步步高高中数学 必修 5 数列打印版

习题课 (2)课时目标 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式； 2.掌握数列乞降的几种基本方法．1．等差数列的前n 项和公式： S n＝______________ ＝____________.2．等比数列前n 项和公式：①当 q＝ 1 时， S n＝ ________；②当 q≠ 1 时， S n＝ __________ ＝ ____________.3．数列 {a n} 的前 n 项和 S n＝ a1＋ a2＋ a3＋＋ a n，则 a n＝ ________________.4．拆项成差乞降常常用到以下拆项公式：1＝ ____________；(1)n(n＋ 1)(2)1＝ __________________ ；(2n－ 1)(2n＋ 1)(3)1＝ __________.n＋ 1n＋一、选择题1．数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，若 a n＝1，则 S5等于 ()n(n＋ 1)5A． 1 B. 611C.6D. 302．数列 {a n} 的通项公式a n＝1，若前 n 项的和为10，则项数为 ()n＋n＋ 1A． 11B． 99C．120 D ．121111，1，的前 n项和为 ()3．数列 1，2 ，3842416121B.1n(n＋ 1)＋ 1－1A. (n＋ n＋ 2)－n22n－ 12212111 C. (n－n＋ 2)－n D. n(n＋ 1)＋2(1－n) 22224．已知数列 {a n} 的通项 a n＝ 2n＋ 1，由 b n＝a1＋ a2＋ a3＋＋ a n所确立的数列 {b n} 的前 n n项之和是 ()1A ． n(n ＋ 2)B. 2n(n ＋ 4)1 1 C.2n(n ＋ 5)D. 2n(n ＋ 7)5．已知 S n ＝ 1－ 2＋ 3－ 4＋ ＋ (－ 1)n －1n ，则 S 17＋ S 33＋ S 50 等于 ()A ． 0B ． 1C ．－ 1D ． 26．数列 {a n } 知足 a 1， a 2－ a 1， a 3－ a 2， ， a n －a n －1 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 那么 a n 等于 ()nn －1A ．2 －1B ．2 － 1C ． 2n ＋ 1D ．4n － 1二、填空题7．一个数列 {a n } ，此中 a 1＝3，a 2＝ 6，a n ＋ 2＝ a n ＋ 1－ a n ，那么这个数列的第 5 项是 ________． 8．在数列 {a n } 中， a n ＋ 1＝2a n，对全部正整数 n 都建立，且 a 1＝ 2，则 a n ＝ ______.2＋ a n9．在 100 内全部能被 3 整除但不可以被7 整除的正整数之和是 ________．10．数列 {a n } 中， S n 是其前 n 项和，若1 a 1＝1， a n ＋1 ＝ S n (n ≥ 1)，则 a n ＝ ____________.3三、解答题11．已知等差数列 {a n } 知足： a 3＝ 7， a 5＋ a 7＝ 26， {a n } 的前 n 项和为 S n .(1)求 a n 及 S n ；1(2)令 b n ＝a 2n － 1(n ∈N ＋)，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n .12．设数列 {a n } 知足 a 1＝ 2， a n ＋ 1－ a n ＝ 3·22n －1.(1)求数列 {a n } 的通项公式；(2)令 b n ＝ na n ，求数列 {b n } 的前 n 项和 S n .能力提高13．在数列1{a n} 中， a1＝ 2， a n＋1＝ a n＋ ln 1＋ n，则a n等于 ()A． 2＋ ln n B． 2＋ (n－ 1)ln n C． 2＋ nln n D． 1＋ n＋ ln n14．已知正项数列{a n} 的前n 项和S n＝ 1(a n＋ 1)2，求 {a n} 的通项公式．41．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式能够求得数列的通项公式．此中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法．2．求数列前n 项和，一般有以下几种方法：错位相减、分组乞降、拆项相消、奇偶并项等，学习时注意依据题目特色灵巧选用上述方法．习题课 (2)答案n(a 1 a n )n(n 1)1.2na 1 2da 1(1 q n ) a 1 a n q2. na 11 q1 q S 1n 13.S n S n － 1 n ≥ 24.(1) 11(2)1( 11 )(3)n 1nn n 12 2n 1 2n 11 B [ a n111n(n 1) n n 1S 51 1 11 1 1 5.](1) (3 )() 1225 66 62 C [ a n1n 1nnn 1S n n 1 1 10n 120.]11113 A [12 24 38(n 2n )(1 2n) (1 11n )2 4211n(n 1) 2(12n )21121 21(nn) 1 n221 21 .](n n 2)n224 C n 2[a 1 a 2a n (2n 4) n 2n.2b n n 2b n n S nn(n 5).] 25 B [S 17 (1 2) (3 4) (15 16) 17 9S 33 (1 2) (3 4) (31 32) 33 17S 50 (1 2) (3 4)(49 50)25因此 S 17＋S 33＋ S 50＝1.] 6．A[ 因为 a n －a n － 1＝ 1× 2n － 1＝ 2n － 1，那么 a n ＝a 1＋(a 2－ a 1)＋ ＋ (a n － a n －1)＝ 1＋ 2＋ ＋ 2n －1 ＝2n － 1.]7．－ 6 2 8.n分析 ∵ a ＋ ＝2a n，∴ 1 ＝1＋1.n 12＋a na n ＋1 a n21是等差数列且公差 1∴d ＝ .a n2∴ 1＝ 1＋ (n － 1)×1＝ 1＋ n －1＝ n ，a n a 12 2 2 2 2∴ a n ＝ .n9． 1 473分析100 内全部能被 3 整除的数的和为：S ＝ 3＋ 6＋ ＋ 99＝33×(3＋ 99)＝ 1 683.12100 内全部能被 21 整除的数的和为： S 2＝ 21＋ 42＋ 63＋ 84＝ 210.∴ 100 内能被 3 整除不可以被 7 整除的全部正整数之和为 S 1－ S 2＝ 1 683－ 210＝ 1 473.1，n ＝110. 1 4 n －2， n ≥ 23·3分析 a n ＋ 1＝ 1S n ， a n ＋ 2＝ 1 1，3 S n ＋31 1 a n ＋1 ，∴ a n ＋2－ a n ＋1 ＝ (S n ＋1－ S n )＝ 334 ∴ a n ＋2＝ 3a n ＋ 1 (n ≥ 1)．11∵ a 2＝ 3S 1＝3，1，n ＝ 1∴ a n＝1 4 n － 2， n ≥ 2.3·311．解 (1) 设等差数列 {a n } 的首项为 a 1，公差为 d.a 1＋ 2d ＝7， 因为 a 3＝7， a 5＋ a 7＝ 26，因此2a 1＋ 10d ＝ 26，解得a 1＝ 3，因此 a ＝ 3＋2(n － 1)＝ 2n ＋ 1， S ＝ 3n ＋n(n －1)× 2＝ n 2＋2n.d ＝ 2.nn2因此， a n ＝ 2n ＋ 1，S n ＝ n 2＋ 2n.(2)由 (1)知 a n ＝ 2n ＋ 1，1 ＝ 1 ＝ 1 11 1 － 1，因此 b n ＝ 22 · ＝ ·a n － 1 (2n ＋ 1) － 1 4 n(n ＋ 1) 4 n n ＋ 1因此 T n ＝ 1·(1－ 1＋ 1－1＋ ＋ 1－ 1)＝ 1 ·(1－ 1 )＝ n ，422 3nn ＋ 1 4 n ＋ 1 4(n ＋ 1)即数列 {b n } 的前 n 项和 T n ＝ n .4(n＋ 1)12．解 (1) 由已知， 当 n ≥ 1 时，a n ＋1＝ [(a n ＋ 1－ a n )＋ (a n －a n － 1)＋ ＋ (a 2－ a 1)] ＋ a 1＝ 3(22n－1＋22n －3＋ ＋2)＋2＝22(n ＋1) －1.而 a 1＝ 2，切合上式，因此数列 {a n } 的通项公式为 a n ＝ 22n －1 . (2)由 b n ＝ na n ＝ n ·22n －1 知S n ＝ 1·2＋2·23＋ 3·25＋ ＋ n ·22n －1，①进而 22·S n ＝ 1·23＋ 2·25＋ 3·27＋ ＋ n ·22n ＋1.②①－②得 (1－ 223 52n －1－n ·2 2n ＋11 2n ＋1＋ 2] ．)S n ＝ 2＋ 2 ＋ 2 ＋ ＋ 2，即 S n ＝ [(3n － 1)2913．A [∵ a n ＋ 1＝ a n ＋ ln 1＋ 1 ，n∴ a n ＋1－ a n ＝ ln 1＋ 1 ＝ lnn ＋1＝ ln(n ＋ 1)－ ln n. n n又 a 1＝ 2，∴ a n ＝ a 1＋ (a 2－ a 1)＋ (a 3－a 2)＋ (a 4－ a 3)＋ ＋ (a n － a n － 1)＝ 2＋[ln 2 －ln 1＋ ln 3－ ln 2＋ ln 4 － ln 3 ＋ ＋ ln n － ln(n － 1)]＝ 2＋ln n － ln 1 ＝ 2＋ ln n ．]14．解当 n ＝1 时， a 1＝ S 1 ，因此 a 1＝ 1 (a 1＋ 1)2，解得 a 1＝ 1.41 (a n ＋ 1)2 1 ＋1) 2 1 2 2 当 n ≥2 时， a n ＝ S n － S n －1＝ － (a n －1 ＝ (a n － a n － 1＋ 2a n － 2a n － 1)， 4 4 4∴ a n 2－ a n 2 －1－ 2(a n ＋ a n － 1)＝ 0，∴ (a n ＋ a n － 1)(a n － a n －1 － 2)＝0.∵ a n ＋ a n －1>0，∴ a n － a n － 1－ 2＝ 0.∴ a n － a n －1＝ 2.∴ {a n } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列．∴ a n ＝ 1＋ 2(n － 1)＝ 2n － 1.。

§4数列在平时经济生活中的应用课时目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实质问题.2.认识“零存整取” ，“定期自动转存”及“分期付款”等平时经济行为的含义．1．有关积蓄的计算积蓄与人们的平时生活亲密有关，计算积蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率．依据国家规定，个人所得积蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率．(1)整存整取按期积蓄一次存入本金金额为 A ，存期为n，每期利率为p，税率为q，则到期时，所得利息为：________，应纳税为 ________，实质拿出金额为：________________.(2)按期存入零存整取积蓄每期初存入金额 A ，连存 n 次，每期利率为p，税率为 q，则到第 n 期末时，应获得全部利息为： _________.应纳税为： ______________，实质得益金额为__________________ ．2．分期付款问题贷款 a 元，分 m 个月将款所有付清，月利率为r，各月所付款额到贷款所有付清时也会_______________________.产生利息，相同按月以复利计算，那么每个月付款款额为：一、选择题1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把1001是较少的两份之个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的7和，则最小的一份的量为()510511A. 3B. 3C.6D. 62．某厂昨年产值为 a，计划在 5 年内每年比上一年产值增添10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为 ()A． 1.14a B ． 1.15aC． 10a(1.15－ 1) D ．11a(1.15－ 1)3．某公司在今年年初贷款 a 万元，年利率为γ，从今年年终开始每年归还必定金额，估计五年内还清，则每年应归还()a(1＋γ)A.(1＋γ)5－1万元5aγ(1＋γ)4．某工厂总产值月均匀增添率为aγ(1＋γ)5B.(1＋γ)5－ 1万元aγD.5万元p，则年均匀增添率为()A． pC． (1＋ p)12B ．12pD ． (1＋ p)12－ 15．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批赞同方可投入生产．已1知该生产线连续生产n 年的累计产量为f(n) ＝2n(n＋ 1)(2n ＋ 1)吨，但假如年产量超出150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线制定最大的生产限期是()A．5年B．6 年C．7 年D．8年二、填空题6．据某校环保小组检查，某区垃圾量的年增添率为b,2010 年产生的垃圾量为 a 吨．由此展望，该区2015 年的垃圾量为 ________吨．7．一个堆放铅笔的V 形架的最下边一层放 1 支铅笔，往上每一层都比它下边一层多放1 支，最上边一层放了120 支，这个V 形架上共放了______支铅笔．8．银行一年按期积蓄存款年息为r ，三年按期积蓄存款年息为q，银行为汲取长久资本，鼓舞储户存三年按期的存款，那么q 的值应略大于________．三、解答题9．家用电器一件，现价 2 000 元，推行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每个月付款一次，共付12 次，购置后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期对付款多少？(1.00812＝ 1.1)．10．假定某市2009 年新建住宅400 万平方米，此中有250 万平方米是中廉价房．估计在此后的若干年内，该市每年新建住宅面积均匀比上一年增添8%.此外，每年新建住宅中，中廉价房的面积均比上一年增添50 万平方米．那么，到哪一年年终(1)该市历年所建中廉价房的累计面积(以2009 年为累计的第一年)将初次许多于 4 750万平方米？(2)当年建筑的中廉价房的面积占该年建筑住宅面积的比率初次大于85%？ (1.085≈1.47)能力提高11．依据市场检查结果，展望某种家用商品从年初开始的n 个月内积累的需求量S n(万件 )近似地知足 S n＝n(21n － n2－ 5)(n＝ 1,2，， 12)．按此展望，在今年度内，需求量90超出1.5 万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7 月、 8月D．8月、9月12．某公司投资 1 000万元用于一个高科技项目，每年可赢利25%，因为公司间竞争激烈，每年年终需要从利润中拿出资本 200 万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增添率，问经过多少年后，该项目的资本能够达到或超出翻两番 (4 倍 )的目标？ (取 lg 2＝0.3)从实质问题转变为数列问题，极易出现弄错数列的项数，所以必定要认真审题，弄清楚数列中的项与实质问题中的时间(比如年份)之间的对应关应．特别是首项a1代表的实质含义必定要弄清楚．§4 数列在平时经济生活中的应用答案知识梳理11 11． (1)nAp nApq nAp(1 － q)＋A(2)2n(n ＋ 1)Ap2n(n ＋ 1)Apq 2n(n ＋ 1)Ap(1 － q)ar(1＋ r)m2.m－ 1(1 ＋ r)作业设计1．A[ 设公差为 d(d>0) ，则 5 份分别为 20－ 2d,20－ d,20,20＋ d,20＋2d ，则7(20－ 2d ＋ 20－ d)＝ 20＋ (20＋d)＋ (20＋ 2d)，解得 d ＝55，最小的一份为 20－55＝ 5 .]63 32．D[ 注意昨年产值为a ，今年起 5 年内各年的产值分别为 1.1a ，23451． 1 a,1.1 a,1.1 a,1.1 a.∴ 1.1a ＋ 1.12a ＋ 1.13a ＋ 1.14a ＋ 1.15a ＝ 11a(1.15－ 1)． ]2＋ x(13 453． B [ 设每年归还＋γ)＋ x(1＋γ)＝ a(1＋γ)，x 万元，则： x ＋ x(1＋ γ)＋x(1＋γ)a γ(1＋ γ)5∴x ＝(1＋ γ)5－ 1.]1212(1＋ p)[1－ (1＋ p)]4．D[ 设 1 月份产值为1，年均匀增添率为 x ，依题意得＝1－ (1＋ p)121－ (1＋p)12(1＋ x)，∴ x ＝(1＋ p) －1.]15． C [ 由题意知第一年年产量为a 1＝ × 1× 2× 3＝ 3；此后各年年产量为a n ＝ f(n) －f(n － 1)＝ 3n 2，∴ a n ＝ 3n 2 (n ∈N ＋)，令 3n 2≤ 150，得 1≤n ≤ 5 2，∴ 1≤n ≤ 7，故生产限期最长为7年．]6． a(1＋b) 5 7． 7 260分析从下向上挨次放了 1,2,3 ， ， 120 支铅笔，∴共放了铅笔 1＋ 2＋ 3＋ ＋ 120＝7 260(支 )．138.3[(1＋ r)－1]【步步高】高中数学北师大版必修5练习：1.4数列在平时经济生活中的应用(含答案分析)分析设本金为1，按一年按期存款，到期自动转存利润最大，三年总利润为(1＋ r)3－1；若按三年按期存款，三年的总利润为3q，为鼓舞储户三年按期存款，应使3q>(1 ＋ r)3－ 1.13即 q> [(1 ＋ r) － 1]．39．解方法一设每期对付款x 元．第 1 期付款与到最后一次付款所生利息之和为第 2 期付款与到最后一次付款所生利息之和为第 12 期付款没有益息．11x(1＋ 0.008)(元 )．x(1＋ 0.008)10(元 )，所以各期付款连同利息之和为x(1＋ 1.008＋＋ 1.008111.00812－ 1 )＝x，1.008－1又所购电器的现价及其利息之和为 2 000×1.00812，于是有1.00812－ 112x＝2 000× 1.008 .1.008－ 116× 1.00812解得 x＝ 1.00812－1＝176(元)．即每期对付款 176 元．方法二设每期对付款 x 元，则第 1 期还款后欠款 2 000× (1＋ 0.008)－x第 2 期还款后欠款 (2 000×1.008－ x)× 1.008－ x＝2 000× 1.0082－ 1.008x－ x，第 12 期还款后欠款 2 000× 1.00812－ (1.00811＋1.00810＋＋ 1)x，第 12 期还款后欠款应为 0，所以有 2 000× 1.00812－ (1.00811＋ 1.00810＋＋ 1)x ＝ 0.122 000× 1.008∴ x＝ 1.00812－1＝176(元)．即每期应还款176元．1.008－ 110．解(1)设中廉价房面积组成数列{a n} ，由题意可知{a n} 是等差数列．n(n－1)此中 a1＝250， d＝50，则 S n＝ 250n＋× 50＝25n2＋225n.令 25n2＋ 225n ≥ 4 750，即 n2＋9n－ 190≥ 0，而 n 是正整数，∴ n≥ 10.∴到 2018 年年终，该市历年所建中廉价房的累计面积将初次许多于 4 750 万平方米．(2)设新建住宅面积组成数列 {b n} ，由题意可知 {b n} 是等比数列．n－ 1此中 b1＝ 400， q＝ 1.08，则 b n＝ 400× 1.08 .由题意可知 a n>0.85b n，有 250＋ (n－ 1) ·50>400 ×1.08n－1× 0.85.由 1.085≈ 1.47 解得知足上述不等式的最小正整数n＝ 6，∴到 2014 年年终，当年建筑的中廉价房的面积占该年建筑住宅面积的比率初次大于【步步高】高中数学北师大版必修5练习：1.4数列在平时经济生活中的应用(含答案分析)85%. 11． C分析 n 个月积累的需求量为S n ，∴第 n 个月的需求量为n2n － 1212a n ＝ S n －S n － 1＝ 90(21n － n －5)－ 90 [21(n －1) － (n － 1) － 5]＝ 30(－ n ＋ 15n －9) ． a n >1.5 ，即知足条件，∴1(－ n 2＋ 15n － 9)>1.5 ， 6<n<9(n ＝ 1,2,3， ， 12)，30∴ n ＝7 或 n ＝ 8.(可直接代入各个选项进行考证得出答案 )12．解 设该项目逐年的项目资本数挨次为 a 1， a 2， a 3， ， a n .则由已知 a n ＋ 1＝a n (1 ＋25%) － 200(n ∈ N ＋ )．即 a n ＋1＝ 5a n － 200.455 a n － x ，令 a n ＋1－ x ＝ (a n － x)，即 a n ＋ 1＝444x由 ＝200，∴ x ＝ 800.5∴ a n ＋1－ 800＝ 4(a n － 800)(n ∈ N ＋)5故数列 {a n － 800} 是以 a 1－800 为首项， 为公比的等比数列．∵ a 1＝ 1 000(1＋ 25%) － 200＝1 050.∴ a 1－ 800＝ 250，∴ a n － 800＝ 250 5n －1.4 ∴ a n ＝ 800＋ 2505 n － 14 (n ∈ N ＋ )．由题意 a ≥ 4 000.∴800＋ 2505 n －1≥ 4 000，即5n≥ 16.n4 4两边取常用对数得nlg 54≥ lg 16，即 n(1－ 3lg 2) ≥ 4lg 2.∵ lg 2＝ 0.3，∴ 0.1n ≥ 1.2，∴ n ≥ 12.即经过 12 年后，该项目资本能够达到或超出翻两番的目标．。

等比数列前n 项和一、选择题1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0. ∵q >0， ∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3 ＝22·21＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 由3a n ＋1＋a n ＝0， 得a n ＋1a n ＝－13， 故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．二、填空题7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 ∵S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.8．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________.答案 －342解析 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)，∴q ＝－342. 三、解答题11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *. 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35)解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9， ∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1，n ∈N *)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *.(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1，当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1，n ∈N *.等比数列前n 项和1一、选择题1．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 C解析 ∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2， ∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3，即a 4＝4a 3， ∴q ＝a 4a 3＝4，故选C.2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．－1答案 A解析 ∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列， ∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列， ∴q ＝a na n －1＝1.3．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30答案 C解析 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140 得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10，a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0. ∴q 10＝3，∴S 20＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.4．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3答案 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. ∵S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m＋1＝9， ∴q m ＝8.∴a 2m a m ＝a 1q2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列， 且a 2a 4＝1，设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0. 故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.6．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，则a 6等于( ) A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1， 即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍， 即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列． 又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，3×4n －2， n ≥2，n ∈N *. ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.二、填空题7．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160. ∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝______.答案 73解析 q ≠1，否则S 6S 3＝6a 13a 1＝2≠3.∴S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q ＝1＋q 3＝3， ∴q 3＝2.∴S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q a 1(1－q 6)1－q＝1－q 91－q 6＝1－231－22＝73. 9．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________. 答案 16解析 方法一 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列， ∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)． 又∵S 3＝2，S 6＝6， ∴S 9＝14.再由S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， 即(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)， 求出S 12－S 9＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.方法二 由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， 此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16.10．在等比数列{a n }中，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则前n 项和S n ＝________________. 答案 3(2n －1)或3n －1 解析 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n－1.三、解答题11．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ， 由题意知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1，n ∈N *.12．中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%. (1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？解 (1)当n ≤10时，数列{a n }是首项为45.5， 公差为0.5的等差数列，所以a n ＝45.5＋0.5×(n －1)＝45＋0.5n .当n ≥11时，数列{a n }是以0.99为公比的等比数列． 又a 10＝50，所以a n ＝50×0.99n－10，因此新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万人)的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧45＋0.5n ，1≤n ≤10，n ∈N *50×0.99n －10，11≤n ≤20，n ∈N *. (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得 S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为S 2020≈47.54万．因为S 2020＜49，故到2036年不需要调整政策．13．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和． (1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列． (1)解 由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)． 当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1， 可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0. 解得q ＝1±52.(2)证明 若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m＋k，a n＋k，a l＋k显然成等差数列．若q≠1，由S m，S n，S l成等差数列可得S m＋S l＝2S n，即a(q m－1)q－1＋a(q l－1)q－1＝2a(q n－1)q－1，整理得q m＋q l＝2q n.因此a m＋k＋a l＋k＝aq k－1(q m＋q l)＝2aq n＋k－1＝2a n＋k，所以a m＋k，a n＋k，a l＋k成等差数列．。

§2.1数列的概念与简单表示法(二)课时目标1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．1．如果数列{an }的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．2．数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值．3．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．一、选择题1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )A．递增数列 B．递减数列C．常数项 D．不能确定答案 A2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an ＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an ＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2答案 B3．已知数列{an }的首项为a1＝1，且满足an＋1＝12an＋12n，则此数列第4项是( )A．1 B.12C.34D.58答案 B4．数列{an }中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：a3＋a5等于( )A.259B.2516C.6116D.3115答案 C解析a1a2a3＝32，a1a2＝22，a 1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，则a3＝3222＝94，a5＝5242＝2516.故a3＋a5＝6116.5．已知数列{an }满足an＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤an<12，2an－1⎝⎛⎭⎪⎫12≤an<1.若a1＝67，则a2 010的值为( )A.67B.57C.37D.17答案 C解析计算得a2＝57，a3＝37，a4＝67，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a2 010＝a3＝37.6．已知an ＝n－98n－99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A．a1，a30B．a1，a9C．a10，a9D．a10，a30答案 C解析∵an ＝n－99＋99－98n－99＝99－98n－99＋1∴点(n，an )在函数y＝99－98x－99＋1的图象上，在直角坐标系中作出函数y＝99－98x－99＋1的图象，由图象易知当x∈(0，99)时，函数单调递减．∴a9<a8<a7<…<a1<1，当x∈(99，＋∞)时，函数单调递减，∴a10>a11>…>a30>1.所以，数列{an }的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.二、填空题7．已知数列{an }的前n项和为Sn，且有a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.答案3·21－n8．已知数列{an }满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N*)，则使an>100的n的最小值是________．答案129．若数列{an }满足：a1＝1，且an＋1an＝n＋2n(n ∈N*)，则当n≥2时，an＝________.答案n n＋12解析∵a1＝1，且an＋1an＝n＋2n(n∈N*)．∴a2a1·a3a2·a4a3…an－1an－2·anan－1＝31·42·53·…nn－2·n＋1n－1，即an ＝n n＋12.10．已知数列{an }满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．答案－3解析an ≤an＋1⇔n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)⇔λ≥－(2n＋1)，n∈N*⇔λ≥－3.三、解答题11．在数列{an }中，a1＝12，an＝1－1an－1(n≥2，n∈N*)．(1)求证：an＋3＝an；(2)求a2 011.(1)证明an＋3＝1－1an＋2＝1－11－1an＋1＝1－11－11－1 a n＝1－11－a na n －1＝1－1an－1－anan－1＝1－1－1an－1＝1－(1－an )＝an.∴an＋3＝an.(2)解由(1)知数列{an}的周期T＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2 011＝a 3×670＋1＝a 1＝12，∴a 2 011＝12.12．已知a n ＝9nn ＋110n(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．解 因为a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·(n＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ·(n＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋2－109n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·8－n 9，则 当n≤7时，⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·8－n 9>0，当n ＝8时，⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·8－n 9＝0，当n≥9时，⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·8－n9<0，所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…， 故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108.能力提升13．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，n ∈N *，则通项公式a n ＝________.答案 －1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1n n ＋1，∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；……a n －an－1＝1n－1n；以上各式累加得，an －a1＝11×2＋12×3＋…＋1n－1n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1 n .∴an ＋1＝1－1n，∴an＝－1n.14．设{an }是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．答案1 n解析∵(n＋1)a2n＋1－na2n＋anan＋1＝0，∴[(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0，∵an >0，∴an＋an＋1>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0.方法一an＋1an＝nn＋1.∴a2a1·a3a2·a4a3·a5a4·…·anan－1＝12·23·34·45·…·n－1n，∴ana1＝1n.又∵a1＝1，∴an＝1na1＝1n.方法二(n＋1)an＋1－nan＝0，∴nan ＝(n－1)an－1＝…＝1×a1＝1，∴nan ＝1，an＝1n.函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an >an－1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增⇔an＋1>an对任意的n (n∈N*)都成立．类似地，有{an }递减⇔an＋1<an对任意的n(n∈N*)都成立．。

§2.5 等比数列的前n 项和(一)一、基础过关1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，a 4＝64，则S 4等于( )A ．48B ．49C ．50D ．512．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．513B ．512C ．511D ．510 3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11 4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4C.152D.1725．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 6．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 8．在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 二、能力提升9．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C.323(1－4－n )D.323(1－2－n ) 10．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152B.314C.334D.17211．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 12．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．答案1．D 2.D 3.D 4.C 5.13 6.107．解 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n－1.8．解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48a 1(1－q 2n)1－q ＝60①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 9．C 10.B 11.312．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n . (2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 13．解 (1)a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。

第1课时 数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念 (1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． 2．数列的通项公式 (1)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a n 与{a n }是不同的概念．(√)(2)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的．(×) (3)数列是一种特殊的函数．(√)(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．(√)(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .(√)(6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．(√)(7)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.(×)(8)数列的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则a n ＝6n －5.(×) (9)正奇数的数列的通项公式为a n ＝2n ＋1.(×)(10)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n －99，只有最大项，无最小项．(×)[例1] 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)32，1，710，917，…； (5)0,1,0,1，…；(6)9,99,999,999 9，….解：(1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n ·2n－32n .(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{}n 2，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)，1 (n 为偶数).或a n ＝1＋(－1)n 2或a n ＝1＋cos n π2.(6)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1,10 000－1，所以它的一个通项公式a n＝10n－1.[方法引航] 1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征．2．观察、分析要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决． 3．判断通项公式是否适合数列，利用代值检验．写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn.也可写为a n ＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．考点二 a n 与S n 的关系及应用[例2] (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －1，n ≥2(2)已知数列{a n }的首项a 1＝2，其前n 项和为S n .若S n ＋1＝2S n ＋1，则a n ＝________.解析：由已知S n ＋1＝2S n ＋1得S n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1＝2a n ，又S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋1，得a 2＝3，所以数列{a n }从第二项开始为等比数列，因此其通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3·2n －2，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝13·2n －2，n ≥2(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1 D.12n －1 解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选B. 答案：B[方法引航] 已知S n 求a n 时应注意的问题 (1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论；特别注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写”.(3)由S n －S n －1＝a n ，推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，1．将本例(1)的条件S n 改为S n ＝2n 2－3n ，求a n . 解：a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.2．将本例(2)的条件改为S n ＝2a n ＋1，求a n . 解：由S n ＝2a n ＋1得 S n －1＝2a n －1＋1.(n ≥2)∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1 ∴a n ＝2a n －1，(n ≥2)由题意得，a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1∴{a n }是以a 1＝－1，q ＝2的等比数列．∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.3．设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且a n 和S n 满足：4S n ＝(a n ＋1)2(n ＝1,2,3，…)，则S n ＝________.解析：由题意可知，S n ＝⎝⎛⎭⎫a n 2＋122，当n ＝1时，a 1＝1.a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫a n 2＋122－⎝⎛⎭⎫a n －12＋122＝⎝⎛⎭⎫a n 2＋a n －12＋1·⎝⎛⎭⎫a n 2－a n －12 ＝⎝⎛⎭⎫a 2n －a 2n －14＋⎝⎛⎭⎫a n 2－a n －12整理得，a n ＋a n －12＝a 2n －a 2n －14⇒a n －a n －1＝2.所以a n ＝2n －1.解得S n ＝(1＋2n －1)n 2＝n 2.答案：n 2[例3] (1)已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝1，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，则a 5＝________. 解析：由已知可得，这个数列的前五项依次为： a 1＝0，a 2＝1，a 3＝3，a 4＝7，a 5＝15. 答案：15(2)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，则a n ＝________. 解析：∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(3n －1)＋(3n －4)＋…＋5＋2＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2也符合上式，∴a n ＝32n 2＋n 2.答案：32n 2＋n 2(3)在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n，则{a n }的通项公式为________．解析：由题设知，a 1＝1.当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到 a n a 1＝n (n ＋1)2， 又∵a 1＝1，∴a n ＝n (n ＋1)2.答案：n (n ＋1)2(4)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________. 解析：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.答案：2·3n －1－1[方法引航] 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．1．如果数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：∵a n ＋1＝a n ＋2n ，∴a n ＋1－a n ＝2n . ∴a 2－a 1＝2×1； a 3－a 2＝2×2； …a n －a n －1＝2×(n －1)(n ≥2)． 以上各式相加，得：a n －a 1＝2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝n 2－n .∴a n ＝n 2－n ＋a 1＝n 2－n ＋2(n ≥2)，a 1＝2也适合． ∴a n ＝n 2－n ＋2. 答案：n 2－n ＋22．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.解析：(1)∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .答案：1n3．(2018·河北保定高三调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1＋1 C ．2n －1 D ．2n －2解析：选A.由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.[易错警示]数列与函数混淆致误[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．[正解] ∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n －a n －1＝2(n －1)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(2n －2)＋(2n －4)＋…＋2＋33＝n 2－n ＋33(n ≥2)， 又a 1＝33适合上式，∴a n ＝n 2－n ＋33， ∴a n n ＝n ＋33n－1. 令f (x )＝x ＋33x －1(x ＞0)，则f ′(x )＝1－33x2，令f ′(x )＝0得x ＝33.∴当0＜x ＜33时，f ′(x )＜0， 当x ＞33时，f ′(x )＞0，即f (x )在区间(0，33)上递减；在区间(33，＋∞)上递增． 又5＜33＜6，且f (5)＝5＋335－1＝535，f (6)＝6＋336－1＝212，∴f (5)＞f (6)，∴当n ＝6时，a n n 有最小值212.[答案] 212[易误] a n n ＝n ＋33n－1≥233－1为最小值时，即把n 和x 认为等同的，而此时n ＝33∈N *是不可以的．[警示] a n ＝f (n )是n 的函数，其定义域为N *，而不是R .[高考真题体验]1．(2019·高考浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.解析：法一：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴a 2＝2S 1＋1，即S 2－a 1＝2a 1＋1，又∵S 2＝4，∴4－a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝1.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，即S n ＋1＝3S n ＋1，由S 2＝4，可求出S 3＝13，S 4＝40，S 5＝121.法二：由a n ＋1＝2S n ＋1，得a 2＝2S 1＋1，即S 2－a 1＝2a 1＋1，又S 2＝4，∴4－a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝1.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，即S n ＋1＝3S n ＋1，则S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，又S 1＋12＝32，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，∴S n ＋12＝32×3n －1，即S n ＝3n －12，∴S 5＝35－12＝121.答案：1 1212．(2018·高考江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________． 解析：由已知得，a 2－a 1＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1，a 4－a 3＝3＋1，…，a n －a n －1＝n －1＋1(n ≥2)，则有a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋n －1＋(n －1)(n ≥2)，因为a 1＝1，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥2)，即a n ＝n 2＋n 2(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝1也适合上式，故a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，从而1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 10＝2×⎝⎛⎭⎫1－12＋2×⎝⎛⎭⎫12－13＋2×⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋2×⎝⎛⎭⎫110－111＝2×⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 答案：20113．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.解析：由S n ＝23a n ＋13得：当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －14．(2018·高考课标卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.解析：由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，两边同时除以S n S n ＋1得1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，即S n ＝－1n .答案：－1n课时规范训练 A 组 基础演练1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12 B ．cos n π2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析：选D.令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 解析：选A.由a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15，故选A.3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1，则a 4等于( ) A.53 B.43C ．1 D.23解析：选A.由a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1得，a 2＝1a 1＋1＝2，a 3＝1a 2＋1＝12＋1＝32，a 4＝1a 3＋1＝23＋1＝53. 4．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 解析：选A.由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10 ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)] ＝3×5＝15.5．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 2 019的值为( )A ．－12B ．－1C.12D ．2 解析：选B.由a 1＝2，a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝12可知，数列{a n }是周期为3的数列，且a 1·a 2·a 3＝－1，从而T 2 019＝(－1)673＝－1.6．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56B.65C.130D ．30 解析：选D.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，所以1a 5＝5×6＝30.7．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 解析：选A.∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.8．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45 D ．45＋1 解析：选A.当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，3×4n －2(n ≥2). ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.9．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n解析：选D.法一：由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，∴a n ＋1n ＋1＝a n n，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列，且a nn ＝a 11＝1，∴a n ＝n . 法二(累乘法)：当n ≥2时，a n a n －1＝nn －1.a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a 2a 1＝21，两边分别相乘得a na 1＝n .又∵a 1＝1，∴a n ＝n .10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4} 解析：选B.因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时， S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列， 又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. 而a n n≤2，即2n －1≤2n ，故所有满足的正整数n ＝1,2,3,4. B 组 能力突破1．将石子摆成如图所示的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 018项与5的差，即a 2 018－5＝( )A ．2 018×1 012B ．2 024×2 017C ．1 009×2 018D ．1 012×2 017 解析：选D.∵a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，a 1＝5.∴a 2 018＝(a 2 018－a 2 017)＋(a 2 017－a 2 016)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2 020＋2 019＋…＋4＋5＝(2 020＋4)×2 0172＋5＝1 012×2 017＋5.∴a 2 018－5＝1 012×2 017.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( )A.13n －1B.2n (n ＋1)C.6(n ＋1)(n ＋2)D.5－2n 3解析：选B.由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，∴(n ＋1)a n ＝(n －1)a n－1从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n (n ＋1)，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n (n ＋1)，故选B.3．已知数列{n 2n 2＋1}，则0.98是它的第________项．解析：n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7.答案：74．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥25．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.解析：由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫542＝6116. 答案：61166．已知数列{a 2n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018＝________. 解析：∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0， a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的周期数列，∴a 2 018＝a 2＝0. 答案：0第2课时 等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)． (2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2.2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，公差为d ，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列 .(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (7)S 2n －1＝(2n －1)a n .(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×) (2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(√)(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．(×)(5)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．(√) (6)在等差数列{a n }中，若a m ＋a n ＝a p ＋a q ，则一定有m ＋n ＝p ＋q .(×) (7)数列{a n }，{b n }都是等差数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等差数列．(√)(8)等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，一定还是等差数列．(√)(9)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．(×)(10)等差数列{a n }中，a n －1－a n 也是常数，也可以作为公差．(×)[例1] (1)等差数列{a n }n 136等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14解析：由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C. 答案：C(2)在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7 D ．3解析：设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.答案：B(3)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 017，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0172＝1 010，故a 1＝3.答案：3(4)已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. ①求d 及S n ；②求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：①由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1， S n ＝n 2(n ∈N *)．②由①得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1， 故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.[方法引航] (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想.1．(2018·河北石家庄质检)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11 解析：选C.由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10.2．数列{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝________.解析：由题意知10a 1＋10×92d ＝11a 1＋11×102d .又∵d ＝－2，∴10a 1－90＝11a 1－110， ∴a 1＝20. 答案：203．已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是__________．解析：设数列{}a n 为该等差数列，依题意得a 1＋a n ＝124＋1564＝70.∵S n ＝210，S n ＝n (a 1＋a n )2，∴210＝70n2，∴n ＝6.答案：6 4．(2018·江苏无锡一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析：由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，所以数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211. 答案：211[例2] (1)(2018·河南内黄月考)已知函数y ＝f (x )对任意的实数x 都有1f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＋1，且f (1)＝1，则f (2 018)＝( )A.12 017B.12 018 C ．2 016 D ．2 017解析：由已知可得1f (x ＋2)－1f (x ＋1)＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )为等差数列，又1f (1)＝1，d ＝1，则1f (x )＝x ，即1f (2 018)＝2 018，故f (2 018)＝12 018.答案：B(2)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，b n ＝S nn(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∴b n ＝S n n ＝a 1＋12(n －1)d .法一：b n ＋1－b n ＝a 1＋12nd －a 1－12(n －1)d ＝d2(常数)，∴数列{b n }是等差数列．法二：b n ＋1＝a 1＋12nd ，b n ＋2＝a 1＋12(n ＋1)d ，∴b n ＋2＋b n ＝a 1＋12(n ＋1)d ＋a 1＋12(n －1)d＝2a 1＋nd ＝2b n ＋1.∴数列{b n }是等差数列．[方法引航] 判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数；(2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1；(3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数；(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0.1．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ． a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n解析：选A.由题意可知1a n ＋1是1a n 与1a n ＋2的等差中项，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，公差d ＝1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列．∴1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝1n选A. 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求S n 和a n .解：(1)证明：当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，① ∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)，由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n (n －1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式，∴a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[例3] (1)(2019·n 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97 解析：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ，S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，∴a 5＝3，又∵a 10＝8，∴d ＝a 10－a 55＝8－35＝1∴a 100＝a 5＋(n －5)×d ＝3＋(100－5)×1＝98. 答案：C(2)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.解析：利用等差数列的性质可得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5，从而a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，故a 5＝5，所以a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案：10(3)在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16 D ．S 17 解析：∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值． 答案：A[方法引航] 1.根据题意分析选用等差数列的性质，若涉及通项a n ，则选用通项的有关性质，若涉及前n 项和S n ，则选用S n 的性质 2．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1＞0，且S p ＝S q (p ≠q )，则：①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．1．设数列{a n }，{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 解析：∵(a 1＋a 5)＋(b 1＋b 5)＝2(a 3＋b 3)＝42， ∴a 5＋b 5＝42－7＝35. 答案：352．在本例(3)中，若将已知条件改为a 1＞0，S 5＝S 12，如何求解S n 的最大值？解：法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1＜0.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－18a 1＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝⎛⎭⎫n －1722＋28964a 1， 因为a 1＞0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 法二：设等差数列{a n }的公差为d ，同法一得d ＝－18a 1＜0.设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a n ＝a 1＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－18a 1≥0，an ＋1＝a 1＋n ·⎝⎛⎭⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．法三：设等差数列{a n }的公差为d ，同法一得d ＝－18a 1＜0，由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，设f (x )＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ，则函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线，由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．3．在本例(3)中，若将条件a 1＝29，S 10＝S 20改为a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0，如何求解？ 解：因为a 3＝a 1＋2d ＝12，所以a 1＝12－2d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝12a 1＋66d ＞0，S 13＝13a 1＋78d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧144＋42d ＞0，156＋52d ＜0， 解得－247＜d ＜－3.故公差d 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－247，－3. 法一：由d ＜0可知{a n }为递减数列，因此，在1≤n ≤12中，必存在一个自然数n ，使得a n ≥0，a n ＋1＜0， 此时对应的S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．由于⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 7＜0，于是a 7＜0，从而a 6＞0，因此S 6最大．法二：由d ＜0可知{a n }是递减数列， 令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 3＋(n －3)d ≥0，a n ＋1＝a 3＋(n －2)d ＜0， 可得⎩⎨⎧n ≤3－12d，n ＞2－12d.由－247＜d ＜－3，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤3－12d ＜3＋123＝7，n ＞2－12d ＞2＋12247＝5.5，所以5.5＜n ＜7，故n ＝6，即S 6最大．[方法探究]等差数列的设定方法及分段求和[典例] 已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4， n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.[回顾反思] 若三个数成等差数列可设为a ，a ＋d ，a ＋2d 或a －d ，a ，a ＋d ，若四个数成等差数列可设为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d 或a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .[高考真题体验]1．(2018·高考课标全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11解析：选A.∵a 1＋a 5＝2a 3，a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5×(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.2．(2013·高考课标卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6 解析：选C.∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 3．(2014·高考大纲全国卷)数列{}a n 满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{}b n 是等差数列； (2)求{}a n 的通项公式．解：(1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2.又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑k ＝1n(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1n(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{}a n 的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 4．(2019·高考全国甲卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和． 解：(1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 1≤n ＜10，1， 10≤n ＜100，2， 100≤n ＜1 000，3， n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.课时规范训练 A 组 基础演练1．在等差数列{}a n 中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为( ) A ．14 B ．18 C ．21 D ．27解析：选A.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋5d ＝9，由此解得d ＝1，a 1＝2，a 6＝a 1＋5d ＝7，a 1a 6＝14.2．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101＞0 B ．a 2＋a 100＜0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51解析：选C.由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.3．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10， ∴a 3＝5.又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.4．记S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝( )A.12 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，即a 1＋d －⎝⎛⎭⎫a 1＋d2＝1，∴d ＝2. 5．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( ) A ．30 B ．45 C ．90 D ．186解析：选C.因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝6a 5＝a 1＋4d ＝15，所以a 1＝3，d ＝3，b n ＝a 2n ＝a 1＋(2n －1)d ＝6n ，S 5＝5(b 1＋b 5)2＝5(6＋6×5)2＝90，因此选C 项．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 7＝________.解析：设数列{a n }的公差为d ，则由已知得(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝13 ①，S 7＝7(a 1＋a 1＋6d )2＝35 ②.联立①②，解方程组得a 1＝2，d ＝1，∴a 7＝a 1＋6d ＝8. 答案：87．若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________.解析：由题意得该等差数列的公差d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72.答案：728．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．解析：根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，即a 8＞0. 又a 8＋a 9＝a 7＋a 10＜0，∴a 9＜0，∴当n ＝8时， {a n }的前n 项和最大． 答案：89．已知等差数列{a n }中，a 2＝8，前10项和S 10＝185.求数列{a n }的通项公式a n . 解：设数列{a n }的公差为d ， 因为a 2＝8，S 10＝185，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝810a 1＋10×92d ＝185，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5d ＝3， 所以a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2，即a n ＝3n ＋2.10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4， 即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1， 也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1. 而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为首项为3，公差为1的等差数列． (2)由(1)知a 1＝3，d ＝1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.B 组 能力突破1．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( ) A ．24 B ．48 C ．60 D ．84 解析：选C.由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知 d ＜0，a 10＞0，a 11＜0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60，故选C.2．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －2＝k (x －5)上，则数列{a n }的前9项和S 9等于( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24解析：选A.∵点(n ，a n )在直线y －2＝k (x －5)上，∴a n －2＝k (n －5)，∴a n ＝kn －5k ＋2，∴a n ＋1－a n ＝[k (n ＋1)－5k ＋2]－(kn －5k ＋2)＝k ，∴{a n }是等差数列．当n ＝5时，a 5＝2，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝18.3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：选D.法一：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2，则S n ＋2＝(n ＋2)2，由S n ＋2－S n ＝36，得(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4＝36，所以n ＝8.法二：S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8，所以选D.4．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 解析：因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，所以a 6b 6＝1941.答案：19415．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解：(1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *)． (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12＋a 13＋…＋a n )＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.第3课时 等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的有关概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数．这个数列叫等比数列，这个常数叫公比．用q 表示． (2)等比中项如果三个数a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a 和b 的等比中项，那么G a ＝bG，即G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，q ≠0，则它的通项公式a n ＝a 1·q n －1. (2)等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数列一定是等比数列．(×)(2)等比数列中不存在数值为0的项．(√)(3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．(×) (4)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .(×)(5)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n .(×)(6)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.(×)(7)q ＞1时，等比数列{a n }是递增数列．(×) (8)在等比数列{a n }中，若a m ·a n ＝a p ·a q ，则m ＋n ＝p ＋q .(×)(9)若一个数列满足a n ＋1＝q 2a n ，则{a n }为等比数列．(×)(10)若数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则a ≠0且a ≠1 .(√)[例1] (1)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 解析：设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得 3＋3q 2＋3q 4＝21，即q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42. 答案：B (2)(2019·高考全国乙卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：由题意知，a 2＋a 4＝(a 1＋a 3)q ，即5＝10q ，解得q ＝12，将q ＝12代入a 1＋a 3＝10，解得a 1＝8.∴a 1a 2…a n ＝a n 1·q n (n －1)2＝8n ×⎝⎛⎭⎫12n (n －1)2＝2－n 22＋7n 2.∵－n 22＋7n 2＝－12⎝⎛⎭⎫n －722＋498≤6，且n ∈N *. 当n ＝3或4时有最大值．∴a 1a 2…a n ＝2－n 22＋7n2≤26＝64，即最大值为64.答案：64 (3)(2018·河南开封模拟)正项等比数列{a n }中，a 2＝4，a 4＝16，则数列{a n }的前9项和等于________．。

1.1 数列的概念与简单表示方法（一）学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．知识点一数列及其有关概念思考1数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？答案不是．顺序不一样．思考2数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？答案数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．梳理(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．知识点二通项公式思考1数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？答案100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项a n＝n，从而第100项应为100.梳理如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．思考2数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？答案如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．知识点三数列的分类思考对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？答案(1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．梳理(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8，252； (3)9,99,999,9999； (4)2,0,2,0. (5)1,0,-1,0,1,0,-1,0反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5； (2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)7,77,777,7 777.类型二 数列的通项公式的应用例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)(2n －1)(2n ＋1)，n ∈N *.(1)写出它的第10项；(2)判断233是不是该数列中的项．反思与感悟 在通项公式a n ＝f (n )中，a n 相当于y ，n 相当于x .求数列的某一项，相当于已知x 求y ，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y 求x ，若求出的x 是正整数，则y 是该数列的项，否则不是． 跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.跟踪训练3，观察数列1，3，5，7，9，.........2m+1......... 2m+1是第几项？+∈N m1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列{nn ＋1}是递增数列2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n ，n ∈N * B ．a n ＝n ＋1，n ∈N * C ．a n ＝n ＋2，n ∈N *D ．a n ＝2n ，n ∈N *3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·n2n －1，n ∈N *，则a 1＝________；a n ＋1＝________.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3．14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．1.2数列的概念与简单表示方法（二）学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．知识点一 递推公式思考1 (1)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＝3a n －1＋2(n >1，n ∈N *)，则a 4＝________. (2) 已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，且有a n ＋2＝a n ＋a n ＋1(n ∈N *)，则a 4＝________. 答案 (1)53 (2)3梳理 如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法． 思考2 我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列，那么通项公式和递推公式有什么不同呢？ 答案 通项公式和递推公式都是表示数列的方法．已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项． 知识点二 数列的表示方法思考 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？ 答案 ①通项公式法：a n ＝2n .②递推公式法：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *. ③列表法：④图象法：梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．类型一 数列的函数特性例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n ＝3n －1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)．反思与感悟 数列的通项公式不外乎把常见的函数式中的x 换成n ，且n ∈N *，所以善于利用我们熟知的一些基本函数，通过合理的联想、转化，从而达到解决问题的目的．跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．答案 55解析 三角形数依次为1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋10＝55. 类型二 数列的递推公式命题角度1 由递推公式求前若干项例2 设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1，n ∈N *). 写出这个数列的前5项． 引申探究数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，求a 2 016.反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否有规律性．跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．命题角度2 由递推公式求通项例3 (1)对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n ；(2)若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2，n ∈N *)，求通项a n .反思与感悟 形如a n ＋1－a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式；形如a n ＋1a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式．跟踪训练3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 016项？1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()A．a n＋1＝a n＋n，n∈N*B．a n＝a n－1＋n，n∈N*，n≥2C．a n＋1＝a n＋(n＋1)，n∈N*D．a n＝a n－1＋(n－1)，n∈N*，n≥22．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项a n等于()A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．1．{a n}与a n是不同的两种表示，{a n}表示数列a1，a2，…，a n，…，是数列的一种简记形式．而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.2.1等差数列（一）学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．知识点一 等差数列的概念 思考 给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4，…； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？答案 从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．梳理 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零． 知识点二 等差中项的概念思考 观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a ，b ；(4)0,0. 答案 插入的数分别为3,2，a ＋b2，0. 梳理 如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.知识点三 等差数列的通项公式思考 对于等差数列2,4,6,8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋2＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋2＝a 1＋3×2. 试猜想a n ＝a 1＋( )×2. 答案 n －1梳理 若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明．类型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，….跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列 类型二 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．反思与感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．类型三 等差数列通项公式的求法及应用 命题角度1 基本量(a ，d )例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n .反思与感悟 像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想． 跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？命题角度2 等差数列的实际应用例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？反思与感悟 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5℃，5 km 高度的气温是－17.5℃，求2 km ，4 km,8 km 高度的气温．1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－32．已知在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°3．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．2.2等差数列（二）学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一 等差数列通项公式的推广思考1 已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 能表示出通项a n ＝a 1＋(n －1)d ，如果已知第m 项a m 和公差d ，又如何表示通项a n?答案 设等差数列的首项为a 1，则a m ＝a 1＋(m －1)d ，变形得a 1＝a m －(m －1)d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1)d ＋(n －1)d＝a m ＋(n －m )d .思考2 由思考1可得d ＝a n －a 1n －1，d ＝a n －a m n －m，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？ 答案 等差数列通项公式可变形为a n ＝dn ＋(a 1－d )，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a 1)，(n ，a n )，(m ，a m )都是这条直线上的点．d 为直线的斜率，故两点(1，a 1)，(n ，a n )连线的斜率d ＝a n －a 1n －1.当两点为(n ，a n )，(m ，a m )时，有d ＝a n －a m n －m. 梳理 等差数列{a n }中，若公差为d ，则a n ＝a m ＋(n －m )d ，当n ≠m 时，d ＝a n －a m n －m. 知识点二 等差数列的性质思考 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？答案 利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….梳理 在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .知识点三 由等差数列衍生的新数列思考 若{a n }是公差为d 的等差数列，那么{a n ＋a n ＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？答案 ∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝d＋d＝2d.∴{a n＋a n＋2}是公差为2d的等差数列．梳理若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有类型一等差数列推广通项公式的应用例1在等差数列{a n}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．解因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因为a n＝a2＋(n－2)d，所以a n＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.反思与感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．跟踪训练1数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于()A．0 B．3 C．8 D．11类型二等差数列与一次函数的关系例2已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？反思与感悟本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．跟踪训练2某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？类型三等差数列性质的应用例3已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．引申探究1．在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{a n}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有a m＋a n＋a p＝a q＋a r＋a s?2．在等差数列{a n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.反思与感悟解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{a n}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练3在等差数列{a n}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．1．在等差数列{a n}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于()A ．3B ．－6C ．4D ．－32．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( )A ．32B ．－32C ．35D ．－353．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( )A ．3B ．－3 C.32 D ．－321．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．2．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a 1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．3.1等差数列前n 项和（一）学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一 等差数列前n 项和公式的推导思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题： 设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ，又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)，∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n (n ＋1)2. 梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和，其方法如下：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]；S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ]＋[a n －(n －1)d ]．两式相加，得2S n ＝n (a 1＋a n )，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2. 根据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，代入上式可得S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 知识点二 等差数列前n 项和公式的特征思考1 等差数列{a n }中，若已知a 2＝7，能求出前3项和S 3吗？答案 S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3×a 1＋a 32＝3a 2＝21. 思考2 我们对等差数列的通项公式变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下S n ＝na 1＋n (n －1)2d 吗？ 答案 按n 的降幂展开S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 是关于n 的二次函数形式，且常数项为0. 梳理 等差数列{a n }的前n 项和S n ，有下面几种常见变形：(1)S n ＝n ·a 1＋a n 2； (2)S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ； (3)S n n ＝d 2n ＋(a 1－d 2)({S n n }是公差为d 2的等差数列)．知识点三 等差数列前n 项和公式的性质思考 如果{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列吗？ 答案 (a 11＋a 12＋…＋a 20)－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝(a 11－a 1)＋(a 12－a 2)＋…＋(a 20－a 10)＝1010100＋＋ (1)d d d ＝100d ，类似可得 (a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝100d .∴a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列．梳理 (1)S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(2)若等差数列的项数为2n (n ∈N *)，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，且S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1. (3)若等差数列的项数为2n －1(n ∈N *)，则S 2n －1＝(2n －1)a n ，且S 奇－S 偶＝a n ，S 奇＝na n ，S 偶＝(n －1)·a n ，S 奇S 偶＝n n －1.类型一 等差数列前n 项和公式的应用命题角度1 方程思想例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n 项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；(2)构成等差数列前n 项和公式的元素有a 1，d ，n ，a n ，S n ，知其三能求其二．跟踪训练1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .命题角度2 实际应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解．跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？类型二 等差数列前n 项和的性质的应用例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ；(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．反思与感悟 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．482．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．73．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.4．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m＋n＝p＋q，则a n＋a m＝a p＋a q(n，m，p，q∈N*)；若m＋n＝2p，则a n＋a m＝2a p.3．本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想．3.2等差数列前n项和（二）学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.会解等差数列前n项和的最值问题.3.理解a n与S n的关系，能根据S n求a n.知识点一数列中a n与S n的关系思考已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，怎样求a1，a n?答案a1＝S1＝1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又n＝1时也适合上式，所以a n＝2n－1，n∈N*.梳理 对任意数列{a n }，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2，n ∈N *).知识点二 等差数列前n 项和的最值思考 我们已经知道当公差d ≠0时，等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？答案 由二次函数的性质可以得出：当a 1＜0，d >0时，S n 先减后增，有最小值；当a 1＞0，d <0时，S n 先增后减，有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值． 梳理 等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关．(1)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值． (2)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(3)若a 1>0，d >0，则{S n }是递增数列，S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则{S n }是递减数列，S 1是{S n }的最大值．类型一 已知数列{a n }的前n 项和S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 引申探究例1中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式．反思与感悟 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示． 跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n .类型二 等差数列前n 项和的最值例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．反思与感悟 在等差数列中，求S n 的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n 为关于n 的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值．类型三 求等差数列前n 项的绝对值之和例3若等差数列{a n}的首项a1＝13，d＝－4，记T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.反思与感悟求等差数列{a n}前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．跟踪训练3已知数列{a n}中，S n＝－n2＋10n，数列{b n}的每一项都有b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和T n 的表达式．1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n，则a n等于()A．4n－2 B．n2C．2n＋1 D．2n2．已知数列{a n}为等差数列，它的前n项和为S n，若S n＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()A．－2 B．－1C．0 D．13．首项为正数的等差数列，前n项和为S n，且S3＝S8，当n＝________时，S n取到最大值．4．已知数列{a n}的前n项和S n＝3＋2n，求a n.1．因为a n ＝S n －S n －1只有n ≥2时才有意义．所以由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示． 2．求等差数列前n 项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值． 3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．4.1等比数列（一）学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一 等比数列的概念思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点． ①1,2,4,8,16，…； ②1，12，14，18，116，…；③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，….答案 从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．梳理 等比数列的概念和特点．(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． (2)递推公式形式的定义：a na n －1＝q (n >1)(或a n ＋1a n ＝q ，n ∈N *)．(3)等比数列各项均不能为0. 知识点二 等比中项的概念思考 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？ 答案 设这个数为G .则G 2＝8G ，G 2＝16，G ＝±4.所以这样的数有2个．梳理 等比中项与等比中项的异同，对比如下表：知识点三 等比数列的通项公式思考 等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式吗？ 答案 等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘．根据等比数列的定义得 a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a n a n －1＝q (n ≥2)． 将上面n －1个等式的左、右两边分别相乘，得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝q n －1，化简得a n a 1＝q n －1，即a n ＝a 1q n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，上面的等式也成立． ∴a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)．梳理 等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.类型一 证明等比数列例1 已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列，。

学习目标 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一 等比数列的前n 项和公式的推导思考 对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?答案 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝1－2641－2＝264－1.梳理 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和S n 可用下面的“错位相减法”求得． S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .②由①－②得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q.当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1. 结合通项公式可得： 等比数列前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1).知识点二 等比数列的前n 项和公式的应用 思考 要求等比数列前8项的和：(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？ (2)若已知a 1，a 9，q 的值．用哪个公式比较合适？ 答案 (1)用S n ＝a 1(1－q n )1－q .(2)用S n ＝a 1－a n q 1－q .梳理 一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1) 一定不要忽略q ＝1的情况；(2) 知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用a 1(1－q n )1－q ；知道首尾两项a 1，a n 和q ，可以用a 1－a n q1－q ；(3) 在通项公式和前n 项和公式中共出现了五个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余两个．类型一 等比数列前n 项和公式的应用 命题角度1 前n 项和公式的直接应用 例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081.反思与感悟 求等比数列前n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q ＝1是否成立．跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ， ∵a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40， ∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20， 解得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.命题角度2 通项公式、前n 项和公式的综合应用 例2 在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q .解 由题意，得若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意． 此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式， 得S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)1－q ＝6，解得q ＝－2.此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.反思与感悟 (1)应用等比数列的前n 项和公式时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．(2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式．当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1(1－q n )1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q1－q 比较方便．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，S 2＝30，S 3＝155，求S n .解 方法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝5(1－5n )1－5＝54(5n－1)或S n ＝180[1－(－56)n ]1－(－56)＝1 080[1－(－56)n ]11，n ∈N *.方法二 若q ＝1，则S 3∶S 2＝3∶2， 而事实上，S 3∶S 2＝31∶6，故q ≠1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 2)1－q＝30， ①a 1(1－q 3)1－q ＝155， ②两式作比，得1＋q 1＋q ＋q 2＝631， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝5(1－5n )1－5＝54(5n－1)或S n ＝180[1－(－56)n ]1－(－56)＝1 080[1－(－56)n ]11，n ∈N *.类型二 等比数列前n 项和的实际应用例3 借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051，精确到整数) 解 方法一 设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6，n ∈N *)， 则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ， a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a . 由题意，可知a 6＝0，即1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a ＝0，a ＝1.016×1021.016－1.因为1.016≈1.061， 所以a ≈1.061×1021.061－1≈1 739(元)．故每月应支付1 739元．方法二 一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)，另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a ＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a [1.016－1]×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1≈1 739(元)．故每月应支付1 739元．反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P (1＋r )n ，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于( ) A.1－x n1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ， x ≠1，n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ， x ＝1答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ； 当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( )A ．179B ．211C ．243D ．275答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________． 答案 11a (1.15－1)解析 去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．40分钟课时作业一、选择题1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0. ∵q >0， ∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3 ＝22·21＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1， 即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 由3a n ＋1＋a n ＝0， 得a n ＋1a n ＝－13， 故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．二、填空题7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 ∵S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.8．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________.答案 －342解析 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)，∴q ＝－342. 三、解答题11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *. 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35)解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9， ∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1，n ∈N *)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *.(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1，当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1，n ∈N *.。

第一章数列1.1 数列的概念课时目标 1.理解数列及其有关概念； 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．1．一般地，按一定________排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…简记为数列{a n}，其中数列的第1项a1也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项．2．项数有限的数列称________数列，项数无限的数列称为______数列．3．如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的________公式．一、选择题1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为()A．a n＝n B．a n＝n＋1C．a n＝n＋2 D．a n＝2n2．已知数列{a n}的通项公式为a n＝1＋(－1)n＋12，则该数列的前4项依次为()A．1,0,1,0 B．0,1,0,1C.12，0，12，0 D．2,0,2,03．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是()A．a n＝12[1＋(－1)n－1]B．a n＝12[1－cos(n·180°)]C．a n＝sin2(n·90°)D．a n＝(n－1)(n－2)＋12[1＋(－1)n－1]4．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－n－50，则－8是该数列的() A．第5项B．第6项C．第7项D．非任何一项5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是()。

第2章 数 列§2.1 数列(一)一、基础过关1．数列23，45，67，89，…的第10项是________． 2．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是________．3．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n ＝________.4．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有_____个．5．在数列2，2，x,22，10，23，…中，x ＝________.6．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是____________．7．写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程)(1)3,5,9,17,33，…；(2)23，415，635，863，…； (3)1,0，－13，0，15，0，－17，0，…. 8．已知数列{n (n ＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？二、能力提升9．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N *)，那么a n ＋1－a n ＝________. 10．由花盆摆成以下图案，根据摆放规律，可得第5个图形中的花盆数为________．11．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 013＝________，a 2 014＝________. 12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．(1)求{a n }的通项公式；(2)88是否是数列{a n }中的项？三、探究与拓展13．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1： (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． 答案1.20212.a n ＝n n ＋23.13(1－110n ) 4．3 5. 6 6.a n ＝2n ＋1 7．解 (1)a n ＝2n ＋1.(2)a n ＝2n n －n ＋. (3)把数列改写成11，02，－13，04，15，06，－17，08，…分母依次为1,2,3，…，而分子1,0，－1,0，…周期性出现，因此，我们可以用sin n π2表示，故a n ＝sin n π2n. 8．解 (1)a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ，∴a 8＝80，a 20＝440.(2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17.∴323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项．9.1n ＋n ＋10．61 11．1 012．解 (1)设a n ＝kn ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝k ＋b ＝2a 17＝17k ＋b ＝66解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝4b ＝－2.∴a n ＝4n －2.(2)令a n ＝88，即4n －2＝88，解得n ＝22.5∉N *.∴88不是数列{a n }中的项．13．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝n －n －n －n ＋＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1， ∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n >76n <83.∴76<n <83. ∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。

数列的概念1课时作业一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，n ∈N *，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0D ．2,0,2,02．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N *，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项D ．非任何一项3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n (n －1)2 C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋14．数列23，45，67，89，…的第10项是( ) A.1617 B.1819 C.2021D.22235．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为( ).A．a n＝n，n∈N*B．a n＝n＋1，n∈N* C．a n＝n，n∈N*D．a n＝n2，n∈N*7．设a n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N*)，那么an＋1－a n等于()A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2二、填空题8．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，3，5，7，________，11，…. 9．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是________．10．323是数列{n(n＋2)}的第________项．三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，….12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数． (1)求{a n }的通项公式；(2)判断88是不是数列{a n }中的项？13．已知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫9n 2－9n ＋29n 2－1，n ∈N *. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：该数列是递增数列；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．数列的概念2一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( ) A ．1 B.12 C.34D.583．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116D.31154．已知a 1＝1，a n ＝a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，则数列的通项公式为( ) A ．a n ＝3n ＋1 B ．a n ＝3n C ．a n ＝3n －2D ．a n ＝3(n －1)5．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116B.117C.110D.1256．已知数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列中最大项的值是( ) A ．107 B ．108 C ．10818 D ．109二、填空题7．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n <12，2a n －1，12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 017＝________.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为正奇数，4n －1，n 为正偶数，则它的前4项依次为________．9．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．10．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n 个图中有________个点．三、解答题11．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.12．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)．13．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．等差数列1课时作业一、选择题1．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是()A．b－a B.b－a 2C.b－a3 D.b－a42．已知等差数列{a n}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于() A．15 B．22C．7 D．293．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是()A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项4．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为() A．26 B．29C．39 D．525．若数列{a n}满足3a n＋1＝3a n＋1，则数列是()A．公差为1的等差数列B．公差为13的等差数列C．公差为－13的等差数列D．不是等差数列6．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15 B．30C．31 D．64二、填空题7.2－1与2＋1的等差中项是________．8．若一个等差数列的前三项为a,2a－1,3－a，则这个数列的通项公式为________．9．若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．三、解答题11．已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝4－4a n－1(n≥2，n∈N*)，令b n＝1a n－2.(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．12．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？13．已知等差数列{a n}：3,7,11,15，….(1)135,4m＋19(m∈N*)是{a n}中的项吗？试说明理由；(2)若a p，a q(p，q∈N*)是数列{a n}中的项，则2a p＋3a q是数列{a n}中的项吗？并说明你的理由．等差数列课时作业1一、选择题1．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( ) A ．12 B ．8 C ．6D ．42．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( ) A ．－182 B ．－78 C ．－148D ．－823．下面是关于公差是d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 44．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．105．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．1或26．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．3007．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A. 3 B．±3C．－33D．－ 3二、填空题8．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________. 9．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．10．在等差数列{a n}中，已知a m＝n，a n＝m，则a m＋n的值为________．三、解答题11．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．12．正项数列{a n}中，a1＝1，a n＋1－a n＋1＝a n＋a n.(1)数列{a n}是否为等差数列？说明理由；(2)求a n.13．下表给出一个“等差数阵”：ij(1)写出a45的值；(2)写出a ij的计算公式，以及2 017这个数在等差数阵中所在的一个位置．等差数列前n项和1课时作业一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A ．18 B ．27 C ．36D ．452．在等差数列{a n }中，若S 10＝4S 5，则a 1d 等于( ) A.12 B ．2 C.14D ．43．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－154．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．275．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763D ．6636．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1nD.n ＋12n7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9二、填空题8．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________.10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.三、解答题11．已知等差数列{a n }的前三项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k .12．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .等差数列前n 项和2一、选择题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 4等于( )A．7 B．8 C．9 D．172．在等差数列{a n}和{b n}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{a n＋b n}的前100项的和为()A．10 000 B．8 000C．9 000 D．11 0003．已知数列{a n}满足a n＝26－2n，则使其前n项和S n取最大值的n的值为()A．11或12 B．12C．13 D．12或134．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是()A．3 B．－3C．－2 D．－15．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5<a k<8，则k值为()A．9 B．8 C．7 D．6答案 B6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m等于()A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题7．已知数列{a n}的通项公式是a n＝2n－48，则S n取得最小值时，n＝________.8．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当S n取得最大值时，n的值为________．9．已知数列{a n}的前n项和公式为S n＝2n2－30n，则S n取最小值时对应的n值为________．10．若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2 013＋a2 014＞0，a2 013·a2 014＜0，则使前n项和S n ＞0成立的最大自然数n是________．三、解答题11．设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的自然数n的值．12．数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0 (n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求S n.13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．等比数列1课时作业一、选择题1．在等比数列{a n}中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4 B．8C．16 D．322．在等比数列{a n}中，a n>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为()A．16 B．27C．36 D．813．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于()A．－24 B．0C．12 D．244．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－95．在等比数列{a n}中，a1＝1，公比|q|≠1.若a m＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．9 B．10 C．11 D．126．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于() A．3 B．2C．1 D．－2二、填空题7．在等比数列{a n}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.8．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．9．已知6，a，b,48成等差数列，6，c，d,48成等比数列，则a＋b＋c＋d＝________. 10．数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.三、解答题11．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p ＋q 的值．12．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．等比数列2课时作业一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．162．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000 D ．－10 0003．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.324．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( ) A.13 B ．3 C ．±13D ．±35．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 26．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2二、填空题7．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________.9．已知数列{a n}成等比数列．若a2＝4，a5＝－12，则数列{a n}的通项公式是____________．10．已知等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.三、解答题11．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．12．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数．13．在等比数列{a n}(n∈N*)中，a1＞1，公比q＞0.设b n＝log2a n，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项a n；(3)试比较a n与S n的大小．等比数列前n项和1课时作业一、选择题1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则S n等于()A.n[(－1)n－1]2 B.(－1)n＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －122．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．1893．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－114．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( )A.13B ．－13 C.19 D ．－195．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)二、填空题7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.8．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________.三、解答题11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35)13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．等比数列前n 项和2课时作业一、选择题1．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.142．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( )A ．1B ．0C ．1或0D ．－13．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( )A ．90B ．70C ．40D ．304．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．35．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152B.314C.334D.1726．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，则a 6等于( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1二、填空题7．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝______.9．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________.10．在等比数列{a n }中，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则前n 项和S n ＝________________.三、解答题11．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .12．中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n年的人口总数a n的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？13．已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．。