,证明:对任意的正整数n ,当x ≥2时,有f (x )≤x -1.(1)解 由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1}, 当n=2时,f(x)=2）1（1-x +aln(x-1),所以)(x f '=32)1()1(2x x a ---.①当a>0时,由)(x f '=0,得 x1=1+a 2>1,x 2=1-a2<1,此时)(x f '=321)1())((x x x x x a ----.当x ∈(1,x 1)时,)(x f '<0,f(x)单调递减; 当x ∈(x 1,+∞)时,)(x f '>0,f(x)单调递增. ②当a ≤0时,)(x f '<0恒成立,所以f(x)无极值. 综上所述,n=2时,当a>0时,f(x)在x=1+a2处取得极小值, 极小值为f （1+a2）=2a （1+ln a 2）.当a ≤0时,f(x)无极值.(2)证明 方法一 因为a=1,所以f(x)=nx ）1（1-+ln(x-1).当n 为偶数时,令g(x)=x-1-nx ）1（1--ln(x-1),则)(x g '=1+11)1(1---+x x n n =0)1(121>-+--+n x nx x (x ≥2).所以,当x ∈［2,+∞)时,g(x)单调递增,又g(2)=0,因此,g(x)=x-1-nx )1(1--ln(x-1)≥g(2)=0恒成立,所以f(x)≤x-1成立.当n 为奇数时,要证f(x)≤x-1,由于nx )1(1-<0,所以只需证ln(x-1)≤x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),则)(x h '=1-1211--=-x x x ≥0 (x ≥2),所以,当x ∈［2,+∞)时,h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增,又h(2)=1>0,所以当x ≥2时,恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命题成立.综上所述,结论成立.方法二 当a=1时,f(x)=nx ）1（1-+ln(x-1).当x ≥2时,对任意的正整数n,恒有nx ）1（1-≤1,故只需证明1+ln(x-1)≤x-1. 令h(x)=x-1-（1+ln(x-1)） =x-2-ln(x-1),x ∈［2,+∞).则)(x h '=1-11-x =,12--x x当x ≥2时,)(x h '≥0,故h(x)在［2,+∞)上单调递增, 因此,当x ≥2时,h(x)≥h(2)=0, 即1+ln(x-1)≤x-1成立.故当x ≥2时,有nx ）1（1-+ln(x-1)≤x-1.即f(x)≤x-1.4.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )=3 700x +45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为C (x )=460x +5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )=f (x +1)-f (x ).（1）求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解 （1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000(x ∈N +，且1≤x ≤20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275 (x ∈N +,且1≤x ≤19). （2）)(x P '=-30x 2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴)(x P '=0时,x=12，∴当0<x<12时，)(x P '>0,当x>12时，)(x P '<0,∴x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大. （3）MP(x)=-30x 2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. 所以，当x ≥1时，MP(x)单调递减， 所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N +.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.一、选择题1.(2009·崇文模拟)已知f （x ）的定义域为R ，f （x ）的导函数)(x f '的图像如图所示，则 （ ）A .f (x )在x =1处取得极小值 B.f (x )在x =1处取得极大值 C . f (x )是R 上的增函数D . f (x )是（-∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数答案C2.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数)(x f '在(a ,b )内的图像如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b ) 内有极小值点 （ ）A .1个B .2个C .3个D .4个答案A3.函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g (x )=xx f )(在区间（1，+∞）上一定 （ ）A .有最小值B .有最大值C .是减函数D .是增函数答案 D4.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12答案B5.已知f (x )=2x 3-6x 2+a (a 是常数）在［-2，2］上有最大值3，那么在［-2，2］上f (x ）的最小值是（ ）A .-5 B .-11 C .-29 D .-37答案D6.已知函数f (x )=21x 4-2x 3+3m ,x ∈R ,若f (x )+9≥0恒成立,则实数m 的取值范围是 （ ）A .m ≥23 B .m ＞23C .m ≤23D .m ＜23答案A二、填空题7.已知函数f (x )=x 3-12x +8在区间［-3，3］上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M -m= . 答案328.（2008·淮北模拟）已知函数f (x )的导数)(x f ' =a (x +1)·(x -a ),若f (x )在x =a 处取到极大值，则a 的取值范围是 . 答案 （-1，0）三、解答题9.设a ＞0,函数f (x )=12++x b ax ,b 为常数.（1）证明：函数f (x )的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f (x ）的极大值为1，极小值为-1，试求a 的值. （1）证明 )(x f '=,)1(2222++--x a bx ax ,令)(x f '=0,得ax 2+2bx-a=0(*)∵Δ=4b 2+4a 2>0,∴方程（*)有两个不相等的实根，记为x 1,x 2(x 1<x 2),则)(x f '=2221)1())((+---x x x x x a ,（2）解 由（1）得⎪⎩⎪⎨⎧+=+--=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-=++=②1①1,11)(11)(2222112222111x b ax x b ax x b ax x f x bax x f 即两式相加，得a(x 1+x 2)+2b=2122x x -. ∵x 1+x 2=-ab2,∴2122x x -=0,即(x 2+x 1)(x 2-x 1)=0,又x 1<x 2,∴x 1+x 2=0,从而b=0,∴a （x 2-1）=0，得x 1=-1,x 2=1,由②得a=2.10.设函数f （x ）=x 3-3ax 2+3bx 的图像与直线12x +y -1=0相切于点（1，-11）. （1）求a ，b 的值； （2）讨论函数f （x ）的单调性.解 （1）求导得)(x f '=3x 2-6ax+3b.由于f （x ）的图像与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），所以f （1）=-11，)1('f =-12，即⎩⎨⎧-=+--=+-,12363,11331b a b a 解得a=1，b=-3.（2）由a=1，b=-3得)(x f '=3x 2-6ax+3b=3(x 2-2x-3)=3(x+1)(x-3).由)(x f '>0,解得x<-1或x>3;又令)(x f '<0,解得-1<x<3.所以当x ∈(-∞,-1)和(3,+∞）时,f(x)是增函数;当x ∈(-1,3)时,f(x)是减函数. 11.已知函数f (x )=x 3-ax 2-3x .（1）若f (x )在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若x =-31是f (x )的极值点，求f （x ）在［1，a ］上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b ，使得函数g （x ）=bx 的图像与函数f （x ）的图像恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由.解 （1）)(x f '=3x 2-2ax-3，∵f(x)在［1，+∞）上是增函数,∴)(x f '在［1，+∞）上恒有)(x f '≥0， 即3x 2-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立.则必有3a≤1且)1('f =-2a ≥0,∴a ≤0.(2）依题意，)31(-'f =0，即31+32a-3=0，∴a=4,∴f(x)=x 3-4x 2-3x ，令)(x f '=3x 2-8x-3=0，得x 1=-31，)(x f '（3）函数g(x)=bx 的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点，即方程x 3-4x 2-3x=bx 恰有3个不等实根∴x 3-4x 2-3x-bx=0，∴x=0是其中一个根，∴方程x 2-4x-3-b=0有两个非零不等实根，∴.37,030)3(416-≠->∴⎩⎨⎧≠-->++=∆b b b b 且∴存在符合条件的实数b ，b 的范围为b>-7且b ≠-3. 12. (2008·安徽理，20)设函数f （x ）=xx ln 1（x ＞0且x ≠1）. （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）已知2x 1＞x a 对任意x ∈（0，1）成立，求实数a 的取值范围.解（1）)(x f '=-xx x 22ln 1ln +，若)(x f '=0,则x =e 1. 列表如下：所以f (x )的单调增区间为（0,e1），单调减区间为（e1,1）和（1，+∞）.（2）在2x 1＞x a 两边取对数，得x1ln2＞a ln x . 由于x ∈(0,1)，所以xx a ln 12ln >.①由（1）的结果知，当x ∈(0,1)时，f (x )≤f （e1）=-e. 为使①式对所有x ∈(0,1)成立，当且仅当2ln a＞-e, 即a ＞-eln2.§3.3 定积分的概念与微积分基本定理基础自测 1.∞→n lim ))1(sin 2sin (sin 1nn n n n πππ-+++ 写成定积分的形式，可记为 （ ） A .x x d sin 0π⎰ B .x x d sin 10⎰ C .π1x x d sin 0π⎰ D . π0⎰x xx d sin 答案C2.（2009·济宁模拟）下列值等于1的积分是 （ ）A .x x d10⎰ B .x x d )1(10+⎰ C .x d 2110⎰ D .xd 110⎰答案D3.由曲线y =e x ,x =0,y =2所围成的曲边梯形的面积为 （ ）A .y y d ln21⎰ B.y x d e 2e 0⎰ C .y y d ln 2ln 1⎰ D .x x d )e 2(21-⎰答案A4.已知f (x )为偶函数且,8d )(60=⎰x x f 则x x f d )(66-⎰等于 （ ） A .0 B .4 C .8 D .16答案D5.已知-1≤a ≤1，f (a )=)2(2210x a ax -⎰，求f （a ）的值域.解 f (a )=923221322|232d )2(22102232210+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎰a a a x a x a x x a ax∵-1≤a ≤1，∴-92)(67≤≤a f ,故f(a)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-92,67.例1 计算下列定积分（1）20⎰x (x +1)d x ;(2) 21⎰(e 2x +x1)d x ; (3) π0⎰sin 2x d x .解 （1）∵x （x +1）=x 2+x 且(31x 3)′=x 2,(21x 2)′=x , ∴20⎰x (x +1)d x =20⎰(x 2+x )d x=20⎰x 2d x +20⎰x d x =31x 3|20+21x 2|20 =(31×23-0)+(21×22-0)=314. (2)∵(ln x )′=x1,(e 2x )′=e 2x ·(2x )′=2e 2x , 得e 2x =(21e 2x)′ 所以21⎰（e 2x +x 1)d x =21⎰e 2x d x +21⎰x 1d x =21e 2x |21+ln x |21 =21e 4-21e 2+ln2-ln1=21e 4-21e 2+ln2. (3)由(sin2x )′=cos2x ·(2x )′=2cos2x ,得 cos2x =（21sin2x ）′, 所以π0⎰sin 2x d x =π0⎰（21-21cos2x ）d x =π0⎰21d x -21π0⎰cos2x d x =21x |π0-21（21sin2x ）|π0 =（2π-0）-21（21sin2π -21sin0）=2π. 例2 (2009·顺德模拟)计算下列定积分（1）π20⎰|sin x |d x ;(2)20⎰|x 2-1|d x .解 （1）∵（-cos x ）′=sin x ，∴π20⎰|sin x |d x =π0⎰|sin x |d x +ππ2⎰|sin x |d x =π0⎰sin x d x -ππ2⎰sin x d x =-cos x |π0+cos x |ππ2=-（cos π-cos0）+（cos2π-cos π）=4.（2）∵0≤x ≤2，于是|x 2-1|=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤<-)10(1)21(122x x x x∴20⎰|x 2-1|d x =10⎰(1-x 2)d x +21⎰(x 2-1)d x=⎪⎭⎫ ⎝⎛-331x x |10+（31x 3-x ）|21=（1-31）+（31×23-2）-（31-1）=2. 例3 求函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈]3,2(2]2,1(]1,0[23x x x x x x 在区间［0，3］上的积分. 解 由积分性质知30⎰f (x )d x =10⎰f (x )d x +21⎰f (x )d x +32⎰f (x )d x =10⎰x 3d x +21⎰x 2d x +32⎰2x d x=44x |10+31x 3|21+2ln 2x |32=41+38-31+2ln 8-2ln 4 =2ln 4+1231. 例4 （12分）求定积分32-⎰2616x x -+d x .解 设y =2616x x -+, 即(x -3)2+y 2=25 (y ≥0). 4分 ∵32-⎰2616x x -+d x 表示以5为半径的圆的四分之一面积，∴32-⎰2616x x -+d x =π425.12分1. 求0π-⎰(cos x +e x )d x .解 0π-⎰(cos x +e x )d x =0π-⎰cos x d x +0π-⎰e x d x=sin x |0π-+e x |0π-=1-πe 1.2.求40⎰（|x -1|+|x -3|）d x .解 设y =|x -1|+|x -3|=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-)3(42)31(2)1(42x x x x x ∴40⎰(|x -1|+|x -3|)d x=10⎰(-2x +4)d x +31⎰2d x +43⎰(2x -4)d x =(-x 2+4x )|10+2x |31+(x 2-4x )|43=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.3.已知函数:f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤+--)32()2()21()10()1(211x x xx x x 求30⎰f (x )d x .解 30⎰f (x )d x =10⎰2(x +1)-1 d x +21⎰x d x +32⎰(2)x -1d x=2ln(x +1)|10+323x |21+ 321|)2(2ln 1-x=2ln2+32(22-1)+ )22(2ln 1-. 4.10⎰（2)1(1--x -x ）d x = .答案42-π一、选择题1.与定积分π3⎰x cos 1-d x 相等的是 （ ）A .x x d 2sin 230π⎰ B .x x d |2sin |230π⎰ C .||d 2sin 230x xπ⎰ D .以上结论都不对答案B2.若y =f (x )与y =g (x )是［a ,b ］上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x =a ,x =b 所围成的平面区域的面积为 （ ）A .()x x g x f b ad )()(-⎰ B .x x f x g b a d ))()(-⎰ C .x x g x f b a d |)()(-⎰ D .||d ))()(x x g x f b a-⎰答案C3.定积分x x x d )33(210+⎰等于 （ ）A .343ln 4- B .23ln 4+ C .-343ln 4- D .- 23ln 4+ 答案B4.设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤<-≤≤+,21,3,10,12x x x x 则x x f d )(20⎰等于 （ ）A .31B .617 C .6 D .17答案B5.下列定积分值为0的是 （ ）A .x x x d sin22-⎰ B .x x x d cos 222-⎰C.x x x d )(4222+⎰-D.x x x d )5(25322+⎰- 答案D6.根据x x d sin 20π⎰推断，直线x =0，x =2π，y =0和正弦曲线y =sin x 所围成的曲边梯形的面积时，正确结论为 （ ） A .面积为0B .曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C .曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D .曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积答案D二、填空题7.若10⎰f (x )d x =1, 20⎰f (x )d x =-1,则21⎰f (x )d x = .答案 -2 8.定积分10⎰21x x +d x 的值是 .答案21ln2 三、解答题 9.求下列定积分的值 (1) 30⎰29x -d x ;(2)已知f (x )=⎩⎨⎧<<≤≤-)10(1)01(2x x x ，求11-⎰f (x )d x 的值. 解 （1）30⎰29x -d x 表示以y =29x -与x =0,x =3所围成图形的面积，而y =29x -与x =0,x =3围成的图形为圆x 2+y 2=9在第一象限内的部分，因此所求的面积为49π.（2）∵f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤-10112x x x∴11-⎰f (x )d x =01-⎰x 2d x +10⎰1d x=31x 3|01-+x |10=31+1=34. 10.已知f （x ）=ax 2+bx +c ，且f （-1）=2，)0('f =0，10⎰f （x ）d x =-2，求a 、b 、c 的值. 解 由f （-1）=2，得a -b +c =2， ①又)(x f '=2ax +b , 由)0('f =0得b =0,②10⎰f (x )d x =10⎰(ax 2+bx +c )d x=(31ax 3+2b x 2+cx )|10 =31a +21b +c . 即31a +21b +c =-2，③由①②③得：a =6,b =0,c =-4.11.已知f (a )= 10⎰(2ax 2-a 2x )d x ,求f (a )的最大值.解 10⎰(2ax 2-a 2x )d x =(32ax 3-21a 2x 2)|10=32a -21a 2即f (a )= 32a -21a 2=-21（a 2-34a +94）+92 =-21（a -32）2+92. 所以当a =32时，f (a )有最大值92. 12.(2009·青岛模拟)对于函数f (x )=bx 3+ax 2-3x .（1）若f (x )在x =1和x =3处取得极值，且f (x )的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t -23cos 2t +3,试求实数t 的取值范围；（2）若f (x ）为实数集R 上的单调函数，且b ≥-1,设点P 的坐标为（a ,b )，试求出点P 的轨迹所围成的图形的面积S .解 （1）由f (x )=bx 3+ax 2-3x ,则)(x f '=3bx 2+2ax -3,∵f （x ）在x =1和x =3处取得极值， ∴x =1和x =3是)(x f '=0的两个根且b ≠0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯-=+b ba 33313231⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==312b a . ∴)(x f '=-x 2+4x -3.∵f (x )的图像上每一点的切线的斜率不超过2sin t cos t -23cos 2t +3,∴)(x f '≤2sin t cos t -23cos 2t +3对x ∈R 恒成立，而)(x f '=-(x -2)2+1,其最大值为1.故2sin t cos t -23cos 2t +3≥1⇒2sin(2t -3π)≥1⇒2k π+6π≤2t -3π≤2k π+65π,k ∈Z ⇒k π+4π≤t ≤k π+127π,k ∈Z . （2）当b =0时，由f (x )在R 上单调，知a =0. 当b ≠0时，由f (x )在R 上单调⇔)(x f '≥0恒成立，或者)(x f '≤0恒成立.∵)(x f '=3bx 2+2ax -3,∴Δ=4a 2+36b ≤0可得b ≤-91a 2. 从而知满足条件的点P （a ,b )在直角坐标平面aOb 上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b =-91a 2与直线b =-1所围成的封闭图形， 其面积为S =33-⎰(1-91a 2)d a =4.§3.4 定积分的简单应用基础自测 1.将由y =cos x ,x =0,x =π,y =0所围图形的面积写成定积分形式为（ ）A .x x d cos 0π⎰B .x x x x d cos d cos 220πππ⎰+⎰ C .x x d cos 20π⎰ D .x x d |cos |20π⎰答案B2.一物体沿直线以v =3t +2 (t 单位：s,v 单位：m/s ）的速度运动，则该物体在3 s ～6 s 间的运动路程为（ ）A .46 mB .46.5 mC .87 mD .47 m答案B3.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N ，变力F 做的功W 为 （ ） A .5 J B .10 J C .20 JD.40 J答案B4.曲线y =cos x （0≤x ≤23π）与坐标轴所围成的面积是 （ ）A .2 B .3 C .25D .4答案B5.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ(x )=x 3（取细棒的一端为原点，所在直线为x 轴），棒长为1，则棒的质量M 为 （ ） A .1 B .21C.31D .41 答案D例1 求抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积.解 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==x y xy 422解出抛物线和直线的交点为（2，2）及(8,-4).方法一 选x 作为积分变量，由图可看出S =A 1+A 2 在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y =x 2, 下半支方程为y =-x 2，所以S 1A =20⎰［x 2-(-x 2)］d x =2220⎰x21d x=22·32x 23|20=316， S 2A =82⎰［4-x -(-x 2)］d x=(4x -21x 2+322x 23)|82=338, 于是：S =316+338=18. 方法二 选y 作积分变量，将曲线方程写为x =22y 及x =4-y .S =24-⎰[（4-y ）-22y ]d y =(4y -22y -63y )|24-=30-12=18.例2 （14分）如图所示，直线y =kx 分抛物线y =x -x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值.解 抛物线y =x -x 2与x 轴两交点的横坐标x 1=0,x 2=1,所以抛物线与x 轴所围图形的面积S =10⎰（x -x 2）d x =(3232x x -)|10 =21-31=61. 4分抛物线y =x -x 2与y =kx 两交点的横坐标为 x 1′=0,x 2′=1-k ,6分所以2S =k -⎰10（x -x 2-kx ）d x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--32132x x k |k -10 =61(1-k )3， 10分又知S =61，所以(1-k )3=21， 于是k =1-321=1-243. 12分例3 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程.解 由速度—时间曲线易知，v （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈∈]60,40[905.1)40,10[30)10,0[3t t t t t由变速直线运动的路程公式可得s =100⎰3t d t +4010⎰30d t +6040⎰(-1.5t +90)d t=23t 2|100+30t |4010+（-43t 2+90t ）|6040 =1 350 (m).答 此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.1.求抛物线y 2=x 与直线x -2y -3=0所围成的平面图形的面积S .解 方法一 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0322y x xy 得抛物线与直线的交点为P （1，-1），Q （9，3）（如图）.∴S =10⎰［x -(-x )］d x +91⎰(x -23-x )d x =210⎰x d x +91⎰(x -2x +23)d x =343x |10+（32x 23-42x +x 23）|91=34+328=332. 方法二 若选取积分变量为y ，则两个函数分别为x =y 2,x =2y +3.由方法一知上限为3，下限为-1. ∴S =31-⎰(2y +3-y 2）d y =（y 2+3y -31y 3)|31-=(9+9-9)-(1-3+31)=332.2.如图所示,阴影部分的面积是（ ） A .32B .9-32C .332D .335 答案 C3.一物体按规律x =bt 3做直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x =0运动到x =a 时，阻力做的功. 解 物体的速度v =)(t x '=(bt 3)′=3bt 2,媒质阻力f 阻=kv 2=k ·(3bt 2)2=9kb 2t 4.(其中k 为比例常数，k ＞0)当x =0时，t =0，当x =a 时，t =t 1=31⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ,∴阻力做的功是：W 阻=a0⎰f 阻d x =201kv t ⎰·v d t=10t k ⎰v 3d t =10t k ⎰（3bt 2）3d t =727kb 371t =727k 327b a =727ka 232ab .一、选择题1. 如图，阴影部分面积为 ( )A.c a ⎰[]xx g x f d )()(-B.[][]x x g x f x x f x gbcc ad )()(d )()(-⎰+-⎰C.c a ⎰[]x x g x fd )()(-+b c ⎰[]x x f x g d )()(-D.b c⎰[]x x f x g d )()(- 答案B2.（2008·广州模拟）设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈],2,1(,2],1,0[,2x x x x 则20⎰f （x ）d x 等于 ( )A.43 B.54 C.65D.不存在答案C3.设f (x )=x0⎰sin t d t ,则f （f （2π））等于 （ ） A.-1 B.1 C.-cos1 D.1-cos1答案D4.一物体在力F （x ）=⎩⎨⎧>+≤≤)2(43)20(10x x x (单位：N ）的作用下沿与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =4（单位：m)处，则力F （x ）作的功为 （ ）A.44B.46C.48D.50答案B5.一物体在变力F (x )=5-x 2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F (x )成30°方向作直线运动,则由x =1运动到x =2时F (x )作的功为 （ ）A.3J B .332 J C.334 J D.23 J答案C6. 函数F (x )=x0⎰t (t -4)d t 在［-1,5］上 （ ）A.有最大值0,无最小值B.有最大值0和最小值-332 C.有最小值-332,无最大值 D.既无最大值也无最小值答案B二、填空题7.汽车以v =3t +2 (单位：m/s ）作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是 m. 答案 6.58.若f (x )是一次函数，且10⎰f (x )d x =5, 10⎰xf (x )d x =617,那么函数f (x )的解析式是 . 答案 f (x )=4x +3 三、解答题9.证明：把质量为m （单位：kg ）的物体从地球的表面升高h (单位：m)处所做的功W =G ·,)(h k k Mmh+其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径.证明 根据万有引力定律：知道对于两个距离为r,质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力为f （r ）=G ·221r m m ，其中G 为引力常数.则当质量为m 的物体距地面高度为x(0≤x ≤h)时，地心对它的引力f （x ）=G ·.)(2x k Mm+故该物体从地面升到h 高处所做的功为W =h 0⎰f （x ）d x =h 0⎰G ·2)(x k Mm+·d x=GMm h 0⎰2)(1x k +d （k +x ）=GMm ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x k 1|h 0=.)(·)11(h k k MmhG k h k GMm +=++-10.设函数f (x )=x 3+ax 2+bx 在点x =1处有极值-2.（1）求常数a ,b 的值；（2）求曲线y =f (x )与x 轴所围成的图形的面积.解 （1）由题意知)(x f '=3x 2+2ax+b, f(1)=-2且)1('f =0,即,02321⎩⎨⎧=++-=++b a b a 解得a=0,b=-3, 即f(x)=x 3-3x.(2)作出曲线y=x 3-3x 的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3-3x=0得曲线y=x 3-3x 与x 轴的交点坐标是(-3,0),(0,0)和(3,0)，而y=x 3-3x 是R 上的奇函数，函数图像关于原点中心对称.所以(-3,0)的阴影面积与(0,3)的阴影面积相等. 所以所求图形的面积为S =230⎰［0-(x 3-3x )］d x =-2（41x 4-23x 2）|30=29. 11.如图所示，抛物线y =4-x 2与直线y =3x 的两交点为A 、B ，点P 在抛物线上从A 向B 运动. （1）求使△PAB 的面积最大的P 点的坐标(a ,b );（2）证明由抛物线与线段AB 围成的图形，被直线x =a 分为面积相等的两部分. （1）解 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 342，得x 1=1,x 2=-4.∴抛物线y =4-x 2与直线y =3x 的交点为 A （1，3），B （-4，-12）， ∴P 点的横坐标a ∈(-4,1). 点P （a ,b )到直线y =3x 的距离为d =22313+-b a ,∵P 点在抛物线上，∴b =4-a 2，ad '=101·(4-3a -a 2)′=101 (-2a -3)=0,∴a =-23，即当a =-23时，d 最大， 这时b =4-49=47, ∴P 点的坐标为（-23,47）时，△PAB 的面积最大. （2）证明 设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S , 位于x =-23右侧的面积为S 1. S =14-⎰（4-x 2-3x )d x =6125, S 1=123-⎰（4-x 2-3x )d x =12125, ∴S =2S 1,即直线x =-23平分抛物线与线段AB 围成的图形的面积. 12.在区间［0，1］上给定曲线y =x 2，试在此区间内确定点t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小.解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y =x 2与x 轴、直线x =t 所围成的面积，即S 1=t ·t 2-t 0⎰x 2d x =32t 3. S 2的面积等于曲线y =x 2与x 轴、x =t ,x =1围成的面积减去矩形面积， 矩形边长分别为t 2，（1-t ），即 S 2=1t ⎰x 2d x -t 2(1-t )=32t 3-t 2+31. 所以阴影部分的面积S 为 S =S 1+S 2=34t 3-t 2+31（0≤t ≤1）. ∵)(t S '=4t 2-2t =4t (t -21)=0时，得t =0，t =21. 当t =21时，S 最小，∴最小值为S (21)=41. 单元检测三一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.（2007·海南、宁夏文，10）曲线y =e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）A .49e2B .2e2C .e2D .2e 2答案D2.（2008·福建文，11）如果函数y =f (x )的图像如图所示，那么导函数y =)(x f '的图像可能是( )。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 文1．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减．2．函数的极值一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( × )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( √ )(3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( × )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ )1．函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由y ＝4x 2＋1x 得y ′＝8x －1x2， 令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12， ∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.2．已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (1)＝3，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )<2(x ∈R )，则不等式f (x )<2x ＋1的解集为______________________________． 答案 (1，＋∞)解析 令g (x )＝f (x )－2x －1，∴g ′(x )＝f ′(x )－2<0，∴g (x )在R 上为减函数，且g (1)＝f (1)－2－1＝0.由g (x )<0＝g (1)，得x >1.3．(2015·广州二模)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．答案 2解析 由题意知f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0得x ＝0或2，由f ′(x )>0得x <0或x >2，由f ′(x )<0得0<x <2.∴f (x )在x ＝2处取得极小值．4．(教材改编)如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为________．答案 1解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．5．设1<x <2，则ln x x ，(ln x x )2，ln x 2x2的大小关系是__________________．(用“<”连接) 答案 (ln x x )2<ln x x <ln x 2x2 解析 令f (x )＝x －ln x (1<x <2)，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0， ∴函数y ＝f (x )(1<x <2)为增函数，∴f (x )>f (1)＝1>0，∴x >ln x >0⇒0<ln x x<1， ∴(ln x x)2<ln x x . 又ln x 2x 2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝2－x ln x x2>0， ∴(ln x x )2<ln x x <ln x 2x 2.。

课时3 导数与函数的综合问题题型一 用导数解决与不等式有关的问题 命题点1 解不等式例1 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′x －f xx 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是_________． 答案 (－∞，－2)∪(0,2) 解析 x >0时⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′<0，∴φ(x )＝f x x 为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0， 此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)． 命题点2 证明不等式 例2 证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x . 证明 记F (x )＝sin x －22x ，则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈(0，π4)时，F ′(x )>0，F (x )在[0，π4]上是增函数；当x ∈(π4，1)时，F ′(x )<0，F (x )在[π4，1]上是减函数．又F (0)＝0，F (1)>0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0， 即sin x ≥22x .记H (x )＝sin x －x ， 则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1<0， 所以H (x )在[0,1]上是减函数， 则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x . 综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0,1]． 命题点3 不等式恒成立问题 例3 已知函数f (x )＝ln x －a x.若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． 解 ∵f (x )<x 2，∴ln x －a x<x 2，又x >0，∴a >x ln x －x 3，令g (x )＝x ln x －x 3，则h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x2x，∵当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0.∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数，∴g (x )<g (1)＝－1， ∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．思维升华 (1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式； (2)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，利用导数求F (x )的值域，得到F (x )<0即可；(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．设a ∈R ，已知函数f (x )＝ax 3－3x 2.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意的x ∈[1,3]，有f (x )＋f ′(x )≤0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－3x 2， 则f ′(x )＝3x 2－6x .由f ′(x )>0，得x <0或x >2；由f ′(x )<0，得0<x <2.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．(2)依题意，对∀x ∈[1,3]，ax 3－3x 2＋3ax 2－6x ≤0恒成立，等价于不等式a ≤3x 2＋6x x 3＋3x 2＝3x ＋6x 2＋3x对x ∈[1,3]恒成立．令h (x )＝3x ＋6x 2＋3x，x ∈[1,3]， 则h ′(x )＝－3x 2＋4x ＋6x 2＋3x 2＝－3[x ＋22＋2]x 2＋3x 2<0，所以h (x )在区间[1,3]上是减函数， 所以h (x )的最小值为h (3)＝56.所以a ≤56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，56. 题型二 利用导数解决函数零点问题例4 (2014·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． (1)解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根． 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4， 则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根． 综上，g (x )＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．思维升华 研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x 的图象与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． 解 f ′(x )＝x (2＋cos x )， 令f ′(x )＝0，得x ＝0.∴当x >0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上递增． 当x <0时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上递减． ∴f (x )的最小值为f (0)＝1.∵函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b >1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点． 综上可知，b 的取值范围是(1，＋∞)． 题型三 利用导数解决生活中的优化问题例5 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可得，x ＝所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．思维升华 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．答案 40解析 由y ′＝x 2－39x －40＝0，得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0；x >40时，y ′>0. 所以当x ＝40时，y 有最小值．一审条件挖隐含典例 (14分)设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (2)如果对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．(1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M (正确理解“存在”的含义) [g (x 1)－g (x 2)]max ≥M ↓挖掘[g (x 1)－g (x 2)]max 的隐含实质 ↓g (x )max －g (x )min ≥M↓求得M 的最大整数值(2)对任意s ，t ∈[12，2]都有f (s )≥g (t )↓ (理解“任意”的含义)f (x )min ≥g (x )max↓求得g (x )max ＝1ax＋x ln x ≥1恒成立 ↓分离参数aa ≥x －x 2ln x 恒成立↓求h (x )＝x －x 2ln x 的最大值a ≥h (x )max ＝h (1)＝1↓a ≥1 规范解答解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M .[2分] 由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x (x －23)．令g ′(x )>0得x <0，或x >23.[3分]又x ∈[0,2]，所以g (x )在区间[0，23]上单调递减，在区间[23，2]上单调递增，所以g (x )min＝g (23)＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1.故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4.[6分](2)对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间[12，2]上，函数f (x )min ≥g (x )max .[8分]由(1)可知在区间[12，2]上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在区间[12，2]上，f (x )＝a x＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在区间[12，2]上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1<x <2时，h ′(x )<0； 当12<x <1时，h ′(x )>0.[11分] 即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间(12，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h (x )max＝h (1)＝1，[13分]所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．[14分]温馨提醒 (1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化．(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的值域问题．[方法与技巧]1．用导数方法证明不等式f(x)>g(x)时，找到函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点是解题的突破口．2．在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．[失误与防范]1．利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“a<f(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到．2．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2xx ≤0，ln x ＋1x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是__________．答案 [－2,0] 解析 |f (x )|≥ax ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－－x 2＋2x ≥ax x ≤0，1ln x ＋1≥ax x >0， 2成立．①由(1)得x (x －2)≥ax 在区间(－∞，0]上恒成立． 当x ＝0时，a ∈R ；当x <0时，有x －2≤a 恒成立， 所以a ≥－2.故a ≥－2.②由(2)得ln(x ＋1)－ax ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝ln(x ＋1)－ax (x >0)，则h ′(x )＝1x ＋1－a (x >0)，可知h ′(x )为减函数．当a ≤0时，h ′(x )>0，故h (x )为增函数， 所以h (x )>h (0)＝0恒成立； 当a ≥1时，因为1x ＋1∈(0,1)， 所以h ′(x )＝1x ＋1－a <0，故h (x )为减函数， 所以h (x )<h (0)＝0恒成立，显然不符合题意；当0<a <1时，对于给定的一个确定值a ，总可以至少找到一个x 0>0，满足h (x 0)＝ln(x 0＋1)－ax 0<0成立．如a ＝12时，取x 0＝4，则h (x 0)＝ln 5－2<0成立，可知0<a <1时，不符合题意．故a ≤0.由①②可知a 的取值范围是[－2,0]．2．已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f xx>0，若a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 a <c <b解析 构造函数h (x )＝xf (x )， 则h ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )． ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴h (x )是定义在R 上的偶函数．当x >0时，h ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )>0， ∴此时函数h (x )单调递增．∵a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)＝2f (2)＝h (2)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 12f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 12＝h ⎝⎛⎭⎪⎫ln 12＝h (－ln 2)＝h (ln 2)，又12<ln 2<2，∴a <c <b . 3．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件． 答案 3解析 y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)， 当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大．4．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________． 答案 9解析 由题意得f ′(x )＝12x 2－2ax －2b .∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0， ∴a ＋b ＝6.∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，易知此时f (x )在x ＝1处有极小值，满足题意，∴ab 的最大值为9.5．设f ′(x )和g ′(x )分别是f (x )和g (x )的导函数，若f ′(x )·g ′(x )<0在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性相反．若函数f (x )＝13x 3－2ax (a >0)与g (x )＝x 2＋2bx在区间(a ，b )上单调性相反，则b －a 的最大值为________． 答案 12解析 由题意知f ′(x )＝x 2－2a ，g ′(x )＝2x ＋2b ，函数f (x )与g (x )在区间(a ，b )上单调性相反，则有(x 2－2a )·(2x ＋2b )<0在x ∈(a ，b )上恒成立，又0<a <b ，所以2x ＋2b >0，于x 2－2a <0在x ∈(a ，b )上恒成立．x 2－2a <0的解集为(－2a ，2a )，所以(a ，b )⊆(－2a ，2a )，所以b －a ≤2a －a ＝－(a －12)2＋12，当a ＝12，b ＝1时，b －a 取得最大值12. 6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )，f ′(x )>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f 1f ′0的最小值为________．答案 2解析 ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b >0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0，∴f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2，当且仅当a ＝c 时“＝”成立．7．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 014)2f (x ＋2 014)－4f (－2)>0的解集为________．答案 (－∞，－2 016) 解析 由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，x <0得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3，所以[x 2f (x )]′<x 3<0. 令F (x )＝x 2f (x )(x <0)， 则F ′(x )<0(x <0)，即F (x )在(－∞，0)上是减函数，因为F (x ＋2 014)＝(x ＋2 014)2f (x ＋2 014)，F (－2)＝4f (－2)，所以不等式(x ＋2 014)2f (x ＋2 014)－4f (－2)>0， 即为F (x ＋2 014)－F (－2)>0，即F (x ＋2 014)>F (－2)， 又因为F (x )在(－∞，0)上是减函数， 所以x ＋2 014<－2，所以x <－2 016.8．若对于任意实数x ≥0，函数f (x )＝e x＋ax 恒大于零，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－e ，＋∞)解析 ∵当x ≥0时，f (x )＝e x＋ax >0恒成立． ∴若x ＝0，a 为任意实数，f (x )＝e x＋ax >0恒成立． 若x >0，f (x )＝e x＋ax >0恒成立， 即当x >0时，a >－ex x恒成立．设Q (x )＝－e x x .Q ′(x )＝－e x x －exx 2＝1－x exx 2.当x ∈(0,1)时，Q ′(x )>0，则Q (x )在(0,1)上单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，Q ′(x )<0，则Q (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x ＝1时，Q (x )取得最大值．Q (x )max ＝Q (1)＝－e ，∴要使x ≥0时，f (x )>0恒成立，a 的取值范围为(－e ，＋∞)． 9．设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：↘↗故f(x)单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r ＝5或－5(因为r ＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数g (x )＝f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象的是________．(填序号)答案 ④解析 设h (x )＝f (x )e x，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x. 由x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点． ∴c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2，则x 1x 2＝aa＝1，④中图象一定不满足条件．12．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [4，＋∞)解析 当x ∈(0,1]时不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x 3，设g (x )＝3x －1x3，x ∈(0,1]， g ′(x )＝3x 3－3x －1·3x2x 6＝－6x －12x4. g ′(x )与g (x )随x 的变化情况如下表：x (0，12)12 (12，1) g ′(x ) ＋ 0 － g (x )↗极大值4↘因此g (x )则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．13．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析 a ＝0时，不符合题意，a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a，若a >0，则由图象知f (x )有负数零点，不符合题意． 则a <0，由图象f (0)＝1>0知，此时必有0<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a <1，即0<a ·8a3－3·4a2＋1<1，化简得a 2>4，又a <0，所以a <－2. 14．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a 2x ＋ax.由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 只要⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a －1≥e－1，fe ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.15．已知函数f (x )＝ln x ＋1x－1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m ∈R ，对任意的a ∈(－1,1)，总存在x 0∈[1，e]，使得不等式ma －f (x 0)<0成立，求实数m 的取值范围．解 f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，x >0.令f ′(x )>0，得x >1，因此函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)． 令f ′(x )<0，得0<x <1，因此函数f (x )的单调递减区间是(0,1)．综上，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)， 单调减区间为(0,1)． (2)依题意，ma <f (x )max .由(1)知，f (x )在x ∈[1，e]上是增函数． ∴f (x )max ＝f (e)＝ln e ＋1e －1＝1e .∴ma <1e ，即ma －1e <0对于任意的a ∈(－1,1)恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ×1－1e ≤0，m ×－1－1e≤0，解得－1e ≤m ≤1e .∴m 的取值范围是[－1e ，1e]．。

§3.1导数的概念及运算1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率Δy Δx＝f(x1)－f(x0)x1－x0＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0f(x1)－f(x0)x1－x0＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．4．基本初等函数的导数公式5． (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 6． 复合函数的导数函数y ＝f (φ(x ))称为函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )的复合函数，其导数为y x ′＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )φ′(x )．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数y ＝x 3的导数是y ′＝3x 2.( × )2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案 2解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝2.3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1B ．±1C ．1D ．±3答案 B解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2. 又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直， ∴3a 2·(－13)＝－1，∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.4． 如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图像知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C. 又由图像知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5． 曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________．答案 13解析 y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的 三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A (23，23)，所以三角形的面积S ＝12×1×23＝13.题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．思维启迪 掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键． 解 f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0 x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0(x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20. 曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30， 得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．思维升华 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1；(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →ΔyΔx.(1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx＝________；该函数在x ＝1处的导数是________．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →f (x 0＋h )－f (x 0－h )h的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0答案 (1)1－1x (x ＋Δx ) 0 (2)B解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －x －1x＝Δx ＋1x ＋Δx －1x＝Δx ＋－Δxx (x ＋Δx ).∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ).y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δy Δx ＝0. (2)lim h →f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝2×lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝2f ′(x 0)． 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)y ＝ln(2x ＋5)．思维启迪 求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导． 解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)y ＝sin 2(2x ＋π3)＝12－12cos(4x ＋23π) 故设y ＝12－12cos u ，u ＝4x ＋23π，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12sin u ·4＝2sin u ＝2sin(4x ＋23π)．(4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， 因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．求下列函数的导数．(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)y ＝sin x 2(1－2cos 2x4)；(3)y ＝ln(x 2＋1)．解 (1)方法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.方法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.(2)∵y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，∴y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝ln(x 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝2xx 2＋1.题型三 导数的几何意义例3 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．思维启迪 由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点． 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 思维升华 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．(1)曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是________．答案 2x －y ＝0解析 ∵y ＝x ＋sin x ，∴y ′＝1＋cos x ，当x ＝0时，y ′＝1＋cos 0＝2，故曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是y －0＝2(x －0)，2x －y ＝0.(2)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的切线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是 ( )A ．－3B ．3C ．6D ．9答案 D解析 先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上，即y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，②联立①、②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.一审条件挖隐含典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图像为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图像为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1①↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ②↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2， [1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分]设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0 ①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516. [9分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧1． f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2． 对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防范1． 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2． 求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3． 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．eC.ln 22D ．ln 2答案 B解析 由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 2． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.3． 已知函数f (x )＝12x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[5，＋∞)B ．[4,5]C ．[4，133]D ．(－∞，4)答案 B解析 f ′(x )＝x ＋4x ，当1≤x 0≤3时，f ′(x 0)∈[4,5]，又k ＝f ′(x 0)＝m ，所以m ∈[4,5]．4． 曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( )A.112 B.16C.13D.12答案 B解析 求导得y ′＝3x 2，所以y ′＝3x 2|x ＝1＝3， 所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝3(x －1)，结合图像易知所围成的三角形是直角三角形， 三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B.5． 已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2 015(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案 A解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A. 二、填空题6． 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.答案 6解析 对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导， 得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)． 令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.7． 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________________． 答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图像可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切 线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)， 所以切线方程为x －y －2＝0.8． 若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x ≥2. 三、解答题9． 求下列函数的导数．(1)y ＝x n lg x ； (2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3；(3)y ＝sin x xn ；(4)y ＝log a sin x (a >0且a ≠1)． 解 (1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n ·1x ln 10＝x n －1(n lg x ＋1ln 10)． (2)y ′＝(1x )′＋(2x 2)′＋(1x 3)′＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′＝－x －2－4x －3－3x －4＝－1x 2－4x 3－3x4.(3)y ′＝(sin xx n )′＝x n (sin x )′－(x n )′sin x x 2n＝x n cos x －nx n －1sin xx 2n＝x cos x －n sin xx n ＋1. (4)令y ＝log a u ，u ＝sin x ，y ′＝1u log a e·cos x ＝1tan x ·log a e ＝log a e tan x .10．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 在函数y ＝x 3－9x 的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103， 显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.2． 若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图像是 ( )答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b24＋c ， 由f (x )的图像的顶点在第四象限得－b2>0，∴b <0.又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.3． (2013·广州调研)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________． 答案278解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )． 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，① 所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )， 解之得，t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数得a ＝278.4． 设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.5． 设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1， ① y 1＝－x 21＋92x 1－4，②①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9， ∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为(92，－4)．。