2019-2020年高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数优化训练北师大版必修

1.1 周期现象与周期函数自主广场我夯基 我达标1．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是（ ）A.80°B.-80°C.960°D.-960° 思路解析：分针转过的角是负角.答案：D2．给出下列四个命题：①-15°是第四象限的角；②185°是第三象限的角；③475°是第二象限的角；④-350°是第一象限的角，其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4思路解析：将题中的角化成α+k·360°(k∈Z )，α在0°—360°之间的形式，并结合图形即可判断出来.答案：D3.与-457°角终边相同的角的集合是（ ）A.{α|α=k·360°+457°，k∈Z }B.{α|α=k·360°+97°，k∈Z }C.{α|α=k·360°+263°，k∈Z }D.{α|α=k·360°-263°，k∈Z } 思路解析：可用特殊值法去研究，也可用定义去分析解决，还可用排除法.方法一：∵-457°=-2×360°+263°，∴应选C.方法二：因为-457°角与-97°角终边相同，又-97°角与263°角终边相同，所以-457°角应与k·360°+263°角终边相同，故应选Ｃ.方法三：由于-457°角与-97°角终边相同，易知应排除Ａ、Ｂ、Ｄ，故选C.答案：C4.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z }，B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B 等于（ ）A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}思路解析：在集合A 中，令k 取不同的整数，找出既属于A 又属于B 的角度即可.k=-1,0,1,2,验证可知A∩B={-126°，-36°，54°，144°}.答案：C5.如果α与x+45°具有相同的终边，角β与x-45°具有相同的终边，那么α与β间的关系是（ ）A.α+β=0B.α-β=0C.α+β=k·360°,k∈ZD.α-β=k·360°+90°,k∈Z思路解析：利用终边相同的角的关系，分别写出α、β，找出它们的关系即可.由题意知，α＝k·360°+x+45°,k∈Z ，β=n·360°+x -45°,n∈Z ，则α-β=(k-n)·360°+90°,(k -n) ∈Z .答案：D6.(2005全国高考卷Ⅲ，理1)已知α为第三象限角，则2所在的象限是（ ） A.第一或第二象限 B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限思路解析：利用不等式法和八卦图法均可解决.答案：D7.已知-180°＜α＜180°，7α的终边又与α的终边重合，求满足条件的角α的集合.思路分析：7α与α相差360°的整数倍，由此确定符合条件的角的集合.解：由题意得7α=α+k·360°,得α=k·60°,k∈Z .令-180°＜k·60°＜180°，∴-3＜k ＜3.∴α=-120°,-60°,0°,60°,120°，∴满足条件的角α的集合为{-120°,-60°,0°,60°,120°｝.8.今天是星期一，158天后的那一天是星期几?思路分析：每个星期，从星期一、星期二，一直到星期日共是7天，呈现出周期性，故求158被7除的余数即可.∵158＝7×22＋4，而今天是星期一，∴158天后的那一天是星期五. 答案：星期五.我综合 我发展9.若α是第一象限的角，则180°-α是第____________象限的角.思路解析：利用不等式法判断.∵α是第一象限的角，∴k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z .∴-k·360°+90°＜180°-α＜-k·360°+180°,k∈Z ，画图知，180°-α是第二象限的角.答案:二10.设两个集合M={α|α=k·90°+45°,k∈Z }，N={α|α=k·180°-45°,k∈Z },试求M 、N 之间的关系.思路分析：由于集合M 、N 中的角都与k·180°有关，故应采用坐标系将角的终边的范围表示出来，再求解.解：集合M 、N 所表示的角的终边分别如图1-（1，2）-6甲和图乙所示：图1-（1，2）-6由图可知N M.11.若θ角的终边与168°角的终边相同，求在［0°，360°）内终边与3θ角的终边相同的角. 思路分析：先写出与168°角终边相同的角，再找在［0°，360°）内的3θ角. 解：θ=k·360°＋168°(k∈Z )， ∴3θ=k·120°+56°(k∈Z ). 令0°≤k·120°+56°＜360°(k∈Z )，则k=0,1,2， ∴在［0°，360°）内与3θ终边相同的角有56°，176°，296°. 敬请批评指正。

§1周期现象§2角的概念的推广填一填1.周期现象(1)概念：相同间隔________出现的现象．(2)特点：①有一定的________；②不断________出现．2．角的概念及分类概念平面内________绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的图形分类旋转方向________________零角终边位置________象限界角3.终边相同的角与角α判一判1.2．角的始边、终边确定的，角的大小是确定的．( )3．第一象限的角一定是锐角．( )4．终边相同的角是相等的角．( )5．小于90°的角都是锐角．( )6．第二象限角是钝角．( )7．将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.()8．{α|α＝360°·k±90°，k∈Z}＝{α|α＝180°·k＋90°，k∈Z}．( )想一想1.任意角的概念？提示：理解任意角概念的关键是把握“旋转”二字，旋转的方向区分角的正负，旋转的“圈数”决定了角的大小，利用旋转的观点，把角的概念推广到了任意角．2．象限角的集合如何表示？提示：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}第二象限角{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}第三象限角{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}第四象限角{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}练一练1.③475°是第二象限角④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个2．将－885°角化为α＋k·360°(0°<α<360°，k∈Z)的形式是( )A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°3．－520°角的终边落在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．与2 017°角终边相同的最小正角是________角．知识点一周期现象1.)的函数，记作y ＝f(tt(时)03691215182124y(米) 1.5 1.00.5 1.0 1.5 1.00.50.99 1.58：00至20：00之间，有多少时间可以供冲浪者运动？2．游乐场中的摩天轮有10个座舱，每个座舱最多乘4人，每30分钟转一圈，请估算16个小时内最多有多少人乘坐．知识点二任意角的概念3.是第一象限角②相等的角的终边一定相同③终边相同的角有无限多个④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个4知识点三终边相同的角的表示5.A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}6．已知角α＝－2 019°，(1)写出与角α终边相同的角θ的集合．(2)试求出在0°～720°范围内与角α终边相同的角．综合知识 象限角问题 7.已知角α是第四象限角，则角α2是( )A ．第一或第三象限角B ．第二或第三象限角C ．第一或第四象限角D ．第二或第四象限角8．已知角x 的终边落在图示阴影部分区域，写出角x 组成的集合．基础达标一、选择题1．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2 016盆花的颜色为( )A ．红B ．黄C ．紫D ．白 2．下列角中，终边与123°相同的角是( ) A ．237° B．－123° C ．483° D．－483°3．如果角α的终边上有一个点P (0，－3)，那么α( ) A ．是第三象限角 B ．是第四象限角C ．是第三或第四象限角D ．不是任何象限角 4．下列角的终边位于第二象限的是( ) A ．420° B ．860° C ．1 060° D．1 260°5．与－420°角终边相同的角是( ) A ．－120° B．420° C ．660° D．280° 6．已知A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，那么A 、B 、C 的关系是( ) A ．B ＝A ∩C B ．B ∪C ＝C C ．A C D ．A ＝B ＝C7．集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M，P之间的关系为( )A．M＝P B．M⊆PC．M⊇P D．M∩P＝∅8．角α与β的终边关于y轴对称，则有( )A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°(k∈Z)C．α＋β＝2k·180°(k∈Z)D．α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)二、填空题9．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.10．与2 018°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．11．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．第11题图第12题图12．终边落在阴影部分的角的集合是________．三、解答题13．已知集合A＝{a|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}，求A∩B.14．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S.(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．能力提升是( )15.若α是第一象限角，则－2A．第一象限角 B．第四象限角C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角16．写出终边在如图所示的直线上的角的集合．§1 周期现象 §2 角的概念的推广一测 基础过关填一填1．(1)重复 (2)规律 重复2．一条射线 旋转 正角 负角 象限角 3．{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z } 判一判1．√ 2.× 3.× 4.× 5.× 6.× 7．× 8.√ 练一练1．D 2.B 3.C 4.217° 二测 考点落实1．解析：由数据表画出散点图如下：由图可知，在规定时间8：00至20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，时间为9：00至15：00.2．解析：每一个周期最多乘坐4×10＝40(人)，16个小时内共有32个周期，因而在16个小时内最多有40×32＝1 280(人)乘坐．3．解析：①错误，0°角是象限界角；②③④正确． 答案：C4．解析：分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×223＝－960°.答案：－960°5．解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k ·360°＋263°，k ∈Z .答案：C6．解析：(1)与角α＝－2 019°终边相同的角θ的集合表示为{θ|θ＝－2 019°＋k ·360°，k ∈Z }．(2)因为θ＝－2 019°＋k ·360°，k ∈Z ，所以当k ＝6时，θ＝－2 019°＋6×360°＝141°； 当k ＝7时，θ＝－2 019°＋7×360°＝501°.7．解析：因为α为第四象限角，所以270°＋k ·360°<α<360°＋k ·360°，k ∈Z ，所以135°＋k ·180°<α2<180°＋k ·180°，k ∈Z .当k ＝0时，135°<α2<180°，为第二象限角；当k ＝1时，315°<α2<360°，为第四象限角．故α2为第二或第四象限角． 答案：D8．解析：{x |k ·360°＋30°≤x ≤k ·360°＋60°，k ∈Z }∪{x |k ·360°＋210°≤x ≤k ·360°＋240°，k ∈Z }＝{x |2k ·180°＋30°≤x ≤2k ·180°＋60°或(2k ＋1)·180°＋30°≤x ≤(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z }＝{x |n ·180°＋30°≤x ≤n ·180°＋60°，n ∈Z }． 三测 学业达标1．解析：因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白…的顺序摆放，所以以4为一个周期，则2 016÷4＝504，所以第2 016盆花为白色．答案：D2．解析：由123°＋k ·360°，k ∈Z ，k ＝1时，可得C. 答案：C3．解析：点P 在y 轴负半轴上，故选D. 答案：D4．解析：420°＝360°＋60°，终边位于第一象限； 860°＝2×360°＋140°，终边位于第二象限； 1 060°＝2×360°＋340°，终边位于第四象限；1 260°＝3×360°＋180°，终边位于x 轴非正半轴．故选B. 答案：B5．解析：与－420°角终边相同的角为n ·360°－420°(n ∈Z )，当n ＝3时，n ·360°－420°＝660°.故选C.答案：C6．解析：A ＝{第一象限角}＝{x |k ·360°<x <k ·360°＋90°，k ∈Z }，B ＝{锐角}＝{x |0°<x <90°}，C ＝{小于90°的角}＝{x |x <90°}，由此可得：A 错误，B 正确，C 、D 错误．故选B.答案：B7．解析：M ＝{x |x ＝(2k ±1)45°，k ∈Z }，P ＝{x |x ＝(k ±2)45°，k ∈Z }，故选B. 答案：B8．解析：β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，故选D. 答案：D9．解析：5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，则α＝k ·90°，k ∈Z ，k ＝3时，α＝270°. 答案：270°10．解析：由2 018°－k ·360°，k ∈Z 得k ＝5时得218°，k ＝6时得－142°. 答案：218° －142°11．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }．答案：{α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }12．解析：终边落在OA 上的角的集合为k ·360°－45°，终边落在OB 上的角的集合为k ·360°＋120°，终边落在阴影部分的角的集合为{α|－45°＋360°·k ≤α≤120°＋360°·k ，k ∈Z }．答案：{α|－45°＋360°·k ≤α≤120°＋360°·k ，k ∈Z }13.解析：如图所示，集合A 中角的终边是30°～90°角的终边或210°～270°角的终边，集合B 中角的终边是－45°～45°角的终边，所以A ∩B 的角的终边是30°～45°角的终边，所以A ∩B ＝{a |k ·360°＋30°<α<k ·360°＋45°，k ∈Z }．14.解析：(1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以分别以射线OA ，OB 为终边的角的集合为S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }． (2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为60°－2×180°＝－300°； 60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°； 60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°； 60°＋3×180°＝600°.15．解析：方法一：由题意知k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ，则k ·180°<α2<k ·180°＋45°，k ∈Z ，所以－k ·180°－45°<－α2<－k ·180°，k ∈Z .当k 为偶数时，－α2为第四象限角；当k 为奇数时，－α2为第二象限角．方法二：由几何法易知α2为第一象限角或第三象限角，根据－α2与α2的终边关于x 轴对称，知－α2为第四象限角或第二象限角．答案：D16．解析：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S 1＝{β|β＝0°＋k ·360°，k ∈Z }，所有与180°角终边相同的角的集合为S 2＝{β|β＝180°＋k ·360°，k ∈Z }，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·180°，k ∈Z }．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }．(3)由教材第5页【例3】知终边在直线y ＝x 上的角的集合为{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }，结合(2)知所求角的集合为S ＝{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{β|β＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．。

2019-2020年高中数学第一章数列1.1.2数列的函数特性课后演练提升北师大版必修一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析： ∵a n ＋1－a n ＝3>0，∴{a n }递增． 答案： A2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析： A 是递减数列，B 是递减数列，D 是递增数列，但只有n 项． 答案： C3．数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项D ．第7项解析： ∵a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫n 2－283n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1432＋1963，∴当n ＝5时，a n 最小． 答案： B4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝⎛⎭⎪⎫0≤a n＜12，2a n－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n＜1.若a 1＝67，则a 2 012的值为( )A.67B.57C.37D.17解析： 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 012除以3余2，所以a 2 012＝a 2＝57.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1＜a 2”是“数列{a n }是递增数列”的________条件．解析： 设{a n }的首项为a 1，公比为q ，若a 1＜a 2，则q ＞1，从而有a 1qn －1＜a 1q n，即a n＜a n ＋1，因此{a n }是递增的等比数列；反之，若{a n }是递增数列且a 1＞0，则必有q ＞1，故a 1＜a 2.答案： 充要条件6．数列lg 2101×2，lg 2102×3，…，lg210n n ＋，…中首次出现负值的项是第________项． 解析： 由lg210n n ＋＜0得210nn ＋＜1，∴n (n ＋1)＞210，∴n ＞14， ∴n ≥15. 答案： 15三、解答题(每小题10分，共20分)7．把数列{n 2－9n }用列表法表示出来，并在直角坐标系中画出它的图像，并根据图像指出它的增减性．解析： 列表由图像直观地看出它在{1,2,3,4}是递减的，在{5,6,7,8，…}上是递增的． 8．已知数列{a n }满足a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12). 数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？解析： ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ， ∴a n ＋1＝1n ＋＋1＋1n ＋＋2＋1n ＋＋3＋…＋1n ＋＝1n ＋2＋1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－1n ＋，又n ∈N ＋，∴2n ＋1＜2(n ＋1)， ∴a n ＋1－a n ＞0， ∴数列{a n }是递增数列． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)写出满足条件的数列的前4项，并归纳出通项公式： (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N ＋)； (2)a 1＝3，a n ＋1＝3a n (n ∈N ＋)．解析： (1)由递推关系，得a 1＝0＝02，a 2＝a 1＋(2×1－1)＝1＝12， a 3＝a 2＋(2×2－1)＝4＝22， a 4＝a 3＋(2×3－1)＝9＝32.观察前4项，可归纳出a n ＝(n －1)2. (2)由递推关系式，得a 1＝3＝31，a 2＝3a 1＝9＝32， a 3＝3a 2＝27＝33，a 4＝3a 3＝81＝34.观察前4项，可归纳出a n ＝3n.2019-2020年高中数学第一章数列1.1数列1.1.1数列的概念达标练习北师大版必修1．下列说法中不正确的是( ) A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．1，－3，45，－7，－8，10不是一个数列C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列解析：选B.A ，D 显然正确；对于B ，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B 不正确；对于C ，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选B. 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋（－1）n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1，0，1，0B ．0，1，0，1 C.12，0，12，0 D ．2，0，2，0解析：选A.当n 分别等于1，2，3，4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0. 3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n 2－n ，那么( ) A ．30是数列{a n }的一项 B ．44是数列{a n }的一项 C ．66是数列{a n }的一项D ．90是数列{a n }的一项解析：选C.分别令2n 2－n 的值为30，44，66，90，可知只有2n 2－n ＝66时，n ＝6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{a n }的一项．4．已知数列的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，n 2－2，n ≥2，则该数列的前两项分别是( )A ．2，4B ．2，2C ．2，0D ．1，2解析：选B.当n ＝1时，a 1＝2；当n ＝2时，a 2＝22－2＝2.5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n （n －1）2 C ．a n ＝n （n ＋1）2D ．a n ＝n （n ＋2）2解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C.法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a 1＝1×22，a 2＝2×32，a 3＝3×42，a 4＝4×52，所以猜想a n ＝n （n ＋1）2，故选C.6．若数列{a n }的通项满足a nn＝n －2，那么15是这个数列的第________项． 解析：由a n n＝n －2可知，a n ＝n 2－2n . 令n 2－2n ＝15，得n ＝5. 答案：57．已知数列{a n }的前4项为11，102，1 003，10 004，则它的一个通项公式为________． 解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是a n ＝10n＋n . 答案：a n ＝10n＋n8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 017－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．解析：由a n ＝2 017－3n >0，得n <2 0173＝67213，又因为n ∈N ＋，所以正整数n 的最大值为672. 答案：6729．已知数列{n (n ＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解：(1)a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ，所以a 8＝80，a 20＝440. (2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17.所以323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项．10．已知数列2，74，2，…的通项公式为a n ＝an 2＋bcn ，求a 4，a 5.解：将a 1＝2，a 2＝74代入通项公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b c ＝2，4a ＋b 2c ＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3a ，c ＝2a ，所以a n＝n 2＋32n ，所以a 4＝42＋32×4＝198，a 5＝52＋32×5＝145.[B 能力提升]11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝sin n θ，0<θ<π6，若a 3＝12，则a 15＝____________．解析：a 3＝sin 3θ＝12，又0<θ<π6，所以0<3θ<π2，所以3θ＝π6，所以a 15＝sin 15θ＝sin 56π＝12.答案：1212．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2 017这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n ＝15n －14. 由a n ＝15n －14≤2 017得n ≤135.4，当n ＝1时，此时a 1＝1，不符合，故此数列的项数为135－1＝134. 答案：13413．在数列{a n }中，a 1＝3，a 17＝67，通项公式是关于n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 2 016；(3)2 017是否为数列{a n }中的项？若是，为第几项？ 解：(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)．由a 1＝3，且a 17＝67，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝317k ＋b ＝67，解之得k ＝4且b ＝－1.所以a n ＝4n －1. (2)易得a 2 016＝4×2 016－1＝8 063. (3)令2 017＝4n －1，得n ＝2 0184＝1 0092∉N ＋， 所以2 017不是数列{a n }中的项．14．(选做题)已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1， (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内是否有数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． 解：(1)设a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝（3n －1）（3n －2）（3n －1）（3n ＋1）＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝2831. (2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N ＋，所以0<33n ＋1<1，所以0<a n <1.所以数列中的各项都在区间(0，1)内．(4)令13<3n －23n ＋1<23，所以⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧n >76，n <83.所以76<n <83.当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。

描述：例题：高中数学必修4(北师版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 三角函数 1.1 周期现象一、知识清单函数的周期性二、知识讲解1.函数的周期性函数的周期性如果存在非零实数 ，使得对函数 定义域 内的任意一个自变量 ，都有，那么称函数 是周期为 的函数，此时称 为函数 的一个周期．最小正周期如果一个周期函数的所有正周期中存在最小值，就称这个值为该函数的最小正周期．函数的对称性与周期性函数的对称性引起的周期性 ：① 如果函数 关于直线 对称，且关于直线 对称，那么 是周期为 的函数．② 如果函数 关于点 对称，且关于点 对称，那么 是周期为 的函数．③ 如果函数 关于直线 对称，且关于点 对称，那么 是周期为 的函数．T y =f (x )I x f (x +T )=f (x )y =f (x )T T y =f (x )(a ≠b )y =f (x )x =a x =b y =f (x )2|a −b |y =f (x )(a ,0)(b ,0)y =f (x )2|a −b |y =f (x )x =a (b ,0)y =f (x )4|a −b |已知 在 上是奇函数，且 ，当 时， ，则______．解： ．f (x )R f (x +4)=f (x )x ∈(0,2)f (x )=2x 2f (7)=−2f (7)=f (3)=f (−1)=−f (1)=−2已知定义在 上的函数 满足下列三个条件：① 对于任意的 ，都有 ；② 对于任意的 ，都有 ；③ 函数 的图象关于 轴对称．则下列结论正确的是（ ）A． B．C． D．解：A由 ①②③ 三个条件知函数的周期是 ，在区间 上是增函数且其对称轴为 ，所以 ，，R f (x )R f (x +4)=f (x )0⩽<⩽2x 1x 2f ()<f ()x 1x 2f (x +2)y f (6.5)>f (5)>f (15.5)f (5)<f (6.5)<f (15.5)f (5)>f (15.5)>f (6.5)f (15.5)>f (5)>f (6.5)4[0,2]x =2f (5)=f (1)f (15.5)=f (3.5)=f (2+1.5)=f (2−1.5)=f (0.5)f (6.5)=f (2.5)=f (2+0.5)=f (2−0.5)=f (1.5)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

第2课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性1.周期函数(1)周期函数.条件①对于函数f(x)，存在一个非零常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期状元随笔关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．(2)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B，y＝A cos(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝2π|ω|求最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数状元随笔关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果存在常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T .( )(2)如果存在非零常数T ，使得定义域内存在一个值x ，有f (x ＋T )＝f (x )，那么这个函数的周期为T .( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．下列函数中，周期为π2的是( )A．y ＝sin x 2 B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析：对于A ，T ＝2π12＝4π，对于B ，T ＝2π2＝π，对于C ，T ＝2π14＝8π，对于D ，T ＝2π4＝π2.答案：D3．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故选A.答案：A4．下列函数中是偶函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝－sin x C ．y ＝sin|x | D ．y ＝sin x ＋1解析：A 、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，∴y ＝sin|x |是偶函数．答案：C类型一 求三角函数的周期例1 (1)下列函数中，不是周期函数的是( )A.y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x |(2)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的周期为________． 【解析】 (1)画出y ＝sin|x |的图象，易知y ＝sin|x |不是周期函数．(2)方法一 因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6， 即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. 所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.方法二 函数的周期T ＝2π|ω|＝2π13＝6π.【答案】 (1)D (2)6π(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．(2)利用周期的定义，需要满足f(x ＋T)＝f(x) ；也可利用公式T ＝2π|ω|计算周期．方法归纳求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0)，可利用T ＝2π|ω|来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．跟踪训练1 求下列函数的周期． (1)y ＝2sin 2x ；(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.解析：(1)方法一 因为2sin(2x ＋2π)＝2sin 2x ，即2sin 2(x ＋π)＝2sin 2x . 由周期函数的定义，可知原函数的周期为π. 方法二 T ＝2π2＝π.(2)方法一 因为cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，即cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.由周期函数的定义，可知原函数的周期为4π. 方法二 T ＝2π12＝4π(1)利用周期的定义求函数周期． (2)利用公式T ＝2π|ω |求函数周期．类型二 正、余弦函数的奇偶性问题 例2 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2； (2)f (x )＝sin(cos x )．【解析】 (1)函数的定义域为R .且f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x .因为f (－x )＝－sin(－2x )＝sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R .且f (－x )＝sin[cos(－x )]＝sin(cos x )＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin(cos x )是偶函数.先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性． 方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f (x )的定义域不关于原点对称，无论f (－x )与f (x )有何关系，f (x )仍然是非奇非偶函数．跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. 解析：(1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． (1)利用定义法判断函数的奇偶性．(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cos x 的值以及x 的值，最后判断函数的奇偶性．类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．【解析】 因为f (x )的最小正周期是π， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3， 因为f (x )是R 上的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.利用周期性 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，再利用奇偶性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，最后代入求值．方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (Aω≠0)或y ＝A cos ωx (Aω≠0)其中的一个．跟踪训练3 若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π的值． 解析：因为f (x )的最小正周期是π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＝12 利用周期性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6代入求值．1.4.1-2.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( ) A.π3B ．3π C.2π3 D.3π2解析：该函数的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：C2．函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：因为f (x )的定义域是R ，且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数． 答案：A3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＋1 005π＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＝－cos 2 010x ，f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－cos(－2 010x )＝－cos 2 010x ＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数． 答案：B4．函数f (x )＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ( )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (x )＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝x cos x ，所以f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．答案：A5．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x | B ．y ＝|sin x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2xD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x解析：y ＝cos|2x |是偶函数；y ＝|sin x |是偶函数；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数；y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，且其最小正周期T ＝π.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数．答案：奇7．函数y ＝cos1－x π2的最小正周期是________． 解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2x ＋π2，∴T ＝2ππ2＝2π×2π＝4.答案：48．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (8)＝________. 解析：∵f (x )的周期为2， ∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (8)＝f (2＋3×2)＝f (2)＝3. 答案：3三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列函数的最小正周期： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6；(2)y ＝|sin x 2|. 解析：(1)利用公式T ＝2π|ω|，可得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6的最小正周期为T ＝2π|－2|＝π. (2)易知函数y ＝sin x2的最小正周期为T ＝2π12＝4π，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是由函数y ＝sin x 2的图象将在x 轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为2π.10．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3cos 2x ；(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(3)f (x )＝x ·cos x . 解析：(1)因为x ∈R ，f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos 2x ＝f (x )，所以f (x )＝3cos 2x 是偶函数．(2)因为x ∈R ，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，所以f (－x )＝－cos 3－x 4＝－cos3x 4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(3)因为x ∈R ，f (－x )＝－x ·cos(－x )＝－x ·cos x ＝－f (x )， 所以f (x )＝x cos x 是奇函数．[能力提升](20分钟，40分)11．下列说法中正确的是( )A ．当x ＝π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≠sin x ，所以π6不是f (x )＝sin x 的周期B ．当x ＝5π12时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x ，所以π6是f (x )＝sin x 的一个周期C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，所以π2是y ＝cos x 的一个周期解析：若T 是f (x )的周期，则对于f (x )的定义域内任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )成立，B ，C ，D 错误．答案：A12．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x <0，sin x ，0≤x <π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝________. 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案：2213．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 解析：(1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2k ∈Z ，0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2k ∈Z ，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.14．已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是以4为周期的函数；(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7.5)的值．解析：(1)证明：f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数．(2)由(1)可知f(x＋4)＝f(x)，所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.。

第一章三角函数 1-2 周期现象与周期函数、角的概念的推广[A 基础达标]1．下列说法正确的是( )A．终边相同的角都相等B．钝角比第三象限角小C．第一象限角都是锐角D．锐角都是第一象限角解析：选D.终边相同的角相差360°的整数倍，并不一定相等，故A错误；钝角并不一定比第三象限角小，如－135°是第三象限角，显然－135°比钝角小，故B错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故D正确，C错误．2．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2 016盆花的颜色为( )A．红B．黄C．紫D．白解析：选D.因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白…的顺序摆放，所以以4为一个周期，则2 016÷4＝504，所以第2 016盆花为白色．3．若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在( )A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限解析：选A.当k为奇数时，角α与225°角终边相同，在第三象限；当k为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限．4．终边与坐标轴重合的角α的集合是( )A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：选D.终边落在x轴上的角α的集合为S1＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边落在y轴上的角α的集合为S2＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边落在坐标轴上的角α的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝k·90°，k∈Z}．5．在直角坐标系中，若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，α和β的终边关于y轴对称，则α与β关系为( )A．α＋β＝360°B．α＋β＝(2k－1)·180°(k∈Z)C．α＋β＝k·180°(k∈Z)D．α＋β＝k·360°(k∈Z)解析：选B.如图所示，因为α与β的终边关于y轴对称，所以α角的终边逆时针旋转(180°－2α)就与β角终边重合．所以β＝k·360°＋(180°－2α)＋α，所以α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．因为当k为整数时，2k－1与2k＋1都表示奇数，所以α＋β＝(2k－1)·180°(k∈Z)．6．今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期，第50天是星期．解析：每周有7天，27＝3×7＋6，故27天后的那一天是星期一；50＝7×7＋1，故第50天是星期二．答案：一二7．若角α与角β终边相同，则α－β＝．解析：根据终边相同的角的定义，可知α－β＝k·360°(k∈Z)．答案：k·360°(k∈Z)8．有一个小于360°的正角，这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合，则这个角为．解析：由题意知，6α＝k·360°，k∈Z，所以α＝k·60°，k∈Z.又因为α是小于360°的正角，所以满足条件的角α的值为60°，120°，180°，240°，300°.答案：60°，120°，180°，240°，300°9．如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．10．已知角β的终边在直线3x－y＝0上，写出角β的集合S.解：如图，直线3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角为60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}．所以β角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋ (2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．[B 能力提升]1．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}，则( ) A．M＝N B．N⊊MC．M⊊N D．M∩N＝∅解析：选C.M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z}＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z}，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z}＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z}．因为k ∈Z，所以k ＋2∈Z，且2k ＋1为奇数，所以M ⊊N ，故选C.2．有白、黑两种颜色的圆片按以下规律排列：则第100个圆片的颜色是 ．解析：由图可知，第5个，第10个，第15个，……第5n 个均为黑色圆片.100＝5×20，因此第100个圆片为黑色．答案：黑色3．若角θ的终边与168°角的终边相同，求0°～360°内与角θ3的终边相同的角． 解：因为θ＝k ·360°＋168°，k ∈Z，所以θ3＝k ·120°＋56°，k ∈Z.令0°≤k ·120°＋56°<360°，得k ＝0，1，2，故0°～360°内与角θ3终边相同的角是56°，176°，296°. 4.(选做题)如图，点A 在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx ＝45°.点P 从点A 出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P 在1 s 内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s 到达第三象限，经过14 s 后又回到出发点A ，求角θ并判定其终边所在的象限．解：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k ·360°，k ∈Z，则θ＝k ·180°7，k ∈Z.又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°，则67.5°<k ·180°7<112.5°，k ∈Z，所以k ＝3或k ＝4.故θ＝540°7或θ＝720°7.易知0°<540°7<90°，90°<720°7<180°， 故角θ的终边在第一或第二象限．。

2019-2020年高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广优化训练北师大版必修5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.任意角的形成：角可以看成是_____________而成的，射线的端点叫做_____________，旋转开始的射线叫做_____________，旋转终止的射线叫做_____________，按逆时针方向旋转形成的角叫做_____________，按顺时针方向旋转形成的角叫做_____________，没有作任何旋转时，这样的角叫做_____________.答案：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置角的顶点角的始边角的终边正角负角零角2.在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”等说法，像这种动作名称表示的角是多大？解：如果逆时针转体，分别是360°×3=1 080°和360°×2.5=900°；若顺时针转体，则分别为-1 080°和-900°.3.在0°—360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角. （1）908°28′；（2）-734°.解：（1）908°28′=188°28′+2×360°，则188°28′即为所求的角，因为它是第三象限角，从而908°28′也是第三象限的角.（2）-734°=346°-3×360°，则346°即为所求的角，因为它是第四象限角，从而-734°也是第四象限角.4.在-720°—720°之间，写出与60°角终边相同的角的集合S.解：与60°终边相同的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z}，令-720°≤60°+k·360°<720°,得k=-2,-1,0,1，相应的角为-660°,-300°,60°,420°，从而S={-660°,-300°,60°,420°}.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列说法中,正确的有（）①第一象限的角一定是锐角②终边相同的角一定相等③相等的角终边一定相同④小于90°的角一定是锐角⑤钝角的终边在第二象限A.1个B.2个C.3个D.4个解析：终边相同的角，有的正有的负，不一定相等；锐角指的是在（0°，90°）内的正角；小于90°的角可以是负角，所以二者不同.第一象限的角是指终边落在第一象限的角，它可正可负，可大可小，故并非仅是锐角，所以①不正确；同理，可知②④均不正确；③⑤正确. 答案：B2.下列各角中属于第二象限的是（）A.-290°B.585°C.-950°D.182°解析：将角写成k·360°+α（k∈Z）（0°≤α＜360°）（k∈Z）的形式，α与它在同一象限.将超过［-360°，360°］范围内的角化为在这个范围内即可判断.易知-290°在第一象限，182°在第三象限，585°=360°+225°，在第三象限，-950°=-720°-230°在第二象限.答案：C3.若A={α|α=k·360°，k∈Z}，B={α|α=k·180°，k∈Z}，C={α|α=k·90°，k∈Z}，则下列关系正确的是（）A.ACBB.BACC.CBAD.ABC解析：A中，α=k·360°，α的终边落在x轴非负半轴上；B中，α=k·180°，则α的终边落在x轴上；C中，α=k·90°，则α的终边落在坐标轴上.故可判断ABC.答案：D4.在0°—360°范围内，找出与下列各角终边相同的所有角，并判断它们是第几象限的角. （1）-150°；（2）650°；（3）-950°15′.解：（1）因为-150°=-360°+210°，所以在0°—360°范围内，与角-150°终边相同的角是210°角，它是第三象限的角.（2）因为650°=360°+290°，所以在0°—360°范围内，与角650°终边相同的角是290°角，它是第四象限的角.（3）因为-950°15′=-3×360°+129°45′，所以在0°—360°范围内，与角-950°15′终边相同的角是129°45′角，它是第二象限的角.5.（1）写出与15°角终边相同的角的集合；（2）在（1）的集合中，将适合不等式-1 080°＜α＜360°的元素α求出来.解：（1）与15°角终边相同的角的集合是M={α|α=k·360°+15°，k∈Z}.（2）在M中适合-1 080°<α<360°的元素是：取k=-3时，-3×360°+15°=-1 065°;取k=-2时，-2×360°+15°=-705°;取k=-1时，-1×360°+15°=-345°;取k=0时，0×360°+15°=15°,即元素-1 065°，-705°，-345°，15°为所求.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若α是第二象限的角，则180°-α是（）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角解析：α与-α的终边关于x轴对称，又α是第二象限的角，所以-α是第三象限的角.而-α与180°-α的终边关于原点对称，∴180°-α为第一象限的角.或者可以直接由已知得k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k∈Z），∴-k·360°-180°＜-α＜-k·360°-90°（k∈Z）.∴-k·360°＜180°-α＜-k·360°+90°（k∈Z）.确定180°-α是第一象限的角.答案：A2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z}，B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B等于（）A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}解析：在集合A中，令k取不同的整数，找出既属于A又属于B的角度即可.k=-2,-1,0,1,2,3，验证可知A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.答案：C3.如果α与x+45°具有同一条终边，角β与x-45°具有同一条终边，那么α与β间的关系是（）A.α+β=0B.α-β=0C.α+β=k·360°,k∈ZD.α-β=k·360°+90°,k∈Z解析：由题意，α=k·360°+x+45°,k∈Z；β=n·360°+x-45°,n∈Z.两式相减得α-β=(k-n)·360°+90°,(k-n)∈Z.答案：D4.在0°—360°范围内，与-45°角终边相同的角是____________.解析：由于-45°是第四象限的角，所以0°—360°之间终边与之相同的角是315°.答案：315°5.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是____________.解析：时针走过2小时40分钟，则分针走过周，所以转过的角度为×360°=-960°.答案：-960°6.(1)终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为____________；(2)终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为____________.解析：（1）终边落在第一象限角的平分线上的角为{α|α=k·360°+45°,k∈Z}；终边落在第三象限角的平分线上的角为{α|α=k·360°+225°,k∈Z}.所以终边落在第一、三象限角的平分线上的角的集合为S={α|α=k·360°+45°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+225°,k∈Z}={α|α=k·360°+45°或α=k·360°+225°,k∈Z}={α|α=2k·180°+45°或αZ}={α|α=n·180°+45°,n∈Z}.（2）同理，推得落在第二、四象限角平分线上的角的集合为{α|α=n·180°+135°,n∈Z}. 答案：（1）{α|αZ}（2）{α|α=n·180°+45°,n∈Z}7.射线OA绕端点O逆时针旋转270°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转一周到达OC位置，求∠AOC的大小.解：由题意知∠AOB=270°，∠BOC=-360°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=270°+（-360°）=-90°.8.已知A={锐角}，B={0°到90°的角}，C={第一象限角}，D={小于90°的角}.求A∩B,A∪C，C∩D，A∪D.解：因为A={α|0°<α<90°};B={α|0°≤α<90°};C={α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z};D={α|α<90°},所以A∩B={α|0°<α<90°};A∪C={αα<k·360°+90°,k∈Z};C∩D={α|k·36 0° <α<k·360°+90°，k为非正整数}；A∪D={α|α<90°}.9.已知α是第一象限角，试确定，2α终边的位置.解：(1)由已知k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z)得k·180°<<k·180°+45°（k∈Z).∴k为偶数时，是第一象限角，k为奇数时，为第三象限角，即为第一或第三象限角.如图（1）中阴影部分.（2）由已知得2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z).故2α的终边在第一或第二象限或y 轴的非负半轴上.如图（2）中阴影部分10.若角α的终边经过点P （-1，），写出角α的集合.解：如图，AO=1，AP=，所以∠AOP=60°.所以角α的集合为{α|α=240°+k·360°，k∈Z }.11.有一个小于360°的正角，这个角的6倍的终边与x 轴的正半轴重合，求这个角.解：由题意知6α=k·360°，k∈Z ，所以α=k·60°，k∈Z .又因为α是小于360°的正角，所以满足条件的角α的值为60°，120°，180°，240°，300°.2019-2020年高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广自我小测北师大版必修1．下列命题是真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限内的角B ．第一象限内的角必是锐角C ．不相等的角的终边一定不相同D ．{α|α＝k ×360°±90°，k ∈Z }＝{β|β＝k ×180°＋90°，k ∈Z }2．若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限3．已知角α是第四象限角，则角α2是( ) A ．第一或第三象限角B ．第二或第三象限角C ．第一或第四象限角D ．第二或第四象限角4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是( )A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|－45°＋k×360°≤α≤120°＋k×360°，k∈Z}D．{α|120°＋k×360°≤α≤315°＋k×360°，k∈Z}5．已知集合A＝{x|x＝k×180°＋(－1)k×90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k×360°＋90°，k∈Z}，则A，B的关系为( )A．BA B．AB C．A＝B D．A⊆B6．若角α的终边为第二象限的角平分线，则角α的集合为__________．7．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝___________________.8．与2 014°角终边相同的最小正角是__________，与2 014°角终边相同的绝对值最小的角是__________．9．已知角α＝－1 910°.(1)把角α写成β＋k×360°(0°≤β＜360°，k∈Z)的形式，并判定它是第几象限角；(2)求角θ，使角θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.10．设集合A＝{α|k×360°＋60°＜α＜k×360°＋300°，k∈Z}，B＝{β|k×360°－210°＜β＜k×360°，k∈Z}，求A∩B，A∪B.参考答案1．解析：若三角形的内角为90°，它就不是第一、二象限内的角，故A 错误；390°是第一象限内的角，但它不是锐角，故B 错误；390°≠30°，但390°角与30°角的终边相同，故C 错误；终边在y 轴上的角的集合既可表示成{α|α＝k ×360°±90°，k ∈Z }，也可表示成{β|β＝k ×180°＋90°，k ∈Z }，故D 正确．答案：D2．解析：∵角α是第二象限角，∴k ×360°＋90°＜α＜k ×360°＋180°，k ∈Z .∴2k ×360°＋180°＜2α＜2k ×360°＋360°，k ∈Z .∴2α可能是第三或第四象限角或是终边在y 轴的非正半轴上的角，即其终边不可能在第一、二象限．答案：A3．解析：∵角α是第四象限角，∴k ×360°－90°＜α＜k ×360°，k ∈Z ，∴k ×180°－45°＜α2＜k ×180°，k ∈Z . ∴角α2是第二或第四象限角． 答案：D4．解析：注意角的范围不能局限于0°～360°，故在－360°～360°范围内，阴影部分表示－45°到120°范围内的角(包括－45°和120°)．又终边相同的角一般相差360°的整数倍，于是所求角的集合为选项C 中的集合．故选C.答案：C5．解析：集合A 中，当k 为奇数时，x ＝k ×180°－90°，终边落在y 轴的非负半轴上；当k 为偶数时，x ＝k ×180°＋90°，终边落在y 轴的非负半轴上；集合B 表示的角的终边落在y 轴的非负半轴上．故A ＝B .答案：C6．解析：∵角α的终边为第二象限的角平分线，∴角α的集合为{α|α＝135°＋k ×360°，k ∈Z }．答案：{α|α＝135°＋k ×360°，k ∈Z }7．解析：易知点P 在y 轴的负半轴上．又270°角的终边在y 轴的负半轴上，则S ＝{α|α＝270°＋k ×360°，k ∈Z }．答案：{α|α＝270°＋k ×360°，k ∈Z }8．解析：与2 014°角终边相同的角为2 014°＋k ×360°(k ∈Z )．当k ＝－5时，214°为最小正角；当k ＝－6时，－146°为绝对值最小的角．答案：214° －146°9．解：(1)设α＝－1 910°＝β＋k ×360°(k ∈Z )，则β＝－1 910°－k ×360°(k ∈Z )．令－1 910°－k ×360°≥0°，解得k ≤－1 910360＝－51136. 故k 的最大整数解为－6，相应的β＝250°.于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k ×360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2时，得到符合－720°≤θ＜0°的角θ为250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.10．解：在直角坐标系内表示集合A ，B ，如图所示．∴A ∩B ＝{α|150°＋k ×360°＜α＜k ×360°＋300°，k ∈Z }，A ∪B ＝{β|60°＋k ×360°＜β＜k ×360°＋360°，k ∈Z }．。

§1 周期现象课后篇牢固研究1.若是今天是星期三,那么7k-6(k∈N+)天后的那一天是( )A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六剖析因为7k-6=7(k-1)+1,所以7k-6天后的那一天是星期四.答案B2.以下函数图像中,不拥有周期性的是( )剖析C中,x∈[-2,2]之间的图像在前后都没有重复出现.答案C3.0.428 571 428 571…的小数点后第545位上的数字是( )A.5B.4C.8D.7剖析由题意知数字重复出现的周期为6,而545=6×90+5,故小数点后第545位上的数字是7. 答案D4.研究以下列图所表现的规律,判断2 015至2 017箭头的方向是( )剖析观察题图可知每增加4个数字就重复相同的地址,则2 015 至2 017箭头的方向与3至5箭头的方向是相同的.应选D.答案D5.导学号93774000四个小动物换座位,开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①,②,③,④号地址上(如图),第1次前后排动物互换地址,第2次左右列互换座位,……这样交替进行下去,则第2 017次互换座位后,小兔的地址对应的是( )①猴②兔③猫④鼠开始①猫②鼠③猴④兔第1次①鼠②猫③兔④猴第2次①兔②猴③鼠④猫第3次A.编号①B.编号②C.编号③D.编号④剖析由已知和题图得,小兔自第1次互换地址后座位的编号依次为④→③→①→②→④…,获取每4次一个循环.因为2 016÷4=504,所以第2 017次互换地址后,小兔的地址和第1次互换的地址相同,即编号为④.答案D6.在以下列图的y=f(x)的图像中,若f(0.005)=3,则f(0.025)= .?剖析由图像知周期为0.02,∴f(0.025)=f(0.005+0.02)=f(0.005)=3.答案37.十字路口处红绿灯亮灭的情况以下:1 min亮绿灯,接着10 s亮黄灯,再接着1 min亮红灯,10 s亮黄灯,1 min亮绿灯……则刚开始亮绿灯时,某人过路口,10 min后又回到此路口,此时应该亮灯.?剖析红绿灯的亮灭以140 s为一个周期,600=140×4+40,所以是绿灯.答案绿8.导学号93774001已知奇函数y=f(x)(x∈R),且f(x)=f(x+4),f(1)=2,则f(2)+f(3)+f(4)= .?剖析∵y=f(x)(x∈R)是奇函数,∴f(0)=0.又f(x)=f(x+4),∴f(4)=f(0)=0,f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-2,而f(-2)=f(-2+4)=f(2),f(-2)=-f(2),∴f(2)=0,故f(2)+f(3)+f(4)=-2.答案-29.古希腊数学家毕达哥拉斯的故事:一次毕达哥拉斯处罚学生,要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(分别标记为A,B,C,D,E,F,G),向到达指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个,才能够停止.你能帮助这名学生赶忙结束处罚吗?解A B C D E F G1 2 3 4 5 6 713 12 11 10 9 814 15 16 17 18 1925 24 23 22 21 20…易知从“A”开始数,周期为12,而1 999=12×166+7.故标号为G的柱子就是数到第1 999个数的那根柱子.10.如图是一单摆,摆球从点B到点O,再到点C用时1.6 s(不计阻力).若从摆球在点B处开始计时,经过1 min后,请估计摆球相对于点O的地址.解由题意知,该摆球摇动一个来回需用时3.2 s,因为1 min=60 s=(18×3.2+2.4)s,而2.4 s-1.6 s=0.8 s,所以1 min后摆球在点O处.11.导学号93774002若弹簧振子相对平衡地址的位移x(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系以下列图.(1)求该函数的周期;(2)求当t=10.5 s时弹簧振子相对平衡地址的位移.解(1)由题图可知,该函数的周期为4 s.(2)设x=f(t),由函数的周期为4 s,可知f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8 cm,当t=10.5 s时弹簧振子相对平衡地址的位移为-8 cm.。