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周期函数如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟．因为你很清楚，0点、1点、2点、3点……23点，每隔24小时就重复出现一次．如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一．因为你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重复出现一次．相同的间隔而重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”、“7天1星期”、“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替，等等．正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？1．周期函数(1)周期函数条件①对于函数f(x)，存在一个__非零__常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__结论函数f(x)叫做__周期函数__，__非零常数T__叫做这个函数的__周期__(2)最小正周期条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的__正数__结论这个最小__正数__叫做f(x)的最小正周期2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π__2π__奇偶性__奇函数____偶函数__[知识点拨]1.对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(x∈Z)．从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．2．对函数最小正周期的两点说明(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数，这个正数是对x 而言的，如y ＝sin2x 的最小正周期是π，因为y ＝sin(2x ＋2π)＝sin [2(x ＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x 加上的最小正数，π是对x 而言的，而非2x ．(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f (x )＝c ，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．3．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． 预习自测1．函数f (x )＝－2sin(πx ＋π3)的最小正周期为( D )A ．6B ．2πC ．πD ．22．下列函数中，周期为π2的是( D )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos(－4x ) 3．设函数f (x )＝sin(2x －π2)，x ∈R ，则f (x )是( B )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数4．若f (x )(x ∈R )为奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝__0__．命题方向1 ⇨三角函数的周期 典例1 求下列函数的周期． (1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝2sin(x 3－π6)．[思路分析] 可以根据周期函数的定义求解，也可以用公式T ＝2π|ω|直接求解．[解析] 解法1：(1)令u ＝12x ，则y ＝sin u 是周期函数，且周期为2π．∴sin(12x ＋2π)＝sin 12x ，即sin[12(x ＋4π)]＝sin 12x ．∴y ＝sin 12x 的周期是4π．(2)∵2sin(x 3－π6＋2π)＝2sin(x 3－π6)，∴2sin[13(x ＋6π)－π6]＝2sin(x 3－π6)，∴y ＝2sin(x 3－π6)的周期是6π．解法2：(1)∵ω＝12，∴T ＝2π12＝4π．(2)∵ω＝13，∴T ＝2π13＝6π．『规律总结』 求三角函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，可利用T ＝2π|ω|来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．〔跟踪练习1〕求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin(3x ＋π3)；(2)y ＝|cos(2x ＋π6)|；(3)y ＝sin(2πx －π4)．[解析] (1)∵ω＝3，T ＝2π3．(2)∵函数y ＝cos(2x ＋π6)的最小正周期为π，而函数y ＝|cos(2x ＋π6)|的图象是将函数y ＝cos(2x ＋π6)的图象在x 轴下方的部分对折到x 轴上方，并且保留在x 轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T ＝π2．(3)∵ω＝2π，∴T ＝2π2π＝π2．命题方向2 ⇨三角函数奇偶性的判断 典例2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x．[思路分析] 先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，最终确定奇偶性．[解析] (1)函数的定义域为R ．∵f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．(2)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)＝－cos 3x4，x ∈R ．∵f (－x )＝－cos(－3x 4)＝－cos 3x4＝f (x )，∴函数f (x )＝sin(3x 4＋3π2)是偶函数．(3)函数应满足1＋sin x ≠0，则函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x 的定义域为{x ∈R |x ≠2k π＋3π2，k ∈Z }．显然定义域不关于原点对称，故函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x 为非奇非偶函数．『规律总结』 1.判断函数奇偶性的常用方法：(1)定义法，即从f (－x )的解析式中拼凑出f (x )的解析式，再看f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是否成立．(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性． (3)验证法，即验证f (－x )＋f (x )＝0或f (－x )－f (x )＝0(或f (－x )f (x )＝±1)是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数．〔跟踪练习2〕判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x cos(π＋x )；(2)f (x )＝sin(cos x )．[解析] (1)函数f (x )的定义域为R ， ∵f (x )＝x ·cos(π＋x )＝－x ·cos x ，∴f (－x )＝－(－x )·cos(－x )＝x ·cos x ＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(2)函数f (x )的定义域为R ．∵f (－x )＝sin [cos(－x )]＝sin(cos x )＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．三角函数奇偶性与周期性的综合运用典例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，求f (5π3)的值．[思路分析] 利用周期性与奇偶性将5π3化到[0，π2]内再求值．[解析] ∵f (x )的最小正周期为π，∴f (5π3)＝f (2π3＋π)＝f (2π3)＝f (π－π3)＝f (－π3)．又f (x )是偶函数．∴f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32．『规律总结』 1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其它义域内的有关性质．〔跟踪练习3〕若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f (π3)＝1，求f (－5π6)的值．[解析] ∵f (x )为以π2为周期的奇函数∴f (－56π)＝－f (56π)＝－f (π2＋π3)＝－f (π3)＝－1．不清楚f (x ＋T )表达的意义典例4 利用定义求f (x )＝sin(2x －π6)的最小正周期．[错解] ∵f (x ＋2π)＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋2π)－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋4π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝f (x )， ∴T ＝2π是f (x )的最小正周期．[错因分析] 错解中求的不是最小正周期．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，其周期为2πω． [正解] 令z ＝2x －π6，∵x ∈R ，∴z ∈R ．又∵y ＝sin z 的周期是2π， z ＋2π＝⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2π＝2(x ＋π)－π6， ∴f (x ＋π)＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝f (x )． ∴T ＝π．[点评] 最小正周期是指使函数重复出现的自变量x 要加上的最小正数，是对x 而言，而不是对ωx 而言．〔跟踪练习4〕对于函数y ＝sin x ，x ∈R 有sin(π6＋2π3)＝sin π6，能否说2π3是它的周期？[解析] 不能．周期必须对定义域内的每一个值都有f (x ＋T )＝f (x )． 课堂检测1．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( D )2．函数y ＝sin2x 是( A ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的偶函数D ．周期为π2的奇函数3．若函数f (x )＝cos(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期是2，则ω的值为( B )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π4．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝2，则f (6)＝__2__． [解析] f (6)＝f (4＋2)＝f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＝2．5．设f (x )是以1为一个周期的奇函数，且当x ∈(－12，0)时，f (x )＝4x －1，求f (－318)的值．[解析] ∵f (x )的周期为1，f (－318)＝f (－4＋18)＝f (18)．又当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1， ∴f (－18)＝4×(－18)－1＝－32，又∵f (x )是奇函数，∴f (－18)＝－f (18)，∴f (18)＝32.故f (－318)＝32．A 级 基础巩固一、选择题1．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( B )[解析] 由已知，得f (x )是周期为2的偶函数，故选B ． 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π4的最小正周期为( C ) A ．π B ．2π C ．4πD ．π23．函数f (x )＝7sin(2x 3＋15π2)是( A )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数4．函数y ＝|cos x |的最小正周期是( C ) A ．π4B ．π2C ．πD ．2π5．下列说法中正确的是( A )A ．当x ＝π2时，sin(x ＋π6)≠sin x ，所以π6不是f (x )＝sin x 的周期B ．当x ＝5π12时，sin(x ＋π6)＝sin x ，所以π6是f (x )＝sin x 的一个周期C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos(π2－x )＝sin x ，所以π2是y ＝cos x 的一个周期6．若函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图象与直线y ＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离为2π3，则ω的值为( A )A ．3B ．32C ．23D ．13[解析] 函数y ＝2sin ωx 的最小值是－2，该函数的图象与直线y ＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离恰好是一个周期，故由2πω＝2π3，得ω＝3．二、填空题7．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的周期为π，则ω＝__2__．8．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，且f (1)＝1，则f (5)＝__－1__． [解析] 由于函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，则f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝1，则f (5)＝－1． 三、解答题9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)f (x )＝1，求证：f (x )是周期函数． [证明] ∵f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )．∴函数f (x )是周期函数，4是一个周期．10．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ．(1)求当x ∈[－π，0]时，f (x )的解析式； (2)画出函数f (x )在[－π，π]上的简图； (3)求当f (x )≥12时x 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∵当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，∴当x ∈[－π2，0]时，f (x )＝f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ．又∵当x ∈[－π，－π2]时，x ＋π∈[0，π2]，f (x )的周期为π，∴f (x )＝f (π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ．∴当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－sin x ． (2)如右图．(3)∵在[0，π]内，当f (x )＝12时，x ＝π6或5π6，∴在[0，π]内，f (x )≥12时，x ∈[π6，5π6]．又∵f (x )的周期为π，∴当f (x )≥12时，x ∈[k π＋π6，k π＋5π6]，k ∈Z ．B 级 素养提升一、选择题1．函数y ＝cos(k 4x ＋π3)(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( D )A ．10B ．11C ．12D ．13[解析] T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π又k ∈N *∴k 最小为13，故选D ．2．函数y ＝⎪⎪⎪⎪7sin ⎝⎛⎭⎫3x －π5的周期是( C ) A ．2π B ．π C ．π3D ．π6[解析] T ＝12·2π3＝π3．3．函数y ＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为( A ) A ．π2B ．πC ．2πD ．4π[解析] ∵⎪⎪⎪⎪sin (x ＋π2)＋⎪⎪⎪⎪cos (x ＋π2)＝|sin x |＋|cos x |.∴原函数的最小正周期为π2． 4．函数f (x )＝4sin(23x ＋15π2)是( A )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为43π的奇函数D ．周期为43π的偶函数[解析] f (x )＝4sin(23x ＋15π2)＝4sin(23x ＋32π)＝－4cos 23x ，∴T ＝3π，且满足f (－x )＝f (x )，故选A ．二、填空题5．若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f (π3)＝1，则f (－17π6)＝__1__．[解析] ∵f (x )的周期为π2，且为偶函数，∴f (－17π6)＝f (－3π＋π6)＝f (－6×π2＋π6)＝f (π6)＝f (π2－π2)＝f (－π3)＝f (π3)＝1．6．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为 ±45． [解析] ∵f (x )的最小正周期为π2，ω>0，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6． 由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35．∴sin α＝±1－cos 2α＝±45．三、解答题7．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |．(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． [解析] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π)(k ∈Z ).11 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π．8．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈[0，π2]时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈[52π，3π]时f (x )的解析式．[解析] x ∈[52π，3π]时， 3π－x ∈[0，π2]， 因为x ∈[0，π2]时，f (x )＝1－sin x ， 所以f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又f (x )是以π为周期的偶函数，所以f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈[52π，3π]． C 级 能力拔高定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2，则有下面三个式子：①f (sin 12)<f (cos 12)；②f (sin π3)<f (cos π3)；③f (sin1)<f (cos1)．其中一定成立的是__②③__(填序号)．。
三角函数周期性三角函数的周期T=2π/ω。
完成一次振动所需要的时间，称为振动的周期。
若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。
1三角函数的周期通式的表达式正弦三角函数的通式：y=Asin(wx+t）；余弦三角函数的通式：y=Acos(wx+t）；正切三角函数的通式：y=Atan(wx+t);余切三角函数的通式：y=Actg(wx+t)。
在w>0的条件下：A:表示三角函数的振幅；三角函数的周期T=2π/ω；三角函数的频率f=1/T: wx+t表示三角函数的相位；t表示三角函数的初相位。
2三角函数推导方法定名法则90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。
90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。
也就是“奇余偶同，奇变偶不变”。
定号法则将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。
也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。
在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中α所在象限的正负号。
关于正负号有个口诀；一全正，二正弦，三两切，四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角，正弦为正，第三象限，正切和余切为正，第四象限，余弦为正。
或简写为“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次为正。
还可简记为：sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan/cot的正值斜着。
比如：90°+α。
定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。
所以sin（90°+α）=cosα,cos（90°+α）=-sinα这个非常神奇，屡试不爽~ 还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，所以sin（90°+α）=cosα。
