苏教版数学高一必修四 作业 1.3.1三角函数的周期性

反思感悟：1.3.1 三角函数的周期性班级：高一（ ）班 姓名： 时间： 月 日一、 学习目标1．理解“周而复始”的周期性现象；2．了解周期函数的概念，会判断一些简单的，常见函数的周期性，并会求一些简单的三角函数的周期；3．通过三角函数周期，进一步理解周期函数的定义.重点：周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性； 难点：周期函数概念的理解、)sin(ϕ+=wx A y 的周期公式的推导.二、问题情境情景1：如图所示：老式的钟摆进行“周而复始”的运动.情景2：如图所示：某景区的摩天轮，当你排了几个小时的队，坐在在上面感受刺激的同时你希望它一直这样“周而复始”的运动.问题1：生活中还有哪些周而复始的现象？你能举出几个例子吗？问题2：你能举出数学中具有“周而复始”现象的例子吗？问题3：如何用数学语言来刻画这样的现象？反思感悟： 三、知识建构1．周期函数的定义练习：判断下列说法是否正确，并简述理由：①3x π=时，sin()sin x x π+≠，则π一定不是函数sin y x =的周期；②0x =时，sin()sin x x π+=，则π一定是函数sin y x =的周期；③()1f x =不是周期函数；思考：一个周期函数的周期有多少个？2．最小正周期3．三角函数的最小正周期 函数sin y x = cos y x = tan y x = 最小正周期思考：（1）是不是每个周期函数都有最小正周期？（2）周期函数的图象具有什么特征？四、例题讲解例1 情景1中，若钟摆的高度)(mm h 与时间)(s t 之间的函数关系如下图所示.（1）求该函数的周期；（2）求)(10s t =时钟摆的高度.反思感悟：例2 情景2中，若你距离地面高度)(m h 与时间()t s 的关系符合函数 ()2s i n ()256h t t ππ=-+，求该函数的周期.思考：函数sin()y A x b ωϕ=++的周期是什么？反思感悟： 五、反馈小结1． 反馈：1．判断下列说法是否正确，并简述理由：（1）的周期；一定不是函数则时x y x x x sin 32,sin )32sin(,3=≠+=πππ（2）.sin 32,sin )32sin(,67的周期一定是函数则时x y x x x ==+=πππ2．已知定义域为R 的函数).10(,0)0(),()1()(f f x f x f x f 求且满足=-=+2． 小结：（1）周期函数的定义、求法及应用：（2）求函数周期的常用方法：（3）数学思想方法：六、课后作业高一数学导学案(三角函数的周期性)反思感悟：。

[课 题]：1.3.1三角函数的周期性[知识摘记][例题解析]例1.若钟摆的高度()mm h 与时间()s t 之间的函数关系如图所示.(1) 求该函数的周期；(2) 求s t 10=时钟摆的高度；例2.求下列函数的周期:(1)()x x f 2cos = (2)()⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin 2πx x g例3.已知()0,4sin >⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωx y 的最小正周期为32π，则=ω ； 例4.已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=43sin 2πx k x f ,如果使()x f 的周期在⎪⎭⎫ ⎝⎛43,32内,求正整数k 的值.例5.(1)已知()()x f x f -=+1，求证:()x f 是周期函数，并求出它的最小正周期；(2)已知()()x f x f 12-=+，求证:()x f 是周期函数，并求出它的最小正周期.[练习与反思]1.写出下列函数的周期: (1)x y 3sin =； (2)3cosx y =； (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=34cos πx y ； (4)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421sin 3πx y ； (5)()x y -=π31cos 2. 反思：[课外作业]1．函数)32sin(π-=x y 的周期是 ． ２．函数)621cos(ππ--=x y 的周期是 ． ３．函数))(2125sin(Z k k x y ∈++=π的周期是 ． ４．函数)3sin(2)(π+=kx x f 与函数)6tan(3)(π-=kx x g 的周期之和为π2，则正实数k 的值为5．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf = 6．若函数)3cos(3πω+=x y 的周期为T ，且T∈(2，3)，则正整数ω是______ __． 7．已知函数()f x 对任意x ∈R ,有(5)()f x f x +=,且()()f x f x -=-,若(3)1f -=,则(13)______.f = 8．设f(x)是定义域为R ，最小正周期为23π的函数，已知⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(sin )02(cos )(ππx x x x x f 则 )415(π-f = . ９．求函数)35sin(3)(π+=x k x f )0(≠k 的周期，并求最小的正整数k ，使它的周期不大于１．１０．求证：（1）x x y 2sin 2cos +=的周期为π；（2）.2|cos ||sin |π的周期为x x y +=。

1.3.1 三角函数的周期性一、课题：三角函数的周期性二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；2.会求正、余弦函数的最小正周期。

三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。

四、教学过程：（一）引入：1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：自变量x 2π- 32π- π- 2π- 0 2π π 32π 2π 函数值sin x0 1 0 1- 0 1 0 1- 0正弦函数()sin f x x =性质如下：文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

（二）新课讲解：1．周期函数的定义对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．– – π 2π 2π- 2π 5π π- 2π- π- O x y 1 1-时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。

【思考】（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+） 2．最小正周期的定义对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。

1. 从实例感知周期现象，理解周期函数的概念；2. 能熟练求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用；3. 使学生对周期现象有一个初步认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心. 周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法．【重点难点】1.函数的三种表示方法；分段函数的概念、表示；求函数的解析式；2.周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单应用.【教学过程】活动一1.情境：取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象.2.问题：我们已经知道，三角函数是刻画周期现象的数学模型，那么，三角函数是如何刻画周期现象的呢？ 活动二在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式sin(2)sin x k x π+=又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的.如何用语言刻画这一变化规律。

1.周期的定义： 思考：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图像具有什么特征？2.最小正周期： 说明：若无特殊说明，函数的周期均指函数的最小正周期.3.)cos()sin(ϕϕω+=+=wx A y x A y 的周期为 .活动三例1 若钟摆的高度h (mm )与时间t (s )之间的函数关系如图所示：例2 求下列函数的周期:（1）()cos 2f x x =；（2）1()2sin()26f x x π=-； （3）函数)3cos(π+=ax y 的周期为π，求a 的值．活动四 练习： （1）第25页练习1，判断说法正误；（2）第26页练习2，求函数的周期性；（3）第26页练习3，4 三角函数周期性的简单应用.。

双基达标 (限时15分钟)1．函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 4的最小正周期为________． 解析 y ＝－5 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π3，T ＝2π14＝8π. 答案 8π2．已知函数f (x )＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为2π3，则ω＝________. 解析 T ＝2π|ω|＝2π3，∴ω＝±3.答案 ±33．若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析 由T ＝π|k |，1<T <2，∴1<π|k |<2，∴π2<|k |<π，又k ∈N ∴k ＝2或3答案 2或34．已知函数f (x )是周期为6的奇函数，且f (－1)＝1，则f (－5)＝________. 解析 f (x )的周期为6，则f (－5)＝f (－5＋6)＝f (1)＝－f (－1)＝－1答案 －15．已知函数f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 3x －π3－2的最小正周期不大于3，则正整数k 的最小值是________．解析 由已知T ＝2π|k 3|≤3，∴|k |≥2π，而k >0，∴k ≥2π，正整数k 的最小值是7.答案 76．求下列函数的周期：(1)y ＝sin 3x ，x ∈R ；(2)y ＝cos x 3，x ∈R ；(3)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R . 解 (1)y ＝sin 3x 的周期为T ＝2π3.(2)y ＝cos x 3的周期为T ＝2π13＝6π.(3)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的周期为T ＝2π12＝4π. 综合提高 (限时30分钟)7．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________． 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－cos π3＝－12. 答案 －128．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 10x ＋π3，其中k ≠0，当自变量在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，最小正整数k 的值是________．解析 由已知周期T ≤1，即2π|k 10|＝20π|k |≤1.又k >0，∴k ≥20π，∴k 的最小正整数值为63.答案 639．若存在常数p >0，使得函数f (x )满足f (px )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫px －p 2，(x ∈R )，则f (x )的一个正周期为________．解析 令px －p 2＝u ，则px ＝u ＋p 2，依题意有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋p 2＝f (u )，此式对任意u ∈R 都成立，而p 2>0且为常数，因此，f (x )是一个周期函数，p 2是一个正周期．答案 p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫或p 2的正整数倍中的任何一个也正确 10．若函数f (x )，对任意x 都有f (x ＋2)＝－1f (x )，则函数y ＝f (x )的一个正周期为________．解析 由f (x ＋2)＝－1f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)， ∴f (x )＝f (x ＋4)，即f (x )的周期T ＝4.答案 411．一机械振动中，某质点离开平衡位置的位移x (cm)与时间t (s)之间的函数关系，如图所示：(1)求该函数的周期；(2)求t ＝25.5 s 时，该质点离开平衡位置的位移．解 (1)由函数图象可知，该函数的周期为T ＝(4.5－0.5)s ＝4 s.(2)设x ＝f (t )，∵函数f (t )的周期为4 s ，∴f (25.5)＝f (6×4＋1.5)＝f (1.5)＝－3.∴t ＝25.5 s 时，质点位移为－3 cm.12．设f (x )是定义在R 上且最小正周期为32π的函数，在某一周期上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos 2x (－π2≤x <0)sin x (0≤x <π)，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π的值． 解 ∵f (x )的周期为32π∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π. ∵0<3π4<π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝sin 3π4＝sin π4＝22， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝22.13．(创新拓展)求y ＝|sin 2x |的周期．解 设f (x )＝|sin 2x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝|sin(π＋2x )|＝|－sin 2x |＝|sin 2x |＝f (x )．∴π2是y ＝|sin 2x |的一个周期．若有T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<T <π2是y ＝|sin2x |的周期， 则f (x )＝|sin 2x |＝f (x ＋T )＝|sin (2x ＋2T )|对x ∈R 恒成立．令x ＝0，则有sin 2T ＝0，但0<T <π2，∴0<2T <π.而在(0，π)不存在正弦值为0的角，这与sin 2T ＝0矛盾．故π2是y ＝|sin 2x |的最小正周期．。

姓名，年级：时间：错误!1．3.1 三角函数的周期性预习课本P24~25,思考并完成下列问题1．周期函数的定义是什么?2．什么是最小正周期？3．y＝A sin(ωx＋φ）（A≠0，ω〉0)的周期的计算公式是什么？错误!1．周期函数对于函数f(x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x＋T）＝f（x)，那么函数f（x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期（1)定义：对于一个周期函数f（x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f（x)的最小正周期．（2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π。

（3)正切函数y＝tan x也是周期函数，并且最小正周期是π.3．一般地，函数y＝A sin（ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)(其中A,ω，φ为常数,且A≠0，ω〉0)的周期T＝错误!。

［点睛] （1）并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．（2）如果T是函数ƒ（x）的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是ƒ（x）的周期．错误!1．函数y＝5sin错误!x的最小正周期是________．答案：5π2．函数y＝tan错误!的最小正周期为________．答案：错误!3．函数y＝2cos错误!的最小正周期为________．解析:T＝错误!＝π。

答案：π4．已知函数f(x)＝sin错误!－1，则下列命题正确的是________．①f(x)是最小正周期为1的函数；②f（x）是最小正周期为2的函数;③f(x）是最小正周期为错误!的函数；④f(x)是最小正周期为π的函数．解析：f(x）＝sin错误!－1＝－cos πx－1,∴f（x）的最小正周期为T＝错误!＝2。

答案：②求三角函数的周期[典例]（1）f（x)＝2sin错误!；(2)f（x）＝2cos错误!;（3)f(x)＝错误!sin错误!;（4)f(x）＝－2cos错误!(a≠0）．［解] （1）∵T＝错误!＝6π，∴最小正周期为6π.（2）∵T＝错误!＝错误!，∴最小正周期为错误!。