1.4.1三角函数的周期性
一、导学目标
1.引导学生从单位圆中，得出正弦、余弦函数值呈现周期性变化
2.函数周期性定义
3．能求三角函数的周期
二、知识回归
1.任意角的三角函数
sin y α=
cos x α=
2.终边与α角相同 2απ+
2απ-
2()k k Z απ+∈ 三角函数值相同
三、新知导学
由观察可知
1.三角函数值出现周期性变化的特点
sin(2)sin cos(2)cos x k x x k x
ππ+=+= （k Z ∈） 2.函数定义
对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使定义域内每一个x ,都有()()f x T f x +=,则函数()f x 叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
3.正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的周期
2,4,6,2,4,6,ππππππ---
2(,0)k k Z k π∈≠ 都是它们的周期
2π是所有周期中最小的正数，是sin ,cos x x 的最小的
正周期
周期函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就是()f x 的最小正周期，一般，函数周期都是指最小正周期
sin ,cos y x y x ==的周期是T=2π
四、例题分析与巩固训练
(1)()sin 3f x x = 1(2)()2cos()23
g x x π=- 分析：由sin ,cos x x 周期都是2π，设周期T 即可
（1） 设()f x 周期为T ，()()f x T f x +=
∴sin3()sin3x T x +=
sin(33)sin 3x T x +=
32T π∴=
23
T π= （2） 设()g x 周期为T ()()g x T g x +=
2cos()2cos()2323
x T x ππ+-=- 即2cos ()2cos()23223x T x ππ⎡⎤-
+=-⎢⎥⎣⎦ 22
T π∴= 巩固训练
A 1. 求下列函数的周期
（1）2sin 2y x =-
（2）cos 3
x y = 2.判断下列说法是否正确，并说明理由
（1）76x π=时，2sin()sin 3x x π+=，则23
π一定是函数sin y x =的周期
B 思考
sin()cos()
y A x y A x ωϕωϕ=+=+ （其中,,A ωϕ为常数，0,0A ω≠>） 的周期为2T π
ω=
例2 若钟摆高度()h mm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示
（1） 求该函数的周期
（2） 求10t s =时钟摆高度
分析：观察图像可知
解：（1） 1.5T s =
（2）(10)(16 1.5)(1)20f f f =+⨯==
∴ 10t s =时钟摆高度20h mm =
巩固训练
1.若弹簧振子对平衡位置的位移()x cm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示
（1）求该函数的周期
（2）求10.5t s =时弹簧振子对平衡位置的位移
五、名师点评
六、学业达标
A 1.求下列三角函数的周期
（1）sin()3y x π
=+
（2）cos 2y x =
（3）3sin()25x y π
=+
（4）3sin 4x
y =
B 若函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期为23π
，求正数k 的值
C 函数3sin()3y kx π
=+的最小正周期T ，(1,3)T ∈，求正整数k
的值
