步步高高中数学 必修 5 数列打印版

1.1 数列的概念与简单表示方法（一）

学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．

知识点一数列及其有关概念

思考1数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？

答案不是．顺序不一样．

思考2数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？

答案数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．

梳理(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．

(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．

知识点二通项公式

思考1数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？

答案100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项a n＝n，从而第100项应为100.

梳理如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

思考2数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？

答案如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．

不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．

知识点三数列的分类

思考对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？

答案(1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．

梳理(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．

类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式

例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－1

4；

(2)12，2，92，8，25

2； (3)9,99,999,9 999； (4)2,0,2,0. (5)1,0,-1,0,1,0,-1,0

解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋

1n

，n ∈N *.

(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，25

2，…，

所以它的一个通项公式为a n ＝n 2

2

，n ∈N *.

(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N *.

(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)n

＋1

＋1，n ∈N *.

(5)周期数列，用三角函数来表示，π2

sin

n 反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．

跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－

11×2，12×3，－13×4，14×5

； (2)22－12，32－13，42－14，52－15；

(3)7,77,777,7 777.

解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n

n ×(n ＋1)

，n ∈N *.

(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1

n ＋1

，n ∈N *.

(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9 999，即79×(10－1)，79×(100－1)，7

9×(1 000－

1)，

7

9

×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)，7

9×(103－1)， 7

9

×(104－1)， 所以它的一个通项公式为a n ＝7

9×(10n －1)，n ∈N *.

类型二 数列的通项公式的应用

例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)

(2n －1)(2n ＋1)，

n ∈N *.

(1)写出它的第10项；

(2)判断2

33是不是该数列中的项．

解 (1)a 10＝(－1)10×1119×21

＝11

399.

(2)令n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝2

33，化简得8n 2－33n －35＝0，

解得n ＝5(n ＝－7

8

舍去)．

当n ＝5时，a 5＝－233≠233.所以2

33不是该数列中的项．

引申探究

对于例2中的{a n }． (1)求a n ＋1；(2)求a 2n .

解 (1)a n ＋1＝(－1)n ＋

1[(n ＋1)＋1]

[2(n ＋1)－1][2(n ＋1)＋1]

＝(－1)n ＋

1(n ＋2)(2n ＋1)(2n ＋3)

.