河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高一12月月考数学试题 答案和解析

第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。

河北省石家庄市第二中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知{}4,5,6,7A =，{}6,7,8B =，若U A B =⋃，则()U A B = ð（）A ．{}6,7B ．{}4,5,6,7,8C ．{}4,5,8D ．∅2．已知函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，则函数()()y f x g x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．3．下列各函数中，值域为()0,∞+的是（）A ．()22log 23y x x =+-B ．y =C ．212x y -+=D ．113x y +=4．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（）A ．12B ．23C ．32D ．25．若α是第四象限角，2sin 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．5B．5-C．5±D．56．函数()f x 在[)0,∞+单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．][(),22,∞∞--⋃+C ．][(),04,∞∞-⋃+D ．[]0,47．设2log 3a =，3log 4b =， 1.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．c b a>>8．已知函数1,0()1,0x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程2()(4)()2(2)0f x m f x m +-+-=有五个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．[1,3)B ．(0,2)C ．[1,2)D ．(0,1)二、多选题9．设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（）A ．2ab bc ac+=B ．ab bc ac+=C ．221c a b=+D ．121c b a=-10．下列函数中，最小正周期为π的是（）A ．sin y x=B ．sin y x=C ．cos 2y x=D ．cos 2y x=11．已知a Z ∈，关于x 一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（）A ．6B ．7C ．8D ．912．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()(),,,,,a b c D f a f b f c ∈分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（）A ．()4sin f x x=-B ．()22sin 10cos 13f x x x =-++C ．()ππsin ,,42f x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦D ．()ππsin 20,34f x x x ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦三、填空题13．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点4π4πsin ,cos 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()cos πα+=______．14．已知幂函数()y f x =的图像过点(4,2)，则不等式()22(2)f x x f x -<-的解集为__________．15．已知()213()log 3f x x ax a =-+在区间[1,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是____________.16．已知关于x 的方程212221xaxx ax +-=-+-在区间1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______________.四、解答题17．已知tan 2.α=求：(1)πsin(π)2sin 22cos(π)ααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-(2)224sin 3sin cos 5cos .αααα--18．已知命题p ：关于x 的方程()2232230x m x m m --+--=的两根均在区间()5,4-内.(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值集合A ；(2)设{}11B ma m a =-<<+∣，是否存在实数a ，使得“m A ∈”是“m B ∈”的必要不充分条件，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由.19．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的最小正周期π．(1)求函数()f x 单调递增区间；(2)若函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数m 的取值范围．20．已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量t （单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为18000元.(1)写出y （单位：元）关于t （单位：克）的函数关系式；(2)若把一块该种矿石切割成重量比为1：4的两种矿石，求价值损失的百分率；(3)把一块该种矿石切割成两块矿石，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大.注：价值损失的百分率=原有价值-现有价值原有价值×100%，在切割过程中的重量损耗忽略不计.21．设函数()()12221x xf x -=-.(1)判断函数()f x 的奇偶性并证明；(2)设0m >，若()20m x f x mx f m -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，求x 的取值范围.22．已知()()21,3273x mmx nf xg x x -+⎛⎫==⎪+⎝⎭，其中,m n ∈R ，且函数()y f x =为奇函数；(1)若函数()y f x =的图像过点()1,1A ，求()f x 的值域；(2)设函数()()(),39,3f x x h x g x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若对任意[)13,x ∈+∞，总存在唯一的()2,3x ∈-∞使得()()12h x h x =成立，求实数m 的范围；参考答案：1．C【分析】根据集合交集、并集、补集的运算，可得答案.【详解】{}4,5,6,7,8U A B == ，{}6,7A B = ，则(){}4,5,8U A B = ð.故选：C.2．A【分析】根据函数()y f x =和()y g x =的性质和符号即可得到结论.【详解】由已知，函数()y f x =和()y g x =均为偶函数，所以，函数()()y f x g x =为偶函数；又因为，当2x >时，()0f x <，()0g x <，则应有()()0f x g x >恒成立.只有A 项符合要求.故选：A.3．C【分析】根据指数、对数函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可．【详解】解：∵()2223144x x x +-=+-≥-，∴()22log 23y x x =+-的值域是R ，不满足条件．∵0121x ≤-<，则函数的值域为[)0,1，不满足条件．∵2120x y -+=>，即函数的值域为()0,∞+，满足条件．∵()()1,00,1x ∈-∞+∞+ ，∴()()1130,11,x y +=∈+∞ ，不满足条件．故选：C ．4．C【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r ，则23,13,2r r αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2,32r α=⎧⎪⎨=⎪⎩故选：C ．5．A【分析】求出3πα+的取值范围，结合诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】由已知可得()222k k k Z ππαπ-<<∈，则()22633k k k Z ππππαπ-<+<+∈，所以，cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此，sin sin cos 62335ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A.6．D【分析】由函数的对称性可求出函数关于y 轴对称，再由单调性将()21f x -≤转化成不等式求解即可.【详解】解：因为(3)f x +的图像关于直线3x =-对称，所以()f x 的图像关于y 轴对称，则有(2)(2)1f f -==，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以由(2)1f x -≤可得222x --，解得04x ≤≤，故选：D.7．C【分析】利用对数函数的性质及放缩法有22log 3log a =>33log 4log b =<较a ，b 的大小，再由8555(2)3>并构造5y x =，根据其单调性即可确定a ，c 的大小.【详解】由题意，223log 3log 2a =>=，332log 4l og 3b ==<，∴a b >，由8523>，则8555(2)3>，而5y x =在(0,)+∞上递增，∴8523>，故8252823lo 5g log =>，即c a >，∴c a b >>.故选：C 8．C【分析】作出()f x 的图象，令()t f x =，则2(4)2(2)0t m t m +-+-=，由题意结合图象可知方程有两个不相等的根12,t t ，且1201,1t t <≤>，或10t =，21t =，令2()(4)2(2)g t t m t m =+-+-，则结合一元二次方程根分布情况可求得结果.【详解】()f x的图象如下图，令()t f x =，则2(4)2(2)0t m t m +-+-=，因为关于x 的方程2()(4)()2(2)0f x m f x m +-+-=有五个不同的实数根，所以由函数图象可知关于t 的方程2(4)2(2)0t m t m +-+-=有两个不相等的实根12,t t ，且1201,1t t <≤>，或10t =，21t =，令2()(4)2(2)g t t m t m =+-+-，若1201,1t t <≤>，则Δ0(0)0(1)0g g >⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即()2Δ48(2)0(0)20(1)142(2)0m m g m g m m ⎧=--->⎪=->⎨⎪=+-+-≤⎩，解得12m <≤，若10t =，21t =，则014012(2)m m +=-⎧⎨⨯=-⎩，无解，综上，12m <≤，故选：C 9．AD【分析】利用与对数定义求出a ，b ，c ，再根据对数的运算性质可得log 4log 92log 6M M M +=，然后进行化简变形即可得到.【详解】由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b=，1log 9M c =.log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=.故选AD.【点睛】本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.10．AD【分析】利用特殊值排除B ，利用图象以及三角函数最小正周期的知识求得正确答案.【详解】A 选项，sin y x =的图象如下图所示，由此可知sin y x =的最小正周期为π.B 选项，令()sin f x x =，3π3π3πππsin 1,πsin 122222f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==--+=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3π3ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-≠-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 选项错误.C 选项，令()cos 2g x x =，()()πcos 2πcos 2cos 22g x x x x g x⎛⎫+=+=-== ⎪⎝⎭，所以π不是cos 2y x =的最小正周期.D 选项，对于函数cos 2y x =，当20≥x 时，cos 2y x =，当20x <时，()cos cos 22y x x ==-，所以cos 2cos 2y x x ==，其最小正周期为2ππ2T ==，D 选项正确.故选：AD 11．ABC【分析】利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得(1)(5)0(2)(4)0f f f f =>⎧⎨=≤⎩求a 的范围，即知其可能值.【详解】由2()6f x x x a =-+开口向上且对称轴为3x =，∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则(1)(5)50(2)(4)80f f a f f a ==->⎧⎨==-≤⎩，解得58a <≤，∴a 的可能值A 、B 、C.符合.故选：ABC.12．ACD【分析】分别选项中函数的最值，根据条件转化为判断max min ()2()f x f x <是否恒成立，即可判断选项.【详解】由题可知“三角形函数”的函数满足max min ()2()f x f x <恒成立，①()4sin f x x =-，则max min ()415,()413f x f x =+==-=,则max min ()2()f x f x <恒成立，则A 满足条件；②()22532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=⎪⎝⎭-+ ，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤，所以当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值min ()11f x =，当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，max ()23f x =，则max min ()2()f x f x <不恒成立，则B 不满足条件；③函数单调递增，()max π12f x =+，()min π4f x =+，满足条件max min ()2()f x f x <恒成立，故C 满足条件；④()πsin 23f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭πππ5π0,,2,4336x x ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则max min π5π1()sin 12()sin 22262f x f x =++=++，所以min 2()1f x =+max min ()2()f x f x <恒成立，故D 满足条件.故选：ACD.13．2【分析】由诱导公式求出点P 的坐标，由三角函数的定义求出cos α的值，再由诱导公式即可求解.【详解】因为4πππsinsin πsin 333⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭4πππ1cos cos πcos 3332⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，因为角α的终边经过点12P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为1OP =，所以2c os OP α==所以()cos πcos 2αα+=-=故答案为：2.14．(]1,0-##{}10x x -<≤【分析】根据题意，求出函数()y f x =，结合单调性与一元二次不等式，即可求解.【详解】因幂函数()y f x =的图像过点(4,2)，所以设()f x x α=且42α=，解得12α=，又因12()f x x ==在[)0,∞+上单调递增，且()22(2)f x x f x -<-，所以2022x x x ≤-<-，解得10-<≤x .故答案为：(]1,0-.15．1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】根据复合函数单调性的判断方法,结合对数函数的定义域,即可求得a 的取值范围.【详解】()213()log 3f x x ax a =-+在区间[1,)+∞上单调递减由对数部分为单调递减,且整个函数单调递减可知()23x x a g ax -+=在[1,)+∞上单调递增,且满足()10g >所以12130aa a -⎧-≤⎪⎨⎪-+>⎩,解不等式组可得212a a ≤⎧⎪⎨>-⎪⎩即满足条件的a 的取值范围为1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦故答案为:1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了复合函数单调性的应用,二次函数的单调性,对数函数的性质,属于中档题.16．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】经整理可得212212xax x ax +++=+，故构造函数()2x f x x =+，()2xf x x =+在R 上单调递增可得21x ax +=，转化为1a x x =+在1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，再根据对勾函数1()g x x x=+的图像与性质，即可得解.【详解】由212221xax x ax +-=-+-可得：212212xax x ax +++=+，构造函数()2x f x x =+，由2,x x 在R 上都为增函数，则()2x f x x =+在R 上单调递增，故由2(1)()f x f ax +=，就有21x ax +=，即21x ax +=在1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，即1a x x =+在1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，如图考查对勾函数1()g x x x=+的图像，在1x =时取最小值，由11710(1)2,(),(3)443g g g ===，所以若要两个交点可得1023a <≤，实数a 的取值范围为102,3⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：102,3⎛⎤⎥⎝⎦.17．(1)0(2)1【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及正余弦齐次式法计算作答.（2）根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算作答.【详解】（1）因tan 2α=，所以πsin(π)2sin sin 2cos tan 2202cos(π)2cos 2ααααααα⎛⎫++- ⎪-+-⎝⎭==--.（2）因tan 2α=，所以2222224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos αααααααααα----=+22224tan 3tan 5423251tan 121ααα--⨯-⨯-===++.18．(1){}13A m m =-<<；(2)存在，(,2)a ∈-∞.【分析】（1）先求出22(32)230x m x m m --+--=的两个解，在根据两根均在区在(5,4)-内，列出不等式组，求出实数m 的取值集合A ；（2）根据p 是q 的必要不充分条件得到B 是A 的真子集，分B =∅与B ≠∅求解实数a 的取值范围.【详解】（1）由22(32)230x m x m m --+--=得:[(1)][(23)]0x m x m -+--=，所以1x m =+或23x m =-，因为命题p 为真命题，所以5145234m m -<+<⎧⎨-<-<⎩，得13m -<<.所以{}13A m m =-<<（2）集合{}13A m m =-<<，集合{}11B m a m a =-<<+，由题设，B 是A 的真子集，当B =∅时，11a a -≥+，解得:0a ≤；满足题意当B ≠∅时，111113a a a a -<+⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩或111113a aa a -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩，解得：02a <<.综上所述：2a <，所以存在实数(,2)a ∈-∞，满足条件.19．(1)5,,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)[]2,1m ∈-【分析】（1）由最小正周期求得ω，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；（2）转化为求()f x 在[0,2π上的值域．【详解】（1）因为函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的最小正周期π，所以2T ππω==，由于0ω<，所以2ω=-．所以()2sin 22sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 单调递增区间，只需求函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间，令3222,Z 262k x k k πππππ+-+∈，解得5,Z 36k x k k ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 单调递增区间为5,,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．（2）因为函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有零点，所以函数()y f x =的图像与直线y m =在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有交点，因为50,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1-所以当[]2,1m ∈-时，函数()y f x =的图像与直线y m =在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有交点，所以当[]2,1m ∈-时，函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点．20．(1)()220000y t t =>(2)32%(3)1:1【分析】（1）由题意设()20y kt t =>，然后代入求解k ；（2）先计算重量比为1:4切割后的价值，然后代入价值损失的百分率公式求解；（3）设一块该种矿石按重量比为m n :切割成两块，然后计算价值损失的百分率，然后利用基本不等式求解最值.【详解】（1）解：由题意可设()20y kt t =>，当3t =时，918000y k ==，2000k ∴=，故()220000y t t =>.（2）设这块矿石的重量为a 克，由（1）可知，按重量比为1:4切割后的价值为22142000200055a a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，价值损失为2221420002000200055a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，价值损失的百分率为22221420002000200055100%32%2000a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⨯=.（3）设这块矿石的重量为a 克，由（1）可知，按重量比为m n :切割后的价值为2220002000m n a a m n m n ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，价值损失为222200020002000mna a a m n m n⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，价值损失的百分率为2222200020002000100%2000m n a a a m n m n a⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⨯()22221m n mn m n m n m n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦，又()()22222122m n mnm n m n +⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭≤=++，当且仅当m n =时取等号，即重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大.【点睛】解函数应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意将实际问题抽象成函数问题．(3)根据题意选择合适的函数模型求解．21．(1)函数()f x 是奇函数，证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可证明；（2）先求出函数()f x 的单调性，利用单调性将不等式()20m x f x mx f m -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，转化为()2210mx m x m -++>，再分类讨论m 即可求出x 的取值范围.【详解】（1）解：函数()f x 是奇函数，证明如下：函数()()()12221222x x x xf x --=-=-，x ∈R ，因为，()()()()222222x x x x f x f x ---=-=--=-，且()()0002220f =-=所以，函数()f x 是奇函数.（2）解：()()222x xf x -=- ，设12x x <，则()()1212121212112222221222122x x x x x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝-=+⎭⎝⎭⎝⎭()12121212122212222221222x x x x x x x x x x +⎛⎫-⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，12x x < ，121222220x x x x ∴<⇒-<，而121102x x ++>，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <()f x \在R 上是增函数，若()20m x f x mx f m -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()211m x f x mx f f x m m -⎛⎫⎛⎫->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211x mx x m∴->-，即()2210mx m x m -++>，已知0m >，令()()221g x mx m x m =-++=解得1x m =或21x m=，①当01m <<时，要使()0g x >，则()1,,x m m ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，②当1m =时，此时()()222110g x x x x =-+=-≥，要使()0g x >，则1x ≠；③当1m >时，要使()0g x >，则()1,,x m m ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，综上，若()20m x f x mx f m -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，当01m <<时，x 的取值范围为()1,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭；当1m =时，x 的取值范围为()(),11,-∞+∞ ；当1m >时，x 的取值范围为()1,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.22．(1)55,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)()0,6【分析】（1）由()f x 图像过()1,1A 及为奇函数，可求得()f x 解析式，后利用分类讨论，基本不等式结合函数奇偶性可得函数值域；（2）经验证可得，当0m ≤时，不合题意.当0m >时，经计算可得()1018,m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，对于03m <<，由图像分析可得答案.对于3m ≥，由值域关系可得答案.【详解】（1）函数()2327mx nf x x +=+为奇函数，可得()()f x f x -=-，即22327327mx n mx nmx n mx n x x -++=-⇒-+=--++，则0n =.由()f x 的图像过()1,1A ，可得()11f =，即130m=，解得30m =；所以()2230103279x xf x x x ==++.当0x =时，()0f x =；当0x >时，()1009f x x x=>+，又96x x +≥=，当3x =时取等号，则()1050,93f x x x⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦+.又()f x 为奇函数得：0x <时，()5,0.3f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故()f x 值域为55,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）当3x ≥时，()()2273273mx mh x f x x x x===++；当3x <时，()()1993x mh x g x -⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭.①当0m ≤时，13x ∀≥时()()1111273mh x f x x x ==≤+；23x ∀<时()()22219903x mh x g x -⎛⎫==⋅> ⎪⎝⎭不满足题设；②当03m <<时，13x ∀≥时()()111127183m m h x f x x x ===+，当13x =取等号，又()1f x 0>，则()1018,m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.设()()2733,,p x x x x=+∈+∞，则任意()12,3,x x ∈+∞，12x x <.()()()121212123270x x p x p x x x x x --=-⋅<.得()p x 在()3,+∞上单调递增，即()()mh x p x =在[)3,+∞上单调递减.注意到当x m ≤时，()193m xh x -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得()h x 在(],m -∞上单调递增，当3m x <<时，()193x mh x -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得()h x 在(),3m 上单调递减.又令()()13036，,x n x x x =-∈，()113ln 3ln 3066x n x =->->'.得()n x 在()0,3上单调递增，则()30306x xn ->=>，则31193031836mm m m -⎛⎫⎛⎫⋅-=-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由此可画出()h x 大致图像如下：由图可得，当03m <<时满足题设；③当3m ≥时，13x ∀≥时，()()11110,27183mm h x f x x x ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦+，且()h x 在[)3,+∞上单调递减.当3x <时，()193m xh x -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得()h x 在(),3-∞上单调递增，则此时，()351933m m h x --⎛⎫<⋅= ⎪⎝⎭,即此时()()250,3mh x -∈.要使对任意[)13,x ∈+∞，总存在()2,3x ∈-∞使得()()12h x h x =成立，则0,18m ⎛⎤ ⎝⎦()50,3m-⊆，又由单调性知，此时的12,x x 是唯一的.令()5318x x H x -=-，因53,18xx y y -==-均在R 上单调递减，则()H x 在R 上递减，又()60H =，则()()55330661818m m m mH m H m --<⇔->⇔>⇒<，即36m ≤<满足题设.综上，m 的范围是()0,6.【点睛】结论点睛：对于含有全称量词，特称量词的题目，有以下常见结论：()()()()1212min min ,,x A x B f x g x f x g x ∀∈∃∈≥⇒≥；()()()()1212max max ,,x A x B f x g x f x g x ∀∈∃∈≤⇒≥；()()(){}(){}1212,,x A x B f x g x f x x A g x x B ∀∈∃∈=⇒∈⊆∈.。

河北省石家庄市示范性高级中学2020-2021学年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列说法正确的是()A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定参考答案：C略2. 已知，且，则等于（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先根据已知条件求得值，然后求得的值，由此求得题目所求表达式的值.【详解】依题意，由及，解得，故，故选B.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题.3. 函数满足，那么函数的图象大致为（）参考答案：C4. 已知等差数列｛｝的通项公式,则等于( )A．1 B． 2 C． 0D．3参考答案：C略5. （5分）在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为（）A．﹣2 B． 2 C． 6 D．2或6参考答案：D考点：空间两点间的距离公式．专题：计算题．分析：根据三个点组成一个等腰三角形，写出两条腰相等的关系式，把关系式进行整理得到关于x的一元二次方程，解方程即可．解答：∵以点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴|AB|=|AC|∴=，∴7=，∴x=2或x=6故选D．点评：本题考查空间两点之间的距离公式，解题的关键是构造等量关系，利用方程思想解决几何问题．6. 已知集合，，则（）A．(1,2) B．(－1,3] C．[0,2) D．(－∞,－1)∪(0,2)参考答案：A7. 下列函数中满足“对任意，当时，都有”的是 ( )A．B． C． D．参考答案：D略8. 若,则＝（）A．－ B. C. D．－参考答案：B9. 设全集，则（）A. B. C. D.参考答案：B略10. 在锐角中△ABC，角A、B所对的边长分别为a、b.若（）A. B. C. D.参考答案：D试题分析：考点：正弦定理解三角形二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某市规定：出租车3公里内起步价8元（即不超过3公里，一律收费8元），若超过3公里，除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价。

河北省石家庄市中学2020-2021学年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若全集U={0，1，2，3}，A={0，1，2}，B={0，2，3}，则A∪（?U B）=（）A．? B．{1} C．{0，1，2} D．{2，3}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】通过已知条件求出?U B，然后求出A∪?U B即可．【解答】解：因为全集U={0，1，2，3}，B={0，2，3}，所以?U B={1}，又A={0，1，2}．所以A∪?U B={0，1，2}．故选C．2. 函数=的定义域为（）A［1，+∞） B（，1］ C（，+∞） D [，1］参考答案：B3. 设M={3，a}，N={1，2}，M∩N={1}，M∪N=（）A．{1，3，a} B．{1，2，3，a} C．{1，2，3} D．{1，3}参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】先求出集体合M，N，由此能求出M∪N．【解答】解：∵M={3，a}，N={1，2}，M∩N={1}，∴a=1，M={3，1}，∴M∪N={1，2，3}．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．4. 不论m为何值，直线(m－2)x－y＋3m＋2＝0恒过定点( )A．(3,8) B．(8,3)C．(－3,8) D．(－8,3)参考答案：C直线方程(m－2)x－y＋3m＋2＝0可化为m(x＋3)－2x－y＋2＝0，∴x＝－3时，m∈R，y＝8，故选C.5. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7参考答案：B6. 在中，若，则一定是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定参考答案：C7. 的值是（）A． B． C.D.参考答案：D8. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则等于（）A． B ． C． D．参考答案：B9. 已知函数的图象恒过定点P，若定点P在幂函数的图像上，则幂函数的图像是()参考答案：A10. 已知函数是上的偶函数，且在区间上是减函数，令，则ks5uA.B. C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数是定义在R上的奇函数，当≥0时，=(+1)，则函数= ．参考答案：=12. 已知两直线l 1：（3+m）x+4y+3m+5=0，l 2：2x+（5+m ）y+2=0，当l1∥l2时，m的值为．参考答案：﹣7【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：当m=﹣5时，此时两条直线相不平行，因此≠﹣5，∴﹣=﹣，解得，m=﹣7故答案为：﹣7．13. 在等差数列{a n}中，，，则的值为_______.参考答案：5.【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件建立、的方程组，求出、的值，即可求出的值.【详解】设等差数列的公差为，所以，解得，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的项的计算，常利用首项和公差建立方程组，结合通项公式以及求和公式进行计算，考查方程思想，属于基础题.14. 已知偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（x﹣1）＞f（3﹣2x），求x的取值范围．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数f（x）的奇偶性及在[0，+∞）上的单调性，可把f（x﹣1）＞f（3﹣2x）转化为关于x﹣1与3﹣2x的不等式，从而可以求解．【解答】解：因为偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，所以f（x﹣1）＞f（3﹣2x）?f（|x﹣1|）＞f（|3﹣2x|）?|x﹣1|＞|3﹣2x|，两边平方并化简得3x2﹣10x+8＜0，解得，所以x的取值范围为（）．故答案为：（）．【点评】本题为函数奇偶性及单调性的综合考查．解决本题的关键是利用性质去掉符号“f”，转化为关于x﹣1与3﹣2x的不等式求解．15. 函数的图像过定点.参考答案：（1,2）当时，，所以过定点。

河北省石家庄市重点高中2020-2021学年高一上学期第二次月考化学试卷一、选择题1. 化学与生活密切相关，下列过程或事实不涉及氧化还原反应的是（ ） A.还原铁粉可用作贮存富脂类食品时的脱氧剂B.氯气制漂白粉C.过氧化钠做供氧剂D.小苏打用于治疗胃酸过多2. 下列说法正确的是（ ） A.溶于水后所得水溶液能导电，所以是电解质SO 2SO 2B.固体不导电，所以是非电解质Na 2SO 4Na 2SO 4C.电解质溶液导电的原因是溶液中有可以自由移动的离子D.金属铜能导电，但铜是非电解质 3. 下列叙述中正确的是（ ） A.金属氧化物一定是碱性氧化物B.硫酸钡难溶于水，但硫酸钡属于强电解质C.溶于水后能电离出氢离子的化合物都是酸D.氯化钠溶液在电流作用下电离成钠离子和氯离子 4. 设为阿伏加德罗常数，下列说法中正确的是（ ）N AA.水中含有的氢原子数目为18g NA B.氩气分子所含的原子数目为1mol 2N AC.碳酸钠中含有的钠离子为53g 0.5N A D.硝酸中含有的氧原子为0.5mol 1.5N A5. 下列关于胶体和溶液的说法中正确的是（ ）A.胶体不均一、不稳定，静置后易产生沉淀；溶液均一、稳定，静置后不产生沉淀B.胶体与悬浊液的本质区别是胶体是均一透明的，而悬浊液是浑浊的C.丁达尔效应可被用来区分胶体和溶液D.只有胶状物如胶水、果冻类的物质才能称为胶体6. 每次进行焰色试验后都要用试剂洗净铂丝，这种清洗试剂是（ ） A.溶液B.溶液C.硫酸D.盐酸Na 2CO 3NaOH 7. 下列反应的离子方程式正确的是（ ） A.氯气制漂白液：Cl 2+2OH −=Cl −+ClO −+H 2OB.用作供氧剂：Na 2O 2Na 2O 2+H 2O =2Na ++2OH −+O 2↑C.与水反应： Na 2Na +2H +=2Na ++H 2↑D.醋酸除水垢：CaCO 3+2H +=Ca2++H 2O +CO 2↑8. 下列说法正确的是（ ） A.实验室利用和稀盐酸制取MnO 2Cl2B.钙元素的焰色为黄绿色C.煮沸饱和溶液可制得氢氧化铁胶体FeCl 3D.干燥的氯气可以使有色鲜花变色9. 常温时，在强碱性的无色透明溶液中能大量共存的一组离子是（ ）A.、、、Na +K +NO −3CO 2−3B.、、、K +Fe3+Cl −SO 2−4C.、、、Na +NO −3SO 2−4HCO −3D.、、、NH +4Ag +SO2−4Cl −10. 下列实验结论与实验操作及现象不相符的一组是（ ）选项实验操作及现象实验结论A 向淀粉溶液中滴加氯水，溶液变成蓝色KI−氧化性：Cl 2>I 2B 将钠放入热坩埚中加热燃烧，生成淡黄色固体反应有生成Na 2O 2C将湿润的有色纸条放入盛有干燥氯气的集气瓶中，盖上玻璃片，一段时间后纸条褪色氯气具有漂白性D向某溶液中加入几滴溶液，有白色沉淀AgNO 3生成，再加入少量稀硝酸，沉淀不溶解溶液中含有Cl−A. B. C. D.AB CD 11. 阿波罗宇宙飞船以（联氨）和为动力源，反应温度达。

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注：资料封面，下载即可删除河北正中实验中学高一第二次月考数 学（考试时间：120分钟 分值：150分）注意事项：1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。

答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

4.考试结束后，只将答题卡交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合302x A x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}|32,B x x x Z =-≤≤∈，则A B 中元素的个数为（ ）A.4B.5C.6D.无数个2．设x ∈R ，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知0a > ） A ．712aB ．512aC ．56aD ．13a4．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．2(),()f x g x =B ．0()1,()f x g x x ==C ．21()1,()1x f x x g x x -=+=-D ．(),()f x x g x ==5．函数()()215m f x m m x-=--是幂函数，且当()0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，则m 的值为（ ）.A ．－3B ．－2C ．3D ．26．已知函数,1()(32)2,1ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩在(),-∞+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．若正数b a ,满足321a b +=，则2332a b +--的最小值为（ ） A.1C.2D.48．已知定义在R 上函数()f x ，对任意的[)12,2017,x x ∈+∞且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，若函数()2017y f x =+为奇函数，()()201720170a b --<且4034a b +>，则（ ）A ．()()0f a f b +>B ．()()0f a f b +<C ．()()0f a f b +=D ．以上都不对二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．给出下列四个命题：①若a b >且11a b>，则0ab >； ②若0c a b >>>，则a b c a c b >--； ③若0a b c >>>，则b b ca a c+<+； ④若1a b +=，则114a b +≥.其中正确的命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④10．若函数()()221120x f x x x--=≠，则下列结论正确的是（ ） A ．1152f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()241(0)(1)f x x x =-≠- D ．()221411x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-（0x ≠且1x ≠）11．已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，(())1g f x =-，1(())2g g x =-的实根个数分别为,,a b c ，则（ ）A ．a b c +=B ．2b c a +=C ．b a c =D ．b c a +=12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[][]2.33,3.23-=-=，下列命题正确的是（ ）A.[][][]xy x y =B.[][][]x y x y +=+C.[][]11+=+x xD.[][]1+22x x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数()y f x =的定义域是[]3,3-，则函数()()211f xg x x -=+的定义域是______．14．函数223y x x =-++的单调递减区间是________．15.已知函数⎩⎨⎧≥+-<-+=)0(,1)0(,12)(x x x x x f ，若函数k x f x g -=)()(有三个零点，则k 的取值范围是________．16．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，函数()(1)1F x f x =-+．则：12340392020202020202020F F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-（1）求函数()f x 的解析式，并画出函数()f x 的图象． （2）根据图象写出的单调区间和值域．18.（本小题满分12分） 已知函数()131f x x x =---的定义域为集合A ，集合{}21B x m x m =≤≤-. （1）当1m =-时，求AB ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若AB =∅，求实数m 的取值范围.19.（本小题满分12分） 已知不等式210mx mx --<．（1）若[1,3]x ∈时不等式恒成立，求实数m 的取值范围．（2）若满足2≤m 的一切m 的值使不等式恒成立，求实数x 的取值范围．20.（本小题满分12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数()p f x =的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？21.（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数()f x 对任意R n m ∈,都有等式()()()1-+=+n f m f n m f 成立，且当0x >时，有()1f x >.（1）求证：函数()f x 在R 上单调递增； （2）若()34f =，关于x 不等式()()322<-+++x ft x f 恒成立，求t 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()()211f x x ax a R =---∈．（1）若关于x 的方程()210f x x ++=在区间(]0,2上有两个不同的解1x ，2x ．①求a 的取值范围；②若12x x <，求1211+x x 的取值范围；（2）设函数()f x 在区间上[]0,2的最小值()m a ，求()m a 的表达式．河北正中实验中学第二次月考数学参考答案1-5AABDC 6-8CCB9. BC 10.AD 11.AB 12.CD 13.(]1,2- 14.[]1,3 15.()1,1- 16.403917．解：（1）由20,()2x f x x x ≥=-时，当0,0x x <->，2()2f x x x ∴-=+ 2分又函数()f x 为偶函数，2()2f x x x ∴=+故函数的解析式为222(0)(){2(0)x x x f x x x x -≥=+< 5分7分（2）由函数的图像可知，函数()f x 的单调递增区间为 8分单调递减区间为， 9分 函数()f x 的值域为[)1,-+∞ 10分18.（1）对于函数()y f x =，有3010x x -≥⎧⎨->⎩，解得13x <≤，(]1,3A ∴=.当1m =-时，[]2,2B =-，因此，[]2,3AB =-； 4分（2）A B ⊆，则有2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-，因此，实数m 的取值范围是(],2-∞-；6分（3）当21m m >-时，即当13m >时，B =∅，此时，A B =∅，合乎题意； 8分 当21m m ≤-时，即当13m ≤时， 由于AB =∅，则11m -≤或23m >，解得0m ≥或32m >，此时103m ≤≤. 11分 综上所述，实数m 的取值范围是[)0,+∞. 12分 19.（1）令2()1f x mx mx =--，①当0m =时，()10f x =-<，显然恒成立． ②当0m >时，若对于[1,3]x ∈时不等式恒成立，则(1)0,(3)0,f f <⎧⎨<⎩∴(1)10,(3)9310,f f m m =-<⎧⎨=--<⎩解得16m <，∴106m <<． ③当0m <时，函数()f x 的图象开口向下，对称轴为直线12x =， 若[1,3]x ∈时不等式恒成立，结合函数图象知只需(1)0f <即可，解得m R ∈， ∴0m <符合题意．综上所述，实数m 的取值范围是1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 6分 （2）令()22()11g m mx mx x x m =--=--，若对满足2≤m 的一切m 的值不等式恒成立，则(2)0,(2)0,g g -<⎧⎨<⎩即()()22210,210,x x x x ⎧---<⎪⎨--<⎪⎩解得1122x <<， ∴实数x的取值范围是1122⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭． 12分 20..(1)当0<x≤100时，p ＝60；当100<x≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x. ∴p ＝60,0100,620.02,100600.{x x x <≤-<≤ 5分 (2)设利润为y 元，则当0<x≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x≤600时，y ＝(62－0.02x)x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝220,0100,220.02,100600.{x x x x x <≤-<≤ 8分 当0<x≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000； 当100<x≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050.显然6 050>2 000. 11分 所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元． 12分 21.（1）任取12,,x x R ∈且12x x <，则210,x x ->()211,f x x ∴->因为()()()()11211212--+=-+=x x f x f x x x f x f ，所以()()()011212>--=-x x f x f x f所以()()21f x f x >，故()f x 在R 上是单调递增函数. 5分 （2）()()()()()()()312111111312f f f f f f f =+-=-++-=-，()12,f ∴= 6分 原不等式等价于()()()()1222122f t x x fx ft x f=<+-++=--+++，因为()f x 在R 上是单调递增函数，故122<+-++t x x 恒成立， 8分 t x x -<-++122 恒成立()()22222222=-++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x当且仅当0=x 时取等()txx -<=-++12222max所以221-<t 12分 22.解：（1）①因为()210f x x ++=，即221110x ax x ---++=，则1,01112,12x xa x x x x x x ⎧<≤⎪⎪=-+=⎨⎪-<≤⎪⎩，作出函数1,0112,12x xy x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩的图象如图，y 的最小值为1，当x (1,2]∈时，y 有最大值17422-=，又因为关于x 的方程()210f x x ++=在区间(]0,2有两个不同的解1x ，2x ，故a 的取值范围是71,2⎛⎤ ⎥⎝⎦； 3分②因为12x x <，所以1(0,1]x ∈，2(1,2]x ∈，且有212112a x x x ==-， 即有212112(2,4]x x x +=∈； 5分 （2）由题得222,12(),01x ax x f x x ax x ⎧--<≤=⎨--≤≤⎩，当4a ≥时，有0,222a a-<≥，则()f x 在[0，2]上为减函数， 则()(2)22m a f a ==-； 6分当24a ≤<时，有0,1222a a -<≤<，()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在,22a ⎤⎛ ⎥⎝⎦上为增函数，此时2()224a a m a f ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭； 7分 当02a ≤<时，有0,0122a a -<≤<，()f x 在[0,1]上为减函数，在(1,2]上为增函数， 此时()(1)1m a f a ==--， 8分 当20a -<<时，有01,022a a <-<<，()f x 在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在,12a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上为减函数，在(1,2]上为增函数， 此时{}1,10()min (0),(1)0,21a a m a f f a ---<<⎧==⎨-<≤-⎩， 10分 当2a ≤-时，有1,022a a -≥<，则()f x 在[0,2]上为增函数， 则()(0)0m a f ==， 11分 综上20,11,12()2,24422,4a a a m a a a a a ≤-⎧⎪---<<⎪⎪=⎨--≤<⎪⎪-≥⎪⎩. 12分。

河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题答案和解析河北省石家庄市第二中学【最新】高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2,{|124}xA B x =-=≤≤，则A B ?= ( )A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,22．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（） A ．12y x =B ．23y x =C ．4y x -=D ．13y x =3．已知()f x ，()g x 对应值如表：则(((1)))g f g -的值为（） A ．1B ．0C ．1-D ．无法确定4．设函数y ＝x 3与y ＝212x -?? ???的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是（）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)5．已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<6．函数y ＝331x x -的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．7．若函数()f x 为奇函数，且在()0,+∞上是增函数，又()()()20,0f x f x f x--=<则的解集为（）A ．()()2,00,2-?B ．()(),20,2-∞-?C ．()(),22,-∞-?+∞D ．()()2,02,-?+∞8．已知函数22()log (3)f x x ax a =-+在区间(2,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是（） A ．(,4]-∞C ．(4,4]-D ．[]4,4-9．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则(2)f x x的定义域为（） A ．{}|04x x <≤B ．{}|04x x ≤≤C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|01x x <≤10．设偶函数()log a f x x b =-在(,0)-∞上递增，则(1)f a +与(3)f b +的大小关系是（）A ．(1)(3)f a f b +=+B ．(1)(3)f a f b +>+C ．(1)(3)f a f b +<+D ．不确定11．已知函数f(x)={1+4x ,x ≥4,log 2x,x <4,若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的根，则实数k 的取值范围是（） A ．(?∞,1)B ．(?∞,2)C ．[1,2)D ．(1,2)12．定义一种运算,,,,a a b a b b a b ≤??=?>?令()f x 2(32)x x x t =+-?-（t 为常数），且[]3,3x ∈-，则使函数()f x 的最大值为3的t 的集合是（）A ．{}3,3-B ．1,5D ．{}3,1,3,5--二、填空题13．已知函数1()log (23)x a f x -=-恒过定点，则此定点为__________.14．已知函数()23f x ax bx a b =+++为偶函数，其定义域为[]1,2a a -,则函数的值域为____15．已知()1x f x e =-，2()42g x x x =-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围是__________.16．设函数，则满足31,1()2,1xx x f x x -三、解答题 17．2|1A x x ??=≥，{}22log (1)2log (1)B x x x =+--. （1）求A ，B ；（2）求AB ，()R A B .18．设函数2,40,()3,0,x bx c x f x x x ?++-≤<=?-+≥?若(4)(0)f f -=，(2)1f -=-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间. 19．已知函数2()41(0,1)g x ax ax b a b =-++≠<，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值；（2）不等式(2)20x xf k -?≥在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围.20．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.21．已知函数22()21x xa a f x ?+-=+，其中a 为常数. （1）判断函数()f x 的单调性并证明；（2）当1a =时，对于任意[]2,2x ∈-，不等式2(6)(2)0f x m f mx +++->恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数．（1）求k 的值；（2）若函数()()[]122421?0log 3f x xx h x m x +=+?-∈，，，是否存在实数m 使得()h x 最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．C 【解析】{}|124x B x =≤<{}|02x x =≤<，又{}1,0,1,2A =-则{}0,1A B ?=故选C 2．B 【解析】对于A ，12y x =定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，所以A 不具有奇偶性，不对；对于B ，23y x =是过点()0,0，()1,1的偶函数，B 对；对于C ，4y x -=定义域为{}|0x x ≠ 不过点()0,0，不对；对于D ，13y x =过点()0,0，()1,1但它为奇函数，不对；故选B 3．C 【解析】()1g -=1，则()()()1f 10,f g -==则()()()()1g 01g f g -==-故选C 4．B 【分析】函数y ＝x 3与y ＝212x -?? ???的图象的交点的横坐标即为231()2x g x x -??=-的零点，将问题转化为确定函数231()2x g x x -??=-的零点所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．【详解】设231()2x g x x -??=-，则()g x 是增函数，又(0)40,(1)10,(2)70g g g =-<=-<=>.所以(1)(2)0g g <，所以x 0所在的区间是(1，2) 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的交点，考查函数的零点，解题的关键是构建函数，正确运用函数零点存在定理，属于中档题. 5．D 【分析】根据指数函数与对数函数单调性得到a ，b ，c 的取值范围，即得到它们的大小关系．【详解】解：由对数函数和指数函数的性质可知，0.10 1.302log 0.30,221,00.20.21,a b c a c b =<=>=<=<=∴<<故选：D ．【点睛】本题考查对数函数的性质，考查指数函数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来． 6．C 【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝1113--＝32＞0，故再排除B ；当x→＋∞时，3x－1远远大于x 3的值且都为正，故331xx -→0且大于0，故排除D ，选C. 7．A 【分析】由函数奇偶性性质，结合特殊值，在坐标系中作出函数简图，由奇函数性质化简不等式，借助图像即可求出解集. 【详解】由奇函数的性质以及特殊点可作出如下简图：由奇函数定义化简解析式：()()()20f x f x f x xx--=<，即()f x 与x 异号即可，由图像可知当20x -<<或02x <<时()f x 与x 异号. 故选A. 【点睛】本题考查奇函数的定义以及图像特点，由题意作出图像可极大降低题目的难度，便于快速求出结果. 8．D 【解析】令g （x ）=23x ax a -+，因为函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上是增函数，从复合函数的角度分析，外层是递增的，所以转化为内层函数g （x ）=23x ax a -+在区间()2,+∞上是增函数，且g （x ）>0在()2,+∞上恒成立；224422230aa a a ?≤?∴-≤≤??-?+>? 故选D 9．D 【解析】因为函数f （x ）的定义域为[0，2]，所以0≤2x≤2，所以0≤x≤1，所以f （2x ）的定义域为[0，1]，则函数()2f x x的定义域是（0，1]，故选D ． 10．B 【解析】因为函数f（x）=log a|x-b|，所以对定义图内任意实数x都有f （-x）=f（x），即log a|-x-b|=log a|x-b|，所以|-x-b|=|x-b|，所以b=0，∴f（x）=log a|x|，∵偶函数f（x）=log a|x|在（-∞，0）上单调递增，y=|x|在（-∞，0）上单调递减，∴0＜a＜1，∴1＜a+1＜b+3=3，∴log a|a+1|＞log a3，∴f（a+1）＞f（b+3）；综上，f（a+1）＞f（b+3）．故选：B．11．D【解析】是减函数，且1＜f（x）≤2；②当x＜4时，f（x）=log2x在（0，：①当x≥4时，f(x)=1+4x4）上是增函数，且f（x）＜f（4）=2；且关于x的方程f（x）=k有两个不同的根可化为函数f（x）与y=k有两个不同的交点；作出函数的图象如下：故实数k的取值范围是（1，2）；故选D．点睛：本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，原问题等价于于函数f（x）与函数y=k的图象有两个不同的交点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象可得答案．12．C【解析】y=3+2x-x 2在x ∈[-3，3]上的最大值为3，所以由3+2x-x 2=3，解得x=2或x=0．所以要使函数f （x ）最大值为3，则根据定义可知，当t ＜1时，即x=2时，|2-t|=3，此时解得t=-1．当t ＞1时，即x=0时，|0-t|=3，此时解得t=3．故t=-1或3．故选C ．点睛：本题主要考查新定义的理解和应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的分析能力，根据定义，先计算y=3+2x-x 2在x ∈[-3，3]上的最大值，然后利用条件函数f （x ）最大值为4，确定t 的取值即可． 13．(3,0) 【解析】令1231x --=得123x x -=∴= 此时0y = 故此定点为()3,0 故答案为()3,0 14．311,27??【分析】根据函数为偶函数，定义域关于原点对称求得a 的值，根据偶函数的定义求得b 的值，根据二次函数的性质求得函数的值域. 【详解】由于()f x 为偶函数，定义域关于原点对称，故1120,3a a a -+==，()2113f x x bx b =+++，()2113f x x bx b -=-++，由于()()f x f x =-，故0b =，即()2113f x x =+，定义域22,33x ??∈-.根据二次函数性质可知，当0x =时，函数有最小值为1，当23x =时，函数有最大值231327f ??= ，故函数的值域为311,27??. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查二次函数的性质，属于基础题.15．(22-+ 【解析】∵f （x ）=e x -1，在R 上递增，∴f （a ）＞-1则g （b ）＞-1；∵g （x ）=-x 2+4x-2=-（x-2）2+2≤2，又f （a ）=g （b ），∴g （b ）∈（-1，2]，即-b 2+4b-2＞-1，整理，得 b 2-4b+1＜0解得22b <<+故答案为(2+ 16．2[,)3+∞ 【分析】令()f a t =，则()2t f t =，当1t <，令1231,2t y t y =-=，1t <，结合图象得出方程无解，当1t ≥时，讨论1a <，1a ，结合分段函数的解析式，解不等式即可得出a 取值范围. 【详解】令()f a t =，则()2tf t =当1t <时，312t t -=令1231,2ty t y =-=，1t <其图象如下图所示∴1t <时，312t t -=无解当1t ≥时，22t t =成立，由()1f a ≥，得当1a <时，有311a -，解得213a < 当1a 时，有21a ，解得1a 综上，a 取值范围是2[,)3+∞ 故答案为2[,)3+∞【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题. 17．(1){}|02A x x =<≤，{B x =；(2){}0A B x x ?=，{()0R A B x ?=<≤.【解析】试题分析：（1）由21x ≥，则20x x-≤，故{}|02A x x =<≤，而()()22log 12log 1x x +>--，()()()()2222log 1log 1log 11log 4x x x x ++-=+->，等价于()()10,10,B 114,x x x x ?+>?->?+->?解不等式求交集得（2）根据交集，并集，补集的定义很容易求解. 试题解析：（1）由21x ≥，则20x x-≤，故{}|02A x x =<≤，而()()22log 12log 1x x +>--，()()()()2222log 1log 1log 11log 4x x x x ++-=+->，等价于()()10,10,114,x x x x ?+>?->??+->?则1,1,x x x x ?>-?>??><?即{B x =.（2）{}0A B x x ?=，因为{{(){|,?0BR R B x C x x A B x =∴=≤∴?=<≤，.18．(1)243,40,()3,0.x x x f x x x ?++-≤<=?-+≥?；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得16-4b+c=3，4-2b+c=-1，解方程可得b ，c ，进而得到f （x ）的解析式；（2）由分段函数的画法，可得f （x ）的图象，进而得到定义域、值域、单调区间．试题解析：（1）∵()()40f f -=，()21f -=-，∴1643b c -+=，421b c -+=-，解得4b =，3c =，∴()243,40,3,0.x x x f x x x ?++-≤<=?-+≥?（2）图象见图所示：由图像可知，函数的定义域为[)4,-+∞，值域为(],3-∞. 单调增区间为()2,0-，单调减区间为()4,2--和()0,+∞. 19．（1）3,9a b =-=-（2）11k ≤- 【解析】试题分析：（１）因为对称轴x=1不在定义区间内，所以函数()[] 2,3g x 在区间单调，根据单独递增与单独递减分类讨论，解得a,b 的值，代人()()g x f x x=可得函数f(x)的解析式（２）先分离变量得212122x x ≤-+ｋ,只需求出函数212122x x -+最小值，即得实数k 的取值范围试题解析：(1)()221,g x ax ax b =-++ 对称轴x=1.由题意得：，或()()02143311a gb g a b ?<?=+=??=++=?解得10a b =??=?或131a b =-??=>?（舍去)故所以(2)不等式即即设所以()21,k t ≤- 又因()210,mint -=故20．(1)2()2f x x =-，()g x x =；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f （x ）和g （x ）的解析式；（2）()()h x g x < 即()23130mx m x +--<，讨论当0m =时，当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m =，23x =-，比较1m与-3的大小，进行讨论；试题解析：（1）由题意()()22f x g x x x -+-=--，即()()22f x g x x x -=--，又()()22f x g x x x +=+-联立得()22f x x =-，()g x x =.（2）由题意不等式即()23130mx m x +--<，当0m =时，即30x --<，解得3x >-；当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m=，23x =-，故当0m >时，易知13m >-，不等式的解为13x m -<<；当0m <时，若13m >-，即13m <-时，不等式的解为3x <-或1x m>；若13m =-，即13m =-时，不等式的解为3x ≠-；若13m <-，即13m >-时，不等式的解为1x m<或3x >-；综上所述，当13m <-时，不等式的解为1|3x x x m 或?-；当103m -≤<时，不等式的解集为1|3x x x m ??-或；当0m =时，不等式的解集为{}3x x -；当0m >时，不等式的解集为1|3x x m ?-<<. 点睛：本题主要考查根据奇偶性的定义利用方程组法求函数解析式及求含参的一元二次不等式解集；在讨论时从二次项系数等于0，不等于0入手，当不等于0时，往往先对式子进行因式分解得出对应二次方程的根，然后比较根的大小，讨论要不重不漏. 21．(1)答案见解析；(2)1023m -<<. 【解析】试题分析：（1）根据函数单调性的定义证明即可（2）当1a =时，()2121x x f x -=+，则()2121x x f x ----=+ ()1212xxf x -==-+，∴函数()f x 是奇函数，对于任意[]2,2x ∈-，不等式()()2620f x m f mx +++->恒成立，等价为对于任意[]2,2x ∈-，不等式()()()2622f x m f mx f mx ++>--=恒成立，即262x m mx ++>，在[]2,2x ∈-恒成立，即2260x mx m -++>，在[]2,2x ∈-恒成立，设()226g x x mx m =-++，则等价为()min 0g x >即可.讨论轴与区间的位置关系求最小值即得解. 试题解析：（1）函数()()21222121x x x a f x a +-==-++在R 上是增函数.证明如下：任取1x ，2x R ∈，且12x x <，则()()()()()121212122222*********x x x x x x f x f x a a --=---= ? ?++++?，∵12x x <，∴12220x x -<，1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<，∴()()12f x f x <，∴函数()221x f x a =-+在R 上是增函数. （2）由（1）知函数在定义域上是增函数，当1a =时，()2121x x f x -=+，则()2121x xf x ----=+ ()1212xx f x -==-+，∴函数()f x 是奇函数，则对于任意[]2,2x ∈-，不等式()()2620f x m f mx +++->恒成立，等价为对于任意[]2,2x ∈-，不等式()()()2622f x m f mx f mx ++>--=恒成立，即262x m mx ++>，在[]2,2x ∈-恒成立即2260x mx m -++>，在[]2,2x ∈-恒成立，设()226g x x mx m =-++，则等价为()min 0g x >即可.即()()222266g x x mx m x m m m =-++=--++，当2m ≤-，则函数()g x 的最小值为()25100g m -=+>，得2m >-，不成立，当22m -<<，则函数()g x 的最小值为()260g m m m =-++>，得22m -<<，当2m ≥，则函数()g x 的最小值为()23100g m =-+>，得1023m -<<. 综上1023m -<<. 点睛：本题考查了用定义证明函数的单调性及不等式恒成立问题，在解决本题中()()2620f x m f mx +++->恒成立时，移项得()()262f x m f mx ++>--所以肯定先要研究函数的奇偶性，从而利用单调性去掉f 转化为二次不等式恒成立，找最值即得解. 22．（1）12-；（2）1m =-．【分析】（1）由于函数为偶函数，满足()()f x f x -=，将x -代入函数解析式化简后，可求得12k =-；（2）化简()42x x h x m =+?，令2x t =将函数化为2y t mt =+，然后利用二次函数的图像与性质，讨论函数最小值是否为0，由此求得1m =- 【详解】（1）∵函数()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数，∴()()f x f x -=，即()()44log 41log 41-+-=++xx kx kx 恒成立，∴()()4444412log 41log 41log log 441x xxx x kx x ---+=+-+===-+，∴12k =-．（2）由题意函数()()[]12242142? 0?log 3f x xx x x h x m m x +=+?-=+?∈，，，令[]213xt =∈，，则[]213y t mt t =+∈，，，∵函数2y t mt =+的图象开口向上，对称轴为直线2mt =-，故当12m-≤，即2m ≥-时，当1t =时，函数取最小值10m +=，解得：1m =-；当132m <-<，即62m -<<-时，当2mt =-时，函数取最小值204m -=，解得：0m =（舍去）；当32m-≥，即6m ≤-时，当3t =时，函数取最小值930m +=，解得：3m =-（舍去），综上所述，存在1m =-满足条件．考点：函数的奇偶性与单调性．【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查二次函数图象与性质．第一问条件是函数为偶函数，故满足()()f x f x -=，如果函数为奇函数，则满足()()f x f x -=-．将x -代入函数的表达式，和原来式子对比，即可求得参数的值．第二问要求函数的最小值为零，令2x t =换元后变为二次函数，利用二次函数图象与性质就可以求得m 的值．。

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5} 2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．14．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．138．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．101112．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b二、填空题（共4小题）.13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC ＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5}解：由题意得∁U B＝{1，3，5}，所以A∩∁U B＝{5}．故选：A．2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．解：由sinα＞0，cosα＜0，可得α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z，对于A，可得sin2α＝2sinαcosα＜0，错误；对于B，当α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z时，cosα∈（﹣1，0），此时cos2α＝2cos2α﹣1∈（﹣1，1），错误；对于C，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，可得，正确；对于D，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，当k为偶数时，可得sin＞0，错误；故选：C．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．1解：因为z＝a+（a﹣1）i，所以，所以|z|的最小值为，故选：B．4．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或解：过点（0，1）和（2，1），半径为的圆的圆心（1，﹣1）或（1，3）．过点（0，1），（2，1）且半径为的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5或（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5，则圆心到直线y＝2x﹣1的距离为或，则弦长＝．故选：B．5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．解：设该四棱锥为P﹣ABCD，则由题意可知四棱锥P﹣ABCD满足底面ABCD为矩形，则：平面PDC⊥平面ABCD，且PC＝PD＝3，AB＝4，AD＝2．如图，过点P作PE⊥CD，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知∠PAE为直线PA与平面ABCD 所成的角，则，，所以．故选：C．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：双曲线的焦点F（c，0）到渐近线bx±ay＝0的距离为，解得，所以．又c2＝a2+b2，所以b2＝3a2．因为点在双曲线上，所以，所以a2＝3，b2＝9，所以双曲线的方程为．故选：D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．13解：由12∧m＝1100∧n＝0001，可得n＝1101，表示成十进制为13，所以m＝13．故选：D．8．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为f（2+x）＝f（2﹣x），所以f（4+x）＝f（﹣x），因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x），所以f（8+x）＝﹣f（x+4）＝f（x），所以8为f（x）的一个周期，故②正确；由f（8+x）＝f（x）可得f（8﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（8﹣x）+f（x）＝0，故①正确；为奇函数满足f（x）+f（﹣x）＝0，且一条对称轴为直线x＝2，故③正确；由f（x）为奇函数且定义域为R知，f（0）＝0，又f（x）为周期函数，所以f（x）有无数个零点，故④正确．故选：D．9．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．解：设球O的半径为R，由球的体积为可得，，解得R＝2．因为三棱锥P﹣ABC的高h为1，所以球心O在三棱锥外．如图，设点O1为△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC．在Rt△AO1O中，由，且OO1＝R﹣h＝1，得．因为△ABC为等边三角形，所以，所以．故选：C．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．解：抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第n﹣1由甲掷，第n次由甲掷，概率为，二是第n﹣1次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．这两种情况是互斥的，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．故选：A．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．1011解：由题意得a1＝﹣1，a2＝0，a3＝3，a4＝﹣2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝﹣2，a9＝﹣7，a10＝0，a11＝﹣1，a12＝0，…∴数列{a n}为周期数列，且周期为10，因为S10＝5，所以S2021＝5×202+（﹣1）＝1009，故选：C．12．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b解：因为，所以a＜b．因为函数f（x）＝e x ln|x|在区间（0，+∞）上单调递增，所以b，c，d中b最小．构造函数g（x）＝x﹣elnx，则，当x≥e时，g'（x）≥0，所以g（x）在区间[e，+∞）上单调递增，所以g（3）＝3﹣eln3＞g（e）＝0，所以3＞eln3．所以e3＞3e，所以d＞c，所以d＞c＞b＞a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为[0，4]．解：，，设与的夹角为α，则：，∵α∈[0，π]，∴0≤8﹣8cosα≤16，∴，∴的取值范围为[0，4]．故答案为：[0，4]．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为48．解：按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有A21A22＝4种，乙第三个到达有A21A21A22＝8种，乙第四个到达有A32A22＝12种，乙最后到达有A44＝24种，所以不同的情况种数为4+8+12+24＝48．故答案为：48．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为3n或（3n2+3n）．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，可得a1+d＝3，①由a3是a1与a9的等比中项，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为da1＝d2，②由①②可得a1＝d＝或a1＝3，d＝0，当a1＝3，d＝0时，＝a2+a4+…+a2n＝3+3+…+3＝3n；当a1＝d＝时，＝a2+a4+…+a2n＝3+6+…+3n＝（3n2+3n）．故答案为：3n或（3n2+3n）．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为②③④．解：对于①，当长方体为正方体时，BD1⊥AC，故①错误；对于②，如图，设AD＝x，则AA1＝2﹣x（0＜x＜2），所以，当x＝1时，BD1的最小值为，即长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径为，所以外接球表面积的最小值为3π，故②正确；对于③，设点E到平面A1B1D的距离为h，如图，由，可得，所以由②可知，，其中，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，所以，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为S＝2x+2x（2﹣x）+2（2﹣x）＝4+4x﹣2x2＝﹣2（x﹣1）2+6，当x＝1时，S的最大值为6，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．解：（1）在△ABC中，，由余弦定理得．因为0＜∠ABC＜π，所以，所以．（2）由知，BC∥AD，所以△BCE∽△DAE，所以，所以DE＝2BE．因为BD＝2，所以．所以．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．解：用A i表示第i位同学选择A组合，用B i表示第i位同学选择B组合，用∁i表示第i 位同学选择C组合，i＝1，2，3．由题意可知，A i，B i，∁i互相独立，且．（1）三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率为：．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η~B(3,)，所以，，，，所以η的分布列为η0123P所以．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BF的中点Q，连接PQ，AQ．因为P，Q为CF，BF的中点，所以PQ∥BC，且．又因为AD∥BC，BC＝2AD，所以PQ∥AD，且PQ＝AD，所以四边形ADPQ为平行四边形，所以DP∥AQ．又AQ⊂平面ABFE，DP⊄平面ABFE，所以DP∥平面ABFE．（2）解：因为平面ABCD⊥平面BAEF，平面ABCD∩平面BAEF＝AB，FB⊥AB，FB⊂平面BAEF，所以FB⊥平面ABCD．又BC⊂平面ABCD，所以FB⊥BC．又AB⊥FB，AB⊥BC，所以以B为坐标原点，分别以BA，BC，BF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝2，则．设平面DEF的一个法向量为，则，令z＝1，得．易知平面BCF的一个法向量为，所以．所以平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．【解答】（1）解：由可知，点（x，y）到点（﹣1，0），（1，0）的距离之和为4，且4＞2，根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则2a＝4，2c＝2，所以曲线C的离心率为．（2）证明：设椭圆的短轴长为2b，由（1）可得b2＝a2﹣c2＝3，所以曲线C的方程为，则F（1，0）．由题意可知，动直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由,得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，所以．设AB的中点为Q（x0，y0），则，．当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为，令y＝0，得，所以，＝＝，所以．当k＝0时，l的方程为y＝0，此时，．综上，为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝x+alnx，a∈R，所以，①当a≥0时，f'（x）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当a＜0时，令f'（x）＞0，得x＞﹣a，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣a，所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；综上：当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；（2）方程g（x）＝mf（x）有两个实根，即关于x的方程x2e x﹣m（x+2lnx）＝0有两个实根，即函数h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）有两个零点，又h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）＝e x+2lnx﹣m（x+2lnx），令t＝x+2lnx，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且t∈R，所以只需函数u（t）＝e t﹣mt有两个零点，令u（t）＝0，得，令，则，易知当t∈（﹣∞，1）时，φ（t）单调递增，当t∈（1，+∞）时，φ（t）单调递减，所以当t＝1时，φ（t）取得最大值，又因为当t＜0时，φ（t）＜0，当t＞0时，φ（t）＞0，φ（0）＝0，则函数的图象如图所示：所以当，即m∈（e，+∞）时，函数h（x）有两个零点，所以实数m的取值范围为（e，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．解：（1）由（α为参数），消去参数α，得曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4,由，得，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x﹣y＝b，所以曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣b＝0．（2）设P（1+2cosα，1﹣2sinα），因为点P到直线x﹣y﹣b＝0的距离为1，所以，化简得①．若关于α的方程①有解，则曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，所以②，或③由②得，由③得，所以b的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．【解答】（1）解：由题意得f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，当x≥2时，原不等式可化为3x﹣3≤9，解得x≤4，故2≤x≤4；（1分）当﹣1≤x＜2时，原不等式可化为5﹣x≤9，解得x≥﹣4，故﹣1≤x＜2；当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x+3≤9，解得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1．综上，不等式f（x）≤9的解集为[﹣2，4]．（2）证明：因为≥＝，且ab＞0，高中数学资料群734924357所以，当且仅当或时等号成立，高中数学资料群734924357。

2020年下学期高三月考(12月)试卷课程名称《专业综合》姓名班级得分考试时间150 分钟满分：350分本试题卷共六大题，39小题，共18页。

时量150分钟，满分350分。

一、单选题（在本题的每一小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，本大题共22小题，每小题5分，共110分）1．（）世界上第一台电子计算机（ENIAC）诞生于美国宾夕法尼亚州。

A．1941年B．1946年C．1949年D．1950年2．下列术语中，通常用于描述计算机显示器性能指标的是（）A．速度B．可靠性C．分辨率D．精度3．计算机能够直接识别并执行的语言是（）A．汇编语言B．C语言C．高级语言D．机器语言4．下列选项中，不正确的是（）A．1TB=1024GB B．1024TB=1PBC．1MB=1024KB D．1024PB=1GB5．将二进制数01100100转化为十进制数的结果是（）A．80B．90C．100D．101 6．在Windows7操作系统中，使用（）组合键，可将当前窗口最小化。

A．ALT+空格+N B．CTRL+ALT+DELETEC．Windows键+CTRL+M D．ALT+F47.计算机辅助制造的简称是（）。

A．CAD B．CAM C．CAE D．CBE8.我国自行生产的“天河二号”计算机属于（）。

A．微机B．小型机C．大型机D．巨型机9.在下面的选项中，（）不属于按计算机的用途分类。

A．企业管理B．人工智能C．计算机辅助D．多媒体技术10．下列说法中正确的是（）A．根据冯.诺依曼原理，计算机由运算器、控制器、存储器、输入设备和输出设备五部分组成B．台式机中，硬盘位于主机箱内，属于内存储器C．如果台式机主机箱前、后面板都有USB接口，则移动硬盘只能接到后面板USB接口，U盘只能接到前面板USB接口D．计算机访问互联网必要的设备是调制解调器11．下列关于CPU的说法中正确的是（）A．台式机CPU工作时发热小，不需要安装CPU风扇散热B．CPU主频和外频的关系是：主频=外频×倍频C．CPU缓存的容量比内存的容量大D．任意台式机CPU可以直接安装在笔记本电脑上正常工作12．下列关于内存的说法中正确的是（）A．DDR4工作电压比DDR3工作电压要高B．DDR4台式机内存条可以安装在笔记本电脑上正常工作C．CPU对内存的存取速度比对机械硬盘的存取速度要快D．办公用台式机内存容量不能小于16GB13．下列关于输出设备的说法中正确的是（）A．显卡分为集成显卡、独立显卡和核芯显卡三类，其中集成显卡的性能最好B．单个显卡只能配置一个输出接口，不能同时配置两个输出接口C．在液晶显示器不同面版类型中，IPS面板的优势是响应速度快，色彩还原准确。

第四章 指数函数与对数函数 第5节 函数的应用（二）一、基础巩固1．（2020·全国高一课时练习）函数ln y x =的零点是（ ） A ．(0,0) B ．0x =C ．1x =D ．不存在【答案】C【解析】函数ln y x =的零点等价于方程ln 0x =的根，∴函数ln y x =的零点是1x =，故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是（ ）A ．f (x )在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B ．f (x )在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C ．f (x )在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D ．f (x )在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 【答案】C【解析】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点， 又()()120f f ⋅>，因此无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点.3．（2020·全国高一课时练习）下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是（ ） A ．50y x = B ．50y x =C ．50x y =D ．()*50log y x x N=∈【答案】C 【解析】随x 的增大，指数函数的增长速度最快，∴50x y =的增长速度最快，故选：C.4．（2020·全国高一课时练习）某物体一天中的温度T (单位：℃)是时间t (单位：h)的函数：3()360,0T t t t t =-+=表示中午12：00，其后t 取正值，则下午3时温度为（ ）A ．8℃B ．78℃C ．112℃D ．18℃【答案】B【解析】将3t =的值代入解析式可得：3(3)3336078T =-⨯+=， 故选：B.5．（2020·浙江高一课时练习）某研究小组在一项实验中获得一组关于,y t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画y 与t 之间关系的是（ ）A ．22y t =B ．2t y =C ．2log y t =D ．3y t =【答案】C【解析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C ：2log y t =满足题意.故选C. 6．（2020·浙江高一单元测试）利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…0.040.361.01.96[学3.244.846.769.011.56…那么方程的一个根位于下列区间 （ ）A ．（0.6，1.0）B ．（1.4，1.8）C ．（1.8，2.2）D ．（2.6，3.0）【答案】C【解析】构造f (x )＝2x －x 2，则f (1.8)＝0.242，f (2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f (x )＝2x －x 2＝0，所以方程2x ＝x 2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C 7．（2020·浙江高一课时练习）设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则下列说法中正确的是（ ）． A ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,e)内均有零点B ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,e)内均无零点C ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有零点，在区间(1,e)内无零点D ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内无零点，在区间(1,e)内有零点 【答案】D【解析】由题可知：1()ln (0)3f x x x x =-> 则113()33-'=-=x f x x x若()0,3x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减 若(3,)x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增 所以函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,)e 单调递减，又1111ln 1033f e ee e ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，(1)031f =>，1()103f e e =-< 所以函数()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，在(1,)e 有零点8．（2020·陕西新城�西安中学高二期末（文））若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0） D ．[0，+∞）【答案】B【解析】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ， 所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B9．（2020·沈阳二中北校高三其他（文））函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,)eD ．(3,4)【答案】B【解析】解：�()2ln 22ln 201f e =-<-=，()2ln31ln 10f e =->-=，则(1)(2)0f f <， �函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在区间是 (1,2)， 当0x >，且0x →时，()()2ln 10f x x x=+-< ()()22ln 1ln 0e e e e f e =+->->， ()()3322ln 3103ln f e =+->->， ()()1442ln 41ln 20f e =+->->， ACD 中函数在区间端点的函数值均同号，根据零点存在性定理，B 为正确答案. 故选：B.10．（2020·黑龙江松北�哈九中高三三模（文））下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ） A ．()1x f x e =- B ．1()f x x x=+ C ．2()f x x x =- D ．22()f x x x=- 【答案】C【解析】根据函数奇偶性的概念可判断A 选项与D 选项所给函数不具有奇偶性； 对于B 选项，1()f x x x=+为奇函数，但不存在零点；对于C 选项，2()f x x x=-为奇函数，且(0f =； 故答案选：C.11．（2020·全国高三其他（文））已知函数()2,1ln ,1x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，()()g x f x ax a =-+，若()g x 恰有1个零点，则a 的取值范围是（ ） A．0,B ．(],2-∞C ．[]1,2D ．[)1,+∞【答案】D【解析】()g x 恰有1个零点即()y f x =与y ax a =-的图像恰有一个交点，y ax a =-恒过()1,0点， 由ln y x =得'1y x=，所以曲线ln y x =在点()1,0处的切线的斜率为1， 由2yx x 得'21y x =-，所以曲线2yx x 在点()1,0处的切线的斜率为1，所以结合图像可知，()g x 恰有1个零点当且仅当1a ≥. 故选：D12．（2020·全国高三课时练习（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，故需要志愿者90018 50=名.故选：B13．（2020·全国高一课时练习）某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（）A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数【答案】D【解析】由题目信息可得：初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系.故选：D.14．（2020·全国高一课时练习）四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)�x2�f2(x)�4x�f3(x)�log2x�f4(x)�2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)�x2B．f2(x)�4x C．f3(x)�log2x D．f4(x)�2x【答案】D【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为()42xf x =�故选D�15．（2020·全国高一课时练习）能使不等式22log 2xx x <<一定成立的x 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】作出2log y x =、2y x （红色）、2xy =图像由图像可知，当4x >时，22log 2xx x <<16．（2020·浙江高一课时练习）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝,x A xx A A<≥(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16【答案】D【解析】由题意可得：f （A ）A =15，所以A f （4）4=30， 可得出15A2=30A ，可得A=16从而 故答案为D17．（2020·全国高三其他（文））已知函数()2,1,2,1,x a m x f x x a m x ⎧⋅->=⎨+-≤⎩其中0a >且1a ≠，若m ∃∈R ，使得函数()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()0,11,2C ．()()0,12,⋃+∞D ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】令()0f x =，()2,1,2,1,x a x g x x a x ⎧⋅>=⎨+≤⎩，则()g x m =，故问题转化为()y g x =，y m =的图像有两个交点， 显然当01a <<时，()y g x =，y m =的图像有两个交点； 当1a >时，只需22a a +>，解得12a <<； 综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,2，故选：B.18．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（理））已知函数()34f x x x =-，过点()2,0A -的直线l 与()f x 的图象有三个不同的交点，则直线l 斜率的取值范围为（ ） A ．()1,8-B ．()()1,88,-⋃+∞C ．()()2,88,-⋃+∞D ．()1,-+∞【答案】B【解析】函数()34f x x x =-，可得()()()322420f -=--⨯-=，设直线l 的斜率为k ，方程为()2y k x =+，由题意可得()()()32422k x x x x x x +=-=+-有三个不等的实根，显然2x =-是其中的一个根，则22k x x =-有两个不等的实根，且2x ≠-，即8k ≠， 由220--=x x k 的>0∆，可得440k +>，解得1k >-� 则k 的范围是()()1,88,-⋃+∞.19．（多选题）（2020·化州市第一中学高二月考）（多选）已知函数()2211x f x x-=+，则下列对于()f x 的性质表述正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在[]2,3上的最大值为35D ．()()g x f x x =+在区间()1,0-上至少有一个零点 【答案】ABCD【解析】因为()2211x f x x-=+，所以其的定义域为R ， A 选项，()22221()1()1()1----===+-+x x f x f x x x ，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确； B 选项，22221111()111⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭===- ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x f f x x x x ，故B 正确； C 选项，因为()22212111-==-+++x f x x x，当[]2,3x ∈，21y x =+单调递增，所以()2211=-++f x x 单调递减，因此()()max 2321145==-+=-+f x f ，故C 正确； D 选项，因为()()g x f x x =+，所以()()1111-=--=-g f ，()()0001=+=g f ，即()1(0)0-⋅<gg ，由零点存在性定理可得：()()g x f x x =+在区间()1,0-上存在零点，故D 正确；20．（多选题）（2019·山东枣庄�高二期末）有如下命题，其中真命题的标号为（ ）A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(3)2f > B ．函数1()1x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点(1,2)C ．函数212()1log f x x x =--有两个零点 D ．若函数2()24f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2] 【答案】BD【解析】A. 设幂函数()f x x α=，代入12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到1121()2f x x αα=∴=-∴=，11(3)32f =<故A 不成立；B. 由于x y a =恒过定点(0,1)，因此令10x -=，即1x =时，恒有(1)2f =，即图象恒过定点(1,2)，故B 正确；C.转化212()1log 0f x x x =--=为2121=log x x -函数21y x =-与12log y x =在同一直角坐标系下的图像如图：两个函数只有一个交点，故函数()f x 只有一个零点，C 选项不正确. D.函数2()24f x x x =-+的图像如图所示，(0)(2)4,(1)3f f f ===数形结合，可得若函数在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2]，D 选项正确. ��：BD二、拓展提升1．（2020·全国高一）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．（1）f （x ）＝；（2）f （x ）＝x 2＋2x ＋4；【解析】（1）令3x x +＝0，解得x ＝－3，所以函数f （x ）＝3x x+的零点是x ＝－3． （2）令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根，所以函数f （x ）＝x 2＋2x ＋4不存在零点．2．（2020·全国高一）函数f （x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，求函数g （x ）＝ax 2－bx －1的零点．【解析】因为函数f （x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，所以123122a a b b =+=⎧⎧⇒⎨⎨-=⨯=-⎩⎩， 所以g （x ）＝3x 2＋2x －1，令()0g x =，解得1x =-或13， 故函数g （x ）的零点为－1和13． 3．（2020·上海浦东新�华师大二附中高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()0f 及()()1f f 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围.【解析】（1）()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-， ()()1(1)(1)1(0)0,f f f f f ==-==-；（2）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，只需0x >时，()f x m =有两个解，当0x ≥时，()222(1)1f x x x x =-=--， 所以10m -<<4．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P 万件满足P ＝3﹣21x +（其中0≤x ≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P 万件还需投入成本（10+2P ）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+20P ）万元/万件. （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.【解析】（1）当促销费用为x 万元时， 付出的成本是：210231x x ⎛⎫++- ⎪+⎝⎭ 销售收入是：220342131x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫-⨯+ ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪-+⎝⎭， 故220234102321131y x x x x ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪-+⎝⎭ 整理可得4161y x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，0≤x ≤2. （2）根据（1）中所求，416111611y x x ⎛⎫⎛⎫=-++-≤- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭16313=-=，当且仅当1x =时取得最大值.故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.5．（2019·浙江高一期中）已知函数()()(23)6f x x a x =-+-（Ⅰ）若1a =-，求()f x 在[3,0]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）若关于x 的方程()140f x +=在(0,)+∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）若1a =-，则22549()(1)(23)62532()48f x x x x x x =++-=+-=+-， 因为二次函数()f x 开口向上，对称轴为：54x =-；又[3,0]x ∈-， 所以函数()f x 在53,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在5,04⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增； 因此min 549()()48f x f =-=-；又(3)0f -=，(0)3f =-， 所以max ()(3)0f x f =-=；（Ⅱ）由关于x 的方程()140f x +=在(0,)+∞上有两个不相等实根，可得方程22(32)380x a x a +--+=有两个不相等正根， 则2(32)8(38)032023802a a a a ⎧⎪∆=---+>⎪-⎪>⎨-⎪-+⎪>⎪⎩，解得5823a <<． 26．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知函数221,2()121.2x x x f x x x a x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++- ⎪⎪⎝⎭⎩（1）若1a =，求函数()f x 的零点；（2）若函数()f x 在[)1-+∞，上为增函数，求a 的取值范围. 【解析】（1）当12x >时，由20x x-=，得x =；当12x ≤时，由220x x +=得0x =或2x =-.∴1a =时，函数()f x 的零点为-2，0. （2）函数()g x x x 2=-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，且1722g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 函数()221h x x x a =++-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，且1124h a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 若()f x 在[-1，+∞）上为增函数，则1742a +-，∴154a -.。

2021年河北省石家庄市第十二中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=0参考答案：A考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题；压轴题．分析：求出PA的斜率，PB的倾斜角，求出P的坐标，然后求出直线PB的方程．解答：解：由于直线PA的倾斜角为45°，且|PA|=|PB|，故直线PB的倾斜角为135°，又当x=2时，y=3，即P（2，3），∴直线PB的方程为y﹣3=﹣（x﹣2），即x+y﹣5=0．故选A点评：本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查逻辑推理能力，计算能力，转化思想的应用，是基础题．2. 给出下列命题，其中正确命题的个数为（）①在区间（0，+∞）上，函数y=x﹣1，y=，y=（x﹣1）2，y=x3中有三个增函数；②若log m3＜log n3＜0，则0＜n＜m＜1；③若函数f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称；④若函数f（x）=3x﹣2x﹣3，则方程f（x）=0有两个实数根．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①在区间（0，+∞）上，y=，y=x3是增函数；②若log m3＜log n3＜0，则?则?0＜n＜m＜1；③奇函数关于原点对称，函数f（x）向右平移1个单位后，f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称；④方程f（x）=0有两个实数根，就是函数f（x）=3x与f（x）=2x+3的交点．【解答】解：对于①在区间（0，+∞）上，y=，y=x3是增函数，故①错；对于②若log m3＜log n3＜0，则?则?0＜n＜m＜1，故②正确；对于③奇函数关于原点对称，函数f（x）向右平移1个单位后，f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，故③正确；对于④方程f（x）=0有两个实数根，就是函数f（x）=3x与f（x）=2x+3的交点，画出图象即可看出交点是两个，故④正确．故选：C3. 如果直线和没有公共点，那么直线与的位置关系是（）A．异面； B．平行； C．相交； D．平行或异面。